1804:. Then insert edges between each pair of vertices according to the following recipe. If the roots corresponding to the two vertices are orthogonal, there is no edge between the vertices. If the angle between the two roots is 120 degrees, we put one edge between the vertices. If the angle is 135 degrees, we put two edges, and if the angle is 150 degrees, we put three edges. (These four cases exhaust all possible angles between pairs of positive simple roots.) Finally, if there are any edges between a given pair of vertices, we decorate them with an arrow pointing from the vertex corresponding to the longer root to the vertex corresponding to the shorter one. (The arrow is omitted if the roots have the same length.) Thinking of the arrow as a "greater than" sign makes it clear which way the arrow should go. Dynkin diagrams lead to a
21607:
21598:
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21688:
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658:
4738:
1961:
666:
3331:
3074:
4403:
edge) while leaving the nodes unchanged corresponds to changing the angles between roots, which cannot be done without changing the entire root system. Thus, one can meaningfully remove nodes, but not edges. Removing a node from a connected diagram may yield a connected diagram (simple Lie algebra), if the node is a leaf, or a disconnected diagram (semisimple but not simple Lie algebra), with either two or three components (the latter for D
4362:
4349:
1326:
10750:
3543:
35:
4795:
3766:(due to most symmetries being 2-fold). At the level of Lie algebras, this corresponds to taking the invariant subalgebra under the outer automorphism group, and the process can be defined purely with reference to root systems, without using diagrams. Further, every multiply laced diagram (finite or infinite) can be obtained by folding a simply-laced diagram.
10865:
4820:, where the nodes corresponded to simple reflections; the graphs were then used (with length information) by Witt (1941) in reference to root systems, with the nodes corresponding to simple roots, as they are used today. Dynkin then used them in 1946 and 1947, acknowledging Coxeter and Witt in his 1947 paper.
3573:
4402:
of another, meaning "a subset of the nodes, with all edges between them". This is because eliminating a node from a Dynkin diagram corresponds to removing a simple root from a root system, which yields a root system of rank one lower. By contrast, removing an edge (or changing the multiplicity of an
3773:
The nodes and edges of the quotient ("folded") diagram are the orbits of nodes and edges of the original diagram; the edges are single unless two incident edges map to the same edge (notably at nodes of valence greater than 2) – a "branch point" of the map, in which case the weight is the number of
3769:
The one condition on the automorphism for folding to be possible is that distinct nodes of the graph in the same orbit (under the automorphism) must not be connected by an edge; at the level of root systems, roots in the same orbit must be orthogonal. At the level of diagrams, this is necessary as
5294:
Coxeter groups, but there are several non-equivalent definitions for this term. In the discussion below, hyperbolic
Coxeter groups are a special case of Lorentzian, satisfying an extra condition. For rank 2, all negative determinant Cartan matrices correspond to hyperbolic Coxeter group. But in
1110:
Although the Weyl group is abstractly isomorphic to the
Coxeter group, a specific isomorphism depends on an ordered choice of simple roots. Likewise, while Dynkin diagram notation is standardized, Coxeter diagram and group notation is varied and sometimes agrees with Dynkin diagram notation and
4331:
Folding can be applied to reduce questions about (semisimple) Lie algebras to questions about simply-laced ones, together with an automorphism, which may be simpler than treating multiply laced algebras directly; this can be done in constructing the semisimple Lie algebras, for instance. See
2166:
The blank in the upper right, corresponding to directed graphs with underlying undirected graph any
Coxeter diagram (of a finite group), can be defined formally, but is little-discussed, and does not appear to admit a simple interpretation in terms of mathematical objects of interest.
2035:
At the level of root systems the direction corresponds to pointing towards the shorter vector; edges labeled "3" have no direction because the corresponding vectors must have equal length. (Caution: Some authors reverse this convention, with the arrow pointing towards the longer
4840:, with multiplicity indicated by 1, 2, or 3 parallel edges, and root length indicated by drawing an arrow on the edge for orientation. Beyond simplicity, a further benefit of this convention is that diagram automorphisms are realized by Euclidean isometries of the diagrams.
2204:
The right map is simply an inclusion – undirected Dynkin diagrams are special cases of
Coxeter diagrams, and Weyl groups are special cases of finite Coxeter groups – and is not onto, as not every Coxeter diagram is an undirected Dynkin diagram (the missed diagrams being
2170:
There are natural maps down – from Dynkin diagrams to undirected Dynkin diagrams; respectively, from root systems to the associated Weyl groups – and right – from undirected Dynkin diagrams to
Coxeter diagrams; respectively from Weyl groups to finite Coxeter groups.
1722:
1199:) equals to the number of nodes in the diagram, the number of simple roots in a basis, the dimension of the root lattice and span of the root system, the number of generators of the Coxeter group, and the rank of the Lie algebra. However,
4843:
Alternative convention include writing a number by the edge to indicate multiplicity (commonly used in
Coxeter diagrams), darkening nodes to indicate root length, or using 120° angles on valence 2 nodes to make the nodes more distinct.
2042:
Dynkin diagrams must satisfy an additional restriction, namely that the only allowable edge labels are 2, 3, 4, and 6, a restriction not shared by
Coxeter diagrams, so not every Coxeter diagram of a finite group comes from a Dynkin
18045:
The set of compact and noncompact hyperbolic Dynkin graphs has been enumerated. All rank 3 hyperbolic graphs are compact. Compact hyperbolic Dynkin diagrams exist up to rank 5, and noncompact hyperbolic graphs exist up to rank 10.
3070:". It happens that all these diagram automorphisms can be realized as Euclidean symmetries of how the diagrams are conventionally drawn in the plane, but this is just an artifact of how they are drawn, and not intrinsic structure.
29654:
3507:
10889:
families, the same as the finite graphs above, with one node added. Other directed-graph variations are given with a superscript value (2) or (3), representing foldings of higher order groups. These are categorized as
1301:
3244:
3739:
3652:. But doesn't apply in all circumstances: for example, such automorphisms need not arise as automorphisms of the corresponding algebraic group, but rather on the level of points valued in a finite field.
4813:). When Dynkin left the Soviet Union in 1976, which was at the time considered tantamount to treason, Soviet mathematicians were directed to refer to "diagrams of simple roots" rather than use his name.
1523:
5494:
4100:
3731:
3448:
10729:
4582:
4165:
3642:
30055:
Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; Cobbs, Leigh; McRae, Robert; Nandi, Debajyoti; Naqvi, Yusra; Penta, Diego (2010). "Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits".
4283:
4224:
654:, and in other contexts. Various properties of the Dynkin diagram (such as whether it contains multiple edges, or its symmetries) correspond to important features of the associated Lie algebra.
5402:
28933:
21748:
determine where the series changes from finite (positive) to affine (zero) to a noncompact hyperbolic group (negative), and ending as a
Lorentz group that can be defined with the use of one
2929:
These isomorphisms correspond to isomorphism of simple and semisimple Lie algebras, which also correspond to certain isomorphisms of Lie group forms of these. They also add context to the
2842:
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877:
5688:
3393:
801:
29677:
In this section we refer to the general class as "Coxeter diagrams" rather than "Coxeter–Dynkin diagrams" for clarity, as there is great potential for confusion, and for concision.
5058:
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24314:
23858:
23335:
19989:
3137:
1192:
These latter notations are mostly used for objects associated with exceptional diagrams – objects associated to the regular diagrams (A, B, C, D) instead have traditional names.
11064:
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Dynkin diagrams have been drawn in a number of ways; the convention followed here is common, with 180° angles on nodes of valence 2, 120° angles on the valence 3 node of D
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4780:, which are obtained from the Dynkin diagram by labeling some vertices black (filled), and connecting some other vertices in pairs by arrows, according to certain rules.
1858:
1834:
1080:
The central classification is that a simple Lie algebra has a root system, to which is associated an (oriented) Dynkin diagram; all three of these may be referred to as B
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8341:
8210:
8151:
8120:
6894:
6604:
6556:
6430:
6325:
6270:
6144:
6112:
5986:
5888:
5756:
5546:
4948:
2447:
2392:
2337:
2282:
1908:
1802:
1782:
1758:
1457:
29076:
29066:
28609:
27111:
27101:
27091:
27081:
26884:
26874:
26814:
26804:
26794:
26617:
26430:
26420:
26371:
26361:
25851:
25802:
24645:
24635:
24625:
24458:
24448:
24334:
24324:
24177:
24138:
24128:
24108:
24020:
24010:
23868:
23516:
23496:
23418:
23204:
22739:
22437:
22427:
22417:
22381:
22371:
22325:
22315:
22279:
22269:
22233:
22187:
22151:
20755:
20696:
20686:
20676:
20424:
20185:
20009:
19999:
19610:
19208:
18811:
18765:
18004:
17994:
17984:
17974:
17964:
17403:
17393:
17383:
17373:
17363:
17353:
17280:
17270:
17260:
17250:
17240:
17230:
16838:
16828:
16818:
16808:
16277:
16267:
16257:
16247:
16237:
16164:
16154:
16144:
16134:
16124:
15897:
15771:
15761:
15751:
15249:
15239:
15229:
15219:
15145:
15135:
15125:
15115:
14892:
14882:
14767:
14757:
14286:
14276:
14266:
14193:
14183:
14173:
13947:
13503:
13493:
13419:
13409:
12570:
12496:
10424:
10414:
10404:
10394:
10384:
10374:
9979:
9969:
9959:
9949:
9939:
9584:
9574:
9564:
9554:
9239:
9229:
9219:
8941:
8931:
8653:
6583:
6304:
5869:
5850:
3762:) that has a symmetry (satisfying one condition, below) can be quotiented by the symmetry, yielding a new, generally multiply laced diagram, with the process called
3034:
3002:
2477:
2422:
2367:
2312:
1939:
1928:
1404:
1047:
24987:
24959:
24931:
24903:
24875:
24847:
24819:
22714:
22685:
22657:
22629:
22601:
22573:
22545:
22517:
21849:
21820:
21792:
10858:
10805:
7792:
7697:
7602:
7507:
7412:
7317:
7222:
7127:
6984:
6826:
6681:
6520:
6402:
6234:
6076:
5957:
5819:
5631:
2504:
1888:
1566:
1385:
1354:
1232:
980:
910:
834:
761:
2596:
2530:
1930:
form a base. Since these two roots are at angle of 120 degrees (with a length ratio of 1), the Dynkin diagram consists of two vertices connected by a single edge:
2567:
3770:
otherwise the quotient diagram will have a loop, due to identifying two nodes but having an edge between them, and loops are not allowed in Dynkin diagrams.
2028:– any multiple edge (in Coxeter terms, labeled with "4" or above) has a direction (an arrow pointing from one node to the other); thus Dynkin diagrams have
29868:
Zuber, Jean-Bernard (1998). "Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding". In
Kashiwara, M.; Matsuo, A.; Saito, K.; Satake, I. (eds.).
2077:
and the underlying undirected graph will be called an "undirected Dynkin diagram". Then Dynkin diagrams and
Coxeter diagrams may be related as follows:
719:, which can be represented by a Dynkin diagram. One then classifies Dynkin diagrams according to the constraints they must satisfy, as described below.
2598:
which are all then isomorphic as there is a unique empty diagram and a unique 1-node diagram. The other isomorphisms of connected Dynkin diagrams are:
4376:
Some additional maps of diagrams have meaningful interpretations, as detailed below. However, not all maps of root systems arise as maps of diagrams.
1107:
may refer to the unoriented diagram (a special kind of Coxeter diagram), the Weyl group (a concrete reflection group), or the abstract Coxeter group.
3453:
452:
10600:
is the letter of the corresponding finite diagram, and the exponent depends on which series of affine diagrams they are in. The first of these,
3695:, where in both cases this refers to combining a diagram automorphism with a field automorphism. This also yields additional exotic Lie groups E
3675:
construction of Lie groups in terms of their Dynkin diagram does not yield some of the classical groups, namely the unitary groups and the non-
2054:
A further difference, which is only stylistic, is that Dynkin diagrams are conventionally drawn with double or triple edges between nodes (for
1812:. Thus, the edges for non-orthogonal roots may alternatively be described as one edge for a length ratio of 1, two edges for a length ratio of
500:
4847:
There are also conventions about numbering the nodes. The most common modern convention had developed by the 1960s and is illustrated in (
1237:
505:
3180:
495:
490:
29831:
310:
3742:
Affine Coxeter group foldings, with three naming conventions: first, the original extended set; the second used in the context of
1468:
574:
457:
5409:
1207:) of the Lie algebra – the index on the Dynkin diagram should not be confused with the index on the Lie algebra. For example,
30490:
30465:
30376:
30340:
30304:
30269:
30232:
30210:
30039:
30007:
29895:
4395:
diagram correspond to roots of equal length, and thus this map of root systems cannot be expressed as a map of the diagrams.
4038:
3406:
10656:
4543:
4106:
3603:
2118:
2047:
1809:
1805:
605:
4230:
4171:
5301:
3751:
1118:
associated objects are referred to by the same notation, though this cannot always be done regularly. Examples include:
30322:
2969:
of the Lie algebra, meaning that the outer automorphism group Out = Aut/Inn equals the group of diagram automorphisms.
1736:, assumed to be reduced and integral (or "crystallographic"). In many applications, this root system will arise from a
638:
with some edges doubled or tripled (drawn as a double or triple line). Dynkin diagrams arise in the classification of
30393:
Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; Cobbs, Leigh; Mcrae, Robert; Nandi, Debajyoti; Navqi, Yusra; Penta, Diego (March 2010),
28871:
18661:, use a "+" superscript for extended groups instead of a "~" and this allows higher extensions groups to be defined.
3600:
in the Dynkin diagram when taking diagram automorphisms. Thus in characteristic 2 there is an order 2 automorphism of
2192:
diagrams map to the same undirected diagram, with the resulting Coxeter diagram and Weyl group thus sometimes denoted
1310:
Dynkin diagrams, those with no multiple edges (A, D, E) classify many further mathematical objects; see discussion at
733:
They have the following correspondence for the Lie algebras associated to classical groups over the complex numbers:
29923:
29649:
2794:
2699:
2604:
467:
28361:
28246:
28121:
28026:
26286:
26183:
26070:
25982:
25551:
25448:
25365:
23881:
23803:
23700:
23607:
23529:
23134:
23051:
22978:
22080:
21995:
21925:
3348:, the diagram automorphism is switching the two nodes at the end of the Y, and corresponds to switching the two
3292:
30241:
1181:
1020:
880:
10493:
7883:
are interchangeable. They are usually labeled by their order of symmetry, with order-3 implied with no label.
5290:
if it has one negative eigenvalue and all other eigenvalues are positive. Moreover, multiple sources refer to
702:
30253:
7886:
Note: Many multi-edged groups can be obtained from a higher ranked simply-laced group by applying a suitable
3778:
the node at which they are incident – "the branch point maps to the non-homogeneous point". For example, in D
3249:
839:
462:
442:
10885:
Here are all of the Dynkin graphs for affine groups up to 10 nodes. Extended Dynkin graphs are given as the
5641:
3358:
2117:
generated by reflections, while Dynkin diagrams must satisfy an additional restriction corresponding to the
766:
5008:
4809:, who used them in two papers (1946, 1947) simplifying the classification of semisimple Lie algebras; see (
4719:. In this case the Dynkin diagrams exactly coincide with Coxeter diagrams, as there are no multiple edges.
3680:
985:
915:
635:
407:
315:
5282:(if it is not positive-definite but positive-semidefinite, i.e. all eigenvalues are non-negative), or of
3105:
3091:, the diagram automorphism is reversing the diagram, which is a line. The nodes of the diagram index the
1761:
30245:
11030:
10990:
10950:
10910:
4789:
4665:
3856:
does not yield a folding because the middle two nodes are connected by an edge, but in the same orbit.)
3799:
3517:
2004:
1992:
1204:
804:
712:
643:
447:
21724:
offer six series ending as very-extended groups. Other extended series not shown can be defined from A
17877:
17426:
17143:
17016:
16856:
16721:
16300:
16037:
15915:
15790:
15663:
15272:
15027:
14910:
14785:
14670:
14309:
14086:
13974:
13859:
13526:
13321:
13214:
12993:
12896:
12593:
12408:
12305:
12024:
11859:
11762:
11581:
11338:
11246:
11078:
6996:
6838:
3863:
3790:
points from the class of the 3 outer nodes (valence 1), to the class of the central node (valence 3).
2889:
2848:
2753:
2658:
1717:{\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}
1538:
of symmetries of the roots (reflections in the hyperplane orthogonal to the roots), isomorphic to the
1053:
For the exceptional groups, the names for the Lie algebra and the associated Dynkin diagram coincide.
4958:
4749:
2961:
In addition to isomorphism between different diagrams, some diagrams also have self-isomorphisms or "
1972:
1061:
Dynkin diagrams can be interpreted as classifying many distinct, related objects, and the notation "A
17738:
17600:
17302:
16592:
16464:
16186:
15544:
15426:
15168:
14561:
14215:
13760:
3992:
3950:
3910:
29878:
17913:
17462:
17179:
17052:
16892:
16757:
16336:
16073:
15951:
15826:
15699:
15308:
15063:
14946:
14821:
14706:
14453:
14345:
14122:
14010:
13895:
13662:
13562:
13442:
13357:
13250:
13119:
13029:
12932:
12807:
12719:
12629:
12519:
12444:
12341:
12218:
12140:
12060:
11960:
11895:
11798:
11687:
11617:
11512:
11444:
11374:
11282:
11176:
11114:
5275:
2540:
of diagrams, and corresponding exceptional isomorphisms of Lie algebras and associated Lie groups.
598:
82:
10603:
10558:
5160:
3142:
1991:
Dynkin diagrams must satisfy certain constraints; these are essentially those satisfied by finite
21509:
3589:
3349:
2537:
2251:
1839:
1815:
1098:
723:
651:
30295:
Dynkin, Evgeniĭ Borisovich; Alexander Adolph Yushkevich; Gary M. Seitz; A. L. Onishchik (2000),
21547:
5075:
29943:
29873:
8058:
7800:
4773:
3676:
1737:
950:
708:
639:
402:
365:
333:
320:
29972:
Stekolshchik, Rafael (2005). "Notes on Coxeter Transformations and the McKay correspondence".
29855:
8024:
7991:
7958:
7925:
5234:
5198:
5121:
30535:
30294:
30027:
29995:
29814:
21483:
10810:
10757:
10487:
10479:
8127:
8096:
7916:
6532:
6246:
6088:
4880:
3759:
2426:
2371:
2316:
2261:
1893:
1787:
1767:
1743:
1431:
673:
The term "Dynkin diagram" can be ambiguous. In some cases, Dynkin diagrams are assumed to be
434:
102:
3013:
2981:
2452:
2397:
2342:
2287:
1913:
1026:
177:
167:
157:
147:
30521:
Web tool for making publication-quality Dynkin diagrams with labels (written in JavaScript)
30500:
30439:
30419:
30279:
30131:
30074:
24965:
24937:
24909:
24881:
24853:
24825:
24797:
22692:
22663:
22635:
22607:
22579:
22551:
22523:
22495:
21827:
21798:
21770:
21606:
10836:
10783:
7736:
7641:
7546:
7451:
7356:
7261:
7166:
7071:
6928:
6770:
6617:
6464:
6338:
6178:
6020:
5901:
5769:
5569:
4650:
The simply laced Dynkin diagrams classify diverse mathematical objects; this is called the
3743:
3707:
3581:
2482:
2158:
1866:
1544:
1363:
1332:
1210:
1150:
958:
888:
812:
739:
62:
52:
29828:
21597:
3738:
2572:
2509:
8:
30431:
30086:
18654:
7911:
3539:) corresponds both to automorphisms of the Lie algebra and automorphisms of the diagram.
3352:
2546:
2121:, and that Coxeter diagrams are undirected, while Dynkin diagrams are (partly) directed.
2014:
Dynkin diagrams differ from Coxeter diagrams of finite groups in two important respects:
591:
579:
420:
250:
30423:
30394:
30143:
30135:
30078:
4616:
Finally, duality of diagrams corresponds to reversing the direction of arrows, if any: B
722:
Dropping the direction on the graph edges corresponds to replacing a root system by the
685:, in which case they correspond to Weyl groups. In this article, "Dynkin diagram" means
30443:
30409:
30382:
30354:
30147:
30121:
30090:
30064:
29973:
29901:
10471:
10461:
4716:
4651:
4641:
3665:
3569:
simple Lie algebras, may have automorphisms from exchanging components of the diagram.
3092:
2966:
1526:
1311:
351:
341:
21588:
1860:. (There are no edges when the roots are orthogonal, regardless of the length ratio.)
30486:
30461:
30386:
30372:
30336:
30318:
30300:
30283:
30265:
30228:
30221:
30206:
30035:
30003:
29891:
2238: ≥ 7), and correspondingly not every finite Coxeter group is a Weyl group.
1143:
415:
378:
30447:
30151:
30094:
29905:
29811:
Algebraic geometry and number theory: in honor of Vladimir Drinfeld's 50th Birthday,
530:
268:
30427:
30395:"Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits."
30364:
30257:
30186:
30139:
30082:
29883:
29487:
27219:
22689:
21824:
21687:
8124:
8093:
8055:
5295:
general, most negative determinant matrices are neither hyperbolic nor Lorentzian.
4817:
4399:
4305:
3730:
3592:
there are additional "diagram automorphisms" – roughly speaking, in characteristic
2930:
682:
550:
230:
222:
214:
206:
198:
131:
112:
72:
21678:
21669:
21660:
21651:
21642:
21633:
21624:
21615:
18668:
Dynkin diagrams (affine) are given "+" and represent one added node. (Same as "~")
5286:. The indefinite type often is further subdivided, for example a Coxeter group is
4415:). At the level of Lie algebras, these inclusions correspond to sub-Lie algebras.
4387:, either as the six long roots or the six short roots. However, the nodes in the G
30496:
30480:
30455:
30435:
30275:
30198:
29887:
29835:
29686:
Note that Stekloshchik uses an arrow convention opposite to that of this article.
29374:
18674:
Dynkin diagrams (hyperbolic) are given "^" or "++" and represent two added nodes.
10864:
7880:
4289:
3672:
3668:, which are of central importance in the classification of finite simple groups.
3521:
3056:
1539:
1415:
1094:
535:
288:
273:
44:
29839:
7746:
7651:
7556:
7461:
7366:
7271:
7176:
7081:
6938:
6780:
6627:
6474:
6348:
6188:
6030:
5911:
5779:
4391:
diagram correspond to one long root and one short root, while the nodes in the A
29644:
29274:
29188:
29092:
29026:
22397:
22341:
22300:
4777:
4728:
4646:
4321:
3559:
3532:
2258:
Dynkin diagrams are conventionally numbered so that the list is non-redundant:
2024:
674:
555:
278:
30520:
30368:
30261:
29960:
Why are the Dynkin diagrams E6, E7 and E8 always drawn the way they are drawn?
10739:
3580:
can be ignored, yielding an additional diagram automorphism and corresponding
3509:
is disconnected, and the automorphism corresponds to switching the two nodes.
2246:
1303:
which naturally acts on 9-dimensional space, but has rank 4 as a Lie algebra.
540:
30529:
30515:
30287:
30170:
30109:
29744:
28787:
28711:
28625:
28569:
22249:
22203:
22172:
21745:
21701:
5070:
4860:
4806:
4798:
4325:
3502:{\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}
2008:
1573:
1077:
such interpretations, depending on context; this ambiguity can be confusing.
631:
263:
92:
4953:
A multi-edged diagram corresponds to the nondiagonal Cartan matrix elements
4863:, as shown in this table of rank 2 Dynkin diagrams with their corresponding
7030:
6872:
6559:
4772:
semisimple Lie algebras. Real semisimple Lie algebras can be classified as
2962:
1123:
560:
545:
346:
328:
258:
28488:
13066:
7858:>4), the multiedge style is abandoned in favor of an explicit labeling
4715:
diagrams, and phenomena that such diagrams classify are referred to as an
3706:
The additional diagram automorphisms in positive characteristic yield the
681:
and semi-simple Lie algebras, while in other cases they are assumed to be
30317:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
30315:
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
22131:
22046:
21976:
13932:
13599:
13394:
13287:
12969:
12666:
12481:
12379:
12097:
11932:
11835:
11654:
11411:
11319:
10749:
4398:
Some inclusions of root systems can be expressed as one diagram being an
4292:– notably, one can generalize allowable quotients of Dynkin diagrams to H
3395:
the outer automorphism can be expressed as conjugation by a matrix in O(2
2143:
2114:
1733:
1424:
1173:
716:
678:
665:
657:
619:
386:
302:
26:
7876:
on the edge. These are usually not applied to finite and affine graphs.
4737:
1960:
30476:
30126:
30023:
29978:
27957:
27891:
27673:
10754:
The set of extended affine Dynkin diagrams, with added nodes in green (
3747:
3655:
2153:
2124:
The corresponding mathematical objects classified by the diagrams are:
1534:
1127:
727:
647:
623:
525:
391:
283:
28935:
4816:
Undirected graphs had been used earlier by Coxeter (1934) to classify
3596:
one is sometimes allowed to ignore the arrow on bonds of multiplicity
3572:
3542:
3330:
3073:
2113:
By this is meant that Coxeter diagrams of finite groups correspond to
30359:
30256:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
21749:
3661:
22:
4662:, as are the corresponding Lie algebra and Lie group. These are the
3703:, the latter only defined over fields with an order 3 automorphism.
2945:
29959:
29775:
28412:
28297:
28172:
28077:
21753:
18658:
17089:
15988:
15736:
15100:
14983:
14047:
3067:
2954:
1296:{\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}
30414:
30069:
4333:
707:
The fundamental interest in Dynkin diagrams is that they classify
21475:
4361:
4348:
3648:, while in characteristic 3 there is an order 2 automorphism of G
3558:
corresponds to reversing the diagram, and can be expressed using
3520:
is isomorphic to the two spin representations, and the resulting
3239:{\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}
2073:
graph. For precision, in this article "Dynkin diagram" will mean
1325:
482:
29858:, remark 5.4 for illustrations of these foldings and references.
4794:
4776:
of complex semisimple Lie algebras, and these are classified by
2174:
The down map is onto (by definition) but not one-to-one, as the
1808:
of root systems. The angles and length ratios between roots are
1134:. This is naturally defined, but not one-to-one – for example, A
3947:(if quotienting by the full group or a 3-cycle, in addition to
3289:
the outer automorphism can be expressed as negative transpose,
10869:"Twisted" affine forms are named with (2) or (3) superscripts.
30351:
Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence
10879:
nodes in the graph, i.e. the total number of nodes minus 1.)
10646:
4418:
The maximal subgraphs are as follows; subgraphs related by a
4308:. Notably, any simply laced Dynkin diagram can be folded to I
4288:
The notion of foldings can also be applied more generally to
1784:
as follows. Form a graph with one vertex for each element of
29870:
Topological Field Theory, Primitive Forms and Related Topics
2032:
data than the underlying Coxeter diagram (undirected graph).
1172:
An associated quadratic form or manifold – for example, the
730:, and thus undirected Dynkin diagrams classify Weyl groups.
696:
30516:
John Baez on the ubiquity of Dynkin diagrams in mathematics
21704:, defined by adding three nodes to the finite groups. The E
21480:
The 238 hyperbolic groups (compact and noncompact) of rank
4612:, in 2 non-conjugate ways (as a long root or a short root).
2058: = 4, 6), rather than an edge labeled with "
1995:, together with an additional crystallographic constraint.
1518:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}
34:
29872:. Progress in Mathematics. Vol. 160. pp. 28–30.
4379:
For example, there are two inclusions of root systems of A
3177:, and the diagram automorphism corresponds to the duality
30107:
5489:{\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}
18685:
Some example over-extended (hyperbolic) Dynkin diagrams
18040:
3689:, while the other orthogonal groups are constructed as D
4324:, which corresponds geometrically to projection to the
4095:{\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}
4032:
Similar foldings exist for affine diagrams, including:
3443:{\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}
1203:
does not equal the dimension of the defining module (a
30392:
30223:
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
30054:
10724:{\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}
5578:
4895:
4577:{\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}
4160:{\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}
3637:{\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}
2972:
The diagrams that have non-trivial automorphisms are A
28874:
28364:
28249:
28124:
28029:
26289:
26186:
26073:
25985:
25554:
25451:
25368:
24968:
24940:
24912:
24884:
24856:
24828:
24800:
23884:
23806:
23703:
23610:
23532:
23137:
23054:
22981:
22695:
22666:
22638:
22610:
22582:
22554:
22526:
22498:
22083:
21998:
21928:
21830:
21801:
21773:
21550:
21512:
21486:
18182:
17916:
17880:
17741:
17603:
17465:
17429:
17305:
17182:
17146:
17055:
17019:
16895:
16859:
16760:
16724:
16595:
16467:
16339:
16303:
16189:
16076:
16040:
15954:
15918:
15829:
15793:
15702:
15666:
15547:
15429:
15311:
15275:
15171:
15066:
15030:
14949:
14913:
14824:
14788:
14709:
14673:
14564:
14456:
14348:
14312:
14218:
14125:
14089:
14013:
13977:
13898:
13862:
13763:
13665:
13565:
13529:
13445:
13360:
13324:
13253:
13217:
13122:
13032:
12996:
12935:
12899:
12810:
12722:
12632:
12596:
12522:
12447:
12411:
12344:
12308:
12221:
12143:
12063:
12027:
11963:
11898:
11862:
11801:
11765:
11690:
11620:
11584:
11515:
11447:
11377:
11341:
11285:
11249:
11179:
11117:
11081:
11033:
10993:
10953:
10913:
10839:
10813:
10786:
10760:
10659:
10606:
10561:
10496:
8130:
8099:
8061:
8027:
7994:
7961:
7928:
7803:
7739:
7644:
7549:
7454:
7359:
7264:
7169:
7074:
6999:
6931:
6841:
6773:
6620:
6535:
6467:
6341:
6249:
6181:
6091:
6023:
5904:
5772:
5644:
5572:
5412:
5404:, and affine branches (with a zero determinant) have
5304:
5270:
The Cartan matrix determines whether the group is of
5237:
5201:
5163:
5124:
5078:
5011:
4961:
4883:
4668:
4632:
are self-dual, as are the simply-laced ADE diagrams.
4546:
4233:
4174:
4109:
4041:
3995:
3987:
in 3 different ways, if quotienting by an involution)
3953:
3913:
3866:
3802:
3606:
3456:
3409:
3361:
3295:
3252:
3183:
3145:
3108:
3016:
2984:
2892:
2851:
2797:
2756:
2702:
2661:
2607:
2575:
2549:
2512:
2485:
2455:
2429:
2400:
2374:
2345:
2319:
2290:
2264:
2046:
At the level of root systems this corresponds to the
1916:
1896:
1869:
1842:
1818:
1790:
1770:
1746:
1583:
1547:
1471:
1434:
1366:
1335:
1240:
1213:
1029:
988:
961:
918:
891:
842:
815:
769:
742:
30112:; West, Peter (2003). "The symmetry of M-theories".
30028:"4. A Classification of Generalized Cartan Matrices"
29746:
This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 119)
10898:
Connected affine Dynkin graphs up to (2 to 10 nodes)
10466:
There are extensions of Dynkin diagrams, namely the
4834:, and 90°/90°/180° angles on the valence 3 node of E
4304:). Geometrically this corresponds to projections of
4278:{\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}
4219:{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}
3656:
Construction of Lie groups via diagram automorphisms
3044:, there is a single non-trivial automorphism (Out =
30485:. Providence, R.I.: American Mathematical Society.
30173:(1947), "The structure of semi-simple algebras .",
29996:"48. Fundamental domain § Affine reflection groups"
18680:
Dynkin diagrams with 3 nodes added are given "+++".
18648:
5397:{\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}
5062:, and an arrow pointing towards nonunity elements.
1998:
30402:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
30220:
30057:Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical
28927:
28404:
28289:
28164:
28069:
26329:
26226:
26113:
26025:
25594:
25491:
25408:
24981:
24953:
24925:
24897:
24869:
24841:
24813:
23924:
23846:
23743:
23650:
23572:
23177:
23094:
23021:
22708:
22679:
22651:
22623:
22595:
22567:
22539:
22511:
22123:
22038:
21968:
21843:
21814:
21786:
21574:
21536:
21498:
17942:
17902:
17767:
17629:
17491:
17451:
17331:
17208:
17168:
17081:
17041:
16921:
16881:
16786:
16746:
16621:
16493:
16365:
16325:
16215:
16102:
16062:
15980:
15940:
15855:
15815:
15728:
15688:
15573:
15455:
15337:
15297:
15197:
15092:
15052:
14975:
14935:
14850:
14810:
14735:
14695:
14590:
14482:
14374:
14334:
14244:
14151:
14111:
14039:
13999:
13924:
13884:
13789:
13691:
13591:
13551:
13471:
13386:
13346:
13279:
13239:
13148:
13058:
13018:
12961:
12921:
12836:
12748:
12658:
12618:
12548:
12473:
12433:
12370:
12330:
12247:
12169:
12089:
12049:
11989:
11924:
11884:
11827:
11787:
11716:
11646:
11606:
11541:
11473:
11403:
11363:
11311:
11271:
11205:
11143:
11103:
11058:
11018:
10978:
10938:
10852:
10825:
10799:
10772:
10723:
10633:
10588:
10547:
8145:
8114:
8082:
8045:
8012:
7979:
7946:
7824:
7786:
7691:
7596:
7501:
7406:
7311:
7216:
7121:
7021:
6978:
6863:
6820:
6675:
6550:
6514:
6396:
6264:
6228:
6106:
6070:
5951:
5813:
5682:
5625:
5488:
5396:
5259:
5223:
5185:
5146:
5106:
5052:
4993:
4942:
4707:
4658:A Dynkin diagram with no multiple edges is called
4576:
4277:
4218:
4159:
4094:
4021:
3979:
3939:
3898:
3837:
3636:
3501:
3442:
3387:
3319:
3281:
3238:
3169:
3131:
3028:
2996:
2918:
2877:
2836:
2782:
2741:
2687:
2646:
2590:
2561:
2524:
2498:
2471:
2441:
2416:
2386:
2361:
2331:
2306:
2276:
1922:
1902:
1882:
1852:
1828:
1796:
1776:
1752:
1716:
1560:
1517:
1451:
1379:
1348:
1295:
1226:
1097:, and corresponds to the Weyl group, which is the
1041:
1011:
974:
941:
904:
871:
828:
795:
755:
2065:The term "Dynkin diagram" at times refers to the
1727:
1161:polytope", as its vertices are derived from the E
30527:
28928:{\displaystyle E_{9}=E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}}
5012:
453:Representation theory of semisimple Lie algebras
30482:Selected papers of E. B. Dynkin with commentary
3660:Diagram automorphisms in turn yield additional
1890:root system, shown at right, the roots labeled
30297:Selected papers of E.B. Dynkin with commentary
29838:, John Stembridge, 4pp., 79K, 20 August 2008,
21476:238 Hyperbolic groups (compact and noncompact)
4859:Dynkin diagrams are equivalent to generalized
2532:The families can however be defined for lower
30475:Dynkin, Eugene B. (2000). Yushkevich, A. A.;
29824:
29822:
3327:, which is how the dual representation acts.
715:. One classifies such Lie algebras via their
693:Dynkin diagrams will be explicitly so named.
599:
30348:
30240:
30034:. Cambridge University Press. pp. 53–.
29971:
29917:
29915:
29851:
29758:
2837:{\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}
2742:{\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}
703:Semisimple Lie algebra § Classification
29955:
29953:
29951:
6695:
5696:
3758:A (simply-laced) Dynkin diagram (finite or
3565:Disconnected diagrams, which correspond to
3051:, the cyclic group of order 2), while for D
2647:{\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}
30002:. Cambridge University Press. p. 96.
29819:
29776:Outer automorphisms of simple Lie Algebras
28405:{\displaystyle E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}}
28290:{\displaystyle D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}}
28165:{\displaystyle B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}}
28070:{\displaystyle A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}}
26330:{\displaystyle E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}}
26227:{\displaystyle D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}}
26114:{\displaystyle B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}}
26026:{\displaystyle A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}}
25595:{\displaystyle D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}}
25492:{\displaystyle B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}}
25409:{\displaystyle A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}}
23925:{\displaystyle F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}}
23847:{\displaystyle D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}}
23744:{\displaystyle C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}}
23651:{\displaystyle B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}}
23573:{\displaystyle A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}}
23178:{\displaystyle C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}}
23095:{\displaystyle B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}}
23022:{\displaystyle A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}}
22124:{\displaystyle G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}}
22039:{\displaystyle C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}}
21969:{\displaystyle A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}}
5003:, with the number of edges drawn equal to
3320:{\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}
3066:, order 6) – this phenomenon is known as "
2011:, and the terminology is often conflated.
1056:
606:
592:
491:Particle physics and representation theory
33:
30413:
30358:
30218:
30125:
30068:
29993:
29977:
29921:
29912:
29877:
29786:
29771:
29769:
29767:
18020:
17009:
15908:
14903:
13967:
13207:
12298:
11755:
11239:
11071:
10455:
7897:
5278:, i.e. all eigenvalues are positive), of
4854:
4339:
2543:Trivially, one can start the families at
1577:, presented by generators and relations,
697:Classification of semisimple Lie algebras
30197:
30185:
29948:
29935:
29933:
29798:
10548:{\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}
4848:
4793:
4645:
3737:
3729:
3571:
3541:
3329:
3072:
2944:
2245:
1836:, and three edges for a length ratio of
1324:
1126:generated by the root system, as in the
664:
656:
27187:Some rank 7 and higher extended series
7903:Finite Dynkin graphs with 1 to 9 nodes
4874:For rank 2, the Cartan matrix form is:
4334:Math Overflow: Folding by Automorphisms
3282:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}
2965:". Diagram automorphisms correspond to
2003:Dynkin diagrams are closely related to
872:{\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}
458:Representations of classical Lie groups
30528:
30474:
30353:, Springer Monographs in Mathematics,
30169:
29764:
5683:{\displaystyle (4-a_{21}\cdot a_{12})}
4810:
3388:{\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}
2949:The most symmetric Dynkin diagram is D
796:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}
30330:
30250:Representation theory. A first course
29939:
29930:
29867:
18041:Hyperbolic and higher Dynkin diagrams
5053:{\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}
4790:Semisimple Lie algebra § History
3793:The foldings of finite diagrams are:
3774:incident edges, and the arrow points
1413:, which may also be interpreted as a
1149:An associated polytope – for example
1101:associated to the root system. Thus B
1093:oriented Dynkin diagram is a form of
1012:{\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}
942:{\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}
30312:
30108:Englert, François; Houart, Laurent;
30000:Reflection Groups and Coxeter Groups
29924:"Transformations of Dynkin Diagrams"
29742:
29730:
29718:
29706:
21744:. The determinant of the associated
10731:. The (2) and (3) series are called
10470:; these classify Cartan matrices of
4732:
3450:so their automorphisms agree, while
2119:crystallographic restriction theorem
2048:crystallographic restriction theorem
1955:
311:Lie group–Lie algebra correspondence
16:Pictorial representation of symmetry
30453:
30022:
29815:p. 47, section 3.6: Cluster folding
10649:, and also sometimes marked with a
10483:
10475:
3576:In characteristic 2, the arrow on F
3368:
3365:
3259:
3256:
3132:{\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}
1764:. We then construct a diagram from
1504:
1501:
1478:
1475:
1279:
1276:
1247:
1244:
995:
992:
925:
922:
849:
846:
776:
773:
677:, in which case they correspond to
13:
30479:, G. M.; Onishchik, A. L. (eds.).
18183:Compact hyperbolic Dynkin diagrams
10490:). Affine diagrams are denoted as
4722:
4564:
4549:
4419:
3624:
3609:
3489:
3474:
3459:
3427:
3412:
3399:) with determinant −1. When
3311:
2107:Coxeter diagrams of finite groups
1791:
1771:
1747:
14:
30547:
30509:
30457:Infinite-Dimensional Lie Algebras
30333:Lie groups beyond an introduction
30032:Infinite-Dimensional Lie Algebras
29922:Armstrong, John (March 5, 2010).
29840:Other Articles by John Stembridge
29657:(Classification of root systems)
29655:Klassifikation von Wurzelsystemen
11059:{\displaystyle {\tilde {D}}_{4+}}
11019:{\displaystyle {\tilde {C}}_{2+}}
10979:{\displaystyle {\tilde {B}}_{3+}}
10939:{\displaystyle {\tilde {A}}_{1+}}
7745:
7650:
7555:
7460:
7365:
7270:
7175:
7080:
6937:
6779:
6626:
6473:
6347:
6187:
6029:
5910:
5778:
4708:{\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}
3838:{\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}
3040:. In all these cases except for D
1307:
669:Affine (extended) Dynkin diagrams
29650:List of irreducible Tits indices
29580:
29575:
29570:
29565:
29560:
29555:
29550:
29545:
29540:
29535:
29530:
29525:
29520:
29515:
29510:
29505:
29500:
29495:
29490:
29457:
29452:
29447:
29442:
29437:
29432:
29427:
29422:
29417:
29412:
29407:
29402:
29397:
29392:
29387:
29382:
29377:
29357:
29352:
29347:
29342:
29337:
29332:
29327:
29322:
29317:
29312:
29307:
29302:
29297:
29292:
29287:
29282:
29277:
29261:
29256:
29251:
29246:
29241:
29236:
29231:
29226:
29221:
29216:
29211:
29206:
29201:
29196:
29191:
29175:
29170:
29165:
29160:
29155:
29150:
29145:
29140:
29135:
29130:
29125:
29120:
29115:
29110:
29105:
29100:
29095:
29079:
29074:
29069:
29064:
29059:
29054:
29049:
29044:
29039:
29034:
29029:
29008:
29003:
28998:
28993:
28988:
28983:
28978:
28973:
28968:
28963:
28958:
28953:
28948:
28943:
28938:
28860:
28855:
28850:
28845:
28840:
28835:
28830:
28825:
28820:
28815:
28810:
28805:
28800:
28795:
28790:
28774:
28769:
28764:
28759:
28754:
28749:
28744:
28739:
28734:
28729:
28724:
28719:
28714:
28698:
28693:
28688:
28683:
28678:
28673:
28668:
28663:
28658:
28653:
28648:
28643:
28638:
28633:
28628:
28612:
28607:
28602:
28597:
28592:
28587:
28582:
28577:
28572:
28551:
28546:
28541:
28536:
28531:
28526:
28521:
28516:
28511:
28506:
28501:
28496:
28491:
28475:
28470:
28465:
28460:
28455:
28450:
28445:
28440:
28435:
28430:
28425:
28420:
28415:
28350:
28345:
28340:
28335:
28330:
28325:
28320:
28315:
28310:
28305:
28300:
28235:
28230:
28225:
28220:
28215:
28210:
28205:
28200:
28195:
28190:
28185:
28180:
28175:
28110:
28105:
28100:
28095:
28090:
28085:
28080:
28010:
28005:
28000:
27995:
27990:
27985:
27980:
27975:
27970:
27965:
27960:
27944:
27939:
27934:
27929:
27924:
27919:
27914:
27909:
27904:
27899:
27894:
27879:
27874:
27869:
27864:
27859:
27854:
27849:
27844:
27839:
27825:
27820:
27815:
27810:
27805:
27800:
27795:
27790:
27785:
27780:
27775:
27761:
27756:
27751:
27746:
27741:
27736:
27716:
27711:
27706:
27701:
27696:
27691:
27686:
27681:
27676:
27661:
27656:
27651:
27646:
27641:
27636:
27631:
27626:
27621:
27607:
27602:
27597:
27592:
27587:
27582:
27577:
27572:
27567:
27549:
27544:
27539:
27534:
27529:
27524:
27519:
27514:
27509:
27504:
27499:
27474:
27469:
27464:
27459:
27454:
27449:
27444:
27426:
27421:
27416:
27411:
27406:
27401:
27396:
27371:
27366:
27361:
27356:
27351:
27333:
27328:
27323:
27318:
27313:
27308:
27303:
27274:
27269:
27264:
27259:
27254:
27114:
27109:
27104:
27099:
27094:
27089:
27084:
27079:
27074:
27069:
27064:
27059:
27045:
27040:
27035:
27030:
27025:
27020:
27015:
27010:
27005:
27000:
26995:
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26985:
26971:
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26936:
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26916:
26911:
26906:
26901:
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26882:
26877:
26872:
26867:
26862:
26857:
26852:
26847:
26842:
26817:
26812:
26807:
26802:
26797:
26792:
26787:
26782:
26777:
26772:
26758:
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26605:
26600:
26595:
26590:
26585:
26571:
26566:
26561:
26556:
26551:
26546:
26541:
26536:
26531:
26526:
26521:
26507:
26502:
26497:
26492:
26487:
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3055:, the automorphism group is the
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1999:Connection with Coxeter diagrams
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30460:. Cambridge University Press.
30432:10.1088/1751-8113/43/15/155209
30114:Journal of High Energy Physics
30087:10.1088/1751-8113/43/15/155209
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10507:
7844:Note: For hyperbolic groups, (
7007:
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5445:
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4805:Dynkin diagrams are named for
4343:
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3940:{\displaystyle D_{4}\to G_{2}}
3924:
3883:
3822:
3734:Finite Coxeter group foldings.
3683:construct the unitary groups A
3355:. Realized as the Lie algebra
3299:
3204:
2050:, as the roots form a lattice.
1951:
1728:Construction from root systems
1691:
1667:
1655:
1641:
1629:
1615:
1317:
1021:special orthogonal Lie algebra
881:special orthogonal Lie algebra
506:Galilean group representations
501:Poincaré group representations
1:
30254:Graduate Texts in Mathematics
30162:
30144:10.1088/1126-6708/2003/09/020
29743:Baez, John (April 13, 1998),
24787:Rank 5 and 6 extended series
22485:Rank 3 and 4 extended series
17943:{\displaystyle {D}_{9}^{(1)}}
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11206:{\displaystyle {A}_{2}^{(2)}}
11144:{\displaystyle {A}_{1}^{(1)}}
7879:Note: For undirected groups,
2254:of connected Dynkin diagrams.
496:Lorentz group representations
463:Theorem of the highest weight
30335:(2nd ed.), Birkhäuser,
30219:Humphreys, James E. (1972),
29994:Humphreys, James E. (1990).
29888:10.1007/978-1-4612-0705-4_16
29693:
29589:
29466:
29017:
28560:
28019:
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27482:
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18688:
10875:always counts the number of
10746:
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10589:{\displaystyle X_{l}^{(3)},}
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8156:
7906:
7887:
7709:
7614:
7519:
7424:
7329:
7234:
7139:
7044:
6878:
6703:
6565:
6414:
6286:
6128:
5970:
5832:
5704:
5500:
5186:{\displaystyle a_{ij}\leq 0}
4345:
3246:Realized as the Lie algebra
3170:{\displaystyle i=1,\dots ,n}
2039:Crystallographic restriction
1165:root system and it has the E
1157:may be referred to as "the E
726:it generates, the so-called
7:
29813:edited by Victor Ginzburg,
29638:
21537:{\displaystyle H_{i}^{(n)}}
10482:), specifically listed on (
10474:. These are classified in (
3752:twisted affine Lie algebras
3554:The automorphism group of E
2126:
2104:undirected Dynkin diagrams
2079:
1853:{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1829:{\displaystyle {\sqrt {2}}}
1073:, ..." is used to refer to
713:algebraically closed fields
646:, in the classification of
644:algebraically closed fields
10:
30552:
30331:Knapp, Anthony W. (2002),
30191:Groupes et algebres de Lie
21752:dimension, and is used in
21575:{\displaystyle i=1,2,3...}
18202:
18188:Compact hyperbolic graphs
10459:
5157:For non-diagonal entries,
5107:{\displaystyle A=(a_{ij})}
4787:
4783:
4726:
4639:
3725:
3518:fundamental representation
1205:fundamental representation
805:special linear Lie algebra
700:
448:Lie algebra representation
30369:10.1007/978-3-540-77399-3
30349:Stekolshchik, R. (2008),
30262:10.1007/978-1-4612-0979-9
29721:Propositions 8.6 and 8.13
24762:
24748:
21700:Very-extended groups are
19089:
18723:
18717:
18702:
18692:
18192:
11232:
11170:
8083:{\displaystyle {E}_{3-8}}
7922:
7915:
7910:
7907:
7842:
7825:{\displaystyle 4-ab<0}
7712:
7617:
7522:
7427:
7332:
7237:
7142:
7047:
7040:
7037:
6699:
6694:
5700:
5695:
5522:
5517:
5514:
5511:
5506:
5067:generalized Cartan matrix
4768:Dynkin diagrams classify
4540:, two of these coincide:
4422:are labeled "conjugate":
1428:with 2 simple roots at a
30203:Exceptional Lie Algebras
30189:(1968), "Chapters 4–6",
29829:Folding by Automorphisms
29759:Fulton & Harris 1991
29664:
10740:Dynkin diagram generator
10643:extended Dynkin diagrams
8046:{\displaystyle {D}_{2+}}
8013:{\displaystyle {C}_{2+}}
7980:{\displaystyle {B}_{2+}}
7947:{\displaystyle {A}_{1+}}
5276:positive-definite matrix
5260:{\displaystyle a_{ji}=0}
5224:{\displaystyle a_{ij}=0}
5147:{\displaystyle a_{ii}=2}
4336:for further discussion.
3746:graphs; and the last by
2538:exceptional isomorphisms
2252:exceptional isomorphisms
1395:with 2 connected nodes,
1360:For example, the symbol
652:finite reflection groups
443:Lie group representation
30454:Kac, Victor G. (1994).
30313:Hall, Brian C. (2015),
21760:Rank 2 extended series
21499:{\displaystyle n\geq 3}
18653:Some notations used in
10826:{\displaystyle n\geq 4}
10773:{\displaystyle n\geq 3}
10733:twisted affine diagrams
8146:{\displaystyle {F}_{4}}
8115:{\displaystyle {G}_{2}}
6551:{\displaystyle {D}_{4}}
6265:{\displaystyle {A}_{3}}
6107:{\displaystyle {A}_{3}}
5502:Rank 2 Dynkin diagrams
4943:{\displaystyle A=\left}
3677:split orthogonal groups
3590:positive characteristic
3531:, or alternatively the
2442:{\displaystyle n\geq 4}
2387:{\displaystyle n\geq 3}
2332:{\displaystyle n\geq 2}
2277:{\displaystyle n\geq 1}
2069:graph, at times to the
1993:Coxeter–Dynkin diagrams
1903:{\displaystyle \alpha }
1797:{\displaystyle \Delta }
1777:{\displaystyle \Delta }
1753:{\displaystyle \Delta }
1452:{\displaystyle 2\pi /3}
1099:finite reflection group
1057:Related classifications
1019:, the even-dimensional
724:finite reflection group
709:semisimple Lie algebras
640:semisimple Lie algebras
468:Borel–Weil–Bott theorem
28929:
28406:
28291:
28166:
28071:
26331:
26228:
26115:
26027:
25596:
25493:
25410:
24983:
24955:
24927:
24899:
24871:
24843:
24815:
23926:
23848:
23745:
23652:
23574:
23179:
23096:
23023:
22710:
22681:
22653:
22625:
22597:
22569:
22541:
22513:
22125:
22040:
21970:
21845:
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21788:
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21538:
21500:
17944:
17904:
17769:
17631:
17493:
17453:
17333:
17210:
17170:
17083:
17043:
16923:
16883:
16788:
16748:
16623:
16495:
16367:
16327:
16217:
16104:
16064:
15982:
15942:
15857:
15817:
15730:
15690:
15575:
15457:
15339:
15299:
15199:
15094:
15054:
14977:
14937:
14852:
14812:
14737:
14697:
14592:
14484:
14376:
14336:
14246:
14153:
14113:
14041:
14001:
13926:
13886:
13791:
13693:
13593:
13553:
13473:
13388:
13348:
13281:
13241:
13150:
13060:
13020:
12963:
12923:
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12750:
12660:
12620:
12550:
12475:
12435:
12372:
12332:
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12171:
12091:
12051:
11991:
11926:
11886:
11829:
11789:
11718:
11648:
11608:
11543:
11475:
11405:
11365:
11313:
11273:
11207:
11145:
11105:
11060:
11020:
10980:
10940:
10854:
10827:
10801:
10774:
10725:
10635:
10590:
10549:
10468:affine Dynkin diagrams
10456:Affine Dynkin diagrams
8147:
8116:
8084:
8047:
8014:
7981:
7948:
7917:Exceptional Lie groups
7898:Finite Dynkin diagrams
7826:
7788:
7693:
7598:
7503:
7408:
7313:
7218:
7123:
7023:
6980:
6865:
6822:
6677:
6552:
6516:
6398:
6266:
6230:
6108:
6072:
5953:
5815:
5684:
5627:
5490:
5398:
5261:
5225:
5187:
5148:
5118:For diagonal entries,
5108:
5054:
4995:
4944:
4855:Rank 2 Dynkin diagrams
4802:
4709:
4655:
4578:
4439:, in 2 conjugate ways.
4340:Other maps of diagrams
4279:
4220:
4161:
4096:
4023:
3981:
3941:
3900:
3849:(The automorphism of A
3839:
3755:
3735:
3638:
3585:
3551:
3503:
3444:
3389:
3339:
3321:
3283:
3240:
3171:
3133:
3082:
3030:
3029:{\displaystyle n>1}
2998:
2997:{\displaystyle n>1}
2958:
2953:, which gives rise to
2920:
2879:
2838:
2784:
2743:
2689:
2648:
2592:
2563:
2526:
2500:
2473:
2472:{\displaystyle D_{n},}
2443:
2418:
2417:{\displaystyle C_{n},}
2388:
2363:
2362:{\displaystyle B_{n},}
2333:
2308:
2307:{\displaystyle A_{n},}
2278:
2255:
1924:
1923:{\displaystyle \beta }
1904:
1884:
1854:
1830:
1798:
1778:
1754:
1738:semisimple Lie algebra
1718:
1562:
1519:
1453:
1381:
1357:
1350:
1297:
1228:
1043:
1042:{\displaystyle n>1}
1013:
976:
951:symplectic Lie algebra
943:
906:
879:, the odd-dimensional
873:
830:
797:
757:
670:
662:
661:Finite Dynkin diagrams
366:Semisimple Lie algebra
321:Adjoint representation
30177:, N.S. (in Russian),
28930:
28407:
28292:
28167:
28072:
26332:
26229:
26116:
26028:
25597:
25494:
25411:
24984:
24982:{\displaystyle E_{6}}
24956:
24954:{\displaystyle D_{6}}
24928:
24926:{\displaystyle B_{6}}
24900:
24898:{\displaystyle A_{6}}
24872:
24870:{\displaystyle D_{5}}
24844:
24842:{\displaystyle B_{5}}
24816:
24814:{\displaystyle A_{5}}
23927:
23849:
23746:
23653:
23575:
23180:
23097:
23024:
22711:
22709:{\displaystyle F_{4}}
22682:
22680:{\displaystyle D_{4}}
22654:
22652:{\displaystyle C_{4}}
22626:
22624:{\displaystyle B_{4}}
22598:
22596:{\displaystyle A_{4}}
22570:
22568:{\displaystyle C_{3}}
22542:
22540:{\displaystyle B_{3}}
22514:
22512:{\displaystyle A_{3}}
22126:
22041:
21971:
21846:
21844:{\displaystyle G_{2}}
21817:
21815:{\displaystyle C_{2}}
21789:
21787:{\displaystyle A_{2}}
21577:
21539:
21501:
17945:
17905:
17770:
17632:
17494:
17454:
17334:
17211:
17171:
17084:
17044:
16924:
16884:
16789:
16749:
16624:
16496:
16368:
16328:
16218:
16105:
16065:
15983:
15943:
15858:
15818:
15731:
15691:
15576:
15458:
15340:
15300:
15200:
15095:
15055:
14978:
14938:
14853:
14813:
14738:
14698:
14593:
14485:
14377:
14337:
14247:
14154:
14114:
14042:
14002:
13927:
13887:
13792:
13694:
13594:
13554:
13474:
13389:
13349:
13282:
13242:
13151:
13061:
13021:
12964:
12924:
12839:
12751:
12661:
12621:
12551:
12476:
12436:
12373:
12333:
12250:
12172:
12092:
12052:
11992:
11927:
11887:
11830:
11790:
11719:
11649:
11609:
11544:
11476:
11406:
11366:
11314:
11274:
11208:
11146:
11106:
11061:
11021:
10981:
10941:
10855:
10853:{\displaystyle D_{n}}
10828:
10802:
10800:{\displaystyle B_{n}}
10775:
10726:
10636:
10591:
10550:
10460:Further information:
8148:
8117:
8085:
8048:
8015:
7982:
7949:
7827:
7789:
7787:{\displaystyle \left}
7694:
7692:{\displaystyle \left}
7599:
7597:{\displaystyle \left}
7504:
7502:{\displaystyle \left}
7409:
7407:{\displaystyle \left}
7314:
7312:{\displaystyle \left}
7219:
7217:{\displaystyle \left}
7124:
7122:{\displaystyle \left}
7024:
6981:
6979:{\displaystyle \left}
6866:
6823:
6821:{\displaystyle \left}
6678:
6676:{\displaystyle \left}
6553:
6517:
6515:{\displaystyle \left}
6399:
6397:{\displaystyle \left}
6267:
6231:
6229:{\displaystyle \left}
6109:
6073:
6071:{\displaystyle \left}
5954:
5952:{\displaystyle \left}
5816:
5814:{\displaystyle \left}
5685:
5628:
5626:{\displaystyle \left}
5491:
5399:
5298:Finite branches have
5262:
5226:
5188:
5149:
5109:
5055:
4996:
4945:
4797:
4710:
4649:
4579:
4499:(2 conjugate ways), D
4280:
4221:
4162:
4097:
4024:
3982:
3942:
3901:
3840:
3741:
3733:
3639:
3575:
3545:
3504:
3445:
3390:
3333:
3322:
3284:
3241:
3172:
3134:
3076:
3031:
2999:
2948:
2921:
2880:
2839:
2785:
2744:
2690:
2649:
2593:
2564:
2527:
2501:
2499:{\displaystyle E_{n}}
2474:
2444:
2419:
2389:
2364:
2334:
2309:
2279:
2249:
2159:finite Coxeter groups
1925:
1905:
1885:
1883:{\displaystyle A_{2}}
1855:
1831:
1799:
1779:
1762:positive simple roots
1755:
1719:
1563:
1561:{\displaystyle S_{3}}
1520:
1454:
1382:
1380:{\displaystyle A_{2}}
1351:
1349:{\displaystyle A_{2}}
1328:
1298:
1229:
1227:{\displaystyle B_{4}}
1044:
1014:
977:
975:{\displaystyle D_{n}}
944:
907:
905:{\displaystyle C_{n}}
874:
831:
829:{\displaystyle B_{n}}
798:
758:
756:{\displaystyle A_{n}}
701:Further information:
668:
660:
435:Representation theory
28872:
28362:
28247:
28122:
28027:
26287:
26184:
26071:
25983:
25552:
25449:
25366:
24966:
24938:
24910:
24882:
24854:
24826:
24798:
23882:
23804:
23701:
23608:
23530:
23135:
23052:
22979:
22693:
22664:
22636:
22608:
22580:
22552:
22524:
22496:
22081:
21996:
21926:
21828:
21799:
21771:
21548:
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