5053:
5011:
5006:
4986:
4996:
4976:
4966:
5073:
5063:
5043:
5022:
51:
is associated a crystallographic point group by "forgetting" the translational components of the symmetry operations. That is, by turning screw rotations into rotations, glide reflections into reflections and moving all symmetry elements into the origin. Each crystallographic point group defines the
39:
it may only contain one-, two-, three-, four- and sixfold rotations or rotoinversions. This reduces the number of crystallographic point groups to 32 (from an infinity of general point groups). These 32 groups are one-and-the-same as the 32 types of morphological (external) crystalline symmetries
4747:
Convert all symmetry elements with translational components into their respective symmetry elements without translation symmetry. (Glide planes are converted into simple mirror planes; screw axes are converted into simple axes of
2825:
2031:
1540:
2389:
1952:
4912:
3217:
3186:
2970:
2546:
2347:
1745:
1321:
3262:
3138:
3017:
2864:
2753:
2184:
2070:
1697:
1579:
1164:
4523:
4660:
4578:
4461:
4402:
4292:
4232:
4178:
2687:
2296:
1886:
1468:
4077:
4020:
3961:
3879:
3788:
3692:
3608:
3551:
3458:
3395:
3073:
2925:
2633:
2579:
2498:
2242:
1832:
1778:
1413:
1354:
2440:
2126:
1639:
1269:
1221:
1106:
4892:
59:
The point group of a crystal determines, among other things, the directional variation of physical properties that arise from its structure, including
3300:, 2, and m contain different geometric symmetry operations, (inversion, rotation, and reflection, respectively) but all share the structure of the
4919:
79:
The point groups are named according to their component symmetries. There are several standard notations used by crystallographers,
2777:
1983:
1492:
120:
notation, point groups are denoted by a letter symbol with a subscript. The symbols used in crystallography mean the following:
3316:, but not all groups of the same order are isomorphic. The point groups which are isomorphic are shown in the following table:
309:
36:
4888:
Names and symbols of the 32 crystal classes in
International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 10.1, p. 794
4887:
4804:
4780:
111:
28:
3296:
Many of the crystallographic point groups share the same internal structure. For example, the point groups
782:
776:
4882:
4981:
2359:
1922:
1376:
946:
4991:
4971:
4883:
Point-group symbols in
International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 12.1, pp. 818-820
4040:
3842:
3291:
3193:
3162:
2946:
2522:
2323:
1721:
1608:
1297:
1190:
970:
910:
117:
3230:
3106:
2985:
5104:
5099:
5001:
4960:
4905:
4728:
3322:
2092:
1075:
1039:
997:
842:
2834:
2723:
2160:
2040:
1673:
1549:
1140:
4734:
4496:
4633:
4551:
4434:
4375:
4265:
4205:
4151:
2663:
2272:
1862:
1444:
4050:
3993:
3934:
3852:
3761:
3665:
3581:
3524:
3431:
3368:
5016:
4838:
3337:
3332:
3327:
3313:
3047:
2899:
2886:
2609:
2555:
2474:
2218:
1808:
1754:
1389:
1330:
1047:
806:
105:
8:
5048:
2422:
2108:
1621:
1251:
1203:
1088:
41:
4842:
4862:
4765:
5094:
5068:
4866:
4854:
4850:
4752:
4712:
4195:
3309:
1052:
735:
264:
192:
4846:
3647:
1057:
153:
31:
whose symmetry operations are compatible with a three dimensional crystallographic
5038:
4939:
4741:
4720:
4541:
32:
20:
5058:
4928:
4808:
4785:
4692:
4255:
1034:
205:
92:
68:
60:
4735:
Deriving the crystallographic point group (crystal class) from the space group
5088:
4858:
3358:
64:
4668:
3751:
3571:
3514:
3421:
3301:
131:
80:
4775:
4770:
786:
253:
48:
789:
also serves to describe crystallographic point groups. Group names are
290:
84:
170:
with the addition of n mirror planes parallel to the axis of rotation.
152:
with the addition of a mirror (reflection) plane perpendicular to the
5052:
5010:
738:
with n=8 and 12 respectively. The 27 point groups in the table plus
293:) indicates that the group has the symmetry of an octahedron, with (
4897:
1023:
5005:
4985:
184:
256:) indicates that the group has the symmetry of a tetrahedron.
4995:
4975:
2820:{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
2026:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
1535:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
4965:
5072:
5062:
5042:
5021:
3198:
3167:
2951:
2806:
2794:
2782:
2527:
2328:
2012:
2000:
1988:
1726:
1521:
1509:
1497:
1302:
223:
has, in addition, a mirror plane perpendicular to the
4636:
4554:
4499:
4437:
4378:
4268:
4208:
4154:
4053:
3996:
3937:
3855:
3764:
3668:
3584:
3527:
3434:
3371:
3233:
3196:
3165:
3109:
3050:
2988:
2949:
2902:
2837:
2780:
2726:
2666:
2612:
2558:
2525:
2477:
2425:
2362:
2326:
2275:
2221:
2163:
2111:
2043:
1986:
1925:
1865:
1811:
1757:
1724:
1676:
1624:
1552:
1495:
1447:
1392:
1333:
1300:
1254:
1206:
1143:
1091:
304:) improper operations (those that change handedness).
90:
For the correspondence of the two systems below, see
4654:
4572:
4517:
4455:
4396:
4286:
4226:
4172:
4071:
4014:
3955:
3873:
3782:
3686:
3602:
3545:
3452:
3389:
3256:
3211:
3180:
3132:
3067:
3011:
2964:
2919:
2858:
2819:
2747:
2681:
2627:
2573:
2540:
2492:
2434:
2383:
2341:
2290:
2236:
2178:
2120:
2064:
2025:
1946:
1880:
1826:
1772:
1739:
1691:
1633:
1573:
1534:
1462:
1407:
1348:
1315:
1263:
1215:
1158:
1100:
316:= 1, 2, 3, 4, or 6 in 2- or 3-dimensional space.
44:from a consideration of observed crystal forms.
5086:
4829:Novak, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism".
208:, or two-sided) indicates that the group has an
1024:The correspondence between different notations
4913:
767:constitute 32 crystallographic point groups.
734:are actually forbidden because they contain
770:
271:excludes improper rotation operations, and
47:In the classification of crystals, to each
4920:
4906:
67:, or electro-optical features such as the
4755:axes, and mirror planes remain unchanged.
216:twofold axes perpendicular to that axis.
3292:Crystal structure § Crystal systems
99:
5087:
4901:
4828:
4727:). Here the symbol " Ă " indicates a
2885:
1607:
1375:
1189:
1074:
310:crystallographic restriction theorem
234:has, in addition to the elements of
4927:
4893:Pictorial overview of the 32 groups
2384:{\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}
1947:{\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}
13:
282:with the addition of an inversion.
134:) indicates that the group has an
16:Classification system for crystals
14:
5116:
4876:
4805:"(International Tables) Abstract"
42:Johann Friedrich Christian Hessel
5071:
5061:
5051:
5041:
5020:
5009:
5004:
4994:
4984:
4974:
4964:
4781:Point groups in three dimensions
241:, mirror planes parallel to the
112:Point groups in three dimensions
3285:
3212:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
3181:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}
2965:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
2541:{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}
2342:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
1740:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}
1316:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
4837:(4). IOP Publishing: 151â153.
4822:
4797:
3257:{\displaystyle {\tilde {6}}/4}
3240:
3133:{\displaystyle 3/{\tilde {4}}}
3124:
3012:{\displaystyle {\tilde {6}}/2}
2995:
2369:
2170:
1932:
1683:
1150:
187:) denotes a group with only a
1:
4791:
29:three dimensional point group
4945:Crystallographic point group
4601:
4582:
4527:
4465:
4406:
4347:
4328:
4312:
4296:
4236:
4182:
4123:
4097:
4081:
4024:
3965:
3899:
3883:
3826:
3808:
3792:
3729:
3713:
3696:
3630:
3612:
3555:
3498:
3478:
3462:
3399:
3342:
3158:
3090:
3037:
2942:
2884:
2859:{\displaystyle m\cdot 6:m\ }
2773:
2748:{\displaystyle m\cdot 3:m\ }
2707:
2653:
2599:
2518:
2460:
2409:
2316:
2262:
2208:
2179:{\displaystyle {\tilde {6}}}
2146:
2090:
2065:{\displaystyle m\cdot 4:m\ }
1979:
1906:
1852:
1798:
1717:
1692:{\displaystyle {\tilde {4}}}
1659:
1606:
1574:{\displaystyle m\cdot 2:m\ }
1488:
1434:
1374:
1293:
1241:
1188:
1159:{\displaystyle {\tilde {2}}}
1126:
1073:
1065:
37:crystallographic restriction
25:crystallographic point group
7:
4831:European Journal of Physics
4759:
4518:{\displaystyle G_{24}^{10}}
781:An abbreviated form of the
74:
10:
5121:
4851:10.1088/0143-0807/16/4/001
4655:{\displaystyle G_{48}^{7}}
4573:{\displaystyle G_{24}^{7}}
4456:{\displaystyle G_{24}^{5}}
4397:{\displaystyle G_{16}^{9}}
4287:{\displaystyle G_{12}^{3}}
4227:{\displaystyle G_{12}^{5}}
4173:{\displaystyle G_{12}^{2}}
3289:
2682:{\displaystyle 6\cdot m\ }
2291:{\displaystyle 3\cdot m\ }
2091:
1881:{\displaystyle 4\cdot m\ }
1463:{\displaystyle 2\cdot m\ }
774:
109:
103:
5031:
4953:
4935:
4548:
4540:
4262:
4254:
4072:{\displaystyle G_{8}^{4}}
4047:
4039:
4015:{\displaystyle G_{8}^{2}}
3956:{\displaystyle G_{8}^{3}}
3874:{\displaystyle G_{6}^{2}}
3849:
3841:
3783:{\displaystyle G_{6}^{1}}
3758:
3750:
3687:{\displaystyle G_{4}^{2}}
3662:
3646:
3603:{\displaystyle G_{4}^{1}}
3578:
3570:
3546:{\displaystyle G_{3}^{1}}
3453:{\displaystyle G_{2}^{1}}
3428:
3420:
3390:{\displaystyle G_{1}^{1}}
3336:
2410:
2096:
1061:
1056:
1051:
1046:
1043:
1038:
1033:
1030:
996:
969:
945:
909:
841:
805:
800:
212:-fold rotation axis plus
54:(geometric) crystal class
5002:trigonal & hexagonal
4667:This table makes use of
783:HermannâMauguin notation
777:HermannâMauguin notation
771:HermannâMauguin notation
193:rotation-reflection axis
3312:groups are of the same
4656:
4574:
4519:
4457:
4398:
4288:
4228:
4174:
4073:
4016:
3957:
3875:
3784:
3688:
3604:
3547:
3454:
3391:
3258:
3213:
3182:
3134:
3069:
3013:
2966:
2921:
2860:
2821:
2749:
2683:
2629:
2575:
2542:
2494:
2436:
2385:
2343:
2292:
2238:
2180:
2122:
2066:
2027:
1948:
1882:
1828:
1774:
1741:
1693:
1635:
1575:
1536:
1464:
1409:
1350:
1317:
1265:
1217:
1160:
1102:
4657:
4575:
4520:
4458:
4399:
4289:
4229:
4175:
4074:
4017:
3958:
3876:
3785:
3689:
3605:
3548:
3455:
3392:
3259:
3214:
3183:
3135:
3070:
3068:{\displaystyle 3/4\ }
3014:
2967:
2922:
2920:{\displaystyle 3/2\ }
2861:
2822:
2750:
2684:
2630:
2628:{\displaystyle 6:2\ }
2576:
2574:{\displaystyle 6:m\ }
2543:
2495:
2493:{\displaystyle 3:m\ }
2437:
2386:
2344:
2293:
2239:
2237:{\displaystyle 3:2\ }
2181:
2123:
2067:
2028:
1949:
1883:
1829:
1827:{\displaystyle 4:2\ }
1775:
1773:{\displaystyle 4:m\ }
1742:
1694:
1636:
1576:
1537:
1465:
1410:
1408:{\displaystyle 2:2\ }
1351:
1349:{\displaystyle 2:m\ }
1318:
1266:
1218:
1161:
1103:
138:-fold rotation axis.
110:Further information:
4634:
4552:
4497:
4435:
4376:
4266:
4206:
4152:
4051:
3994:
3935:
3853:
3762:
3666:
3582:
3525:
3432:
3369:
3231:
3194:
3163:
3107:
3048:
2986:
2947:
2900:
2835:
2778:
2724:
2664:
2610:
2556:
2523:
2475:
2423:
2360:
2324:
2273:
2219:
2161:
2109:
2041:
1984:
1923:
1863:
1809:
1755:
1722:
1674:
1622:
1550:
1493:
1445:
1390:
1331:
1298:
1252:
1204:
1141:
1089:
106:Schoenflies notation
100:Schoenflies notation
4843:1995EJPh...16..151N
4651:
4569:
4514:
4452:
4393:
4283:
4223:
4169:
4068:
4011:
3952:
3870:
3779:
3683:
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