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2833:
2823:
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2700:
2690:
2680:
2670:
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2602:
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2544:
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2371:
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2235:
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2185:
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2072:
2062:
2052:
2042:
2014:
2004:
1994:
1984:
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1707:
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1687:
1677:
1584:
1574:
1564:
1554:
1526:
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1498:
1488:
1478:
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1365:
1355:
1327:
1309:
1299:
1289:
1194:
1184:
1148:
1138:
1043:
1025:
6741:
453:
145:
The vertices of a cross-polytope can be chosen as the unit vectors pointing along each co-ordinate axis – i.e. all the permutations of
6539:
Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1991). "The Cell
Structures of Certain Lattices". In Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (eds.).
7609:
3718:
can be defined that maps all the vertices equally-spaced on a circle, with all pairs of vertices connected, except multiples of
179:
6556:
7631:
7044:
6844:
6794:
6484:
58:
6477:
5847:
5205:
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3861:
3595:
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545:
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3648:
7626:
5719:
5091:
4565:
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26:
33:
7067:
6764:
6673:
4095:
4017:
3977:
3897:
3671:
587:
For each pair of non-opposite vertices, there is an edge joining them. More generally, each set of
65:
7037:
6972:
6967:
6947:
708:
3433:
The vertices of an axis-aligned cross polytope are all at equal distance from each other in the
6957:
6952:
6932:
3442:
779:
7581:
7574:
7567:
6962:
6942:
6937:
6502:
3715:
7106:
7084:
7072:
6688:
p. 296, Table I (iii): Regular
Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
7238:
7185:
604:
394:
3937:
126:. A 2-dimensional cross-polytope is a square, a 3-dimensional cross-polytope is a regular
8:
7593:
7492:
7242:
6839:
6834:
292:
6576:
3972:
3932:
3892:
7462:
7412:
7362:
7319:
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7249:
7212:
7030:
7013:
6854:
6809:
6638:
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4162:
774:
689:
436:
345:
273:
7601:
6849:
6702:
6573:
6552:
4594:
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840:
786:
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7170:
7159:
7148:
7137:
7128:
7119:
7058:
7054:
6779:
6705:
6630:
6544:
3644:
3434:
357:
111:
6449:
Cross-polytopes can be combined with their dual cubes to form compound polytopes:
7195:
7180:
6824:
6769:
3818:
3723:
3450:
909:
801:
796:
791:
115:
6548:
6891:
6621:
Guy, Richard K. (1983), "An olla-podrida of open problems, often oddly posed",
3727:
3466:
712:
265:
300:
7620:
7562:
7450:
7443:
7436:
7400:
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7350:
7343:
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3469:
428:
284:
139:
6348:
6254:
6160:
6066:
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5748:
5636:
5556:
5476:
5396:
5316:
5236:
5120:
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4824:
4758:
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4052:
4012:
7502:
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6881:
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2782:
249:
7511:
7472:
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7372:
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7299:
7231:
7217:
7001:
6784:
5777:
5145:
2766:
2453:
2154:
1885:
1646:
1437:
150:
82:
256:(or diamond) with vertices {(±1, 0), (0, ±1)}. In 3 dimensions it is an
7497:
7481:
7431:
7381:
7338:
7308:
7222:
6996:
6876:
6642:
4179:
2437:
2138:
1869:
1630:
1421:
1240:
1105:
1089:
978:
898:
829:
341:
261:
257:
127:
123:
50:
719:-gon or lower order regular polygons. A second projection takes the 2(
7553:
7467:
7417:
7367:
7324:
7294:
7263:
6977:
6886:
6799:
6750:
6710:
6581:
724:
372:
288:
158:
6634:
599:-dimensional components (vertices, edges, faces, ..., facets) in an
7527:
7282:
7278:
7205:
6901:
6864:
6789:
6454:
3438:
736:
727:, projected down the axis, with 2 vertices mapped into the center.
677:
91:
16:
Regular polytope dual to the hypercube in any number of dimensions
7536:
7506:
7273:
7268:
7259:
7200:
6911:
4611:
3640:
1256:
505:{\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}
424:
383:
361:
332:
162:
135:
131:
75:
1006:
917:
419: − 1)-dimensional components) all of which are (
7476:
7426:
7376:
7333:
7303:
7254:
7190:
3831:
2792:
2463:
2164:
1895:
1656:
1447:
1268:
1117:
157:-dimensional cross-polytope can also be defined as the closed
6868:
6590:
6571:
591: + 1 orthogonal vertices corresponds to a distinct
6719:
6602:
7226:
711:
that can show the cross-polytopes as 2-dimensional graphs.
595:-dimensional component which contains them. The number of
238:{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}
723:−1)-gon petrie polygon of the lower dimension, seen as a
6700:
326:
The 4-dimensional cross-polytope also goes by the name
268:. This can be generalised to higher dimensions with an
142:
is another cross-polytope from the previous dimension.
3726:
perimeter in these orthogonal projections is called a
138:
of the previous dimension, while the cross-polytope's
5850:
5722:
5208:
5094:
4664:
4568:
4222:
4136:
3864:
3792:
3598:
3357:
616:
548:
456:
182:
161:(or, according to some authors, its boundary) in the
5867:
5737:
5225:
5109:
4681:
4583:
4239:
4151:
3881:
3807:
3615:
3406:
665:
603:-dimensional cross-polytope is thus given by (see
576:
504:
237:
6682:pp. 121-122, §7.21. see illustration Fig 7.2
3398:
3377:
657:
636:
7618:
344:were first described by the Swiss mathematician
248:In 1 dimension the cross-polytope is simply the
6525:, pp. 121–122, §7.21. illustration Fig 7-2
7038:
6735:
6538:
6444:
229:
214:
207:
183:
5868:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}
5226:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}
4682:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}
4240:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}
3882:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}
3616:{\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}
715:projections map the points into a regular 2
435: − 1)-cross-polytopes. The
7045:
7031:
6742:
6728:
6655:Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
6505:, the symmetry group of the cross-polytope
356:The cross-polytope family is one of three
130:, and a 4-dimensional cross-polytope is a
18:
5854:
5725:
5212:
5097:
4668:
4571:
4226:
4139:
3868:
3795:
3602:
439:of the cross-polytope is {3,3,...,3,4}.
194:
3456:
666:{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}
7610:List of regular polytopes and compounds
6668:
6608:
6596:
6522:
7619:
3407:{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}
260:—one of the five convex regular
6723:
6701:
6572:
6543:. Berlin: Springer. pp. 89–90.
577:{\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}
528:= arccos(−3/5) = 126.87°, ... δ
395:infinite tessellations of hypercubes
351:
20:Cross-polytopes of dimension 2 to 5
6620:
299:-dimensional cross-polytope is the
13:
6476:In three dimensions we obtain the
3381:
640:
272:-orthoplex being constructed as a
14:
7643:
6694:
6485:compound of tesseract and 16-cell
6483:In four dimensions we obtain the
6453:In two dimensions, we obtain the
3697:for complete tripartite graphs. β
411:-dimensional cross-polytope has 2
6808:
6678:(3rd ed.). New York: Dover.
6428:
6423:
6418:
6413:
6408:
6403:
6398:
6393:
6388:
6383:
6378:
6347:
6334:
6329:
6324:
6319:
6314:
6309:
6304:
6299:
6294:
6289:
6284:
6253:
6240:
6235:
6230:
6225:
6220:
6215:
6210:
6205:
6200:
6195:
6190:
6159:
6146:
6141:
6136:
6131:
6126:
6121:
6116:
6111:
6106:
6101:
6096:
6065:
6052:
6047:
6042:
6037:
6032:
6027:
6022:
6017:
6012:
6007:
6002:
5971:
5958:
5953:
5948:
5943:
5938:
5933:
5928:
5923:
5918:
5913:
5908:
5877:
5832:
5827:
5822:
5817:
5812:
5807:
5802:
5797:
5792:
5787:
5782:
5747:
5738:{\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}
5702:
5697:
5692:
5687:
5682:
5677:
5672:
5667:
5662:
5635:
5622:
5617:
5612:
5607:
5602:
5597:
5592:
5587:
5582:
5555:
5542:
5537:
5532:
5527:
5522:
5517:
5512:
5507:
5502:
5475:
5462:
5457:
5452:
5447:
5442:
5437:
5432:
5427:
5422:
5395:
5382:
5377:
5372:
5367:
5362:
5357:
5352:
5347:
5342:
5315:
5302:
5297:
5292:
5287:
5282:
5277:
5272:
5267:
5262:
5235:
5190:
5185:
5180:
5175:
5170:
5165:
5160:
5155:
5150:
5119:
5110:{\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}
5074:
5069:
5064:
5059:
5054:
5049:
5044:
5021:
5008:
5003:
4998:
4993:
4988:
4983:
4978:
4955:
4942:
4937:
4932:
4927:
4922:
4917:
4912:
4889:
4876:
4871:
4866:
4861:
4856:
4851:
4846:
4823:
4810:
4805:
4800:
4795:
4790:
4785:
4780:
4757:
4744:
4739:
4734:
4729:
4724:
4719:
4714:
4691:
4646:
4641:
4636:
4631:
4626:
4621:
4616:
4593:
4584:{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
4548:
4543:
4538:
4533:
4528:
4509:
4496:
4491:
4486:
4481:
4476:
4457:
4444:
4439:
4434:
4429:
4424:
4405:
4392:
4387:
4382:
4377:
4372:
4353:
4340:
4335:
4330:
4325:
4320:
4301:
4288:
4283:
4278:
4273:
4268:
4249:
4204:
4199:
4194:
4189:
4184:
4161:
4152:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4116:
4111:
4106:
4089:
4076:
4071:
4066:
4051:
4038:
4033:
4028:
4011:
3998:
3993:
3988:
3971:
3958:
3953:
3948:
3931:
3918:
3913:
3908:
3891:
3846:
3841:
3836:
3817:
3808:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
3545:
3540:
3535:
3530:
3522:
3517:
3512:
3507:
3336:
3331:
3323:
3318:
3313:
3308:
3303:
3298:
3293:
3288:
3280:
3275:
3270:
3265:
3260:
3252:
3247:
3242:
3237:
3229:
3224:
3219:
3214:
3209:
3204:
3196:
3191:
3186:
3181:
3176:
3082:
3077:
3072:
3067:
3062:
3057:
3052:
3047:
3042:
3037:
3032:
3027:
3022:
3017:
3012:
3007:
3002:
2997:
2992:
2984:
2979:
2974:
2969:
2964:
2959:
2954:
2949:
2944:
2939:
2934:
2929:
2924:
2919:
2914:
2909:
2904:
2896:
2891:
2886:
2881:
2876:
2871:
2866:
2861:
2856:
2851:
2846:
2841:
2836:
2831:
2826:
2821:
2816:
2811:
2806:
2791:
2723:
2718:
2713:
2708:
2703:
2698:
2693:
2688:
2683:
2678:
2673:
2668:
2663:
2658:
2653:
2648:
2643:
2635:
2630:
2625:
2620:
2615:
2610:
2605:
2600:
2595:
2590:
2585:
2580:
2575:
2570:
2565:
2557:
2552:
2547:
2542:
2537:
2532:
2527:
2522:
2517:
2512:
2507:
2502:
2497:
2492:
2487:
2482:
2477:
2462:
2394:
2389:
2384:
2379:
2374:
2369:
2364:
2359:
2354:
2349:
2344:
2339:
2334:
2329:
2324:
2316:
2311:
2306:
2301:
2296:
2291:
2286:
2281:
2276:
2271:
2266:
2261:
2256:
2248:
2243:
2238:
2233:
2228:
2223:
2218:
2213:
2208:
2203:
2198:
2193:
2188:
2183:
2178:
2163:
2095:
2090:
2085:
2080:
2075:
2070:
2065:
2060:
2055:
2050:
2045:
2040:
2035:
2027:
2022:
2017:
2012:
2007:
2002:
1997:
1992:
1987:
1982:
1977:
1969:
1964:
1959:
1954:
1949:
1944:
1939:
1934:
1929:
1924:
1919:
1914:
1909:
1894:
1826:
1821:
1816:
1811:
1806:
1801:
1796:
1791:
1786:
1781:
1776:
1768:
1763:
1758:
1753:
1748:
1743:
1738:
1733:
1728:
1720:
1715:
1710:
1705:
1700:
1695:
1690:
1685:
1680:
1675:
1670:
1655:
1587:
1582:
1577:
1572:
1567:
1562:
1557:
1552:
1547:
1539:
1534:
1529:
1524:
1519:
1514:
1509:
1501:
1496:
1491:
1486:
1481:
1476:
1471:
1466:
1461:
1446:
1378:
1373:
1368:
1363:
1358:
1353:
1348:
1340:
1335:
1330:
1325:
1320:
1312:
1307:
1302:
1297:
1292:
1287:
1282:
1267:
1197:
1192:
1187:
1182:
1177:
1169:
1164:
1159:
1151:
1146:
1141:
1136:
1131:
1116:
1046:
1041:
1036:
1028:
1023:
1018:
1005:
935:
927:
916:
854:
539:-dimensional cross-polytope is
520:= arccos(−1/3) = 109.47°, δ
64:
57:
32:
25:
6478:compound of cube and octahedron
3647:. Generalized orthoplexes make
3449:points is the largest possible
684:-orthoplex can be computed by (
450:-dimensional cross-polytope is
321:
6649:
6614:
6565:
6532:
688:,2), like the coefficients of
1:
6749:
6662:
6623:American Mathematical Monthly
524:= arccos(−2/4) = 120°, δ
6509:
5715:
5087:
4561:
4129:
3785:
3649:complete multipartite graphs
3551:. Real solutions exist with
692:. For example a 16-cell is (
149:. The cross-polytope is the
7:
6549:10.1007/978-3-642-76709-8_5
6491:
3119:
3116:
3113:
3110:
3107:
3104:
3101:
3098:
3095:
3092:
3089:
2757:
2754:
2751:
2748:
2745:
2742:
2739:
2736:
2733:
2730:
2425:
2422:
2419:
2416:
2413:
2410:
2407:
2404:
2401:
2123:
2120:
2117:
2114:
2111:
2108:
2105:
2102:
1851:
1848:
1845:
1842:
1839:
1836:
1833:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1594:
1397:
1394:
1391:
1388:
1385:
1213:
1210:
1207:
1204:
1059:
1056:
1053:
945:
942:
862:
516:= arccos(0/2) = 90°, δ
124:dimensional Euclidean space
10:
7648:
7632:Multi-dimensional geometry
7599:
7026:
3343:
3124:
371:, the other two being the
338:convex regular 4-polytopes
283:The cross-polytope is the
252:, in 2 dimensions it is a
7010:
6989:
6925:
6863:
6817:
6806:
6757:
6599:, pp. 120–124, §7.2.
6498:List of regular polytopes
6445:Related polytope families
3445:states that this set of 2
731:Cross-polytope elements
415:vertices, and 2 facets ((
348:in the mid-19th century.
3734:Generalized orthoplexes
3672:complete bipartite graph
709:orthographic projections
707:There are many possible
6611:, p. 121, §7.2.2..
6541:Miscellanea Mathematica
3637:Generalized orthoplexes
3476:(or cross polytopes), β
3474:generalized orthoplexes
535:The hypervolume of the
393:. A fourth family, the
336:. It is one of the six
6577:"Cocktail Party Graph"
5869:
5739:
5227:
5111:
4683:
4585:
4241:
4153:
3883:
3809:
3617:
3592:> 2, they exist in
3408:
667:
578:
506:
423: − 1)-
239:
153:of its vertices. The
6503:Hyperoctahedral group
5870:
5740:
5228:
5112:
4684:
4586:
4242:
4154:
3884:
3810:
3716:orthogonal projection
3618:
3457:Generalized orthoplex
3409:
668:
579:
532:= arccos(−1) = 180°.
507:
360:families, labeled by
240:
6926:Dimensions by number
5848:
5720:
5206:
5092:
4662:
4566:
4220:
4134:
3862:
3790:
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375:family, labeled as
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