36:
3503:
2825:
2425:
3767:
2450:
2050:
2011:
1782:
2820:{\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}
2420:{\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}
1817:
1588:
1208:
725:
580:
3135:
866:
427:
962:
264:
585:
443:
2006:{\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}
1777:{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}
3047:
1069:
1378:
1063:
1539:
1463:
1293:
2981:
2920:
785:
349:
875:
180:
296:
148:
342:
318:
173:
120:
1203:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}
1299:
780:
To simplify writing column vectors in-line with other text, sometimes they are written as row vectors with the transpose operation applied to them.
999:
720:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}
575:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}
1469:
1393:
1223:
3130:{\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}
772:
entries, since any linear functional on the space of column vectors can be represented as the left-multiplication of a unique row vector.
3801:
966:
Some authors also use the convention of writing both column vectors and row vectors as rows, but separating row vector elements with
3361:
3163:
2949:
2888:
3694:
3752:
3290:
3280:
3270:
3154:
input. The matrix transformations mount up to the left in this use of a column vector for input to matrix transformation.
3313:
3252:
3217:
79:
57:
50:
3742:
3704:
3640:
17:
3482:
3354:
1554:
involves the action of multiplying each row vector of one matrix by each column vector of another matrix.
3587:
3437:
3492:
3386:
3732:
3381:
861:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}
422:{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}
3724:
3607:
1571:, considered as elements of a coordinate space, is equal to the matrix product of the transpose of
44:
957:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}
3791:
3770:
3699:
3477:
3347:
440:) of any row vector is a column vector, and the transpose of any column vector is a row vector:
3534:
3457:
3236:
275:
127:
61:
3549:
3544:
3539:
3472:
3417:
2859:
2835:
1551:
259:{\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}
3559:
3524:
3511:
3402:
3183:
150:
8:
3737:
3617:
3592:
3442:
3178:
734:
3447:
327:
303:
158:
105:
3296:
3796:
3645:
3602:
3529:
3422:
3309:
3286:
3266:
3248:
3213:
3650:
3554:
3407:
3709:
3502:
3462:
3452:
1373:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}
3714:
3635:
3370:
3173:
3168:
3006:
2030:
93:
3785:
3747:
3670:
3630:
3597:
3577:
3025:. Continuing with row vectors, matrix transformations further reconfiguring
2016:
429:(Throughout this article, boldface is used for both row and column vectors.)
3680:
3569:
3519:
3412:
746:
738:
3660:
3625:
3582:
3427:
3188:
1787:
1558:
1058:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}
3689:
3432:
2855:
765:
3032:
When a column vector is transformed to another column vector under an
1534:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}
1458:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}
1288:{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}
3487:
2430:
971:
433:
3655:
3339:
3665:
2433:
of the matrix product of the column vector representation of
967:
2033:. The matrix product of the column vector representation of
2015:
The matrix product of a column and a row vector gives the
3285:, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),
3029:-space can be applied to the right of previous outputs.
1800:
is also equal to the matrix product of the transpose of
2858:
and act on row and column vectors as the linear map's
2602:
2549:
2495:
2202:
2149:
2095:
1905:
1862:
1676:
1633:
1478:
1402:
1309:
1232:
1145:
1078:
1008:
893:
803:
667:
595:
516:
453:
366:
197:
3050:
2952:
2891:
2453:
2053:
1820:
1591:
1472:
1396:
1302:
1226:
1072:
1002:
878:
788:
588:
446:
352:
330:
306:
278:
183:
161:
130:
108:
3212:. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. p. 2.
3129:
2975:
2914:
2819:
2419:
2005:
1776:
1533:
1457:
1372:
1287:
1202:
1057:
956:
860:
719:
574:
421:
336:
312:
290:
258:
167:
142:
114:
3042:matrix action, the operation occurs to the left,
974:(see alternative notation 2 in the table below).
3783:
3324:Elementary Linear Algebra (Applications Version)
749:; similarly, the set of all column vectors with
2045:gives the components of their dyadic product,
3355:
2976:{\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}
2915:{\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}
1388:(commas and semicolons, no transpose signs)
994:(array spaces, no commas, transpose signs)
27:Matrix consisting of a single row or column
3362:
3348:
3282:Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
1173:
1169:
1158:
1036:
1032:
1021:
831:
827:
816:
695:
691:
680:
481:
477:
466:
3085:
2969:
2908:
2829:
2813:
2413:
1999:
1770:
80:Learn how and when to remove this message
3164:Covariance and contravariance of vectors
1786:By the symmetry of the dot product, the
43:This article includes a list of general
880:
790:
354:
185:
14:
3784:
3753:Comparison of linear algebra libraries
3343:
3335:(7th ed.), Pearson Prentice Hall
3321:
3306:Linear Algebra: A Modern Introduction
3303:
3278:
3242:
3237:Linear algebra § Further reading
3207:
2439:and the row vector representation of
2039:and the row vector representation of
3330:
3279:Meyer, Carl D. (February 15, 2001),
3201:
3139:leading to the algebraic expression
768:of the space of column vectors with
29:
3326:(9th ed.), Wiley International
3263:Linear Algebra and Its Applications
3260:
24:
3369:
3118:
3098:
3079:
3059:
1364:
1194:
948:
852:
653:
502:
49:it lacks sufficient corresponding
25:
3813:
3802:Vectors (mathematics and physics)
3261:Lay, David C. (August 22, 2005),
3247:(2nd ed.), Springer-Verlag,
2029:, an example of the more general
153:consisting of a single column of
3766:
3765:
3743:Basic Linear Algebra Subprograms
3501:
3333:Linear Algebra With Applications
3265:(3rd ed.), Addison Wesley,
3112:
3092:
3073:
3053:
2965:
2954:
2904:
2893:
2477:
2471:
2463:
2455:
2077:
2071:
2063:
2055:
1850:
1839:
1830:
1822:
1621:
1610:
1601:
1593:
970:and column vector elements with
729:The set of all row vectors with
322:, consisting of a single row of
34:
3641:Seven-dimensional cross product
3089:
764:entries can be regarded as the
760:The space of row vectors with
13:
1:
3308:(2nd ed.), Brooks/Cole,
3230:
3148:for the composed output from
1546:
3483:Eigenvalues and eigenvectors
1466:
1390:
1296:
1220:
1066:
996:
7:
3243:Axler, Sheldon Jay (1997),
3157:
775:
757:-dimensional vector space.
10:
3818:
3234:
2833:
1218:(commas, transpose signs)
3761:
3723:
3679:
3616:
3568:
3510:
3499:
3395:
3377:
3245:Linear Algebra Done Right
291:{\displaystyle 1\times n}
143:{\displaystyle m\times 1}
3331:Leon, Steven J. (2006),
3194:
991:Standard matrix notation
3208:Artin, Michael (1991).
64:more precise citations.
3468:Row and column vectors
3322:Anton, Howard (2005),
3131:
2977:
2916:
2877:is another row vector
2830:Matrix transformations
2821:
2421:
2007:
1790:of two column vectors
1778:
1561:of two column vectors
1535:
1459:
1385:Alternative notation 2
1374:
1289:
1215:Alternative notation 1
1204:
1059:
958:
862:
721:
576:
423:
338:
314:
292:
260:
177:entries, for example,
169:
144:
116:
3473:Row and column spaces
3418:Scalar multiplication
3304:Poole, David (2006),
3132:
2978:
2917:
2860:transformation matrix
2836:Transformation matrix
2822:
2422:
2008:
1779:
1552:Matrix multiplication
1536:
1460:
1375:
1290:
1205:
1060:
959:
863:
722:
577:
424:
339:
315:
293:
261:
170:
145:
117:
3608:Gram–Schmidt process
3560:Gaussian elimination
3184:Standard unit vector
3048:
2950:
2889:
2451:
2051:
1818:
1589:
1470:
1394:
1300:
1224:
1070:
1000:
876:
786:
586:
444:
350:
328:
304:
276:
181:
159:
128:
106:
3738:Numerical stability
3618:Multilinear algebra
3593:Inner product space
3443:Linear independence
3179:Single-entry vector
2985:Then one can write
2862:. For a row vector
733:entries in a given
3448:Linear combination
3127:
2973:
2912:
2817:
2807:
2588:
2538:
2417:
2407:
2188:
2138:
2003:
1941:
1894:
1774:
1712:
1665:
1531:
1525:
1455:
1449:
1370:
1356:
1285:
1279:
1200:
1186:
1128:
1055:
1049:
954:
940:
858:
844:
717:
708:
645:
572:
566:
494:
419:
410:
334:
310:
288:
256:
247:
165:
140:
112:
3779:
3778:
3646:Geometric algebra
3603:Kronecker product
3438:Linear projection
3423:Vector projection
3292:978-0-89871-454-8
3272:978-0-321-28713-7
1544:
1543:
1137:
753:entries forms an
337:{\displaystyle n}
313:{\displaystyle n}
168:{\displaystyle m}
115:{\displaystyle m}
90:
89:
82:
16:(Redirected from
3809:
3769:
3768:
3651:Exterior algebra
3588:Hadamard product
3505:
3493:Linear equations
3364:
3357:
3350:
3341:
3340:
3336:
3327:
3318:
3300:
3299:on March 1, 2001
3295:, archived from
3275:
3257:
3224:
3223:
3205:
3153:
3147:
3136:
3134:
3133:
3128:
3123:
3122:
3121:
3115:
3103:
3102:
3101:
3095:
3084:
3083:
3082:
3076:
3064:
3063:
3062:
3056:
3041:
3028:
3024:
3018:
3012:
3004:
2982:
2980:
2979:
2974:
2968:
2957:
2943:
2937:
2933:
2921:
2919:
2918:
2913:
2907:
2896:
2882:
2876:
2867:
2854:can represent a
2853:
2849:
2826:
2824:
2823:
2818:
2812:
2811:
2804:
2803:
2794:
2793:
2782:
2781:
2772:
2771:
2760:
2759:
2750:
2749:
2736:
2735:
2726:
2725:
2714:
2713:
2704:
2703:
2692:
2691:
2682:
2681:
2668:
2667:
2658:
2657:
2646:
2645:
2636:
2635:
2624:
2623:
2614:
2613:
2593:
2592:
2585:
2584:
2573:
2572:
2561:
2560:
2543:
2542:
2535:
2534:
2521:
2520:
2507:
2506:
2486:
2485:
2480:
2474:
2466:
2458:
2444:
2438:
2426:
2424:
2423:
2418:
2412:
2411:
2404:
2403:
2394:
2393:
2382:
2381:
2372:
2371:
2360:
2359:
2350:
2349:
2336:
2335:
2326:
2325:
2314:
2313:
2304:
2303:
2292:
2291:
2282:
2281:
2268:
2267:
2258:
2257:
2246:
2245:
2236:
2235:
2224:
2223:
2214:
2213:
2193:
2192:
2185:
2184:
2173:
2172:
2161:
2160:
2143:
2142:
2135:
2134:
2121:
2120:
2107:
2106:
2086:
2085:
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