7287:
6671:
8158:
3778:
7282:{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}
7671:
10966:
6660:
10203:
8153:{\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}
13017:
10555:
6198:
31:
9840:
15793:
20092:
9851:
12842:
10961:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}
6655:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}
18516:
9312:
10198:{\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}
13012:{\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}
10540:
15026:
4630:
2709:
13383:. The inverse transformation, from polyspherical coordinates to Cartesian coordinates, is determined by grouping nodes. Every pair of nodes having a common parent can be converted from a mixed polar–Cartesian coordinate system to a Cartesian coordinate system using the above formulas for a splitting.
18915:
pairs of isolated points. Intuitively, the topological join of two pairs is generated by drawing a segment between each point in one pair and each point in the other pair; this yields a square. To join this with a third pair, draw a segment between each point on the square and each point in the third
18322:
16504:-ball. This method becomes very inefficient for higher dimensions, as a vanishingly small fraction of the unit cube is contained in the sphere. In ten dimensions, less than 2% of the cube is filled by the sphere, so that typically more than 50 attempts will be needed. In seventy dimensions, less than
17418:
42:
9835:{\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}
13278:. The formulas for converting from polyspherical coordinates to Cartesian coordinates may be determined by finding the paths from the root to the leaf nodes. These formulas are products with one factor for each branch taken by the path. For a node whose corresponding angular coordinate is
13552:
14780:
14580:
12099:
18022:
12206:
17247:
11397:
10329:
18217:
14853:
14106:
18511:{\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}
6676:
6203:
4469:
2513:
11594:
14008:
19380:
18793:
11484:
827:
5072:
203:. The circle is considered 1-dimensional, and the sphere 2-dimensional, because the surfaces themselves are 1- and 2-dimensional respectively, not because they exist as shapes in 1- and 2-dimensional space. As such, the
13844:
5256:
13459:
13449:
11900:
19282:
2851:
16103:
5861:
5792:
17868:
4390:
10560:
17114:-ball will be contained in the region very close to its surface, so a point selected from that volume will also probably be close to the surface. This is one of the phenomena leading to the so-called
2313:
2229:
16246:
16011:
13626:
3371:
14350:
11193:
6188:
12847:
9856:
9317:
12455:
12401:
1032:
14665:
14465:
16930:
11949:
4281:
2064:
11719:
17035:
16476:
16142:
7418:
11685:
7657:
7607:
18282:
4164:
13086:
13055:
12271:
12240:
11939:
17560:
5403:
16768:
9271:
9155:
8943:
8870:
8597:
8524:
6126:
17937:
15538:
13026:
is the result of repeating these splittings until there are no
Cartesian coordinates left. Splittings after the first do not require a radial coordinate because the domains of
11065:
5510:
69:
property of the stereographic projection, the curves intersect each other orthogonally (in the yellow points) as in 4D. All of the curves are circles: the curves that intersect
18589:
17928:
17812:
11021:
13730:
13660:
13379:
13342:
13237:
13204:
13171:
12110:
11753:
11518:
11250:
11146:
5453:
3454:
19428:
16438:
15769:
15383:
11638:
5970:
19068:
14290:
13628:
fixed. Choosing a set of coset representatives for the quotient is the same as choosing representative angles for this step of the polyspherical coordinate decomposition.
17480:
16688:
14451:
12347:
12321:
12295:
11219:
7449:
7328:
1776:
1600:
1543:
17164:
13305:
1688:
14655:
14388:
11258:
17606:
12572:
6009:
16532:
15258:
4106:
3955:
2734:
2128:
19200:
18111:
16381:
14618:
14425:
14130:
13697:
13274:
12533:
12509:
12485:
10535:{\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}
9228:
9112:
9075:
8827:
8481:
8305:
6045:
5609:
5572:
4655:
4428:
3853:
3511:
2455:
1318:
858:
19001:
17640:
16327:
15934:
18313:
18081:
17454:
17240:
17200:
16966:
16855:
16724:
16578:
16284:
15836:
15569:
15499:
15439:
14843:
14812:
14216:
14185:
13876:
12608:
11837:
11101:
10267:
9302:
9191:
9033:
8998:
8730:
8414:
8268:
6076:
5293:
5133:
4905:
4459:
3812:
3722:
3686:
3626:
3547:
2966:
2926:
2400:
1989:
1636:
1489:
1288:
649:
386:
294:
15021:{\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}
7521:
19162:
19132:
19098:
19031:
18911:
13114:
8900:
8790:
8760:
8675:
8554:
8444:
8359:
8189:
5723:
4625:{\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}
2770:
2704:{\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}
18626:
15285:
18877:
18849:
18825:
18691:
18665:
18540:
18137:
18050:
17753:
17500:
17110:
17086:
17059:
16819:
16792:
16626:
16602:
16500:
16405:
16351:
16166:
15891:
15860:
15463:
15408:
15180:
15114:
15090:
15066:
14240:
14154:
14018:
13138:
12832:
12808:
12784:
12716:
12692:
12668:
11801:
11777:
10319:
10291:
10228:
8967:
8699:
8645:
8621:
8383:
8329:
8237:
8213:
7557:
7497:
7473:
7352:
5693:
5669:
5641:
5535:
5341:
5317:
5097:
4929:
4869:
4845:
4809:
4783:
4758:
4734:
4710:
4686:
4314:
4217:
4189:
4067:
4043:
3980:
3913:
3889:
3770:
3746:
3650:
3595:
3571:
3419:
3395:
3313:
3289:
3261:
3214:
3187:
3151:
3124:
3088:
3053:
3022:
2994:
2890:
2503:
2479:
2424:
2364:
2337:
2088:
1944:
1920:
1886:
1862:
1834:
1800:
1750:
1712:
1567:
1517:
1453:
1429:
1405:
1370:
1346:
1246:
1221:
1197:
1173:
1145:
1117:
1093:
1054:
981:
957:
922:
882:
735:
708:
673:
606:
568:
540:
509:
473:
446:
418:
322:
247:
223:
199:
168:
140:
112:
16662:
15156:
12760:
12644:
5933:
5897:
4019:
11525:
17413:{\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}
13886:
19291:
18707:
13142:
leaves. Each non-leaf node in the tree corresponds to a splitting and determines an angular coordinate. For instance, the root of the tree represents
11408:
745:
4939:
13740:
13547:{\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}
5149:
13395:
11846:
11757:
is split as the product of two
Euclidean spaces of smaller dimension, but neither space is required to be a line. Specifically, suppose that
3399:-dimensional Euclidean space plus a single point representing infinity in all directions. In particular, if a single point is removed from an
19209:
2780:
16021:
20023:
16534:
of the cube is filled, meaning typically a trillion quadrillion trials will be needed, far more than a computer could ever carry out.
5801:
5732:
17821:
16582:-sphere (e.g., by using Marsaglia's algorithm), one needs only a radius to obtain a point uniformly at random from within the unit
4324:
19654:; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "On the history of the Hopf problem".
2239:
19536:
Representation of Lie groups and special functions, Vol. 2: Class I representations, special functions, and integral transforms
2138:
16178:
15943:
19923:
19896:
19822:
19600:
13560:
3322:
14300:
11155:
6135:
19538:, translated from the Russian by V. A. Groza and A. A. Groza, Math. Appl., vol. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992,
20315:
14775:{\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}
14575:{\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}
12410:
12356:
12094:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}
996:
20126:
20076:
19635:
19543:
17:
19848:"Separation of variables on n-dimensionsional Riemannian manifolds. I. the n-sphere S_n and Euclidean n-sparce R_n"
16864:
4227:
1998:
11690:
16975:
16447:
16289:
16113:
7662:
19579:
Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.),
7361:
20016:
19939:
19838:
15042:
Just as a two-dimensional sphere embedded in three dimensions can be mapped onto a two-dimensional plane by a
19810:
11643:
7616:
7566:
19947:
Barnea, Nir (1999). "Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction".
18255:
4116:
18017:{\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}
17777:
13060:
13029:
12245:
12214:
11909:
11721:
along the ray. Repeating this decomposition eventually leads to the standard spherical coordinate system.
5613:
from above, these recurrences can be used to compute the surface area of any sphere or volume of any ball.
17505:
5350:
1201:-spheres admit several other topological descriptions: for example, they can be constructed by gluing two
20111:
16733:
13022:
These splittings may be repeated as long as one of the factors involved has dimension two or greater. A
12201:{\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}
9237:
9121:
8909:
8836:
8563:
8490:
6085:
682:
15508:
11030:
5463:
18943:
18562:
17901:
17785:
10976:
1150:
16409:-ball), and when a point in the ball is obtained scaling it up to the spherical surface by the factor
13706:
13636:
13351:
13314:
13213:
13180:
13147:
11729:
11494:
11226:
11122:
7525:
then the point is one of the poles, zenith or nadir, and the choice of azimuthal angle is arbitrary.)
5412:
3430:
20009:
19389:
16414:
15579:
15295:
11599:
5942:
20046:
19587:, SpringerBriefs in Mathematical Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 65–66,
19040:
18125:
17894:
15043:
15037:
14249:
13387:
13088:
are spheres, so the coordinates of a polyspherical coordinate system are a non-negative radius and
11392:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}
3457:
934:
46:
18955:
17459:
16671:
14434:
12330:
12304:
12278:
11202:
7427:
7306:
1759:
1583:
1526:
20254:
20249:
20229:
17707:
17131:
17115:
13283:
4291:
1649:
573:
14627:
14360:
20239:
20234:
20214:
17582:
12542:
5979:
611:
19625:
19557:
16507:
15189:
9845:
Induction then gives a closed-form expression for the volume element in spherical coordinates
4076:
3927:
2717:
2097:
20244:
20224:
20219:
19179:
18090:
16360:
14590:
14397:
14115:
13669:
13246:
12518:
12494:
12464:
11724:
Polyspherical coordinate systems arise from a generalization of this construction. The space
10546:
9200:
9084:
9042:
8799:
8453:
8277:
6018:
5646:
5581:
5544:
4640:
4400:
3825:
3777:
3483:
3266:
2440:
1297:
1253:
837:
35:
18980:
17619:
16297:
15904:
19956:
19802:
18291:
18059:
17682:
17425:
17207:
17173:
16939:
16828:
16697:
16551:
16262:
15809:
15547:
15472:
15417:
14821:
14790:
14194:
14163:
13854:
12581:
11810:
11074:
10240:
9280:
9164:
9011:
8976:
8708:
8392:
8246:
6054:
5266:
5106:
4878:
4437:
3790:
3695:
3659:
3604:
3520:
2939:
2899:
2373:
1962:
1609:
1462:
1261:
622:
359:
267:
62:
18212:{\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}
14101:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}
7506:
8:
20121:
20116:
19167:
19141:
19111:
19077:
19010:
18890:
18027:
15896:
13093:
11106:
8879:
8769:
8739:
8654:
8533:
8423:
8338:
8168:
5702:
3473:
3469:
2749:
2737:
895:
887:
545:
351:
327:
19960:
18611:
15267:
11589:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}
20295:
20136:
20091:
19933:
19908:
19888:
19832:
19790:
19724:
19681:
19663:
19517:
19482:
18949:
18925:
18862:
18834:
18810:
18676:
18650:
18525:
18035:
17738:
17485:
17095:
17071:
17044:
16804:
16777:
16611:
16587:
16485:
16390:
16336:
16151:
15876:
15845:
15448:
15393:
15165:
15099:
15075:
15051:
14225:
14139:
14003:{\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}
13123:
13118:
angles. The possible polyspherical coordinate systems correspond to binary trees with
12817:
12793:
12769:
12701:
12677:
12653:
11786:
11762:
10545:
The natural choice of an orthogonal basis over the angular coordinates is a product of
10304:
10276:
10213:
8952:
8684:
8630:
8606:
8368:
8314:
8222:
8198:
7542:
7482:
7458:
7337:
5678:
5654:
5626:
5520:
5326:
5302:
5082:
4914:
4854:
4830:
4794:
4768:
4743:
4719:
4695:
4671:
4299:
4202:
4174:
4052:
4028:
3965:
3898:
3874:
3755:
3731:
3635:
3580:
3556:
3404:
3380:
3298:
3274:
3246:
3199:
3172:
3160:
3136:
3109:
3097:
3073:
3038:
3007:
2979:
2931:
2875:
2865:
2488:
2464:
2409:
2349:
2322:
2073:
1929:
1905:
1871:
1847:
1819:
1785:
1735:
1697:
1552:
1502:
1438:
1414:
1390:
1355:
1331:
1231:
1206:
1182:
1158:
1130:
1102:
1078:
1039:
966:
942:
907:
891:
867:
720:
693:
658:
591:
553:
525:
494:
486:
458:
431:
403:
391:
335:
307:
252:
232:
208:
184:
153:
125:
97:
19375:{\displaystyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}}
17168:
be the square of the first coordinate of a point sampled uniformly at random from the
16635:
15123:
12725:
12617:
5906:
5870:
5673:-dimensional Euclidean space, in which the coordinates consist of a radial coordinate
3989:
20131:
19984:
19919:
19892:
19818:
19728:
19716:
19685:
19631:
19596:
19539:
19103:
17611:
9003:
3918:
1066:
986:
346:
19565:
20320:
20061:
19964:
19869:
19859:
19782:
19759:
19708:
19673:
19588:
19561:
19509:
19478:
19474:
18882:
18788:{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}
18222:
17881:
17721:
12104:
This can be transformed into a mixed polar–Cartesian coordinate system by writing:
6665:
Except in the special cases described below, the inverse transformation is unique:
1323:
331:
11479:{\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}
20106:
20051:
19987:
19798:
19677:
18937:
5139:
1572:
1494:
514:
299:
19592:
19500:
Blumenson, L. E. (1960). "A Derivation of n-Dimensional
Spherical Coordinates".
18544:-sphere is of particular interest since it was in this dimension that the first
822:{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}
20188:
20173:
19621:
18799:
18603:
17730:
17702:
17649:
17645:
7534:
4660:
1383:
19764:
19747:
19580:
18934: – Smooth manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to a sphere
11522:
may be expressed by taking the ray starting at the origin and passing through
3984:-ball is a line segment whose points have a single coordinate in the interval
20309:
20178:
19968:
19915:
19815:
The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds
19720:
19651:
19171:
18931:
18631:
18545:
17884:
17724:
15118:-dimensional version of the stereographic projection. For example, the point
14456:
13734:
also has a factor for the radial coordinate. The area measure has the form:
13701:
are products. There is one factor for each angle, and the volume measure on
11197:. These two factors may be related using polar coordinates. For each point
5067:{\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}
3424:
990:
687:
482:
66:
13839:{\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}
20198:
20163:
20056:
18940: – Topological manifold whose homology coincides with that of a sphere
17678:
17674:
15796:
A set of points drawn from a uniform distribution on the surface of a unit
10296:
3817:
3062:
1070:
927:
423:
259:
19712:
19699:
Meshulam, Roy (2001-01-01). "The Clique
Complex and Hypergraph Matching".
16173:
An alternative given by
Marsaglia is to uniformly randomly select a point
5251:{\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}
20283:
20066:
19558:
Efficiently sampling vectors and coordinates from the n-sphere and n-ball
14220:. When the area measure is normalized so that the area of the sphere is
14013:
Suppose we have a node of the tree that corresponds to the decomposition
4194:
2433:
1575:
78:
13444:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}
11895:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}
7301:
There are some special cases where the inverse transform is not unique;
20278:
20158:
19794:
19521:
19486:
19462:
18928: – Study of angle-preserving transformations of a geometric space
18854:
18243:
18230:
16546:
With a point selected uniformly at random from the surface of the unit
2971:
1866:-dimensional Euclidean space, and is the boundary of an ordinary ball (
354:, consisting of all points closer to the center than the radius, is an
19874:
19630:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 72, Springer, p. 247,
13386:
Polyspherical coordinates also have an interpretation in terms of the
20259:
20168:
20081:
20032:
19992:
19864:
19847:
19773:
Huber, Greg (1982). "Gamma function derivation of n-sphere volumes".
19277:{\displaystyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}}
17758:
16251:
8163:
The determinant of this matrix can be calculated by induction. When
4763:
2846:{\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
1226:
899:
117:
19786:
19513:
18946: – How spheres of various dimensions can wrap around each other
18630:-dimensional space, which is related to the unique qualities of the
16799:
Alternatively, points may be sampled uniformly from within the unit
7561:-dimensional Euclidean space in terms of spherical coordinates, let
41:
20146:
20071:
19668:
19650:
18247:
18129:
17712:
17688:
17655:
11402:
can be transformed into a mixed polar–Cartesian coordinate system:
3238:
3223:
2999:
2429:
1894:
1808:
1720:
1062:
580:
30:
17667:. Has a nontrivial fundamental group. Abelian Lie group structure
16098:{\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}
15792:
4933:
is related to the volume of the ball by the differential equation
1374:-sphere is not even connected, consisting of two discrete points.
57:-space. This image shows three coordinate directions projected to
20193:
177:
49:
can project a sphere's surface to a plane, it can also project a
13175:, and its immediate children represent the first splitting into
5856:{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}
5787:{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}
1225:-dimensional spaces together, by identifying the boundary of an
18696:
17697:
17664:
4287:
3782:
3164:
3101:
2744:, §6.1) for a discussion and proof of this formula in the case
1839:
1727:
478:
340:
173:
145:
19556:
Voelker, Aaron R.; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. (2017).
13880:
are determined by the tree. Similarly, the volume measure is
8193:, a straightforward computation shows that the determinant is
20150:
19885:
Differential forms with applications to the physical sciences
17863:{\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}
17763:
15938:, although in fact the choice of the variance is arbitrary),
11117:
The standard spherical coordinate system arises from writing
7294:
20001:
16630:
is a number generated uniformly at random from the interval
15804:
To generate uniformly distributed random points on the unit
15779:
9159:. Similarly, the submatrix formed by deleting the entry at
4385:{\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}
18829:-sphere is a square (without its interior). The octahedral
17669:
17562:. This is sometimes called the Porter–Thomas distribution.
4197:
in the
Euclidean plane, and its interior is the unit disk (
2308:{\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}
13557:
This is the subgroup that leaves each of the two factors
2224:{\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}
16537:
16241:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
16006:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
4071:-sphere consists of its two end-points, with coordinate
18958: – Rational function of the form (az + b)/(cz + d)
17121:
5645:-dimensional Euclidean space which is analogous to the
3726:
st power of the radius, and the volume of an arbitrary
19295:
19213:
17118:
that arises in some numerical and other applications.
16692:
is a point selected uniformly at random from the unit
16480:
is uniformly distributed over the surface of the unit
16452:
16419:
16146:
is uniformly distributed over the surface of the unit
16118:
15224:
15201:
13621:{\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}
13241:. Leaf nodes correspond to Cartesian coordinates for
9006:
in the final column. By the recursive description of
7693:
7119:
6966:
6830:
6690:
4365:
3366:{\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}
19555:
19392:
19294:
19212:
19182:
19144:
19114:
19080:
19043:
19013:
18983:
18893:
18865:
18837:
18813:
18710:
18679:
18653:
18614:
18565:
18528:
18325:
18294:
18258:
18140:
18093:
18062:
18038:
17940:
17904:
17824:
17788:
17741:
17622:
17585:
17508:
17488:
17462:
17428:
17250:
17210:
17176:
17134:
17098:
17074:
17047:
16978:
16942:
16867:
16831:
16807:
16780:
16736:
16700:
16674:
16638:
16614:
16590:
16554:
16510:
16488:
16450:
16417:
16393:
16363:
16339:
16300:
16265:
16181:
16154:
16116:
16024:
15946:
15907:
15879:
15848:
15812:
15582:
15550:
15511:
15475:
15451:
15420:
15396:
15298:
15270:
15192:
15168:
15126:
15102:
15078:
15054:
14856:
14824:
14793:
14668:
14630:
14593:
14468:
14437:
14400:
14363:
14345:{\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}
14303:
14252:
14228:
14197:
14166:
14142:
14118:
14021:
13889:
13857:
13743:
13709:
13672:
13639:
13563:
13462:
13398:
13354:
13317:
13286:
13249:
13216:
13183:
13150:
13126:
13096:
13063:
13032:
12845:
12820:
12796:
12772:
12728:
12704:
12680:
12656:
12620:
12584:
12545:
12521:
12497:
12467:
12413:
12359:
12333:
12307:
12281:
12248:
12217:
12113:
11952:
11912:
11849:
11813:
11789:
11765:
11732:
11693:
11646:
11602:
11528:
11497:
11411:
11261:
11229:
11205:
11188:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}
11158:
11125:
11077:
11033:
10979:
10558:
10332:
10307:
10279:
10243:
10216:
9854:
9315:
9283:
9240:
9203:
9167:
9124:
9087:
9045:
9014:
8979:
8955:
8912:
8882:
8839:
8802:
8772:
8742:
8711:
8687:
8657:
8633:
8609:
8566:
8536:
8493:
8456:
8426:
8395:
8371:
8341:
8317:
8280:
8249:
8225:
8201:
8171:
7674:
7619:
7569:
7545:
7528:
7509:
7485:
7461:
7430:
7364:
7340:
7309:
6674:
6201:
6183:{\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}
6138:
6088:
6057:
6021:
5982:
5945:
5909:
5873:
5804:
5735:
5705:
5681:
5657:
5629:
5584:
5547:
5523:
5466:
5415:
5353:
5329:
5305:
5269:
5152:
5109:
5085:
4942:
4917:
4881:
4857:
4833:
4797:
4771:
4746:
4722:
4698:
4674:
4643:
4472:
4440:
4403:
4327:
4302:
4230:
4205:
4177:
4119:
4079:
4055:
4031:
3992:
3968:
3930:
3901:
3877:
3828:
3793:
3758:
3734:
3698:
3662:
3638:
3607:
3583:
3559:
3523:
3486:
3433:
3407:
3383:
3325:
3301:
3277:
3249:
3202:
3175:
3139:
3112:
3076:
3041:
3010:
2982:
2942:
2902:
2878:
2783:
2752:
2720:
2516:
2491:
2467:
2443:
2412:
2404:-dimensional Euclidean space and is an example of an
2376:
2352:
2325:
2242:
2141:
2100:
2076:
2001:
1965:
1932:
1908:
1874:
1850:
1822:
1788:
1762:
1738:
1700:
1652:
1612:
1586:
1555:
1529:
1505:
1465:
1441:
1417:
1393:
1358:
1334:
1300:
1264:
1234:
1209:
1185:
1161:
1133:
1105:
1081:
1042:
999:
969:
945:
910:
870:
840:
748:
723:
696:
661:
625:
594:
556:
528:
497:
461:
434:
406:
362:
310:
270:
235:
211:
187:
156:
128:
100:
19982:
19585:
Introduction to Random
Matrices: Theory and Practice
17204:-sphere, then its probability density function, for
17063:-ball (i.e., by simply discarding two coordinates).
16355:
as above, and rejecting the point and resampling if
13631:
In polyspherical coordinates, the volume measure on
13346:and taking the right branch introduces a factor of
6080:are the Cartesian coordinates, then we may compute
19907:
19422:
19374:
19276:
19194:
19156:
19126:
19092:
19062:
19025:
18995:
18905:
18871:
18843:
18819:
18787:
18685:
18659:
18620:
18583:
18534:
18510:
18307:
18276:
18211:
18105:
18075:
18044:
18016:
17922:
17862:
17806:
17747:
17634:
17600:
17554:
17494:
17474:
17448:
17412:
17234:
17194:
17158:
17104:
17080:
17053:
17029:
16960:
16924:
16849:
16813:
16786:
16762:
16718:
16682:
16656:
16620:
16596:
16572:
16526:
16494:
16470:
16432:
16399:
16375:
16345:
16321:
16278:
16240:
16160:
16136:
16097:
16005:
15928:
15885:
15854:
15830:
15763:
15563:
15532:
15493:
15457:
15433:
15402:
15377:
15279:
15252:
15174:
15150:
15108:
15084:
15060:
15020:
14837:
14806:
14774:
14649:
14612:
14574:
14445:
14419:
14382:
14344:
14284:
14234:
14210:
14179:
14148:
14124:
14100:
14002:
13870:
13838:
13724:
13691:
13654:
13620:
13546:
13443:
13373:
13336:
13299:
13268:
13231:
13198:
13165:
13132:
13108:
13080:
13049:
13011:
12826:
12802:
12778:
12754:
12710:
12686:
12662:
12638:
12602:
12566:
12527:
12503:
12479:
12449:
12395:
12341:
12315:
12289:
12265:
12234:
12200:
12093:
11933:
11894:
11831:
11795:
11771:
11747:
11713:
11679:
11632:
11588:
11512:
11478:
11391:
11244:
11213:
11187:
11140:
11095:
11059:
11015:
10960:
10534:
10313:
10285:
10261:
10222:
10197:
9834:
9296:
9265:
9222:
9185:
9149:
9106:
9069:
9027:
8992:
8961:
8937:
8894:
8864:
8821:
8784:
8754:
8724:
8693:
8669:
8639:
8615:
8591:
8548:
8518:
8475:
8438:
8408:
8377:
8353:
8323:
8299:
8262:
8231:
8207:
8183:
8152:
7651:
7601:
7551:
7515:
7491:
7467:
7443:
7412:
7346:
7322:
7281:
6654:
6182:
6120:
6070:
6039:
6003:
5964:
5927:
5891:
5855:
5786:
5717:
5687:
5663:
5635:
5603:
5566:
5529:
5504:
5447:
5397:
5335:
5311:
5287:
5250:
5127:
5091:
5066:
4923:
4899:
4863:
4839:
4803:
4777:
4752:
4728:
4704:
4680:
4649:
4624:
4453:
4422:
4384:
4308:
4275:
4211:
4183:
4158:
4100:
4061:
4037:
4013:
3974:
3949:
3907:
3893:-ball is sometimes defined as a single point. The
3883:
3847:
3806:
3764:
3740:
3716:
3680:
3644:
3620:
3589:
3565:
3541:
3505:
3448:
3413:
3389:
3365:
3307:
3283:
3255:
3208:
3181:
3145:
3118:
3082:
3047:
3016:
2988:
2960:
2920:
2884:
2845:
2764:
2728:
2703:
2497:
2473:
2449:
2418:
2394:
2358:
2331:
2307:
2223:
2122:
2082:
2058:
1983:
1938:
1914:
1880:
1856:
1828:
1794:
1770:
1744:
1706:
1682:
1630:
1594:
1561:
1537:
1511:
1483:
1447:
1423:
1399:
1364:
1340:
1312:
1282:
1240:
1215:
1191:
1167:
1139:
1111:
1087:
1048:
1026:
975:
951:
916:
876:
852:
821:
729:
702:
667:
643:
600:
562:
534:
503:
467:
440:
412:
380:
316:
288:
241:
217:
193:
162:
134:
106:
19627:Classical Topology and Combinatorial Group Theory
19461:Smith, David J.; Vamanamurthy, Mavina K. (1989).
19460:
18952: – Study of angle-preserving transformations
17456:be the appropriately scaled version, then at the
17090:is sufficiently large, most of the volume of the
20307:
19928:(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).
13309:, taking the left branch introduces a factor of
12450:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}
12396:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}
9884:
9037:, the submatrix formed by deleting the entry at
7453:may be chosen to be zero. (For example, for the
1027:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}
19748:"Choosing a Point from the Surface of a Sphere"
19578:
19560:(Report). Centre for Theoretical Neuroscience.
18557:Homeomorphic to the octonionic projective line
15800:-sphere, generated using Marsaglia's algorithm.
10232:-ball can be derived from this by integration.
422:-sphere is the pair of points at the ends of a
65:(blue), and hypermeridians (green). Due to the
27:Generalized sphere of dimension n (mathematics)
19905:
1350:-sphere (circle) is not simply connected; the
1252:with a point, or (inductively) by forming the
1125:. Under inverse stereographic projection, the
544:-sphere, often simply called a sphere, is the
20017:
19845:
17336:
17311:
17291:
17274:
16925:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}
15388:Likewise, the stereographic projection of an
15245:
15195:
4614:
4591:
4540:
4523:
4276:{\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}
2059:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}
19906:Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996).
17595:
17586:
16934:is a point selected uniformly from the unit
16015:. Now calculate the "radius" of this point:
15774:
12996:
12988:
12983:
12975:
12957:
12949:
12944:
12936:
12918:
12910:
12905:
12897:
12868:
12860:
11714:{\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }
11708:
11700:
11564:
11556:
11112:
9232:, except that its last row is multiplied by
9116:, except that its last row is multiplied by
5297:-sphere as a union of products of a circle (
4463:are given in closed form by the expressions
4095:
4080:
3360:
3354:
3293:-dimensional Euclidean space. Briefly, the
1677:
1653:
1021:
1015:
18975:Formally, this formula is only correct for
17482:limit, the probability density function of
17030:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
16471:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }
16137:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }
15031:
20024:
20010:
19910:Experiencing geometry: on plane and sphere
19656:Differential Geometry and Its Applications
17305:
15840:-sphere (that is, the surface of the unit
10235:Similarly the surface area element of the
7413:{\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}
4690:tends to infinity, the volume of the unit
3233:
73:have an infinite radius (= straight line).
19873:
19863:
19763:
19745:
19667:
19620:
19499:
18737:
18054:-dimensional manifold is homeomorphic to
17039:is uniformly distributed within the unit
16772:is uniformly distributed within the unit
15865:
15514:
15008:
14762:
14562:
14081:
14059:
14024:
13983:
13929:
13922:
13819:
13712:
13642:
13534:
13507:
13480:
13431:
13416:
13401:
13219:
13186:
13153:
11921:
11882:
11867:
11852:
11735:
11500:
11232:
11169:
11160:
11128:
10768:
10493:
10479:
10152:
10138:
10131:
9968:
9954:
7298:is the two-argument arctangent function.
5207:
3436:
3341:
2595:
1692:, and is the boundary of a line segment (
1002:
775:
19882:
19698:
15791:
5621:We may define a coordinate system in an
5616:
3776:
3654:-ball. The surface area of an arbitrary
3630:be the volume of its interior, the unit
2741:
1952:
40:
29:
11680:{\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}
8485:, but multiplied by an extra factor of
7652:{\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}
7602:{\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}
14:
20308:
19946:
18277:{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}
15160:on a two-dimensional sphere of radius
12513:. It can be shown that the domain of
4714:-ball (ratio between the volume of an
4159:{\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}
3599:-dimensional Euclidean space, and let
20005:
19983:
19809:
19772:
13081:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}
13050:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}
12266:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}
12235:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}
11934:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
11904:. Using this decomposition, a point
11252:, the standard Cartesian coordinates
9195:and its row and column almost equals
9079:and its row and column almost equals
8831:, but multiplied by extra factors of
7661:for concision, then observe that the
3921:is the number of points in a set. So
18798:In general, it takes the shape of a
18638:
17555:{\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}
17122:Distribution of the first coordinate
14244:, these factors are as follows. If
8971:, respectively. The determinant of
5398:{\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}
5077:Equivalently, representing the unit
19846:Kalnins, E. G.; Miller, W. (1986).
18221:. The question of whether it has a
17565:
16823:-ball by a reduction from the unit
16763:{\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }
12273:are the unit vectors associated to
9266:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
9150:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8938:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
8865:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8592:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8519:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
6121:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
1640:-dimensional space. In particular:
1457:is defined as the set of points in
24:
19692:
19534:N. Ja. Vilenkin and A. U. Klimyk,
19454:
17469:
17306:
17269:
16385:(i.e., if the point is not in the
15533:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}
14958:
14719:
14519:
14439:
11060:{\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}
10889:
10820:
10208:The formula for the volume of the
9911:
9890:
7529:Spherical volume and area elements
7356:will be ambiguous whenever all of
5505:{\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}
4644:
4586:
4518:
3474:Unit sphere § Volume and area
3463:
3357:
2132:, is represented by the equation:
1018:
25:
20332:
19976:
19752:Annals of Mathematical Statistics
19502:The American Mathematical Monthly
19170:and the usual convention for the
18857:; hence the name. The octahedral
18584:{\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}
18128:coming from the set of pure unit
17923:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}
17807:{\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}
17700:. For its complex structure, see
12836:. The inverse transformation is
11016:{\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}
7477:-sphere, when the polar angle is
1780:, and is the boundary of a disk (
20090:
18571:
18568:
17910:
17907:
17794:
17791:
16756:
16676:
16464:
16183:
16130:
15948:
14110:and that has angular coordinate
13725:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13655:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13374:{\displaystyle \cos \theta _{i}}
13337:{\displaystyle \sin \theta _{i}}
13232:{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}
13199:{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}
13166:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13068:
13037:
12992:
12979:
12953:
12940:
12914:
12901:
12864:
12418:
12364:
12335:
12309:
12283:
12253:
12222:
12182:
12147:
12115:
12081:
12073:
11954:
11805:are positive integers such that
11748:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11704:
11560:
11547:
11533:
11513:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11460:
11413:
11382:
11263:
11245:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11207:
11141:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
9275:. Therefore the determinant of
5448:{\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}
3515:be the surface area of the unit
3449:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3265:-sphere can be constructed as a
3065:, is the interior of a 0-sphere.
2244:
1764:
1588:
1531:
19423:{\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}
18916:pair; this gives a octahedron.
16538:Uniformly at random within the
16433:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}
15868:gives the following algorithm.
15094:-dimensional hyperplane by the
13024:polyspherical coordinate system
10568:
9496:
7076:
6422:
5261:We can also represent the unit
5101:-ball as a union of concentric
4873:-sphere at the boundary of the
4551:
4350:
4253:
4139:
3690:-sphere is proportional to the
1644:a 0-sphere is a pair of points
1061:In the more general setting of
832:Considered intrinsically, when
258:Considered extrinsically, as a
19827:(Chapter 14: The Hypersphere).
19644:
19614:
19572:
19549:
19528:
19493:
19479:10.1080/0025570X.1989.11977419
19441:
18969:
18764:
18758:
18505:
18499:
18485:
18479:
18452:
18446:
18434:
18428:
18414:
18408:
18396:
18390:
18376:
18370:
18358:
18352:
18338:
18332:
18271:
18265:
18206:
18200:
18173:
18167:
18153:
18147:
18011:
18005:
17991:
17985:
17973:
17967:
17953:
17947:
17857:
17851:
17837:
17831:
17644:. The only sphere that is not
17532:
17509:
17466:
17373:
17361:
17357:
17344:
17260:
17254:
17229:
17217:
17189:
17177:
17024:
16979:
16955:
16943:
16919:
16868:
16844:
16832:
16713:
16701:
16651:
16639:
16567:
16555:
16316:
16301:
16235:
16190:
16000:
15955:
15923:
15911:
15825:
15813:
15764:{\displaystyle \mapsto \left.}
15631:
15628:
15583:
15488:
15476:
15378:{\displaystyle \mapsto \left.}
15320:
15317:
15299:
15145:
15127:
15070:-sphere can be mapped onto an
15002:
14962:
14942:
14910:
14907:
14875:
14866:
14860:
14756:
14723:
14678:
14672:
14556:
14523:
14478:
14472:
14313:
14307:
13980:
13967:
13816:
13803:
13538:
13530:
13511:
13503:
13484:
13476:
13072:
13041:
12749:
12729:
12633:
12621:
12561:
12546:
12422:
12368:
12257:
12226:
12192:
12186:
12175:
12160:
12151:
12140:
12125:
12122:
12085:
12069:
12063:
11999:
11993:
11961:
11633:{\displaystyle (1,0,\dots ,0)}
11627:
11603:
11537:
11470:
11464:
11453:
11438:
11420:
11386:
11365:
11359:
11308:
11302:
11270:
10885:
10858:
10847:
10823:
10476:
10457:
10445:
10432:
10410:
10397:
10256:
10244:
10128:
10109:
10097:
10084:
10062:
10049:
9906:
9893:
9821:
9800:
9796:
9761:
9748:
9700:
9696:
9675:
9639:
9626:
9622:
9601:
9581:
9578:
9527:
9512:
9502:
9486:
9482:
9461:
9441:
9438:
9384:
9373:
9361:
9357:
9347:
9336:
9321:
9180:
9168:
9064:
9046:
8309:as follows. Except in column
6642:
6623:
6614:
6595:
6583:
6570:
6534:
6515:
6506:
6487:
6475:
6462:
6409:
6396:
6387:
6374:
6365:
6352:
6316:
6303:
6294:
6281:
6245:
6232:
6034:
6022:
5998:
5983:
5965:{\displaystyle \varphi _{n-1}}
5922:
5910:
5886:
5874:
5282:
5270:
5122:
5110:
5031:
5019:
4894:
4882:
4816:
4008:
3993:
3711:
3699:
3675:
3663:
3536:
3524:
2955:
2943:
2915:
2903:
2570:
2560:
2389:
2377:
2302:
2251:
2209:
2182:
2117:
2111:
2053:
2002:
1978:
1966:
1625:
1613:
1478:
1466:
1377:
1277:
1265:
985:-space with a single adjoined
801:
795:
653:-sphere is the boundary of an
638:
626:
513:-ball) in the two-dimensional
375:
363:
283:
271:
13:
1:
20031:
19739:
19566:10.13140/RG.2.2.15829.01767/1
19063:{\displaystyle x_{3}=\cdots }
18246:structure as the set of unit
14285:{\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}
3750:-ball is proportional to the
1948:-dimensional Euclidean space.
19678:10.1016/j.difgeo.2017.10.014
18671:is defined similarly to the
17778:quaternionic projective line
17475:{\displaystyle N\to \infty }
16683:{\displaystyle \mathbf {x} }
14446:{\displaystyle \mathrm {B} }
14134:. The corresponding factor
12342:{\displaystyle \mathbf {x} }
12316:{\displaystyle \mathbf {z} }
12290:{\displaystyle \mathbf {y} }
11214:{\displaystyle \mathbf {x} }
7444:{\displaystyle \varphi _{k}}
7323:{\displaystyle \varphi _{k}}
5539:. Along with the base cases
4849:-dimensional volume, of the
3317:-sphere can be described as
1771:{\displaystyle \mathbf {c} }
1595:{\displaystyle \mathbf {c} }
1538:{\displaystyle \mathbf {c} }
7:
19593:10.1007/978-3-319-70885-0_9
19581:"One Pager on Eigenvectors"
19463:"How Small Is a Unit Ball?"
18919:
17159:{\displaystyle y=x_{1}^{2}}
16859:-sphere. In particular, if
15780:Uniformly at random on the
14847:are greater than one, then
13300:{\displaystyle \theta _{i}}
11687:, and traveling a distance
5647:spherical coordinate system
3456:. This forms the basis for
3002:if it does not include the
1683:{\displaystyle \{c-r,c+r\}}
683:Cartesian coordinate system
227:-sphere is the setting for
10:
20337:
20316:Multi-dimensional geometry
19938:: CS1 maint: postscript (
19837:: CS1 maint: postscript (
19035:, the line beginning with
18944:Homotopy groups of spheres
15035:
14650:{\displaystyle n_{2}>1}
14383:{\displaystyle n_{1}>1}
10547:ultraspherical polynomials
7665:of the transformation is:
3467:
3267:one-point compactification
2863:
1151:one-point compactification
20292:
20271:
20207:
20145:
20099:
20088:
20039:
19883:Flanders, Harley (1989).
19072:must be omitted, and for
17696:Commonly simply called a
17601:{\displaystyle \{\pm R\}}
15775:Probability distributions
14158:depends on the values of
12567:{\displaystyle [0,2\pi )}
11489:This says that points in
11113:Polyspherical coordinates
6004:{\displaystyle [0,2\pi )}
2870:The space enclosed by an
2856:
61:-space: parallels (red),
34:2-sphere wireframe as an
19969:10.1103/PhysRevA.59.1135
18962:
18126:almost complex structure
17895:complex projective space
16527:{\displaystyle 10^{-24}}
15503:-dimensional hyperplane
15289:-plane. In other words,
15253:{\displaystyle {\bigl }}
15044:stereographic projection
15038:Stereographic projection
15032:Stereographic projection
13664:and the area measure on
13388:special orthogonal group
11105:in concordance with the
10295:, which generalizes the
8272:can be constructed from
4101:{\displaystyle \{-1,1\}}
3950:{\displaystyle V_{0}=1.}
3774:th power of the radius.
3458:stereographic projection
2729:{\displaystyle {\star }}
2123:{\displaystyle S^{n}(r)}
935:stereographic projection
47:stereographic projection
19765:10.1214/aoms/1177692644
19195:{\displaystyle n\geq 2}
19106:must be used. The case
18106:{\displaystyle n\geq 5}
17708:complex projective line
17116:curse of dimensionality
16376:{\displaystyle r\geq 1}
16288:independently from the
15895:-dimensional vector of
14613:{\displaystyle n_{1}=1}
14420:{\displaystyle n_{2}=1}
14125:{\displaystyle \theta }
13692:{\displaystyle S^{n-1}}
13269:{\displaystyle S^{n-1}}
12528:{\displaystyle \theta }
12504:{\displaystyle \theta }
12480:{\displaystyle r\geq 0}
9223:{\displaystyle J_{n-1}}
9107:{\displaystyle J_{n-1}}
9070:{\displaystyle (n-1,n)}
8822:{\displaystyle J_{n-1}}
8734:are the same as column
8558:and an extra factor of
8476:{\displaystyle J_{n-1}}
8300:{\displaystyle J_{n-1}}
7422:are zero; in this case
6040:{\displaystyle [0,360)}
5604:{\displaystyle V_{1}=2}
5567:{\displaystyle S_{0}=2}
4650:{\displaystyle \Gamma }
4423:{\displaystyle S_{n-1}}
4292:three-dimensional space
3848:{\displaystyle S_{n-1}}
3506:{\displaystyle S_{n-1}}
3234:Topological description
3163:, is the interior of a
3100:, is the interior of a
2450:{\displaystyle \omega }
2317:is a center point, and
1924:-dimensional sphere in
1313:{\displaystyle n\geq 2}
853:{\displaystyle n\geq 1}
574:three-dimensional space
71:⟨0,0,0,1⟩
19746:Marsaglia, G. (1972).
19447:James W. Vick (1994).
19424:
19376:
19354:
19278:
19256:
19196:
19174:, a formula valid for
19158:
19128:
19094:
19064:
19027:
18997:
18996:{\displaystyle n>3}
18907:
18873:
18845:
18821:
18789:
18695:-sphere but using the
18687:
18661:
18622:
18585:
18536:
18512:
18309:
18278:
18213:
18107:
18077:
18046:
18018:
17924:
17864:
17808:
17749:
17706:. Homeomorphic to the
17636:
17635:{\displaystyle R>0}
17602:
17556:
17496:
17476:
17450:
17414:
17236:
17196:
17160:
17106:
17082:
17055:
17031:
16962:
16926:
16851:
16815:
16788:
16764:
16720:
16684:
16658:
16622:
16598:
16574:
16528:
16496:
16472:
16434:
16401:
16377:
16347:
16323:
16322:{\displaystyle (-1,1)}
16280:
16242:
16162:
16138:
16099:
16007:
15930:
15929:{\displaystyle N(0,1)}
15887:
15856:
15832:
15801:
15765:
15565:
15534:
15495:
15459:
15435:
15404:
15379:
15281:
15254:
15176:
15152:
15110:
15086:
15062:
15022:
14839:
14808:
14776:
14651:
14614:
14576:
14447:
14421:
14384:
14346:
14286:
14236:
14212:
14181:
14150:
14126:
14102:
14004:
13956:
13872:
13840:
13792:
13726:
13693:
13656:
13622:
13548:
13453:determines a subgroup
13445:
13375:
13338:
13301:
13270:
13233:
13200:
13167:
13134:
13110:
13082:
13051:
13013:
12828:
12804:
12780:
12756:
12712:
12688:
12664:
12640:
12604:
12568:
12529:
12505:
12481:
12451:
12397:
12343:
12317:
12291:
12267:
12236:
12202:
12095:
11935:
11896:
11833:
11797:
11773:
11749:
11715:
11681:
11634:
11596:, rotating it towards
11590:
11514:
11480:
11393:
11246:
11215:
11189:
11142:
11097:
11061:
11017:
10962:
10536:
10315:
10287:
10263:
10224:
10199:
9836:
9298:
9267:
9224:
9187:
9151:
9108:
9071:
9029:
8994:
8963:
8939:
8896:
8866:
8823:
8786:
8756:
8726:
8695:
8671:
8641:
8617:
8593:
8550:
8520:
8477:
8440:
8410:
8379:
8355:
8325:
8301:
8264:
8233:
8209:
8185:
8154:
7653:
7603:
7553:
7517:
7493:
7469:
7445:
7414:
7348:
7324:
7283:
6656:
6184:
6122:
6072:
6041:
6005:
5966:
5929:
5893:
5857:
5788:
5719:
5689:
5665:
5637:
5605:
5568:
5531:
5506:
5449:
5399:
5337:
5313:
5289:
5252:
5129:
5093:
5068:
4925:
4901:
4865:
4841:
4805:
4779:
4754:
4730:
4706:
4682:
4651:
4626:
4455:
4424:
4386:
4310:
4277:
4213:
4185:
4160:
4102:
4063:
4039:
4015:
3976:
3951:
3909:
3885:
3866:
3849:
3808:
3766:
3742:
3718:
3682:
3646:
3622:
3591:
3567:
3543:
3507:
3450:
3415:
3391:
3367:
3309:
3285:
3257:
3210:
3183:
3147:
3120:
3084:
3049:
3018:
2990:
2962:
2922:
2886:
2847:
2766:
2730:
2705:
2559:
2499:
2475:
2451:
2420:
2396:
2360:
2333:
2309:
2225:
2181:
2124:
2084:
2060:
1985:
1940:
1916:
1882:
1858:
1830:
1796:
1772:
1746:
1708:
1684:
1632:
1596:
1563:
1539:
1521:from some fixed point
1513:
1485:
1449:
1425:
1401:
1366:
1342:
1314:
1284:
1242:
1217:
1193:
1169:
1141:
1113:
1089:
1050:
1028:
977:
953:
918:
878:
854:
823:
731:
704:
669:
645:
612:four-dimensional space
602:
564:
536:
505:
469:
442:
414:
382:
318:
290:
243:
219:
195:
164:
136:
120:generalization of the
108:
74:
38:
19713:10.1007/s004930170006
19425:
19377:
19328:
19279:
19230:
19197:
19159:
19129:
19095:
19065:
19028:
18998:
18956:Möbius transformation
18908:
18874:
18853:-sphere is a regular
18846:
18822:
18790:
18688:
18662:
18623:
18586:
18537:
18513:
18310:
18308:{\displaystyle S^{4}}
18279:
18214:
18108:
18078:
18076:{\displaystyle S^{n}}
18047:
18019:
17925:
17865:
17809:
17750:
17637:
17603:
17557:
17497:
17477:
17451:
17449:{\displaystyle z=y/N}
17415:
17237:
17235:{\displaystyle y\in }
17197:
17195:{\displaystyle (n-1)}
17161:
17107:
17083:
17056:
17032:
16963:
16961:{\displaystyle (n+1)}
16927:
16852:
16850:{\displaystyle (n+1)}
16816:
16789:
16765:
16721:
16719:{\displaystyle (n-1)}
16685:
16659:
16623:
16599:
16575:
16573:{\displaystyle (n-1)}
16529:
16497:
16473:
16435:
16402:
16378:
16348:
16324:
16281:
16279:{\displaystyle x_{i}}
16243:
16163:
16139:
16100:
16008:
15931:
15888:
15857:
15833:
15831:{\displaystyle (n-1)}
15795:
15766:
15566:
15564:{\displaystyle x_{n}}
15542:perpendicular to the
15535:
15496:
15494:{\displaystyle (n-1)}
15460:
15436:
15434:{\displaystyle S^{n}}
15405:
15380:
15282:
15255:
15177:
15153:
15111:
15087:
15063:
15023:
14840:
14838:{\displaystyle n_{2}}
14809:
14807:{\displaystyle n_{1}}
14777:
14652:
14615:
14577:
14448:
14422:
14385:
14347:
14287:
14237:
14213:
14211:{\displaystyle n_{2}}
14182:
14180:{\displaystyle n_{1}}
14151:
14127:
14103:
14005:
13930:
13873:
13871:{\displaystyle F_{i}}
13841:
13766:
13727:
13694:
13657:
13623:
13549:
13446:
13376:
13339:
13302:
13271:
13234:
13201:
13168:
13135:
13111:
13083:
13052:
13014:
12829:
12805:
12781:
12757:
12713:
12689:
12665:
12641:
12605:
12603:{\displaystyle p=q=1}
12569:
12530:
12506:
12482:
12452:
12398:
12344:
12318:
12292:
12268:
12237:
12203:
12096:
11936:
11897:
11834:
11832:{\displaystyle n=p+q}
11798:
11774:
11750:
11716:
11682:
11635:
11591:
11515:
11481:
11394:
11247:
11216:
11190:
11143:
11098:
11096:{\displaystyle j=n-1}
11062:
11018:
10963:
10537:
10323:-sphere, is given by
10316:
10288:
10264:
10262:{\displaystyle (n-1)}
10225:
10200:
9837:
9299:
9297:{\displaystyle J_{n}}
9268:
9225:
9188:
9186:{\displaystyle (n,n)}
9152:
9109:
9072:
9030:
9028:{\displaystyle J_{n}}
9002:can be calculated by
8995:
8993:{\displaystyle J_{n}}
8964:
8940:
8897:
8867:
8824:
8787:
8757:
8727:
8725:{\displaystyle J_{n}}
8696:
8672:
8642:
8618:
8594:
8551:
8521:
8478:
8441:
8411:
8409:{\displaystyle J_{n}}
8380:
8356:
8326:
8302:
8265:
8263:{\displaystyle J_{n}}
8234:
8210:
8186:
8155:
7654:
7604:
7554:
7518:
7494:
7470:
7446:
7415:
7349:
7325:
7284:
6657:
6185:
6123:
6073:
6071:{\displaystyle x_{i}}
6042:
6006:
5967:
5930:
5894:
5858:
5789:
5720:
5690:
5666:
5638:
5617:Spherical coordinates
5606:
5569:
5532:
5507:
5450:
5400:
5338:
5314:
5290:
5288:{\displaystyle (n+2)}
5253:
5130:
5128:{\displaystyle (n-1)}
5094:
5069:
4926:
4902:
4900:{\displaystyle (n+1)}
4866:
4842:
4806:
4780:
4755:
4731:
4707:
4683:
4652:
4627:
4456:
4454:{\displaystyle V_{n}}
4425:
4387:
4311:
4278:
4214:
4186:
4161:
4103:
4064:
4040:
4016:
3977:
3952:
3910:
3886:
3850:
3809:
3807:{\displaystyle V_{n}}
3780:
3767:
3743:
3719:
3717:{\displaystyle (n-1)}
3683:
3681:{\displaystyle (n-1)}
3647:
3623:
3621:{\displaystyle V_{n}}
3592:
3568:
3544:
3542:{\displaystyle (n-1)}
3508:
3451:
3416:
3392:
3368:
3310:
3286:
3258:
3222:is the interior of a
3211:
3184:
3148:
3121:
3085:
3050:
3019:
2991:
2963:
2961:{\displaystyle (n+1)}
2923:
2921:{\displaystyle (n+1)}
2894:-sphere is called an
2887:
2848:
2767:
2731:
2706:
2533:
2500:
2476:
2452:
2421:
2397:
2395:{\displaystyle (n+1)}
2361:
2334:
2310:
2226:
2155:
2125:
2085:
2061:
1986:
1984:{\displaystyle (n+1)}
1957:The set of points in
1953:Cartesian coordinates
1941:
1917:
1883:
1859:
1831:
1797:
1773:
1747:
1709:
1685:
1633:
1631:{\displaystyle (n+1)}
1597:
1564:
1540:
1514:
1497:that are at distance
1486:
1484:{\displaystyle (n+1)}
1450:
1426:
1402:
1367:
1343:
1315:
1285:
1283:{\displaystyle (n-1)}
1243:
1218:
1194:
1170:
1142:
1114:
1097:-sphere is called an
1090:
1051:
1029:
978:
954:
919:
879:
855:
824:
732:
705:
670:
646:
644:{\displaystyle (n-1)}
603:
586:is the boundary of a
565:
537:
506:
470:
443:
415:
383:
381:{\displaystyle (n+1)}
319:
291:
289:{\displaystyle (n+1)}
244:
220:
196:
165:
137:
109:
44:
36:orthogonal projection
33:
20208:Dimensions by number
19467:Mathematics Magazine
19390:
19292:
19210:
19180:
19142:
19112:
19078:
19041:
19011:
18981:
18891:
18863:
18835:
18811:
18708:
18677:
18651:
18612:
18563:
18526:
18323:
18292:
18256:
18138:
18091:
18060:
18036:
17938:
17902:
17822:
17786:
17776:Homeomorphic to the
17739:
17683:real projective line
17620:
17583:
17506:
17486:
17460:
17426:
17248:
17208:
17174:
17132:
17096:
17072:
17045:
16976:
16940:
16865:
16829:
16805:
16778:
16734:
16698:
16672:
16636:
16612:
16588:
16552:
16508:
16486:
16448:
16415:
16391:
16361:
16337:
16298:
16290:uniform distribution
16263:
16179:
16152:
16114:
16022:
15944:
15905:
15899:(it suffices to use
15877:
15846:
15810:
15580:
15548:
15509:
15473:
15449:
15418:
15394:
15296:
15268:
15190:
15166:
15124:
15100:
15076:
15052:
14854:
14822:
14791:
14666:
14628:
14591:
14466:
14435:
14398:
14361:
14301:
14250:
14226:
14195:
14164:
14140:
14116:
14019:
13887:
13855:
13741:
13707:
13670:
13637:
13561:
13460:
13396:
13352:
13315:
13284:
13247:
13214:
13181:
13148:
13124:
13094:
13061:
13030:
12843:
12818:
12794:
12770:
12726:
12702:
12678:
12654:
12618:
12582:
12543:
12519:
12495:
12465:
12411:
12357:
12331:
12305:
12279:
12246:
12215:
12111:
11950:
11910:
11847:
11811:
11787:
11763:
11730:
11691:
11644:
11600:
11526:
11495:
11409:
11259:
11227:
11203:
11156:
11123:
11075:
11031:
10977:
10556:
10330:
10305:
10277:
10241:
10214:
9852:
9313:
9281:
9238:
9201:
9165:
9122:
9085:
9043:
9012:
8977:
8953:
8910:
8880:
8837:
8800:
8770:
8740:
8709:
8685:
8655:
8631:
8607:
8564:
8534:
8491:
8454:
8424:
8418:are the same as row
8393:
8369:
8339:
8315:
8278:
8247:
8223:
8199:
8169:
8088:
7672:
7617:
7567:
7543:
7516:{\displaystyle \pi }
7507:
7483:
7459:
7428:
7362:
7338:
7307:
6672:
6199:
6136:
6086:
6055:
6019:
5980:
5943:
5907:
5871:
5802:
5733:
5727:angular coordinates
5703:
5679:
5655:
5627:
5582:
5545:
5521:
5464:
5413:
5351:
5327:
5303:
5267:
5150:
5107:
5083:
4940:
4915:
4879:
4855:
4831:
4795:
4769:
4744:
4720:
4696:
4672:
4641:
4470:
4438:
4401:
4325:
4300:
4228:
4203:
4175:
4117:
4077:
4053:
4029:
3990:
3966:
3928:
3899:
3875:
3826:
3791:
3756:
3732:
3696:
3660:
3636:
3605:
3581:
3557:
3521:
3484:
3431:
3423:-sphere, it becomes
3405:
3381:
3323:
3299:
3275:
3247:
3200:
3173:
3137:
3110:
3074:
3039:
3008:
2980:
2940:
2900:
2876:
2781:
2750:
2718:
2514:
2489:
2465:
2441:
2410:
2374:
2350:
2323:
2240:
2139:
2098:
2074:
1999:
1963:
1930:
1906:
1872:
1848:
1820:
1786:
1760:
1736:
1698:
1650:
1610:
1604:may be any point in
1584:
1553:
1527:
1503:
1463:
1439:
1415:
1391:
1356:
1332:
1298:
1262:
1232:
1207:
1183:
1159:
1131:
1103:
1079:
1040:
997:
967:
943:
908:
868:
838:
746:
721:
694:
659:
623:
592:
554:
526:
495:
459:
432:
404:
360:
308:
268:
233:
209:
185:
176:to any non-negative
154:
126:
98:
19961:1999PhRvA..59.1135B
19775:Amer. Math. Monthly
19168:capital-pi notation
19157:{\displaystyle x=r}
19127:{\displaystyle n=1}
19093:{\displaystyle n=2}
19026:{\displaystyle n-3}
18906:{\displaystyle n+1}
17577:The pair of points
17155:
16089:
16065:
16047:
13109:{\displaystyle n-1}
11107:spherical harmonics
10743:
10670:
10583:
9747:
9723:
8895:{\displaystyle n-1}
8785:{\displaystyle n-1}
8755:{\displaystyle n-1}
8670:{\displaystyle n-1}
8549:{\displaystyle n-1}
8439:{\displaystyle n-1}
8354:{\displaystyle n-1}
8184:{\displaystyle n=2}
8084:
5796:, where the angles
5718:{\displaystyle n-1}
5186:
3470:Volume of an n-ball
2998:-sphere, and it is
2974:if it includes the
2765:{\displaystyle r=1}
2738:Hodge star operator
1034:is a model for the
926:-sphere are called
888:Riemannian manifold
739:can be defined as:
20137:Degrees of freedom
20040:Dimensional spaces
19985:Weisstein, Eric W.
19889:Dover Publications
19420:
19372:
19371:
19274:
19273:
19192:
19154:
19124:
19102:, the formula for
19090:
19060:
19023:
18993:
18950:Inversive geometry
18926:Conformal geometry
18903:
18869:
18841:
18817:
18785:
18683:
18657:
18621:{\displaystyle 24}
18618:
18581:
18532:
18508:
18317:. Parallelizable.
18305:
18274:
18209:
18103:
18073:
18042:
18014:
17920:
17860:
17804:
17745:
17663:Commonly called a
17632:
17598:
17552:
17492:
17472:
17446:
17410:
17232:
17192:
17156:
17141:
17102:
17078:
17051:
17027:
16958:
16922:
16847:
16811:
16784:
16760:
16716:
16680:
16654:
16618:
16594:
16570:
16524:
16492:
16468:
16461:
16430:
16428:
16397:
16373:
16343:
16319:
16276:
16238:
16158:
16134:
16127:
16095:
16075:
16051:
16033:
16003:
15926:
15883:
15852:
15828:
15802:
15761:
15561:
15530:
15491:
15455:
15431:
15400:
15375:
15280:{\displaystyle xy}
15277:
15250:
15241:
15218:
15184:maps to the point
15172:
15148:
15106:
15082:
15058:
15018:
14835:
14804:
14772:
14647:
14610:
14572:
14443:
14417:
14380:
14342:
14282:
14232:
14208:
14177:
14146:
14122:
14098:
14000:
13868:
13849:where the factors
13836:
13722:
13689:
13652:
13618:
13544:
13441:
13371:
13334:
13297:
13266:
13229:
13196:
13163:
13130:
13106:
13078:
13047:
13009:
13007:
12824:
12800:
12776:
12752:
12708:
12684:
12660:
12648:if exactly one of
12636:
12600:
12564:
12525:
12501:
12477:
12447:
12393:
12339:
12325:. This expresses
12313:
12287:
12263:
12232:
12198:
12091:
11943:may be written as
11931:
11892:
11829:
11793:
11769:
11745:
11711:
11677:
11630:
11586:
11510:
11476:
11389:
11242:
11211:
11185:
11138:
11093:
11057:
11013:
10958:
10956:
10695:
10627:
10569:
10532:
10311:
10283:
10271:-sphere of radius
10259:
10220:
10195:
10193:
9832:
9830:
9727:
9703:
9294:
9263:
9220:
9183:
9147:
9104:
9067:
9025:
8990:
8959:
8935:
8892:
8862:
8819:
8782:
8752:
8722:
8691:
8667:
8637:
8613:
8589:
8546:
8516:
8473:
8436:
8406:
8375:
8351:
8321:
8297:
8260:
8229:
8205:
8181:
8150:
8141:
7649:
7599:
7549:
7513:
7489:
7465:
7441:
7410:
7344:
7320:
7279:
7277:
7171:
7046:
6910:
6792:
6652:
6650:
6180:
6118:
6068:
6037:
6001:
5962:
5925:
5889:
5853:
5784:
5715:
5685:
5661:
5633:
5601:
5564:
5527:
5502:
5445:
5395:
5333:
5309:
5285:
5248:
5172:
5125:
5089:
5064:
4921:
4897:
4861:
4837:
4825:, or properly the
4813:) tends to zero.
4801:
4775:
4750:
4726:
4702:
4678:
4647:
4622:
4451:
4420:
4382:
4374:
4306:
4286:The interior of a
4273:
4209:
4181:
4156:
4098:
4059:
4035:
4011:
3972:
3947:
3905:
3881:
3867:
3845:
3804:
3762:
3738:
3714:
3678:
3642:
3618:
3587:
3563:
3551:-sphere of radius
3539:
3503:
3446:
3411:
3387:
3363:
3305:
3281:
3253:
3206:
3179:
3143:
3116:
3080:
3045:
3014:
2986:
2958:
2918:
2882:
2866:Ball (mathematics)
2843:
2762:
2726:
2701:
2495:
2483:-sphere of radius
2471:
2447:
2416:
2392:
2368:-sphere exists in
2356:
2329:
2305:
2221:
2120:
2080:
2056:
1981:
1936:
1912:
1878:
1854:
1826:
1792:
1768:
1742:
1704:
1680:
1628:
1592:
1559:
1535:
1509:
1481:
1445:
1433:-sphere of radius
1421:
1397:
1362:
1338:
1310:
1280:
1238:
1213:
1189:
1165:
1137:
1109:
1085:
1046:
1024:
973:
949:
914:
892:constant curvature
874:
850:
819:
727:
700:
665:
641:
598:
560:
532:
501:
465:
438:
410:
378:
314:
286:
253:spherical geometry
239:
215:
191:
160:
132:
104:
75:
39:
20303:
20302:
20112:Lebesgue covering
20077:Algebraic variety
19925:978-0-13-373770-7
19898:978-0-486-66169-8
19824:978-0-8247-7437-0
19817:. Marcel Dekker.
19811:Weeks, Jeffrey R.
19602:978-3-319-70885-0
19451:, p. 60. Springer
19104:polar coordinates
18872:{\displaystyle n}
18844:{\displaystyle 2}
18820:{\displaystyle 1}
18686:{\displaystyle n}
18660:{\displaystyle n}
18639:Octahedral sphere
18535:{\displaystyle 7}
18223:complex structure
18045:{\displaystyle n}
17748:{\displaystyle 2}
17612:discrete topology
17495:{\displaystyle z}
17342:
17332:
17303:
17287:
17105:{\displaystyle n}
17081:{\displaystyle n}
17054:{\displaystyle n}
16814:{\displaystyle n}
16787:{\displaystyle n}
16621:{\displaystyle u}
16597:{\displaystyle n}
16495:{\displaystyle n}
16460:
16427:
16400:{\displaystyle n}
16346:{\displaystyle r}
16257:by sampling each
16161:{\displaystyle n}
16126:
16090:
15886:{\displaystyle n}
15855:{\displaystyle n}
15751:
15704:
15669:
15458:{\displaystyle 1}
15403:{\displaystyle n}
15365:
15344:
15240:
15217:
15175:{\displaystyle 1}
15109:{\displaystyle n}
15085:{\displaystyle n}
15061:{\displaystyle n}
15006:
15000:
14980:
14955:
14785:Finally, if both
14760:
14754:
14734:
14560:
14554:
14541:
14337:
14235:{\displaystyle 1}
14149:{\displaystyle F}
13133:{\displaystyle n}
13075:
13044:
13000:
12961:
12922:
12827:{\displaystyle 1}
12803:{\displaystyle q}
12779:{\displaystyle p}
12711:{\displaystyle 1}
12687:{\displaystyle q}
12663:{\displaystyle p}
12425:
12371:
12260:
12229:
12189:
12154:
11796:{\displaystyle q}
11772:{\displaystyle p}
11540:
11467:
10931:
10924:
10736:
10663:
10314:{\displaystyle 2}
10286:{\displaystyle r}
10223:{\displaystyle n}
9941:
9004:Laplace expansion
8962:{\displaystyle n}
8694:{\displaystyle n}
8640:{\displaystyle n}
8616:{\displaystyle n}
8378:{\displaystyle n}
8324:{\displaystyle n}
8232:{\displaystyle n}
8208:{\displaystyle r}
7552:{\displaystyle n}
7492:{\displaystyle 0}
7468:{\displaystyle 2}
7347:{\displaystyle k}
7169:
7044:
6908:
6790:
5688:{\displaystyle r}
5664:{\displaystyle 3}
5636:{\displaystyle n}
5530:{\displaystyle n}
5336:{\displaystyle n}
5321:-sphere) with an
5312:{\displaystyle 1}
5233:
5092:{\displaystyle n}
5013:
4924:{\displaystyle R}
4864:{\displaystyle n}
4840:{\displaystyle n}
4804:{\displaystyle 1}
4778:{\displaystyle n}
4753:{\displaystyle 1}
4729:{\displaystyle n}
4705:{\displaystyle n}
4681:{\displaystyle n}
4620:
4604:
4546:
4536:
4373:
4309:{\displaystyle 3}
4212:{\displaystyle 2}
4184:{\displaystyle 1}
4062:{\displaystyle 0}
4038:{\displaystyle 2}
3975:{\displaystyle 1}
3919:Hausdorff measure
3908:{\displaystyle 0}
3884:{\displaystyle 0}
3861:-balls of radius
3765:{\displaystyle n}
3741:{\displaystyle n}
3645:{\displaystyle n}
3590:{\displaystyle n}
3566:{\displaystyle 1}
3414:{\displaystyle n}
3390:{\displaystyle n}
3308:{\displaystyle n}
3284:{\displaystyle n}
3256:{\displaystyle n}
3209:{\displaystyle 4}
3182:{\displaystyle 2}
3146:{\displaystyle 3}
3119:{\displaystyle 1}
3083:{\displaystyle 2}
3048:{\displaystyle 1}
3017:{\displaystyle n}
2989:{\displaystyle n}
2885:{\displaystyle n}
2531:
2498:{\displaystyle r}
2474:{\displaystyle n}
2419:{\displaystyle n}
2359:{\displaystyle n}
2332:{\displaystyle r}
2083:{\displaystyle n}
2068:, that define an
1939:{\displaystyle 4}
1915:{\displaystyle 3}
1881:{\displaystyle 3}
1857:{\displaystyle 3}
1829:{\displaystyle 2}
1795:{\displaystyle 2}
1745:{\displaystyle r}
1707:{\displaystyle 1}
1562:{\displaystyle r}
1512:{\displaystyle r}
1448:{\displaystyle r}
1424:{\displaystyle n}
1400:{\displaystyle n}
1365:{\displaystyle 0}
1341:{\displaystyle 1}
1241:{\displaystyle n}
1216:{\displaystyle n}
1192:{\displaystyle n}
1168:{\displaystyle n}
1140:{\displaystyle n}
1112:{\displaystyle n}
1088:{\displaystyle n}
1067:topological space
1049:{\displaystyle n}
993:thereby defined,
987:point at infinity
976:{\displaystyle n}
952:{\displaystyle n}
917:{\displaystyle n}
877:{\displaystyle n}
730:{\displaystyle 1}
703:{\displaystyle n}
668:{\displaystyle n}
601:{\displaystyle 4}
563:{\displaystyle 3}
535:{\displaystyle 2}
504:{\displaystyle 2}
468:{\displaystyle 1}
441:{\displaystyle 1}
413:{\displaystyle 0}
394:. In particular:
317:{\displaystyle n}
242:{\displaystyle n}
218:{\displaystyle n}
194:{\displaystyle n}
163:{\displaystyle 2}
135:{\displaystyle 1}
107:{\displaystyle n}
18:Circle (topology)
16:(Redirected from
20328:
20100:Other dimensions
20094:
20062:Projective space
20026:
20019:
20012:
20003:
20002:
19998:
19997:
19972:
19955:(2): 1135–1146.
19943:
19937:
19929:
19913:
19902:
19879:
19877:
19867:
19865:10.1063/1.527088
19842:
19836:
19828:
19806:
19769:
19767:
19733:
19732:
19696:
19690:
19689:
19671:
19648:
19642:
19640:
19618:
19612:
19611:
19610:
19609:
19576:
19570:
19569:
19553:
19547:
19532:
19526:
19525:
19497:
19491:
19490:
19458:
19452:
19445:
19433:
19431:
19429:
19427:
19426:
19421:
19383:
19381:
19379:
19378:
19373:
19370:
19369:
19353:
19342:
19327:
19326:
19305:
19304:
19285:
19283:
19281:
19280:
19275:
19272:
19271:
19255:
19244:
19223:
19222:
19203:
19201:
19199:
19198:
19193:
19165:
19163:
19161:
19160:
19155:
19135:
19133:
19131:
19130:
19125:
19101:
19099:
19097:
19096:
19091:
19071:
19069:
19067:
19066:
19061:
19053:
19052:
19034:
19032:
19030:
19029:
19024:
19004:
19002:
19000:
18999:
18994:
18973:
18914:
18912:
18910:
18909:
18904:
18883:topological join
18880:
18878:
18876:
18875:
18870:
18852:
18850:
18848:
18847:
18842:
18828:
18826:
18824:
18823:
18818:
18794:
18792:
18791:
18786:
18784:
18780:
18773:
18772:
18767:
18752:
18751:
18740:
18720:
18719:
18699:
18694:
18692:
18690:
18689:
18684:
18668:
18666:
18664:
18663:
18658:
18629:
18627:
18625:
18624:
18619:
18598:
18592:
18590:
18588:
18587:
18582:
18580:
18579:
18574:
18553:
18548:were discovered.
18543:
18541:
18539:
18538:
18533:
18519:
18517:
18515:
18514:
18509:
18492:
18469:
18468:
18459:
18421:
18383:
18345:
18316:
18314:
18312:
18311:
18306:
18304:
18303:
18285:
18283:
18281:
18280:
18275:
18238:
18225:is known as the
18220:
18218:
18216:
18215:
18210:
18193:
18188:
18187:
18160:
18120:
18114:
18112:
18110:
18109:
18104:
18084:
18082:
18080:
18079:
18074:
18072:
18071:
18053:
18051:
18049:
18048:
18043:
18030:whether a given
18025:
18023:
18021:
18020:
18015:
17998:
17960:
17931:
17929:
17927:
17926:
17921:
17919:
17918:
17913:
17890:
17877:
17871:
17869:
17867:
17866:
17861:
17844:
17815:
17813:
17811:
17810:
17805:
17803:
17802:
17797:
17772:
17766:
17756:
17754:
17752:
17751:
17746:
17727:
17720:Parallelizable,
17715:
17691:
17672:
17658:
17643:
17641:
17639:
17638:
17633:
17609:
17607:
17605:
17604:
17599:
17573:
17566:Specific spheres
17561:
17559:
17558:
17553:
17551:
17550:
17546:
17530:
17529:
17501:
17499:
17498:
17493:
17481:
17479:
17478:
17473:
17455:
17453:
17452:
17447:
17442:
17419:
17417:
17416:
17411:
17406:
17405:
17401:
17385:
17384:
17380:
17343:
17341:
17340:
17339:
17333:
17328:
17317:
17315:
17314:
17304:
17299:
17296:
17295:
17294:
17288:
17280:
17278:
17277:
17267:
17241:
17239:
17238:
17233:
17203:
17201:
17199:
17198:
17193:
17167:
17165:
17163:
17162:
17157:
17154:
17149:
17113:
17111:
17109:
17108:
17103:
17089:
17087:
17085:
17084:
17079:
17062:
17060:
17058:
17057:
17052:
17038:
17036:
17034:
17033:
17028:
17023:
17022:
17004:
17003:
16991:
16990:
16969:
16967:
16965:
16964:
16959:
16933:
16931:
16929:
16928:
16923:
16918:
16917:
16893:
16892:
16880:
16879:
16858:
16856:
16854:
16853:
16848:
16822:
16820:
16818:
16817:
16812:
16795:
16793:
16791:
16790:
16785:
16771:
16769:
16767:
16766:
16761:
16759:
16754:
16753:
16749:
16727:
16725:
16723:
16722:
16717:
16691:
16689:
16687:
16686:
16681:
16679:
16665:
16663:
16661:
16660:
16657:{\displaystyle }
16655:
16629:
16627:
16625:
16624:
16619:
16605:
16603:
16601:
16600:
16595:
16581:
16579:
16577:
16576:
16571:
16533:
16531:
16530:
16525:
16523:
16522:
16503:
16501:
16499:
16498:
16493:
16479:
16477:
16475:
16474:
16469:
16467:
16462:
16453:
16441:
16439:
16437:
16436:
16431:
16429:
16420:
16408:
16406:
16404:
16403:
16398:
16384:
16382:
16380:
16379:
16374:
16354:
16352:
16350:
16349:
16344:
16330:
16328:
16326:
16325:
16320:
16287:
16285:
16283:
16282:
16277:
16275:
16274:
16254:
16249:
16247:
16245:
16244:
16239:
16234:
16233:
16215:
16214:
16202:
16201:
16186:
16169:
16167:
16165:
16164:
16159:
16145:
16143:
16141:
16140:
16135:
16133:
16128:
16119:
16104:
16102:
16101:
16096:
16091:
16088:
16083:
16064:
16059:
16046:
16041:
16032:
16014:
16012:
16010:
16009:
16004:
15999:
15998:
15980:
15979:
15967:
15966:
15951:
15937:
15935:
15933:
15932:
15927:
15894:
15892:
15890:
15889:
15884:
15866:Marsaglia (1972)
15863:
15861:
15859:
15858:
15853:
15839:
15837:
15835:
15834:
15829:
15799:
15787:
15770:
15768:
15767:
15762:
15757:
15753:
15752:
15750:
15749:
15748:
15732:
15731:
15716:
15705:
15703:
15702:
15701:
15685:
15684:
15675:
15670:
15668:
15667:
15666:
15650:
15649:
15640:
15627:
15626:
15608:
15607:
15595:
15594:
15572:
15570:
15568:
15567:
15562:
15560:
15559:
15541:
15539:
15537:
15536:
15531:
15529:
15528:
15517:
15502:
15500:
15498:
15497:
15492:
15467:will map to the
15466:
15464:
15462:
15461:
15456:
15442:
15440:
15438:
15437:
15432:
15430:
15429:
15411:
15409:
15407:
15406:
15401:
15384:
15382:
15381:
15376:
15371:
15367:
15366:
15364:
15350:
15345:
15343:
15329:
15288:
15286:
15284:
15283:
15278:
15261:
15259:
15257:
15256:
15251:
15249:
15248:
15242:
15239:
15225:
15219:
15216:
15202:
15199:
15198:
15183:
15181:
15179:
15178:
15173:
15159:
15157:
15155:
15154:
15151:{\displaystyle }
15149:
15117:
15115:
15113:
15112:
15107:
15093:
15091:
15089:
15088:
15083:
15069:
15067:
15065:
15064:
15059:
15027:
15025:
15024:
15019:
15007:
15005:
15001:
14996:
14995:
14986:
14981:
14976:
14975:
14966:
14961:
14956:
14948:
14945:
14935:
14934:
14927:
14926:
14900:
14899:
14892:
14891:
14873:
14846:
14844:
14842:
14841:
14836:
14834:
14833:
14815:
14813:
14811:
14810:
14805:
14803:
14802:
14781:
14779:
14778:
14773:
14761:
14759:
14755:
14750:
14749:
14740:
14735:
14727:
14722:
14716:
14709:
14708:
14701:
14700:
14685:
14658:
14656:
14654:
14653:
14648:
14640:
14639:
14621:
14619:
14617:
14616:
14611:
14603:
14602:
14581:
14579:
14578:
14573:
14561:
14559:
14555:
14547:
14542:
14537:
14536:
14527:
14522:
14516:
14509:
14508:
14501:
14500:
14485:
14454:
14452:
14450:
14449:
14444:
14442:
14428:
14426:
14424:
14423:
14418:
14410:
14409:
14391:
14389:
14387:
14386:
14381:
14373:
14372:
14351:
14349:
14348:
14343:
14338:
14336:
14328:
14320:
14293:
14291:
14289:
14288:
14283:
14275:
14274:
14262:
14261:
14243:
14241:
14239:
14238:
14233:
14219:
14217:
14215:
14214:
14209:
14207:
14206:
14188:
14186:
14184:
14183:
14178:
14176:
14175:
14157:
14155:
14153:
14152:
14147:
14133:
14131:
14129:
14128:
14123:
14109:
14107:
14105:
14104:
14099:
14097:
14096:
14095:
14094:
14084:
14075:
14074:
14073:
14072:
14062:
14053:
14052:
14051:
14050:
14038:
14037:
14027:
14009:
14007:
14006:
14001:
13996:
13995:
13979:
13978:
13966:
13965:
13955:
13944:
13921:
13920:
13902:
13901:
13879:
13877:
13875:
13874:
13869:
13867:
13866:
13845:
13843:
13842:
13837:
13832:
13831:
13815:
13814:
13802:
13801:
13791:
13780:
13762:
13761:
13733:
13731:
13729:
13728:
13723:
13721:
13720:
13715:
13700:
13698:
13696:
13695:
13690:
13688:
13687:
13663:
13661:
13659:
13658:
13653:
13651:
13650:
13645:
13627:
13625:
13624:
13619:
13617:
13616:
13598:
13597:
13579:
13578:
13553:
13551:
13550:
13545:
13537:
13526:
13525:
13510:
13499:
13498:
13483:
13472:
13471:
13452:
13450:
13448:
13447:
13442:
13440:
13439:
13434:
13425:
13424:
13419:
13410:
13409:
13404:
13382:
13380:
13378:
13377:
13372:
13370:
13369:
13345:
13343:
13341:
13340:
13335:
13333:
13332:
13308:
13306:
13304:
13303:
13298:
13296:
13295:
13277:
13275:
13273:
13272:
13267:
13265:
13264:
13240:
13238:
13236:
13235:
13230:
13228:
13227:
13222:
13207:
13205:
13203:
13202:
13197:
13195:
13194:
13189:
13174:
13172:
13170:
13169:
13164:
13162:
13161:
13156:
13141:
13139:
13137:
13136:
13131:
13117:
13115:
13113:
13112:
13107:
13087:
13085:
13084:
13079:
13077:
13076:
13071:
13066:
13056:
13054:
13053:
13048:
13046:
13045:
13040:
13035:
13018:
13016:
13015:
13010:
13008:
13001:
12999:
12995:
12986:
12982:
12973:
12962:
12960:
12956:
12947:
12943:
12934:
12923:
12921:
12917:
12908:
12904:
12895:
12867:
12835:
12833:
12831:
12830:
12825:
12811:
12809:
12807:
12806:
12801:
12787:
12785:
12783:
12782:
12777:
12763:
12761:
12759:
12758:
12755:{\displaystyle }
12753:
12745:
12719:
12717:
12715:
12714:
12709:
12695:
12693:
12691:
12690:
12685:
12671:
12669:
12667:
12666:
12661:
12647:
12645:
12643:
12642:
12639:{\displaystyle }
12637:
12611:
12609:
12607:
12606:
12601:
12575:
12573:
12571:
12570:
12565:
12536:
12534:
12532:
12531:
12526:
12512:
12510:
12508:
12507:
12502:
12488:
12486:
12484:
12483:
12478:
12458:
12456:
12454:
12453:
12448:
12446:
12445:
12427:
12426:
12421:
12416:
12404:
12402:
12400:
12399:
12394:
12392:
12391:
12373:
12372:
12367:
12362:
12350:
12348:
12346:
12345:
12340:
12338:
12324:
12322:
12320:
12319:
12314:
12312:
12298:
12296:
12294:
12293:
12288:
12286:
12272:
12270:
12269:
12264:
12262:
12261:
12256:
12251:
12241:
12239:
12238:
12233:
12231:
12230:
12225:
12220:
12207:
12205:
12204:
12199:
12191:
12190:
12185:
12180:
12156:
12155:
12150:
12145:
12118:
12100:
12098:
12097:
12092:
12084:
12076:
12062:
12061:
12043:
12042:
12030:
12029:
12011:
12010:
11992:
11991:
11973:
11972:
11957:
11942:
11940:
11938:
11937:
11932:
11930:
11929:
11924:
11903:
11901:
11899:
11898:
11893:
11891:
11890:
11885:
11876:
11875:
11870:
11861:
11860:
11855:
11840:
11838:
11836:
11835:
11830:
11804:
11802:
11800:
11799:
11794:
11780:
11778:
11776:
11775:
11770:
11756:
11754:
11752:
11751:
11746:
11744:
11743:
11738:
11720:
11718:
11717:
11712:
11707:
11686:
11684:
11683:
11678:
11673:
11668:
11667:
11639:
11637:
11636:
11631:
11595:
11593:
11592:
11587:
11585:
11584:
11563:
11555:
11550:
11542:
11541:
11536:
11531:
11521:
11519:
11517:
11516:
11511:
11509:
11508:
11503:
11485:
11483:
11482:
11477:
11469:
11468:
11463:
11458:
11416:
11398:
11396:
11395:
11390:
11385:
11377:
11376:
11358:
11357:
11333:
11332:
11320:
11319:
11301:
11300:
11282:
11281:
11266:
11251:
11249:
11248:
11243:
11241:
11240:
11235:
11222:
11220:
11218:
11217:
11212:
11210:
11196:
11194:
11192:
11191:
11186:
11184:
11183:
11172:
11163:
11149:
11147:
11145:
11144:
11139:
11137:
11136:
11131:
11104:
11102:
11100:
11099:
11094:
11068:
11066:
11064:
11063:
11058:
11056:
11055:
11054:
11053:
11024:
11022:
11020:
11019:
11014:
10967:
10965:
10964:
10959:
10957:
10953:
10952:
10951:
10932:
10930:
10929:
10925:
10920:
10903:
10897:
10896:
10850:
10816:
10815:
10793:
10785:
10781:
10780:
10767:
10763:
10762:
10742:
10741:
10737:
10732:
10715:
10708:
10707:
10694:
10690:
10689:
10669:
10668:
10664:
10659:
10642:
10635:
10626:
10622:
10621:
10605:
10604:
10582:
10577:
10567:
10562:
10541:
10539:
10538:
10533:
10528:
10527:
10506:
10505:
10492:
10491:
10475:
10474:
10444:
10443:
10428:
10427:
10409:
10408:
10393:
10392:
10377:
10376:
10355:
10354:
10353:
10352:
10322:
10320:
10318:
10317:
10312:
10294:
10292:
10290:
10289:
10284:
10270:
10268:
10266:
10265:
10260:
10231:
10229:
10227:
10226:
10221:
10204:
10202:
10201:
10196:
10194:
10187:
10186:
10165:
10164:
10151:
10150:
10127:
10126:
10096:
10095:
10080:
10079:
10061:
10060:
10045:
10044:
10029:
10028:
10007:
10003:
10002:
9981:
9980:
9967:
9966:
9947:
9943:
9942:
9940:
9939:
9935:
9934:
9933:
9909:
9905:
9904:
9888:
9868:
9867:
9841:
9839:
9838:
9833:
9831:
9824:
9819:
9818:
9803:
9795:
9794:
9776:
9775:
9754:
9746:
9741:
9722:
9717:
9699:
9694:
9693:
9678:
9673:
9672:
9654:
9653:
9632:
9625:
9620:
9619:
9604:
9599:
9598:
9577:
9576:
9561:
9560:
9542:
9541:
9526:
9525:
9498:
9492:
9485:
9480:
9479:
9464:
9459:
9458:
9437:
9436:
9421:
9420:
9402:
9401:
9383:
9382:
9339:
9334:
9333:
9324:
9305:
9303:
9301:
9300:
9295:
9293:
9292:
9274:
9272:
9270:
9269:
9264:
9262:
9261:
9231:
9229:
9227:
9226:
9221:
9219:
9218:
9194:
9192:
9190:
9189:
9184:
9158:
9156:
9154:
9153:
9148:
9146:
9145:
9115:
9113:
9111:
9110:
9105:
9103:
9102:
9078:
9076:
9074:
9073:
9068:
9036:
9034:
9032:
9031:
9026:
9024:
9023:
9001:
8999:
8997:
8996:
8991:
8989:
8988:
8970:
8968:
8966:
8965:
8960:
8946:
8944:
8942:
8941:
8936:
8934:
8933:
8903:
8901:
8899:
8898:
8893:
8873:
8871:
8869:
8868:
8863:
8861:
8860:
8830:
8828:
8826:
8825:
8820:
8818:
8817:
8793:
8791:
8789:
8788:
8783:
8763:
8761:
8759:
8758:
8753:
8733:
8731:
8729:
8728:
8723:
8721:
8720:
8702:
8700:
8698:
8697:
8692:
8678:
8676:
8674:
8673:
8668:
8648:
8646:
8644:
8643:
8638:
8624:
8622:
8620:
8619:
8614:
8600:
8598:
8596:
8595:
8590:
8588:
8587:
8557:
8555:
8553:
8552:
8547:
8527:
8525:
8523:
8522:
8517:
8515:
8514:
8484:
8482:
8480:
8479:
8474:
8472:
8471:
8447:
8445:
8443:
8442:
8437:
8417:
8415:
8413:
8412:
8407:
8405:
8404:
8386:
8384:
8382:
8381:
8376:
8362:
8360:
8358:
8357:
8352:
8332:
8330:
8328:
8327:
8322:
8308:
8306:
8304:
8303:
8298:
8296:
8295:
8271:
8269:
8267:
8266:
8261:
8259:
8258:
8240:
8238:
8236:
8235:
8230:
8216:
8214:
8212:
8211:
8206:
8192:
8190:
8188:
8187:
8182:
8159:
8157:
8156:
8151:
8146:
8145:
8138:
8137:
8122:
8121:
8103:
8102:
8090:
8089:
8080:
8079:
8072:
8071:
8053:
8052:
8038:
8037:
8022:
8021:
8003:
8002:
7989:
7988:
7973:
7972:
7954:
7953:
7937:
7936:
7924:
7923:
7908:
7907:
7889:
7888:
7871:
7870:
7869:
7868:
7867:
7854:
7820:
7819:
7810:
7809:
7792:
7791:
7782:
7781:
7767:
7766:
7757:
7756:
7723:
7722:
7705:
7704:
7684:
7683:
7660:
7658:
7656:
7655:
7650:
7648:
7647:
7629:
7628:
7610:
7608:
7606:
7605:
7600:
7598:
7597:
7579:
7578:
7560:
7558:
7556:
7555:
7550:
7524:
7522:
7520:
7519:
7514:
7500:
7498:
7496:
7495:
7490:
7476:
7474:
7472:
7471:
7466:
7452:
7450:
7448:
7447:
7442:
7440:
7439:
7421:
7419:
7417:
7416:
7411:
7409:
7408:
7393:
7392:
7374:
7373:
7355:
7353:
7351:
7350:
7345:
7331:
7329:
7327:
7326:
7321:
7319:
7318:
7297:
7288:
7286:
7285:
7280:
7278:
7271:
7267:
7266:
7265:
7247:
7246:
7219:
7218:
7196:
7192:
7191:
7190:
7172:
7170:
7168:
7167:
7162:
7161:
7160:
7140:
7139:
7134:
7133:
7132:
7121:
7099:
7098:
7072:
7065:
7061:
7060:
7059:
7047:
7045:
7043:
7042:
7037:
7036:
7035:
7015:
7014:
7009:
7008:
7007:
6987:
6986:
6981:
6980:
6979:
6968:
6946:
6945:
6929:
6925:
6924:
6923:
6911:
6909:
6907:
6906:
6901:
6900:
6899:
6879:
6878:
6873:
6872:
6871:
6851:
6850:
6845:
6844:
6843:
6832:
6810:
6809:
6793:
6791:
6789:
6788:
6783:
6782:
6781:
6767:
6766:
6761:
6760:
6759:
6739:
6738:
6733:
6732:
6731:
6711:
6710:
6705:
6704:
6703:
6692:
6661:
6659:
6658:
6653:
6651:
6641:
6640:
6613:
6612:
6582:
6581:
6553:
6552:
6533:
6532:
6505:
6504:
6474:
6473:
6445:
6444:
6418:
6408:
6407:
6386:
6385:
6364:
6363:
6335:
6334:
6315:
6314:
6293:
6292:
6264:
6263:
6244:
6243:
6215:
6214:
6191:
6189:
6187:
6186:
6181:
6179:
6178:
6154:
6153:
6129:
6127:
6125:
6124:
6119:
6117:
6116:
6098:
6097:
6079:
6077:
6075:
6074:
6069:
6067:
6066:
6048:
6046:
6044:
6043:
6038:
6012:
6010:
6008:
6007:
6002:
5973:
5971:
5969:
5968:
5963:
5961:
5960:
5936:
5934:
5932:
5931:
5928:{\displaystyle }
5926:
5900:
5898:
5896:
5895:
5892:{\displaystyle }
5890:
5864:
5862:
5860:
5859:
5854:
5852:
5851:
5827:
5826:
5814:
5813:
5795:
5793:
5791:
5790:
5785:
5783:
5782:
5758:
5757:
5745:
5744:
5726:
5724:
5722:
5721:
5716:
5696:
5694:
5692:
5691:
5686:
5672:
5670:
5668:
5667:
5662:
5644:
5642:
5640:
5639:
5634:
5612:
5610:
5608:
5607:
5602:
5594:
5593:
5575:
5573:
5571:
5570:
5565:
5557:
5556:
5538:
5536:
5534:
5533:
5528:
5511:
5509:
5508:
5503:
5501:
5500:
5482:
5481:
5456:
5454:
5452:
5451:
5446:
5444:
5443:
5425:
5424:
5406:
5404:
5402:
5401:
5396:
5394:
5393:
5369:
5368:
5344:
5342:
5340:
5339:
5334:
5320:
5318:
5316:
5315:
5310:
5296:
5294:
5292:
5291:
5286:
5257:
5255:
5254:
5249:
5244:
5243:
5234:
5232:
5218:
5206:
5205:
5196:
5195:
5185:
5180:
5168:
5167:
5136:
5134:
5132:
5131:
5126:
5100:
5098:
5096:
5095:
5090:
5073:
5071:
5070:
5065:
5060:
5059:
5058:
5049:
5048:
5014:
5012:
5004:
5003:
5002:
4987:
4986:
4967:
4962:
4961:
4952:
4951:
4932:
4930:
4928:
4927:
4922:
4909:-ball of radius
4908:
4906:
4904:
4903:
4898:
4872:
4870:
4868:
4867:
4862:
4848:
4846:
4844:
4843:
4838:
4812:
4810:
4808:
4807:
4802:
4786:
4784:
4782:
4781:
4776:
4761:
4759:
4757:
4756:
4751:
4738:-ball of radius
4737:
4735:
4733:
4732:
4727:
4713:
4711:
4709:
4708:
4703:
4689:
4687:
4685:
4684:
4679:
4658:
4656:
4654:
4653:
4648:
4631:
4629:
4628:
4623:
4621:
4619:
4618:
4617:
4605:
4597:
4595:
4594:
4584:
4583:
4579:
4566:
4561:
4560:
4547:
4545:
4544:
4543:
4537:
4529:
4527:
4526:
4516:
4515:
4514:
4510:
4493:
4488:
4487:
4462:
4460:
4458:
4457:
4452:
4450:
4449:
4431:
4429:
4427:
4426:
4421:
4419:
4418:
4391:
4389:
4388:
4383:
4375:
4366:
4360:
4359:
4337:
4336:
4317:
4315:
4313:
4312:
4307:
4282:
4280:
4279:
4274:
4263:
4262:
4240:
4239:
4220:
4218:
4216:
4215:
4210:
4192:
4190:
4188:
4187:
4182:
4165:
4163:
4162:
4157:
4149:
4148:
4129:
4128:
4109:
4107:
4105:
4104:
4099:
4070:
4068:
4066:
4065:
4060:
4046:
4044:
4042:
4041:
4036:
4022:
4020:
4018:
4017:
4014:{\displaystyle }
4012:
3983:
3981:
3979:
3978:
3973:
3956:
3954:
3953:
3948:
3940:
3939:
3916:
3914:
3912:
3911:
3906:
3892:
3890:
3888:
3887:
3882:
3864:
3860:
3856:
3854:
3852:
3851:
3846:
3844:
3843:
3815:
3813:
3811:
3810:
3805:
3803:
3802:
3773:
3771:
3769:
3768:
3763:
3749:
3747:
3745:
3744:
3739:
3725:
3723:
3721:
3720:
3715:
3689:
3687:
3685:
3684:
3679:
3653:
3651:
3649:
3648:
3643:
3629:
3627:
3625:
3624:
3619:
3617:
3616:
3598:
3596:
3594:
3593:
3588:
3574:
3572:
3570:
3569:
3564:
3550:
3548:
3546:
3545:
3540:
3514:
3512:
3510:
3509:
3504:
3502:
3501:
3455:
3453:
3452:
3447:
3445:
3444:
3439:
3422:
3420:
3418:
3417:
3412:
3398:
3396:
3394:
3393:
3388:
3374:
3372:
3370:
3369:
3364:
3350:
3349:
3344:
3335:
3334:
3316:
3314:
3312:
3311:
3306:
3292:
3290:
3288:
3287:
3282:
3264:
3262:
3260:
3259:
3254:
3226:
3217:
3215:
3213:
3212:
3207:
3190:
3188:
3186:
3185:
3180:
3154:
3152:
3150:
3149:
3144:
3127:
3125:
3123:
3122:
3117:
3091:
3089:
3087:
3086:
3081:
3056:
3054:
3052:
3051:
3046:
3025:
3023:
3021:
3020:
3015:
2997:
2995:
2993:
2992:
2987:
2969:
2967:
2965:
2964:
2959:
2929:
2927:
2925:
2924:
2919:
2893:
2891:
2889:
2888:
2883:
2852:
2850:
2849:
2844:
2839:
2838:
2811:
2810:
2774:. As a result,
2773:
2771:
2769:
2768:
2763:
2735:
2733:
2732:
2727:
2725:
2710:
2708:
2707:
2702:
2694:
2686:
2685:
2658:
2657:
2636:
2635:
2608:
2607:
2594:
2593:
2584:
2583:
2558:
2547:
2532:
2524:
2506:
2504:
2502:
2501:
2496:
2482:
2480:
2478:
2477:
2472:
2458:
2456:
2454:
2453:
2448:
2427:
2425:
2423:
2422:
2417:
2403:
2401:
2399:
2398:
2393:
2367:
2365:
2363:
2362:
2357:
2340:
2338:
2336:
2335:
2330:
2316:
2314:
2312:
2311:
2306:
2301:
2300:
2276:
2275:
2263:
2262:
2247:
2230:
2228:
2227:
2222:
2217:
2216:
2207:
2206:
2194:
2193:
2180:
2169:
2151:
2150:
2131:
2129:
2127:
2126:
2121:
2110:
2109:
2091:
2089:
2087:
2086:
2081:
2067:
2065:
2063:
2062:
2057:
2052:
2051:
2027:
2026:
2014:
2013:
1992:
1990:
1988:
1987:
1982:
1947:
1945:
1943:
1942:
1937:
1923:
1921:
1919:
1918:
1913:
1897:
1889:
1887:
1885:
1884:
1879:
1865:
1863:
1861:
1860:
1855:
1837:
1835:
1833:
1832:
1827:
1811:
1803:
1801:
1799:
1798:
1793:
1779:
1777:
1775:
1774:
1769:
1767:
1753:
1751:
1749:
1748:
1743:
1723:
1715:
1713:
1711:
1710:
1705:
1691:
1689:
1687:
1686:
1681:
1639:
1637:
1635:
1634:
1629:
1603:
1601:
1599:
1598:
1593:
1591:
1570:
1568:
1566:
1565:
1560:
1546:
1544:
1542:
1541:
1536:
1534:
1520:
1518:
1516:
1515:
1510:
1492:
1490:
1488:
1487:
1482:
1456:
1454:
1452:
1451:
1446:
1432:
1430:
1428:
1427:
1422:
1408:
1406:
1404:
1403:
1398:
1373:
1371:
1369:
1368:
1363:
1349:
1347:
1345:
1344:
1339:
1324:simply connected
1321:
1319:
1317:
1316:
1311:
1291:
1289:
1287:
1286:
1281:
1249:
1247:
1245:
1244:
1239:
1224:
1222:
1220:
1219:
1214:
1200:
1198:
1196:
1195:
1190:
1176:
1174:
1172:
1171:
1166:
1148:
1146:
1144:
1143:
1138:
1120:
1118:
1116:
1115:
1110:
1096:
1094:
1092:
1091:
1086:
1057:
1055:
1053:
1052:
1047:
1033:
1031:
1030:
1025:
1011:
1010:
1005:
984:
982:
980:
979:
974:
960:
958:
956:
955:
950:
925:
923:
921:
920:
915:
885:
883:
881:
880:
875:
861:
859:
857:
856:
851:
828:
826:
825:
820:
815:
811:
804:
790:
789:
778:
758:
757:
738:
736:
734:
733:
728:
711:
709:
707:
706:
701:
676:
674:
672:
671:
666:
652:
650:
648:
647:
642:
609:
607:
605:
604:
599:
583:
571:
569:
567:
566:
561:
543:
541:
539:
538:
533:
512:
510:
508:
507:
502:
476:
474:
472:
471:
466:
449:
447:
445:
444:
439:
421:
419:
417:
416:
411:
389:
387:
385:
384:
379:
325:
323:
321:
320:
315:
297:
295:
293:
292:
287:
250:
248:
246:
245:
240:
226:
224:
222:
221:
216:
202:
200:
198:
197:
192:
171:
169:
167:
166:
161:
143:
141:
139:
138:
133:
115:
113:
111:
110:
105:
85:
72:
60:
56:
52:
21:
20336:
20335:
20331:
20330:
20329:
20327:
20326:
20325:
20306:
20305:
20304:
20299:
20288:
20267:
20203:
20141:
20095:
20086:
20052:Euclidean space
20035:
20030:
19979:
19931:
19930:
19926:
19899:
19830:
19829:
19825:
19787:10.2307/2321716
19742:
19737:
19736:
19697:
19693:
19649:
19645:
19638:
19622:Stillwell, John
19619:
19615:
19607:
19605:
19603:
19577:
19573:
19554:
19550:
19533:
19529:
19514:10.2307/2308932
19498:
19494:
19459:
19455:
19449:Homology theory
19446:
19442:
19437:
19436:
19391:
19388:
19387:
19385:
19365:
19361:
19343:
19332:
19322:
19318:
19300:
19296:
19293:
19290:
19289:
19287:
19267:
19263:
19245:
19234:
19218:
19214:
19211:
19208:
19207:
19205:
19181:
19178:
19177:
19175:
19143:
19140:
19139:
19137:
19113:
19110:
19109:
19107:
19079:
19076:
19075:
19073:
19048:
19044:
19042:
19039:
19038:
19036:
19012:
19009:
19008:
19006:
18982:
18979:
18978:
18976:
18974:
18970:
18965:
18938:Homology sphere
18922:
18892:
18889:
18888:
18886:
18881:-sphere is the
18864:
18861:
18860:
18858:
18836:
18833:
18832:
18830:
18812:
18809:
18808:
18806:
18805:The octahedral
18768:
18757:
18756:
18741:
18736:
18735:
18728:
18724:
18715:
18711:
18709:
18706:
18705:
18697:
18678:
18675:
18674:
18672:
18652:
18649:
18648:
18646:
18641:
18613:
18610:
18609:
18607:
18606:is possible in
18602:A highly dense
18596:
18575:
18567:
18566:
18564:
18561:
18560:
18558:
18551:
18527:
18524:
18523:
18521:
18488:
18464:
18460:
18455:
18417:
18379:
18341:
18324:
18321:
18320:
18318:
18299:
18295:
18293:
18290:
18289:
18287:
18257:
18254:
18253:
18251:
18236:
18189:
18183:
18179:
18156:
18139:
18136:
18135:
18133:
18118:
18092:
18089:
18088:
18086:
18067:
18063:
18061:
18058:
18057:
18055:
18037:
18034:
18033:
18031:
17994:
17956:
17939:
17936:
17935:
17933:
17914:
17906:
17905:
17903:
17900:
17899:
17897:
17885:
17875:
17840:
17823:
17820:
17819:
17817:
17798:
17790:
17789:
17787:
17784:
17783:
17781:
17770:
17762:
17740:
17737:
17736:
17734:
17725:
17713:
17689:
17668:
17656:
17621:
17618:
17617:
17615:
17584:
17581:
17580:
17578:
17571:
17568:
17542:
17535:
17531:
17525:
17521:
17507:
17504:
17503:
17487:
17484:
17483:
17461:
17458:
17457:
17438:
17427:
17424:
17423:
17397:
17390:
17386:
17376:
17360:
17356:
17335:
17334:
17318:
17316:
17310:
17309:
17298:
17297:
17290:
17289:
17279:
17273:
17272:
17268:
17266:
17249:
17246:
17245:
17209:
17206:
17205:
17175:
17172:
17171:
17169:
17150:
17145:
17133:
17130:
17129:
17127:
17124:
17097:
17094:
17093:
17091:
17073:
17070:
17069:
17067:
17046:
17043:
17042:
17040:
17018:
17014:
16999:
16995:
16986:
16982:
16977:
16974:
16973:
16971:
16941:
16938:
16937:
16935:
16907:
16903:
16888:
16884:
16875:
16871:
16866:
16863:
16862:
16860:
16830:
16827:
16826:
16824:
16806:
16803:
16802:
16800:
16779:
16776:
16775:
16773:
16755:
16745:
16741:
16737:
16735:
16732:
16731:
16729:
16699:
16696:
16695:
16693:
16675:
16673:
16670:
16669:
16667:
16637:
16634:
16633:
16631:
16613:
16610:
16609:
16607:
16589:
16586:
16585:
16583:
16553:
16550:
16549:
16547:
16544:
16515:
16511:
16509:
16506:
16505:
16487:
16484:
16483:
16481:
16463:
16451:
16449:
16446:
16445:
16443:
16418:
16416:
16413:
16412:
16410:
16392:
16389:
16388:
16386:
16362:
16359:
16358:
16356:
16338:
16335:
16334:
16332:
16299:
16296:
16295:
16293:
16270:
16266:
16264:
16261:
16260:
16258:
16252:
16229:
16225:
16210:
16206:
16197:
16193:
16182:
16180:
16177:
16176:
16174:
16153:
16150:
16149:
16147:
16129:
16117:
16115:
16112:
16111:
16109:
16084:
16079:
16060:
16055:
16042:
16037:
16031:
16023:
16020:
16019:
15994:
15990:
15975:
15971:
15962:
15958:
15947:
15945:
15942:
15941:
15939:
15906:
15903:
15902:
15900:
15897:normal deviates
15878:
15875:
15874:
15872:
15847:
15844:
15843:
15841:
15811:
15808:
15807:
15805:
15797:
15790:
15781:
15777:
15744:
15740:
15733:
15721:
15717:
15715:
15697:
15693:
15686:
15680:
15676:
15674:
15662:
15658:
15651:
15645:
15641:
15639:
15638:
15634:
15622:
15618:
15603:
15599:
15590:
15586:
15581:
15578:
15577:
15555:
15551:
15549:
15546:
15545:
15543:
15518:
15513:
15512:
15510:
15507:
15506:
15504:
15474:
15471:
15470:
15468:
15450:
15447:
15446:
15444:
15425:
15421:
15419:
15416:
15415:
15413:
15395:
15392:
15391:
15389:
15354:
15349:
15333:
15328:
15327:
15323:
15297:
15294:
15293:
15269:
15266:
15265:
15263:
15244:
15243:
15229:
15223:
15206:
15200:
15194:
15193:
15191:
15188:
15187:
15185:
15167:
15164:
15163:
15161:
15125:
15122:
15121:
15119:
15101:
15098:
15097:
15095:
15077:
15074:
15073:
15071:
15053:
15050:
15049:
15047:
15040:
15034:
14991:
14987:
14985:
14971:
14967:
14965:
14957:
14947:
14946:
14922:
14918:
14917:
14913:
14887:
14883:
14882:
14878:
14874:
14872:
14855:
14852:
14851:
14829:
14825:
14823:
14820:
14819:
14817:
14798:
14794:
14792:
14789:
14788:
14786:
14745:
14741:
14739:
14726:
14718:
14717:
14696:
14692:
14691:
14687:
14686:
14684:
14667:
14664:
14663:
14635:
14631:
14629:
14626:
14625:
14623:
14598:
14594:
14592:
14589:
14588:
14586:
14546:
14532:
14528:
14526:
14518:
14517:
14496:
14492:
14491:
14487:
14486:
14484:
14467:
14464:
14463:
14438:
14436:
14433:
14432:
14430:
14405:
14401:
14399:
14396:
14395:
14393:
14368:
14364:
14362:
14359:
14358:
14356:
14329:
14321:
14319:
14302:
14299:
14298:
14270:
14266:
14257:
14253:
14251:
14248:
14247:
14245:
14227:
14224:
14223:
14221:
14202:
14198:
14196:
14193:
14192:
14190:
14171:
14167:
14165:
14162:
14161:
14159:
14141:
14138:
14137:
14135:
14117:
14114:
14113:
14111:
14090:
14086:
14085:
14080:
14079:
14068:
14064:
14063:
14058:
14057:
14046:
14042:
14033:
14029:
14028:
14023:
14022:
14020:
14017:
14016:
14014:
13991:
13987:
13974:
13970:
13961:
13957:
13945:
13934:
13910:
13906:
13897:
13893:
13888:
13885:
13884:
13862:
13858:
13856:
13853:
13852:
13850:
13827:
13823:
13810:
13806:
13797:
13793:
13781:
13770:
13751:
13747:
13742:
13739:
13738:
13716:
13711:
13710:
13708:
13705:
13704:
13702:
13677:
13673:
13671:
13668:
13667:
13665:
13646:
13641:
13640:
13638:
13635:
13634:
13632:
13606:
13602:
13587:
13583:
13568:
13564:
13562:
13559:
13558:
13533:
13521:
13517:
13506:
13494:
13490:
13479:
13467:
13463:
13461:
13458:
13457:
13435:
13430:
13429:
13420:
13415:
13414:
13405:
13400:
13399:
13397:
13394:
13393:
13391:
13390:. A splitting
13365:
13361:
13353:
13350:
13349:
13347:
13328:
13324:
13316:
13313:
13312:
13310:
13291:
13287:
13285:
13282:
13281:
13279:
13254:
13250:
13248:
13245:
13244:
13242:
13223:
13218:
13217:
13215:
13212:
13211:
13209:
13190:
13185:
13184:
13182:
13179:
13178:
13176:
13157:
13152:
13151:
13149:
13146:
13145:
13143:
13125:
13122:
13121:
13119:
13095:
13092:
13091:
13089:
13067:
13065:
13064:
13062:
13059:
13058:
13036:
13034:
13033:
13031:
13028:
13027:
13006:
13005:
12991:
12987:
12978:
12974:
12972:
12952:
12948:
12939:
12935:
12933:
12913:
12909:
12900:
12896:
12894:
12881:
12875:
12874:
12863:
12853:
12846:
12844:
12841:
12840:
12819:
12816:
12815:
12813:
12795:
12792:
12791:
12789:
12771:
12768:
12767:
12765:
12741:
12727:
12724:
12723:
12721:
12703:
12700:
12699:
12697:
12679:
12676:
12675:
12673:
12655:
12652:
12651:
12649:
12619:
12616:
12615:
12613:
12583:
12580:
12579:
12577:
12544:
12541:
12540:
12538:
12520:
12517:
12516:
12514:
12496:
12493:
12492:
12490:
12489:, and an angle
12466:
12463:
12462:
12460:
12435:
12431:
12417:
12415:
12414:
12412:
12409:
12408:
12406:
12381:
12377:
12363:
12361:
12360:
12358:
12355:
12354:
12352:
12334:
12332:
12329:
12328:
12326:
12308:
12306:
12303:
12302:
12300:
12282:
12280:
12277:
12276:
12274:
12252:
12250:
12249:
12247:
12244:
12243:
12221:
12219:
12218:
12216:
12213:
12212:
12181:
12179:
12178:
12146:
12144:
12143:
12114:
12112:
12109:
12108:
12080:
12072:
12057:
12053:
12038:
12034:
12025:
12021:
12006:
12002:
11987:
11983:
11968:
11964:
11953:
11951:
11948:
11947:
11925:
11920:
11919:
11911:
11908:
11907:
11905:
11886:
11881:
11880:
11871:
11866:
11865:
11856:
11851:
11850:
11848:
11845:
11844:
11842:
11812:
11809:
11808:
11806:
11788:
11785:
11784:
11782:
11764:
11761:
11760:
11758:
11739:
11734:
11733:
11731:
11728:
11727:
11725:
11703:
11692:
11689:
11688:
11669:
11663:
11659:
11645:
11642:
11641:
11601:
11598:
11597:
11574:
11570:
11559:
11551:
11546:
11532:
11530:
11529:
11527:
11524:
11523:
11504:
11499:
11498:
11496:
11493:
11492:
11490:
11459:
11457:
11456:
11412:
11410:
11407:
11406:
11381:
11372:
11368:
11347:
11343:
11328:
11324:
11315:
11311:
11296:
11292:
11277:
11273:
11262:
11260:
11257:
11256:
11236:
11231:
11230:
11228:
11225:
11224:
11206:
11204:
11201:
11200:
11198:
11173:
11168:
11167:
11159:
11157:
11154:
11153:
11151:
11150:as the product
11132:
11127:
11126:
11124:
11121:
11120:
11118:
11115:
11076:
11073:
11072:
11070:
11049:
11045:
11038:
11034:
11032:
11029:
11028:
11026:
10978:
10975:
10974:
10972:
10955:
10954:
10944:
10937:
10933:
10904:
10902:
10898:
10892:
10888:
10851:
10799:
10795:
10794:
10792:
10783:
10782:
10776:
10772:
10758:
10754:
10750:
10716:
10714:
10710:
10709:
10700:
10699:
10685:
10681:
10677:
10643:
10641:
10637:
10636:
10631:
10617:
10613:
10609:
10588:
10584:
10578:
10573:
10566:
10559:
10557:
10554:
10553:
10517:
10513:
10501:
10497:
10487:
10483:
10464:
10460:
10439:
10435:
10417:
10413:
10404:
10400:
10382:
10378:
10366:
10362:
10342:
10338:
10337:
10333:
10331:
10328:
10327:
10306:
10303:
10302:
10300:
10278:
10275:
10274:
10272:
10242:
10239:
10238:
10236:
10215:
10212:
10211:
10209:
10192:
10191:
10176:
10172:
10160:
10156:
10146:
10142:
10116:
10112:
10091:
10087:
10069:
10065:
10056:
10052:
10034:
10030:
10018:
10014:
10005:
10004:
9992:
9988:
9976:
9972:
9962:
9958:
9929:
9925:
9918:
9914:
9910:
9900:
9896:
9889:
9887:
9883:
9879:
9872:
9863:
9859:
9855:
9853:
9850:
9849:
9829:
9828:
9820:
9808:
9804:
9799:
9784:
9780:
9771:
9767:
9752:
9751:
9742:
9731:
9718:
9707:
9695:
9683:
9679:
9674:
9662:
9658:
9649:
9645:
9630:
9629:
9621:
9609:
9605:
9600:
9588:
9584:
9566:
9562:
9550:
9546:
9537:
9533:
9515:
9511:
9497:
9490:
9489:
9481:
9469:
9465:
9460:
9448:
9444:
9426:
9422:
9410:
9406:
9397:
9393:
9360:
9356:
9340:
9335:
9329:
9325:
9320:
9316:
9314:
9311:
9310:
9288:
9284:
9282:
9279:
9278:
9276:
9251:
9247:
9239:
9236:
9235:
9233:
9208:
9204:
9202:
9199:
9198:
9196:
9166:
9163:
9162:
9160:
9135:
9131:
9123:
9120:
9119:
9117:
9092:
9088:
9086:
9083:
9082:
9080:
9044:
9041:
9040:
9038:
9019:
9015:
9013:
9010:
9009:
9007:
8984:
8980:
8978:
8975:
8974:
8972:
8954:
8951:
8950:
8948:
8923:
8919:
8911:
8908:
8907:
8905:
8881:
8878:
8877:
8875:
8850:
8846:
8838:
8835:
8834:
8832:
8807:
8803:
8801:
8798:
8797:
8795:
8771:
8768:
8767:
8765:
8741:
8738:
8737:
8735:
8716:
8712:
8710:
8707:
8706:
8704:
8686:
8683:
8682:
8680:
8656:
8653:
8652:
8650:
8632:
8629:
8628:
8626:
8608:
8605:
8604:
8602:
8577:
8573:
8565:
8562:
8561:
8559:
8535:
8532:
8531:
8529:
8504:
8500:
8492:
8489:
8488:
8486:
8461:
8457:
8455:
8452:
8451:
8449:
8425:
8422:
8421:
8419:
8400:
8396:
8394:
8391:
8390:
8388:
8370:
8367:
8366:
8364:
8340:
8337:
8336:
8334:
8316:
8313:
8312:
8310:
8285:
8281:
8279:
8276:
8275:
8273:
8254:
8250:
8248:
8245:
8244:
8242:
8241:, observe that
8224:
8221:
8220:
8218:
8200:
8197:
8196:
8194:
8170:
8167:
8166:
8164:
8140:
8139:
8127:
8123:
8111:
8107:
8098:
8094:
8083:
8082:
8078:
8073:
8061:
8057:
8048:
8044:
8039:
8027:
8023:
8011:
8007:
7998:
7994:
7991:
7990:
7978:
7974:
7962:
7958:
7949:
7945:
7935:
7930:
7925:
7913:
7909:
7897:
7893:
7884:
7880:
7877:
7876:
7865:
7864:
7859:
7853:
7848:
7843:
7837:
7836:
7831:
7826:
7821:
7815:
7811:
7805:
7801:
7793:
7787:
7783:
7777:
7773:
7768:
7762:
7758:
7752:
7748:
7745:
7744:
7739:
7734:
7729:
7724:
7718:
7714:
7706:
7700:
7696:
7689:
7688:
7679:
7675:
7673:
7670:
7669:
7663:Jacobian matrix
7643:
7639:
7624:
7620:
7618:
7615:
7614:
7612:
7593:
7589:
7574:
7570:
7568:
7565:
7564:
7562:
7544:
7541:
7540:
7538:
7533:To express the
7531:
7508:
7505:
7504:
7502:
7484:
7481:
7480:
7478:
7460:
7457:
7456:
7454:
7435:
7431:
7429:
7426:
7425:
7423:
7404:
7400:
7382:
7378:
7369:
7365:
7363:
7360:
7359:
7357:
7339:
7336:
7335:
7333:
7314:
7310:
7308:
7305:
7304:
7302:
7293:
7276:
7275:
7255:
7251:
7242:
7238:
7237:
7233:
7220:
7208:
7204:
7201:
7200:
7180:
7176:
7163:
7150:
7146:
7145:
7144:
7135:
7128:
7124:
7123:
7122:
7120:
7118:
7117:
7113:
7100:
7088:
7084:
7081:
7080:
7070:
7069:
7055:
7051:
7038:
7031:
7027:
7026:
7025:
7010:
6997:
6993:
6992:
6991:
6982:
6975:
6971:
6970:
6969:
6967:
6965:
6964:
6960:
6947:
6941:
6937:
6934:
6933:
6919:
6915:
6902:
6895:
6891:
6890:
6889:
6874:
6861:
6857:
6856:
6855:
6846:
6839:
6835:
6834:
6833:
6831:
6829:
6828:
6824:
6811:
6805:
6801:
6798:
6797:
6784:
6777:
6773:
6772:
6771:
6762:
6755:
6751:
6750:
6749:
6734:
6721:
6717:
6716:
6715:
6706:
6699:
6695:
6694:
6693:
6691:
6689:
6682:
6675:
6673:
6670:
6669:
6649:
6648:
6630:
6626:
6602:
6598:
6577:
6573:
6554:
6548:
6544:
6541:
6540:
6522:
6518:
6494:
6490:
6469:
6465:
6446:
6434:
6430:
6427:
6426:
6416:
6415:
6403:
6399:
6381:
6377:
6359:
6355:
6336:
6330:
6326:
6323:
6322:
6310:
6306:
6288:
6284:
6265:
6259:
6255:
6252:
6251:
6239:
6235:
6216:
6210:
6206:
6202:
6200:
6197:
6196:
6168:
6164:
6149:
6145:
6137:
6134:
6133:
6131:
6112:
6108:
6093:
6089:
6087:
6084:
6083:
6081:
6062:
6058:
6056:
6053:
6052:
6050:
6020:
6017:
6016:
6014:
5981:
5978:
5977:
5975:
5950:
5946:
5944:
5941:
5940:
5938:
5908:
5905:
5904:
5902:
5872:
5869:
5868:
5866:
5841:
5837:
5822:
5818:
5809:
5805:
5803:
5800:
5799:
5797:
5772:
5768:
5753:
5749:
5740:
5736:
5734:
5731:
5730:
5728:
5704:
5701:
5700:
5698:
5680:
5677:
5676:
5674:
5656:
5653:
5652:
5650:
5628:
5625:
5624:
5622:
5619:
5589:
5585:
5583:
5580:
5579:
5577:
5552:
5548:
5546:
5543:
5542:
5540:
5522:
5519:
5518:
5516:
5496:
5492:
5471:
5467:
5465:
5462:
5461:
5457:, the equation
5439:
5435:
5420:
5416:
5414:
5411:
5410:
5408:
5383:
5379:
5358:
5354:
5352:
5349:
5348:
5346:
5328:
5325:
5324:
5322:
5304:
5301:
5300:
5298:
5268:
5265:
5264:
5262:
5239:
5235:
5222:
5217:
5201:
5197:
5191:
5187:
5181:
5176:
5157:
5153:
5151:
5148:
5147:
5108:
5105:
5104:
5102:
5084:
5081:
5080:
5078:
5054:
5050:
5038:
5034:
5018:
5005:
4992:
4988:
4976:
4972:
4968:
4966:
4957:
4953:
4947:
4943:
4941:
4938:
4937:
4916:
4913:
4912:
4910:
4880:
4877:
4876:
4874:
4856:
4853:
4852:
4850:
4832:
4829:
4828:
4826:
4819:
4796:
4793:
4792:
4790:
4789:of side length
4770:
4767:
4766:
4764:
4745:
4742:
4741:
4739:
4721:
4718:
4717:
4715:
4697:
4694:
4693:
4691:
4673:
4670:
4669:
4667:
4642:
4639:
4638:
4636:
4613:
4612:
4596:
4590:
4589:
4585:
4575:
4571:
4567:
4565:
4556:
4552:
4539:
4538:
4528:
4522:
4521:
4517:
4506:
4502:
4498:
4494:
4492:
4477:
4473:
4471:
4468:
4467:
4445:
4441:
4439:
4436:
4435:
4433:
4408:
4404:
4402:
4399:
4398:
4396:
4364:
4355:
4351:
4332:
4328:
4326:
4323:
4322:
4301:
4298:
4297:
4295:
4258:
4254:
4235:
4231:
4229:
4226:
4225:
4204:
4201:
4200:
4198:
4193:-sphere is the
4176:
4173:
4172:
4170:
4144:
4140:
4124:
4120:
4118:
4115:
4114:
4078:
4075:
4074:
4072:
4054:
4051:
4050:
4048:
4030:
4027:
4026:
4024:
3991:
3988:
3987:
3985:
3967:
3964:
3963:
3961:
3935:
3931:
3929:
3926:
3925:
3900:
3897:
3896:
3894:
3876:
3873:
3872:
3870:
3862:
3858:
3833:
3829:
3827:
3824:
3823:
3821:
3798:
3794:
3792:
3789:
3788:
3786:
3757:
3754:
3753:
3751:
3733:
3730:
3729:
3727:
3697:
3694:
3693:
3691:
3661:
3658:
3657:
3655:
3637:
3634:
3633:
3631:
3612:
3608:
3606:
3603:
3602:
3600:
3582:
3579:
3578:
3576:
3558:
3555:
3554:
3552:
3522:
3519:
3518:
3516:
3491:
3487:
3485:
3482:
3481:
3479:
3476:
3466:
3464:Volume and area
3440:
3435:
3434:
3432:
3429:
3428:
3406:
3403:
3402:
3400:
3382:
3379:
3378:
3376:
3345:
3340:
3339:
3330:
3326:
3324:
3321:
3320:
3318:
3300:
3297:
3296:
3294:
3276:
3273:
3272:
3270:
3248:
3245:
3244:
3242:
3236:
3224:
3201:
3198:
3197:
3195:
3174:
3171:
3170:
3168:
3138:
3135:
3134:
3132:
3111:
3108:
3107:
3105:
3075:
3072:
3071:
3069:
3040:
3037:
3036:
3034:
3009:
3006:
3005:
3003:
2981:
2978:
2977:
2975:
2941:
2938:
2937:
2935:
2901:
2898:
2897:
2895:
2877:
2874:
2873:
2871:
2868:
2862:
2828:
2824:
2806:
2802:
2782:
2779:
2778:
2751:
2748:
2747:
2745:
2721:
2719:
2716:
2715:
2690:
2675:
2671:
2647:
2643:
2625:
2621:
2603:
2599:
2589:
2585:
2573:
2569:
2548:
2537:
2523:
2515:
2512:
2511:
2490:
2487:
2486:
2484:
2466:
2463:
2462:
2460:
2442:
2439:
2438:
2436:
2411:
2408:
2407:
2405:
2375:
2372:
2371:
2369:
2351:
2348:
2347:
2345:
2341:is the radius.
2324:
2321:
2320:
2318:
2290:
2286:
2271:
2267:
2258:
2254:
2243:
2241:
2238:
2237:
2235:
2212:
2208:
2202:
2198:
2189:
2185:
2170:
2159:
2146:
2142:
2140:
2137:
2136:
2105:
2101:
2099:
2096:
2095:
2093:
2075:
2072:
2071:
2069:
2041:
2037:
2022:
2018:
2009:
2005:
2000:
1997:
1996:
1994:
1964:
1961:
1960:
1958:
1955:
1931:
1928:
1927:
1925:
1907:
1904:
1903:
1901:
1895:
1873:
1870:
1869:
1867:
1849:
1846:
1845:
1843:
1821:
1818:
1817:
1815:
1814:is an ordinary
1809:
1787:
1784:
1783:
1781:
1763:
1761:
1758:
1757:
1755:
1737:
1734:
1733:
1731:
1721:
1699:
1696:
1695:
1693:
1651:
1648:
1647:
1645:
1611:
1608:
1607:
1605:
1587:
1585:
1582:
1581:
1579:
1554:
1551:
1550:
1548:
1530:
1528:
1525:
1524:
1522:
1504:
1501:
1500:
1498:
1495:Euclidean space
1464:
1461:
1460:
1458:
1440:
1437:
1436:
1434:
1416:
1413:
1412:
1410:
1392:
1389:
1388:
1386:
1380:
1357:
1354:
1353:
1351:
1333:
1330:
1329:
1327:
1299:
1296:
1295:
1293:
1292:-sphere. When
1263:
1260:
1259:
1257:
1233:
1230:
1229:
1227:
1208:
1205:
1204:
1202:
1184:
1181:
1180:
1178:
1160:
1157:
1156:
1154:
1149:-sphere is the
1132:
1129:
1128:
1126:
1104:
1101:
1100:
1098:
1080:
1077:
1076:
1074:
1041:
1038:
1037:
1035:
1006:
1001:
1000:
998:
995:
994:
968:
965:
964:
962:
944:
941:
940:
938:
909:
906:
905:
903:
869:
866:
865:
863:
839:
836:
835:
833:
794:
779:
774:
773:
766:
762:
753:
749:
747:
744:
743:
722:
719:
718:
716:
695:
692:
691:
689:
660:
657:
656:
654:
624:
621:
620:
618:
593:
590:
589:
587:
581:
555:
552:
551:
549:
527:
524:
523:
521:
496:
493:
492:
490:
460:
457:
456:
454:
433:
430:
429:
427:
405:
402:
401:
399:
361:
358:
357:
355:
344:) from a given
326:-sphere is the
309:
306:
305:
303:
300:Euclidean space
269:
266:
265:
263:
234:
231:
230:
228:
210:
207:
206:
204:
186:
183:
182:
180:
155:
152:
151:
149:
127:
124:
123:
121:
99:
96:
95:
93:
83:
70:
58:
54:
50:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
20334:
20324:
20323:
20318:
20301:
20300:
20293:
20290:
20289:
20287:
20286:
20281:
20275:
20273:
20269:
20268:
20266:
20265:
20257:
20252:
20247:
20242:
20237:
20232:
20227:
20222:
20217:
20211:
20209:
20205:
20204:
20202:
20201:
20196:
20191:
20189:Cross-polytope
20186:
20181:
20176:
20174:Hyperrectangle
20171:
20166:
20161:
20155:
20153:
20143:
20142:
20140:
20139:
20134:
20129:
20124:
20119:
20114:
20109:
20103:
20101:
20097:
20096:
20089:
20087:
20085:
20084:
20079:
20074:
20069:
20064:
20059:
20054:
20049:
20043:
20041:
20037:
20036:
20029:
20028:
20021:
20014:
20006:
20000:
19999:
19978:
19977:External links
19975:
19974:
19973:
19944:
19924:
19903:
19897:
19880:
19843:
19823:
19807:
19781:(5): 301–302.
19770:
19758:(2): 645–646.
19741:
19738:
19735:
19734:
19691:
19652:Agricola, Ilka
19643:
19636:
19613:
19601:
19571:
19548:
19546:, pp. 223–226.
19527:
19492:
19473:(2): 101–107.
19453:
19439:
19438:
19435:
19434:
19419:
19416:
19413:
19410:
19407:
19404:
19401:
19398:
19395:
19368:
19364:
19360:
19357:
19352:
19349:
19346:
19341:
19338:
19335:
19331:
19325:
19321:
19317:
19314:
19311:
19308:
19303:
19299:
19270:
19266:
19262:
19259:
19254:
19251:
19248:
19243:
19240:
19237:
19233:
19229:
19226:
19221:
19217:
19191:
19188:
19185:
19153:
19150:
19147:
19123:
19120:
19117:
19089:
19086:
19083:
19059:
19056:
19051:
19047:
19022:
19019:
19016:
18992:
18989:
18986:
18967:
18966:
18964:
18961:
18960:
18959:
18953:
18947:
18941:
18935:
18929:
18921:
18918:
18902:
18899:
18896:
18868:
18840:
18816:
18800:cross-polytope
18796:
18795:
18783:
18779:
18776:
18771:
18766:
18763:
18760:
18755:
18750:
18747:
18744:
18739:
18734:
18731:
18727:
18723:
18718:
18714:
18682:
18656:
18640:
18637:
18636:
18635:
18617:
18604:sphere-packing
18600:
18594:
18578:
18573:
18570:
18555:
18549:
18546:exotic spheres
18531:
18507:
18504:
18501:
18498:
18495:
18491:
18487:
18484:
18481:
18478:
18475:
18472:
18467:
18463:
18458:
18454:
18451:
18448:
18445:
18442:
18439:
18436:
18433:
18430:
18427:
18424:
18420:
18416:
18413:
18410:
18407:
18404:
18401:
18398:
18395:
18392:
18389:
18386:
18382:
18378:
18375:
18372:
18369:
18366:
18363:
18360:
18357:
18354:
18351:
18348:
18344:
18340:
18337:
18334:
18331:
18328:
18302:
18298:
18273:
18270:
18267:
18264:
18261:
18240:
18234:
18208:
18205:
18202:
18199:
18196:
18192:
18186:
18182:
18178:
18175:
18172:
18169:
18166:
18163:
18159:
18155:
18152:
18149:
18146:
18143:
18122:
18116:
18102:
18099:
18096:
18070:
18066:
18041:
18013:
18010:
18007:
18004:
18001:
17997:
17993:
17990:
17987:
17984:
17981:
17978:
17975:
17972:
17969:
17966:
17963:
17959:
17955:
17952:
17949:
17946:
17943:
17917:
17912:
17909:
17879:
17873:
17859:
17856:
17853:
17850:
17847:
17843:
17839:
17836:
17833:
17830:
17827:
17801:
17796:
17793:
17774:
17768:
17744:
17718:
17710:
17703:Riemann sphere
17694:
17686:
17661:
17653:
17650:Parallelizable
17646:path-connected
17631:
17628:
17625:
17597:
17594:
17591:
17588:
17575:
17567:
17564:
17549:
17545:
17541:
17538:
17534:
17528:
17524:
17520:
17517:
17514:
17511:
17491:
17471:
17468:
17465:
17445:
17441:
17437:
17434:
17431:
17409:
17404:
17400:
17396:
17393:
17389:
17383:
17379:
17375:
17372:
17369:
17366:
17363:
17359:
17355:
17352:
17349:
17346:
17338:
17331:
17327:
17324:
17321:
17313:
17308:
17302:
17293:
17286:
17283:
17276:
17271:
17265:
17262:
17259:
17256:
17253:
17231:
17228:
17225:
17222:
17219:
17216:
17213:
17191:
17188:
17185:
17182:
17179:
17153:
17148:
17144:
17140:
17137:
17123:
17120:
17101:
17077:
17050:
17026:
17021:
17017:
17013:
17010:
17007:
17002:
16998:
16994:
16989:
16985:
16981:
16970:-sphere, then
16957:
16954:
16951:
16948:
16945:
16921:
16916:
16913:
16910:
16906:
16902:
16899:
16896:
16891:
16887:
16883:
16878:
16874:
16870:
16846:
16843:
16840:
16837:
16834:
16810:
16783:
16758:
16752:
16748:
16744:
16740:
16728:-sphere, then
16715:
16712:
16709:
16706:
16703:
16678:
16653:
16650:
16647:
16644:
16641:
16617:
16593:
16569:
16566:
16563:
16560:
16557:
16543:
16536:
16521:
16518:
16514:
16491:
16466:
16459:
16456:
16426:
16423:
16396:
16372:
16369:
16366:
16342:
16318:
16315:
16312:
16309:
16306:
16303:
16273:
16269:
16237:
16232:
16228:
16224:
16221:
16218:
16213:
16209:
16205:
16200:
16196:
16192:
16189:
16185:
16157:
16132:
16125:
16122:
16106:
16105:
16094:
16087:
16082:
16078:
16074:
16071:
16068:
16063:
16058:
16054:
16050:
16045:
16040:
16036:
16030:
16027:
16002:
15997:
15993:
15989:
15986:
15983:
15978:
15974:
15970:
15965:
15961:
15957:
15954:
15950:
15925:
15922:
15919:
15916:
15913:
15910:
15882:
15851:
15827:
15824:
15821:
15818:
15815:
15789:
15778:
15776:
15773:
15772:
15771:
15760:
15756:
15747:
15743:
15739:
15736:
15730:
15727:
15724:
15720:
15714:
15711:
15708:
15700:
15696:
15692:
15689:
15683:
15679:
15673:
15665:
15661:
15657:
15654:
15648:
15644:
15637:
15633:
15630:
15625:
15621:
15617:
15614:
15611:
15606:
15602:
15598:
15593:
15589:
15585:
15558:
15554:
15527:
15524:
15521:
15516:
15490:
15487:
15484:
15481:
15478:
15454:
15428:
15424:
15399:
15386:
15385:
15374:
15370:
15363:
15360:
15357:
15353:
15348:
15342:
15339:
15336:
15332:
15326:
15322:
15319:
15316:
15313:
15310:
15307:
15304:
15301:
15276:
15273:
15247:
15238:
15235:
15232:
15228:
15222:
15215:
15212:
15209:
15205:
15197:
15171:
15147:
15144:
15141:
15138:
15135:
15132:
15129:
15105:
15081:
15057:
15036:Main article:
15033:
15030:
15029:
15028:
15017:
15014:
15011:
15004:
14999:
14994:
14990:
14984:
14979:
14974:
14970:
14964:
14960:
14954:
14951:
14944:
14941:
14938:
14933:
14930:
14925:
14921:
14916:
14912:
14909:
14906:
14903:
14898:
14895:
14890:
14886:
14881:
14877:
14871:
14868:
14865:
14862:
14859:
14832:
14828:
14801:
14797:
14783:
14782:
14771:
14768:
14765:
14758:
14753:
14748:
14744:
14738:
14733:
14730:
14725:
14721:
14715:
14712:
14707:
14704:
14699:
14695:
14690:
14683:
14680:
14677:
14674:
14671:
14646:
14643:
14638:
14634:
14609:
14606:
14601:
14597:
14583:
14582:
14571:
14568:
14565:
14558:
14553:
14550:
14545:
14540:
14535:
14531:
14525:
14521:
14515:
14512:
14507:
14504:
14499:
14495:
14490:
14483:
14480:
14477:
14474:
14471:
14441:
14416:
14413:
14408:
14404:
14379:
14376:
14371:
14367:
14353:
14352:
14341:
14335:
14332:
14327:
14324:
14318:
14315:
14312:
14309:
14306:
14281:
14278:
14273:
14269:
14265:
14260:
14256:
14231:
14205:
14201:
14174:
14170:
14145:
14121:
14093:
14089:
14083:
14078:
14071:
14067:
14061:
14056:
14049:
14045:
14041:
14036:
14032:
14026:
14011:
14010:
13999:
13994:
13990:
13986:
13982:
13977:
13973:
13969:
13964:
13960:
13954:
13951:
13948:
13943:
13940:
13937:
13933:
13928:
13925:
13919:
13916:
13913:
13909:
13905:
13900:
13896:
13892:
13865:
13861:
13847:
13846:
13835:
13830:
13826:
13822:
13818:
13813:
13809:
13805:
13800:
13796:
13790:
13787:
13784:
13779:
13776:
13773:
13769:
13765:
13760:
13757:
13754:
13750:
13746:
13719:
13714:
13686:
13683:
13680:
13676:
13649:
13644:
13615:
13612:
13609:
13605:
13601:
13596:
13593:
13590:
13586:
13582:
13577:
13574:
13571:
13567:
13555:
13554:
13543:
13540:
13536:
13532:
13529:
13524:
13520:
13516:
13513:
13509:
13505:
13502:
13497:
13493:
13489:
13486:
13482:
13478:
13475:
13470:
13466:
13438:
13433:
13428:
13423:
13418:
13413:
13408:
13403:
13368:
13364:
13360:
13357:
13331:
13327:
13323:
13320:
13294:
13290:
13263:
13260:
13257:
13253:
13226:
13221:
13193:
13188:
13160:
13155:
13129:
13105:
13102:
13099:
13074:
13070:
13043:
13039:
13020:
13019:
13004:
12998:
12994:
12990:
12985:
12981:
12977:
12971:
12968:
12965:
12959:
12955:
12951:
12946:
12942:
12938:
12932:
12929:
12926:
12920:
12916:
12912:
12907:
12903:
12899:
12893:
12890:
12887:
12884:
12882:
12880:
12877:
12876:
12873:
12870:
12866:
12862:
12859:
12856:
12854:
12852:
12849:
12848:
12823:
12799:
12775:
12751:
12748:
12744:
12740:
12737:
12734:
12731:
12707:
12683:
12659:
12635:
12632:
12629:
12626:
12623:
12599:
12596:
12593:
12590:
12587:
12563:
12560:
12557:
12554:
12551:
12548:
12524:
12500:
12476:
12473:
12470:
12444:
12441:
12438:
12434:
12430:
12424:
12420:
12390:
12387:
12384:
12380:
12376:
12370:
12366:
12337:
12311:
12285:
12259:
12255:
12228:
12224:
12209:
12208:
12197:
12194:
12188:
12184:
12177:
12174:
12171:
12168:
12165:
12162:
12159:
12153:
12149:
12142:
12139:
12136:
12133:
12130:
12127:
12124:
12121:
12117:
12102:
12101:
12090:
12087:
12083:
12079:
12075:
12071:
12068:
12065:
12060:
12056:
12052:
12049:
12046:
12041:
12037:
12033:
12028:
12024:
12020:
12017:
12014:
12009:
12005:
12001:
11998:
11995:
11990:
11986:
11982:
11979:
11976:
11971:
11967:
11963:
11960:
11956:
11928:
11923:
11918:
11915:
11889:
11884:
11879:
11874:
11869:
11864:
11859:
11854:
11828:
11825:
11822:
11819:
11816:
11792:
11768:
11742:
11737:
11710:
11706:
11702:
11699:
11696:
11676:
11672:
11666:
11662:
11658:
11655:
11652:
11649:
11629:
11626:
11623:
11620:
11617:
11614:
11611:
11608:
11605:
11583:
11580:
11577:
11573:
11569:
11566:
11562:
11558:
11554:
11549:
11545:
11539:
11535:
11507:
11502:
11487:
11486:
11475:
11472:
11466:
11462:
11455:
11452:
11449:
11446:
11443:
11440:
11437:
11434:
11431:
11428:
11425:
11422:
11419:
11415:
11400:
11399:
11388:
11384:
11380:
11375:
11371:
11367:
11364:
11361:
11356:
11353:
11350:
11346:
11342:
11339:
11336:
11331:
11327:
11323:
11318:
11314:
11310:
11307:
11304:
11299:
11295:
11291:
11288:
11285:
11280:
11276:
11272:
11269:
11265:
11239:
11234:
11209:
11182:
11179:
11176:
11171:
11166:
11162:
11135:
11130:
11114:
11111:
11092:
11089:
11086:
11083:
11080:
11069:for the angle
11052:
11048:
11044:
11041:
11037:
11012:
11009:
11006:
11003:
11000:
10997:
10994:
10991:
10988:
10985:
10982:
10969:
10968:
10950:
10947:
10943:
10940:
10936:
10928:
10923:
10919:
10916:
10913:
10910:
10907:
10901:
10895:
10891:
10887:
10884:
10881:
10878:
10875:
10872:
10869:
10866:
10863:
10860:
10857:
10854:
10849:
10846:
10843:
10840:
10837:
10834:
10831:
10828:
10825:
10822:
10819:
10814:
10811:
10808:
10805:
10802:
10798:
10791:
10788:
10786:
10784:
10779:
10775:
10771:
10766:
10761:
10757:
10753:
10749:
10746:
10740:
10735:
10731:
10728:
10725:
10722:
10719:
10713:
10706:
10703:
10698:
10693:
10688:
10684:
10680:
10676:
10673:
10667:
10662:
10658:
10655:
10652:
10649:
10646:
10640:
10634:
10630:
10625:
10620:
10616:
10612:
10608:
10603:
10600:
10597:
10594:
10591:
10587:
10581:
10576:
10572:
10565:
10563:
10561:
10543:
10542:
10531:
10526:
10523:
10520:
10516:
10512:
10509:
10504:
10500:
10496:
10490:
10486:
10482:
10478:
10473:
10470:
10467:
10463:
10459:
10456:
10453:
10450:
10447:
10442:
10438:
10434:
10431:
10426:
10423:
10420:
10416:
10412:
10407:
10403:
10399:
10396:
10391:
10388:
10385:
10381:
10375:
10372:
10369:
10365:
10361:
10358:
10351:
10348:
10345:
10341:
10336:
10310:
10282:
10258:
10255:
10252:
10249:
10246:
10219:
10206:
10205:
10190:
10185:
10182:
10179:
10175:
10171:
10168:
10163:
10159:
10155:
10149:
10145:
10141:
10137:
10134:
10130:
10125:
10122:
10119:
10115:
10111:
10108:
10105:
10102:
10099:
10094:
10090:
10086:
10083:
10078:
10075:
10072:
10068:
10064:
10059:
10055:
10051:
10048:
10043:
10040:
10037:
10033:
10027:
10024:
10021:
10017:
10013:
10010:
10008:
10006:
10001:
9998:
9995:
9991:
9987:
9984:
9979:
9975:
9971:
9965:
9961:
9957:
9953:
9950:
9946:
9938:
9932:
9928:
9924:
9921:
9917:
9913:
9908:
9903:
9899:
9895:
9892:
9886:
9882:
9878:
9875:
9873:
9871:
9866:
9862:
9858:
9857:
9843:
9842:
9827:
9823:
9817:
9814:
9811:
9807:
9802:
9798:
9793:
9790:
9787:
9783:
9779:
9774:
9770:
9766:
9763:
9760:
9757:
9755:
9753:
9750:
9745:
9740:
9737:
9734:
9730:
9726:
9721:
9716:
9713:
9710:
9706:
9702:
9698:
9692:
9689:
9686:
9682:
9677:
9671:
9668:
9665:
9661:
9657:
9652:
9648:
9644:
9641:
9638:
9635:
9633:
9631:
9628:
9624:
9618:
9615:
9612:
9608:
9603:
9597:
9594:
9591:
9587:
9583:
9580:
9575:
9572:
9569:
9565:
9559:
9556:
9553:
9549:
9545:
9540:
9536:
9532:
9529:
9524:
9521:
9518:
9514:
9510:
9507:
9504:
9501:
9495:
9493:
9491:
9488:
9484:
9478:
9475:
9472:
9468:
9463:
9457:
9454:
9451:
9447:
9443:
9440:
9435:
9432:
9429:
9425:
9419:
9416:
9413:
9409:
9405:
9400:
9396:
9392:
9389:
9386:
9381:
9378:
9375:
9372:
9369:
9366:
9363:
9359:
9355:
9352:
9349:
9346:
9343:
9341:
9338:
9332:
9328:
9323:
9319:
9318:
9291:
9287:
9260:
9257:
9254:
9250:
9246:
9243:
9217:
9214:
9211:
9207:
9182:
9179:
9176:
9173:
9170:
9144:
9141:
9138:
9134:
9130:
9127:
9101:
9098:
9095:
9091:
9066:
9063:
9060:
9057:
9054:
9051:
9048:
9022:
9018:
8987:
8983:
8958:
8932:
8929:
8926:
8922:
8918:
8915:
8891:
8888:
8885:
8859:
8856:
8853:
8849:
8845:
8842:
8816:
8813:
8810:
8806:
8781:
8778:
8775:
8751:
8748:
8745:
8719:
8715:
8690:
8666:
8663:
8660:
8636:
8612:
8586:
8583:
8580:
8576:
8572:
8569:
8545:
8542:
8539:
8513:
8510:
8507:
8503:
8499:
8496:
8470:
8467:
8464:
8460:
8435:
8432:
8429:
8403:
8399:
8374:
8350:
8347:
8344:
8320:
8294:
8291:
8288:
8284:
8257:
8253:
8228:
8217:. For larger
8204:
8180:
8177:
8174:
8161:
8160:
8149:
8144:
8136:
8133:
8130:
8126:
8120:
8117:
8114:
8110:
8106:
8101:
8097:
8093:
8087:
8081:
8077:
8074:
8070:
8067:
8064:
8060:
8056:
8051:
8047:
8043:
8040:
8036:
8033:
8030:
8026:
8020:
8017:
8014:
8010:
8006:
8001:
7997:
7993:
7992:
7987:
7984:
7981:
7977:
7971:
7968:
7965:
7961:
7957:
7952:
7948:
7944:
7941:
7938:
7934:
7931:
7929:
7926:
7922:
7919:
7916:
7912:
7906:
7903:
7900:
7896:
7892:
7887:
7883:
7879:
7878:
7875:
7872:
7866:
7863:
7860:
7858:
7855:
7852:
7849:
7847:
7844:
7842:
7839:
7838:
7835:
7832:
7830:
7827:
7825:
7822:
7818:
7814:
7808:
7804:
7800:
7797:
7794:
7790:
7786:
7780:
7776:
7772:
7769:
7765:
7761:
7755:
7751:
7747:
7746:
7743:
7740:
7738:
7735:
7733:
7730:
7728:
7725:
7721:
7717:
7713:
7710:
7707:
7703:
7699:
7695:
7694:
7692:
7687:
7682:
7678:
7646:
7642:
7638:
7635:
7632:
7627:
7623:
7596:
7592:
7588:
7585:
7582:
7577:
7573:
7548:
7535:volume element
7530:
7527:
7512:
7488:
7464:
7438:
7434:
7407:
7403:
7399:
7396:
7391:
7388:
7385:
7381:
7377:
7372:
7368:
7343:
7317:
7313:
7290:
7289:
7274:
7270:
7264:
7261:
7258:
7254:
7250:
7245:
7241:
7236:
7232:
7229:
7226:
7223:
7221:
7217:
7214:
7211:
7207:
7203:
7202:
7199:
7195:
7189:
7186:
7183:
7179:
7175:
7166:
7159:
7156:
7153:
7149:
7143:
7138:
7131:
7127:
7116:
7112:
7109:
7106:
7103:
7101:
7097:
7094:
7091:
7087:
7083:
7082:
7079:
7075:
7073:
7071:
7068:
7064:
7058:
7054:
7050:
7041:
7034:
7030:
7024:
7021:
7018:
7013:
7006:
7003:
7000:
6996:
6990:
6985:
6978:
6974:
6963:
6959:
6956:
6953:
6950:
6948:
6944:
6940:
6936:
6935:
6932:
6928:
6922:
6918:
6914:
6905:
6898:
6894:
6888:
6885:
6882:
6877:
6870:
6867:
6864:
6860:
6854:
6849:
6842:
6838:
6827:
6823:
6820:
6817:
6814:
6812:
6808:
6804:
6800:
6799:
6796:
6787:
6780:
6776:
6770:
6765:
6758:
6754:
6748:
6745:
6742:
6737:
6730:
6727:
6724:
6720:
6714:
6709:
6702:
6698:
6688:
6685:
6683:
6681:
6678:
6677:
6663:
6662:
6647:
6644:
6639:
6636:
6633:
6629:
6625:
6622:
6619:
6616:
6611:
6608:
6605:
6601:
6597:
6594:
6591:
6588:
6585:
6580:
6576:
6572:
6569:
6566:
6563:
6560:
6557:
6555:
6551:
6547:
6543:
6542:
6539:
6536:
6531:
6528:
6525:
6521:
6517:
6514:
6511:
6508:
6503:
6500:
6497:
6493:
6489:
6486:
6483:
6480:
6477:
6472:
6468:
6464:
6461:
6458:
6455:
6452:
6449:
6447:
6443:
6440:
6437:
6433:
6429:
6428:
6425:
6421:
6419:
6417:
6414:
6411:
6406:
6402:
6398:
6395:
6392:
6389:
6384:
6380:
6376:
6373:
6370:
6367:
6362:
6358:
6354:
6351:
6348:
6345:
6342:
6339:
6337:
6333:
6329:
6325:
6324:
6321:
6318:
6313:
6309:
6305:
6302:
6299:
6296:
6291:
6287:
6283:
6280:
6277:
6274:
6271:
6268:
6266:
6262:
6258:
6254:
6253:
6250:
6247:
6242:
6238:
6234:
6231:
6228:
6225:
6222:
6219:
6217:
6213:
6209:
6205:
6204:
6177:
6174:
6171:
6167:
6163:
6160:
6157:
6152:
6148:
6144:
6141:
6115:
6111:
6107:
6104:
6101:
6096:
6092:
6065:
6061:
6036:
6033:
6030:
6027:
6024:
6000:
5997:
5994:
5991:
5988:
5985:
5959:
5956:
5953:
5949:
5924:
5921:
5918:
5915:
5912:
5888:
5885:
5882:
5879:
5876:
5850:
5847:
5844:
5840:
5836:
5833:
5830:
5825:
5821:
5817:
5812:
5808:
5781:
5778:
5775:
5771:
5767:
5764:
5761:
5756:
5752:
5748:
5743:
5739:
5714:
5711:
5708:
5684:
5660:
5632:
5618:
5615:
5600:
5597:
5592:
5588:
5563:
5560:
5555:
5551:
5526:
5515:holds for all
5513:
5512:
5499:
5495:
5491:
5488:
5485:
5480:
5477:
5474:
5470:
5442:
5438:
5434:
5431:
5428:
5423:
5419:
5392:
5389:
5386:
5382:
5378:
5375:
5372:
5367:
5364:
5361:
5357:
5345:-sphere. Then
5332:
5308:
5284:
5281:
5278:
5275:
5272:
5259:
5258:
5247:
5242:
5238:
5231:
5228:
5225:
5221:
5216:
5213:
5210:
5204:
5200:
5194:
5190:
5184:
5179:
5175:
5171:
5166:
5163:
5160:
5156:
5124:
5121:
5118:
5115:
5112:
5088:
5075:
5074:
5063:
5057:
5053:
5047:
5044:
5041:
5037:
5033:
5030:
5027:
5024:
5021:
5017:
5011:
5008:
5001:
4998:
4995:
4991:
4985:
4982:
4979:
4975:
4971:
4965:
4960:
4956:
4950:
4946:
4920:
4896:
4893:
4890:
4887:
4884:
4860:
4836:
4818:
4815:
4800:
4774:
4749:
4725:
4701:
4677:
4661:gamma function
4646:
4633:
4632:
4616:
4611:
4608:
4603:
4600:
4593:
4588:
4582:
4578:
4574:
4570:
4564:
4559:
4555:
4550:
4542:
4535:
4532:
4525:
4520:
4513:
4509:
4505:
4501:
4497:
4491:
4486:
4483:
4480:
4476:
4448:
4444:
4417:
4414:
4411:
4407:
4393:
4392:
4381:
4378:
4372:
4369:
4363:
4358:
4354:
4349:
4346:
4343:
4340:
4335:
4331:
4305:
4284:
4283:
4272:
4269:
4266:
4261:
4257:
4252:
4249:
4246:
4243:
4238:
4234:
4208:
4180:
4167:
4166:
4155:
4152:
4147:
4143:
4138:
4135:
4132:
4127:
4123:
4097:
4094:
4091:
4088:
4085:
4082:
4058:
4034:
4010:
4007:
4004:
4001:
3998:
3995:
3971:
3958:
3957:
3946:
3943:
3938:
3934:
3904:
3880:
3842:
3839:
3836:
3832:
3801:
3797:
3761:
3737:
3713:
3710:
3707:
3704:
3701:
3677:
3674:
3671:
3668:
3665:
3641:
3615:
3611:
3586:
3562:
3538:
3535:
3532:
3529:
3526:
3500:
3497:
3494:
3490:
3465:
3462:
3443:
3438:
3410:
3386:
3362:
3359:
3356:
3353:
3348:
3343:
3338:
3333:
3329:
3304:
3280:
3252:
3235:
3232:
3231:
3230:
3205:
3192:
3178:
3159:, an ordinary
3142:
3129:
3115:
3079:
3066:
3044:
3029:Specifically:
3013:
2985:
2957:
2954:
2951:
2948:
2945:
2917:
2914:
2911:
2908:
2905:
2881:
2864:Main article:
2861:
2855:
2854:
2853:
2842:
2837:
2834:
2831:
2827:
2823:
2820:
2817:
2814:
2809:
2805:
2801:
2798:
2795:
2792:
2789:
2786:
2761:
2758:
2755:
2742:Flanders (1989
2724:
2712:
2711:
2700:
2697:
2693:
2689:
2684:
2681:
2678:
2674:
2670:
2667:
2664:
2661:
2656:
2653:
2650:
2646:
2642:
2639:
2634:
2631:
2628:
2624:
2620:
2617:
2614:
2611:
2606:
2602:
2598:
2592:
2588:
2582:
2579:
2576:
2572:
2568:
2565:
2562:
2557:
2554:
2551:
2546:
2543:
2540:
2536:
2530:
2527:
2522:
2519:
2494:
2470:
2446:
2415:
2391:
2388:
2385:
2382:
2379:
2355:
2328:
2304:
2299:
2296:
2293:
2289:
2285:
2282:
2279:
2274:
2270:
2266:
2261:
2257:
2253:
2250:
2246:
2232:
2231:
2220:
2215:
2211:
2205:
2201:
2197:
2192:
2188:
2184:
2179:
2176:
2173:
2168:
2165:
2162:
2158:
2154:
2149:
2145:
2119:
2116:
2113:
2108:
2104:
2079:
2055:
2050:
2047:
2044:
2040:
2036:
2033:
2030:
2025:
2021:
2017:
2012:
2008:
2004:
1980:
1977:
1974:
1971:
1968:
1954:
1951:
1950:
1949:
1935:
1911:
1891:
1877:
1853:
1825:
1805:
1791:
1766:
1741:
1717:
1703:
1679:
1676:
1673:
1670:
1667:
1664:
1661:
1658:
1655:
1627:
1624:
1621:
1618:
1615:
1590:
1558:
1533:
1508:
1480:
1477:
1474:
1471:
1468:
1444:
1420:
1396:
1384:natural number
1379:
1376:
1361:
1337:
1309:
1306:
1303:
1279:
1276:
1273:
1270:
1267:
1237:
1212:
1188:
1164:
1136:
1108:
1084:
1045:
1023:
1020:
1017:
1014:
1009:
1004:
972:
948:
913:
873:
849:
846:
843:
830:
829:
818:
814:
810:
807:
803:
800:
797:
793:
788:
785:
782:
777:
772:
769:
765:
761:
756:
752:
726:
699:
679:
678:
664:
640:
637:
634:
631:
628:
615:
597:
577:
559:
531:
518:
500:
464:
451:
437:
409:
377:
374:
371:
368:
365:
313:
285:
282:
279:
276:
273:
238:
214:
190:
159:
131:
103:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
20333:
20322:
20319:
20317:
20314:
20313:
20311:
20298:
20297:
20291:
20285:
20282:
20280:
20277:
20276:
20274:
20270:
20264:
20262:
20258:
20256:
20253:
20251:
20248:
20246:
20243:
20241:
20238:
20236:
20233:
20231:
20228:
20226:
20223:
20221:
20218:
20216:
20213:
20212:
20210:
20206:
20200:
20197:
20195:
20192:
20190:
20187:
20185:
20182:
20180:
20179:Demihypercube
20177:
20175:
20172:
20170:
20167:
20165:
20162:
20160:
20157:
20156:
20154:
20152:
20148:
20144:
20138:
20135:
20133:
20130:
20128:
20125:
20123:
20120:
20118:
20115:
20113:
20110:
20108:
20105:
20104:
20102:
20098:
20093:
20083:
20080:
20078:
20075:
20073:
20070:
20068:
20065:
20063:
20060:
20058:
20055:
20053:
20050:
20048:
20045:
20044:
20042:
20038:
20034:
20027:
20022:
20020:
20015:
20013:
20008:
20007:
20004:
19995:
19994:
19989:
19988:"Hypersphere"
19986:
19981:
19980:
19970:
19966:
19962:
19958:
19954:
19950:
19945:
19941:
19935:
19927:
19921:
19917:
19916:Prentice Hall
19912:
19911:
19904:
19900:
19894:
19890:
19886:
19881:
19876:
19871:
19866:
19861:
19858:: 1721–1746.
19857:
19853:
19852:J. Math. Phys
19849:
19844:
19840:
19834:
19826:
19820:
19816:
19812:
19808:
19804:
19800:
19796:
19792:
19788:
19784:
19780:
19776:
19771:
19766:
19761:
19757:
19753:
19749:
19744:
19743:
19730:
19726:
19722:
19718:
19714:
19710:
19706:
19702:
19701:Combinatorica
19695:
19687:
19683:
19679:
19675:
19670:
19665:
19661:
19657:
19653:
19647:
19639:
19637:9780387979700
19633:
19629:
19628:
19623:
19617:
19604:
19598:
19594:
19590:
19586:
19582:
19575:
19567:
19563:
19559:
19552:
19545:
19544:0-7923-1492-1
19541:
19537:
19531:
19523:
19519:
19515:
19511:
19507:
19503:
19496:
19488:
19484:
19480:
19476:
19472:
19468:
19464:
19457:
19450:
19444:
19440:
19417:
19414:
19411:
19408:
19405:
19402:
19399:
19396:
19393:
19366:
19362:
19358:
19355:
19350:
19347:
19344:
19339:
19336:
19333:
19329:
19323:
19319:
19315:
19312:
19309:
19306:
19301:
19297:
19268:
19264:
19260:
19257:
19252:
19249:
19246:
19241:
19238:
19235:
19231:
19227:
19224:
19219:
19215:
19189:
19186:
19183:
19173:
19172:empty product
19169:
19151:
19148:
19145:
19121:
19118:
19115:
19105:
19087:
19084:
19081:
19057:
19054:
19049:
19045:
19020:
19017:
19014:
18990:
18987:
18984:
18972:
18968:
18957:
18954:
18951:
18948:
18945:
18942:
18939:
18936:
18933:
18932:Exotic sphere
18930:
18927:
18924:
18923:
18917:
18900:
18897:
18894:
18884:
18866:
18856:
18838:
18814:
18803:
18801:
18781:
18777:
18774:
18769:
18761:
18753:
18748:
18745:
18742:
18732:
18729:
18725:
18721:
18716:
18712:
18704:
18703:
18702:
18701:
18680:
18670:
18654:
18633:
18632:Leech lattice
18615:
18605:
18601:
18595:
18576:
18556:
18550:
18547:
18529:
18502:
18496:
18493:
18489:
18482:
18476:
18473:
18470:
18465:
18461:
18456:
18449:
18443:
18440:
18437:
18431:
18425:
18422:
18418:
18411:
18405:
18402:
18399:
18393:
18387:
18384:
18380:
18373:
18367:
18364:
18361:
18355:
18349:
18346:
18342:
18335:
18329:
18326:
18300:
18296:
18286:-bundle over
18268:
18262:
18259:
18249:
18245:
18241:
18235:
18232:
18228:
18227:Hopf problem,
18224:
18203:
18197:
18194:
18190:
18184:
18180:
18176:
18170:
18164:
18161:
18157:
18150:
18144:
18141:
18131:
18127:
18124:Possesses an
18123:
18117:
18100:
18097:
18094:
18068:
18064:
18039:
18029:
18008:
18002:
17999:
17995:
17988:
17982:
17979:
17976:
17970:
17964:
17961:
17957:
17950:
17944:
17941:
17915:
17896:
17892:
17888:
17883:
17880:
17874:
17854:
17848:
17845:
17841:
17834:
17828:
17825:
17799:
17779:
17775:
17769:
17765:
17760:
17742:
17732:
17729:
17723:
17719:
17717:
17711:
17709:
17705:
17704:
17699:
17695:
17693:
17687:
17684:
17680:
17676:
17671:
17666:
17662:
17660:
17654:
17651:
17647:
17629:
17626:
17623:
17613:
17592:
17589:
17576:
17570:
17569:
17563:
17547:
17543:
17539:
17536:
17526:
17522:
17518:
17515:
17512:
17502:converges to
17489:
17463:
17443:
17439:
17435:
17432:
17429:
17420:
17407:
17402:
17398:
17394:
17391:
17387:
17381:
17377:
17370:
17367:
17364:
17353:
17350:
17347:
17329:
17325:
17322:
17319:
17300:
17284:
17281:
17263:
17257:
17251:
17243:
17226:
17223:
17220:
17214:
17211:
17186:
17183:
17180:
17151:
17146:
17142:
17138:
17135:
17119:
17117:
17099:
17075:
17064:
17048:
17019:
17015:
17011:
17008:
17005:
17000:
16996:
16992:
16987:
16983:
16952:
16949:
16946:
16914:
16911:
16908:
16904:
16900:
16897:
16894:
16889:
16885:
16881:
16876:
16872:
16841:
16838:
16835:
16808:
16797:
16781:
16750:
16746:
16742:
16738:
16710:
16707:
16704:
16648:
16645:
16642:
16615:
16591:
16564:
16561:
16558:
16541:
16535:
16519:
16516:
16512:
16489:
16457:
16454:
16442:; then again
16424:
16421:
16394:
16370:
16367:
16364:
16340:
16313:
16310:
16307:
16304:
16291:
16271:
16267:
16256:
16230:
16226:
16222:
16219:
16216:
16211:
16207:
16203:
16198:
16194:
16187:
16171:
16155:
16123:
16120:
16092:
16085:
16080:
16076:
16072:
16069:
16066:
16061:
16056:
16052:
16048:
16043:
16038:
16034:
16028:
16025:
16018:
16017:
16016:
15995:
15991:
15987:
15984:
15981:
15976:
15972:
15968:
15963:
15959:
15952:
15920:
15917:
15914:
15908:
15898:
15880:
15869:
15867:
15849:
15822:
15819:
15816:
15794:
15785:
15758:
15754:
15745:
15741:
15737:
15734:
15728:
15725:
15722:
15718:
15712:
15709:
15706:
15698:
15694:
15690:
15687:
15681:
15677:
15671:
15663:
15659:
15655:
15652:
15646:
15642:
15635:
15623:
15619:
15615:
15612:
15609:
15604:
15600:
15596:
15591:
15587:
15576:
15575:
15574:
15556:
15552:
15525:
15522:
15519:
15485:
15482:
15479:
15452:
15426:
15422:
15397:
15372:
15368:
15361:
15358:
15355:
15351:
15346:
15340:
15337:
15334:
15330:
15324:
15314:
15311:
15308:
15305:
15302:
15292:
15291:
15290:
15274:
15271:
15236:
15233:
15230:
15226:
15220:
15213:
15210:
15207:
15203:
15169:
15142:
15139:
15136:
15133:
15130:
15103:
15079:
15055:
15045:
15039:
15015:
15012:
15009:
14997:
14992:
14988:
14982:
14977:
14972:
14968:
14952:
14949:
14939:
14936:
14931:
14928:
14923:
14919:
14914:
14904:
14901:
14896:
14893:
14888:
14884:
14879:
14869:
14863:
14857:
14850:
14849:
14848:
14830:
14826:
14799:
14795:
14769:
14766:
14763:
14751:
14746:
14742:
14736:
14731:
14728:
14713:
14710:
14705:
14702:
14697:
14693:
14688:
14681:
14675:
14669:
14662:
14661:
14660:
14644:
14641:
14636:
14632:
14607:
14604:
14599:
14595:
14569:
14566:
14563:
14551:
14548:
14543:
14538:
14533:
14529:
14513:
14510:
14505:
14502:
14497:
14493:
14488:
14481:
14475:
14469:
14462:
14461:
14460:
14458:
14457:beta function
14414:
14411:
14406:
14402:
14377:
14374:
14369:
14365:
14339:
14333:
14330:
14325:
14322:
14316:
14310:
14304:
14297:
14296:
14295:
14279:
14276:
14271:
14267:
14263:
14258:
14254:
14229:
14203:
14199:
14172:
14168:
14143:
14119:
14091:
14087:
14076:
14069:
14065:
14054:
14047:
14043:
14039:
14034:
14030:
13997:
13992:
13988:
13984:
13975:
13971:
13962:
13958:
13952:
13949:
13946:
13941:
13938:
13935:
13931:
13926:
13923:
13917:
13914:
13911:
13907:
13903:
13898:
13894:
13890:
13883:
13882:
13881:
13863:
13859:
13833:
13828:
13824:
13820:
13811:
13807:
13798:
13794:
13788:
13785:
13782:
13777:
13774:
13771:
13767:
13763:
13758:
13755:
13752:
13748:
13744:
13737:
13736:
13735:
13717:
13684:
13681:
13678:
13674:
13647:
13629:
13613:
13610:
13607:
13603:
13599:
13594:
13591:
13588:
13584:
13580:
13575:
13572:
13569:
13565:
13541:
13527:
13522:
13518:
13514:
13500:
13495:
13491:
13487:
13473:
13468:
13464:
13456:
13455:
13454:
13436:
13426:
13421:
13411:
13406:
13389:
13384:
13366:
13362:
13358:
13355:
13329:
13325:
13321:
13318:
13292:
13288:
13261:
13258:
13255:
13251:
13224:
13191:
13158:
13127:
13103:
13100:
13097:
13025:
13002:
12969:
12966:
12963:
12930:
12927:
12924:
12891:
12888:
12885:
12883:
12878:
12871:
12857:
12855:
12850:
12839:
12838:
12837:
12821:
12797:
12773:
12746:
12742:
12738:
12735:
12732:
12705:
12681:
12657:
12630:
12627:
12624:
12597:
12594:
12591:
12588:
12585:
12558:
12555:
12552:
12549:
12522:
12498:
12474:
12471:
12468:
12442:
12439:
12436:
12432:
12428:
12388:
12385:
12382:
12378:
12374:
12195:
12172:
12169:
12166:
12163:
12157:
12137:
12134:
12131:
12128:
12119:
12107:
12106:
12105:
12088:
12077:
12066:
12058:
12054:
12050:
12047:
12044:
12039:
12035:
12031:
12026:
12022:
12018:
12015:
12012:
12007:
12003:
11996:
11988:
11984:
11980:
11977:
11974:
11969:
11965:
11958:
11946:
11945:
11944:
11926:
11916:
11913:
11887:
11877:
11872:
11862:
11857:
11826:
11823:
11820:
11817:
11814:
11790:
11766:
11740:
11722:
11697:
11694:
11674:
11670:
11664:
11660:
11656:
11653:
11650:
11647:
11624:
11621:
11618:
11615:
11612:
11609:
11606:
11581:
11578:
11575:
11571:
11567:
11552:
11543:
11505:
11473:
11450:
11447:
11444:
11441:
11435:
11432:
11429:
11426:
11423:
11417:
11405:
11404:
11403:
11378:
11373:
11369:
11362:
11354:
11351:
11348:
11344:
11340:
11337:
11334:
11329:
11325:
11321:
11316:
11312:
11305:
11297:
11293:
11289:
11286:
11283:
11278:
11274:
11267:
11255:
11254:
11253:
11237:
11180:
11177:
11174:
11164:
11133:
11110:
11108:
11090:
11087:
11084:
11081:
11078:
11050:
11046:
11042:
11039:
11035:
11010:
11007:
11004:
11001:
10998:
10995:
10992:
10989:
10986:
10983:
10980:
10948:
10945:
10941:
10938:
10934:
10926:
10921:
10917:
10914:
10911:
10908:
10905:
10899:
10893:
10882:
10879:
10876:
10873:
10870:
10867:
10864:
10861:
10855:
10852:
10844:
10841:
10838:
10835:
10832:
10829:
10826:
10817:
10812:
10809:
10806:
10803:
10800:
10796:
10789:
10787:
10777:
10773:
10769:
10764:
10759:
10755:
10751:
10747:
10744:
10738:
10733:
10729:
10726:
10723:
10720:
10717:
10711:
10704:
10701:
10696:
10691:
10686:
10682:
10678:
10674:
10671:
10665:
10660:
10656:
10653:
10650:
10647:
10644:
10638:
10632:
10628:
10623:
10618:
10614:
10610:
10606:
10601:
10598:
10595:
10592:
10589:
10585:
10579:
10574:
10570:
10564:
10552:
10551:
10550:
10548:
10529:
10524:
10521:
10518:
10514:
10510:
10507:
10502:
10498:
10494:
10488:
10484:
10480:
10471:
10468:
10465:
10461:
10454:
10451:
10448:
10440:
10436:
10429:
10424:
10421:
10418:
10414:
10405:
10401:
10394:
10389:
10386:
10383:
10379:
10373:
10370:
10367:
10363:
10359:
10356:
10349:
10346:
10343:
10339:
10334:
10326:
10325:
10324:
10308:
10298:
10280:
10253:
10250:
10247:
10233:
10217:
10188:
10183:
10180:
10177:
10173:
10169:
10166:
10161:
10157:
10153:
10147:
10143:
10139:
10135:
10132:
10123:
10120:
10117:
10113:
10106:
10103:
10100:
10092:
10088:
10081:
10076:
10073:
10070:
10066:
10057:
10053:
10046:
10041:
10038:
10035:
10031:
10025:
10022:
10019:
10015:
10011:
10009:
9999:
9996:
9993:
9989:
9985:
9982:
9977:
9973:
9969:
9963:
9959:
9955:
9951:
9948:
9944:
9936:
9930:
9926:
9922:
9919:
9915:
9901:
9897:
9880:
9876:
9874:
9869:
9864:
9860:
9848:
9847:
9846:
9825:
9815:
9812:
9809:
9805:
9791:
9788:
9785:
9781:
9777:
9772:
9768:
9764:
9758:
9756:
9743:
9738:
9735:
9732:
9728:
9724:
9719:
9714:
9711:
9708:
9704:
9690:
9687:
9684:
9680:
9669:
9666:
9663:
9659:
9655:
9650:
9646:
9642:
9636:
9634:
9616:
9613:
9610:
9606:
9595:
9592:
9589:
9585:
9573:
9570:
9567:
9563:
9557:
9554:
9551:
9547:
9543:
9538:
9534:
9530:
9522:
9519:
9516:
9508:
9505:
9499:
9494:
9476:
9473:
9470:
9466:
9455:
9452:
9449:
9445:
9433:
9430:
9427:
9423:
9417:
9414:
9411:
9407:
9403:
9398:
9394:
9390:
9387:
9379:
9376:
9370:
9367:
9364:
9353:
9350:
9344:
9342:
9330:
9326:
9309:
9308:
9307:
9289:
9285:
9258:
9255:
9252:
9248:
9244:
9241:
9215:
9212:
9209:
9205:
9177:
9174:
9171:
9142:
9139:
9136:
9132:
9128:
9125:
9099:
9096:
9093:
9089:
9061:
9058:
9055:
9052:
9049:
9020:
9016:
9005:
8985:
8981:
8956:
8930:
8927:
8924:
8920:
8916:
8913:
8889:
8886:
8883:
8857:
8854:
8851:
8847:
8843:
8840:
8814:
8811:
8808:
8804:
8779:
8776:
8773:
8749:
8746:
8743:
8717:
8713:
8688:
8664:
8661:
8658:
8634:
8625:. In column
8610:
8584:
8581:
8578:
8574:
8570:
8567:
8543:
8540:
8537:
8511:
8508:
8505:
8501:
8497:
8494:
8468:
8465:
8462:
8458:
8433:
8430:
8427:
8401:
8397:
8372:
8348:
8345:
8342:
8318:
8292:
8289:
8286:
8282:
8255:
8251:
8226:
8202:
8178:
8175:
8172:
8147:
8142:
8134:
8131:
8128:
8124:
8118:
8115:
8112:
8108:
8104:
8099:
8095:
8091:
8085:
8075:
8068:
8065:
8062:
8058:
8054:
8049:
8045:
8041:
8034:
8031:
8028:
8024:
8018:
8015:
8012:
8008:
8004:
7999:
7995:
7985:
7982:
7979:
7975:
7969:
7966:
7963:
7959:
7955:
7950:
7946:
7942:
7939:
7932:
7927:
7920:
7917:
7914:
7910:
7904:
7901:
7898:
7894:
7890:
7885:
7881:
7873:
7861:
7856:
7850:
7845:
7840:
7833:
7828:
7823:
7816:
7812:
7806:
7802:
7798:
7795:
7788:
7784:
7778:
7774:
7770:
7763:
7759:
7753:
7749:
7741:
7736:
7731:
7726:
7719:
7715:
7711:
7708:
7701:
7697:
7690:
7685:
7680:
7676:
7668:
7667:
7666:
7664:
7644:
7640:
7636:
7633:
7630:
7625:
7621:
7594:
7590:
7586:
7583:
7580:
7575:
7571:
7546:
7536:
7526:
7510:
7486:
7462:
7436:
7432:
7405:
7401:
7397:
7394:
7389:
7386:
7383:
7379:
7375:
7370:
7366:
7341:
7315:
7311:
7299:
7296:
7272:
7268:
7262:
7259:
7256:
7252:
7248:
7243:
7239:
7234:
7230:
7227:
7224:
7222:
7215:
7212:
7209:
7205:
7197:
7193:
7187:
7184:
7181:
7177:
7173:
7164:
7157:
7154:
7151:
7147:
7141:
7136:
7129:
7125:
7114:
7110:
7107:
7104:
7102:
7095:
7092:
7089:
7085:
7077:
7074:
7066:
7062:
7056:
7052:
7048:
7039:
7032:
7028:
7022:
7019:
7016:
7011:
7004:
7001:
6998:
6994:
6988:
6983:
6976:
6972:
6961:
6957:
6954:
6951:
6949:
6942:
6938:
6930:
6926:
6920:
6916:
6912:
6903:
6896:
6892:
6886:
6883:
6880:
6875:
6868:
6865:
6862:
6858:
6852:
6847:
6840:
6836:
6825:
6821:
6818:
6815:
6813:
6806:
6802:
6794:
6785:
6778:
6774:
6768:
6763:
6756:
6752:
6746:
6743:
6740:
6735:
6728:
6725:
6722:
6718:
6712:
6707:
6700:
6696:
6686:
6684:
6679:
6668:
6667:
6666:
6645:
6637:
6634:
6631:
6627:
6620:
6617:
6609:
6606:
6603:
6599:
6592:
6589:
6586:
6578:
6574:
6567:
6564:
6561:
6558:
6556:
6549:
6545:
6537:
6529:
6526:
6523:
6519:
6512:
6509:
6501:
6498:
6495:
6491:
6484:
6481:
6478:
6470:
6466:
6459:
6456:
6453:
6450:
6448:
6441:
6438:
6435:
6431:
6423:
6420:
6412:
6404:
6400:
6393:
6390:
6382:
6378:
6371:
6368:
6360:
6356:
6349:
6346:
6343:
6340:
6338:
6331:
6327:
6319:
6311:
6307:
6300:
6297:
6289:
6285:
6278:
6275:
6272:
6269:
6267:
6260:
6256:
6248:
6240:
6236:
6229:
6226:
6223:
6220:
6218:
6211:
6207:
6195:
6194:
6193:
6175:
6172:
6169:
6165:
6161:
6158:
6155:
6150:
6146:
6142:
6139:
6113:
6109:
6105:
6102:
6099:
6094:
6090:
6063:
6059:
6049:degrees). If
6031:
6028:
6025:
5995:
5992:
5989:
5986:
5957:
5954:
5951:
5947:
5937:degrees) and
5919:
5916:
5913:
5883:
5880:
5877:
5848:
5845:
5842:
5838:
5834:
5831:
5828:
5823:
5819:
5815:
5810:
5806:
5779:
5776:
5773:
5769:
5765:
5762:
5759:
5754:
5750:
5746:
5741:
5737:
5712:
5709:
5706:
5682:
5658:
5648:
5630:
5614:
5598:
5595:
5590:
5586:
5561:
5558:
5553:
5549:
5524:
5497:
5493:
5489:
5486:
5483:
5478:
5475:
5472:
5468:
5460:
5459:
5458:
5440:
5436:
5432:
5429:
5426:
5421:
5417:
5390:
5387:
5384:
5380:
5376:
5373:
5370:
5365:
5362:
5359:
5355:
5330:
5306:
5279:
5276:
5273:
5245:
5240:
5236:
5229:
5226:
5223:
5219:
5214:
5211:
5208:
5202:
5198:
5192:
5188:
5182:
5177:
5173:
5169:
5164:
5161:
5158:
5154:
5146:
5145:
5144:
5142:
5141:
5119:
5116:
5113:
5086:
5061:
5055:
5051:
5045:
5042:
5039:
5035:
5028:
5025:
5022:
5015:
5009:
5006:
4999:
4996:
4993:
4989:
4983:
4980:
4977:
4973:
4969:
4963:
4958:
4954:
4948:
4944:
4936:
4935:
4934:
4918:
4891:
4888:
4885:
4858:
4834:
4824:
4814:
4798:
4788:
4772:
4747:
4723:
4699:
4675:
4664:
4662:
4609:
4606:
4601:
4598:
4580:
4576:
4572:
4568:
4562:
4557:
4553:
4548:
4533:
4530:
4511:
4507:
4503:
4499:
4495:
4489:
4484:
4481:
4478:
4474:
4466:
4465:
4464:
4446:
4442:
4415:
4412:
4409:
4405:
4379:
4376:
4370:
4367:
4361:
4356:
4352:
4347:
4344:
4341:
4338:
4333:
4329:
4321:
4320:
4319:
4303:
4293:
4289:
4270:
4267:
4264:
4259:
4255:
4250:
4247:
4244:
4241:
4236:
4232:
4224:
4223:
4222:
4206:
4196:
4178:
4153:
4150:
4145:
4141:
4136:
4133:
4130:
4125:
4121:
4113:
4112:
4111:
4092:
4089:
4086:
4083:
4056:
4032:
4005:
4002:
3999:
3996:
3969:
3944:
3941:
3936:
3932:
3924:
3923:
3922:
3920:
3917:-dimensional
3902:
3878:
3840:
3837:
3834:
3830:
3819:
3818:surface areas
3799:
3795:
3784:
3779:
3775:
3759:
3735:
3708:
3705:
3702:
3672:
3669:
3666:
3639:
3613:
3609:
3584:
3560:
3533:
3530:
3527:
3498:
3495:
3492:
3488:
3475:
3471:
3461:
3459:
3441:
3426:
3408:
3384:
3351:
3346:
3336:
3331:
3327:
3302:
3278:
3268:
3250:
3240:
3239:Topologically
3228:
3221:
3203:
3193:
3176:
3166:
3162:
3158:
3140:
3130:
3113:
3103:
3099:
3095:
3077:
3067:
3064:
3060:
3042:
3032:
3031:
3030:
3027:
3011:
3001:
2983:
2973:
2952:
2949:
2946:
2933:
2912:
2909:
2906:
2879:
2867:
2859:
2840:
2835:
2832:
2829:
2825:
2821:
2818:
2815:
2812:
2807:
2803:
2799:
2796:
2793:
2790:
2787:
2784:
2777:
2776:
2775:
2759:
2756:
2753:
2743:
2739:
2722:
2698:
2695:
2691:
2687:
2682:
2679:
2676:
2672:
2668:
2665:
2662:
2659:
2654:
2651:
2648:
2644:
2640:
2637:
2632:
2629:
2626:
2622:
2618:
2615:
2612:
2609:
2604:
2600:
2596:
2590:
2586:
2580:
2577:
2574:
2566:
2563:
2555:
2552:
2549:
2544:
2541:
2538:
2534:
2528:
2525:
2520:
2517:
2510:
2509:
2508:
2492:
2468:
2444:
2435:
2431:
2413:
2386:
2383:
2380:
2353:
2342:
2326:
2297:
2294:
2291:
2287:
2283:
2280:
2277:
2272:
2268:
2264:
2259:
2255:
2248:
2218:
2213:
2203:
2199:
2195:
2190:
2186:
2177:
2174:
2171:
2166:
2163:
2160:
2156:
2152:
2147:
2143:
2135:
2134:
2133:
2114:
2106:
2102:
2077:
2048:
2045:
2042:
2038:
2034:
2031:
2028:
2023:
2019:
2015:
2010:
2006:
1975:
1972:
1969:
1933:
1909:
1899:
1892:
1875:
1851:
1841:
1838:-dimensional
1823:
1813:
1806:
1789:
1739:
1729:
1725:
1718:
1701:
1674:
1671:
1668:
1665:
1662:
1659:
1656:
1643:
1642:
1641:
1622:
1619:
1616:
1577:
1574:
1556:
1506:
1496:
1493:-dimensional
1475:
1472:
1469:
1442:
1418:
1394:
1385:
1375:
1359:
1335:
1325:
1307:
1304:
1301:
1274:
1271:
1268:
1255:
1251:
1235:
1210:
1186:
1162:
1152:
1134:
1124:
1106:
1082:
1072:
1068:
1064:
1059:
1043:
1012:
1007:
992:
988:
970:
961:-sphere onto
946:
936:
931:
929:
928:great circles
911:
901:
897:
893:
889:
886:-sphere is a
871:
847:
844:
841:
816:
812:
808:
805:
798:
791:
786:
783:
780:
770:
767:
763:
759:
754:
750:
742:
741:
740:
724:
714:
713:
697:
684:
662:
635:
632:
629:
616:
613:
595:
585:
578:
575:
557:
547:
529:
519:
516:
498:
488:
484:
483:circumference
480:
477:-sphere is a
462:
452:
435:
425:
407:
397:
396:
395:
393:
390:-dimensional
372:
369:
366:
353:
349:
348:
343:
342:
337:
333:
329:
311:
301:
298:-dimensional
280:
277:
274:
261:
256:
254:
251:-dimensional
236:
212:
188:
179:
175:
172:-dimensional
157:
147:
144:-dimensional
129:
119:
101:
91:
87:
80:
68:
64:
53:-sphere into
48:
43:
37:
32:
19:
20294:
20260:
20199:Hyperpyramid
20183:
20164:Hypersurface
20057:Affine space
20047:Vector space
19991:
19952:
19949:Phys. Rev. A
19948:
19909:
19887:. New York:
19884:
19855:
19851:
19814:
19778:
19774:
19755:
19751:
19707:(1): 89–94.
19704:
19700:
19694:
19659:
19655:
19646:
19626:
19616:
19606:, retrieved
19584:
19574:
19551:
19535:
19530:
19508:(1): 63–66.
19505:
19501:
19495:
19470:
19466:
19456:
19448:
19443:
19204:is given by
18971:
18804:
18797:
18644:
18642:
18250:. Principal
18242:Topological
18226:
17886:
17701:
17679:Homeomorphic
17675:circle group
17421:
17244:
17125:
17065:
16798:
16545:
16539:
16331:, computing
16250:in the unit
16172:
16107:
15871:Generate an
15870:
15803:
15783:
15387:
15041:
14784:
14584:
14455:denotes the
14354:
14012:
13848:
13630:
13556:
13385:
13023:
13021:
12351:in terms of
12210:
12103:
11723:
11488:
11401:
11116:
10970:
10544:
10297:area element
10234:
10207:
9844:
8162:
7532:
7300:
7291:
6664:
6013:radians (or
5974:ranges over
5901:radians (or
5649:defined for
5620:
5514:
5260:
5138:
5076:
4823:surface area
4822:
4820:
4665:
4634:
4395:In general,
4394:
4294:is the unit
4285:
4168:
3959:
3868:
3575:embedded in
3477:
3425:homeomorphic
3237:
3219:
3156:
3093:
3063:line segment
3058:
3028:
2869:
2857:
2713:
2507:is given by
2343:
2233:
1956:
1754:centered at
1381:
1177:-space. The
1122:
1073:to the unit
1071:homeomorphic
1060:
989:; under the
932:
890:of positive
831:
686:
680:
424:line segment
345:
339:
262:embedded in
260:hypersurface
257:
89:
82:
76:
20284:Codimension
20263:-dimensions
20184:Hypersphere
20067:Free module
19136:reduces to
18645:octahedral
18028:undecidable
16606:-ball. If
16108:The vector
12764:if neither
5865:range over
4817:Recurrences
4195:unit circle
3375:, which is
2434:volume form
1576:real number
1571:may be any
1378:Description
350:point. Its
118:dimensional
90:hypersphere
79:mathematics
20310:Categories
20279:Hyperspace
20159:Hyperplane
19875:10289/1219
19740:References
19669:1708.01068
19608:2023-05-19
18855:octahedron
18244:quasigroup
18231:Heinz Hopf
17761:structure
15443:of radius
11025:, and the
4047:, and the
4023:of length
3781:Graphs of
3468:See also:
2344:The above
1730:of radius
1578:and where
1254:suspension
896:orientable
715:of radius
45:Just as a
20169:Hypercube
20147:Polytopes
20127:Minkowski
20122:Hausdorff
20117:Inductive
20082:Spacetime
20033:Dimension
19993:MathWorld
19934:cite book
19833:cite book
19729:207006642
19721:1439-6912
19686:119297359
19415:−
19406:…
19363:φ
19359:
19348:−
19330:∏
19320:φ
19316:
19265:φ
19261:
19250:−
19232:∏
19187:≥
19058:⋯
19018:−
18733:∈
18497:
18477:
18444:
18426:
18406:
18388:
18368:
18350:
18330:
18263:
18248:octonions
18198:
18165:
18145:
18130:octonions
18098:≥
18003:
17983:
17965:
17945:
17893:over the
17882:Principal
17849:
17829:
17759:Lie group
17757:-sphere,
17722:principal
17614:for some
17610:with the
17590:±
17537:−
17516:π
17470:∞
17467:→
17392:−
17368:−
17351:−
17323:−
17307:Γ
17301:π
17270:Γ
17252:ρ
17215:∈
17184:−
17009:…
16898:…
16708:−
16562:−
16517:−
16368:≥
16305:−
16220:…
16070:⋯
15985:…
15820:−
15738:−
15726:−
15710:…
15691:−
15656:−
15632:↦
15613:…
15573:-axis as
15523:−
15483:−
15359:−
15338:−
15321:↦
15234:−
15211:−
15013:θ
14940:θ
14937:
14929:−
14905:θ
14902:
14894:−
14864:θ
14767:θ
14714:θ
14711:
14703:−
14676:θ
14567:θ
14514:θ
14511:
14503:−
14476:θ
14429:, and if
14334:π
14326:θ
14311:θ
14120:θ
14077:×
13989:θ
13972:θ
13950:−
13932:∏
13915:−
13825:θ
13808:θ
13786:−
13768:∏
13756:−
13682:−
13611:−
13600:⊆
13592:−
13581:×
13573:−
13528:
13515:⊆
13501:
13488:×
13474:
13427:×
13363:θ
13359:
13326:θ
13322:
13289:θ
13259:−
13101:−
13073:^
13042:^
12997:‖
12989:‖
12984:‖
12976:‖
12970:
12958:‖
12950:‖
12945:‖
12937:‖
12931:
12919:‖
12911:‖
12906:‖
12898:‖
12892:
12879:θ
12869:‖
12861:‖
12739:π
12631:π
12559:π
12523:θ
12499:θ
12472:≥
12440:−
12429:∈
12423:^
12386:−
12375:∈
12369:^
12258:^
12227:^
12187:^
12173:θ
12170:
12152:^
12138:θ
12135:
12048:…
12016:…
11978:…
11917:∈
11878:×
11709:‖
11701:‖
11657:
11648:θ
11619:…
11579:−
11568:∈
11565:‖
11557:‖
11538:^
11465:^
11451:θ
11448:
11433:θ
11430:
11352:−
11338:…
11287:…
11178:−
11165:×
11088:−
11047:φ
11008:−
10999:…
10935:δ
10915:−
10909:−
10890:Γ
10880:−
10874:−
10842:−
10836:−
10821:Γ
10818:π
10804:−
10774:φ
10756:φ
10748:
10727:−
10721:−
10683:φ
10675:
10654:−
10648:−
10615:φ
10607:
10599:−
10593:−
10580:π
10571:∫
10522:−
10515:φ
10508:⋯
10499:φ
10485:φ
10469:−
10462:φ
10455:
10449:⋯
10437:φ
10430:
10422:−
10402:φ
10395:
10387:−
10371:−
10347:−
10251:−
10181:−
10174:φ
10167:⋯
10158:φ
10144:φ
10121:−
10114:φ
10107:
10101:⋯
10089:φ
10082:
10074:−
10054:φ
10047:
10039:−
10023:−
9997:−
9990:φ
9983:⋯
9974:φ
9960:φ
9927:φ
9912:∂
9891:∂
9813:−
9789:−
9778:⋯
9736:−
9712:−
9688:−
9667:−
9656:⋯
9614:−
9593:−
9571:−
9555:−
9544:⋯
9506:−
9474:−
9453:−
9431:−
9415:−
9404:⋯
9388:−
9368:−
9351:−
9256:−
9249:φ
9245:
9213:−
9140:−
9133:φ
9129:
9097:−
9053:−
8928:−
8921:φ
8917:
8887:−
8855:−
8848:φ
8844:
8812:−
8777:−
8747:−
8662:−
8582:−
8575:φ
8571:
8541:−
8509:−
8502:φ
8498:
8466:−
8431:−
8346:−
8290:−
8132:−
8116:−
8105:⋯
8086:−
8076:⋯
8066:−
8055:⋯
8032:−
8016:−
8005:⋯
7983:−
7967:−
7956:⋯
7940:−
7933:⋯
7928:⋯
7918:−
7902:−
7891:⋯
7862:⋮
7857:⋱
7851:⋮
7846:⋮
7841:⋮
7829:⋯
7796:−
7737:⋯
7709:−
7641:φ
7637:
7591:φ
7587:
7511:π
7433:φ
7398:…
7312:φ
7260:−
7231:
7213:−
7206:φ
7185:−
7155:−
7111:
7093:−
7086:φ
7078:⋮
7020:⋯
7002:−
6958:
6939:φ
6884:⋯
6866:−
6822:
6803:φ
6744:⋯
6726:−
6635:−
6628:φ
6621:
6607:−
6600:φ
6593:
6587:⋯
6575:φ
6568:
6527:−
6520:φ
6513:
6499:−
6492:φ
6485:
6479:⋯
6467:φ
6460:
6439:−
6424:⋮
6401:φ
6394:
6379:φ
6372:
6357:φ
6350:
6308:φ
6301:
6286:φ
6279:
6237:φ
6230:
6173:−
6166:φ
6159:…
6147:φ
6103:…
5996:π
5955:−
5948:φ
5884:π
5846:−
5839:φ
5832:…
5820:φ
5807:φ
5777:−
5770:φ
5763:…
5751:φ
5738:φ
5710:−
5490:π
5433:π
5377:π
5174:∫
5117:−
4645:Γ
4587:Γ
4569:π
4519:Γ
4500:π
4482:−
4413:−
4377:π
4345:π
4268:π
4248:π
4084:−
3997:−
3838:−
3706:−
3670:−
3531:−
3496:−
3358:∞
3352:∪
3191:-sphere).
3128:-sphere).
3026:-sphere.
2970:-ball is
2819:∧
2816:⋯
2813:∧
2794:ω
2791:∧
2723:⋆
2692:⋆
2666:∧
2663:⋯
2660:∧
2638:∧
2630:−
2616:∧
2613:⋯
2610:∧
2578:−
2564:−
2535:∑
2518:ω
2445:ω
2281:…
2196:−
2157:∑
2092:-sphere,
2032:…
1660:−
1305:≥
1272:−
1058:-sphere.
1019:∞
1013:∪
937:maps the
900:geodesics
894:, and is
845:≥
771:∈
633:−
610:-ball in
572:-ball in
334:at equal
67:conformal
63:meridians
20296:Category
20272:See also
20072:Manifold
19813:(1985).
19624:(1993),
19166:. Using
18920:See also
18765:‖
18759:‖
18026:. It is
15864:-ball),
15412:-sphere
11841:. Then
10949:′
10705:′
7332:for any
5407:. Since
5137:-sphere
4288:2-sphere
4221:-ball).
2430:manifold
1993:-space,
1573:positive
1547:, where
1382:For any
1069:that is
1063:topology
802:‖
796:‖
681:Given a
546:boundary
352:interior
336:distance
20321:Spheres
20194:Simplex
20132:Fractal
19957:Bibcode
19803:1539933
19795:2321716
19662:: 1–9.
19522:2308932
19487:2690391
19430:
19386:
19382:
19288:
19284:
19206:
19202:
19176:
19164:
19138:
19134:
19108:
19100:
19074:
19070:
19037:
19033:
19007:
19003:
18977:
18913:
18887:
18879:
18859:
18851:
18831:
18827:
18807:
18693:
18673:
18669:-sphere
18667:
18647:
18628:
18608:
18599:-sphere
18591:
18559:
18554:-sphere
18542:
18522:
18518:
18319:
18315:
18288:
18284:
18252:
18239:-sphere
18219:
18134:
18121:-sphere
18113:
18087:
18083:
18056:
18052:
18032:
18024:
17934:
17930:
17898:
17891:-bundle
17878:-sphere
17870:
17818:
17814:
17782:
17773:-sphere
17755:
17735:
17728:-bundle
17716:-sphere
17692:-sphere
17681:to the
17659:-sphere
17642:
17616:
17608:
17579:
17574:-sphere
17202:
17170:
17166:
17128:
17112:
17092:
17088:
17068:
17061:
17041:
17037:
16972:
16968:
16936:
16932:
16861:
16857:
16825:
16821:
16801:
16796:-ball.
16794:
16774:
16770:
16730:
16726:
16694:
16690:
16668:
16664:
16632:
16628:
16608:
16604:
16584:
16580:
16548:
16502:
16482:
16478:
16444:
16440:
16411:
16407:
16387:
16383:
16357:
16353:
16333:
16329:
16294:
16286:
16259:
16248:
16175:
16170:-ball.
16168:
16148:
16144:
16110:
16013:
15940:
15936:
15901:
15893:
15873:
15862:
15842:
15838:
15806:
15788:-sphere
15571:
15544:
15540:
15505:
15501:
15469:
15465:
15445:
15441:
15414:
15410:
15390:
15287:
15264:
15262:on the
15260:
15186:
15182:
15162:
15158:
15120:
15116:
15096:
15092:
15072:
15068:
15048:
14845:
14818:
14814:
14787:
14659:, then
14657:
14624:
14620:
14587:
14459:, then
14453:
14431:
14427:
14394:
14390:
14357:
14294:, then
14292:
14246:
14242:
14222:
14218:
14191:
14187:
14160:
14156:
14136:
14132:
14112:
14108:
14015:
13878:
13851:
13732:
13703:
13699:
13666:
13662:
13633:
13451:
13392:
13381:
13348:
13344:
13311:
13307:
13280:
13276:
13243:
13239:
13210:
13206:
13177:
13173:
13144:
13140:
13120:
13116:
13090:
12834:
12814:
12810:
12790:
12786:
12766:
12762:
12722:
12718:
12698:
12694:
12674:
12670:
12650:
12646:
12614:
12610:
12578:
12574:
12539:
12535:
12515:
12511:
12491:
12487:
12461:
12457:
12407:
12403:
12353:
12349:
12327:
12323:
12301:
12297:
12275:
11941:
11906:
11902:
11843:
11839:
11807:
11803:
11783:
11779:
11759:
11755:
11726:
11520:
11491:
11221:
11199:
11195:
11152:
11148:
11119:
11103:
11071:
11067:
11027:
11023:
10973:
10321:
10301:
10299:of the
10293:
10273:
10269:
10237:
10230:
10210:
9304:
9277:
9273:
9234:
9230:
9197:
9193:
9161:
9157:
9118:
9114:
9081:
9077:
9039:
9035:
9008:
9000:
8973:
8969:
8949:
8947:in row
8945:
8906:
8902:
8876:
8874:in row
8872:
8833:
8829:
8796:
8792:
8766:
8764:of row
8762:
8736:
8732:
8705:
8701:
8681:
8677:
8651:
8649:, rows
8647:
8627:
8623:
8603:
8601:in row
8599:
8560:
8556:
8530:
8528:in row
8526:
8487:
8483:
8450:
8446:
8420:
8416:
8389:
8385:
8365:
8361:
8335:
8333:, rows
8331:
8311:
8307:
8274:
8270:
8243:
8239:
8219:
8215:
8195:
8191:
8165:
7659:
7613:
7609:
7563:
7559:
7539:
7523:
7503:
7499:
7479:
7475:
7455:
7451:
7424:
7420:
7358:
7354:
7334:
7330:
7303:
6190:
6132:
6128:
6082:
6078:
6051:
6047:
6015:
6011:
5976:
5972:
5939:
5935:
5903:
5899:
5867:
5863:
5798:
5794:
5729:
5725:
5699:
5695:
5675:
5671:
5651:
5643:
5623:
5611:
5578:
5574:
5541:
5537:
5517:
5455:
5409:
5405:
5347:
5343:
5323:
5319:
5299:
5295:
5263:
5135:
5103:
5099:
5079:
4931:
4911:
4907:
4875:
4871:
4851:
4847:
4827:
4811:
4791:
4785:
4765:
4762:and an
4760:
4740:
4736:
4716:
4712:
4692:
4688:
4668:
4659:is the
4657:
4637:
4461:
4434:
4430:
4397:
4318:-ball.
4316:
4296:
4219:
4199:
4191:
4171:
4169:A unit
4108:
4073:
4069:
4049:
4045:
4025:
4021:
3986:
3982:
3962:
3960:A unit
3915:
3895:
3891:
3871:
3855:
3822:
3814:
3787:
3783:volumes
3772:
3752:
3748:
3728:
3724:
3692:
3688:
3656:
3652:
3632:
3628:
3601:
3597:
3577:
3573:
3553:
3549:
3517:
3513:
3480:
3421:
3401:
3397:
3377:
3373:
3319:
3315:
3295:
3291:
3271:
3263:
3243:
3227:-sphere
3216:
3196:
3189:
3169:
3153:
3133:
3126:
3106:
3090:
3070:
3055:
3035:
3024:
3004:
2996:
2976:
2968:
2936:
2928:
2896:
2892:
2872:
2772:
2746:
2736:is the
2505:
2485:
2481:
2461:
2457:
2437:
2432:. The
2426:
2406:
2402:
2370:
2366:
2346:
2339:
2319:
2315:
2236:
2130:
2094:
2090:
2070:
2066:
1995:
1991:
1959:
1946:
1926:
1922:
1902:
1898:-sphere
1890:-ball).
1888:
1868:
1864:
1844:
1836:
1816:
1812:-sphere
1804:-ball).
1802:
1782:
1778:
1756:
1752:
1732:
1724:-sphere
1716:-ball).
1714:
1694:
1690:
1646:
1638:
1606:
1602:
1580:
1569:
1549:
1545:
1523:
1519:
1499:
1491:
1459:
1455:
1435:
1431:
1411:
1407:
1387:
1372:
1352:
1348:
1328:
1320:
1294:
1290:
1258:
1248:
1228:
1223:
1203:
1199:
1179:
1175:
1155:
1147:
1127:
1119:
1099:
1095:
1075:
1056:
1036:
983:
963:
959:
939:
924:
904:
902:of the
884:
864:
860:
834:
737:
717:
712:-sphere
710:
690:
675:
655:
651:
619:
608:
588:
584:-sphere
570:
550:
542:
522:
511:
491:
475:
455:
450:-ball).
448:
428:
420:
400:
388:
356:
324:
304:
296:
264:
249:
229:
225:
205:
201:
181:
178:integer
170:
150:
142:
122:
114:
94:
86:-sphere
20151:shapes
19922:
19895:
19821:
19801:
19793:
19727:
19719:
19684:
19634:
19599:
19542:
19520:
19485:
19005:. For
18520:. The
18229:after
17698:sphere
17673:; the
17665:circle
17242:, is
12967:arctan
12928:arccos
12889:arcsin
12720:, and
11654:arcsin
7292:where
6192:with:
5697:, and
5140:shells
4635:where
3816:) and
3229:, etc.
3165:sphere
3102:circle
2972:closed
2740:; see
2714:where
2459:of an
2234:where
1840:sphere
1728:circle
1326:; the
1322:it is
1256:of an
1123:sphere
1065:, any
991:metric
898:. The
862:, the
685:, the
677:-ball.
481:, the
479:circle
347:center
341:radius
332:points
174:sphere
146:circle
92:is an
20255:Eight
20250:Seven
20230:Three
20107:Krull
19791:JSTOR
19725:S2CID
19682:S2CID
19664:arXiv
19518:JSTOR
19483:JSTOR
18963:Notes
18700:-norm
17764:Sp(1)
16542:-ball
16292:over
16255:-cube
15046:, an
12211:Here
7295:atan2
7228:atan2
7108:atan2
6955:atan2
6819:atan2
6130:from
4787:-cube
3857:) of
3241:, an
2934:. An
2860:-ball
1900:is a
1726:is a
1409:, an
1250:-cube
688:unit
548:of a
515:plane
485:of a
338:(the
328:locus
302:, an
81:, an
20240:Five
20235:Four
20215:Zero
20149:and
19940:link
19920:ISBN
19893:ISBN
19839:link
19819:ISBN
19717:ISSN
19632:ISBN
19597:ISBN
19540:ISBN
19384:for
19286:and
18988:>
18643:The
18474:Spin
18441:Spin
18085:for
17733:the
17731:over
17726:U(1)
17670:U(1)
17627:>
17422:Let
17126:Let
16666:and
15786:− 1)
14816:and
14642:>
14622:and
14392:and
14375:>
14189:and
13208:and
13057:and
12812:are
12788:nor
12672:and
12299:and
12242:and
11781:and
10971:for
8904:and
8679:and
8363:and
7611:and
4821:The
4432:and
3869:The
3478:Let
3472:and
3220:ball
3161:ball
3157:ball
3098:disk
3096:, a
3094:ball
3061:, a
3059:ball
3000:open
2932:ball
933:The
617:The
579:The
520:The
487:disk
453:The
398:The
392:ball
148:and
20245:Six
20225:Two
20220:One
19965:doi
19870:hdl
19860:doi
19783:doi
19760:doi
19709:doi
19674:doi
19589:doi
19562:doi
19510:doi
19475:doi
19356:sin
19313:cos
19258:sin
18885:of
17889:(1)
17066:If
14915:cos
14880:sin
14689:cos
14585:If
14489:sin
14355:If
13356:cos
13319:sin
12696:is
12576:if
12537:is
12167:cos
12132:sin
11640:by
11445:cos
11427:sin
11223:of
10745:cos
10672:cos
10586:sin
10452:sin
10415:sin
10380:sin
10104:sin
10067:sin
10032:sin
9885:det
9306:is
9242:cos
9126:sin
8914:cos
8841:sin
8794:of
8703:of
8568:sin
8495:cos
8448:of
8387:of
7634:cos
7584:sin
7537:of
7501:or
6618:sin
6590:sin
6565:sin
6510:cos
6482:sin
6457:sin
6391:cos
6369:sin
6347:sin
6298:cos
6276:sin
6227:cos
6032:360
5920:180
4666:As
4290:in
3427:to
3269:of
1842:in
1153:of
330:of
88:or
77:In
20312::
19990:.
19963:.
19953:59
19951:.
19936:}}
19932:{{
19918:.
19914:.
19891:.
19868:.
19856:27
19854:.
19850:.
19835:}}
19831:{{
19799:MR
19797:.
19789:.
19779:89
19777:.
19756:43
19754:.
19750:.
19723:.
19715:.
19705:21
19703:.
19680:.
19672:.
19660:57
19658:.
19595:,
19583:,
19516:.
19506:67
19504:.
19481:.
19471:62
19469:.
19465:.
18802:.
18616:24
18597:23
18494:SU
18423:Sp
18403:Sp
18385:SU
18365:SU
18347:SO
18327:SO
18260:Sp
18195:SU
18162:SO
18142:SO
18132:.
18000:SU
17980:SU
17962:SO
17942:SO
17932:.
17846:SO
17826:SO
17816:.
17780:,
17677:.
17648:.
16520:24
16513:10
13519:SO
13492:SO
13465:SO
12612:,
12459:,
12405:,
11109:.
10549:,
5576:,
5143:,
4663:.
4154:2.
4110:.
3945:1.
3460:.
3194:A
3131:A
3068:A
3033:A
1893:a
1807:a
1719:a
930:.
255:.
20261:n
20025:e
20018:t
20011:v
19996:.
19971:.
19967::
19959::
19942:)
19901:.
19878:.
19872::
19862::
19841:)
19805:.
19785::
19768:.
19762::
19731:.
19711::
19688:.
19676::
19666::
19641:.
19591::
19568:.
19564::
19524:.
19512::
19489:.
19477::
19432:.
19418:1
19412:n
19409:,
19403:,
19400:1
19397:=
19394:k
19367:i
19351:1
19345:k
19340:1
19337:=
19334:i
19324:k
19310:r
19307:=
19302:k
19298:x
19269:i
19253:1
19247:n
19242:1
19239:=
19236:i
19228:r
19225:=
19220:n
19216:x
19190:2
19184:n
19152:r
19149:=
19146:x
19122:1
19119:=
19116:n
19088:2
19085:=
19082:n
19055:=
19050:3
19046:x
19021:3
19015:n
18991:3
18985:n
18901:1
18898:+
18895:n
18867:n
18839:2
18815:1
18782:}
18778:1
18775:=
18770:1
18762:x
18754::
18749:1
18746:+
18743:n
18738:R
18730:x
18726:{
18722:=
18717:n
18713:S
18698:1
18681:n
18655:n
18634:.
18593:.
18577:1
18572:P
18569:O
18552:8
18530:7
18506:)
18503:3
18500:(
18490:/
18486:)
18483:6
18480:(
18471:=
18466:2
18462:G
18457:/
18453:)
18450:7
18447:(
18438:=
18435:)
18432:1
18429:(
18419:/
18415:)
18412:2
18409:(
18400:=
18397:)
18394:3
18391:(
18381:/
18377:)
18374:4
18371:(
18362:=
18359:)
18356:7
18353:(
18343:/
18339:)
18336:8
18333:(
18301:4
18297:S
18272:)
18269:1
18266:(
18237:7
18233:.
18207:)
18204:3
18201:(
18191:/
18185:2
18181:G
18177:=
18174:)
18171:6
18168:(
18158:/
18154:)
18151:7
18148:(
18119:6
18115:.
18101:5
18095:n
18069:n
18065:S
18040:n
18012:)
18009:2
18006:(
17996:/
17992:)
17989:3
17986:(
17977:=
17974:)
17971:5
17968:(
17958:/
17954:)
17951:6
17948:(
17916:2
17911:P
17908:C
17887:U
17876:5
17872:.
17858:)
17855:4
17852:(
17842:/
17838:)
17835:5
17832:(
17800:1
17795:P
17792:H
17771:4
17767:.
17743:2
17714:3
17690:2
17685:.
17657:1
17652:.
17630:0
17624:R
17596:}
17593:R
17587:{
17572:0
17548:2
17544:/
17540:1
17533:)
17527:z
17523:e
17519:z
17513:2
17510:(
17490:z
17464:N
17444:N
17440:/
17436:y
17433:=
17430:z
17408:.
17403:2
17399:/
17395:1
17388:y
17382:2
17378:/
17374:)
17371:3
17365:n
17362:(
17358:)
17354:y
17348:1
17345:(
17337:)
17330:2
17326:1
17320:n
17312:(
17292:)
17285:2
17282:n
17275:(
17264:=
17261:)
17258:y
17255:(
17230:]
17227:1
17224:,
17221:0
17218:[
17212:y
17190:)
17187:1
17181:n
17178:(
17152:2
17147:1
17143:x
17139:=
17136:y
17100:n
17076:n
17049:n
17025:)
17020:n
17016:x
17012:,
17006:,
17001:2
16997:x
16993:,
16988:1
16984:x
16980:(
16956:)
16953:1
16950:+
16947:n
16944:(
16920:)
16915:2
16912:+
16909:n
16905:x
16901:,
16895:,
16890:2
16886:x
16882:,
16877:1
16873:x
16869:(
16845:)
16842:1
16839:+
16836:n
16833:(
16809:n
16782:n
16757:x
16751:n
16747:/
16743:1
16739:u
16714:)
16711:1
16705:n
16702:(
16677:x
16652:]
16649:1
16646:,
16643:0
16640:[
16616:u
16592:n
16568:)
16565:1
16559:n
16556:(
16540:n
16490:n
16465:x
16458:r
16455:1
16425:r
16422:1
16395:n
16371:1
16365:r
16341:r
16317:)
16314:1
16311:,
16308:1
16302:(
16272:i
16268:x
16253:n
16236:)
16231:n
16227:x
16223:,
16217:,
16212:2
16208:x
16204:,
16199:1
16195:x
16191:(
16188:=
16184:x
16156:n
16131:x
16124:r
16121:1
16093:.
16086:2
16081:n
16077:x
16073:+
16067:+
16062:2
16057:2
16053:x
16049:+
16044:2
16039:1
16035:x
16029:=
16026:r
16001:)
15996:n
15992:x
15988:,
15982:,
15977:2
15973:x
15969:,
15964:1
15960:x
15956:(
15953:=
15949:x
15924:)
15921:1
15918:,
15915:0
15912:(
15909:N
15881:n
15850:n
15826:)
15823:1
15817:n
15814:(
15798:2
15784:n
15782:(
15759:.
15755:]
15746:n
15742:x
15735:1
15729:1
15723:n
15719:x
15713:,
15707:,
15699:n
15695:x
15688:1
15682:2
15678:x
15672:,
15664:n
15660:x
15653:1
15647:1
15643:x
15636:[
15629:]
15624:n
15620:x
15616:,
15610:,
15605:2
15601:x
15597:,
15592:1
15588:x
15584:[
15557:n
15553:x
15526:1
15520:n
15515:R
15489:)
15486:1
15480:n
15477:(
15453:1
15427:n
15423:S
15398:n
15373:.
15369:]
15362:z
15356:1
15352:y
15347:,
15341:z
15335:1
15331:x
15325:[
15318:]
15315:z
15312:,
15309:y
15306:,
15303:x
15300:[
15275:y
15272:x
15246:]
15237:z
15231:1
15227:y
15221:,
15214:z
15208:1
15204:x
15196:[
15170:1
15146:]
15143:z
15140:,
15137:y
15134:,
15131:x
15128:[
15104:n
15080:n
15056:n
15016:.
15010:d
15003:)
14998:2
14993:2
14989:n
14983:,
14978:2
14973:1
14969:n
14963:(
14959:B
14953:2
14950:1
14943:)
14932:1
14924:2
14920:n
14911:(
14908:)
14897:1
14889:1
14885:n
14876:(
14870:=
14867:)
14861:(
14858:F
14831:2
14827:n
14800:1
14796:n
14770:.
14764:d
14757:)
14752:2
14747:2
14743:n
14737:,
14732:2
14729:1
14724:(
14720:B
14706:1
14698:2
14694:n
14682:=
14679:)
14673:(
14670:F
14645:1
14637:2
14633:n
14608:1
14605:=
14600:1
14596:n
14570:.
14564:d
14557:)
14552:2
14549:1
14544:,
14539:2
14534:1
14530:n
14524:(
14520:B
14506:1
14498:1
14494:n
14482:=
14479:)
14473:(
14470:F
14440:B
14415:1
14412:=
14407:2
14403:n
14378:1
14370:1
14366:n
14340:.
14331:2
14323:d
14317:=
14314:)
14308:(
14305:F
14280:1
14277:=
14272:2
14268:n
14264:=
14259:1
14255:n
14230:1
14204:2
14200:n
14173:1
14169:n
14144:F
14092:2
14088:n
14082:R
14070:1
14066:n
14060:R
14055:=
14048:2
14044:n
14040:+
14035:1
14031:n
14025:R
13998:.
13993:i
13985:d
13981:)
13976:i
13968:(
13963:i
13959:F
13953:1
13947:n
13942:1
13939:=
13936:i
13927:r
13924:d
13918:1
13912:n
13908:r
13904:=
13899:n
13895:V
13891:d
13864:i
13860:F
13834:,
13829:i
13821:d
13817:)
13812:i
13804:(
13799:i
13795:F
13789:1
13783:n
13778:1
13775:=
13772:i
13764:=
13759:1
13753:n
13749:A
13745:d
13718:n
13713:R
13685:1
13679:n
13675:S
13648:n
13643:R
13614:1
13608:n
13604:S
13595:1
13589:q
13585:S
13576:1
13570:p
13566:S
13542:.
13539:)
13535:R
13531:(
13523:n
13512:)
13508:R
13504:(
13496:q
13485:)
13481:R
13477:(
13469:p
13437:q
13432:R
13422:p
13417:R
13412:=
13407:n
13402:R
13367:i
13330:i
13293:i
13262:1
13256:n
13252:S
13225:q
13220:R
13192:p
13187:R
13159:n
13154:R
13128:n
13104:1
13098:n
13069:z
13038:y
13003:.
12993:z
12980:y
12964:=
12954:x
12941:z
12925:=
12915:x
12902:y
12886:=
12872:,
12865:x
12858:=
12851:r
12822:1
12798:q
12774:p
12750:]
12747:2
12743:/
12736:,
12733:0
12730:[
12706:1
12682:q
12658:p
12634:]
12628:,
12625:0
12622:[
12598:1
12595:=
12592:q
12589:=
12586:p
12562:)
12556:2
12553:,
12550:0
12547:[
12475:0
12469:r
12443:1
12437:q
12433:S
12419:z
12389:1
12383:p
12379:S
12365:y
12336:x
12310:z
12284:y
12254:z
12223:y
12196:.
12193:)
12183:z
12176:)
12164:r
12161:(
12158:,
12148:y
12141:)
12129:r
12126:(
12123:(
12120:=
12116:x
12089:.
12086:)
12082:z
12078:,
12074:y
12070:(
12067:=
12064:)
12059:q
12055:z
12051:,
12045:,
12040:1
12036:z
12032:,
12027:p
12023:y
12019:,
12013:,
12008:1
12004:y
12000:(
11997:=
11994:)
11989:n
11985:x
11981:,
11975:,
11970:1
11966:x
11962:(
11959:=
11955:x
11927:n
11922:R
11914:x
11888:q
11883:R
11873:p
11868:R
11863:=
11858:n
11853:R
11827:q
11824:+
11821:p
11818:=
11815:n
11791:q
11767:p
11741:n
11736:R
11705:x
11698:=
11695:r
11675:r
11671:/
11665:1
11661:y
11651:=
11628:)
11625:0
11622:,
11616:,
11613:0
11610:,
11607:1
11604:(
11582:2
11576:n
11572:S
11561:z
11553:/
11548:z
11544:=
11534:z
11506:n
11501:R
11474:.
11471:)
11461:z
11454:)
11442:r
11439:(
11436:,
11424:r
11421:(
11418:=
11414:x
11387:)
11383:z
11379:,
11374:1
11370:y
11366:(
11363:=
11360:)
11355:1
11349:n
11345:z
11341:,
11335:,
11330:1
11326:z
11322:,
11317:1
11313:y
11309:(
11306:=
11303:)
11298:n
11294:x
11290:,
11284:,
11279:1
11275:x
11271:(
11268:=
11264:x
11238:n
11233:R
11208:x
11181:1
11175:n
11170:R
11161:R
11134:n
11129:R
11091:1
11085:n
11082:=
11079:j
11051:j
11043:s
11040:i
11036:e
11011:2
11005:n
11002:,
10996:,
10993:2
10990:,
10987:1
10984:=
10981:j
10946:s
10942:,
10939:s
10927:)
10922:2
10918:1
10912:j
10906:n
10900:(
10894:2
10886:)
10883:1
10877:j
10871:n
10868:+
10865:s
10862:2
10859:(
10856:!
10853:s
10848:)
10845:1
10839:j
10833:n
10830:+
10827:s
10824:(
10813:j
10810:+
10807:n
10801:3
10797:2
10790:=
10778:j
10770:d
10765:)
10760:j
10752:(
10739:)
10734:2
10730:1
10724:j
10718:n
10712:(
10702:s
10697:C
10692:)
10687:j
10679:(
10666:)
10661:2
10657:1
10651:j
10645:n
10639:(
10633:s
10629:C
10624:)
10619:j
10611:(
10602:1
10596:j
10590:n
10575:0
10530:.
10525:1
10519:n
10511:d
10503:2
10495:d
10489:1
10481:d
10477:)
10472:2
10466:n
10458:(
10446:)
10441:2
10433:(
10425:3
10419:n
10411:)
10406:1
10398:(
10390:2
10384:n
10374:1
10368:n
10364:R
10360:=
10357:V
10350:1
10344:n
10340:S
10335:d
10309:2
10281:r
10257:)
10254:1
10248:n
10245:(
10218:n
10189:.
10184:1
10178:n
10170:d
10162:2
10154:d
10148:1
10140:d
10136:r
10133:d
10129:)
10124:2
10118:n
10110:(
10098:)
10093:2
10085:(
10077:3
10071:n
10063:)
10058:1
10050:(
10042:2
10036:n
10026:1
10020:n
10016:r
10012:=
10000:1
9994:n
9986:d
9978:2
9970:d
9964:1
9956:d
9952:r
9949:d
9945:|
9937:)
9931:j
9923:,
9920:r
9916:(
9907:)
9902:i
9898:x
9894:(
9881:|
9877:=
9870:V
9865:n
9861:d
9826:.
9822:|
9816:1
9810:n
9806:J
9801:|
9797:)
9792:2
9786:n
9782:s
9773:1
9769:s
9765:r
9762:(
9759:=
9749:)
9744:2
9739:1
9733:n
9729:c
9725:+
9720:2
9715:1
9709:n
9705:s
9701:(
9697:|
9691:1
9685:n
9681:J
9676:|
9670:2
9664:n
9660:s
9651:1
9647:s
9643:r
9640:(
9637:=
9627:)
9623:|
9617:1
9611:n
9607:J
9602:|
9596:1
9590:n
9586:c
9582:(
9579:)
9574:1
9568:n
9564:c
9558:2
9552:n
9548:s
9539:1
9535:s
9531:r
9528:(
9523:n
9520:+
9517:n
9513:)
9509:1
9503:(
9500:+
9487:)
9483:|
9477:1
9471:n
9467:J
9462:|
9456:1
9450:n
9446:s
9442:(
9439:)
9434:1
9428:n
9424:s
9418:2
9412:n
9408:s
9399:1
9395:s
9391:r
9385:(
9380:n
9377:+
9374:)
9371:1
9365:n
9362:(
9358:)
9354:1
9348:(
9345:=
9337:|
9331:n
9327:J
9322:|
9290:n
9286:J
9259:1
9253:n
9216:1
9210:n
9206:J
9181:)
9178:n
9175:,
9172:n
9169:(
9143:1
9137:n
9100:1
9094:n
9090:J
9065:)
9062:n
9059:,
9056:1
9050:n
9047:(
9021:n
9017:J
8986:n
8982:J
8957:n
8931:1
8925:n
8890:1
8884:n
8858:1
8852:n
8815:1
8809:n
8805:J
8780:1
8774:n
8750:1
8744:n
8718:n
8714:J
8689:n
8665:1
8659:n
8635:n
8611:n
8585:1
8579:n
8544:1
8538:n
8512:1
8506:n
8469:1
8463:n
8459:J
8434:1
8428:n
8402:n
8398:J
8373:n
8349:1
8343:n
8319:n
8293:1
8287:n
8283:J
8256:n
8252:J
8227:n
8203:r
8179:2
8176:=
8173:n
8148:.
8143:)
8135:1
8129:n
8125:c
8119:2
8113:n
8109:s
8100:1
8096:s
8092:r
8069:1
8063:n
8059:s
8050:1
8046:c
8042:r
8035:1
8029:n
8025:s
8019:2
8013:n
8009:s
8000:1
7996:s
7986:1
7980:n
7976:s
7970:2
7964:n
7960:s
7951:1
7947:s
7943:r
7921:1
7915:n
7911:c
7905:2
7899:n
7895:s
7886:1
7882:s
7874:0
7834:0
7824:0
7817:2
7813:s
7807:1
7803:s
7799:r
7789:2
7785:c
7779:1
7775:c
7771:r
7764:2
7760:c
7754:1
7750:s
7742:0
7732:0
7727:0
7720:1
7716:s
7712:r
7702:1
7698:c
7691:(
7686:=
7681:n
7677:J
7645:k
7631:=
7626:k
7622:c
7595:k
7581:=
7576:k
7572:s
7547:n
7487:0
7463:2
7437:k
7406:n
7402:x
7395:,
7390:1
7387:+
7384:k
7380:x
7376:,
7371:k
7367:x
7342:k
7316:k
7273:.
7269:)
7263:1
7257:n
7253:x
7249:,
7244:n
7240:x
7235:(
7225:=
7216:1
7210:n
7198:,
7194:)
7188:2
7182:n
7178:x
7174:,
7165:2
7158:1
7152:n
7148:x
7142:+
7137:2
7130:n
7126:x
7115:(
7105:=
7096:2
7090:n
7067:,
7063:)
7057:2
7053:x
7049:,
7040:2
7033:3
7029:x
7023:+
7017:+
7012:2
7005:1
6999:n
6995:x
6989:+
6984:2
6977:n
6973:x
6962:(
6952:=
6943:2
6931:,
6927:)
6921:1
6917:x
6913:,
6904:2
6897:2
6893:x
6887:+
6881:+
6876:2
6869:1
6863:n
6859:x
6853:+
6848:2
6841:n
6837:x
6826:(
6816:=
6807:1
6795:,
6786:2
6779:1
6775:x
6769:+
6764:2
6757:2
6753:x
6747:+
6741:+
6736:2
6729:1
6723:n
6719:x
6713:+
6708:2
6701:n
6697:x
6687:=
6680:r
6646:.
6643:)
6638:1
6632:n
6624:(
6615:)
6610:2
6604:n
6596:(
6584:)
6579:1
6571:(
6562:r
6559:=
6550:n
6546:x
6538:,
6535:)
6530:1
6524:n
6516:(
6507:)
6502:2
6496:n
6488:(
6476:)
6471:1
6463:(
6454:r
6451:=
6442:1
6436:n
6432:x
6413:,
6410:)
6405:3
6397:(
6388:)
6383:2
6375:(
6366:)
6361:1
6353:(
6344:r
6341:=
6332:3
6328:x
6320:,
6317:)
6312:2
6304:(
6295:)
6290:1
6282:(
6273:r
6270:=
6261:2
6257:x
6249:,
6246:)
6241:1
6233:(
6224:r
6221:=
6212:1
6208:x
6176:1
6170:n
6162:,
6156:,
6151:1
6143:,
6140:r
6114:n
6110:x
6106:,
6100:,
6095:1
6091:x
6064:i
6060:x
6035:)
6029:,
6026:0
6023:[
5999:)
5993:2
5990:,
5987:0
5984:[
5958:1
5952:n
5923:]
5917:,
5914:0
5911:[
5887:]
5881:,
5878:0
5875:[
5849:2
5843:n
5835:,
5829:,
5824:2
5816:,
5811:1
5780:1
5774:n
5766:,
5760:,
5755:2
5747:,
5742:1
5713:1
5707:n
5683:r
5659:3
5631:n
5599:2
5596:=
5591:1
5587:V
5562:2
5559:=
5554:0
5550:S
5525:n
5498:n
5494:V
5487:2
5484:=
5479:1
5476:+
5473:n
5469:S
5441:0
5437:V
5430:2
5427:=
5422:1
5418:S
5391:1
5388:+
5385:n
5381:V
5374:2
5371:=
5366:2
5363:+
5360:n
5356:S
5331:n
5307:1
5283:)
5280:2
5277:+
5274:n
5271:(
5246:.
5241:n
5237:S
5230:1
5227:+
5224:n
5220:1
5215:=
5212:r
5209:d
5203:n
5199:r
5193:n
5189:S
5183:1
5178:0
5170:=
5165:1
5162:+
5159:n
5155:V
5123:)
5120:1
5114:n
5111:(
5087:n
5062:.
5056:n
5052:R
5046:1
5043:+
5040:n
5036:V
5032:)
5029:1
5026:+
5023:n
5020:(
5016:=
5010:R
5007:d
5000:1
4997:+
4994:n
4990:R
4984:1
4981:+
4978:n
4974:V
4970:d
4964:=
4959:n
4955:R
4949:n
4945:S
4919:R
4895:)
4892:1
4889:+
4886:n
4883:(
4859:n
4835:n
4799:1
4773:n
4748:1
4724:n
4700:n
4676:n
4615:)
4610:1
4607:+
4602:2
4599:n
4592:(
4581:2
4577:/
4573:n
4563:=
4558:n
4554:V
4549:,
4541:)
4534:2
4531:n
4524:(
4512:2
4508:/
4504:n
4496:2
4490:=
4485:1
4479:n
4475:S
4447:n
4443:V
4416:1
4410:n
4406:S
4380:.
4371:3
4368:4
4362:=
4357:3
4353:V
4348:,
4342:4
4339:=
4334:2
4330:S
4304:3
4271:.
4265:=
4260:2
4256:V
4251:,
4245:2
4242:=
4237:1
4233:S
4207:2
4179:1
4151:=
4146:1
4142:V
4137:,
4134:2
4131:=
4126:0
4122:S
4096:}
4093:1
4090:,
4087:1
4081:{
4057:0
4033:2
4009:]
4006:1
4003:,
4000:1
3994:[
3970:1
3942:=
3937:0
3933:V
3903:0
3879:0
3865:.
3863:1
3859:n
3841:1
3835:n
3831:S
3820:(
3800:n
3796:V
3785:(
3760:n
3736:n
3712:)
3709:1
3703:n
3700:(
3676:)
3673:1
3667:n
3664:(
3640:n
3614:n
3610:V
3585:n
3561:1
3537:)
3534:1
3528:n
3525:(
3499:1
3493:n
3489:S
3442:n
3437:R
3409:n
3385:n
3361:}
3355:{
3347:n
3342:R
3337:=
3332:n
3328:S
3303:n
3279:n
3251:n
3225:3
3218:-
3204:4
3177:2
3167:(
3155:-
3141:3
3114:1
3104:(
3092:-
3078:2
3057:-
3043:1
3012:n
2984:n
2956:)
2953:1
2950:+
2947:n
2944:(
2930:-
2916:)
2913:1
2910:+
2907:n
2904:(
2880:n
2858:n
2841:.
2836:1
2833:+
2830:n
2826:x
2822:d
2808:1
2804:x
2800:d
2797:=
2788:r
2785:d
2760:1
2757:=
2754:r
2699:r
2696:d
2688:=
2683:1
2680:+
2677:n
2673:x
2669:d
2655:1
2652:+
2649:j
2645:x
2641:d
2633:1
2627:j
2623:x
2619:d
2605:1
2601:x
2597:d
2591:j
2587:x
2581:1
2575:j
2571:)
2567:1
2561:(
2556:1
2553:+
2550:n
2545:1
2542:=
2539:j
2529:r
2526:1
2521:=
2493:r
2469:n
2428:-
2414:n
2390:)
2387:1
2384:+
2381:n
2378:(
2354:n
2327:r
2303:)
2298:1
2295:+
2292:n
2288:c
2284:,
2278:,
2273:2
2269:c
2265:,
2260:1
2256:c
2252:(
2249:=
2245:c
2219:,
2214:2
2210:)
2204:i
2200:c
2191:i
2187:x
2183:(
2178:1
2175:+
2172:n
2167:1
2164:=
2161:i
2153:=
2148:2
2144:r
2118:)
2115:r
2112:(
2107:n
2103:S
2078:n
2054:)
2049:1
2046:+
2043:n
2039:x
2035:,
2029:,
2024:2
2020:x
2016:,
2011:1
2007:x
2003:(
1979:)
1976:1
1973:+
1970:n
1967:(
1934:4
1910:3
1896:3
1876:3
1852:3
1824:2
1810:2
1790:2
1765:c
1740:r
1722:1
1702:1
1678:}
1675:r
1672:+
1669:c
1666:,
1663:r
1657:c
1654:{
1626:)
1623:1
1620:+
1617:n
1614:(
1589:c
1557:r
1532:c
1507:r
1479:)
1476:1
1473:+
1470:n
1467:(
1443:r
1419:n
1395:n
1360:0
1336:1
1308:2
1302:n
1278:)
1275:1
1269:n
1266:(
1236:n
1211:n
1187:n
1163:n
1135:n
1121:-
1107:n
1083:n
1044:n
1022:}
1016:{
1008:n
1003:R
971:n
947:n
912:n
872:n
848:1
842:n
817:.
813:}
809:1
806:=
799:x
792::
787:1
784:+
781:n
776:R
768:x
764:{
760:=
755:n
751:S
725:1
698:n
663:n
639:)
636:1
630:n
627:(
614:.
596:4
582:3
576:.
558:3
530:2
517:.
499:2
489:(
463:1
436:1
426:(
408:0
376:)
373:1
370:+
367:n
364:(
312:n
284:)
281:1
278:+
275:n
272:(
237:n
213:n
189:n
158:2
130:1
116:-
102:n
84:n
59:3
55:3
51:3
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
