1194:
6075:
5858:
6096:
20:
6064:
4885:
6133:
6106:
6086:
4272:
4066:
4120:
3914:
3046:
2841:
4874:
1690:
4539:
5258:
2759:
5382:
5138:
3109:
3667:
2670:
4680:
3600:
4267:{\displaystyle {\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {int} _{X}\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}
4061:{\displaystyle {\operatorname {cl} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}{\biggr )}={\operatorname {cl} _{X}\operatorname {int} _{X}}{\biggl (}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}{\biggr )}.}
4594:
4811:
3206:
3338:
1527:
4888:
The red shapes are not interior-disjoint with the blue
Triangle. The green and the yellow shapes are interior-disjoint with the blue Triangle, but only the yellow shape is entirely disjoint from the blue
2942:
3285:
2610:
2420:
1355:
2899:
1823:
1464:
4472:
1184:
4368:
851:
3503:
2570:
1916:
3534:
2099:
4397:
2006:
2447:
2290:
2170:
1148:
1076:
1006:
936:
877:
3833:
2766:
3736:
4822:
4770:
2937:
1577:
1320:
3165:
2385:
1962:
1940:
1847:
1754:
1582:
1486:
1402:
499:
907:
4703:
3410:
3390:
3138:
5186:
3605:
2687:
4629:
3539:
415:
5310:
5305:
5181:
5066:
5278:
5158:
4095:
3889:
3453:
3433:
3051:
4726:
4467:
4424:
4335:
3859:
3767:
3714:
2317:
2262:
2145:
2047:
1291:
1257:
1099:
1049:
979:
818:
763:
676:
280:
4931:
4911:
4620:
4444:
4312:
4115:
3909:
3687:
3253:
3233:
2533:
2513:
2487:
2467:
2359:
2339:
2239:
2219:
2199:
2122:
2067:
1732:
1549:
1377:
1234:
1214:
1122:
1026:
956:
795:
736:
716:
696:
653:
633:
613:
593:
569:
549:
529:
455:
435:
386:
366:
346:
326:
303:
257:
233:
213:
189:
4546:
2012:
These examples show that the interior of a set depends upon the topology of the underlying space. The last two examples are special cases of the following.
2622:
6136:
5533:
4775:
3170:
3290:
1495:
5401:
5714:
5677:
5647:
5617:
5579:
5545:
5515:
5455:
5421:
117:
3041:{\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}
3258:
5770:
2580:
2390:
1325:
4937:
if the intersection of their interiors is empty. Interior-disjoint shapes may or may not intersect in their boundary.
6124:
6119:
5485:
5006:
2846:
1763:
5413:
1407:
6114:
4469:
The exterior is the interior of the complement, which is the same as the complement of the closure; in formulas,
1153:
4340:
3746:
can be readily translated into the language of interior operators, by replacing sets with their complements in
823:
3481:
2540:
1856:
6016:
5571:
3512:
2072:
4373:
2836:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}
1967:
2426:
2269:
2149:
1127:
1055:
985:
915:
856:
3792:
739:
6157:
6024:
4869:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}
6162:
3743:
3464:
1685:{\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}
4534:{\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}
3719:
5823:
4746:
2904:
1557:
1296:
5253:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}
3144:
2754:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}
2364:
1945:
1923:
1830:
1737:
1469:
1385:
460:
6109:
6095:
5408:
4970:
3739:
1193:
882:
4685:
3395:
3375:
3123:
6044:
5965:
5842:
5830:
5803:
5763:
5605:
5377:{\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}
5133:{\displaystyle \operatorname {cl} (S\cup T)=(\operatorname {cl} S)\cup (\operatorname {cl} T).}
6039:
5886:
5813:
3836:
3772:
2679:
391:
5287:
5163:
3104:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}
6034:
5986:
5960:
5808:
5263:
5143:
4964:
4739:
Some of the properties of the exterior operator are unlike those of the interior operator:
4073:
3867:
3438:
3418:
1757:
155:
5473:
5160:
of two open sets is open, so too does the interior operator distribute over intersections
8:
5447:
5140:
These identities may be remembered with the following mnemonic. Just as the intersection
4599:
136:
105:
6085:
4708:
4449:
4406:
4317:
3841:
3749:
3696:
2299:
2244:
2127:
2029:
1273:
1239:
1081:
1031:
961:
800:
745:
658:
262:
6079:
6049:
6029:
5950:
5940:
5818:
5798:
5706:
5609:
5281:
5060:
4946:
4916:
4896:
4623:
4605:
4429:
4297:
4100:
3894:
3672:
3506:
3361:
3238:
3218:
2518:
2498:
2472:
2452:
2344:
2324:
2224:
2204:
2184:
2107:
2052:
1717:
1534:
1362:
1219:
1199:
1107:
1011:
941:
780:
721:
701:
681:
638:
618:
598:
578:
554:
534:
514:
440:
420:
371:
351:
331:
311:
288:
242:
218:
198:
174:
140:
109:
70:
6074:
6067:
5933:
5891:
5756:
5720:
5710:
5683:
5673:
5653:
5643:
5623:
5613:
5585:
5575:
5551:
5541:
5521:
5511:
5491:
5481:
5461:
5451:
5427:
5417:
5012:
5002:
4976:
3690:
2490:
1850:
504:
63:
6099:
5847:
5793:
5397:
4958:
2024:
48:
3662:{\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}
2665:{\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}
5906:
5901:
5696:
5665:
5439:
4675:{\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}
4626:
the whole space into three blocks (or fewer when one or more of these is empty):
4400:
3595:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}
1695:
1489:
192:
6089:
5996:
5928:
5635:
5563:
5503:
5446:. Undergraduate Texts in Mathematics. Translated by Berberian, S. K. New York:
2535:
2017:
1552:
3771:
In general, the interior operator does not commute with unions. However, in a
6151:
6006:
5916:
5896:
5702:
5687:
5597:
5525:
5016:
5627:
5465:
5431:
3348:
The above statements will remain true if all instances of the symbols/words
5991:
5911:
5857:
5555:
5495:
306:
151:
5724:
5657:
5589:
2763:
However, the interior operator does not distribute over unions since only
6001:
4589:{\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}
4279:
1707:
143:
the whole space into three blocks (or fewer when one or more of these is
44:
19:
5945:
5876:
5835:
5742:
5738:
4816:
4733:
2614:
1699:
2843:
is guaranteed in general and equality might not hold. For example, if
5970:
4806:{\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}
3201:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}
1380:
1264:
236:
144:
4884:
3333:{\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}
5955:
5923:
5872:
5779:
4729:
2293:
508:
282:(This is illustrated in the introductory section to this article.)
78:
5480:. Translated by CsĂĄszĂĄr, KlĂĄra. Bristol England: Adam Hilger Ltd.
5574:. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media.
135:; it consists of the points that are in neither the set nor its
4952:
4278:
The result above implies that every complete metric space is a
2102:
1942:
the topology in which the only open sets are the empty set and
56:
5053:
3742:. Therefore, the abstract theory of closure operators and the
2020:, since every set is open, every set is equal to its interior.
1522:{\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}
1236:
because there is an Δ-neighbourhood of a which is a subset of
1710:, one can put other topologies rather than the standard one:
139:. The interior, boundary, and exterior of a subset together
5748:
4543:
Similarly, the interior is the exterior of the complement:
5416:. Berlin New York: Springer Science & Business Media.
5001:. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33.
4967: â A closed curve divides the plane into two regions
909:
can be defined in any of the following equivalent ways:
5313:
5290:
5266:
5189:
5166:
5146:
5069:
5035:
5023:
4919:
4899:
4825:
4778:
4749:
4711:
4688:
4632:
4608:
4549:
4475:
4452:
4432:
4409:
4376:
4343:
4320:
4300:
4123:
4103:
4076:
3917:
3897:
3870:
3844:
3795:
3752:
3722:
3699:
3675:
3608:
3542:
3515:
3484:
3441:
3421:
3398:
3378:
3293:
3261:
3241:
3221:
3173:
3147:
3126:
3054:
2945:
2907:
2849:
2769:
2690:
2625:
2583:
2543:
2521:
2501:
2475:
2455:
2429:
2393:
2367:
2347:
2327:
2302:
2272:
2247:
2227:
2207:
2187:
2152:
2130:
2110:
2075:
2055:
2032:
1970:
1948:
1926:
1859:
1833:
1766:
1740:
1720:
1585:
1560:
1537:
1498:
1472:
1410:
1388:
1365:
1328:
1299:
1276:
1242:
1222:
1202:
1156:
1130:
1124:
is understood from context then the shorter notation
1110:
1084:
1058:
1034:
1014:
988:
964:
944:
918:
885:
859:
826:
803:
783:
748:
724:
704:
684:
661:
641:
621:
601:
581:
557:
537:
517:
463:
443:
423:
394:
374:
354:
334:
314:
291:
265:
245:
221:
201:
177:
4990:
5376:
5299:
5272:
5252:
5175:
5152:
5132:
4925:
4905:
4868:
4805:
4764:
4720:
4697:
4674:
4614:
4588:
4533:
4461:
4438:
4418:
4391:
4362:
4329:
4306:
4266:
4109:
4089:
4060:
3903:
3883:
3853:
3827:
3761:
3730:
3708:
3681:
3661:
3594:
3528:
3497:
3447:
3427:
3404:
3384:
3352:"interior", "int", "open", "subset", and "largest"
3332:
3280:{\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }
3279:
3247:
3227:
3200:
3159:
3132:
3103:
3040:
2931:
2893:
2835:
2753:
2664:
2604:
2564:
2527:
2507:
2481:
2461:
2441:
2414:
2379:
2353:
2333:
2311:
2284:
2256:
2233:
2213:
2193:
2164:
2139:
2116:
2093:
2061:
2041:
2000:
1956:
1934:
1910:
1841:
1817:
1748:
1726:
1684:
1571:
1543:
1521:
1480:
1458:
1396:
1371:
1349:
1314:
1285:
1251:
1228:
1208:
1178:
1142:
1116:
1093:
1070:
1043:
1020:
1000:
973:
950:
930:
901:
871:
845:
812:
789:
757:
730:
710:
690:
670:
647:
627:
607:
587:
563:
543:
523:
493:
449:
429:
409:
380:
360:
340:
320:
297:
274:
251:
227:
207:
183:
4256:
4221:
4186:
4138:
4050:
4015:
3980:
3932:
2605:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}
2415:{\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}
1350:{\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}
6149:
2049:since the only open sets are the empty set and
5672:. Mineola, New York: Dover Publications, Inc.
5280:of two closed sets is closed, so too does the
4979: â Generalization of topological interior
4949: â Generalization of topological interior
4743:The exterior operator reverses inclusions; if
2894:{\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}
5764:
3364:", "cl", "closed", "superset", and "smallest"
1818:{\displaystyle \operatorname {int} ()=[0,1).}
4973: â Generalization of algebraic interior
4426:namely, it is the union of all open sets in
3035:
3029:
1676:
1640:
1631:
1595:
1459:{\displaystyle \operatorname {int} ()=(0,1)}
4879:
6132:
6105:
5771:
5757:
1179:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}
285:This definition generalizes to any subset
154:are a slightly different concept; see the
4996:
4363:{\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}
4238:
4155:
4032:
3949:
3727:
3723:
3094:
3086:
3022:
2857:
1950:
1928:
1835:
1742:
1650:
1605:
1562:
1506:
1474:
1390:
846:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}
116:. In this sense interior and closure are
5664:
5634:
5502:
5396:
5041:
5029:
4999:Convex analysis in general vector spaces
4883:
3498:{\displaystyle \operatorname {int} _{X}}
2565:{\displaystyle \operatorname {int} S=S.}
1911:{\displaystyle \operatorname {int} ()=.}
1192:
18:
5694:
5596:
5472:
5438:
3529:{\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}
3368:and the following symbols are swapped:
2094:{\displaystyle \operatorname {int} X=X}
6150:
5562:
4392:{\displaystyle \operatorname {ext} S,}
3536:or by an overline , in the sense that
3460:
2001:{\displaystyle \operatorname {int} ()}
5752:
5540:. New York: John Wiley and Sons Ltd.
5532:
4728:The interior and exterior are always
3459:For more details on this matter, see
2442:{\displaystyle \operatorname {int} S}
2285:{\displaystyle \operatorname {int} S}
2165:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1143:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1078:is the set of all interior points of
1071:{\displaystyle \operatorname {int} S}
1001:{\displaystyle \operatorname {int} S}
931:{\displaystyle \operatorname {int} S}
872:{\displaystyle \operatorname {int} S}
85:. A point that is in the interior of
16:Largest open subset of some given set
4285:
3470:
768:
131:is the complement of the closure of
3828:{\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }
1404:(with the standard topology), then
531:is a subset of a topological space
13:
4819:. It does have the property that
4689:
4651:
3012:
2988:
2923:
2876:
1263:In any space, the interior of the
635:is contained in an open subset of
14:
6174:
5732:
5260:And similarly, just as the union
4574:
4515:
4500:
3647:
3625:
3577:
3565:
3274:
3026:
1513:
1008:is the union of all open sets of
259:which is completely contained in
166:
6131:
6104:
6094:
6084:
6073:
6063:
6062:
5856:
5538:Introduction to General Topology
3775:the following result does hold:
1466:whereas the interior of the set
655:that is completely contained in
5390:
5059:The analogous identity for the
2201:be a topological space and let
507:by replacing "open ball" with "
503:This definition generalizes to
388:if there exists a real number
150:The interior and exterior of a
5642:. London: Macdonald & Co.
5403:General Topology: Chapters 1â4
5368:
5356:
5350:
5338:
5332:
5320:
5244:
5232:
5226:
5214:
5208:
5196:
5124:
5112:
5106:
5094:
5088:
5076:
4580:
4568:
4506:
4494:
3835:be a sequence of subsets of a
3731:{\displaystyle \,\setminus \,}
3653:
3641:
3583:
3571:
3509:operator, which is denoted by
3312:
3300:
3120:nondecreasing with respect to
3073:
3061:
3015:
3003:
2997:
2982:
2976:
2964:
2958:
2946:
2926:
2914:
2885:
2870:
2830:
2818:
2812:
2800:
2788:
2776:
2745:
2733:
2727:
2715:
2709:
2697:
2644:
2632:
1995:
1992:
1980:
1977:
1902:
1890:
1884:
1881:
1869:
1866:
1809:
1797:
1791:
1788:
1776:
1773:
1666:
1658:
1634:
1621:
1613:
1592:
1453:
1441:
1435:
1432:
1420:
1417:
938:is the largest open subset of
479:
467:
161:
1:
5572:Graduate Texts in Mathematics
4983:
4815:The exterior operator is not
4765:{\displaystyle S\subseteq T,}
3356:are respectively replaced by
2932:{\displaystyle T=(0,\infty )}
2176:
1572:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
1315:{\displaystyle S\subseteq X,}
5778:
4523:
3614:
3587:
3160:{\displaystyle S\subseteq T}
2380:{\displaystyle T\subseteq S}
1957:{\displaystyle \mathbb {R} }
1935:{\displaystyle \mathbb {R} }
1842:{\displaystyle \mathbb {R} }
1749:{\displaystyle \mathbb {R} }
1481:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1397:{\displaystyle \mathbb {R} }
494:{\displaystyle d(x,y)<r.}
7:
5510:. Boston: Allyn and Bacon.
4961: â Algebraic structure
4940:
1188:
902:{\displaystyle S^{\circ },}
10:
6179:
6025:Banach fixed-point theorem
5695:Willard, Stephen (2004) .
4698:{\displaystyle \partial S}
3405:{\displaystyle \supseteq }
3385:{\displaystyle \subseteq }
3211:Other properties include:
3133:{\displaystyle \subseteq }
6058:
6015:
5979:
5865:
5854:
5786:
4955: â Topological model
3744:Kuratowski closure axioms
3465:Kuratowski closure axioms
3344:Relationship with closure
5414:ĂlĂ©ments de mathĂ©matique
4880:Interior-disjoint shapes
4732:, while the boundary is
4705:denotes the boundary of
4602:, and exterior of a set
4399:is the largest open set
3740:set-theoretic difference
1216:is an interior point of
1150:is usually preferred to
698:is an interior point of
368:is an interior point of
215:is an interior point of
27:is an interior point of
5284:distribute over unions
4971:Quasi-relative interior
4446:that are disjoint from
4314:of a topological space
797:of a topological space
410:{\displaystyle r>0,}
6080:Mathematics portal
5980:Metrics and properties
5966:Second-countable space
5606:Upper Saddle River, NJ
5378:
5301:
5300:{\displaystyle \cup ;}
5274:
5254:
5177:
5176:{\displaystyle \cap ;}
5154:
5134:
4927:
4907:
4890:
4870:
4807:
4766:
4722:
4699:
4676:
4616:
4590:
4535:
4463:
4440:
4420:
4393:
4364:
4331:
4308:
4268:
4111:
4091:
4062:
3905:
3885:
3855:
3829:
3763:
3732:
3710:
3683:
3663:
3596:
3530:
3499:
3449:
3429:
3406:
3386:
3334:
3281:
3249:
3229:
3202:
3161:
3134:
3105:
3048:is a proper subset of
3042:
2933:
2895:
2837:
2755:
2666:
2606:
2566:
2529:
2509:
2483:
2463:
2443:
2416:
2381:
2355:
2335:
2313:
2286:
2258:
2235:
2215:
2195:
2166:
2141:
2118:
2095:
2063:
2043:
2002:
1958:
1936:
1912:
1849:the topology in which
1843:
1819:
1750:
1728:
1698:, the interior of any
1686:
1573:
1545:
1523:
1482:
1460:
1398:
1373:
1351:
1316:
1287:
1259:
1253:
1230:
1210:
1180:
1144:
1118:
1095:
1072:
1045:
1022:
1002:
975:
952:
932:
903:
873:
847:
814:
791:
759:
732:
712:
692:
672:
649:
629:
609:
589:
565:
545:
525:
495:
457:whenever the distance
451:
431:
411:
382:
362:
342:
322:
299:
276:
253:
229:
209:
185:
40:
35:is on the boundary of
5670:Topology for Analysis
5379:
5302:
5275:
5273:{\displaystyle \cup }
5255:
5178:
5155:
5153:{\displaystyle \cap }
5135:
4997:Zalinescu, C (2002).
4928:
4908:
4887:
4871:
4808:
4767:
4723:
4700:
4677:
4617:
4591:
4536:
4464:
4441:
4421:
4394:
4365:
4332:
4309:
4269:
4112:
4092:
4090:{\displaystyle S_{i}}
4063:
3906:
3886:
3884:{\displaystyle S_{i}}
3856:
3837:complete metric space
3830:
3773:complete metric space
3764:
3733:
3711:
3684:
3664:
3597:
3531:
3500:
3463:below or the article
3450:
3448:{\displaystyle \cap }
3430:
3428:{\displaystyle \cup }
3407:
3387:
3335:
3282:
3250:
3230:
3203:
3162:
3135:
3106:
3043:
2934:
2896:
2838:
2756:
2667:
2607:
2567:
2530:
2515:is an open subset of
2510:
2484:
2464:
2449:is an open subset of
2444:
2417:
2382:
2356:
2336:
2314:
2287:
2259:
2236:
2216:
2196:
2167:
2142:
2119:
2096:
2064:
2044:
2003:
1959:
1937:
1913:
1844:
1820:
1751:
1729:
1687:
1574:
1546:
1524:
1483:
1461:
1399:
1374:
1352:
1317:
1288:
1254:
1231:
1211:
1196:
1181:
1145:
1119:
1096:
1073:
1046:
1023:
1003:
976:
953:
933:
904:
874:
848:
815:
792:
760:
733:
713:
693:
673:
650:
630:
610:
590:
566:
546:
526:
496:
452:
432:
412:
383:
363:
343:
323:
300:
277:
254:
230:
210:
186:
112:of the complement of
22:
6035:Invariance of domain
5987:Euler characteristic
5961:Bundle (mathematics)
5668:(17 October 2008) .
5311:
5288:
5264:
5187:
5164:
5144:
5067:
4965:Jordan curve theorem
4917:
4897:
4823:
4776:
4747:
4709:
4686:
4630:
4606:
4547:
4473:
4450:
4430:
4407:
4374:
4341:
4318:
4298:
4121:
4101:
4074:
3915:
3895:
3868:
3842:
3793:
3750:
3720:
3697:
3673:
3606:
3540:
3513:
3482:
3439:
3419:
3396:
3376:
3291:
3259:
3239:
3219:
3171:
3145:
3124:
3052:
2943:
2905:
2847:
2767:
2688:
2623:
2581:
2541:
2519:
2499:
2473:
2453:
2427:
2391:
2365:
2345:
2325:
2300:
2270:
2245:
2225:
2205:
2185:
2150:
2128:
2108:
2073:
2053:
2030:
1968:
1946:
1924:
1920:If one considers on
1857:
1831:
1827:If one considers on
1764:
1758:lower limit topology
1738:
1734:is the real numbers
1718:
1583:
1558:
1535:
1496:
1470:
1408:
1386:
1363:
1326:
1297:
1274:
1240:
1220:
1200:
1154:
1128:
1108:
1082:
1056:
1032:
1012:
986:
962:
942:
916:
883:
857:
824:
801:
781:
746:
722:
702:
682:
659:
639:
619:
599:
579:
555:
535:
515:
461:
441:
421:
392:
372:
352:
332:
312:
289:
263:
243:
219:
199:
175:
156:Jordan curve theorem
6045:Tychonoff's theorem
6040:Poincaré conjecture
5794:General (point-set)
5604:(Second ed.).
3787: —
2682:binary intersection
235:if there exists an
6030:De Rham cohomology
5951:Polyhedral complex
5941:Simplicial complex
5707:Dover Publications
5610:Prentice Hall, Inc
5409:Topologie Générale
5374:
5297:
5270:
5250:
5173:
5150:
5130:
4947:Algebraic interior
4923:
4903:
4891:
4866:
4803:
4762:
4721:{\displaystyle S.}
4718:
4695:
4672:
4612:
4586:
4531:
4462:{\displaystyle S.}
4459:
4436:
4419:{\displaystyle S,}
4416:
4389:
4360:
4330:{\displaystyle X,}
4327:
4304:
4264:
4243:
4160:
4107:
4087:
4058:
4037:
3954:
3901:
3881:
3854:{\displaystyle X.}
3851:
3825:
3781:
3762:{\displaystyle X.}
3759:
3728:
3716:and the backslash
3709:{\displaystyle S,}
3706:
3679:
3659:
3592:
3526:
3495:
3445:
3425:
3402:
3382:
3330:
3277:
3245:
3225:
3198:
3157:
3130:
3101:
3038:
2929:
2891:
2833:
2751:
2662:
2602:
2562:
2525:
2505:
2479:
2459:
2439:
2412:
2377:
2351:
2331:
2312:{\displaystyle X.}
2309:
2282:
2257:{\displaystyle X.}
2254:
2231:
2211:
2191:
2162:
2140:{\displaystyle X,}
2137:
2114:
2091:
2059:
2042:{\displaystyle X,}
2039:
1998:
1954:
1932:
1908:
1839:
1815:
1746:
1724:
1682:
1569:
1541:
1519:
1478:
1456:
1394:
1369:
1347:
1312:
1286:{\displaystyle X,}
1283:
1260:
1252:{\displaystyle M.}
1249:
1226:
1206:
1176:
1140:
1114:
1094:{\displaystyle S.}
1091:
1068:
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