5290:
1288:
7103:
4973:
1519:
1011:
6839:
4954:
5285:{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}
57:
43:
7297:
11713:
9440:
1311:
1283:{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}}
7098:{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}
1875:
4734:
5703:
9749:
11306:
2926:
7618:
7118:
2055:
9191:
1514:{\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}}
8867:
11122:
8126:
3042:
4949:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}
11692:
1699:
5556:
3585:
2415:
12450:
3455:
11155:
4070:
4194:
3939:
9489:
11424:
2532:
5437:
2219:
1676:
3818:
2643:
10350:
10801:
5545:
2772:
7292:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}
7454:
10967:
9180:
10684:
10128:
7772:
9435:{\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }
7871:
2757:
1895:
12510:
Hardy & Wright, pp. 344—345 "Any one of these formulas (or any similar one) would attain a different status if the exact value of the number α ... could be expressed independently of the primes. There seems no likelihood of this, but it cannot be ruled out as entirely
3686:
10587:
9958:
7439:
3234:
11829:. Division by a power of 2 is often written as a right-shift, not for optimization as might be assumed, but because the floor of negative results is required. Assuming such shifts are "premature optimization" and replacing them with division can break software.
11736:
was defined to require this behavior and thus almost all processors implement conversion this way. Some consider this to be an unfortunate historical design decision that has led to bugs handling negative offsets and graphics on the negative side of the origin.
5877:
8729:
6445:
10982:
3318:
5960:
7974:
4347:
11505:
2937:
1870:{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}
10219:
11535:
5698:{\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}
4479:
6255:
9063:
4611:
7961:
3463:
2291:
8347:
12328:
11301:{\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}
3333:
9744:{\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}
3954:
12500:
Ribenboim, p. 180 says that "Despite the nil practical value of the formulas ... may have some relevance to logicians who wish to understand clearly how various parts of arithmetic may be deduced from different axiomatzations ...
4078:
3826:
11312:
5777:
4714:
2426:
5340:
2118:
1534:
3705:
2540:
10242:
10702:
8459:
5448:
2921:{\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}
3143:
6568:
7613:{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}
783:
850:
10831:
9071:
10606:
11723:
In most programming languages, the simplest method to convert a floating point number to an integer does not do floor or ceiling, but truncation. The reason for this is historical, as the first machines used
10000:
7678:
10454:
7459:
6844:
4978:
2050:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}
1704:
7777:
2654:
8550:
6338:
3600:
2107:
2280:
2942:
2777:
2296:
1900:
1539:
1316:
11827:
10465:
9825:
7308:
3158:
8862:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}
6264:
At points of discontinuity, a
Fourier series converges to a value that is the average of its limits on the left and the right, unlike the floor, ceiling and fractional part functions: for
5805:
11117:{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.}
8650:
6154:
928:
8121:{\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1}
6333:
3242:
6693:
6638:
5885:
3037:{\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}
6821:
6769:
4213:
11430:
11687:{\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?}
8211:
963:
10148:
9797:
8923:
6082:
6002:
995:
8157:
6112:
6028:
4369:
3580:{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}
2410:{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}
716:
9481:
8979:
4501:
12445:{\textstyle \sum _{m=1}^{\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }{\bigl (}{\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }{\bigr )}=1}
7879:
5332:
8281:
8273:
3450:{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}
6138:
6054:
4065:{\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}
4189:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}
3934:{\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}
11782:
11762:
8237:
7669:
7646:
11419:{\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}
2527:{\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}
5432:{\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}
4619:
2214:{\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}
1671:{\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}
5711:
3813:{\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}
2638:{\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
10345:{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.}
10796:{\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }
5540:{\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}
8375:
3073:
12052:
e.g. Cassels, Hardy & Wright, and
Ribenboim use Gauss's notation. Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's.
6510:
13092:
10962:{\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}
724:
9175:{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}
1016:
10679:{\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }
791:
10123:{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}
7767:{\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil }
13224:
13096:
7866:{\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor }
2752:{\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}
657:
commands in math mode. LaTeX has supported UTF-8 since 2018, so the
Unicode characters can now be used directly. Larger versions are
10382:
3681:{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}
12932:
8479:
6573:
Then it follows from the definition of floor function that this extended operation satisfies many natural properties. Notably,
12911:
13147:
13069:
2071:
237:
produce graphs that appear exactly alike, they are not the same when the value of x is an exact integer. For example, when
10582:{\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}
9953:{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}
2238:
7434:{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}
11787:
3229:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}
5872:{\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }
13190:
13165:
13129:
13086:
13043:
13025:
469:
notation.) Both notations are now used in mathematics, although
Iverson's notation will be followed in this article.
13231:, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
13121:
13017:
8240:
6826:
6440:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}
17:
8577:
3313:{\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}
877:
5955:{\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}
4342:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}
13287:
12031:
12007:
11500:{\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}
6294:
12713:
12248:
sequence A000522 (Total number of arrangements of a set with n elements: a(n) = Sum_{k=0..n} n!/k!.)
6653:
6598:
13216:
12738:
12278:
12199:
Graham, Knuth, & Patashnik, p. 71, apply theorem 3.10 with x/m as input and the division by n as function
11861:
11841:
8970:
6773:
6721:
10214:{\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}
9975:} can be used to extend the zeta function to the entire complex plane and to prove its functional equation.
11849:
8169:
13211:
12974:
11845:
936:
9757:
13282:
13003:
12953:
11877:
8875:
6061:
5981:
968:
4474:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}
13292:
12838:
8470:
8131:
7444:
There are formulas that use floor to express the quadratic character of small numbers mod odd primes
6250:{\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}
6091:
6007:
5975:
13206:
9058:{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}
4606:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}
2690:
2576:
2462:
2151:
12317:
Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46. The infinite upper limit of the sum can be replaced with
11885:
11857:
11833:
11717:
10137:
used this representation to construct an analogue computer for finding roots of the zeta function.
7956:{\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }
5302:
Division by positive integers gives rise to an interesting and sometimes useful property. Assuming
12688:
699:
13061:
11961:
10145:
The floor function appears in several formulas characterizing prime numbers. For example, since
9457:
12662:
8342:{\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }
12112:
11035:
78:
5305:
11956:
11919:
rounds toward zero, the opposite of what "int" and "floor" do in other languages. Since 2010
10134:
9451:
8721:
8359:
8258:
6704:
3696:
438:
428:
424:
6147:
expansion. Since floor and ceiling are not periodic, they do not have uniformly convergent
6117:
6033:
434:
6143:
Since none of the functions discussed in this article are continuous, none of them have a
8:
11729:
11725:
11519:
10822:
7968:
5971:
12886:
12550:
11767:
11747:
10597:
8222:
8163:
7654:
7631:
1886:
1298:
856:
442:
12611:
13258:
13255:
13236:
13186:
13161:
13143:
13125:
13082:
13065:
13054:
13039:
13021:
12636:
12027:
12003:
8954:
8684:
8572:
5772:{\textstyle \lfloor x/n\rfloor ={\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor /n{\bigr \rfloor }.}
4709:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}
2229:
1302:
504:
4484:
and similarly for the ceiling and fractional part functions (still for positive and
13239:
12593:
11971:
11741:
8565:
7109:
6473:
1305:: it is the upper adjoint of the function that embeds the integers into the reals.
12091:
1005:
These formulas can be used to simplify expressions involving floors and ceilings.
13011:
11908:
8950:
6830:
6085:
500:
466:
291:
188:, and was historically denoted (among other notations). However, the same term,
12535:
12079:
7672:
6288: = 0. At points of continuity the series converges to the true value.
11928:
10234:
8958:
6148:
5779:
The second equivalence involving the ceiling function can be proved similarly.
12852:
12763:
12597:
11510:
Some generalizations to the above floor function identities have been proven.
10355:
One may also give formulas for producing the prime numbers. For example, let
9450:
The fractional part function also shows up in integral representations of the
8454:{\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}
13276:
11966:
11888:, a follow-on to APL that is designed to use standard keyboard symbols, uses
7964:
12813:
11924:
6144:
3138:{\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}
2931:
The result of nested floor or ceiling functions is the innermost function:
1294:
13002:, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 45,
12788:
6563:{\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}
196:
towards zero, which differs from the floor function for negative numbers.
12584:
12582:(1957). "On the fractional parts of the powers of a rational number II".
12579:
11932:
11697:
9971:= 1, where there is a pole) and combined with the Fourier expansion for {
8217:
2763:
82:
70:
13181:
Titchmarsh, Edward
Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986),
3944:
The following can be used to convert floors to ceilings and vice versa (
778:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}
8128:, which is the above expression for rounding towards positive infinity
6151:
expansions. The fractional part function has
Fourier series expansion
2285:
Negating the argument switches floor and ceiling and changes the sign:
193:
9483:
is any function with a continuous derivative in the closed interval ,
9454:. It is straightforward to prove (using integration by parts) that if
8473:
of arbitrary length that doesn't use any character twice is given by
845:{\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}
13263:
13244:
11135:
9800:
8667:
12555:
12536:"On some generalizations to floor function identities of Ramanujan"
11864:) provide standard functions for floor and ceiling, usually called
7649:
56:
449:, the names "floor" and "ceiling" and the corresponding notations
12244:
11733:
8160:
7302:
Combining these formulas gives quadratic reciprocity in the form
4485:
4353:
694:
89:
42:
8464:
4720:
Since the right-hand side of the general case is symmetrical in
997: may also be taken as the definition of floor and ceiling.
11712:
11127:
None of the formulas in this section are of any practical use.
8973:γ = 0.57721 56649 ... that involve the floor and ceiling, e.g.
8712:
a positive prime number. The exponent of the highest power of
7876:
If tie-breaking is away from 0, then the rounding function is
437:
introduced the square bracket notation in his third proof of
13034:
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994),
11897:
11837:
11728:
and truncation was simpler to implement (floor is simpler in
10449:{\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}
8564:> 0 is the number of letters in the alphabet (e.g., 26 in
6667:
6612:
6518:
642:
465:. (Iverson used square brackets for a different purpose, the
11947:
has a third argument to reproduce Excel's earlier behavior.
645:
typesetting system, these symbols can be specified with the
12247:
8545:{\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }
2745:
2631:
2520:
2207:
13229:
Interactive
Information Portal for Algorithmic Mathematics
13253:
11923:
has been changed to error if the number is negative. The
11853:
10229:, and to 0 otherwise, it follows that a positive integer
13056:
8239:
to the nearest integer value forms a very basic type of
441:(1808). This remained the standard in mathematics until
13234:
8933:. This is a finite sum, since the floors are zero when
2648:
Negating the argument complements the fractional part:
12331:
11640:
11577:
11395:
11372:
11345:
11322:
11272:
11249:
11218:
11187:
11164:
10151:
9710:
9661:
9600:
9410:
9389:
9361:
9346:
9331:
9316:
9293:
9278:
8878:
8696:= 26, this comes out to 1096259850353149530222034277.
8174:
8076:
8029:
8002:
7937:
7835:
7810:
7736:
7711:
6784:
6732:
5714:
4677:
4559:
4427:
2762:
The floor, ceiling, and fractional part functions are
2187:
2160:
2102:{\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}
1477:
1429:
1381:
1333:
1243:
1180:
1111:
1048:
13180:
11790:
11770:
11750:
11700:
has proved there can only be a finite number of such
11538:
11433:
11315:
11158:
10985:
10834:
10705:
10609:
10468:
10385:
10245:
10003:
9828:
9760:
9492:
9460:
9194:
9074:
8982:
8732:
8580:
8482:
8378:
8284:
8261:
8225:
8172:
8134:
7977:
7882:
7780:
7681:
7657:
7634:
7457:
7311:
7121:
6842:
6776:
6724:
6656:
6601:
6513:
6341:
6297:
6157:
6120:
6094:
6064:
6036:
6010:
5984:
5888:
5808:
5559:
5451:
5343:
5308:
4976:
4737:
4622:
4504:
4372:
4216:
4081:
3957:
3829:
3708:
3603:
3466:
3336:
3245:
3161:
3076:
2940:
2775:
2657:
2543:
2429:
2294:
2241:
2121:
2074:
1898:
1702:
1537:
1314:
1014:
971:
939:
880:
794:
727:
702:
13033:
12469:
12467:
5970:
None of the functions discussed in this article are
2275:{\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}
718:, floor and ceiling may be defined by the equations
5965:
13053:
12444:
12163:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
11822:{\displaystyle \left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor }
11821:
11776:
11756:
11686:
11499:
11418:
11300:
11116:
10961:
10795:
10678:
10581:
10448:
10344:
10213:
10122:
9952:
9791:
9743:
9475:
9434:
9174:
9057:
8917:
8861:
8644:
8544:
8453:
8341:
8267:
8231:
8205:
8151:
8120:
7955:
7865:
7766:
7663:
7640:
7612:
7433:
7291:
7097:
6815:
6763:
6707:, as modified by Eisenstein, has two basic steps.
6687:
6632:
6562:
6439:
6327:
6249:
6132:
6106:
6076:
6048:
6022:
5996:
5954:
5871:
5771:
5697:
5539:
5431:
5326:
5284:
4948:
4708:
4605:
4473:
4341:
4188:
4064:
3933:
3812:
3680:
3579:
3449:
3312:
3228:
3137:
3036:
2920:
2751:
2637:
2526:
2409:
2274:
2213:
2101:
2049:
1869:
1670:
1513:
1282:
989:
957:
922:
844:
777:
710:
13079:Handbook of writing for the mathematical sciences
13009:
12464:
12024:Handbook of mathematics and computational science
11667:
11627:
11604:
11564:
11106:
11024:
10951:
10873:
10326:
10301:
10291:
10274:
7774:; rounding towards negative infinity is given as
120:to the smallest integer greater than or equal to
13274:
13101:ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C
10817:) be the number of primes less than or equal to
9082:
6718:be distinct positive odd prime numbers, and let
4306:
2060:
807:
740:
11716:Int function from floating-point conversion in
12997:
12277:These formulas are from the Knowledge article
9967:with real part greater than −1, (except
423:in the original) was first defined in 1798 by
12431:
12424:
12399:
12389:
12372:
12365:
11654:
11634:
11591:
11571:
10206:
10181:
10171:
10154:
10140:
8465:Number of strings without repeated characters
8107:
8070:
8060:
8023:
5761:
5737:
3009:
2993:
2963:
2947:
2890:
2874:
2844:
2828:
2798:
2782:
472:In some sources, boldface or double brackets
13103:(2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
13000:An introduction to Diophantine approximation
12975:"Documentation/How Tos/Calc: FLOOR function"
12358:
12348:
10072:
10059:
9884:
9878:
9703:
9697:
9654:
9648:
9593:
9587:
9445:
9021:
9015:
8645:{\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}
8539:
8527:
8445:
8412:
8400:
8379:
7984:
7978:
7855:
7846:
7756:
7747:
6348:
6342:
6322:
6316:
6304:
6298:
6164:
6158:
6127:
6121:
6101:
6095:
6071:
6065:
6043:
6037:
6017:
6011:
5991:
5985:
5910:
5896:
5830:
5816:
5748:
5742:
5729:
5715:
5525:
5519:
5417:
5411:
3839:
3830:
3718:
3709:
3288:
3282:
3204:
3198:
3027:
3021:
3004:
2998:
2981:
2975:
2958:
2952:
2908:
2902:
2885:
2879:
2862:
2856:
2839:
2833:
2816:
2810:
2793:
2787:
2679:
2670:
2664:
2658:
2565:
2556:
2550:
2544:
2451:
2442:
2436:
2430:
2400:
2391:
2381:
2375:
2365:
2356:
2346:
2340:
2320:
2311:
2305:
2299:
2260:
2254:
2248:
2242:
2140:
2134:
2128:
2122:
2093:
2087:
2081:
2075:
2037:
2024:
2018:
2005:
1965:
1952:
1946:
1933:
1857:
1851:
1845:
1839:
1833:
1821:
1805:
1799:
1793:
1787:
1771:
1765:
1759:
1753:
1747:
1735:
1725:
1719:
1713:
1707:
1658:
1652:
1642:
1630:
1614:
1608:
1598:
1586:
1570:
1564:
1554:
1542:
1501:
1495:
1443:
1437:
1405:
1399:
1347:
1341:
1226:
1220:
1163:
1157:
1094:
1088:
1025:
1019:
978:
972:
946:
940:
923:{\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}
836:
810:
801:
795:
769:
743:
734:
728:
672:
418:
13115:
13051:
13010:Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001),
12102:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70.
11915:rounds down rather than toward zero, while
11707:
10592:A similar result is that there is a number
8961:into two sequences via the floor function.
6492:. This definition can be extended to real
3047:due to the identity property for integers.
2228:, both floor and ceiling functions are the
560:These characters are provided in Unicode:
13118:Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein
13013:Prime Numbers: A Computational Perspective
12954:"Documentation/How Tos/Calc: INT function"
12325: > 1 is prime if and only if
11140:Journal of the Indian Mathematical Society
10372: > 1, define the real number
7971:can be expressed with the more cumbersome
5667:
5663:
5659:
5655:
5630:
5626:
5609:
5605:
5588:
5584:
5509:
5505:
5480:
5476:
5401:
5397:
5372:
5368:
5296:
1524:These formulas show how adding an integer
1475:
1474:
1427:
1426:
1379:
1378:
1331:
1330:
480:are used for floor, and reversed brackets
13155:
13137:
12554:
12533:
12268:Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
11032:
10821:. It is a straightforward deduction from
10110:
9906:
9633:
9557:
9045:
6328:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}
2735:
2710:
2621:
2596:
2510:
2482:
2200:
2173:
820:
753:
704:
12491:Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
12172:Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
11711:
8699:
8652:denotes the number of strings of length
8251:) uniform quantizer with a quantization
6698:
6688:{\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}
6633:{\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}
6484:, gives the value of the remainder when
1528:to the arguments affects the functions:
855:Since there is exactly one integer in a
660:\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,
13183:The Theory of the Riemann Zeta-function
13106:
12534:Somu, Sai Teja; Kukla, Andrzej (2022).
12000:A Brief History of Mathematical Thought
11989:Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
8964:
6816:{\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}
6764:{\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}
14:
13275:
13185:(2nd ed.), Oxford: Oxford U. P.,
12686:
12660:
12578:
12181:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94.
11832:Many programming languages (including
10696:= 1.9287800... with the property that
7675:towards positive infinity is given by
6276:the Fourier series given converges to
6056:have discontinuities at the integers.
2065:It is clear from the definitions that
1887:monotonically non-decreasing functions
1685:is not an integer; however, for every
13254:
13235:
12190:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
12154:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
12145:Graham, Knuth, & Patashnik, p. 73
12136:Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
8206:{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}
1885:Both floor and ceiling functions are
13158:The New Book of Prime Number Records
13052:Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980),
2109: with equality if and only if
11513:
8658:that don't use any character twice.
8353:
5782:
1693:, the following inequalities hold:
958:{\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}
859:of length one, for any real number
88:, and gives as output the greatest
24:
12022:3) John W. Warris, Horst Stocker,
11149:is a positive integer, prove that
11130:
10408:
10262:
10035:
10030:
9857:
9792:{\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}
9217:
9092:
8999:
8944:
8918:{\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}
8316:
8300:
8262:
6399:
6209:
6140: are lower semi-continuous.
25:
13304:
13199:
12217:Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
8957:gives rise to a partition of the
6077:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
5997:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
990:{\displaystyle \lceil x\rceil =n}
13142:, Providence RI: AMS / Chelsea,
12308:Crandall & Pomerance, p. 391
12226:Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
11525:Are there any positive integers
11522:has led to an unsolved problem:
11138:submitted these problems to the
5966:Continuity and series expansions
55:
41:
13038:, Reading Ma.: Addison-Wesley,
12967:
12946:
12925:
12904:
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12781:
12756:
12739:"Math (Java SE 9 & JDK 9 )"
12731:
12714:"Math (Java SE 9 & JDK 9 )"
12706:
12680:
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12148:
12139:
12130:
12118:. The LaTeX Project. April 2018
12105:
12018:Calculus: Differential Calculus
10368:-th prime, and for any integer
8152:{\displaystyle {\text{rpi}}(x)}
6459:
6454:
6107:{\displaystyle \lceil x\rceil }
6023:{\displaystyle \lceil x\rceil }
1880:
1000:
597:⌉, ⌉
12689:"Math.Ceiling Method (System)"
12096:
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9963:This formula is valid for all
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3117:
2002:
1930:
635:⌋, ⌋
578:⌈, ⌈
27:Nearest integers from a number
13:
1:
13138:Ramanujan, Srinivasa (2000),
12991:
12321:. An equivalent condition is
12043:Lemmermeyer, pp. 10, 23.
9990:in the critical strip 0 <
7628:For an arbitrary real number
5791:, and arbitrary real numbers
3691:More generally, for positive
2061:Relations among the functions
616:⌊, ⌊
445:introduced, in his 1962 book
13225:"Integer rounding functions"
13107:Iverson, Kenneth E. (1962),
12663:"Math.Floor Method (System)"
12208:Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
11977:
7671:to the nearest integer with
7108:The second step is to use a
5145:
4994:
4854:
4750:
4207:strictly positive integers:
4094:
3970:
3656:
3622:
3485:
3355:
3050:
1681:The above are never true if
863:, there are unique integers
711:{\displaystyle \mathbb {Z} }
7:
13212:Encyclopedia of Mathematics
13116:Lemmermeyer, Franz (2000),
12259:Hardy & Wright, Th. 416
12113:"LaTeX News, Issue 28"
12092:Mathwords: Ceiling Function
11950:
9807:greater than 1 and letting
9476:{\displaystyle \varphi (x)}
8720:! is given by a version of
7623:
5295:This is sometimes called a
519:and defined by the formula
404:
35:Floor and ceiling functions
10:
13309:
13004:Cambridge University Press
12569:Hardy & Wright, p. 337
12461:Hardy & Wright, § 22.3
10141:Formulas for prime numbers
8708:be a positive integer and
1479: if and only if
1431: if and only if
1383: if and only if
1335: if and only if
1297:, the floor function is a
1245: if and only if
1182: if and only if
1113: if and only if
1050: if and only if
13177:, 8th edition, p. 86
13156:Ribenboim, Paulo (1996),
12768:docs.julialang.org/en/v1/
12598:10.1112/S0025579300001170
12520:Ramanujan, Question 723,
12080:Mathwords: Floor Function
10600:) with the property that
9815:be integers, and letting
9446:Riemann zeta function (ζ)
8953:shows how every positive
6829:is used to show that the
673:Definition and properties
648:\lceil, \rceil, \lfloor,
259:
243:⌊2.0001+1⌋ = ⌈2.0001⌉ = 3
12839:"R: Rounding of Numbers"
11927:file format, as used by
11708:Computer implementations
9819:approach infinity gives
8358:The number of digits in
6581:is always between 0 and
5327:{\displaystyle m,n>0}
4352:which, for positive and
871:satisfying the equation
145:For example, for floor:
13062:Oxford University Press
12998:J.W.S. Cassels (1957),
11962:Integer-valued function
10692:There is also a number
8969:There are formulas for
8469:The number of possible
8268:{\displaystyle \Delta }
6703:Gauss's third proof of
6468:and a positive integer
159:⌈−2.4⌉ = −2
151:⌊−2.4⌋ = −3
13160:, New York: Springer,
13109:A Programming Language
12446:
12362:
12281:, which has many more.
11886:J Programming Language
11823:
11778:
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11742:arithmetic right-shift
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8925:is the way of writing
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447:A Programming Language
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92:less than or equal to
81:that takes as input a
13288:Mathematical notation
12876:Sullivan, p. 86.
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5708:keeping in mind that
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1673:
1516:
1301:, that is, part of a
1285:
992:
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925:
847:
780:
713:
439:quadratic reciprocity
425:Adrien-Marie Legendre
13077:Nicholas J. Higham,
13036:Concrete Mathematics
12764:"Math (Julia v1.10)"
12329:
12299:Titchmarsh, pp.14–15
12061:Iverson, p. 12.
11788:
11768:
11748:
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8275:can be expressed as
8259:
8255:equal to some value
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4974:
4859:
4755:
4735:
4728:, this implies that
4620:
4502:
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1535:
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1012:
969:
937:
878:
792:
725:
700:
435:Carl Friedrich Gauss
427:in his proof of the
12853:"Python manual for
12070:Higham, p. 25.
12012:2) Albert A. Blank
11943:both do floor, and
11872:, or less commonly
10039:
9861:
9581:
9544:
9003:
6280:/2, rather than to
5151:
5146:
5000:
4995:
4959:More generally, if
4860:
4855:
4756:
4751:
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3971:
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3623:
3491:
3486:
3361:
3356:
2113:is an integer, i.e.
1293:In the language of
677:Given real numbers
262:
192:, is also used for
168:is also called the
153:, and for ceiling:
13259:"Ceiling Function"
13256:Weisstein, Eric W.
13237:Weisstein, Eric W.
13173:Michael Sullivan.
12693:docs.microsoft.com
12667:docs.microsoft.com
12637:"C++ reference of
12612:"C++ reference of
12442:
12235:Lemmermeyer, p. 25
12116:(PDF; 379 KB)
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11704:; none are known.
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6291:Using the formula
6247:
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