118:
107:
2708:
2557:
2568:
1754:
1182:
2040:
1285:
1457:
2853:
1018:
1353:
2441:
2905:
402:
326:
1578:
2703:{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}
891:
2403:
187:
1859:
2957:
845:
731:
622:
1821:
1654:
2738:
2429:
2325:
2248:
2172:
2122:
1932:
1646:
1047:
917:
753:
587:
548:
2303:
2226:
1789:
1480:
219:
2779:
2276:
2196:
1906:
1886:
1624:
1059:
249:
155:
431:
1943:
810:
2142:
2096:
2076:
1601:
1508:
1393:
1373:
694:
674:
645:
511:
491:
455:
3044:
1194:
3030:
98:" (continuous on one side, limit on the other side), for a function which at each point of the domain is either càdlàg or càglàd.
1401:
2784:
117:
2552:{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}
925:
1290:
3109:
3086:
110:
2858:
470:
337:
261:
2199:
1516:
2350:
3133:
760:
164:
1826:
857:
2344:
2910:
815:
1749:{\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}
699:
595:
1794:
2045:
was introduced independently and utilized in control theory for the analysis of switching systems.
2721:
2412:
2308:
2231:
2155:
2105:
1915:
1629:
1026:
896:
770:
that, intuitively allows us to "wiggle space and time a bit" (whereas the traditional topology of
736:
557:
516:
2281:
2204:
106:
3128:
2968:
1177:{\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}
551:
1762:
1465:
192:
121:
Example of a cumulative distribution function with a countably infinite set of discontinuities
3038:
2746:
2432:
2261:
2181:
1891:
1871:
1609:
851:
466:
All functions continuous on a subset of the real numbers are càdlàg functions on that subset.
228:
2035:{\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),}
1865:
128:
68:
60:
407:
8:
2406:
1483:
771:
56:
43:("continuous on (the) right, limit on (the) left") function is a function defined on the
777:
3098:
2127:
2081:
2061:
1586:
1493:
1378:
1358:
763:
679:
659:
630:
496:
476:
440:
3105:
3082:
2099:
3026:
1375:(just as the usual modulus of continuity makes sense for discontinuous functions).
67:, which has continuous sample paths. The collection of càdlàg functions on a given
52:
2988:
2328:
625:
64:
28:
3017:
Georgiou, T.T. and Smith, M.C. (2000). "Robustness of a relaxation oscillator".
2175:
1396:
3122:
3031:
10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q
2332:
158:
332:
44:
20:
1280:{\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}
256:
2740:
is not a topological group, as can be seen by the following example:
1487:
2855:
to be a sequence of characteristic functions. Despite the fact that
767:
2718:
Under the
Skorokhod topology and pointwise addition of functions,
1188:
48:
3016:
1791:
is the identity function. In terms of the "wiggle" intuition,
774:
only allows us to "wiggle space a bit"). For simplicity, take
647:
defined on an open interval, is an increasing cadlag function.
1452:{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}
493:
correspond to the probability of being lower or equal than
473:
are càdlàg functions. For instance the cumulative at point
59:
everywhere. Càdlàg functions are important in the study of
2053:
2848:{\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }
2713:
2435:
if and only if both the following conditions are met:
3019:
International
Journal of Robust and Nonlinear Control
2913:
2861:
2787:
2749:
2724:
2571:
2444:
2415:
2353:
2311:
2284:
2264:
2234:
2207:
2184:
2158:
2130:
2108:
2084:
2064:
1946:
1918:
1894:
1874:
1829:
1797:
1765:
1657:
1632:
1612:
1589:
1519:
1496:
1468:
1404:
1381:
1361:
1293:
1197:
1062:
1029:
1013:{\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}
928:
899:
860:
818:
780:
739:
702:
682:
662:
633:
598:
560:
519:
499:
479:
443:
410:
340:
264:
231:
195:
167:
131:
1348:{\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }
847:— see Billingsley for a more general construction.
3097:
2951:
2899:
2847:
2773:
2732:
2702:
2551:
2423:
2397:
2319:
2297:
2270:
2242:
2220:
2190:
2166:
2136:
2116:
2090:
2070:
2034:
1926:
1900:
1880:
1853:
1815:
1783:
1748:
1640:
1618:
1595:
1572:
1502:
1474:
1451:
1387:
1367:
1347:
1279:
1176:
1041:
1012:
911:
885:
839:
804:
747:
725:
688:
668:
639:
616:
581:
542:
505:
485:
449:
425:
396:
320:
243:
213:
181:
149:
3120:
2589:
2573:
2462:
2446:
2048:
1969:
1695:
1680:
1533:
1406:
1295:
1099:
1089:
952:
360:
284:
2989:"Skorokhod space - Encyclopedia of Mathematics"
2338:
1823:measures the size of the "wiggle in time", and
2900:{\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}
2675:
2616:
2535:
2489:
1510:to itself (these are "wiggles in time"). Let
1355:. This definition makes sense for non-càdlàg
397:{\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}
321:{\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}
3104:. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.
3081:. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.
3043:: CS1 maint: multiple names: authors list (
3010:
2670:
2621:
2530:
2521:
2515:
2494:
2023:
2005:
1999:
1987:
1861:measures the size of the "wiggle in space".
1848:
1830:
1810:
1798:
1740:
1737:
1719:
1713:
1701:
1698:
1526:
1520:
1261:
1204:
93:
83:
2144:coincides with the uniform topology there.
1573:{\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}
63:that admit (or even require) jumps, unlike
2641:
2635:
2514:
2508:
1267:
469:As a consequence of their definition, all
88:", the left-right reversal of càdlàg, and
39:("right continuous with left limits"), or
16:Right continuous function with left limits
2841:
2726:
2631:
2504:
2417:
2398:{\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}
2313:
2236:
2160:
2110:
1920:
1634:
827:
741:
704:
554:of concern for a two-tailed distribution
521:
175:
2907:in the Skorokhod topology, the sequence
2124:. The Skorokhod topology relativized to
1583:denote the uniform norm on functions on
850:We must first define an analogue of the
116:
105:
3057:
3001:
182:{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }
3121:
2054:Generalization of the uniform topology
457:is right-continuous with left limits.
2178:with respect to the Skorokhod metric
1854:{\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}
886:{\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}
656:The set of all càdlàg functions from
766:. Skorokhod space can be assigned a
3100:Convergence of Probability Measures
3060:Convergence of Probability Measures
3004:Convergence of Probability Measures
2952:{\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}
2714:Algebraic and topological structure
13:
3070:
2599:
2472:
2456:
1979:
1875:
1690:
1469:
1198:
1093:
840:{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
651:
609:
567:
85:continue à gauche, limite à droite
33:continue à droite, limite à gauche
14:
3145:
2781:be a half-open interval and take
1868:is indeed a metric. The topology
726:{\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}
471:cumulative distribution functions
113:are examples of càdlàg functions.
111:Cumulative distribution functions
95:continue à l'un, limite à l’autre
550:. In other words, the semi-open
2347:, one can show that a sequence
2253:
2200:topologically equivalent metric
2147:
617:{\displaystyle f_{+}^{\prime }}
3051:
2995:
2981:
2944:
2932:
2892:
2880:
2872:
2832:
2806:
2768:
2756:
2661:
2655:
2637:
2596:
2580:
2510:
2469:
2453:
2368:
2354:
2026:
1984:
1962:
1950:
1816:{\displaystyle \|\lambda -I\|}
1775:
1673:
1661:
1566:
1562:
1556:
1549:
1440:
1434:
1413:
1336:
1304:
1168:
1165:
1133:
1130:
1082:
1076:
1006:
1002:
996:
987:
981:
974:
945:
939:
880:
874:
799:
787:
720:
708:
576:
561:
537:
525:
420:
414:
391:
385:
367:
353:
344:
315:
309:
291:
277:
268:
205:
144:
132:
1:
3096:Billingsley, Patrick (1999).
3077:Billingsley, Patrick (1995).
2974:
2331:. Thus, Skorokhod space is a
2049:Properties of Skorokhod space
101:
2733:{\displaystyle \mathbb {D} }
2424:{\displaystyle \mathbb {D} }
2339:Tightness in Skorokhod space
2320:{\displaystyle \mathbb {D} }
2243:{\displaystyle \mathbb {D} }
2167:{\displaystyle \mathbb {D} }
2117:{\displaystyle \mathbb {D} }
1927:{\displaystyle \mathbb {D} }
1641:{\displaystyle \mathbb {D} }
1042:{\displaystyle \delta >0}
912:{\displaystyle F\subseteq E}
748:{\displaystyle \mathbb {D} }
582:{\displaystyle (-\infty ,r]}
543:{\displaystyle \mathbb {P} }
51:of them) that is everywhere
7:
2962:
2298:{\displaystyle \sigma _{0}}
2221:{\displaystyle \sigma _{0}}
2078:of continuous functions on
460:
10:
3150:
2343:By an application of the
1191:runs over all partitions
2959:does not converge to 0.
1784:{\displaystyle I:E\to E}
1475:{\displaystyle \Lambda }
214:{\displaystyle f:E\to M}
3079:Probability and Measure
2774:{\displaystyle E=[0,2)}
2271:{\displaystyle \sigma }
2258:With respect to either
2191:{\displaystyle \sigma }
1901:{\displaystyle \sigma }
1881:{\displaystyle \Sigma }
1619:{\displaystyle \sigma }
761:Ukrainian mathematician
2969:Classical Wiener space
2953:
2901:
2849:
2775:
2734:
2704:
2553:
2425:
2399:
2321:
2299:
2272:
2244:
2228:with respect to which
2222:
2192:
2168:
2138:
2118:
2092:
2072:
2036:
1937:An equivalent metric,
1928:
1902:
1882:
1855:
1817:
1785:
1750:
1642:
1620:
1597:
1574:
1504:
1482:denote the set of all
1476:
1453:
1389:
1369:
1349:
1281:
1178:
1043:
1014:
913:
887:
841:
806:
749:
727:
690:
670:
641:
618:
583:
544:
507:
487:
451:
427:
398:
322:
245:
244:{\displaystyle t\in E}
215:
183:
151:
122:
114:
94:
84:
78:Two related terms are
32:
2954:
2902:
2850:
2776:
2735:
2705:
2554:
2426:
2400:
2345:Arzelà–Ascoli theorem
2322:
2300:
2273:
2245:
2223:
2193:
2169:
2139:
2119:
2093:
2073:
2037:
1929:
1903:
1883:
1856:
1818:
1786:
1751:
1643:
1621:
1598:
1575:
1505:
1477:
1454:
1390:
1370:
1350:
1282:
1179:
1044:
1015:
914:
888:
852:modulus of continuity
842:
807:
750:
728:
691:
671:
642:
619:
592:The right derivative
584:
545:
508:
488:
452:
428:
399:
323:
246:
216:
184:
152:
150:{\displaystyle (M,d)}
120:
109:
3134:Stochastic processes
3025:(11–12): 1005–1024.
2911:
2859:
2785:
2747:
2722:
2569:
2442:
2413:
2407:probability measures
2351:
2309:
2282:
2262:
2232:
2205:
2182:
2156:
2128:
2106:
2082:
2062:
1944:
1916:
1892:
1872:
1827:
1795:
1763:
1655:
1630:
1610:
1587:
1517:
1494:
1466:
1402:
1379:
1359:
1291:
1195:
1060:
1027:
926:
897:
858:
816:
778:
737:
700:
696:is often denoted by
680:
660:
631:
596:
558:
517:
497:
477:
441:
426:{\displaystyle f(t)}
408:
338:
262:
229:
193:
165:
129:
61:stochastic processes
2688: for all
2654:
2409:on Skorokhod space
1484:strictly increasing
1433:
1075:
873:
772:uniform convergence
613:
3062:. New York: Wiley.
3006:. New York: Wiley.
2949:
2897:
2845:
2771:
2730:
2700:
2642:
2603:
2587:
2549:
2476:
2460:
2421:
2395:
2317:
2295:
2268:
2240:
2218:
2188:
2164:
2134:
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