2823:
1113:
8862:
1302:
1956:
2506:
3409:
2233:
5073:
The use of generalized birth-death processes in phylodynamics has stimulated investigations into the degree to which the rates of birth and death can be identified from data. While the model is unidentifiable in general, the subset of models that are typically used are identifiable.
6515:
4479:
941:
5549:
8690:
7806:
1130:
6681:
5070:, i.e. a binary tree in which birth events correspond to branches of the tree and death events correspond to leaf nodes. Notably, they are used in viral phylodynamics to understand the transmission process and how the number of people infected changes through time.
3669:
1736:
4114:
6964:
2818:{\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}
7230:
5796:
3993:
781:
924:
3206:
555:
660:
5263:
7920:
6008:
35:. The model's name comes from a common application, the use of such models to represent the current size of a population where the transitions are literal births and deaths. Birth–death processes have many applications in
794:
8375:
4270:
7336:
788:
This process is represented by the following figure with the states of the process (i.e. the number of individuals in the population) depicted by the circles, and transitions between states indicated by the arrows.
8448:
8089:
3008:
2083:
6313:
5380:
4893:
7640:
7452:
6212:
6319:
3078:
6099:
7391:
6160:
343:
5148:
is a single server queue with an infinite buffer size. In a non-random environment the birth–death process in queueing models tend to be long-term averages, so the average rate of arrival is given as
1108:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}
4276:
2929:
7982:
5670:
8857:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}
3751:
1297:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}
5386:
6808:
7646:
133:
6521:
1609:
8282:
7277:. This queue has applications in telecommunications, as well as in biology when a population has a capacity limit. In telecommunication we again use the parameters from the M/M/1 queue with,
4766:
4545:
7093:
185:
3536:
2419:
1951:{\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}
8566:
4817:
8503:
8190:
5590:
5910:
8137:
8680:
3999:
2309:
1483:
446:
6814:
7492:
7103:
401:
5676:
3879:
6725:
5008:
666:
7532:
1515:
1392:
8603:
2855:
31:
where the state transitions are of only two types: "births", which increase the state variable by one and "deaths", which decrease the state by one. It was introduced by
7009:
5841:
4942:
3530:
3200:
2077:
1730:
4162:
3869:
8630:
5166:
4715:
4688:
4650:
4627:
4601:
4578:
3787:
1347:
5106:
5034:
4968:
3470:
3140:
2342:
2017:
1670:
1645:
5194:
3404:{\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}
3114:
8210:
3497:
3167:
2496:
2469:
2446:
2044:
1697:
837:
9522:
372:
234:
3440:
1987:
456:
3830:
7259:
3807:
1412:
205:
561:
5202:
4603:
only three types of transitions are considered as one death, or one birth, or no birth nor death. The probability of the first two of these transitions has
10057:
7812:
5920:
8869:
The notions of ergodicity and null-recurrence are defined similarly by extending the corresponding notions of the standard birth-and-death process.
9881:
8290:
4169:
10484:
9477:
7283:
2228:{\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}
10014:
9994:
8386:
7999:
2950:
10398:
6510:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}
6223:
5290:
4822:
9358:
8952:
5130:
places in the queue. Despite the assumption of an infinite population this model is a good model for various telecommunication systems.
2240:
Wider classes of birth-and-death processes, for which the conditions for recurrence and transience can be established, can be found in.
7551:
7399:
6171:
3023:
10315:
8578:
Bilateral birth-and-death process is defined similarly to that standard one with the only difference that the birth and death rates
6043:
9999:
7344:
6110:
10325:
10009:
4474:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}
243:
10367:
10264:
5544:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}
2860:
10554:
10544:
10390:
10082:
10067:
7926:
5602:
7801:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}
3688:
3086:
So, recurrence or transience of the random walk is associated with recurrence or transience of the birth-and-death process.
10454:
10418:
6676:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}
8921:(1939). "Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung".
6737:
10722:
10459:
86:
1520:
10371:
9569:
9470:
3664:{\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}
8237:
4720:
4487:
10524:
9423:
9404:
7014:
138:
8989:
2347:
1317:) the conditions for recurrence, transience, ergodicity and null-recurrence can be derived in a more explicit form.
10569:
10375:
10359:
10274:
10102:
10072:
9494:
8513:
4771:
59:, the number of people with a disease within a population, or the number of customers in line at the supermarket.
10474:
10439:
10408:
10403:
9839:
9756:
8456:
8146:
5562:
5846:
4109:{\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}
10413:
10042:
10037:
9844:
9741:
28:
8102:
10727:
10504:
10340:
10239:
10224:
9763:
9636:
9552:
9463:
8893:
8635:
7457:
In biology, particularly the growth of bacteria, when the population is zero there is no ability to grow so,
10499:
10379:
2257:
10509:
9243:
6959:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}
793:
10514:
10150:
1425:
406:
10112:
9696:
9641:
9557:
7225:{\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}
10444:
5791:{\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}
3988:{\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}
10449:
10434:
10077:
10047:
9614:
9512:
7463:
776:{\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}
377:
10753:
10529:
10330:
10244:
10229:
10160:
9736:
9619:
9517:
6694:
4980:
10748:
10363:
10249:
9751:
9726:
9671:
9185:"A computationally tractable birth-death model that combines phylogenetic and epidemiological data"
7503:
5123:
1488:
1352:
8581:
10664:
10654:
10469:
10345:
10127:
10052:
9866:
9731:
9542:
2833:
44:
7497:
Additionally if the capacity represents a limit where the individual dies from over population,
6972:
5804:
4914:
3502:
3172:
2049:
1702:
1614:
Then, the conditions for recurrence and transience of a birth-and-death process are as follows.
10606:
10534:
9959:
9949:
9793:
9434:
6728:
5593:
5269:
4550:
4128:
4122:
3835:
8608:
6037:
servers and an infinite buffer. It characterizes by the following birth and death parameters:
5151:
4697:
4670:
4632:
4609:
4583:
4560:
3756:
1323:
919:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}
10629:
10611:
10591:
10586:
10305:
10137:
10117:
9964:
9907:
9746:
9656:
8213:
7238:
5111:
5091:
5013:
4947:
3449:
3119:
2314:
2249:
1996:
1649:
1621:
5171:
3093:
550:{\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}
10704:
10659:
10649:
10335:
10310:
10279:
10259:
10097:
10019:
10004:
9871:
9313:
9258:
9196:
9098:
8217:
8195:
4554:
3475:
3145:
2474:
2451:
2424:
2022:
1675:
821:
348:
210:
8:
10699:
10539:
10464:
10269:
10029:
9939:
9829:
3419:
1966:
9317:
9262:
9200:
9102:
3812:
655:{\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}
10669:
10634:
10549:
10519:
10350:
10289:
10284:
10107:
9944:
9609:
9547:
9486:
9334:
9301:
9282:
9219:
9184:
9160:
9133:
9071:
9053:
9019:
9001:
7244:
4908:
3792:
1397:
190:
9377:
8971:
5258:{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}
10689:
9902:
9819:
9788:
9681:
9661:
9651:
9507:
9502:
9419:
9400:
9339:
9286:
9274:
9224:
9165:
9114:
9075:
9023:
8221:
4665:
1419:
10494:
10145:
6727:
is a particular case of the M/M/C queueing process. We have the following system of
5592:
is a particular case of the M/M/1 queueing process. We have the following system of
10709:
10596:
10479:
10355:
10092:
9849:
9824:
9773:
9624:
9577:
9373:
9329:
9321:
9266:
9214:
9204:
9155:
9145:
9106:
9063:
9038:
9011:
8967:
8930:
7262:
9701:
9015:
8682:. Following this, a bilateral birth-and-death process is recurrent if and only if
4899:
by 1 while "death" is the transition towards decreasing the population size by 1.
10674:
10574:
10559:
10320:
10254:
9932:
9876:
9859:
9604:
9209:
9150:
8888:
8883:
6016:
5115:
5051:
4896:
237:
40:
10489:
9721:
7915:{\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}
6003:{\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}
5082:
In queueing theory the birth–death process is the most fundamental example of a
10679:
10644:
10564:
10170:
9917:
9834:
9803:
9798:
9778:
9768:
9711:
9686:
9666:
9631:
9599:
9582:
9110:
8918:
5083:
4604:
32:
9706:
9270:
10742:
10581:
10122:
9954:
9912:
9854:
9676:
9592:
9532:
8948:
8898:
5063:
5054:, are birth–death processes used to describe customers in an infinite queue.
4895:. For a population process, "birth" is the transition towards increasing the
2935:
817:
9325:
9244:"Extant timetrees are consistent with a myriad of diversification histories"
9134:"Phylogenetic and epidemic modeling of rapidly evolving infectious diseases"
9039:"Necessary and sufficient conditions for the convergence of positive series"
8370:{\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}
10639:
10601:
10155:
10087:
9976:
9971:
9783:
9716:
9691:
9527:
9343:
9278:
9228:
9169:
9118:
9067:
8228:
8092:
7993:
7537:
The differential equations for the probability that the system is in state
3682:
2939:
805:
48:
4265:{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}
55:
and other areas. They may be used, for example, to study the evolution of
10684:
10219:
10203:
10198:
10193:
10183:
9986:
9927:
9922:
9886:
9646:
9537:
9089:
Stadler T (December 2010). "Sampling-through-time in birth-death trees".
8878:
8140:
8096:
6028:
5273:
5139:
5067:
5046:
5040:
2252:
7331:{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}
10694:
10234:
10178:
10062:
10015:
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model
9455:
9395:
Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). "Quasi-Birth-and-Death
Processes".
8934:
8443:{\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}
1314:
804:
For recurrence and transience in Markov processes see
Section 5.3 from
83: − 1. The process is specified by positive birth rates
36:
8084:{\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}
4121:
These limiting probabilities are obtained from the infinite system of
10188:
4690:, and hence are negligible in derivations. If the system is in state
3003:{\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}
1415:
6686:
5554:
9058:
9006:
6308:{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}
5375:{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}
4888:{\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}
56:
7635:{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}
7447:{\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}
7273:
The M/M/1/K queue is a single server queue with a buffer of size
6207:{\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}
75: + 1. When a death occurs, the process goes from state
52:
6217:
The system of differential equations in this case has the form:
3789:
is the probability that the birth-and-death process is in state
3073:{\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}
9397:
Introduction to Matrix
Analytic Methods in Stochastic Modelling
9183:
Zarebski AE, du
Plessis L, Parag KV, Pybus OG (February 2022).
8990:"Extension of the Bertrand–De Morgan test and its application"
6094:{\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}
8947:
816:
Conditions for recurrence and transience were established by
9182:
7386:{\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}
6155:{\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}
3681:
If a birth-and-death process is ergodic, then there exists
811:
338:{\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}
9995:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model
9302:"A class of identifiable phylogenetic birth–death models"
4557:
that describes the dynamic of the system in a small time
9523:
Independent and identically distributed random variables
2924:{\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}
1993:
The birth-and-death process is recurrent if there exist
1618:
The birth-and-death process is transient if there exist
7977:{\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}
5665:{\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}
10000:
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model
9416:
Evolutionary
Dynamics: Exploring the Equations of Life
5196:. The birth and death process is an M/M/1 queue when,
3746:{\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}
8693:
8638:
8611:
8584:
8516:
8459:
8389:
8293:
8240:
8198:
8149:
8105:
8002:
7929:
7815:
7649:
7554:
7506:
7466:
7402:
7347:
7286:
7247:
7106:
7017:
6975:
6817:
6740:
6697:
6524:
6322:
6226:
6174:
6113:
6046:
5923:
5849:
5807:
5679:
5605:
5565:
5389:
5293:
5205:
5174:
5154:
5094:
5016:
4983:
4950:
4917:
4825:
4774:
4723:
4700:
4673:
4635:
4612:
4586:
4563:
4490:
4279:
4172:
4131:
4002:
3882:
3838:
3815:
3795:
3759:
3691:
3539:
3505:
3478:
3452:
3422:
3209:
3175:
3148:
3122:
3096:
3026:
2953:
2863:
2836:
2509:
2477:
2454:
2427:
2350:
2317:
2260:
2086:
2052:
2025:
1999:
1969:
1739:
1705:
1678:
1652:
1624:
1523:
1491:
1428:
1400:
1355:
1326:
1133:
944:
840:
669:
564:
459:
409:
380:
351:
246:
213:
193:
141:
89:
8573:
6803:{\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}
4902:
3832:
The limit exists, independent of the initial values
4694:, then the probability of birth during an interval
187:. The number of individuals in the process at time
128:{\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}
9356:
8856:
8674:
8624:
8597:
8560:
8497:
8442:
8369:
8276:
8204:
8184:
8131:
8083:
7976:
7914:
7800:
7634:
7526:
7486:
7446:
7385:
7330:
7253:
7224:
7087:
7003:
6958:
6802:
6719:
6675:
6509:
6307:
6206:
6154:
6093:
6002:
5904:
5835:
5790:
5664:
5584:
5543:
5374:
5257:
5188:
5160:
5100:
5028:
5002:
4962:
4936:
4887:
4819:, and the probability of no birth and no death is
4811:
4760:
4709:
4682:
4644:
4621:
4595:
4572:
4539:
4473:
4264:
4156:
4108:
3987:
3863:
3824:
3801:
3781:
3745:
3663:
3524:
3491:
3464:
3434:
3403:
3194:
3161:
3134:
3108:
3072:
3002:
2923:
2849:
2817:
2490:
2463:
2440:
2413:
2336:
2303:
2227:
2071:
2038:
2011:
1981:
1950:
1724:
1691:
1664:
1639:
1604:{\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}
1603:
1509:
1477:
1406:
1386:
1341:
1296:
1107:
918:
775:
654:
549:
440:
395:
366:
337:
228:
199:
179:
127:
9394:
9366:Transactions of the American Mathematical Society
9131:
8960:Transactions of the American Mathematical Society
8953:"The classification of birth and death processes"
7145:
7132:
6687:Pure death process associated with an M/M/C queue
5555:Pure birth process associated with an M/M/1 queue
448:is assumed to satisfy the following properties:
67:When a birth occurs, the process goes from state
10740:
9882:Stochastic chains with memory of variable length
8277:{\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}
8091:exist. The condition for the existence of these
8017:
4761:{\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}
4540:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}
3706:
2883:
9299:
9293:
9132:Kühnert D, Wu CH, Drummond AJ (December 2011).
8917:
7088:{\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}
4629:. Other transitions during this small interval
180:{\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}
9235:
8632:are defined for the values of index parameter
2414:{\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}
16:Special type of continuous-time Markov process
9471:
2938:analogue of the birth-and-death process (see
9241:
8561:{\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}
7992:A queue is said to be in equilibrium if the
4812:{\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}
3446:The random walk is recurrent if there exist
3090:The random walk is transient if there exist
2906:
2886:
2803:
2757:
2696:
2637:
2576:
2517:
799:
332:
282:
156:
142:
104:
90:
9176:
8498:{\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}
8185:{\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}
5585:{\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }
10010:Autoregressive–moving-average (ARMA) model
9478:
9464:
9125:
9082:
5905:{\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }
5118:, drawn from an infinite population, and
9333:
9218:
9208:
9159:
9149:
9057:
9005:
8983:
8981:
8439:
8366:
8273:
8227:Using the M/M/1 queue as an example, the
7973:
7911:
7797:
7523:
7483:
7443:
7382:
7327:
6955:
6799:
6672:
6506:
6304:
6203:
6151:
6090:
5787:
5661:
5540:
5371:
5254:
5077:
4662:at least one birth and at least one death
4470:
4261:
9485:
8132:{\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}
2498:is defined by the following conditions:
812:Conditions for recurrence and transience
9088:
9036:
8987:
8675:{\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }
8220:parameter. Sometimes it is also called
6033:The M/M/C is a multi-server queue with
5057:
10741:
10316:Doob's martingale convergence theorems
8978:
3676:
2752:
2632:
2512:
2304:{\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}
277:
10068:Constant elasticity of variance (CEV)
10058:Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS)
9459:
9413:
9359:"Bilateral birth and death processes"
3871:and is calculated by the relations:
2934:The random walk described here is a
1478:{\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}
441:{\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}
9432:
9300:Legried B, Terhorst (August 2022).
13:
10555:Skorokhod's representation theorem
10336:Law of large numbers (weak/strong)
9242:Louca S, Pennell MW (April 2020).
8848:
8789:
8763:
8710:
8027:
7826:
7660:
7565:
7186:
7153:
7136:
6828:
6751:
6535:
6333:
6237:
5981:
5690:
5616:
5400:
5304:
5095:
5062:Birth–death processes are used in
4876:
4861:
4842:
4800:
4785:
4749:
4734:
4701:
4674:
4636:
4613:
4587:
4564:
4507:
4290:
4183:
4044:
3716:
1288:
1229:
1203:
1150:
1099:
1040:
1014:
961:
910:
857:
751:
736:
689:
627:
612:
590:
522:
507:
485:
429:
381:
172:
120:
14:
10765:
10525:Martingale representation theorem
9378:10.1090/S0002-9947-1963-0150858-0
9138:Infection, Genetics and Evolution
8994:The American Mathematical Monthly
8972:10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8
8574:Bilateral birth-and-death process
7487:{\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}
4903:Examples of birth-death processes
4664:have the probabilities that are
10570:Stochastic differential equation
10460:Doob's optional stopping theorem
10455:Doob–Meyer decomposition theorem
7268:
5912:, the solution of the system is
5168:and the average service time as
2311:that is defined as follows. Let
792:
396:{\displaystyle \triangle t>0}
374:changes through time. For small
10440:Convergence of random variables
10326:Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
9350:
9037:Abramov, Vyacheslav M. (2022).
8988:Abramov, Vyacheslav M. (2020).
8772:
8766:
7955:
7773:
7419:
7364:
7303:
6916:
6654:
6464:
6191:
6133:
6066:
5760:
5513:
4977:is a birth–death process where
4911:is a birth–death process where
3960:
2749:
2629:
1212:
1206:
1023:
1017:
763:
639:
534:
10038:Binomial options pricing model
9091:Journal of Theoretical Biology
9030:
8941:
8911:
8542:
8530:
8306:
8294:
8173:
8164:
8048:
8042:
8024:
7987:
7946:
7940:
7905:
7899:
7886:
7874:
7868:
7862:
7837:
7831:
7770:
7764:
7751:
7739:
7733:
7727:
7702:
7696:
7671:
7665:
7626:
7620:
7601:
7595:
7576:
7570:
7123:
7117:
7034:
7028:
6992:
6986:
6913:
6907:
6885:
6879:
6857:
6845:
6839:
6833:
6793:
6787:
6762:
6756:
6720:{\displaystyle \mu _{k}=k\mu }
6651:
6645:
6632:
6617:
6611:
6605:
6577:
6571:
6546:
6540:
6461:
6455:
6442:
6427:
6421:
6415:
6393:
6381:
6375:
6369:
6344:
6338:
6298:
6292:
6273:
6267:
6248:
6242:
6022:
5959:
5949:
5940:
5934:
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5860:
5824:
5818:
5757:
5751:
5732:
5726:
5701:
5695:
5655:
5649:
5627:
5621:
5510:
5504:
5491:
5479:
5473:
5467:
5442:
5436:
5411:
5405:
5365:
5359:
5340:
5334:
5315:
5309:
5133:
5114:) queue. This is a queue with
5003:{\displaystyle \lambda _{i}=0}
4882:
4873:
4806:
4797:
4768:, the probability of death is
4755:
4746:
4553:is derived from the system of
4528:
4522:
4440:
4434:
4421:
4395:
4389:
4383:
4345:
4339:
4301:
4295:
4258:
4252:
4226:
4220:
4194:
4188:
4148:
4142:
3855:
3849:
3776:
3770:
3737:
3731:
3713:
3647:
3641:
3633:
3627:
3387:
3381:
3373:
3367:
3323:
3317:
3309:
3303:
2783:
2676:
2556:
2243:
2216:
2210:
2202:
2196:
1939:
1933:
1925:
1919:
1875:
1869:
1861:
1855:
1598:
1595:
1589:
1580:
1572:
1560:
1549:
1543:
1535:
1529:
1472:
1466:
1454:
1448:
1440:
1434:
1381:
1375:
1367:
1361:
757:
748:
733:
707:
695:
686:
633:
624:
596:
587:
528:
519:
491:
482:
435:
426:
361:
355:
323:
317:
310:
300:
288:
269:
263:
223:
217:
29:continuous-time Markov process
1:
10505:Kolmogorov continuity theorem
10341:Law of the iterated logarithm
9388:
9046:Journal of Classical Analysis
9016:10.1080/00029890.2020.1722551
8453:So, taking into account that
8095:probabilities in the case of
7527:{\displaystyle \mu _{K}=0.\,}
7237:that presents the version of
1510:{\displaystyle 2\leq k\leq K}
1387:{\displaystyle \ln _{(K)}(x)}
1121:A birth-and-death process is
932:A birth-and-death process is
828:A birth-and-death process is
62:
10510:Kolmogorov extension theorem
10189:Generalized queueing network
9697:Interacting particle systems
9418:. Harvard University Press.
9210:10.1371/journal.pcbi.1009805
9151:10.1016/j.meegid.2011.08.005
8598:{\displaystyle \lambda _{i}}
7241:depending on time parameter
6969:Under the initial condition
5801:Under the initial condition
5276:that the system is in state
5066:as a prior distribution for
4549:In turn, the last system of
7:
9642:Continuous-time random walk
9357:Pruitt, William E. (1963).
8872:
2850:{\displaystyle \alpha _{n}}
10:
10770:
10650:Extreme value theory (EVT)
10450:Doob decomposition theorem
9742:Ornstein–Uhlenbeck process
9513:Chinese restaurant process
9399:(1st ed.). ASA SIAM.
9189:PLOS Computational Biology
9111:10.1016/j.jtbi.2010.09.010
8951:; McGregor, James (1957).
7004:{\displaystyle p_{C}(0)=1}
6026:
5836:{\displaystyle p_{0}(0)=1}
5137:
4937:{\displaystyle \mu _{i}=0}
4484:and the initial condition
3525:{\displaystyle n>n_{0}}
3195:{\displaystyle n>n_{0}}
2471:, and the distribution of
2072:{\displaystyle n>n_{0}}
1725:{\displaystyle n>n_{0}}
10718:
10622:
10530:Optional stopping theorem
10427:
10389:
10331:Large deviation principle
10298:
10212:
10169:
10136:
10083:Heath–Jarrow–Morton (HJM)
10028:
10020:Moving-average (MA) model
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9985:
9895:
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9812:
9764:Schramm–Loewner evolution
9568:
9493:
9271:10.1038/s41586-020-2176-1
8894:Quasi-birth–death process
6019:is a pure birth process.
6015:That is, a (homogeneous)
5124:exponentially distributed
4580:. During this small time
4157:{\displaystyle p_{k}(t):}
3864:{\displaystyle p_{k}(0),}
800:Recurrence and transience
135:and positive death rates
10445:Doléans-Dade exponential
10275:Progressively measurable
10073:Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
8904:
8625:{\displaystyle \mu _{i}}
6691:Pure death process with
5559:Pure birth process with
5161:{\displaystyle \lambda }
4710:{\displaystyle \Delta t}
4683:{\displaystyle \Delta t}
4645:{\displaystyle \Delta t}
4622:{\displaystyle \Delta t}
4596:{\displaystyle \Delta t}
4573:{\displaystyle \Delta t}
3782:{\displaystyle p_{k}(t)}
3416:where the empty sum for
2942:) with the birth rates
1963:where the empty sum for
1342:{\displaystyle K\geq 1,}
1313:(see Section 4.1.4 from
1311:Extended Bertrand's test
10665:Mathematical statistics
10655:Large deviations theory
10485:Infinitesimal generator
10346:Maximal ergodic theorem
10265:Piecewise-deterministic
9867:Random dynamical system
9732:Markov additive process
9442:38.3143 Queueing Theory
9435:"Birth-death processes"
9326:10.1073/pnas.2119513119
8380:This can be reduced to
7095:we obtain the solution
5101:{\displaystyle \infty }
5029:{\displaystyle i\geq 0}
4963:{\displaystyle i\geq 0}
3465:{\displaystyle K\geq 1}
3442:is assumed to be zero.
3135:{\displaystyle K\geq 1}
2337:{\displaystyle S_{0}=1}
2012:{\displaystyle K\geq 1}
1665:{\displaystyle K\geq 1}
1640:{\displaystyle c>1,}
45:performance engineering
27:) is a special case of
25:birth-and-death process
10500:Karhunen–Loève theorem
10435:Cameron–Martin formula
10399:Burkholder–Davis–Gundy
9794:Variance gamma process
9068:10.7153/jca-2022-19-09
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8814:
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8714:
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7448:
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5078:Use in queueing theory
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4511:
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965:
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397:
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339:
236:. The process has the
230:
201:
181:
129:
10630:Actuarial mathematics
10592:Uniform integrability
10587:Stratonovich integral
10515:Lévy–Prokhorov metric
10419:Marcinkiewicz–Zygmund
10306:Central limit theorem
9908:Gaussian random field
9737:McKean–Vlasov process
9657:Dyson Brownian motion
9518:Galton–Watson process
9414:Nowak, M. A. (2006).
8859:
8794:
8773:
8715:
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202:
182:
130:
10705:Time series analysis
10660:Mathematical finance
10545:Reflection principle
9872:Regenerative process
9672:Fleming–Viot process
9487:Stochastic processes
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5058:Use in phylodynamics
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10700:Stochastic analysis
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10470:Feynman–Kac formula
9940:Markov random field
9588:Birth–death process
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8139:and in the case of
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5245: for all
5126:service times with
4658:more than one death
4654:more than one birth
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4187:
3677:Stationary solution
3435:{\displaystyle K=1}
1982:{\displaystyle K=1}
21:birth–death process
10670:Probability theory
10550:Skorokhod integral
10520:Malliavin calculus
10103:Korn-Kreer-Lenssen
9987:Time series models
9950:Pitman–Yor process
8935:10.1007/BF01602932
8923:Acta Biotheoretica
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2046:such that for all
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10404:Doob's martingale
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10311:Donsker's theorem
10245:Feller-continuous
10113:Rendleman–Bartter
9903:Dirichlet process
9820:Branching process
9789:Telegraph process
9682:Geometric process
9662:Empirical process
9652:Diffusion process
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1420:natural logarithm
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1009:
905:
403:, the function
200:{\displaystyle t}
10761:
10754:Markov processes
10710:Machine learning
10597:Usual hypotheses
10480:Girsanov theorem
10465:Dynkin's formula
10230:Continuous paths
10138:Actuarial models
10078:Garman–Kohlhagen
10048:Black–Karasinski
10043:Black–Derman–Toy
10030:Financial models
9896:Fields and other
9825:Gaussian process
9774:Sigma-martingale
9578:Additive process
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