1080:
2502:
4386:
11420:
3968:
8365:
1790:
7022:
2036:
10931:
5005:
is the highest-indexed negative term. The first expression on the right is a partial sum which will be finite, and so the convergence of the entire series will be determined by the convergence properties of the second expression on the right, which may be re-indexed to form a series of all positive
12771:
A new version of Kummer's test was established by Tong. See also for further discussions and new proofs. The provided modification of Kummer's theorem characterizes all positive series, and the convergence or divergence can be formulated in the form of two necessary and sufficient conditions, one
8643:
10916:
8122:
4381:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.}
10606:
14033:
3474:
5319:. This term can replace the former term in the definition of the test parameters and the conclusions drawn will remain the same. Accordingly, there will be no distinction drawn between references which use one or the other form of the test parameter.
10140:
1624:
10014:
3139:
7753:
This extension probably appeared at the first time by
Margaret Martin in 1941. A short proof based on Kummer's test and without technical assumptions (such as existence of the limits, for example) was provided by Vyacheslav Abramov in 2019.
6838:
10281:
6843:
11415:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}
9379:
6581:
4993:
1877:
7110:
15888:
15066:
14984:
12247:
15806:
14908:
9195:
14206:
7441:
3777:
2605:
14826:
15465:
14574:
14492:
12717:
11908:
11732:
1173:
12975:
6343:
16054:
11476:
2487:
8432:
5837:
5419:
16508:
13177:
12376:
13712:
13241:
16398:
13776:
13648:
13443:
1377:
1309:
2944:
2810:
16284:
5747:
3930:
2233:
16338:
4545:
10697:
1457:
15971:
15548:
12761:
8863:
7595:
5576:
2157:
1866:
11983:
8360:{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}
1613:
3042:
15182:
12134:
9850:
9799:
5696:
4783:
3218:
2303:
118:
10735:
13833:
12440:
9683:
9627:
8941:
8043:
7651:
5632:
9739:
9570:
5017:) which specifies the behavior of that parameter needed to establish convergence or divergence. For each test, a weaker form of the test exists which will instead place restrictions upon lim
16172:
15300:
10474:
12605:
6160:
4674:
4616:
13908:
3607:
1035:
13498:
13296:
13027:
12822:
10373:
5317:
5192:
4849:
As seen in the previous example, the ratio test may be inconclusive when the limit of the ratio is 1. Extensions to the ratio test, however, sometimes allow one to deal with this case.
4726:
4434:
3688:
2381:
15124:
14632:
11596:
10436:
6410:
13917:
7237:
16131:
15259:
2098:
9052:
9014:
7740:
7702:
7149:
6052:
6016:
5939:
5873:
3308:
10467:
12072:
7917:
3533:
16096:
15645:
15610:
15224:
14709:
14674:
1785:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}
16430:
14101:
9888:
6098:
15680:
15354:
14744:
14330:
14279:
10035:
2416:
15722:
14373:
12510:
9514:
9445:
8771:
8709:
7525:
7485:
6219:
5506:
5466:
2749:
14070:
12562:
11557:
9478:
2982:
2676:
9916:
8889:
8094:
7949:
7826:
5240:
3303:
16568:
16540:
13563:
13361:
13092:
12887:
11774:
11516:
6705:
5980:
3559:
3244:
9256:
3963:
2843:
2709:
14414:
13525:
13323:
13054:
12849:
12469:
9228:
7319:
6663:
5903:
4476:
3842:
3500:
3047:
17212:
16596:
8424:
7017:{\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}
6750:
5115:
14232:
12280:
12009:
11803:
11645:
10161:
8970:
7781:
7263:
6607:
6245:
3640:
2638:
1502:
12631:
12536:
9412:
8797:
8735:
8676:
7289:
7175:
6633:
6186:
2031:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}
16231:
15381:
13874:
4835:
3804:
3264:
2863:
9285:
8394:
6415:
4876:
7027:
6668:
The proof of the other half is entirely analogous, with most of the inequalities simply reversed. We need a preliminary inequality to use in place of the simple
2493:= 1, the series may converge or diverge: the ratio test is inconclusive. In such cases, more refined tests are required to determine convergence or divergence.
2326:
16201:
15573:
12029:
11616:
10721:
8114:
7846:
6745:
6725:
6118:
4803:
3159:
2883:
15814:
14992:
14916:
18392:
12149:
15732:
14834:
9107:
14106:
7346:
3699:
2527:
14758:
15391:
14500:
18380:
14424:
17155:
12636:
11810:
11652:
1098:
12892:
8638:{\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}
6250:
1221:= 1 or the limit fails to exist, then the test is inconclusive, because there exist both convergent and divergent series that satisfy this case.
15979:
11435:
2421:
5763:
5345:
16438:
13097:
12287:
18502:
18387:
13653:
13182:
16343:
13720:
214:
13568:
13366:
18370:
18365:
1315:
1247:
18375:
18360:
17474:
2888:
2754:
17662:
17254:
17029:
16239:
5703:
3847:
2163:
16289:
18355:
4481:
10617:
1401:
15896:
15473:
12722:
8813:
7545:
5526:
2104:
1813:
17972:
17726:
17443:
17370:
17348:
17321:
11916:
10911:{\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}
1563:
2987:
15132:
12080:
9806:
9755:
5652:
4870:. These tests also may be applied to any series with a finite number of negative terms. Any such series may be written as:
4733:
3168:
2253:
475:
455:
16745:
Tong, Jingcheng (May 1994). "Kummer's Test Gives
Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series".
7151:. Arguing as in the first paragraph, using the inequality established in the previous paragraph, we see that there exists
13781:
12388:
12074:
is monotonically decreasing and positive which in particular implies that it is bounded below by 0. Therefore, the limit
9639:
9583:
8897:
7954:
7607:
5588:
17524:
10601:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}
9688:
9519:
951:
514:
37:
18470:
18329:
16933:(Bachelor's thesis). Katedra Informatiky, Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského, Bratislava
470:
193:
16138:
15266:
9899:
All of the tests in De Morgan's hierarchy except Gauss's test can easily be seen as special cases of Kummer's test:
2640:
has infinite non-zero members, otherwise the series is just a finite sum hence it converges. Then there exists some
17884:
17800:
460:
16957:Ďuriš, František (2 February 2018). "On Kummer's test of convergence and its relation to basic comparison tests".
12567:
6123:
4621:
4550:
18465:
18397:
18022:
17877:
17845:
17604:
16697:
14028:{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}
13879:
5032:. In fact, no convergence test can fully describe the convergence properties of the series. This is because if Σa
3564:
989:
791:
465:
445:
127:
13455:
13253:
12984:
12779:
10290:
5245:
5120:
4683:
4391:
3645:
2331:
18098:
18075:
17790:
15074:
14582:
11562:
10381:
6348:
3469:{\displaystyle |a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|}
7664:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will:
7180:
5645:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will:
18188:
18126:
17921:
17795:
17467:
17426:
17408:
17390:
16103:
15231:
9748:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series will
2059:
573:
520:
406:
9021:
8983:
7709:
7671:
7118:
6021:
5985:
5908:
5842:
17674:
17652:
10445:
4677:
232:
204:
18497:
12034:
7859:
3505:
315:
18482:
18248:
17862:
17684:
17421:
17403:
17385:
16068:
15617:
15582:
15196:
14681:
14646:
10135:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}
8976:
When the above limit does not exist, it may be possible to use limits superior and inferior. The series
2247:
824:
437:
275:
247:
17380:
18528:
17867:
17637:
17290:
17170:
16403:
14078:
9855:
6057:
1060:
695:
659:
441:
320:
209:
199:
17416:
15652:
15318:
14750:
If the above limits do not exist, it may be possible to use the limits superior and inferior. Define:
14716:
14288:
14237:
10009:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}
2386:
18286:
18233:
17398:
16792:
15689:
14338:
12478:
9486:
9417:
8743:
8681:
7497:
7457:
6191:
5478:
5438:
2714:
2239:
17694:
14038:
12541:
11529:
11483:
Note that for these four tests, the higher they are in the De Morgan hierarchy, the more slowly the
9450:
2949:
2643:
300:
18402:
18173:
17721:
17460:
17064:
Abramov, Vyacheslav M. (May 2020). "Extension of the
Bertrand–De Morgan test and its application".
16928:
8868:
8051:
7922:
7786:
5197:
3269:
3134:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r}
1237:
are used. The test criteria can also be refined so that the test is sometimes conclusive even when
594:
159:
16891:
16547:
16519:
15686:
If the above limits do not exist, it may be possible to use the limits superior and inferior. For
13530:
13328:
13059:
12854:
11740:
11486:
6833:{\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
6671:
5947:
3538:
3223:
18168:
17840:
9235:
9061:
3935:
2815:
2681:
908:
700:
589:
16724:
14386:
13503:
13301:
13032:
12827:
12448:
10276:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}
9207:
7294:
6638:
5878:
4443:
3809:
3479:
2505:
In this example, the ratio of adjacent terms in the blue sequence converges to L=1/2. We choose
18296:
18178:
17999:
17947:
17753:
17731:
17599:
16575:
12382:
8402:
5093:
944:
873:
834:
718:
654:
578:
18422:
18281:
18193:
17850:
17785:
17758:
17748:
17669:
17657:
17642:
17614:
16613:
14211:
12256:
11988:
11779:
11621:
8949:
7760:
7242:
6586:
6224:
5028:
All of the tests have regions in which they fail to describe the convergence properties of Σa
3612:
2610:
1470:
918:
584:
360:
305:
266:
172:
12610:
12515:
9391:
9374:{\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}
8776:
8714:
8655:
7268:
7154:
6612:
6576:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}
6165:
4988:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}
18238:
17857:
17704:
17336:
16209:
15359:
13852:
9073:
7105:{\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}
5072:) = 0. Convergence tests essentially use the comparison test on some particular family of a
4808:
3782:
3249:
2848:
1200:
981:
923:
903:
829:
498:
422:
396:
310:
17294:
8:
18258:
18183:
18070:
18027:
17778:
17763:
17594:
17582:
17569:
17529:
17509:
17149:
13842:
Another ratio test that can be set in the framework of Kummer's theorem was presented by
8373:
5336:
1088:
898:
868:
858:
745:
599:
401:
257:
140:
135:
17340:
15883:{\displaystyle \ell _{k}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
15061:{\displaystyle \ell _{1}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
2308:
18347:
18322:
18153:
18106:
18047:
18012:
18007:
17987:
17982:
17977:
17942:
17889:
17872:
17773:
17647:
17632:
17577:
17544:
17193:
17135:
17091:
17073:
16958:
16857:
16812:
16762:
16186:
15558:
12141:
12014:
11601:
10706:
8099:
7831:
7334:
6730:
6710:
6103:
5084:
4788:
3144:
2868:
863:
766:
750:
690:
685:
680:
644:
525:
449:
355:
350:
154:
149:
14979:{\displaystyle \ell _{0}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
1079:
18487:
18311:
18243:
18065:
18042:
17916:
17909:
17812:
17627:
17519:
17439:
17366:
17344:
17317:
17197:
17110:
17095:
17004:
16979:
16634:
12242:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}
7853:
977:
973:
937:
771:
549:
432:
385:
242:
237:
17049:
16816:
15801:{\displaystyle L_{k}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
14903:{\displaystyle L_{1}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
9190:{\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}
2509: = (L+1)/2 = 3/4. Then the blue sequence is dominated by the red sequence
18445:
18228:
18141:
18121:
18052:
17962:
17904:
17896:
17830:
17743:
17504:
17499:
17266:
17185:
17083:
17044:
17007:
16849:
16808:
16804:
16754:
14201:{\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}
7436:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}
4437:
3772:{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}
2600:{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}
1211:
781:
675:
649:
510:
427:
391:
17087:
14821:{\displaystyle L_{0}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
1225:
It is possible to make the ratio test applicable to certain cases where the limit
18507:
18492:
18276:
18131:
18111:
18080:
18057:
18037:
17931:
17587:
17534:
17113:
15460:{\displaystyle L_{k}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}
14569:{\displaystyle L_{1}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}
7330:
913:
786:
740:
735:
622:
535:
480:
16982:
5327:
The first test in the De Morgan hierarchy is the ratio test as described above.
18417:
18316:
18163:
18116:
18017:
17820:
17313:
17305:
16637:
14487:{\displaystyle L_{0}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}
3691:
3162:
1234:
1230:
1045:
796:
604:
376:
17835:
18522:
18291:
18146:
18032:
17736:
17711:
12712:{\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}
11903:{\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}
10724:
10700:
10376:
2243:
776:
540:
295:
252:
17134:
Abramov, Vyacheslav, M. (21 June 2021). "A simple proof of Tong's theorem".
11727:{\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}
5040:
can be found which converges more slowly: i.e., it has the property that lim
1168:{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.}
18301:
18271:
18136:
17699:
17358:
16892:"The mth Ratio Convergence Test and Other Unconventional Convergence Tests"
16720:
14333:
12970:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}
9267:
6338:{\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}
5060:
can be found which diverges more slowly: i.e., it has the property that lim
530:
280:
17549:
17491:
16049:{\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{m-1})}
13843:
11471:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}
2482:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
1041:
965:
893:
17189:
5832:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}
5414:{\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}
18266:
17952:
17825:
17689:
17679:
17622:
16861:
16766:
16503:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}
5424:(and some extra terms, see Ali, Blackburn, Feld, Duris (none), Duris2)
639:
290:
285:
189:
13172:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}
12371:{\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}
2250:) converges conditionally. However, the term-by-term magnitude ratios
18460:
18208:
18203:
17514:
17271:
17118:
17012:
16987:
16642:
16608:
13707:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}
13236:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}
7849:
1540:. So the original ratio test is a weaker version of the refined one.
568:
558:
16853:
16758:
16393:{\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}
13771:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }
18455:
17957:
17483:
17140:
17078:
16963:
2517:≥ 2. The red sequence converges, so the blue sequence does as well.
2501:
634:
381:
338:
27:
13643:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}
13438:{\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}
18306:
17559:
4618:
is a finite sum and hence it is bounded, this implies the series
1372:{\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
1304:{\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
5076:, and fail for sequences which converge or diverge more slowly.
2521:
Below is a proof of the validity of the generalized ratio test.
18475:
17539:
15315:
This test is a direct extension of the second ratio test. For
2939:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell }
2805:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell }
17554:
16279:{\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}
13246:
The first of these statements can be simplified as follows:
5742:{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}
3925:{\displaystyle |a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|}
2228:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}
17002:
16333:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}
17452:
4540:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}}
3779:. Similiar to the above case, we may find a natural number
17108:
13298:
converges if and only if there exists a positive sequence
12824:
converges if and only if there exists a positive sequence
10692:{\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}
1452:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}
17030:"A sequence of limit tests for the convergence of series"
16977:
16840:
Samelson, Hans (November 1995). "More on Kummer's Test".
15966:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}
15543:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}
13500:
diverges if and only if there exists a positive sequence
13029:
diverges if and only if there exists a positive sequence
14383:
A more refined ratio test is the second ratio test: For
12756:{\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}
8858:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
7590:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
5571:{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
2152:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}
1861:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}
16897:. University of Washington College of Arts and Sciences
12766:
11978:{\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}
9279:
be an auxiliary sequence of positive constants. Define
1795:
Since this limit is less than 1, the series converges.
1608:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
3037:{\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}
17234:
Stark, Marceli (1949). "On the ratio test of Frink".
16793:"The mth Ratio Test: New Convergence Test for Series"
16578:
16550:
16522:
16441:
16406:
16346:
16292:
16242:
16212:
16189:
16141:
16106:
16071:
15982:
15899:
15817:
15735:
15692:
15655:
15620:
15585:
15561:
15476:
15394:
15362:
15321:
15269:
15234:
15199:
15177:{\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1})}
15135:
15077:
14995:
14919:
14837:
14761:
14719:
14684:
14649:
14585:
14503:
14427:
14389:
14341:
14291:
14240:
14214:
14109:
14081:
14041:
13920:
13882:
13855:
13784:
13723:
13656:
13571:
13533:
13506:
13458:
13369:
13331:
13304:
13256:
13185:
13100:
13062:
13035:
12987:
12895:
12857:
12830:
12782:
12725:
12639:
12613:
12570:
12544:
12518:
12481:
12451:
12391:
12290:
12259:
12152:
12129:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}
12083:
12037:
12017:
11991:
11919:
11813:
11782:
11743:
11655:
11624:
11604:
11565:
11532:
11489:
11438:
10934:
10738:
10709:
10620:
10477:
10448:
10384:
10293:
10164:
10038:
9919:
9858:
9845:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}
9809:
9794:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}
9758:
9691:
9642:
9586:
9522:
9489:
9453:
9447:
for all n>N. (Note this is not the same as saying
9420:
9394:
9288:
9238:
9210:
9110:
9024:
8986:
8952:
8900:
8871:
8816:
8779:
8746:
8717:
8684:
8658:
8435:
8405:
8376:
8125:
8102:
8054:
7957:
7925:
7862:
7834:
7789:
7763:
7712:
7674:
7610:
7548:
7500:
7460:
7349:
7297:
7271:
7245:
7183:
7157:
7121:
7030:
6846:
6753:
6733:
6713:
6674:
6641:
6615:
6589:
6418:
6351:
6253:
6227:
6194:
6168:
6126:
6106:
6060:
6024:
5988:
5950:
5911:
5881:
5845:
5766:
5706:
5691:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}
5655:
5591:
5529:
5481:
5441:
5348:
5248:
5200:
5123:
5096:
4879:
4811:
4791:
4778:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
4736:
4686:
4624:
4553:
4484:
4446:
4394:
3971:
3938:
3850:
3812:
3785:
3702:
3648:
3615:
3567:
3541:
3508:
3482:
3311:
3272:
3252:
3226:
3213:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
3171:
3147:
3050:
2990:
2952:
2891:
2871:
2851:
2818:
2757:
2717:
2684:
2646:
2613:
2530:
2424:
2389:
2334:
2311:
2298:{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
2256:
2166:
2107:
2062:
1880:
1816:
1627:
1566:
1473:
1404:
1318:
1250:
1101:
992:
40:
16632:
16178:
13828:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}
12435:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}
10442:, which is negligible compared to the other terms,
17171:"Evaluating the sum of convergent positive series"
16590:
16562:
16534:
16502:
16424:
16392:
16332:
16278:
16225:
16195:
16166:
16125:
16090:
16048:
15965:
15882:
15800:
15716:
15674:
15639:
15604:
15567:
15542:
15459:
15375:
15348:
15294:
15253:
15218:
15176:
15118:
15060:
14978:
14902:
14820:
14738:
14703:
14668:
14626:
14568:
14486:
14408:
14367:
14324:
14273:
14226:
14200:
14095:
14064:
14027:
13902:
13868:
13827:
13770:
13706:
13642:
13557:
13519:
13492:
13448:The second statement can be simplified similarly:
13437:
13355:
13317:
13290:
13235:
13171:
13086:
13048:
13021:
12969:
12881:
12843:
12816:
12755:
12711:
12625:
12599:
12556:
12530:
12504:
12463:
12434:
12370:
12274:
12241:
12128:
12066:
12023:
12003:
11977:
11902:
11797:
11768:
11726:
11639:
11610:
11590:
11551:
11510:
11470:
11414:
10923:where the empty product is assumed to be 1. Then,
10910:
10715:
10691:
10600:
10461:
10430:
10367:
10275:
10134:
10008:
9882:
9844:
9793:
9733:
9678:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}
9677:
9622:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}
9621:
9564:
9508:
9472:
9439:
9406:
9373:
9250:
9222:
9189:
9046:
9008:
8964:
8936:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
8935:
8883:
8857:
8791:
8765:
8729:
8703:
8670:
8637:
8418:
8388:
8359:
8108:
8088:
8038:{\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}
8037:
7943:
7911:
7840:
7820:
7775:
7734:
7696:
7646:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
7645:
7589:
7519:
7479:
7435:
7313:
7283:
7257:
7231:
7169:
7143:
7104:
7016:
6832:
6739:
6719:
6699:
6657:
6627:
6601:
6575:
6404:
6337:
6239:
6213:
6180:
6154:
6112:
6092:
6046:
6010:
5974:
5944:The proof proceeds essentially by comparison with
5933:
5897:
5867:
5831:
5741:
5690:
5627:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}
5626:
5570:
5500:
5460:
5413:
5311:
5234:
5186:
5109:
4987:
4829:
4797:
4777:
4720:
4668:
4610:
4539:
4470:
4428:
4380:
3957:
3924:
3836:
3798:
3771:
3682:
3634:
3601:
3553:
3527:
3494:
3468:
3297:
3258:
3238:
3212:
3153:
3133:
3036:
2976:
2938:
2877:
2857:
2837:
2804:
2743:
2703:
2670:
2632:
2599:
2481:
2410:
2375:
2320:
2297:
2227:
2151:
2092:
2030:
1860:
1784:
1607:
1496:
1451:
1371:
1303:
1167:
1029:
112:
14375:, and can be seen to be related to Raabe's test.
14174:
14112:
14001:
13939:
13717:However, it becomes useless, since the condition
9734:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}
9565:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}
9060:For applications of Extended Bertrand's test see
8648:Extended Bertrand's test asserts that the series
18520:
16702:An Introduction To The Theory of Infinite Series
16443:
16354:
16294:
15989:
15906:
15832:
15750:
15483:
15409:
15142:
15084:
15010:
14934:
14852:
14776:
14592:
14518:
14442:
13922:
12085:
9811:
9760:
9644:
9588:
9025:
8987:
8902:
8824:
7713:
7675:
7612:
7556:
7122:
6133:
6025:
5989:
5912:
5846:
5708:
5657:
5593:
5537:
5117:) below all generally involve terms of the form
3710:
3052:
2538:
2426:
1945:
1888:
1692:
1635:
1618:Applying the ratio test, one computes the limit
1398:> 1, the series diverges; or equivalently if
1328:
1325:
1260:
1257:
1109:
113:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
17433:
16885:
16883:
16881:
16879:
16877:
16875:
16873:
16871:
2242:) diverges, the second (the one central to the
17289:
16835:
16833:
16692:
16690:
16688:
16686:
16684:
16682:
16680:
16678:
16167:{\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}
15295:{\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}
7748:
7446:Bertrand's test asserts that the series will:
1548:
17468:
17365:(3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc.,
17217:Bulletin of the American Mathematical Society
17037:Bulletin of the American Mathematical Society
5322:
2044:
1798:
1467:), the series also diverges; this is because
945:
17438:(4th ed.), Cambridge University Press,
17154:: CS1 maint: multiple names: authors list (
16952:
16950:
16948:
16922:
16920:
16918:
16916:
16914:
16912:
16868:
13897:
13891:
12772:for convergence and another for divergence.
12600:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }
6155:{\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}
5036:is convergent, a second convergent series Σb
4669:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}
4611:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|}
1087:The usual form of the test makes use of the
17253:Ali, Sayel; Cohen, Marion Deutsche (2012).
17162:
17127:
16830:
16675:
14639:By the second ratio test, the series will:
13903:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}
13778:in this case reduces to the original claim
9384:Kummer's test states that the series will:
4728:converges by the absolute convergence test.
3602:{\displaystyle \left|a_{n_{0}}\right|>0}
2865:exists then there exists arbitrarily large
1030:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}
17475:
17461:
16740:
16738:
16736:
14378:
13493:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
13291:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
13022:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
12817:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
10368:{\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}
5839:, we need not assume the limit exists; if
5312:{\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}
5187:{\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}
5056:is divergent, a second divergent series Σb
4721:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
4429:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}}
3683:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
2489:is equal to 1. This illustrates that when
2376:{\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}
2246:) converges absolutely and the third (the
1059:is large. The test was first published by
952:
938:
18503:Regiomontanus' angle maximization problem
17270:
17227:
17204:
17139:
17077:
17048:
16962:
16945:
16909:
16889:
16786:
16784:
16782:
16780:
16778:
16776:
16726:Theory and Application of Infinite Series
16266:
16251:
15119:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}
14627:{\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}
14089:
13884:
12011:which means that starting from the index
11591:{\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}
11521:
10431:{\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}
6405:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}
5087:proposed a hierarchy of ratio-type tests
4852:In all the tests below one assumes that Σ
73:
16:Criterion for the convergence of a series
18346:
17434:Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963),
17252:
16839:
16696:
9576:For the limit version, the series will:
8426:can be presented explicitly in the form
8396:, the test reduces to Bertrand's test.)
8370:(The empty sum is assumed to be 0. With
7538:For the limit version, the series will:
7232:{\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}
6120:, so the sum diverges; assume then that
5755:
5519:For the limit version, the series will:
2678:such that there exists a natural number
2500:
1391:< 1, the series converges absolutely;
1078:
17851:Differentiating under the integral sign
17304:
17178:Publications de l'Institut Mathématique
17168:
17133:
17063:
17057:
17021:
16733:
16715:
16713:
16711:
16669:
16126:{\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}
15306:
15254:{\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}
14285:This result reduces to a comparison of
8116:is large, can be presented in the form
4840:
2093:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}
476:Differentiating under the integral sign
18521:
17027:
16773:
9047:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
9009:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
7735:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
7697:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
7144:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
6047:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}
6011:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
5934:{\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}
5868:{\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}
5079:
4837:, this gives the original ratio test.
17727:Inverse functions and differentiation
17456:
17357:
17330:
17233:
17210:
17109:
17003:
16978:
16956:
16926:
16719:
16657:
16633:
13837:
10462:{\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}
7324:
5013:Each test defines a test parameter (ρ
3141:, but this contradicts the fact that
16744:
16708:
12767:Tong's modification of Kummer's test
12067:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}
9056:Otherwise, the test is inconclusive.
8802:Otherwise, the test is inconclusive.
7912:{\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}
7744:Otherwise, the test is inconclusive.
7534:Otherwise, the test is inconclusive.
5751:Otherwise, the test is inconclusive.
5515:Otherwise, the test is inconclusive.
3528:{\displaystyle \ell ^{n}\to \infty }
1504:is nonzero and increasing and hence
1092:
17363:Principles of Mathematical Analysis
17169:Abramov, Vyacheslav M. (May 2022).
16790:
16233:is a positive decreasing sequence.
16091:{\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}
15640:{\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}
15605:{\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}
15219:{\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}
14704:{\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}
14669:{\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}
9261:
8806:For the limit version, the series
1514:the test is otherwise inconclusive.
1083:Decision diagram for the ratio test
13:
17525:Free variables and bound variables
16930:Infinite series: Convergence tests
16453:
16364:
16304:
15842:
15760:
15419:
15020:
14944:
14862:
14786:
14528:
14452:
13932:
13819:
13801:
13765:
13740:
13698:
13673:
13475:
13273:
13227:
13202:
13004:
12799:
12538:. In particular, there exists an
12408:
12169:
12095:
10614:For Extended Bertrand's test, let
9821:
9770:
9744:Otherwise the test is inconclusive
9708:
9654:
9598:
9539:
9067:
8912:
8878:
8834:
7622:
7566:
5718:
5667:
5603:
5547:
5330:
4970:
4896:
4703:
4641:
4501:
4411:
4360:
4204:
4096:
3988:
3720:
3665:
3548:
3522:
3233:
3062:
3029:
2548:
2436:
2183:
2124:
2079:
1955:
1898:
1871:Putting this into the ratio test:
1833:
1702:
1645:
1583:
1119:
1009:
22:Part of a series of articles about
14:
18540:
18330:The Method of Mechanical Theorems
17066:The American Mathematical Monthly
16842:The American Mathematical Monthly
16797:The American Mathematical Monthly
16747:The American Mathematical Monthly
16626:
16425:{\displaystyle 0<\alpha <1}
16183:This test is an extension of the
14096:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
13888:
11598:. There exists a natural number
9883:{\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}
6093:{\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}
5194:. This term may be multiplied by
2984:, then we can find a subsequence
1383:Then the ratio test states that:
17885:Partial fractions in integration
17801:Stochastic differential equation
17335:, New York: Dover Publications,
16729:. London: Blackie & Son Ltd.
16598:, then the test is inconclusive.
16179:Ali--Deutsche Cohen φ-ratio test
16174:, then the test is inconclusive.
15675:{\displaystyle L={\frac {1}{m}}}
15575:th ratio test, the series will:
15349:{\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}
14739:{\displaystyle L={\frac {1}{2}}}
14325:{\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}
14274:{\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}
12385:for positive series, the series
12140:This implies that the positive
9894:
2411:{\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}
18023:Jacobian matrix and determinant
17878:Tangent half-angle substitution
17846:Fundamental theorem of calculus
17299:, vol. V, pp. 171–183
17246:
17102:
17050:10.1090/S0002-9904-1941-07477-X
16996:
16971:
15717:{\displaystyle 0\leq k\leq m-1}
14368:{\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}
12505:{\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}
9509:{\displaystyle \rho _{n}\leq 0}
9440:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
9097:can be found such that for all
8766:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
8704:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
8347:
7520:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
7480:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
6214:{\displaystyle \rho _{n}\leq R}
5501:{\displaystyle \rho _{n}\leq 1}
5461:{\displaystyle \rho _{n}\geq c}
2744:{\displaystyle a_{n_{0}}\neq 0}
18099:Arithmetico-geometric sequence
17791:Ordinary differential equation
16890:Blackburn, Kyle (4 May 2012).
16809:10.1080/00029890.2008.11920558
16663:
16651:
16474:
16468:
16450:
16384:
16378:
16361:
16324:
16318:
16301:
16261:
16043:
15992:
15960:
15909:
15839:
15757:
15682:then the test is inconclusive.
15537:
15486:
15416:
15302:then the test is inconclusive.
15171:
15145:
15113:
15087:
15017:
14941:
14859:
14783:
14746:then the test is inconclusive.
14621:
14595:
14525:
14449:
14318:
14303:
14267:
14252:
14164:
14149:
14142:
14121:
14065:{\displaystyle \sum _{n}a_{n}}
13991:
13976:
13969:
13948:
13929:
12557:{\displaystyle \epsilon >0}
12092:
11552:{\displaystyle \rho _{n}>0}
11406:
11400:
11385:
11379:
11371:
11353:
11254:
11248:
11240:
11234:
11199:
11193:
11171:
11165:
11157:
11151:
11104:
11098:
11090:
11084:
11045:
11033:
10997:
10991:
10983:
10977:
10868:
10862:
10854:
10848:
10801:
10795:
10787:
10781:
10770:
10758:
10750:
10744:
10683:
10677:
10669:
10663:
10570:
10564:
10506:
10500:
10414:
10411:
10391:
10362:
10342:
10330:
10324:
10312:
10300:
10270:
10258:
10249:
10237:
10193:
10187:
10105:
10093:
9818:
9767:
9651:
9595:
9473:{\displaystyle \rho _{n}>0}
8909:
8831:
8629:
8623:
8615:
8597:
8498:
8492:
8484:
8478:
8338:
8332:
8324:
8318:
8267:
8261:
8253:
8247:
8032:
8029:
8023:
8014:
8006:
7994:
7983:
7977:
7969:
7963:
7906:
7900:
7888:
7882:
7874:
7868:
7815:
7809:
7801:
7795:
7660:= 1, the test is inconclusive.
7619:
7563:
7011:
7005:
6996:
6990:
6975:
6969:
6537:
6531:
6493:
6459:
5715:
5664:
5641:= 1, the test is inconclusive.
5600:
5544:
4662:
4647:
4604:
4589:
4465:
4453:
4312:
4297:
4255:
4233:
4174:
4159:
4117:
4102:
4066:
4051:
4009:
3994:
3867:
3852:
3831:
3819:
3717:
3629:
3616:
3545:
3519:
3399:
3378:
3360:
3339:
3328:
3313:
3230:
3059:
2977:{\displaystyle \ell \in (1;r)}
2971:
2959:
2671:{\displaystyle \ell \in (1;r)}
2665:
2653:
2627:
2614:
2545:
2433:
2418:. So, in all three, the limit
2361:
2348:
2201:
2191:
1952:
1895:
1699:
1642:
1490:
1475:
1116:
107:
101:
92:
86:
70:
64:
1:
17922:Integro-differential equation
17796:Partial differential equation
17333:Infinite Sequences and Series
17283:
17211:Frink, Orrin (October 1948).
17088:10.1080/00029890.2020.1722551
8884:{\displaystyle \rho =\infty }
8652:Converge when there exists a
8089:{\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}
7944:{\displaystyle 2\leq k\leq K}
7821:{\displaystyle \ln _{(K)}(x)}
7450:Converge when there exists a
5431:Converge when there exists a
5235:{\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}
3298:{\displaystyle n\geq n_{0}+1}
2383: and
407:Integral of inverse functions
17482:
16619:
16563:{\displaystyle L>\alpha }
16535:{\displaystyle L<\alpha }
13558:{\displaystyle n=1,2,\dots }
13356:{\displaystyle n=1,2,\dots }
13087:{\displaystyle n=1,2,\dots }
12882:{\displaystyle n=1,2,\dots }
12719:diverges by comparison with
11769:{\displaystyle a_{n+1}>0}
11511:{\displaystyle 1/\zeta _{n}}
6700:{\displaystyle 1+t<e^{t}}
5975:{\displaystyle \sum 1/n^{R}}
4678:monotone convergence theorem
3554:{\displaystyle n\to \infty }
3246:, implying the existence of
3239:{\displaystyle n\to \infty }
1463:(regardless of the value of
1241:= 1. More specifically, let
1191:The ratio test states that:
7:
18076:Generalized Stokes' theorem
17863:Integration by substitution
17436:A Course in Modern Analysis
17422:Encyclopedia of Mathematics
17404:Encyclopedia of Mathematics
17386:Encyclopedia of Mathematics
16602:
11559:then fix a positive number
9388:Converge if there exists a
9251:{\displaystyle \rho \leq 1}
8972:, the test is inconclusive.
7749:4. Extended Bertrand's test
5090:The ratio test parameters (
3958:{\displaystyle n\geq n_{1}}
2838:{\displaystyle n\geq n_{0}}
2704:{\displaystyle n_{0}\geq 2}
2248:alternating harmonic series
1543:
1524:
1181:
1074:
825:Calculus on Euclidean space
248:Logarithmic differentiation
10:
18545:
17605:(ε, δ)-definition of limit
14409:{\displaystyle a_{n}>0}
13520:{\displaystyle \zeta _{n}}
13318:{\displaystyle \zeta _{n}}
13049:{\displaystyle \zeta _{n}}
12844:{\displaystyle \zeta _{n}}
12464:{\displaystyle \rho <0}
10148:For Bertrand's test, let ζ
9223:{\displaystyle \rho >1}
7314:{\displaystyle \sum a_{n}}
6707:that was used above: Fix
6658:{\displaystyle \sum a_{n}}
5898:{\displaystyle \sum a_{n}}
5323:1. d'Alembert's ratio test
4471:{\displaystyle c\in (0;1)}
3837:{\displaystyle c\in (R;1)}
3495:{\displaystyle \ell >1}
3266:. Then we notice that for
2053:Consider the three series
2041:Thus the series diverges.
1063:and is sometimes known as
18498:Proof that 22/7 exceeds π
18435:
18413:
18339:
18287:Gottfried Wilhelm Leibniz
18257:
18234:e (mathematical constant)
18219:
18091:
17998:
17930:
17811:
17613:
17568:
17490:
17028:Martin, Margaret (1941).
16927:Ďuriš, František (2009).
16591:{\displaystyle L=\alpha }
16206:Assume that the sequence
9903:For the ratio test, let ζ
9266:This extension is due to
9072:This extension is due to
8419:{\displaystyle \rho _{n}}
7329:This extension is due to
5335:This extension is due to
5110:{\displaystyle \rho _{n}}
5052:) = ∞. Furthermore, if Σa
4547:which is finite. The sum
976:(or "criterion") for the
559:Summand limit (term test)
18249:Stirling's approximation
17722:Implicit differentiation
17670:Rules of differentiation
9629:(this includes the case
9090:, if a bounded sequence
8865:(this includes the case
7597:(this includes the case
5578:(this includes the case
2496:
2305:of the three series are
1065:d'Alembert's ratio test
243:Implicit differentiation
233:Differentiation notation
160:Inverse function theorem
18483:Euler–Maclaurin formula
18388:trigonometric functions
17841:Constant of integration
17259:Elemente der Mathematik
17236:Colloquium Mathematicum
14379:Ali's second ratio test
14227:{\displaystyle n\geq N}
12275:{\displaystyle n>N,}
12004:{\displaystyle n\geq N}
11798:{\displaystyle n>N,}
11640:{\displaystyle n>N,}
10022:For Raabe's test, let ζ
8965:{\displaystyle \rho =1}
8048:Suppose that the ratio
7783:be an integer, and let
7776:{\displaystyle K\geq 1}
7258:{\displaystyle n\geq N}
6602:{\displaystyle n\geq N}
6247:, which is to say that
6240:{\displaystyle n\geq N}
4861:is a sum with positive
3642:diverges so the series
3635:{\displaystyle (a_{n})}
2633:{\displaystyle (a_{n})}
2607:. We also suppose that
1528:) exists, we must have
1511:does not approach zero;
1497:{\displaystyle |a_{n}|}
1210:> 1 then the series
1199:< 1 then the series
1061:Jean le Rond d'Alembert
701:Helmholtz decomposition
18452:Differential geometry
18297:Infinitesimal calculus
18000:Multivariable calculus
17948:Directional derivative
17754:Second derivative test
17732:Logarithmic derivative
17705:General Leibniz's rule
17600:Order of approximation
17331:Knopp, Konrad (1956),
16791:Ali, Sayel A. (2008).
16592:
16564:
16536:
16512:Then the series will:
16504:
16426:
16394:
16334:
16280:
16227:
16197:
16168:
16127:
16092:
16061:Then the series will:
16050:
15967:
15884:
15802:
15718:
15676:
15641:
15606:
15569:
15544:
15461:
15377:
15350:
15296:
15255:
15220:
15189:Then the series will:
15178:
15120:
15062:
14980:
14904:
14822:
14740:
14705:
14670:
14628:
14570:
14488:
14410:
14369:
14326:
14275:
14228:
14202:
14097:
14066:
14029:
13904:
13870:
13829:
13805:
13772:
13744:
13708:
13677:
13644:
13559:
13521:
13494:
13479:
13439:
13357:
13319:
13292:
13277:
13237:
13206:
13173:
13088:
13050:
13023:
13008:
12971:
12883:
12845:
12818:
12803:
12757:
12713:
12627:
12626:{\displaystyle n>N}
12601:
12558:
12532:
12531:{\displaystyle n>N}
12506:
12465:
12445:On the other hand, if
12436:
12412:
12383:direct comparison test
12372:
12276:
12243:
12173:
12130:
12068:
12025:
12005:
11979:
11904:
11799:
11770:
11728:
11641:
11612:
11592:
11553:
11522:Proof of Kummer's test
11512:
11472:
11416:
11347:
11326:
11228:
11145:
11073:
10971:
10912:
10842:
10717:
10693:
10657:
10602:
10463:
10432:
10369:
10277:
10136:
10010:
9884:
9846:
9795:
9735:
9712:
9679:
9623:
9566:
9543:
9510:
9474:
9441:
9408:
9407:{\displaystyle c>0}
9375:
9252:
9224:
9200:then the series will:
9191:
9048:
9010:
8966:
8937:
8885:
8859:
8793:
8792:{\displaystyle n>N}
8767:
8731:
8730:{\displaystyle n>N}
8705:
8672:
8671:{\displaystyle c>1}
8639:
8591:
8570:
8472:
8420:
8390:
8361:
8312:
8241:
8214:
8110:
8090:
8039:
7945:
7913:
7842:
7822:
7777:
7736:
7698:
7647:
7591:
7521:
7481:
7437:
7315:
7285:
7284:{\displaystyle R>1}
7259:
7233:
7171:
7170:{\displaystyle R>1}
7145:
7106:
7018:
6834:
6741:
6721:
6701:
6659:
6629:
6628:{\displaystyle R<1}
6603:
6577:
6406:
6339:
6241:
6215:
6182:
6181:{\displaystyle R<1}
6156:
6114:
6094:
6048:
6012:
5976:
5935:
5899:
5869:
5833:
5743:
5692:
5628:
5572:
5502:
5462:
5415:
5313:
5236:
5188:
5111:
4989:
4974:
4934:
4900:
4831:
4799:
4779:
4722:
4707:
4670:
4645:
4612:
4587:
4541:
4505:
4472:
4430:
4415:
4382:
4364:
4295:
4208:
4157:
4100:
4049:
3992:
3959:
3926:
3838:
3800:
3773:
3684:
3669:
3636:
3603:
3555:
3529:
3496:
3470:
3299:
3260:
3240:
3214:
3155:
3135:
3038:
2978:
2940:
2879:
2859:
2839:
2806:
2745:
2705:
2672:
2634:
2601:
2518:
2483:
2412:
2377:
2322:
2299:
2229:
2187:
2153:
2128:
2094:
2083:
2032:
1862:
1837:
1786:
1609:
1587:
1498:
1453:
1373:
1305:
1169:
1084:
1031:
1013:
835:Limit of distributions
655:Directional derivative
316:Faà di Bruno's formula
114:
18371:logarithmic functions
18366:exponential functions
18282:Generality of algebra
18160:Tests of convergence
17786:Differential equation
17770:Further applications
17759:Extreme value theorem
17749:First derivative test
17643:Differential operator
17615:Differential calculus
17310:Mathematical analysis
16614:Radius of convergence
16593:
16565:
16537:
16505:
16427:
16395:
16335:
16281:
16228:
16226:{\displaystyle a_{n}}
16198:
16169:
16128:
16093:
16051:
15968:
15885:
15803:
15719:
15677:
15642:
15607:
15570:
15545:
15462:
15378:
15376:{\displaystyle a_{n}}
15351:
15297:
15256:
15221:
15179:
15121:
15063:
14981:
14905:
14823:
14741:
14706:
14671:
14629:
14571:
14489:
14411:
14370:
14327:
14276:
14229:
14203:
14098:
14072:converges absolutely.
14067:
14030:
13905:
13871:
13869:{\displaystyle a_{n}}
13830:
13785:
13773:
13724:
13709:
13657:
13645:
13560:
13522:
13495:
13459:
13440:
13358:
13320:
13293:
13257:
13238:
13186:
13174:
13089:
13051:
13024:
12988:
12972:
12884:
12846:
12819:
12783:
12758:
12714:
12628:
12602:
12559:
12533:
12507:
12466:
12437:
12392:
12373:
12277:
12244:
12153:
12131:
12069:
12026:
12006:
11980:
11905:
11800:
11771:
11729:
11642:
11613:
11593:
11554:
11513:
11473:
11417:
11327:
11306:
11208:
11119:
11053:
10951:
10913:
10816:
10718:
10694:
10637:
10603:
10464:
10433:
10370:
10278:
10137:
10011:
9885:
9847:
9796:
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9692:
9680:
9624:
9567:
9523:
9511:
9475:
9442:
9409:
9376:
9253:
9225:
9192:
9049:
9011:
8967:
8938:
8886:
8860:
8794:
8768:
8732:
8706:
8673:
8640:
8571:
8550:
8452:
8421:
8391:
8362:
8292:
8221:
8188:
8111:
8091:
8040:
7946:
7914:
7843:
7823:
7778:
7737:
7699:
7648:
7592:
7522:
7482:
7438:
7316:
7286:
7260:
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6412:, which implies that
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6183:
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5982:. Suppose first that
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1040:where each term is a
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919:Mathematical analysis
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515:arithmetico-geometric
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115:
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1878:
1814:
1807:Consider the series
1625:
1564:
1557:Consider the series
1471:
1402:
1316:
1248:
1201:converges absolutely
1099:
990:
924:Nonstandard analysis
397:Lebesgue integration
267:Rules and identities
38:
18423:List of derivatives
18259:History of calculus
18174:Cauchy condensation
18071:Exterior derivative
18028:Lagrange multiplier
17764:Maximum and minimum
17595:Limit of a sequence
17583:Limit of a function
17530:Graph of a function
17510:Continuous function
17341:1956iss..book.....K
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16698:Bromwich, T. J. I'A
12471:, then there is an
9516:for all n>N and
9062:birth–death process
8389:{\displaystyle K=1}
5941:the sum converges.
5905:diverges, while if
5337:Joseph Ludwig Raabe
5080:De Morgan hierarchy
5006:terms beginning at
3033:
1549:Convergent because
1229:fails to exist, if
595:Cauchy condensation
402:Contour integration
128:Fundamental theorem
55:
18356:rational functions
18323:Method of Fluxions
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18066:Differential forms
18048:Partial derivative
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17890:Quadratic integral
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17417:"Kummer criterion"
17180:. Nouvelle Série.
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16635:Weisstein, Eric W.
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14051:
14035:, then the series
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12512:is increasing for
12502:
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12253:and since for all
12239:
12142:telescoping series
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2225:
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1799:Divergent because
1782:
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1605:
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1449:
1369:
1301:
1165:
1123:
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1027:
767:Partial derivative
696:generalized Stokes
590:Alternating series
471:Reduction formulae
446:tangent half-angle
433:Cylindrical shells
356:Integral transform
351:Lists of integrals
155:Mean value theorem
110:
41:
18529:Convergence tests
18516:
18515:
18442:Complex calculus
18431:
18430:
18312:Law of Continuity
18244:Natural logarithm
18229:Bernoulli numbers
18220:Special functions
18179:Direct comparison
18043:Multiple integral
17917:Integral equation
17813:Integral calculus
17744:Stationary points
17718:Other techniques
17663:Newton's notation
17628:Second derivative
17520:Finite difference
17445:978-0-521-58807-2
17399:"Gauss criterion"
17372:978-0-07-054235-8
17350:978-0-486-60153-3
17323:978-0-201-00288-1
17255:"phi-ratio tests"
17008:"Bertrand's Test"
16704:. Merchant Books.
16489:
16442:
16435:Assume also that
16388:
16353:
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16156:
16121:
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15600:
15568:{\displaystyle m}
15553:
15552:
15455:
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15186:
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15009:
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