43:
1804:
1521:
719:
1510:
1799:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}
1117:
1345:
1036:
947:
1190:
804:
564:
1526:
1391:
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173:
1271:
1386:
2156:
544:
479:
2260:
388:
310:
228:
1923:
836:
865:
2033:
1379:
414:
336:
254:
1237:
1199:. In general dividing one such polynomial by another, when each has a finite order (highest exponent), results in an infinite-order polynomial.
1047:
1279:
1041:
Polynomials of lag operators follow similar rules of multiplication and division as do numbers and polynomials of variables. For example,
958:
873:
1128:
745:
714:{\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}
2379:
1898:
It is common in stochastic processes to care about the expected value of a variable given a previous information set. Let
2276:
1816:
17:
2339:
2313:
2038:
With these time-dependent conditional expectations, there is the need to distinguish between the backshift operator (
86:
64:
57:
114:(B) operates on an element of a time series to produce the previous element. For example, given some time series
120:
1505:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}
555:
1245:
1929:(this is often subscripted below the expectation operator); then the expected value of the realisation of
2052:
490:
425:
2162:
1195:
As with polynomials of variables, a polynomial in the lag operator can be divided by another one using
344:
266:
184:
1196:
419:
The lag operator (as well as backshift operator) can be raised to arbitrary integer powers so that
51:
1901:
812:
841:
68:
1943:
1364:
393:
315:
233:
2398:
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1209:
8:
2350:
2328:
31:
2375:
2335:
2309:
1356:
2370:
Box, George E. P.; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016).
2046:) that adjusts equally the date of the forecasted variable and the information set:
2286:
554:
Polynomials of the lag operator can be used, and this is a common notation for
110:
2042:) that only adjusts the date of the forecasted variable and the Lag operator (
2392:
2323:
1239:, removes the entries of the polynomial with negative power (future values).
2291:
100:
1112:{\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}
732:
1340:{\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}
739:
so that, for example, the ARMA model can be concisely specified as
1031:{\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}
1361:
In time series analysis, the first difference operator :
942:{\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}
1515:
Similarly, the second difference operator works as follows:
1185:{\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}
799:{\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}
1937:
time-steps in the future, can be written equivalently as:
30:"Backshift" redirects here. For the linguistic sense, see
2369:
338:. Equivalently, this definition can be represented as
2165:
2055:
1946:
1904:
1819:
1524:
1389:
1367:
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1248:
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1131:
1050:
961:
876:
844:
815:
748:
567:
558:(autoregressive moving average) models. For example,
493:
428:
396:
347:
318:
269:
236:
187:
123:
1925:
be all information that is common knowledge at time
2327:
2254:
2150:
2027:
1917:
1884:{\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}
1883:
1798:
1504:
1373:
1339:
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1231:
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330:
304:
248:
222:
167:
2390:
259:or similarly in terms of the backshift operator
2372:Time Series Analysis: Forecasting and Control
162:
130:
27:Operator for offsetting time series elements
867:respectively represent the lag polynomials
1893:
1027:
87:Learn how and when to remove this message
2303:
168:{\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}
50:This article includes a list of general
2322:
14:
2391:
1809:The above approach generalises to the
1350:
1266:{\displaystyle \varphi \left(1\right)}
2355:WolframMathworld: Difference Operator
2348:
36:
2374:(5th ed.). New Jersey: Wiley.
2277:Autoregressive moving average model
2151:{\displaystyle L^{n}E_{t}=E_{t-n},}
539:{\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}
474:{\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}
24:
1975:
1906:
1821:
1728:
1657:
1639:
1598:
1574:
1558:
1535:
1529:
1447:
1394:
1368:
549:
56:it lacks sufficient corresponding
25:
2410:
2255:{\displaystyle B^{n}E_{t}=E_{t}.}
1273:denotes the sum of coefficients:
2304:Hamilton, James Douglas (1994).
41:
2330:A Guide to Modern Econometrics
2308:. Princeton University Press.
2246:
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2186:
2142:
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383:{\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}
305:{\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}
223:{\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}
13:
1:
2297:
735:of lag operators is called a
7:
2265:
1918:{\displaystyle \Omega _{t}}
831:{\displaystyle \varphi (L)}
10:
2415:
1354:
860:{\displaystyle \theta (L)}
29:
2028:{\displaystyle E=E_{t}.}
1813:-th difference operator
1197:polynomial long division
1122:means the same thing as
2334:. John Wiley and Sons.
1894:Conditional expectation
1374:{\displaystyle \Delta }
409:{\displaystyle t\geq 1}
71:more precise citations.
2256:
2152:
2029:
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306:
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2306:Time Series Analysis
2282:Moving average model
2272:Autoregressive model
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1204:annihilator operator
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2351:"Wolfram MathWorld"
1351:Difference operator
2357:. Wolfram Research
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32:Sequence of tenses
18:Backshift operator
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2349:Weisstein, Eric.
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