5077:
4492:
3966:
5825:
36:
5072:{\displaystyle {\begin{aligned}nR&=H(W)\\&=I(W;{\hat {W}})+H(W\mid {\hat {W}})\\&\leq I(W;{\hat {W}})+n\varepsilon _{n}\\&\leq I(X^{(n)};Y^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Y^{(n)}\mid X^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}h(Y_{i})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}I(X_{i};Y_{i})+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}
3579:
6585:
6413:
6619:
5519:
3961:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}^{(n)}&\leq P(U)+P(V)+\sum _{j\neq i}P(E_{j})\\&\leq \varepsilon +\varepsilon +\sum _{j\neq i}2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{3n\varepsilon })2^{-n(I(X;Y)-R)}\\&\leq 3\varepsilon \end{aligned}}}
6055:
6448:
6645:
The graph to the right shows an example of how bandlimited AWGN can affect a coherent carrier signal. The instantaneous response of the noise vector cannot be precisely predicted, however, its time-averaged response can be statistically predicted. As shown in the graph, we confidently predict that
6284:
267:
and deep space communication links. It is not a good model for most terrestrial links because of multipath, terrain blocking, interference, etc. However, for terrestrial path modeling, AWGN is commonly used to simulate background noise of the channel under study, in addition to multipath, terrain
5820:{\displaystyle {\begin{aligned}nR&\leq \sum (h(Y_{i})-h(Z_{i}))+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum \left({\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P_{i}+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\right)+n\varepsilon _{n}\\&=\sum {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}
1205:
5878:
6580:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\text{positive zero crossings}}{\text{second}}}={\frac {\text{negative zero crossings}}{\text{second}}}\\={}&f_{0}{\sqrt {\frac {{\text{SNR}}+1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{{\text{SNR}}+1}}},\end{aligned}}}
2325:
Each codeword vector has an associated sphere of received codeword vectors which are decoded to it and each such sphere must map uniquely onto a codeword. Because these spheres therefore must not intersect, we are faced with the problem of
4270:
1839:
944:
2640:
6365:
6142:
2321:
around the codeword sent. If we decode by mapping every message received onto the codeword at the center of this sphere, then an error occurs only when the received vector is outside of this sphere, which is very unlikely.
1620:
4374:
2020:
5508:
6131:
5196:
4134:
1039:
2706:
820:
1706:
6453:
1034:
3533:
1396:
5524:
4497:
3584:
2749:
and mean zero. For large n, the empirical variance of the codebook will be very close to the variance of its distribution, thereby avoiding violation of the power constraint probabilistically.
2752:
Received messages are decoded to a message in the codebook which is uniquely jointly typical. If there is no such message or if the power constraint is violated, a decoding error is declared.
571:
6402:
4407:
1927:
6050:{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\,\!}
260:. However, it produces simple and tractable mathematical models which are useful for gaining insight into the underlying behavior of a system before these other phenomena are considered.
6442:
When affected by AWGN, the average number of either positive-going or negative-going zero crossings per second at the output of a narrow bandpass filter when the input is a sine wave is
745:
4061:
2174:
5385:
4451:
2319:
3026:
630:
1318:
2988:
2747:
2422:
3287:
2449:
4011:
3571:
4186:
5866:
3421:
3359:
3323:
2789:
3385:
3056:
2383:
1877:
1022:
5415:
5300:
5273:
5246:
5107:
4480:
3448:
3127:
2933:
2836:
2480:
680:
514:
487:
429:
402:
375:
348:
301:
3267:
3238:
3189:
3156:
432:
4193:
5320:
5219:
4157:
3209:
3100:
3080:
2903:
2880:
2860:
2809:
2348:
2280:
2260:
2240:
2217:
2197:
2128:
2108:
2088:
2068:
2048:
1950:
1721:
1459:
1439:
1419:
1248:
1228:
987:
967:
855:
843:
653:
460:
321:
2492:
6292:
6279:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right).\,\!}
1467:
4283:
185:
Wideband noise comes from many natural noise sources, such as the thermal vibrations of atoms in conductors (referred to as thermal noise or
6630:
domain, statistical analysis reveals that the amplitudes of the real and imaginary contributions are independent variables which follow the
1958:
104:
5423:
6066:
76:
682:
are sufficiently constrained. The most common constraint on the input is the so-called "power" constraint, requiring that for a codeword
5115:
4139:
Suppose that the power constraint is satisfied for a codebook, and further suppose that the messages follow a uniform distribution. Let
4074:
2652:
83:
753:
1631:
7209:
6858:
1200:{\displaystyle {\begin{aligned}&I(X;Y)=h(Y)-h(Y\mid X)\\={}&h(Y)-h(X+Z\mid X)\\={}&h(Y)-h(Z\mid X)\end{aligned}}\,\!}
46:
7025:
6060:
Because each codeword individually satisfies the power constraint, the average also satisfies the power constraint. Therefore,
90:
7362:
3453:
268:
blocking, interference, ground clutter and self interference that modern radio systems encounter in terrestrial operation.
2179:
A rate is said to be achievable if there is a sequence of codes so that the maximum probability of error tends to zero as
1333:
72:
7219:
522:
7101:
7015:
3159:
6374:
4379:
1885:
2482:, so the maximum number of uniquely decodeable spheres that can be packed into our sphere with transmission power
136:
to mimic the effect of many random processes that occur in nature. The modifiers denote specific characteristics:
7356:
7204:
7055:
6733:
685:
205:
indicates that the summation of many random processes will tend to have distribution called
Gaussian or Normal.
4016:
2136:
61:
6420:
In serial data communications, the AWGN mathematical model is used to model the timing error caused by random
5328:
4412:
2285:
233:
2993:
577:
7398:
7265:
7172:
6672:
6626:
In modern communication systems, bandlimited AWGN cannot be ignored. When modeling bandlimited AWGN in the
249:
97:
1256:
154:
7403:
7020:
6742:
57:
2938:
7367:
7315:
6945:
6838:
2282:, and its mean is the codeword sent. The vector is very likely to be contained in a sphere of radius
186:
2726:
53:
3272:
2427:
2388:
7229:
6818:
3978:
3538:
6431:
represents the uncertainty in the zero crossing. As the amplitude of the AWGN is increased, the
4162:
7152:
7087:
7050:
5833:
3390:
3328:
3292:
2758:
7341:
7186:
7030:
6635:
6631:
6432:
6427:
The graph to the right shows an example of timing errors associated with AWGN. The variable Δ
3364:
3035:
2719:
A codebook, known to both encoder and decoder, is generated by selecting codewords of length
2716:
In this section, we show achievability of the upper bound on the rate from the last section.
237:
209:
198:
4265:{\displaystyle W\longrightarrow X^{(n)}(W)\longrightarrow Y^{(n)}\longrightarrow {\hat {W}}}
2353:
1847:
992:
7250:
6767:
5393:
5278:
5251:
5224:
5085:
4458:
4275:
3426:
3105:
2911:
2814:
2458:
1324:
1025:
658:
492:
465:
407:
380:
353:
326:
279:
194:
17:
4063:. Therefore, there is a code of rate R arbitrarily close to the capacity derived earlier.
3243:
3214:
3165:
3132:
3058:, which is to say that the incorrect codeword is jointly typical with the received vector.
1834:{\displaystyle I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
939:{\displaystyle C=\max \left\{I(X;Y):f{\text{ s.t. }}E\left(X^{2}\right)\leq P\right\}\,\!}
8:
7010:
7005:
6823:
6726:
6711:
2635:{\displaystyle {\frac {(n(P+N))^{n/2}}{(nN)^{n/2}}}=2^{(n/2)\log \left(1+P/N\right)}\,\!}
436:
257:
174:
7066:
6956:
6360:{\displaystyle R\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)+\varepsilon _{n}}
5305:
5204:
4142:
3194:
3085:
3065:
2888:
2865:
2845:
2794:
2333:
2265:
2245:
2225:
2202:
2182:
2113:
2093:
2073:
2053:
2033:
1935:
1712:
1444:
1424:
1404:
1233:
1213:
972:
952:
828:
638:
445:
306:
202:
197:
from the earth and other warm objects, and from celestial sources such as the Sun. The
133:
7280:
7275:
7071:
6895:
6792:
6777:
6757:
7373:
7346:
7320:
6900:
6833:
6797:
6677:
846:
221:
178:
162:
145:
because it is added to any noise that might be intrinsic to the information system.
7351:
7305:
7270:
7260:
7138:
6828:
6787:
2030:
Suppose that we are sending messages through the channel with index ranging from
6371:
must be less than a value arbitrarily close to the capacity derived earlier, as
1711:
Therefore, the channel capacity is given by the highest achievable bound on the
6980:
6925:
6905:
6719:
2327:
157:
across the frequency band for the information system. It is an analogy to the
7392:
7336:
7310:
7045:
6920:
6873:
6868:
6863:
6853:
6848:
6772:
6667:
1615:{\displaystyle E(Y^{2})=E((X+Z)^{2})=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})\leq P+N\,\!}
7035:
6985:
6915:
1625:
From this bound, we infer from a property of the differential entropy that
253:
6638:
random variable, while the phase is uniformly distributed from 0 to 2
7061:
7040:
6975:
6967:
6910:
6843:
6782:
4369:{\displaystyle H(W\mid {\hat {W}})\leq 1+nRP_{e}^{(n)}=n\varepsilon _{n}}
3029:
217:
158:
6962:
6951:
6935:
6930:
6762:
190:
2838:
is, as before the received vector. Define the following three events:
2015:{\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}
212:
in which the only impairment to communication is a linear addition of
7255:
5503:{\displaystyle h(Y_{i})\leq {\frac {1}{2}}\log {2\pi e}(P_{i}+N)\,\!}
264:
245:
161:
which may be realized by uniform emissions at all frequencies in the
6126:{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}},\,\!}
2350:-bit codeword vector? The received vectors have a maximum energy of
35:
440:
213:
5191:{\displaystyle P_{i}={\frac {1}{2^{nR}}}\sum _{w}x_{i}^{2}(w)\,\!}
4129:{\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}
2905:: the transmitted and received codewords are not jointly typical.
6412:
2701:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}
6940:
6646:
the noise phasor will reside about 38% of the time inside the 1
6627:
6618:
6421:
241:
177:
in the time domain with an average time domain value of zero (
7162:
7123:
7116:
6813:
6136:
which we may apply to simplify the inequality above and get:
2070:, the number of distinct possible messages. If we encode the
815:{\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,}
229:
6634:
model. When combined, the resultant phasor's magnitude is a
1701:{\displaystyle h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!}
225:
6741:
635:
The capacity of the channel is infinite unless the noise
3158:
goes to zero as n approaches infinity, and by the joint
276:
The AWGN channel is represented by a series of outputs
6609:
SNR = the signal-to-noise power ratio in linear terms.
5275:
are independent, thus the expectation of the power of
2391:
2288:
2025:
6451:
6377:
6295:
6145:
6069:
5881:
5836:
5522:
5426:
5396:
5331:
5308:
5281:
5254:
5227:
5207:
5118:
5088:
4495:
4461:
4415:
4382:
4286:
4196:
4165:
4145:
4077:
4019:
3981:
3582:
3541:
3528:{\displaystyle P(E_{j})=2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}}
3456:
3429:
3393:
3367:
3331:
3295:
3275:
3246:
3217:
3197:
3168:
3135:
3108:
3088:
3068:
3038:
2996:
2941:
2914:
2891:
2868:
2848:
2817:
2797:
2761:
2729:
2655:
2495:
2461:
2430:
2356:
2336:
2268:
2262:. When received, the codeword vector variance is now
2248:
2228:
2205:
2185:
2139:
2116:
2096:
2076:
2056:
2036:
1961:
1938:
1888:
1850:
1724:
1634:
1470:
1447:
1427:
1407:
1336:
1259:
1236:
1216:
1037:
995:
975:
955:
858:
845:
represents the maximum channel power. Therefore, the
831:
756:
688:
661:
641:
580:
525:
495:
468:
448:
410:
383:
356:
329:
309:
282:
4188:
the output messages. Thus the information flows as:
1391:{\displaystyle h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
3450:are also independent. Therefore, by the joint AEP,
2330:. How many distinct codewords can we pack into our
6579:
6435:decreases. This results in increased uncertainty Δ
6396:
6359:
6278:
6125:
6049:
5860:
5819:
5502:
5409:
5379:
5314:
5294:
5267:
5240:
5213:
5190:
5101:
5071:
4474:
4445:
4401:
4368:
4264:
4180:
4151:
4128:
4055:
4005:
3960:
3565:
3527:
3442:
3415:
3379:
3353:
3317:
3281:
3261:
3232:
3203:
3183:
3150:
3121:
3094:
3074:
3050:
3020:
2982:
2927:
2897:
2874:
2862::the power of the received message is larger than
2854:
2830:
2803:
2783:
2741:
2700:
2634:
2474:
2443:
2416:
2377:
2342:
2313:
2274:
2254:
2234:
2211:
2191:
2168:
2122:
2102:
2082:
2062:
2042:
2014:
1944:
1921:
1871:
1833:
1700:
1614:
1453:
1433:
1413:
1390:
1312:
1242:
1222:
1199:
1016:
981:
961:
938:
837:
814:
739:
674:
647:
624:
565:
508:
489:are further assumed to not be correlated with the
481:
454:
423:
396:
369:
342:
315:
295:
6275:
6122:
6046:
5499:
5376:
5187:
5109:be the average power of the codeword of index i:
2631:
2165:
2011:
1918:
1830:
1697:
1611:
1387:
1309:
1196:
935:
621:
566:{\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,N)\,\!}
562:
7390:
2455:-dimensional sphere is directly proportional to
865:
2242:sent through the AWGN channel with noise level
849:for the power-constrained channel is given by:
6654:circle, and about 98% of the time inside the 3
6727:
6397:{\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}
4402:{\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}
2385:and therefore must occupy a sphere of radius
1922:{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!}
240:of amplitude. The model does not account for
62:introducing citations to additional sources
27:Basic noise model used in information theory
6613:
4071:Here we show that rates above the capacity
6734:
6720:
6650:circle, about 86% of the time inside the 2
4066:
747:transmitted through the channel, we have:
740:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})}
263:The AWGN channel is a good model for many
6407:
6274:
6121:
6045:
5498:
5375:
5201:where the sum is over all input messages
5186:
4482:be the encoded message of codeword index
4056:{\displaystyle R<I(X;Y)-3\varepsilon }
2630:
2169:{\displaystyle R={\frac {\log M}{n}}\,\!}
2164:
2010:
1917:
1829:
1696:
1610:
1386:
1308:
1195:
934:
620:
561:
6617:
6411:
5380:{\displaystyle E(Y_{i}^{2})=P_{i}+N\,\!}
4446:{\displaystyle P_{e}^{(n)}\rightarrow 0}
2314:{\textstyle {\sqrt {n(N+\varepsilon )}}}
52:Relevant discussion may be found on the
7210:Signal-to-interference-plus-noise ratio
6622:AWGN contributions in the phasor domain
3573:, the probability of error as follows:
433:independent and identically distributed
153:refers to the idea that it has uniform
14:
7391:
7026:Equivalent pulse code modulation noise
5417:is normally distributed, we have that
3191:. Therefore, for a sufficiently large
3021:{\displaystyle A_{\varepsilon }^{(n)}}
625:{\displaystyle Y_{i}=X_{i}+Z_{i}.\,\!}
6715:
6699:
6695:
6693:
6600:= the center frequency of the filter,
7149:(energy per symbol to noise density)
3129:occur. By the law of large numbers,
1441:are independent and their sum gives
1313:{\displaystyle I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!}
29:
5868:, a concave (downward) function of
2026:Channel capacity and sphere packing
271:
24:
7220:Signal-to-quantization-noise ratio
6690:
5830:We may apply Jensen's equality to
2424:. Each codeword sphere has radius
2199:approaches infinity. The capacity
1952:for the AWGN channel is given by:
1897:
541:
25:
7415:
7134:(energy per bit to noise density)
7102:Carrier-to-receiver noise density
7016:Effective input noise temperature
3160:Asymptotic Equipartition Property
132:) is a basic noise model used in
6745:(physics and telecommunications)
6416:Zero crossings of a noisy cosine
2983:{\displaystyle (X^{n}(j),Y^{n})}
2791:denote the codeword for message
2723:, i.i.d. Gaussian with variance
2711:
2219:is the highest achievable rate.
45:relies largely or entirely on a
34:
7357:Block-matching and 3D filtering
7205:Signal-to-noise ratio (imaging)
7056:Noise, vibration, and harshness
73:"Additive white Gaussian noise"
6704:, Noble Publishing Corporation
6388:
5855:
5843:
5711:
5696:
5674:
5671:
5652:
5640:
5587:
5584:
5571:
5562:
5549:
5543:
5495:
5476:
5443:
5430:
5353:
5335:
5183:
5177:
5046:
5020:
4967:
4962:
4956:
4948:
4939:
4926:
4873:
4868:
4862:
4854:
4845:
4840:
4834:
4826:
4794:
4789:
4783:
4770:
4764:
4756:
4747:
4742:
4736:
4728:
4696:
4691:
4685:
4672:
4666:
4658:
4626:
4620:
4605:
4589:
4583:
4568:
4559:
4553:
4538:
4522:
4516:
4437:
4432:
4426:
4393:
4345:
4339:
4311:
4305:
4290:
4256:
4247:
4242:
4236:
4228:
4225:
4219:
4214:
4208:
4200:
4172:
4041:
4029:
3998:
3992:
3933:
3924:
3912:
3906:
3892:
3873:
3849:
3837:
3825:
3819:
3805:
3783:
3759:
3747:
3735:
3729:
3677:
3664:
3639:
3633:
3624:
3618:
3603:
3597:
3558:
3552:
3535:. This allows us to calculate
3520:
3508:
3496:
3490:
3473:
3460:
3410:
3404:
3348:
3342:
3312:
3306:
3256:
3250:
3227:
3221:
3178:
3172:
3145:
3139:
3013:
3007:
2977:
2961:
2955:
2942:
2778:
2772:
2742:{\displaystyle P-\varepsilon }
2592:
2578:
2550:
2540:
2521:
2517:
2505:
2499:
2409:
2397:
2372:
2360:
2306:
2294:
2222:Consider a codeword of length
2110:bits, then we define the rate
1914:
1902:
1866:
1854:
1826:
1811:
1789:
1786:
1774:
1762:
1740:
1728:
1693:
1690:
1678:
1666:
1644:
1638:
1595:
1582:
1573:
1567:
1561:
1555:
1543:
1530:
1521:
1512:
1499:
1496:
1487:
1474:
1383:
1368:
1346:
1340:
1305:
1299:
1290:
1284:
1275:
1263:
1188:
1176:
1167:
1161:
1144:
1126:
1117:
1111:
1094:
1082:
1073:
1067:
1058:
1046:
1011:
999:
888:
876:
734:
689:
558:
546:
13:
1:
6890:Additive white Gaussian noise
6683:
3062:An error therefore occurs if
2417:{\textstyle {\sqrt {n(P+N)}}}
1024:, writing it in terms of the
303:at discrete-time event index
126:Additive white Gaussian noise
7266:Interference (communication)
7173:Signal-to-interference ratio
7163:Signal, noise and distortion
6673:Noisy-channel coding theorem
3282:{\displaystyle \varepsilon }
2444:{\displaystyle {\sqrt {nN}}}
1250:are independent, therefore:
7:
7021:Equivalent noise resistance
6661:
6289:Therefore, it must be that
4006:{\displaystyle P_{e}^{(n)}}
3566:{\displaystyle P_{e}^{(n)}}
2645:By this argument, the rate
435:and drawn from a zero-mean
10:
7420:
4181:{\displaystyle {\hat {W}}}
4159:be the input messages and
1932:Thus the channel capacity
7329:
7316:Total variation denoising
7298:
7289:
7243:
7080:
6996:
6882:
6806:
6750:
5861:{\displaystyle \log(1+x)}
6614:Effects in phasor domain
3416:{\displaystyle X^{n}(i)}
3354:{\displaystyle X^{n}(j)}
3318:{\displaystyle X^{n}(i)}
2784:{\displaystyle X^{n}(i)}
350:is the sum of the input
208:AWGN is often used as a
7230:Contrast-to-noise ratio
6606:= the filter bandwidth,
6473:negative zero crossings
6460:positive zero crossings
4067:Coding theorem converse
3380:{\displaystyle i\neq j}
3051:{\displaystyle i\neq j}
969:is the distribution of
7153:Modulation error ratio
7088:Carrier-to-noise ratio
7051:Noise spectral density
6623:
6581:
6417:
6408:Effects in time domain
6398:
6361:
6280:
6203:
6127:
6100:
6051:
6022:
5912:
5862:
5821:
5504:
5411:
5381:
5316:
5296:
5269:
5242:
5215:
5192:
5103:
5073:
5016:
4922:
4476:
4447:
4403:
4370:
4266:
4182:
4153:
4130:
4057:
4007:
3962:
3567:
3529:
3444:
3417:
3381:
3355:
3319:
3283:
3263:
3234:
3205:
3185:
3152:
3123:
3096:
3076:
3052:
3022:
2984:
2929:
2899:
2876:
2856:
2832:
2805:
2785:
2743:
2702:
2636:
2476:
2445:
2418:
2379:
2378:{\displaystyle n(P+N)}
2344:
2315:
2276:
2256:
2236:
2213:
2193:
2170:
2124:
2104:
2084:
2064:
2044:
2016:
1946:
1923:
1873:
1872:{\displaystyle I(X;Y)}
1835:
1702:
1616:
1455:
1435:
1415:
1392:
1314:
1244:
1224:
1201:
1018:
1017:{\displaystyle I(X;Y)}
983:
963:
940:
839:
816:
787:
741:
676:
649:
626:
567:
510:
483:
456:
425:
398:
371:
344:
317:
297:
155:power spectral density
7368:Denoising autoencoder
7342:Anisotropic diffusion
7187:Signal-to-noise ratio
7031:Impulse noise (audio)
6946:Johnson–Nyquist noise
6834:Government regulation
6702:Radio Receiver Design
6632:Gaussian distribution
6621:
6582:
6433:signal-to-noise ratio
6415:
6399:
6362:
6281:
6183:
6128:
6080:
6052:
6002:
5892:
5863:
5822:
5505:
5412:
5410:{\displaystyle Y_{i}}
5382:
5317:
5297:
5295:{\displaystyle Y_{i}}
5270:
5268:{\displaystyle Z_{i}}
5243:
5241:{\displaystyle X_{i}}
5216:
5193:
5104:
5102:{\displaystyle P_{i}}
5074:
4996:
4902:
4477:
4475:{\displaystyle X_{i}}
4448:
4404:
4371:
4267:
4183:
4154:
4131:
4058:
4008:
3975:approaches infinity,
3963:
3568:
3530:
3445:
3443:{\displaystyle Y^{n}}
3418:
3382:
3356:
3320:
3284:
3264:
3235:
3206:
3186:
3153:
3124:
3122:{\displaystyle E_{i}}
3097:
3077:
3053:
3023:
2985:
2930:
2928:{\displaystyle E_{j}}
2900:
2877:
2857:
2833:
2831:{\displaystyle Y^{n}}
2806:
2786:
2744:
2703:
2637:
2477:
2475:{\displaystyle r^{n}}
2446:
2419:
2380:
2345:
2316:
2277:
2257:
2237:
2214:
2194:
2171:
2125:
2105:
2085:
2065:
2045:
2017:
1947:
1924:
1874:
1836:
1703:
1617:
1456:
1436:
1416:
1393:
1327:of a Gaussian gives:
1315:
1245:
1225:
1202:
1019:
984:
964:
941:
840:
817:
767:
742:
677:
675:{\displaystyle X_{i}}
650:
627:
568:
511:
509:{\displaystyle X_{i}}
484:
482:{\displaystyle Z_{i}}
457:
426:
424:{\displaystyle Z_{i}}
399:
397:{\displaystyle Z_{i}}
372:
370:{\displaystyle X_{i}}
345:
343:{\displaystyle Y_{i}}
318:
298:
296:{\displaystyle Y_{i}}
238:Gaussian distribution
199:central limit theorem
187:Johnson–Nyquist noise
7251:List of noise topics
6636:Rayleigh-distributed
6449:
6375:
6293:
6143:
6067:
5879:
5834:
5520:
5424:
5394:
5329:
5306:
5302:is, for noise level
5279:
5252:
5225:
5205:
5116:
5086:
4493:
4459:
4413:
4380:
4284:
4194:
4163:
4143:
4136:are not achievable.
4075:
4017:
3979:
3580:
3539:
3454:
3427:
3391:
3365:
3361:are independent for
3329:
3293:
3273:
3262:{\displaystyle P(V)}
3244:
3233:{\displaystyle P(U)}
3215:
3195:
3184:{\displaystyle P(V)}
3166:
3162:the same applies to
3151:{\displaystyle P(U)}
3133:
3106:
3086:
3066:
3036:
2994:
2939:
2912:
2889:
2866:
2846:
2815:
2795:
2759:
2727:
2653:
2649:can be no more than
2493:
2459:
2428:
2389:
2354:
2334:
2286:
2266:
2246:
2226:
2203:
2183:
2137:
2114:
2094:
2074:
2054:
2034:
1959:
1936:
1886:
1848:
1722:
1632:
1468:
1445:
1425:
1405:
1334:
1325:differential entropy
1257:
1234:
1214:
1035:
1026:differential entropy
993:
973:
953:
856:
829:
754:
686:
659:
655:is nonzero, and the
639:
578:
523:
493:
466:
446:
408:
381:
354:
327:
307:
280:
195:black-body radiation
58:improve this article
7399:Noise (electronics)
7011:Circuit noise level
7006:Channel noise level
6549:
5352:
5176:
4436:
4349:
4002:
3607:
3562:
3269:are each less than
3017:
2451:. The volume of an
1879:is maximized when:
802:
437:normal distribution
175:normal distribution
7404:Time series models
7067:Pseudorandom noise
6957:Quantization error
6768:Noise cancellation
6700:McClaning, Kevin,
6624:
6577:
6575:
6535:
6418:
6394:
6357:
6276:
6123:
6047:
5858:
5817:
5815:
5500:
5407:
5377:
5338:
5312:
5292:
5265:
5238:
5211:
5188:
5162:
5161:
5099:
5069:
5067:
4472:
4443:
4416:
4399:
4366:
4329:
4262:
4178:
4149:
4126:
4053:
4003:
3982:
3958:
3956:
3717:
3660:
3587:
3563:
3542:
3525:
3440:
3413:
3377:
3351:
3315:
3279:
3259:
3230:
3201:
3181:
3148:
3119:
3092:
3072:
3048:
3018:
2997:
2980:
2925:
2895:
2872:
2852:
2828:
2801:
2781:
2739:
2698:
2632:
2472:
2441:
2414:
2375:
2340:
2311:
2272:
2252:
2232:
2209:
2189:
2166:
2120:
2100:
2080:
2060:
2040:
2012:
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