Gravitational lensing formalism

33: 7618: 7344: 6461: 3110: 5631: 8891:, the thin-lens approximation may break down, and low-density extended structures may not be well approximated by multiple thin-lens planes. In this case, the deflection can be derived by instead assuming that the gravitational potential is slowly varying everywhere (for this reason, this approximation is not valid for strong lensing). This approach assumes the universe is well described by a Newtonian-perturbed 7613:{\displaystyle \kappa ={\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}+{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{1}\equiv {\partial \psi \over 2\partial \theta _{1}\partial \theta _{1}}-{\partial \psi \over 2\partial \theta _{2}\partial \theta _{2}},~\gamma _{2}\equiv {\partial \psi \over \partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}} 6911: 6114: 1861: 667: 2803: 1218: 7333: 5165: 12639: 4455: 9168: 1461: 2220: 6650: 6456:{\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla _{\vec {\theta }}^{2}\psi ({\vec {\theta }})={\frac {4\pi GD_{ds}D_{d}}{c^{2}D_{s}}}\int dz\rho (D_{d}{\vec {\theta }},z)={\Sigma \over \Sigma _{cr}}=\sum _{i}{4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{i}D_{s}}\delta ({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i})} 8008: 1656: 4045: 9820:

Like the traditional ellipticity, the magnitudes of both of these quantities range from 0 (circular) to 1 (a line segment). The position angle is encoded in the complex phase, but because of the factor of 2 in the trigonometric arguments, ellipticity is invariant under a rotation of 180 degrees.

427: 2622: 994: 7078: 5154: 12013: 9447:

is mapped out by observing the effect of the shear on the ellipticities of background galaxies. This effect is purely statistical; the shape of any galaxy will be dominated by its random, unlensed shape, but lensing will produce a spatially coherent distortion of these shapes.

5626:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})=-{\frac {2GD_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int dz\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}=-\sum _{i}{\frac {2GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left|_{D_{i}}^{D_{s}}+|_{D_{i}}^{0}.} 12251:

as long as the shear and convergence do not change appreciably over the size of the source (in that case, the lensed image is not an ellipse). Galaxies are not intrinsically circular, however, so it is necessary to quantify the effect of lensing on a non-zero ellipticity.

11783: 11570: 5001: 9821:

This is to be expected; an ellipse is unchanged by a 180° rotation. Taken as imaginary and real parts, the real part of the complex ellipticity describes the elongation along the coordinate axes, while the imaginary part describes the elongation at 45° from the axes.

8437: 13642:, which is known as the "mass sheet degeneracy." In principle, this degeneracy can be broken if an independent measurement of the magnification is available because the magnification is not invariant under the aforementioned degeneracy transformation. Specifically, 12371: 2347: 4171: 3602: 4832: 2602: 8989: 10700: 9354: 12870: 9702: 6099: 9988: 6906:{\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}=\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})=\sum _{i}{\theta _{Ei}^{2} \over |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}_{i}|},~\pi \theta _{Ei}^{2}\equiv {4\pi GM_{i}D_{is} \over c^{2}D_{s}D_{i}}} 1295: 2073: 7807: 1856:{\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }{\frac {({\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime })\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })}{|{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|^{2}}}} 7067: 1951: 11262: 11118: 2432: 7753: 947: 3857: 662:{\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int d^{2}\xi ^{\prime }\int dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z){\frac {\vec {b}}{|{\vec {b}}|^{2}}},~{\vec {b}}\equiv {\vec {\xi }}-{\vec {\xi ^{\prime }}}} 10412: 9907: 9815: 3823: 854:

In the limit of a "thin lens", where the distances between the source, lens, and observer are much larger than the size of the lens (this is almost always true for astronomical objects), we can define the projected mass density

2798:{\displaystyle A_{ij}={\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}}} 1213:{\displaystyle {\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {\xi }})={\frac {4G}{c^{2}}}\int {\frac {({\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime })\Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|^{2}}}d^{2}\xi ^{\prime }} 13129: 4662: 5863: 10278: 10161: 7328:{\displaystyle A_{ij}={\partial \beta _{j} \over \partial \theta _{i}}={\partial \tau \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\delta _{ij}-{\partial \psi \over \partial \theta _{i}\partial \theta _{j}}=\left} 8095: 13298: 12946: 6525: 5012: 4163: 10529: 3735: 796: 11791: 10887: 10795: 9993:

Real astronomical background sources are not perfect ellipses. Their ellipticities can be measured by finding a best-fit elliptical model to the data, or by measuring the second moments of the image about some

3333: 2058: 13068: 13214: 13640: 3210: 13176: 11350: 10971: 11578: 11365: 8192: 13527: 12310: 4892: 13395: 6640: 322: 12634:{\displaystyle A=\left&-\mathrm {Im} \\-\mathrm {Im} &1-\kappa +\mathrm {Re} \end{array}}\right]=(1-\kappa )\left&-\mathrm {Im} \\-\mathrm {Im} &1+\mathrm {Re} \end{array}}\right]} 12360: 8200: 1224: 2239: 1648: 13569: 12246: 12196: 4450:{\displaystyle {D_{d} \over c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}+{D_{ds} \over c}{\left^{2} \over 2}={D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}{({\vec {\theta }}-{\vec {\beta }})^{2} \over 2}.} 6587: 3030: 3397: 3443: 8492: 844: 13722: 9431:

can be decomposed into convergence and shear terms just as with the thin-lens case, and in the limit of a lens that is both thin and weak, their physical interpretations are the same.

4089: 9163:{\displaystyle {\frac {\partial \beta _{i}}{\partial \theta _{j}}}=\delta _{ij}+\int _{0}^{r_{\infty }}drg(r){\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {x}}(r))}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}} 10045: 4693: 3087:

and the x-axis. The term involving the convergence magnifies the image by increasing its size while conserving surface brightness. The term involving the shear stretches the image

986: 2466: 5697: 10537: 3437:

for the "aether", i.e., the gravitational field. The last can be obtained from the fact that a photon travels on a null geodesic of a weakly perturbed static Minkowski universe

12733: 9555: 9516: 8954: 4884: 3085: 1287: 8925: 4050:

The first term is the straight path travel time, the second term is the extra geometric path, and the third is the gravitational delay. Make the triangle approximation that

1593: 1258: 12725: 3638: 9236: 5877: 2839: 417:, and if the deflection is small we can approximate the gravitational potential along the deflected trajectory by the potential along the undeflected trajectory, as in the 13001: 12975: 8874: 8128: 6944: 339:

can yield exactly half this value, where the light ray is assumed as a massed particle and scattered by the gravitational potential well. This approximation is good when

121: 3429: 1456:{\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {\theta }}-{\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\theta }}-{\frac {D_{ds}}{D_{s}}}{\vec {\hat {\alpha }}}({\vec {D_{d}\theta }})} 12695: 719: 381: 13686: 13470: 2215:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {1}{\pi }}\int d^{2}\theta ^{\prime }\kappa ({\vec {\theta }}^{\prime })\ln |{\vec {\theta }}-{\vec {\theta }}^{\prime }|} 12123: 12100: 9915: 5733: 2873: 13593: 12054: 9429: 8003:{\displaystyle \kappa =0,~\gamma ={\sqrt {\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}}}={\theta _{E}^{2} \over |\theta |^{2}},~\theta _{E}^{2}={4GMD_{ds} \over c^{2}D_{d}D_{s}}.} 1497: 9547: 9228: 8981: 3056: 2458: 1557: 1527: 415: 13663: 9393: 6971: 5661: 4855: 4685: 4485: 3846: 9483: 6973:. For a single point lens at the origin we recover the standard result that there will be two images at the two solutions of the essentially quadratic equation 3244: 6979: 13447: 13421: 12665: 12146: 9194: 1875: 257: 11126: 10982: 7796: 7776: 2355: 690: 7629: 4040:{\displaystyle t\approx \int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}+\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{\alpha (z)^{2} \over 2}-\int _{0}^{z_{s}}{dz \over c}{2\Phi \over c^{2}}.} 861: 13220:

This is the principal equation of weak lensing: the average ellipticity of background galaxies is a direct measure of the shear induced by foreground mass.

10286: 9834: 9710: 11355:

The unweighted second moments above are problematic in the presence of noise, neighboring objects, or extended galaxy profiles, so it is typical to use

3746: 3113:

Effect of the components of convergence and shear on a circular source represented by the solid green circle. The complex shear notation is defined

13076: 4493: 2845:. Because the matrix of second derivatives must be symmetric, the Jacobian can be decomposed into a diagonal term involving the convergence and a 5738: 10169: 10052: 209: 8019: 13250: 12878: 5149:{\displaystyle \Phi ({\vec {\xi }})=-\int {\frac {d^{3}\xi ^{\prime }\rho ({\vec {\xi }}^{\prime })}{|{\vec {\xi }}-{\vec {\xi }}^{\prime }|}}} 3246:

is the time to travel an infinitesimal line element along the source-observer straight line in vacuum, which is then corrected by the factor

12008:{\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}} 6469: 4094: 10423: 724: 10803: 10711: 3252: 1970: 13009: 9526:, two different definitions are commonly used, and both are complex quantities which specify both the axis ratio and the position angle 13181: 3646: 13598: 3132: 13140: 11270: 10895: 11778:{\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}} 11565:{\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum w(x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})I(x,y)}}} 141: 12076: 9444: 126: 4996:{\displaystyle 0=\nabla _{\vec {\theta }}\tau ={\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}-\nabla _{\vec {\theta }}\psi ({\vec {\theta }})} 8135: 13478: 12265: 13309: 8432:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx {1 \over 2}\kappa _{\rm {smooth}}|\theta |^{2}+\sum _{i}\theta _{E}^{2}\left.} 6592: 265: 13229: 2342:{\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})={\vec {\nabla }}\psi ({\vec {\theta }})} 12324: 13844:

Bernstein, G.; Jarvis, M. (February 2002). "Shapes and Shears, Stars and Smears: Optimal Measurements for Weak Lensing".

202: 1606: 13538: 12204: 12154: 3597:{\displaystyle ds^{2}=0=c^{2}dt^{2}\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)-\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)^{-1}dl^{2}} 13828: 6530: 2880: 8888: 3341: 3126:

There is an alternative way of deriving the lens equation, starting from the photon arrival time (Fermat surface)

12060: 390:, the deflection due to a spatially extended mass can be written simply as a vector sum over point masses. In the 8957: 8445: 2613: 801: 171: 9824:

The ellipticity is often written as a two-component vector instead of a complex number, though it is not a true

4827:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz.} 13913: 13691: 4053: 2597:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})={\frac {2D_{ds}}{D_{d}D_{s}c^{2}}}\int \Phi (D_{d}{\vec {\theta }},z)dz} 195: 8879:

This generally creates a network of critical curves, lines connecting image points of infinite amplification.

4487:

on the left. Angular diameter distances don't add in a simple way, in general.) So the Fermat surface becomes

10000: 2437:

The deflection potential can also be written as a scaled projection of the Newtonian gravitational potential

955: 10695:{\displaystyle \epsilon ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}+2{\sqrt {q_{xx}q_{yy}-q_{xy}^{2}}}}}} 1961: 176: 48: 5666: 13908: 13134:

If we can assume that the sources are randomly oriented, their complex ellipticities average to zero, so

12865:{\displaystyle \chi ={\frac {\chi _{s}+2g+g^{2}\chi _{s}^{*}}{1+|g|^{2}+2\mathrm {Re} (g\chi _{s}^{*})}}} 9697:{\displaystyle \chi ={\frac {1-q^{2}}{1+q^{2}}}e^{2i\phi }={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}e^{2i\phi }} 8132:

In cases there are multiple point lenses plus a smooth background of (dark) particles of surface density

181: 9523: 9440: 1566:

In strong gravitational lensing, this equation can have multiple solutions, because a single source at

56: 52: 9488: 9349:{\displaystyle g(r)=2r\int _{r}^{r_{\infty }}dr'\left(1-{\frac {r^{\prime }}{r}}\right)W(r^{\prime })} 8930: 8442:

To compute the amplification, e.g., at the origin (0,0), due to identical point masses distributed at

6094:{\displaystyle \psi ({\vec {\theta }})\approx \sum _{i}{\frac {4GM_{i}D_{is}}{D_{s}D_{i}c^{2}}}\left.} 4860: 3061: 1263: 12059:

Image moments cannot generally be used to measure the ellipticity of galaxies without correcting for

8901: 7623:

which takes the meaning of convergence and shear. The amplification is the inverse of the Jacobian

1569: 1560: 1234: 12700: 8898:

As in the thin-lens case, the effect can be written as a mapping from the unlensed angular position

3610: 12056:

is a weight function that typically goes to zero or quickly approaches zero at some finite radius.

2811: 131: 12980: 12954: 8500: 8103: 6919: 9983:{\displaystyle \epsilon =\{\left|\epsilon \right|\cos 2\phi ,\left|\epsilon \right|\sin 2\phi \}} 3402: 12670: 695: 342: 13668: 13452: 7072:

The amplification matrix can be obtained by double derivatives of the dimensionless time delay

328: 12105: 12082: 5702: 2855: 13903: 13578: 12064: 12021: 9401: 1469: 9529: 9203: 8963: 7062:{\displaystyle {\vec {\theta }}-{\vec {\beta }}={\theta _{E}^{2} \over |{\vec {\theta }}|}.} 3038: 2440: 1532: 1502: 397: 13863: 13760: 13645: 9366: 6949: 5639: 4840: 4670: 4463: 3831: 1946:{\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {\Sigma ({\vec {\theta }})}{\Sigma _{cr}}}} 1231:

As shown in the diagram on the right, the difference between the unlensed angular position

11257:{\displaystyle b^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}-{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}} 11113:{\displaystyle a^{2}={\frac {q_{xx}+q_{yy}+{\sqrt {(q_{xx}-q_{yy})^{2}+4q_{xy}^{2}}}}{2}}} 9459: 3218: 2427:{\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}\psi ({\vec {\theta }})} 1289:

is this deflection angle, reduced by a ratio of distances, described as the lens equation

8: 7748:{\displaystyle A=1/det(A_{ij})={1 \over (1-\kappa )^{2}-\gamma _{1}^{2}-\gamma _{2}^{2}}} 13867: 13764: 13429: 13403: 12647: 12128: 9176: 8494:

we have to add up the total shear, and include a convergence of the smooth background,

3828:

The refraction index greater than unity because of the negative gravitational potential

1559:

is the distance from the observer to the lens. For extragalactic lenses, these must be

942:{\displaystyle \Sigma ({\vec {\xi }}^{\prime })=\int \rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)dz} 239: 32: 13879: 13853: 13795: 13776: 13750: 7781: 7761: 675: 418: 387: 230: 223: 166: 24: 13772: 13824: 13780: 10407:{\displaystyle q_{xy}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})I(x,y)}{\sum I(x,y)}}} 9902:{\displaystyle \chi =\{\left|\chi \right|\cos 2\phi ,\left|\chi \right|\sin 2\phi \}} 9825: 9810:{\displaystyle \epsilon ={\frac {1-q}{1+q}}e^{2i\phi }={\frac {a-b}{a+b}}e^{2i\phi }} 9197: 336: 146: 13871: 13768: 234: 151: 13883: 12526: 12386: 7242: 3106:

traditionally defined in mathematics, though both stretch an image non-uniformly.

2952: 2910: 721:

is the vector impact parameter of the actual ray path from the infinitesimal mass

10705:

This can be used to relate the second moments to traditional ellipse parameters:

4165:

for the path between the lens and the source. The geometric delay term becomes

2842: 391: 93: 8960:

of the transform can be written as an integral over the gravitational potential

8895:, but it makes no other assumptions about the distribution of the lensing mass. 3818:{\displaystyle n\equiv {c \over c'}\approx \left(1-{2\Phi \over c^{2}}\right).} 13820: 3851:

Put these together and keep the leading terms we have the time arrival surface

1223: 332: 88: 84: 13794:

Narayan, R.; Bartelmann, M. (June 1996). "Lectures on Gravitational Lensing".

13897: 13240:

is given by the ratio of the image area to the source area. For a circularly

13237: 13124:{\displaystyle \epsilon \approx \epsilon _{s}+g\approx \epsilon _{s}+\gamma } 4657:{\displaystyle t=constant+{D_{d}D_{s} \over D_{ds}c}\tau ,~\tau \equiv \left} 3103: 40: 13741:

Bartelmann, M.; Schneider, P. (January 2001). "Weak Gravitational Lensing".

6527:

as the ratio of projected density with the critical density. Here we used

5858:{\displaystyle \sinh ^{-1}1/x=\ln(1/x+{\sqrt {1/x^{2}+1}})\approx -\ln(x/2)} 10273:{\displaystyle q_{yy}={\frac {\sum (y-{\bar {y}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}} 10156:{\displaystyle q_{xx}={\frac {\sum (x-{\bar {x}})^{2}I(x,y)}{\sum I(x,y)}}} 5006:

which is the lens equation. Take the Poisson's equation for 3D potential

2846: 8090:{\displaystyle A=\left(1-{\theta _{E}^{4} \over \theta ^{4}}\right)^{-1}.} 7801:

For a single point lens, one can show (albeit a lengthy calculation) that

13858: 13800: 13755: 13293:{\displaystyle \mu ={\frac {\theta }{\beta }}{\frac {d\theta }{d\beta }}} 13233: 13228:

While gravitational lensing preserves surface brightness, as dictated by

12941:{\displaystyle \epsilon ={\frac {\epsilon _{s}+g}{1+g^{*}\epsilon _{s}}}} 11356: 102: 9363:, which defines the efficiency of lensing for a distribution of sources 8892: 156: 97: 79: 75: 70: 6520:{\displaystyle \kappa ({\vec {\theta }})={\Sigma \over \Sigma _{cr}}} 4158:{\displaystyle \alpha (z)\approx (\theta -\beta ){D_{d} \over D_{ds}}} 10524:{\displaystyle \chi ={\frac {q_{xx}-q_{yy}+2iq_{xy}}{q_{xx}+q_{yy}}}} 2230: 791:{\displaystyle d^{2}\xi ^{\prime }dz\rho ({\vec {\xi }}^{\prime },z)} 10882:{\displaystyle q_{yy}=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \,} 10790:{\displaystyle q_{xx}=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \,} 6644:

We can also confirm the previously defined reduced deflection angle

4687:

is so-called dimensionless time delay, and the 2D lensing potential

3328:{\displaystyle 1/\cos(\alpha (z))\approx 1+{\alpha (z)^{2} \over 2}} 2053:{\displaystyle \Sigma _{cr}={\frac {c^{2}D_{s}}{4\pi GD_{ds}D_{d}}}} 13875: 13241: 13063:{\displaystyle \chi \approx \chi _{s}+2g\approx \chi _{s}+2\gamma } 9995: 4837:

The images lie at the extrema of this surface, so the variation of

3109: 2226: 988:

is a vector in the plane of the sky. The deflection angle is then

13209:{\displaystyle \langle \epsilon \rangle =\langle \gamma \rangle } 9519: 3088: 13426:

The reduced shear is invariant with the scaling of the Jacobian

3730:{\displaystyle c'={dl/dt}=\left(1+{2\Phi \over c^{2}}\right)c.} 13635:{\displaystyle \kappa \rightarrow \lambda \kappa +(1-\lambda )} 3205:{\displaystyle t=\int _{0}^{z_{s}}{ndz \over c\cos \alpha (z)}} 13171:{\displaystyle \langle \chi \rangle =2\langle \gamma \rangle } 11345:{\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2q_{xy}}{q_{xx}-q_{yy}}}} 10966:{\displaystyle q_{xy}=(a^{2}-b^{2})\sin \theta \cos \theta \,} 386:

In situations where general relativity can be approximated by

9456:

In most fields of astronomy, the ellipticity is defined as

161: 12148:, lensing generates an ellipse with major and minor axes 8187:{\displaystyle \Sigma _{\rm {cr}}\kappa _{\rm {smooth}},} 6946:

is the so-called Einstein angular radius of a point lens

6108:

by applying the 2D Laplacian of the 2D lensing potential

5636:

Here we assumed the lens is a collection of point masses

13740: 13522:{\displaystyle 1-\kappa ^{\prime }=\lambda (1-\kappa )} 12305:{\displaystyle \gamma =\left|\gamma \right|e^{2i\phi }} 1598: 13390:{\displaystyle \mu ={\frac {1}{\det A}}={\frac {1}{}}} 12259:

in analogy to the complex ellipticities defined above

6635:{\displaystyle \nabla _{\vec {\theta }}=D_{d}\nabla .} 2616:

between the unlensed and lensed coordinate systems is

317:{\displaystyle {\hat {\alpha }}={\frac {4GM}{c^{2}b}}} 13694: 13671: 13648: 13601: 13581: 13541: 13481: 13455: 13432: 13423:

is also known as the "inverse magnification matrix".

13406: 13312: 13253: 13184: 13143: 13079: 13012: 12983: 12957: 12881: 12736: 12703: 12673: 12650: 12374: 12327: 12268: 12207: 12157: 12131: 12125:. Acting on a circular background source with radius 12108: 12085: 12024: 11794: 11581: 11368: 11273: 11129: 10985: 10898: 10806: 10714: 10540: 10426: 10289: 10172: 10055: 10003: 9918: 9837: 9713: 9558: 9532: 9491: 9462: 9404: 9369: 9239: 9206: 9179: 8992: 8966: 8933: 8904: 8503: 8448: 8203: 8138: 8106: 8022: 7810: 7784: 7764: 7632: 7347: 7081: 6982: 6952: 6922: 6653: 6595: 6533: 6472: 6117: 5880: 5741: 5705: 5669: 5642: 5168: 5015: 4895: 4863: 4843: 4696: 4673: 4496: 4466: 4174: 4097: 4091:

for the path between the observer and the lens, and

4056: 3860: 3834: 3749: 3649: 3613: 3446: 3405: 3344: 3255: 3221: 3135: 3064: 3041: 2883: 2858: 2814: 2625: 2469: 2443: 2358: 2242: 2076: 1973: 1878: 1659: 1609: 1572: 1535: 1529:

is the distance from the observer to the source, and

1505: 1472: 1298: 1266: 1237: 997: 958: 864: 804: 727: 698: 678: 430: 400: 345: 268: 242: 12355:{\displaystyle g\equiv {\frac {\gamma }{1-\kappa }}} 1227:

Angles involved in a thin gravitational lens system.

13843: 13716: 13680: 13657: 13634: 13587: 13563: 13521: 13464: 13441: 13415: 13389: 13292: 13208: 13170: 13123: 13062: 12995: 12969: 12940: 12864: 12719: 12689: 12659: 12633: 12354: 12304: 12240: 12190: 12140: 12117: 12094: 12048: 12007: 11777: 11564: 11344: 11256: 11112: 10965: 10881: 10789: 10694: 10523: 10406: 10272: 10155: 10039: 9982: 9901: 9809: 9696: 9541: 9510: 9477: 9423: 9387: 9348: 9222: 9188: 9162: 8975: 8948: 8919: 8868: 8486: 8431: 8186: 8122: 8100:Note A diverges for images at the Einstein radius 8089: 8002: 7790: 7778:means either a maxima or a minima, and a negative 7770: 7747: 7612: 7327: 7061: 6965: 6938: 6905: 6634: 6581: 6519: 6455: 6093: 5857: 5727: 5691: 5655: 5625: 5148: 4995: 4878: 4849: 4826: 4679: 4656: 4479: 4449: 4157: 4083: 4039: 3840: 3817: 3729: 3632: 3596: 3423: 3391: 3327: 3238: 3204: 3079: 3050: 3024: 2867: 2833: 2797: 2596: 2452: 2426: 2341: 2225:such that the scaled deflection angle is just the 2214: 2052: 1945: 1855: 1643:{\displaystyle {\vec {\alpha }}({\vec {\theta }})} 1642: 1587: 1551: 1521: 1491: 1455: 1281: 1252: 1212: 980: 941: 838: 790: 713: 684: 661: 409: 375: 316: 251: 13793: 13564:{\displaystyle \gamma ^{\prime }=\lambda \gamma } 8013:So the amplification of a point lens is given by 2229:of the potential and the convergence is half the 331:, M the mass of the deflecting object and c the 13895: 13325: 12241:{\displaystyle b={\frac {R}{1-\kappa +\gamma }}} 12191:{\displaystyle a={\frac {R}{1-\kappa -\gamma }}} 6582:{\displaystyle \nabla ^{2}1/r=-4\pi \delta (r)} 3025:{\displaystyle A=(1-\kappa )\left-\gamma \left} 13595:can only be determined up to a transformation 3392:{\displaystyle dl={dz \over c\cos \alpha (z)}} 3338:to get the line element along the bended path 13472:, which is equivalent to the transformations 13244:lens, the magnification factor μ is given by 7798:means a saddle point in the arrival surface. 3092: 1499:is the distance from the lens to the source, 421:in quantum mechanics. The deflection is then 203: 13203: 13197: 13191: 13185: 13165: 13159: 13150: 13144: 9977: 9925: 9896: 9844: 3114: 394:, this becomes an integral over the density 12365:The lensing Jacobian can now be written as 9434: 8487:{\displaystyle (\theta _{xi},\theta _{yi})} 839:{\displaystyle ({\vec {\xi }}^{\prime },z)} 12070: 9451: 3607:where the uneven gravitational potential 849: 210: 196: 31: 13857: 13799: 13754: 13717:{\displaystyle \mu \propto \lambda ^{-2}} 10962: 10878: 10786: 4084:{\displaystyle \alpha (z)=\theta -\beta } 233:, a point mass deflects a light ray with 13814: 3108: 1222: 222:For broader coverage of this topic, see 10040:{\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})} 8882: 981:{\displaystyle {\vec {\xi }}^{\prime }} 13896: 8889:weak lensing by large-scale structure 7338:where we have define the derivatives 6466:in agreement with earlier definition 5159:and we find the 2D lensing potential 3640:drives a changing the speed of light 692:is the line-of-sight coordinate, and 5692:{\displaystyle {\vec {\theta }}_{i}} 1599:Convergence and deflection potential 1595:can be lensed into multiple images. 13232:, lensing does change the apparent 12667:and unlensed complex ellipticities 10417:The complex ellipticities are then 2607: 259:by an angle approximately equal to 13: 13547: 13493: 13303:In terms of convergence and shear 12831: 12828: 12610: 12607: 12585: 12582: 12561: 12558: 12539: 12536: 12482: 12479: 12451: 12448: 12427: 12424: 12405: 12402: 9338: 9312: 9276: 9230:are the transverse distances, and 9144: 9131: 9099: 9090: 9061: 9011: 8996: 8967: 8546: 8543: 8540: 8537: 8534: 8531: 8259: 8256: 8253: 8250: 8247: 8244: 8175: 8172: 8169: 8166: 8163: 8160: 8148: 8145: 8140: 7594: 7581: 7573: 7535: 7522: 7511: 7489: 7476: 7465: 7427: 7414: 7403: 7381: 7368: 7357: 7218: 7205: 7197: 7159: 7146: 7138: 7116: 7101: 6685: 6626: 6597: 6535: 6503: 6499: 6313: 6309: 6153: 5352: 5308: 5283: 5133: 5089: 5064: 5016: 4956: 4903: 4778: 4018: 3835: 3791: 3700: 3614: 3551: 3509: 2779: 2766: 2752: 2713: 2698: 2660: 2645: 2551: 2444: 2394: 2309: 2202: 2154: 2129: 1975: 1929: 1906: 1833: 1789: 1761: 1721: 1205: 1170: 1126: 1106: 1098: 973: 919: 885: 865: 822: 774: 743: 648: 545: 511: 19:Part of a series of articles about 14: 13925: 3399:with a varying small pitch angle 3121: 3091:around the lens, as discussed in 13223: 9511:{\displaystyle q={\frac {b}{a}}} 8949:{\displaystyle {\vec {\theta }}} 4879:{\displaystyle {\vec {\theta }}} 3080:{\displaystyle {\vec {\alpha }}} 1282:{\displaystyle {\vec {\theta }}} 12727:, the lensed ellipticities are 8920:{\displaystyle {\vec {\beta }}} 1588:{\displaystyle {\vec {\beta }}} 1253:{\displaystyle {\vec {\beta }}} 13837: 13808: 13787: 13734: 13629: 13617: 13605: 13516: 13504: 13400:For this reason, the Jacobian 13381: 13359: 13346: 13343: 12856: 12835: 12811: 12802: 12720:{\displaystyle \epsilon _{s}~} 12620: 12614: 12595: 12589: 12571: 12565: 12549: 12543: 12518: 12506: 12492: 12486: 12461: 12455: 12437: 12431: 12415: 12409: 12040: 12028: 11999: 11987: 11981: 11975: 11954: 11939: 11928: 11916: 11910: 11904: 11883: 11868: 11862: 11856: 11841: 11838: 11832: 11817: 11769: 11757: 11751: 11745: 11724: 11709: 11698: 11686: 11680: 11674: 11653: 11638: 11626: 11619: 11604: 11556: 11544: 11538: 11532: 11511: 11496: 11485: 11473: 11467: 11461: 11440: 11425: 11413: 11406: 11391: 11213: 11180: 11069: 11036: 10941: 10915: 10398: 10386: 10375: 10363: 10357: 10351: 10336: 10333: 10327: 10312: 10264: 10252: 10241: 10229: 10217: 10210: 10195: 10147: 10135: 10124: 10112: 10100: 10093: 10078: 10034: 10028: 10013: 10004: 9379: 9373: 9343: 9330: 9249: 9243: 9126: 9123: 9117: 9111: 9102: 9083: 9077: 8940: 8911: 8829: 8786: 8766: 8734: 8689: 8646: 8626: 8584: 8553: 8516: 8481: 8449: 8373: 8359: 8343: 8333: 8275: 8266: 8222: 8216: 8207: 7900: 7891: 7697: 7684: 7672: 7656: 7049: 7042: 7032: 7004: 6989: 6796: 6783: 6767: 6757: 6719: 6713: 6704: 6694: 6675: 6660: 6606: 6576: 6570: 6491: 6485: 6476: 6450: 6438: 6422: 6413: 6301: 6289: 6270: 6192: 6186: 6177: 6162: 6136: 6130: 6121: 6041: 6028: 6012: 6002: 5899: 5893: 5884: 5852: 5838: 5823: 5778: 5677: 5598: 5564: 5550: 5537: 5521: 5511: 5494: 5473: 5358: 5345: 5329: 5319: 5313: 5301: 5291: 5187: 5181: 5172: 5139: 5126: 5110: 5100: 5094: 5082: 5072: 5034: 5028: 5019: 4990: 4984: 4975: 4965: 4946: 4931: 4912: 4870: 4812: 4800: 4781: 4715: 4709: 4700: 4628: 4621: 4606: 4597: 4429: 4422: 4407: 4398: 4302: 4296: 4281: 4272: 4226: 4219: 4204: 4195: 4125: 4113: 4107: 4101: 4066: 4060: 3957: 3950: 3633:{\displaystyle \Phi \ll c^{2}} 3415: 3409: 3383: 3377: 3310: 3303: 3285: 3282: 3276: 3270: 3196: 3190: 3071: 2902: 2890: 2585: 2573: 2554: 2488: 2482: 2473: 2421: 2415: 2406: 2377: 2371: 2362: 2336: 2330: 2321: 2312: 2300: 2294: 2285: 2279: 2264: 2249: 2208: 2195: 2179: 2169: 2159: 2147: 2137: 2095: 2089: 2080: 1924: 1918: 1909: 1897: 1891: 1882: 1840: 1826: 1810: 1800: 1794: 1782: 1772: 1766: 1754: 1738: 1729: 1687: 1681: 1672: 1666: 1637: 1631: 1622: 1616: 1579: 1450: 1444: 1423: 1417: 1412: 1368: 1356: 1350: 1341: 1335: 1320: 1305: 1273: 1244: 1177: 1163: 1147: 1137: 1131: 1119: 1109: 1103: 1091: 1075: 1066: 1032: 1026: 1017: 1011: 1006: 966: 930: 912: 902: 890: 878: 868: 833: 815: 805: 785: 767: 757: 705: 653: 631: 616: 591: 583: 573: 566: 556: 538: 528: 465: 459: 450: 444: 439: 275: 1: 13773:10.1016/S0370-1573(00)00082-X 13727: 12079:can be decomposed into shear 2834:{\displaystyle \delta _{ij}~} 1960:(not to be confused with the 1603:The reduced deflection angle 12996:{\displaystyle \kappa \ll 1} 12970:{\displaystyle \gamma \ll 1} 8869:{\displaystyle A=\left^{-1}} 8194:the time arrival surface is 8123:{\displaystyle \theta _{E}.} 6939:{\displaystyle \theta _{Ei}} 7: 13236:of a source. The amount of 12951:In the weak lensing limit, 9828:with regard to transforms: 3431:and the refraction index 3424:{\displaystyle \alpha (z),} 798:located at the coordinates 10: 13930: 12690:{\displaystyle \chi _{s}~} 9524:weak gravitational lensing 9441:weak gravitational lensing 3098:The shear defined here is 1561:angular diameter distances 1260:and the observed position 714:{\displaystyle {\vec {b}}} 376:{\displaystyle 4GM/c^{2}b} 221: 13681:{\displaystyle \lambda ~} 13465:{\displaystyle \lambda ~} 9518:is the axis ratio of the 2849:-free term involving the 335:. A naive application of 13815:Dodelson, Scott (2003). 12118:{\displaystyle \kappa ~} 12095:{\displaystyle \gamma ~} 9435:Weak lensing observables 8983:along the line of sight 5728:{\displaystyle z=D_{i}.} 3740:So the refraction index 3093:weak lensing observables 2868:{\displaystyle \gamma ~} 1958:critical surface density 13588:{\displaystyle \kappa } 12071:Shear and reduced shear 12049:{\displaystyle w(x,y)~} 9452:Measures of ellipticity 9424:{\displaystyle A_{ij}~} 8927:to the lensed position 5663:at angular coordinates 2064:We can also define the 1492:{\displaystyle D_{ds}~} 850:Thin lens approximation 13718: 13682: 13659: 13636: 13589: 13565: 13523: 13466: 13443: 13417: 13391: 13294: 13210: 13172: 13125: 13064: 12997: 12971: 12942: 12866: 12721: 12691: 12661: 12635: 12356: 12306: 12242: 12192: 12142: 12119: 12096: 12050: 12009: 11779: 11566: 11346: 11258: 11114: 10967: 10883: 10791: 10696: 10525: 10408: 10274: 10157: 10041: 9984: 9903: 9811: 9698: 9543: 9542:{\displaystyle \phi ~} 9512: 9479: 9425: 9389: 9350: 9224: 9223:{\displaystyle x^{i}~} 9190: 9164: 8977: 8976:{\displaystyle \Phi ~} 8950: 8921: 8870: 8488: 8433: 8188: 8124: 8091: 8004: 7792: 7772: 7749: 7614: 7329: 7063: 6967: 6940: 6907: 6636: 6583: 6521: 6457: 6095: 5859: 5729: 5693: 5657: 5627: 5150: 4997: 4880: 4851: 4828: 4681: 4658: 4481: 4451: 4159: 4085: 4041: 3842: 3819: 3731: 3634: 3598: 3425: 3393: 3329: 3240: 3206: 3118: 3081: 3052: 3051:{\displaystyle \phi ~} 3026: 2869: 2835: 2799: 2598: 2454: 2453:{\displaystyle \Phi ~} 2428: 2343: 2216: 2054: 1947: 1857: 1644: 1589: 1553: 1552:{\displaystyle D_{d}~} 1523: 1522:{\displaystyle D_{s}~} 1493: 1457: 1283: 1254: 1228: 1214: 982: 943: 840: 792: 715: 686: 663: 411: 410:{\displaystyle \rho ~} 377: 329:gravitational constant 318: 253: 13914:Gravitational lensing 13719: 13683: 13660: 13658:{\displaystyle \mu ~} 13637: 13590: 13566: 13524: 13467: 13444: 13418: 13392: 13295: 13211: 13173: 13126: 13065: 12998: 12972: 12943: 12867: 12722: 12692: 12662: 12636: 12357: 12307: 12243: 12193: 12143: 12120: 12097: 12065:point spread function 12061:observational effects 12051: 12010: 11780: 11567: 11347: 11259: 11115: 10968: 10884: 10792: 10697: 10526: 10409: 10275: 10158: 10042: 9985: 9904: 9812: 9699: 9544: 9513: 9480: 9426: 9390: 9388:{\displaystyle W(r)~} 9351: 9225: 9191: 9165: 8978: 8951: 8922: 8871: 8489: 8434: 8189: 8125: 8092: 8005: 7793: 7773: 7750: 7615: 7330: 7064: 6968: 6966:{\displaystyle M_{i}} 6941: 6908: 6637: 6584: 6522: 6458: 6104:One can compute the 6096: 5860: 5730: 5694: 5658: 5656:{\displaystyle M_{i}} 5628: 5151: 4998: 4881: 4852: 4850:{\displaystyle \tau } 4829: 4682: 4680:{\displaystyle \tau } 4659: 4482: 4480:{\displaystyle D_{s}} 4452: 4160: 4086: 4042: 3843: 3841:{\displaystyle \Phi } 3820: 3732: 3635: 3599: 3426: 3394: 3330: 3241: 3207: 3112: 3082: 3058:is the angle between 3053: 3027: 2870: 2836: 2800: 2599: 2455: 2429: 2344: 2217: 2055: 1948: 1858: 1645: 1590: 1554: 1524: 1494: 1458: 1284: 1255: 1226: 1215: 983: 944: 841: 793: 716: 687: 664: 412: 378: 319: 254: 25:Gravitational lensing 13846:Astronomical Journal 13692: 13669: 13646: 13599: 13579: 13539: 13479: 13453: 13430: 13404: 13310: 13251: 13182: 13141: 13077: 13010: 12981: 12955: 12879: 12734: 12701: 12671: 12648: 12644:For a reduced shear 12372: 12325: 12266: 12205: 12155: 12129: 12106: 12083: 12022: 11792: 11579: 11366: 11271: 11127: 10983: 10896: 10804: 10712: 10538: 10424: 10287: 10170: 10053: 10001: 9916: 9835: 9711: 9556: 9530: 9489: 9478:{\displaystyle 1-q~} 9460: 9402: 9367: 9237: 9204: 9177: 8990: 8964: 8931: 8902: 8883:General weak lensing 8501: 8446: 8201: 8136: 8104: 8020: 7808: 7782: 7762: 7630: 7345: 7079: 6980: 6950: 6920: 6651: 6593: 6531: 6470: 6115: 5878: 5739: 5703: 5667: 5640: 5166: 5013: 4893: 4861: 4841: 4694: 4671: 4494: 4464: 4172: 4095: 4054: 3858: 3832: 3747: 3647: 3611: 3444: 3403: 3342: 3253: 3239:{\displaystyle dz/c} 3219: 3133: 3062: 3039: 2881: 2856: 2812: 2623: 2467: 2441: 2356: 2240: 2074: 2066:deflection potential 1971: 1876: 1866:where we define the 1657: 1607: 1570: 1533: 1503: 1470: 1296: 1264: 1235: 995: 956: 862: 802: 725: 696: 676: 428: 398: 343: 266: 240: 13868:2002AJ....123..583B 13765:2001PhR...340..291B 13230:Liouville's theorem 12855: 12792: 12063:, particularly the 11245: 11101: 10686: 9282: 9067: 8827: 8806: 8783: 8687: 8666: 8643: 8625: 8604: 8312: 8057: 7933: 7888: 7866: 7848: 7741: 7723: 7029: 6829: 6754: 6173: 5619: 5592: 3996: 3928: 3888: 3163: 65:Strong lens systems 13909:Effects of gravity 13714: 13678: 13655: 13632: 13585: 13561: 13519: 13462: 13442:{\displaystyle A~} 13439: 13416:{\displaystyle A~} 13413: 13387: 13290: 13206: 13168: 13121: 13060: 12993: 12967: 12938: 12862: 12841: 12778: 12717: 12687: 12660:{\displaystyle g~} 12657: 12631: 12625: 12497: 12352: 12302: 12255:We can define the 12238: 12188: 12141:{\displaystyle R~} 12138: 12115: 12092: 12046: 12005: 11775: 11562: 11342: 11254: 11228: 11110: 11084: 10963: 10879: 10787: 10692: 10669: 10521: 10404: 10270: 10153: 10037: 9980: 9899: 9807: 9694: 9539: 9508: 9475: 9421: 9385: 9346: 9261: 9220: 9189:{\displaystyle r~} 9186: 9160: 9046: 8973: 8946: 8917: 8866: 8810: 8789: 8769: 8730: 8670: 8649: 8629: 8608: 8587: 8580: 8484: 8429: 8298: 8297: 8184: 8120: 8087: 8043: 8000: 7919: 7874: 7852: 7834: 7788: 7768: 7745: 7727: 7709: 7610: 7325: 7319: 7059: 7015: 6963: 6936: 6903: 6812: 6737: 6734: 6632: 6579: 6517: 6453: 6339: 6152: 6091: 5914: 5855: 5725: 5689: 5653: 5623: 5596: 5562: 5380: 5146: 4993: 4876: 4847: 4824: 4677: 4654: 4477: 4460:(How? There is no 4447: 4155: 4081: 4037: 3975: 3907: 3867: 3838: 3815: 3727: 3630: 3594: 3421: 3389: 3325: 3236: 3202: 3142: 3119: 3102:equivalent to the 3077: 3048: 3022: 3016: 2935: 2865: 2831: 2795: 2594: 2450: 2424: 2339: 2233:of the potential: 2212: 2050: 1943: 1853: 1650:can be written as 1640: 1585: 1549: 1519: 1489: 1453: 1279: 1250: 1229: 1210: 978: 939: 836: 788: 711: 682: 659: 419:Born approximation 407: 388:linearized gravity 373: 314: 252:{\displaystyle b~} 249: 231:general relativity 224:Gravitational lens 13677: 13654: 13461: 13438: 13412: 13385: 13332: 13288: 13268: 12936: 12860: 12716: 12686: 12656: 12350: 12236: 12186: 12137: 12114: 12091: 12045: 12003: 11978: 11957: 11907: 11886: 11859: 11835: 11773: 11748: 11727: 11677: 11656: 11622: 11560: 11535: 11514: 11464: 11443: 11409: 11359:moments instead: 11340: 11252: 11246: 11108: 11102: 10690: 10687: 10519: 10402: 10354: 10330: 10268: 10213: 10151: 10096: 10031: 10016: 9789: 9744: 9676: 9603: 9538: 9506: 9474: 9420: 9384: 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Gravitational lensing formalism

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