28:
7899:
5471:
2419:
1860:
1725:
6166:
3135:
1091:
4262:
6842:
6416:
520:: any two different line-segments, connecting a point of A to a point of B, meet in at most a common endpoint (that is, they do not intersect in their interior). Every two subsets can be made "joinable". For example, if
467:
7127:
5139:
7769:
5633:
6304:
1312:
1248:
7528:
7211:
3981:
3011:
4619:
7367:
5258:
1564:
2719:
6665:
3290:
5318:
7606:
7289:
5743:
6588:
3576:
718:
667:
6475:
5326:
3464:
3408:
2833:
6002:
6219:
4504:
3216:
2931:
2887:
4848:
4715:
4123:
4071:
3349:
2254:
1959:
1901:
254:
759:
5819:
4671:
5185:
6976:
6700:
6510:
4021:
3903:
3857:
3739:
2244:
2161:
2054:
1399:
1138:
616:
567:
334:
4962:
1733:
1598:
5541:
3669:
2106:
2080:
7716:
7686:
7646:
7447:
7407:
6917:
6872:
2516:
2215:
1479:
6040:
5678:
5053:
5014:
4931:
4811:
4741:
3490:
3169:
2607:
148:
5946:
4901:
122:
7747:
5911:
5878:
5846:
4554:
4438:
3779:
1590:
2777:
2748:
2578:
2549:
5770:
5509:
2132:
4391:
4319:
4876:
4785:
4765:
4411:
4368:
4339:
4296:
3803:
3623:
3603:
2651:
2631:
2467:
2447:
2022:
2002:
1979:
1921:
1439:
1419:
1355:
1335:
1182:
1162:
977:
957:
799:
779:
587:
538:
511:
491:
302:
282:
212:
192:
172:
96:
76:
3016:
985:
4133:
6705:
6309:
342:
3013:, which represents a line-segment. Note that the vertex sets of A and B are disjoint; otherwise, we should have made them disjoint. For example,
7894:{\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}
7031:
2246:), then the topological definition reduces to the geometric definition, that is, the "geometric join" is homeomorphic to the "topological join":
5063:
5552:
6224:
1254:
1190:
7455:
7138:
3908:
2936:
4559:
3782:
1357:
are non-empty, in which case the definition is often phrased a bit differently: instead of attaching the faces of the cylinder
8086:
8033:
8004:
7294:
5197:
4518:
true that the join operation defined above is associative up to homeomorphism for arbitrary topological spaces. However, for
1490:
8071:
2656:
6596:
3221:
5273:
7533:
7216:
5684:
8193:
8148:
8140:
6515:
5466:{\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}
3495:
672:
621:
6424:
3413:
3357:
7929:
faces that are pairwise-disjoint. The 2-fold 2-wise deleted join is just the simple deleted join defined above.
2782:
2414:{\displaystyle {\big (}(A\times B\times )/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in \}}
8076:
5952:
6180:
4471:
3177:
2892:
2848:
8166:
4816:
4683:
4076:
4026:
3295:
1926:
1868:
217:
17:
723:
8188:
8021:
5776:
4628:
2470:
5155:
1855:{\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{for all }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ and }}b\in B.}
1720:{\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{for all }}a\in A{\mbox{ and }}b_{1},b_{2}\in B,}
6946:
6670:
6480:
3986:
3862:
3816:
3678:
2220:
2137:
2030:
1360:
1099:
592:
543:
310:
1482:
151:
6161:{\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}
5513:
5519:
3628:
2085:
2059:
7694:
7651:
7611:
7412:
7372:
6892:
6847:
2486:
2170:
1444:
7369:
are disjoint. Due to the properties of a disjoint union, the latter condition is equivalent to:
3582:
The combinatorial definition is equivalent to the topological definition in the following sense:
5644:
5019:
4980:
4936:
4910:
4790:
4720:
3469:
3148:
2586:
127:
7015:
The deleted join operation commutes with the join. That is, for every two abstract complexes
5918:
5147:
4519:
4345:
101:
35:. The original spaces are shown in green and blue. The join is a three-dimensional solid, a
7986:
7725:
5889:
5856:
5824:
5265:
4904:
4527:
4416:
3744:
1575:
1570:
8098:
5681:
be a set of two disconnected points. There is a 1-dimensional hole between the points, so
2753:
2724:
2554:
2525:
8:
5749:
5488:
2111:
4881:
4373:
4301:
8159:
7953:
5482:
5261:
4861:
4770:
4750:
4396:
4353:
4324:
4281:
3788:
3608:
3588:
3145:
are two copies of the single element in V(A). Topologically, the result is the same as
3130:{\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}
2636:
2616:
2452:
2432:
2007:
1987:
1964:
1906:
1424:
1404:
1340:
1320:
1167:
1147:
962:
942:
896:
784:
764:
572:
523:
496:
476:
287:
267:
197:
177:
157:
81:
61:
8130:
8144:
8136:
8082:
8029:
8000:
56:
8094:
1441:, these faces are simply collapsed in a way suggested by the attachment projections
7992:
1141:
8170:
6021:
5773:
is a square, which is homeomorphic to a circle that has a 2-dimensional hole, so
4522:
4273:
2025:
1086:{\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times )\sqcup _{p_{1}}B,}
305:
4257:{\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}
7937:
7719:
6837:{\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}
4445:
2610:
2519:
900:
7996:
7925:-fold 2-wise deleted join is smaller: it contains only the disjoint unions of
6411:{\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}
8182:
8126:
7688:
are disjoint. So the sets of simplices on both sides are exactly the same. □
5191:
4465:
3672:
908:
848:
462:{\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in \}}
7965:
6978:
can be regarded as a subset of this simplex: it is the set of all points (x
32:
7122:{\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}
5134:{\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}
2164:
852:
48:
8155:
5849:
4975:
856:
256:. The join is defined in slightly different ways in different contexts
36:
7984:
154:
of the two spaces, and attaching line segments joining every point in
5628:{\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}
927:
6299:{\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}
1285:
1221:
8020:
Bryant, John L. (2001-01-01), Daverman, R. J.; Sher, R. B. (eds.),
6986:) in that simplex, such that the only nonzero coordinates are some
5543:) of their join is at least the sum of connectivities of its parts:
892:
44:
6306:, that is, a discrete space with two disjoint points (recall that
3983:
is defined based on the representation of each point in the join
888:
875:
811:
4743:
but a different topology, and this operation is associative for
8079:: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry
4441:
923:
915:
1307:{\displaystyle {A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}
1243:{\displaystyle {A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}
7691:
In particular, the deleted join of the n-dimensional simplex
7523:{\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}
7206:{\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}
7135:. Each simplex in the left-hand-side complex is of the form
4462:
3976:{\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}
844:
The join of a point and an interval is a triangle (m=0, n=1).
7452:
Each simplex in the right-hand-side complex is of the form
1184:
along the natural projections of the faces of the cylinder:
3006:{\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
919:
904:
8135:
Cambridge
University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp.
4747:
topological spaces. For locally compact
Hausdorff spaces
4614:{\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}
516:
Some authors restrict the definition to subsets that are
473:
that is, the set of all line-segments between a point in
7362:{\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}
5881:, whose hole is 3-dimensional. In general, the join of
5253:{\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}
1559:{\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times )/\sim ,}
27:
1834:
1798:
1679:
1663:
761:. The figure above shows an example for m=n=1, where
7901:, where "k-wise disjoint" means that every subset of
7772:
7728:
7697:
7654:
7614:
7536:
7458:
7415:
7375:
7297:
7219:
7141:
7034:
6949:
6895:
6850:
6708:
6673:
6599:
6518:
6483:
6427:
6312:
6227:
6183:
6043:
5955:
5921:
5892:
5859:
5827:
5779:
5752:
5687:
5647:
5555:
5522:
5491:
5329:
5276:
5200:
5158:
5066:
5022:
4983:
4939:
4913:
4884:
4864:
4819:
4793:
4773:
4753:
4723:
4686:
4631:
4562:
4530:
4474:
4419:
4399:
4376:
4356:
4327:
4304:
4284:
4136:
4079:
4029:
3989:
3911:
3865:
3819:
3791:
3747:
3681:
3631:
3611:
3591:
3498:
3472:
3416:
3360:
3298:
3224:
3180:
3151:
3019:
2939:
2895:
2851:
2785:
2756:
2727:
2714:{\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}}
2659:
2639:
2619:
2589:
2557:
2528:
2489:
2477:
is an abstract simplicial complex defined as follows:
2455:
2435:
2257:
2223:
2173:
2140:
2114:
2088:
2062:
2033:
2010:
1990:
1967:
1929:
1909:
1871:
1736:
1601:
1578:
1493:
1447:
1427:
1407:
1363:
1343:
1323:
1257:
1193:
1170:
1150:
1102:
988:
965:
945:
787:
767:
726:
675:
624:
595:
575:
546:
526:
499:
479:
345:
313:
290:
270:
220:
200:
180:
160:
130:
104:
84:
64:
8081:(2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag.
7722:, which is homeomorphic to the n-dimensional sphere
6660:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
4680:
It is possible to define a different join operation
3285:{\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}
7917:-wise deleted join contains all disjoint unions of
3466:, that is, two sets with two discrete points. then
7893:
7741:
7710:
7680:
7640:
7600:
7522:
7441:
7401:
7361:
7283:
7205:
7121:
6970:
6911:
6866:
6836:
6694:
6659:
6582:
6504:
6469:
6410:
6298:
6213:
6160:
5996:
5940:
5905:
5872:
5840:
5813:
5764:
5737:
5672:
5627:
5535:
5503:
5465:
5313:{\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}
5312:
5252:
5179:
5133:
5047:
5008:
4956:
4925:
4895:
4870:
4842:
4805:
4779:
4759:
4735:
4709:
4665:
4613:
4548:
4498:
4432:
4405:
4385:
4362:
4333:
4313:
4290:
4256:
4117:
4065:
4015:
3975:
3897:
3851:
3797:
3773:
3733:
3663:
3617:
3597:
3570:
3484:
3458:
3402:
3343:
3284:
3210:
3163:
3129:
3005:
2925:
2881:
2827:
2771:
2742:
2713:
2645:
2625:
2601:
2572:
2543:
2510:
2461:
2441:
2413:
2238:
2209:
2155:
2126:
2100:
2074:
2048:
2016:
1996:
1973:
1953:
1915:
1895:
1854:
1719:
1584:
1558:
1473:
1433:
1413:
1393:
1349:
1329:
1306:
1242:
1176:
1156:
1132:
1085:
971:
951:
793:
773:
753:
712:
661:
610:
581:
561:
532:
505:
485:
461:
328:
296:
276:
248:
206:
186:
166:
142:
116:
90:
70:
7601:{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}
7284:{\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}
5738:{\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}
2217:(e.g. two non-intersecting non-parallel lines in
830:+1)-dimensional simplex. Some special cases are:
8180:
8160:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
8154:This article incorporates material from Join on
2424:
833:The join of two disjoint points is an interval (
7985:Colin P. Rourke and Brian J. Sanderson (1982).
6583:{\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}
5821:. The join of this square with a third copy of
3571:{\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}
8028:, Amsterdam: North-Holland, pp. 219–259,
2933:, that is, two sets with a single point. Then
150:, is a topological space formed by taking the
5458:
5403:
5323:This equivalence establishes the isomorphism
2308:
2260:
713:{\displaystyle \{0^{n}\}\times B\times \{1\}}
662:{\displaystyle A\times \{0^{m}\}\times \{0\}}
8112:
7888:
7803:
6998:, and the complementary n-k coordinates in x
6831:
6805:
6799:
6773:
6767:
6741:
6735:
6709:
6654:
6651:
6639:
6633:
6627:
6621:
6615:
6606:
6577:
6551:
6545:
6519:
6470:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}
6464:
6461:
6455:
6449:
6443:
6434:
6405:
6402:
6376:
6370:
6357:
6351:
6338:
6329:
6293:
6290:
6277:
6271:
6258:
6249:
6208:
6205:
6199:
6190:
6155:
6065:
5240:
5227:
5221:
5208:
5119:
5106:
5100:
5087:
3585:for every two abstract simplicial complexes
3565:
3553:
3547:
3535:
3529:
3517:
3511:
3499:
3459:{\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}
3453:
3450:
3444:
3438:
3432:
3423:
3403:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}
3397:
3394:
3388:
3382:
3376:
3367:
3335:
3317:
3279:
3276:
3264:
3258:
3252:
3246:
3240:
3231:
3205:
3202:
3196:
3187:
3124:
3121:
3095:
3089:
3076:
3070:
3057:
3048:
3000:
2997:
2985:
2979:
2973:
2967:
2961:
2952:
2920:
2917:
2911:
2902:
2876:
2873:
2867:
2858:
2822:
2786:
2708:
2672:
2408:
2316:
1948:
1942:
1890:
1884:
1277:
1271:
1213:
1207:
707:
701:
689:
676:
656:
650:
644:
631:
456:
364:
7921:faces whose intersection is empty, and the
6935:) with non-negative coordinates such that x
5476:
899:, like the join of a point and square is a
4836:
4823:
4703:
4690:
7988:Introduction to Piecewise-Linear Topology
6927:vertices): it is the set of all points (x
2828:{\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}
2226:
2143:
2036:
859:, illustrated in the figure above right (
729:
598:
549:
316:
8113:Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry (2016).
8070:
7882: are k-wise disjoint faces of
7763:of a simplicial complex A is defined as:
26:
8022:"Chapter 5 - Piecewise Linear Topology"
5997:{\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}
4853:
14:
8181:
8019:
6214:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}
6020:is an abstract complex containing all
4717:which uses the same underlying set as
4499:{\displaystyle A\star B\cong B\star A}
4461:The join of two spaces is commutative
3211:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}
2926:{\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}
2882:{\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}
1317:Usually it is implicitly assumed that
8117:(2nd ed.). Springer. p. 20.
4843:{\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}
4710:{\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}
4118:{\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}
4066:{\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}
3344:{\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}
1954:{\displaystyle A\times B\times \{1\}}
1896:{\displaystyle A\times B\times \{0\}}
934:
249:{\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}
8066:
8064:
8062:
8060:
8058:
8056:
8054:
8052:
8050:
4625:-times join of a space with itself,
754:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}
5814:{\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}
4666:{\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}
24:
7778:
7699:
7103:
7076:
7052:
6955:
6679:
6609:
6489:
6437:
6332:
6252:
6233:
6193:
6152:
6049:
5289:
5180:{\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}
5159:
3426:
3370:
3234:
3190:
3051:
2955:
2905:
2861:
979:are any topological spaces, then:
25:
8205:
8047:
7754:
7718:with itself is the n-dimensional
2779:are disjoint, the join is simply
2163:such that the dimension of their
1865:At the endpoints, this collapses
847:The join of two line segments is
259:
6971:{\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}
6695:{\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}
6505:{\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}
4509:
4456:
4267:
4016:{\displaystyle A_{1}\star B_{1}}
3898:{\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}
3852:{\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}
3734:{\displaystyle ||A||\star ||B||}
2239:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
2156:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2049:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1394:{\displaystyle A\times B\times }
1133:{\displaystyle A\times B\times }
922:, and the join of a point and a
611:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
562:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
329:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7936:-fold 2-wise deleted join of a
7010:
6874:represents a solid tetrahedron.
6007:
5146:is homeomorphic to the reduced
4969:
2721:(in the special case in which
1796:
1661:
8158:, which is licensed under the
8106:
8026:Handbook of Geometric Topology
8013:
7978:
7787:
7781:
7517:
7491:
7485:
7459:
7356:
7330:
7324:
7298:
7200:
7174:
7168:
7142:
7116:
7095:
7089:
7068:
7048:
7035:
6923:1)-dimensional simplex (with 2
6885:-1)-dimensional simplex (with
5985:
5966:
5802:
5790:
5726:
5720:
5704:
5698:
5622:
5616:
5600:
5594:
5578:
5566:
5453:
5427:
5395:
5383:
5361:
5349:
5304:
5292:
5174:
5162:
5042:
5023:
5003:
4984:
4830:
4697:
4621:Therefore, one can define the
4605:
4593:
4575:
4563:
4251:
4245:
4236:
4224:
4218:
4212:
4185:
4176:
4164:
4149:
4054:
4042:
3947:
3882:
3836:
3767:
3762:
3754:
3749:
3727:
3722:
3714:
3709:
3701:
3696:
3688:
3683:
3657:
3652:
3638:
3633:
3578:, which represents a "square".
3351:, which represents a triangle.
3338:
3314:
2766:
2760:
2737:
2731:
2567:
2561:
2538:
2532:
2505:
2493:
2405:
2393:
2356:
2343:
2331:
2295:
2292:
2280:
2265:
1793:
1768:
1762:
1737:
1658:
1633:
1627:
1602:
1542:
1539:
1527:
1512:
1388:
1376:
1127:
1115:
1057:
1054:
1042:
1027:
453:
441:
404:
391:
379:
13:
1:
8077:Using the Borsuk-Ulam Theorem
7991:. New York: Springer-Verlag.
7971:
6171:
4451:
2839:
2471:abstract simplicial complexes
2425:Abstract simplicial complexes
814:is a simplex: the join of an
8093:Written in cooperation with
5536:{\displaystyle \eta _{\pi }}
4964:are homotopy equivalent too.
3664:{\displaystyle ||A\star B||}
2101:{\displaystyle B\subseteq V}
2075:{\displaystyle A\subseteq U}
903:. The join of a point and a
870:The join of a point and an (
822:-dimensional simplex is an (
7:
7959:
7905:have an empty intersection.
7711:{\displaystyle \Delta ^{n}}
7681:{\displaystyle b_{1},b_{2}}
7641:{\displaystyle a_{1},a_{2}}
7442:{\displaystyle b_{1},b_{2}}
7402:{\displaystyle a_{1},a_{2}}
6912:{\displaystyle A^{\star 2}}
6867:{\displaystyle A^{\star 2}}
5852:, which is homeomorphic to
2511:{\displaystyle V(A\star B)}
2210:{\displaystyle dimU+dimV+1}
2024:are bounded subsets of the
1474:{\displaystyle p_{1},p_{2}}
804:
10:
8210:
7761:n-fold k-wise deleted join
2134:are disjoint subspaces of
914:The join of a point and a
887:The join of a point and a
214:with itself is denoted by
7997:10.1007/978-3-642-81735-9
6889:vertices). Then the join
6702:is a complex with facets
6512:is a complex with facets
5673:{\displaystyle A=B=S^{0}}
5048:{\displaystyle (B,b_{0})}
5009:{\displaystyle (A,a_{0})}
4957:{\displaystyle A'\star B}
3492:is a complex with facets
8194:Operations on structures
6844:(a square). Recall that
5514:homotopical connectivity
5477:Homotopical connectivity
4926:{\displaystyle A\star B}
4806:{\displaystyle A\star B}
4736:{\displaystyle A\star B}
3485:{\displaystyle A\star B}
3164:{\displaystyle A\star B}
2602:{\displaystyle A\star B}
143:{\displaystyle A\star B}
6221:(a single point). Then
6016:of an abstract complex
5941:{\displaystyle S^{n-1}}
4350:of a topological space
4278:of a topological space
3808:
1144:to the original spaces
117:{\displaystyle A\ast B}
8172:Topology and Groupoids
7944:points is called the (
7907:
7895:
7743:
7712:
7682:
7642:
7602:
7524:
7443:
7403:
7363:
7285:
7207:
7130:
7123:
6972:
6913:
6868:
6838:
6696:
6661:
6584:
6506:
6471:
6412:
6300:
6215:
6169:
6162:
5998:
5942:
5907:
5874:
5842:
5815:
5766:
5739:
5674:
5629:
5537:
5505:
5467:
5314:
5254:
5194:. Consequently, since
5188:
5181:
5135:
5049:
5010:
4958:
4927:
4897:
4872:
4844:
4807:
4781:
4761:
4737:
4711:
4667:
4615:
4550:
4500:
4434:
4407:
4387:
4364:
4335:
4315:
4292:
4265:
4258:
4119:
4067:
4017:
3977:
3899:
3853:
3799:
3775:
3735:
3665:
3619:
3599:
3572:
3486:
3460:
3404:
3345:
3286:
3212:
3165:
3131:
3007:
2927:
2883:
2829:
2773:
2744:
2715:
2647:
2627:
2603:
2574:
2545:
2512:
2463:
2443:
2422:
2415:
2240:
2211:
2157:
2128:
2102:
2076:
2050:
2018:
1998:
1975:
1955:
1917:
1897:
1856:
1721:
1586:
1560:
1475:
1435:
1415:
1395:
1351:
1331:
1308:
1244:
1178:
1158:
1134:
1087:
973:
953:
795:
775:
755:
714:
663:
612:
583:
563:
534:
507:
487:
471:
463:
330:
298:
278:
250:
208:
194:. The join of a space
188:
168:
144:
118:
92:
72:
40:
31:Geometric join of two
7896:
7765:
7744:
7742:{\displaystyle S^{n}}
7713:
7683:
7643:
7603:
7525:
7444:
7404:
7364:
7286:
7208:
7124:
7027:
6973:
6943:=1. The deleted join
6914:
6869:
6839:
6697:
6662:
6590:(two disjoint edges).
6585:
6507:
6472:
6413:
6301:
6216:
6163:
6036:
5999:
5943:
5908:
5906:{\displaystyle S^{0}}
5875:
5873:{\displaystyle S^{2}}
5843:
5841:{\displaystyle S^{0}}
5816:
5767:
5740:
5675:
5630:
5538:
5506:
5468:
5315:
5255:
5182:
5151:
5136:
5055:, the "reduced join"
5050:
5011:
4959:
4928:
4898:
4873:
4845:
4808:
4782:
4762:
4738:
4712:
4668:
4616:
4551:
4549:{\displaystyle A,B,C}
4501:
4435:
4433:{\displaystyle S^{0}}
4408:
4388:
4365:
4341:with a single point.
4336:
4316:
4293:
4259:
4129:
4120:
4068:
4018:
3978:
3900:
3854:
3800:
3783:geometric realization
3776:
3774:{\displaystyle ||X||}
3736:
3666:
3620:
3600:
3573:
3487:
3461:
3405:
3346:
3287:
3213:
3166:
3132:
3008:
2928:
2884:
2830:
2774:
2745:
2716:
2648:
2628:
2604:
2575:
2546:
2513:
2464:
2444:
2416:
2250:
2241:
2212:
2158:
2129:
2103:
2077:
2051:
2019:
1999:
1976:
1956:
1918:
1898:
1857:
1722:
1587:
1585:{\displaystyle \sim }
1561:
1476:
1436:
1416:
1396:
1352:
1332:
1309:
1245:
1179:
1159:
1135:
1088:
974:
954:
882:-dimensional simplex.
796:
776:
756:
715:
664:
613:
584:
564:
535:
508:
488:
464:
338:
331:
299:
279:
251:
209:
189:
169:
145:
119:
93:
73:
30:
8115:Homotopical Topology
7770:
7726:
7695:
7652:
7612:
7534:
7456:
7413:
7373:
7295:
7217:
7139:
7032:
6947:
6893:
6848:
6706:
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