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1685:
3335:
Every 7-simplex facet touches only 7-orthoplex facets, while alternate facets of an orthoplex facet touch either a simplex or another orthoplex. There are 17,280 simplex facets and 2160 orthoplex facets.
5582:) than the other with the same orientation. Seen as a 2D orthographic projection in the E8/H4 Coxeter plane, the 120 vertices of the 600-cell are projected in the same four rings as seen in the 4
3343:
polytope has 120,960 (7×17,280) 6-simplex faces that are facets of 7-simplexes. Since every 7-orthoplex has 128 (2) 6-simplex facets, half of which are not incident to 7-simplexes, the 4
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9183:. Edges are not drawn. The vertex colors are by overlapping multiplicity in the projection: colored by increasing order of multiplicities as red, orange, yellow, green, etc.
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4528:
4388:
4378:
4230:
4220:
4072:
4062:
3918:
3908:
3766:
3756:
3618:
2811:
2801:
2791:
2781:
3351:
polytope thus has two kinds of 6-simplex faces, not interchanged by symmetries of this polytope. The total number of 6-simplex faces is 259200 (120,960+138,240).
1423:). Its 6720 edges are drawn between the 240 vertices. Specific higher elements (faces, cells, etc.) can also be extracted and drawn on this projection.
9711:
Trirectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton for trirectified 2160-17280 polyzetton (acronym torfy) (Jonathan Bowers)
10171:. The vertex colors are by overlapping multiplicity in the projection: colored by increasing order of multiplicities as red, orange, yellow, green.
8129:. The vertex colors are by overlapping multiplicity in the projection: colored by increasing order of multiplicities as red, orange, yellow, green.
5166:. The vertex colors are by overlapping multiplicity in the projection: colored by increasing order of multiplicities as red, orange, yellow, green.
8723:
Birectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton for birectified 2160-17280 polyzetton (acronym borfy) (Jonathan Bowers)
7039:
Rectified dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton for rectified 2160-17280 polyzetton (Acronym riffy) (Jonathan Bowers)
2141:
Each vertex also has 56 third nearest neighbors, which are the negatives of its nearest neighbors, and one antipodal vertex, for a total of
1597:
17:
1687:
by taking an even number of minus signs (or, equivalently, requiring that the sum of all the eight coordinates be a multiple of 4).
11237:
10617:
10672:
5578:
polytope are projected into 4-space as two copies of the 120 vertices of the 600-cell, one copy smaller (scaled by the
1514:
10595:
2627:
5093:
E8 rotated to H4+H4φ, projected to 3D, converted to STL, and printed in nylon plastic. Projection basis used:
3358:
of a single-ring polytope is obtained by removing the ringed node and ringing its neighbor(s). This makes the
8710:
polytope. Vertices of this polytope are positioned at the centers of all the 60480 triangular faces of the 4
2538:
10648:
o3o3o3o *c3o3o3o3x - fy, o3o3o3o *c3o3o3x3o - riffy, o3o3o3o *c3o3x3o3o - borfy, o3o3o3o *c3x3o3o3o - torfy
2908:
2865:
2368:
2202:
2054:
2455:
1982:
2822:
2326:
1830:
1761:
6119:
2144:
1914:
1693:
6032:
5522:
polytope can be projected into 3-space as a physical vertex-edge model. Pictured here as 2 concentric
5041:
Mathematical representation of the physical Zome model isomorphic (?) to E8. This is constructed from
11259:
10620:
9968:
5492:
1441:
989:
6078:
10695:
9900:
9729:
8741:
8703:
7057:
7019:
5755:
5560:
3447:
3432:
9054:
is determined by removing the ringed node and adding rings to the neighboring nodes. This makes a
7370:
is determined by removing the ringed node and adding a ring to the neighboring node. This makes a
1471:
has three branches of length 4, 2, and 1, with a single node on the terminal node of the 4 branch.
10665:
10463:
Coxeter, Regular
Polytopes, 11.8 Gossett figures in six, seven, and eight dimensions, p. 202-203
8980:
8912:
8578:
8564:
7864:
7472:
5943:
5938:
5918:
2297:
2273:
1412:
1397:
447:
365:
1911:
Each vertex has 126 second nearest neighbors: for example, the nearest neighbors of the vertex
9822:
9744:
8756:
7072:
5948:
5928:
5923:
5564:
3105:
1468:
750:
11209:
11202:
11195:
8834:
8550:
7449:
7228:
6902:
5953:
5933:
5884:
1979:
are those whose coordinates sum to 0, namely the 56 obtained by permuting the coordinates of
1758:
are those whose coordinates sum to 4, namely the 28 obtained by permuting the coordinates of
1400:, these 240 points have a multiplication operation making them not into a group but rather a
687:
10734:
10712:
10700:
11254:
10866:
10813:
10415:
9721:
8733:
7372:
7049:
5851:
3360:
1487:
1282:
8:
11221:
11120:
10870:
10643:
7150:
6893:
5503:
which is constructed from three squares (2-orthoplexes) and two triangles (2-simplexes).
724:
5042:
3529:
3436:
3347:
polytope has 138,240 (2×2160) 6-simplex faces that are not facets of 7-simplexes. The 4
3339:
Since every 7-simplex has 7 6-simplex facets, each incident to no other 6-simplex, the 4
11090:
11040:
10990:
10947:
10917:
10877:
10840:
10658:
9482:
8428:
7562:
7466:
6763:
4442:
1690:
Each vertex has 56 nearest neighbors; for example, the nearest neighbors of the vertex
979:
874:
870:
714:
10484:
9489:
8435:
6770:
1389:
1000:
11229:
10613:
5823:
1444:
in his enumeration, semiregular to him meaning that it contained only regular facets.
1411:
For visualization this 8-dimensional polytope is often displayed in a special skewed
10472:
10042:
is determined by removing the ringed node and ring the neighbor nodes. This makes a
2196:
11233:
10798:
10787:
10776:
10765:
10756:
10747:
10686:
10682:
10047:
9683:
9670:
8673:
6989:
6685:
6677:
6570:
6017:
6009:
6001:
5910:
5867:
5855:
5819:
5500:
5079:
polytope projected into perspective 3-space pictured with all 6720 edges of length
4294:
4146:
1371:
1368:
1347:
1310:
718:
10514:
10823:
10808:
10542:
9697:
9521:
8687:
8467:
7003:
6802:
5774:
1324:
1298:
1023:
114:
10528:
11173:
10629:
10609:
10576:
9503:
8449:
7456:
is given by all permutations of coordinates from three other uniform polytope:
6784:
6733:
6725:
5863:
5827:
3008:
1457:
1433:
1420:
1293:
1010:
739:
728:
10612:, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
11248:
11190:
11071:
11064:
11028:
11021:
11014:
10978:
10971:
10168:
10039:
9678:
9661:
9180:
9051:
8668:
8655:
8126:
7367:
7296:
6984:
6970:
6885:
6709:
6701:
6693:
5960:
5859:
5568:
5163:
3858:
3720:
3591:
3355:
3003:
2132:
1902:
1356:
1351:
1305:
1277:
878:
694:
201:
119:
6639:
1401:
11130:
7713:
7460:
5579:
1416:
1405:
869:
These polytopes are part of a family of 255 = 2 − 1 convex
11139:
11100:
11050:
11000:
10957:
10927:
10859:
10845:
10043:
9666:
6593:
5063:(at the golden ratio) with orthogonal projections to perspective 3-space
4935:
4103:
3261:
3006:
for a uniform tessellation of 8-dimensional space, represented by symbol
2732:
2195:
Another construction is by taking signed combination of 14 codewords of
1591:
1587:
1364:
1344:
1233:
1217:
882:
11125:
11109:
11059:
11009:
10966:
10936:
10850:
9725:
9055:
8737:
8660:
7053:
5005:
4002:
2727:
2723:
1491:
1447:
1144:
9736:. Vertices are positioned at the center of all the triangle faces of 4
8748:. Vertices are positioned at the center of all the triangle faces of 4
11181:
11095:
11045:
10995:
10952:
10922:
10891:
5875:
4801:
4539:
4399:
3183:
1393:
1388:
The vertices of this polytope can also be obtained by taking the 240
1340:
1201:
1185:
1175:
1157:
8052:
5708:
5590:
graph also match a smaller copy of the four rings of the 600-cell.
3435:, the element counts can be derived by mirror removal and ratios of
1454:(for its 240 vertices) in his 1912 listing of semiregular polytopes.
11155:
10910:
10906:
10833:
6625:
5556:
5523:
5060:
3959:
2981:
1680:{\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\,}
1249:
703:
5738:
2988:
11164:
11134:
10901:
10896:
10887:
10828:
8590:
5871:
4995:
3104:
The facet information of this polytope can be extracted from its
2325:
Another decomposition gives the 240 points in 9-dimensions as an
1594:
of coordinates, and 128 roots (2) with coordinates obtained from
10581:
On the
Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions
8059:
5511:
11104:
11054:
11004:
10961:
10931:
10882:
10818:
9967:
Removing the node on the end of the 4-length branch leaves the
9899:
Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the
8979:
Removing the node on the end of the 4-length branch leaves the
8911:
Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the
8558:
8045:
7295:
Removing the node on the end of the 4-length branch leaves the
7227:
Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the
7064:. Vertices are positioned at the midpoint of all the edges of 4
7026:
polytope, creating new vertices on the center of edges of the 4
6632:
5089:
4251:
3260:
Removing the node on the end of the 2-length branch leaves the
2199:
that give 14 × 2 = 224 vertices and adding trivial signed axis
1477:(Acronym Fy) - 2160-17280 facetted polyzetton (Jonathan Bowers)
1475:
Dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton
1253:
1237:
1221:
1205:
1189:
1179:
1161:
10239:
9271:
9226:
9219:
8217:
8172:
8165:
5724:
5264:
5213:
5204:
1151:
10400:
10393:
10368:
10361:
10309:
10302:
10295:
10232:
10225:
9453:
9446:
9439:
9407:
9400:
9393:
9341:
9334:
9327:
9264:
9257:
9212:
8399:
8392:
8385:
8353:
8346:
8339:
8287:
8280:
8273:
8210:
8203:
8158:
8038:
5694:
5464:
5455:
5446:
5412:
5403:
5394:
5340:
5331:
5322:
5255:
5246:
5195:
2974:
2270:
for last 16 vertices. In this case, vertices are distance of
845:
is constructed by points at the triangle face centers of the
606:
526:
442:
360:
280:
196:
34:
8572:
5036:
10854:
10495:
Coxeter
Regular Convex Polytopes, 12.5 The Witting polytope
7463:- odd negatives: ½(±1,±1,±1,±1,±1,±1,±3,±3) - 3584 vertices
6660:
6653:
6646:
5527:
5012:
859:
is constructed by points at the tetrahedral centers of the
753:, with a single ring on the end of the 4-node sequences,
10124:
These graphs represent orthographic projections in the E
9728:
mirrors in 8-dimensional space. It is named for being a
9132:
These graphs represent orthographic projections in the E
8915:
in its alternated form. There are 2160 of these facets.
8740:
mirrors in 8-dimensional space. It is named for being a
8078:
These graphs represent orthographic projections in the E
7056:
mirrors in 8-dimensional space. It is named for being a
5115:
These graphs represent orthographic projections in the E
5067:
5499:. The first polytope in this family is the semiregular
1415:
direction that fits its 240 vertices within a regular
6081:
6035:
2630:
2541:
2458:
2300:
2276:
2205:
2147:
2057:
1985:
1917:
1833:
1764:
1696:
1600:
1517:
885:
of one or more rings in this
Coxeter-Dynkin diagram:
2051:
and the 70 obtained by permuting the coordinates of
1827:
and the 28 obtained by permuting the coordinates of
10606:Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
6103:
6057:
2708:
2610:
2521:
2310:
2286:
2262:
2183:
2123:
2043:
1971:
1893:
1819:
1750:
1679:
1578:
9821:Removing the node on the short branch leaves the
8833:Removing the node on the short branch leaves the
7149:Removing the node on the short branch leaves the
5866:identified this series in 1900 as containing all
5818:polytope. It is self-dual. Coxeter called it the
3182:Removing the node on the short branch leaves the
831:is constructed by points at the mid-edges of the
11246:
9743:The facet information can be extracted from its
8755:The facet information can be extracted from its
7071:The facet information can be extracted from its
5814:exists with the same vertex arrangement as the 4
1377:, this polytope is sometimes referred to as the
731:, published in his 1900 paper. He called it an
1504:polytope can be constructed in two sets: 112 (
10666:
10485:Gosset's Figure in 8 Dimensions, A Zome Model
9462:
2722:This arises similarly to the relation of the
10589:The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces
8408:
5530:tools. (Not all of the 3360 edges of length
10583:, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
9469:
8415:
6751:
5102:z = {0, 1, φ, 0, −1, φ,0,0}
5099:y = {φ, 0, 1, φ, 0, −1,0,0}
5096:x = {1, φ, 0, −1, φ, 0,0,0}
2131:. These 126 points are the vertices of a
1579:{\displaystyle (\pm 2,\pm 2,0,0,0,0,0,0)\,}
1436:, who described it in his 1900 paper as an
967:
10673:
10659:
9466:
8412:
6748:
6744:
1363:polytope. As its vertices represent the
964:
29:
7469:- (0,0,±1,±1,±1,±1,±1,±1) - 1792 vertices
5721:
5691:
5599:
3099:
2709:{\displaystyle (2,2,2,-1,-1,-1,-1,-1,-1)}
2040:
1901:. These 56 points are the vertices of a
1816:
1676:
1575:
717:, constructed within the symmetry of the
523:
277:
31:
10432:
10430:
7475:- (0,0,0,0,0,0,±1,±1,±2) - 1344 vertices
5754:In 4-dimensional complex geometry, the
5510:
5491:polytope is last in a family called the
2986:
11238:List of regular polytopes and compounds
7452:of the 6720 vertices of the rectified 4
5045:pictured with all 3360 edges of length
14:
11247:
10626:Regular and Semi-Regular Polytopes III
10564:Klitzing, (o3o3o3o *c3x3o3o3o - torfy)
10555:Klitzing, (o3o3o3o *c3o3x3o3o - borfy)
10504:Klitzing, (o3o3o3o *c3o3o3x3o - riffy)
9705:
8717:
2611:{\displaystyle (-2,-2,-2,1,1,1,1,1,1)}
10602:, Cambridge University Press, (1974).
10427:
5571:projections. The 240 vertices of the
2263:{\displaystyle (\pm 2,0,0,0,0,0,0,0)}
2124:{\displaystyle (1,1,1,1,-1,-1,-1,-1)}
10641:
10591:, Groningen: University of Groningen
10586:
7033:
5850:is sixth in a dimensional series of
5749:
5506:
2522:{\displaystyle (3,-3,0,0,0,0,0,0,0)}
2044:{\displaystyle (2,-2,0,0,0,0,0,0)\,}
10454:Klitzing, (o3o3o3o *c3o3o3o3x - fy)
10439:
8837:. There are 17280 of these facets.
1894:{\displaystyle (1,1,1,1,1,1,-1,-1)}
1820:{\displaystyle (2,2,0,0,0,0,0,0)\,}
24:
10644:"8D uniform polytopes (polyzetta)"
1426:
27:Polytope in 8-dimensional geometry
25:
11271:
9715:
8986:. There are 240 of these facets.
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6089:
6043:
5072:The actual split real even E8
5059:−1) from two concentric
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1442:last finite semiregular figure
13:
1:
10628:, See p347 (figure 3.8c) by
10608:, edited by F. Arthur Sherk,
10570:
7480:D8 Coxeter plane projections
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4315:= 192×10!/(5!×3!×2) = 483840
2740:A7 Coxeter plane projections
749:, describing its bifurcating
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5586:. The other 4 rings of the 4
5526:(at the golden ratio) using
5443:
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3015:and Coxeter-Dynkin diagram:
7:
10624:(Paper 24) H.S.M. Coxeter,
10409:
10182:were too large to display)
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2730:, sharing 8 mirrors of A8:
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2287:{\displaystyle {\sqrt {4}}}
10:
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5033:
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2138:polytope in 7 dimensions.
1908:polytope in 7 dimensions.
1590:of signs and an arbitrary
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4721:= 192×10!/(7!×2) = 69120
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3578:
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1350:, and 240 vertices. Its
686:
18:Birectified 4 21 polytope
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9903:in its alternated form:
9901:trirectified 7-orthoplex
8702:can be seen as a second
7231:in its alternated form:
5826:. Coxeter expresses its
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3459:
3264:in its alternated form (
2294:from origin rather than
1497:The 240 vertices of the
1438:8-ic semi-regular figure
1392:of norm 1. Because the
733:8-ic semi-regular figure
10188:Orthogonal projections
10119:
9189:Orthogonal projections
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7473:cantellated 8-orthoplex
6745:Rectified 4_21 polytope
5870:facets, containing all
5565:Coxeter-Dynkin diagrams
5172:Orthogonal projections
2369:birectified 8-simplexes
1586:by taking an arbitrary
1413:orthographic projection
1398:normed division algebra
727:. It was discovered by
9823:trirectified 7-simplex
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9058:-triangular duoprism.
8757:Coxeter-Dynkin diagram
7073:Coxeter-Dynkin diagram
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751:Coxeter-Dynkin diagram
688:Orthogonal projections
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7450:Cartesian coordinates
7229:rectified 7-orthoplex
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5544:-1) are represented.)
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10416:List of E8 polytopes
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3433:configuration matrix
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10642:Klitzing, Richard.
9720:It is created by a
8732:It is created by a
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7151:rectified 7-simplex
7048:It is created by a
5854:. Each progressive
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2620: : 84 vertices
2531: : 72 vertices
1486:It is created by a
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9483:Uniform 8-polytope
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7467:birectified 8-cube
6764:Uniform 8-polytope
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5555:is related to the
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