1050:
846:
81:), Wedderburn's first proof was incorrect – it had a gap – and his subsequent proofs appeared only after he had read Dickson's correct proof. On this basis, Parshall argues that Dickson should be credited with the first correct proof.
415:
780:
2305:
841:
3467:
2777:
2704:
1045:{\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}
3307:
1358:
2952:
3721:
3110:
466:
3215:
3597:
654:
1144:
2572:
3023:
2983:
2860:
2628:
2597:
1100:
2400:
2208:
1200:
2346:
2147:
1279:
609:
2895:
2490:
2455:
2523:
2049:
2020:
1991:
1913:
1864:
1697:
1235:
1070:
3660:
3536:
3496:
3330:
3244:
1792:
512:
182:
2174:
269:
1942:
1726:
1648:
1553:
1484:
1173:
328:
in 1964. This proof, Kaczynski's first published piece of mathematical writing, was a short, two-page note which also acknowledged the earlier historical proofs.
3049:
1599:
540:
315:
677:
563:
3640:
3620:
3516:
3390:
3370:
3350:
3154:
3134:
2821:
2801:
2420:
2366:
2109:
2089:
2069:
1962:
1884:
1832:
1812:
1766:
1746:
1668:
1619:
1573:
1524:
1504:
1452:
1432:
1405:
1385:
289:
242:
222:
202:
137:
110:
686:
3859:(1983). "In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen".
351:
2219:
3752:
680:
271:
elements; so they are isomorphic and thus are conjugate by Skolem–Noether. But a finite group (the multiplicative group of
785:
340:
of a finite field is trivial. In fact, this characterization immediately yields a proof of the theorem as follows: let
3398:
2709:
2636:
3885:
3252:
1307:
3925:
1414:
To prove that every finite skew-field is a field, we use strong induction on the size of the skew-field. Thus, let
3779:
77:
shortly after
Wedderburn's original proof, and Dickson acknowledged Wedderburn's priority. However, as noted in (
3877:
3805:
2900:
3668:
3057:
420:
3162:
2211:
1367:, and thus, surjective by counting. It follows from elementary group theory that the nonzero elements of
3544:
614:
1835:
89:
1105:
2538:
2526:
2992:
2957:
2829:
2602:
2580:
1075:
2371:
2179:
1178:
469:
2313:
2114:
1240:
568:
475:
The triviality of the Brauer group can also be obtained by direct computation, as follows. Let
2865:
2530:
2460:
2425:
74:
54:
2495:
2025:
1996:
1967:
1889:
1840:
1673:
1364:
1205:
1055:
3645:
3521:
3475:
3315:
3223:
1771:
478:
142:
2152:
1455:
247:
117:
43:
3910:
3762:
1918:
1702:
1624:
1529:
1460:
1149:
8:
3028:
1578:
517:
294:
35:
659:
545:
73:
in 1905, who went on to prove the theorem in two other ways. Another proof was given by
3822:
3625:
3605:
3501:
3375:
3355:
3335:
3139:
3119:
2806:
2786:
2405:
2351:
2094:
2074:
2054:
1947:
1869:
1817:
1797:
1751:
1731:
1653:
1604:
1558:
1509:
1489:
1437:
1417:
1390:
1370:
274:
227:
207:
187:
122:
95:
3881:
3748:
345:
88:. Witt's proof is sketched below. Alternatively, the theorem is a consequence of the
70:
3901:
3814:
3758:
1886:
is clearly a skew-field and thus a field, by the induction hypothesis, and because
113:
58:
3791:
3744:
3841:
3856:
3919:
1408:
325:
47:
31:
1434:
be a skew-field, and assume that all skew-fields that are proper subsets of
3906:
3803:
Kaczynski, T.J. (June–July 1964). "Another Proof of
Wedderburn's Theorem".
337:
321:
291:
in our case) cannot be a union of conjugates of a proper subgroup; hence,
3246:
using factorization over the complex numbers. In the polynomial identity
39:
20:
3826:
2310:
where the sum is taken over the conjugacy classes not contained within
85:
28:
331:
3818:
410:{\displaystyle \operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)}
775:{\displaystyle H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),}
2368:
are defined so that for each conjugacy class, the order of
3741:
Points and lines. Characterizing the classical geometries
336:
The theorem is essentially equivalent to saying that the
2300:{\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}
3911:
http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38
3671:
3648:
3628:
3608:
3547:
3524:
3504:
3478:
3401:
3378:
3358:
3338:
3318:
3255:
3226:
3165:
3142:
3122:
3060:
3031:
2995:
2960:
2903:
2868:
2832:
2809:
2789:
2712:
2639:
2605:
2583:
2541:
2498:
2463:
2428:
2408:
2374:
2354:
2316:
2222:
2182:
2155:
2117:
2097:
2077:
2057:
2028:
1999:
1970:
1950:
1921:
1892:
1872:
1843:
1820:
1800:
1774:
1754:
1734:
1705:
1676:
1656:
1627:
1607:
1581:
1561:
1532:
1512:
1492:
1463:
1440:
1420:
1393:
1373:
1310:
1243:
1208:
1181:
1152:
1108:
1078:
1058:
849:
788:
689:
662:
617:
571:
548:
520:
481:
423:
354:
297:
277:
250:
230:
210:
190:
145:
125:
98:
84:
A simplified version of the proof was later given by
61:: every finite alternative division ring is a field.
3790:
Theorem 4.1 in Ch. IV of Milne, class field theory,
3715:
3654:
3634:
3614:
3591:
3530:
3510:
3490:
3461:
3384:
3364:
3344:
3324:
3301:
3238:
3209:
3148:
3128:
3104:
3043:
3017:
2977:
2946:
2889:
2854:
2815:
2795:
2771:
2698:
2622:
2591:
2566:
2517:
2484:
2449:
2414:
2394:
2360:
2340:
2299:
2202:
2168:
2141:
2103:
2083:
2063:
2043:
2014:
1985:
1956:
1936:
1907:
1878:
1858:
1826:
1806:
1786:
1760:
1740:
1720:
1691:
1662:
1642:
1613:
1593:
1567:
1547:
1518:
1498:
1478:
1446:
1426:
1399:
1379:
1352:
1273:
1229:
1194:
1167:
1138:
1094:
1064:
1044:
836:{\displaystyle N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }}
835:
774:
671:
648:
603:
557:
534:
506:
460:
409:
332:Relationship to the Brauer group of a finite field
309:
283:
263:
236:
216:
196:
176:
131:
104:
2210:as groups under multiplication, we can write the
3917:
3462:{\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.}
2772:{\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)}
2699:{\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)}
3792:http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
3774:
3772:
3302:{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),}
1353:{\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}
3842:http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
3902:Proof of Wedderburn's Theorem at Planet Math
3861:Archives of International History of Science
3769:
3840:e.g., Exercise 1-9 in Milne, group theory,
3802:
2962:
2607:
2585:
1387:form a group under multiplication. Thus,
3880:. Vol. 131 (2 ed.). Springer.
3855:
1175:and therefore it must be a generator of
78:
2947:{\displaystyle {x^{n}-1 \over x^{d}-1}}
3918:
3874:A first course in noncommutative rings
3716:{\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1.}
3105:{\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}
2630:and respect the following identities:
1072:to be a generator of the cyclic group
461:{\displaystyle H^{1}(K^{\text{al}}/K)}
3738:
3210:{\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}
1964:can be viewed as a vector space over
1915:can be viewed as a vector space over
1293:be a finite domain. For each nonzero
679:and the standard method of computing
3051:, and therefore by taking the norms
3871:
3592:{\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}
649:{\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)}
13:
3678:
3408:
3257:
3172:
3067:
2997:
2834:
2751:
2678:
2543:
1575:. Our objective is then to show
898:
895:
892:
681:cohomology of finite cyclic groups
625:
622:
619:
42:, there is no distinction between
14:
3937:
3895:
3498:, we see that for each primitive
2989:so by the above class equation,
1139:{\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}
542:be a finite extension of degree
69:The original proof was given by
1834:that is not in the center, the
1728:contains the distinct elements
92:by the following argument. Let
3834:
3796:
3784:
3732:
3697:
3693:
3687:
3673:
3585:
3571:
3563:
3549:
3452:
3438:
3427:
3423:
3417:
3403:
3392:and then take absolute values
3293:
3281:
3272:
3266:
3191:
3187:
3181:
3167:
3086:
3082:
3076:
3062:
3012:
3006:
2972:
2966:
2849:
2843:
2766:
2760:
2741:
2693:
2687:
2668:
2617:
2611:
2577:The cyclotomic polynomials on
2558:
2552:
2328:
2322:
2129:
2123:
1931:
1925:
1715:
1709:
1637:
1631:
1542:
1536:
1473:
1467:
1344:
1329:
1314:
1268:
1254:
1237:is surjective, and therefore
1133:
1127:
930:
924:
916:
902:
874:
868:
820:
766:
753:
714:
700:
643:
629:
581:
573:
491:
483:
455:
434:
404:
383:
367:
361:
158:
146:
1:
3878:Graduate Texts in Mathematics
3849:
3806:American Mathematical Monthly
2567:{\displaystyle \Phi _{f}(q).}
344:be a finite field. Since the
3831:(Jstor link, requires login)
3018:{\displaystyle \Phi _{n}(q)}
2978:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2855:{\displaystyle \Phi _{n}(x)}
2623:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2592:{\displaystyle \mathbb {Q} }
1095:{\displaystyle L^{\times },}
468:, which in turn vanishes by
224:. Every maximal subfield of
7:
3662:in the complex plane. Thus
3602:because of the location of
2395:{\displaystyle {Z}_{x}^{*}}
2203:{\displaystyle {Z}_{x}^{*}}
1195:{\displaystyle K^{\times }}
656:is a cyclic group of order
57:generalizes the theorem to
25:Wedderburn's little theorem
10:
3942:
2341:{\displaystyle {Z(A)}^{*}}
2142:{\displaystyle {Z(A)}^{*}}
1274:{\displaystyle H^{2}(L/K)}
604:{\displaystyle |L|=q^{n}.}
204:denote the cardinality of
64:
3739:Shult, Ernest E. (2011).
2890:{\displaystyle {x}^{n}-1}
2485:{\displaystyle {q}^{n}-1}
2450:{\displaystyle {q}^{d}-1}
3743:. Universitext. Berlin:
3726:
3352:-th roots of unity, set
3332:runs over the primitive
3116:To see that this forces
2527:polynomial factorization
1284:
348:vanishes by finiteness,
3926:Theorems in ring theory
3872:Lam, Tsit-Yuen (2001).
2803:is a proper divisor of
2518:{\displaystyle q^{d}-1}
2044:{\displaystyle {q}^{d}}
2015:{\displaystyle {Z}_{x}}
1986:{\displaystyle {Z}_{x}}
1908:{\displaystyle {Z}_{x}}
1859:{\displaystyle {Z}_{x}}
1692:{\displaystyle {q}^{n}}
1526:is a vector space over
1230:{\displaystyle N_{L/K}}
1065:{\displaystyle \alpha }
3717:
3656:
3655:{\displaystyle \zeta }
3636:
3616:
3593:
3532:
3531:{\displaystyle \zeta }
3512:
3492:
3491:{\displaystyle n>1}
3463:
3386:
3366:
3346:
3326:
3325:{\displaystyle \zeta }
3303:
3240:
3239:{\displaystyle n>1}
3211:
3150:
3130:
3106:
3045:
3019:
2979:
2948:
2891:
2856:
2817:
2797:
2773:
2700:
2624:
2593:
2568:
2531:cyclotomic polynomials
2519:
2486:
2451:
2416:
2396:
2362:
2342:
2301:
2204:
2170:
2143:
2105:
2085:
2065:
2045:
2016:
1987:
1958:
1938:
1909:
1880:
1860:
1828:
1808:
1788:
1787:{\displaystyle q>1}
1762:
1742:
1722:
1693:
1664:
1644:
1615:
1595:
1569:
1555:with finite dimension
1549:
1520:
1500:
1480:
1454:are fields. Since the
1448:
1428:
1401:
1381:
1354:
1275:
1231:
1196:
1169:
1140:
1096:
1066:
1046:
837:
776:
673:
650:
605:
559:
536:
508:
507:{\displaystyle |K|=q,}
462:
411:
311:
285:
265:
238:
218:
198:
178:
177:{\displaystyle =n^{2}}
133:
106:
90:Skolem–Noether theorem
75:Leonard Eugene Dickson
38:. In other words, for
3718:
3657:
3637:
3617:
3594:
3533:
3513:
3493:
3464:
3387:
3367:
3347:
3327:
3304:
3241:
3212:
3151:
3131:
3107:
3046:
3020:
2980:
2949:
2892:
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