3811:
3334:
3572:
3128:
6682:
These
Boolean polynomials can be immediately extended to any number of variables, producing a large potential variety of logical operators. In vector logic, the matrix-vector structure of logical operators is an exact translation to the format of linear algebra of these Boolean polynomials, where the
3806:{\displaystyle C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}}
5516:, 1}, this many-valued scalar logic is for many of the operators almost identical to the 3-valued logic of Łukasiewicz. Also, it has been proved that when the monadic or dyadic operators act over probabilistic vectors belonging to this set, the output is also an element of this set.
3450:
106:. In the vector space for propositional logic the origin represents the false, F, and the infinite periphery represents the true, T, whereas in the space for predicate logic the origin represents "nothing" and the periphery represents the flight from nothing, or "something".
3563:
3119:
5226:
4909:
3329:{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
3010:
2663:
2032:
1692:
5114:
2332:
1378:
4245:
5001:
3346:
786:
5743:
5636:
4359:
6889:
Some cognitive problems about logical computations can be analyzed using this formalism, in particular recursive decisions. Any logical expression of classical propositional calculus can be naturally represented by a
6528:
5493:
5405:
5317:
4727:
3460:
7208:
3019:
1532:
7010:
Westphal, J. Caulfield, H.J. Hardy, J. and Qian, L.(2005) Optical Vector Logic
Theorem-Proving. Proceedings of the Joint Conference on Information Systems, Photonics, Networking and Computing Division.
6901:
can be implemented in vector logic. Such an implementation provides explicit expressions for matrix operators that produce the input format and the output filtering necessary for obtaining computations.
2125:
1777:
4494:
4021:
1107:
4385:
and allows extending logical operations to truth-values that include uncertainties. In the case of two-valued vector logic, uncertainties in the truth values can be introduced using vectors with
1183:
994:
4803:
4598:
3925:
2806:
2475:
2733:
2402:
6879:
Vector logic can be extended to include many truth values since large-dimensional vector spaces allow the creation of many orthogonal truth values and the corresponding logical matrices.
331:
6674:
6866:
4432:
2933:
441:
377:
6311:
6103:
6021:
4550:
571:
7159:
Boole, G. (1854) An
Investigation of the Laws of Thought, on which are Founded the Theories of Logic and Probabilities. Macmillan, London, 1854; Dover, New York Reedition, 1958
7282:
Mizraji, E. (2006) The parts and the whole: inquiring how the interaction of simple subsystems generates complexity. International
Journal of General Systems, 35, pp. 395–415.
4075:
2171:
1823:
1438:
6057:
5975:
4114:. Instead, in vector logic, the law of contraposition emerges from a chain of equalities within the rules of matrix algebra and Kronecker products, as shown in what follows:
1891:
881:
650:
5782:
511:
5901:
1240:
216:
184:
6591:
5939:
5855:
467:
245:
6132:
2904:
2874:
2520:
815:
6894:. This fact is retained by vector logic, and has been partially used in neural models focused in the investigation of the branched structure of natural languages.
403:
118:
logic is represented by a small set of mathematical functions depending on one (monadic) or two (dyadic) variables. In the binary set, the value 1 corresponds to
7205:
5822:
5802:
5120:
4618:
2533:
1902:
1562:
104:
84:
2205:
1251:
4809:
4122:
4028:
Then it can be proved that in the two-dimensional vector logic the De Morgan's law is a law involving operators, and not only a law concerning operations:
6169:
models based on the use of high-dimensional matrices and vectors. Vector logic is a direct translation into a matrix–vector formalism of the classical
5007:
682:
5643:
5536:
4251:
6907:
can be analyzed using the operator structure of vector logic; this analysis leads to a spectral decomposition of the laws governing its dynamics.
6212:. It requires independent affirmative evidence for each assertion in a proposition, and does not make the assumption for binary complementation.
7251:
beim Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S.(2008) Towards dynamical system models of language-related brain potentials. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255
6342:
2916:
Here are numerical examples of some basic logical gates implemented as matrices for two different sets of 2-dimensional orthonormal vectors for
7260:
beim Graben, P., Gerth, S. (2012) Geometric representations for minimalist grammars. Journal of Logic, Language and
Information, 21, 393-432 .
4915:
7108:
Mizraji, E. (2020). Vector logic allows counterfactual virtualization by the square root of NOT, Logic
Journal of the IGPL. Online version (
3445:{\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}
7019:
Westphal, J (2010). The
Application of Vector Theory to Syllogistic Logic. New Perspectives on the Square of Opposition, Bern, Peter Lang.
4632:
5528:. In vector logic, this operator can be extended for arbitrary orthonormal truth values. There are, in fact, two square roots of NOT:
5411:
5323:
3455:
Here the identity operator is the identity matrix, but the negation operator is no longer the anti-diagonal identity matrix :
5241:
1451:
7242:
beim Graben, P., Pinotsis, D., Saddy, D., Potthast, R. (2008). Language processing with dynamic fields. Cogn. Neurodyn., 2, 79–88
7099:
Deutsch, D., Ekert, A. and
Lupacchini, R. (2000) Machines, logic and quantum physics. The Bulletin of Symbolic Logic, 6, 265-283.
2047:
1699:
6318:
The four different monadic operations result from the different binary values for the coefficients. Identity operation requires
4437:
3949:
1047:
1120:
3558:{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
6911:
4088:
3114:{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}
931:
4742:
3865:
2746:
2415:
2676:
2345:
1852:. The vector logic version of this equivalence leads to a matrix that represents this implication in vector logic:
39:
50:
operations are executed by matrix operators. "Vector logic" has also been used to refer to the representation of
288:
7125:
Copilowish, I.M. (1948) Matrix development of the calculus of relations. Journal of
Symbolic Logic, 13, 193–203
4510:
The outputs of this many-valued logic can be projected on scalar functions and generate a particular class of
6904:
6223:
established the development of logical operations as polynomials. For the case of monadic operators (such as
51:
7291:
Arruti, C., Mizraji, E. (2006) Hidden potentialities. International
Journal of General Systems, 35, 461–469.
6596:
6739:
4399:
408:
344:
6239:
6062:
5980:
4555:
7177:
Mittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, Mannheim
4517:
3014:
In this case the identity and negation operators are the identity and anti-diagonal identity matrices:,
524:
66:
can be represented as a vector space of the same type in which the axes represent the predicate letters
7233:
beim Graben, P., Potthast, R. (2009). Inverse problems in dynamic cognitive modeling. Chaos, 19, 015103
6159:
43:
4036:
2132:
1784:
1399:
7054:Łukasiewicz, J. (1980) Selected Works. L. Borkowski, ed., pp. 153–178. North-Holland, Amsterdam, 1980
7001:
Westphal, J. and Hardy, J. (2005) Logic as a Vector System. Journal of Logic and Computation, 751-765
6204:
developed a formalism using algebraic matrices and vectors to represent many operations of classical
6026:
5944:
4497:
1855:
834:
603:
6967:
5754:
4496:
be this kind of "probabilistic" vectors. Here, the many-valued character of the logic is introduced
472:
7325:
6205:
5860:
1210:
900:
7301:
7195:
Jain, M.K. (2011) Logic of evidence-based inference propositions, Current Science, 1663–1672, 100
7168:
Dick, S. (2005) Towards complex fuzzy logic. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15,405–414, 2005
6181:. Other matrix and vector approaches to logical calculus have been developed in the framework of
1242:.This matrix reproduces the features of the classical conjunction truth-table in its formulation:
6882:
Logical modalities can be fully represented in this context, with recursive process inspired in
195:
163:
7134:
Kohonen, T. (1977) Associative Memory: A System-Theoretical Approach. Springer-Verlag, New York
6934:
6147:
59:
6555:
5941:. Another interesting point is the analogy with the two square roots of -1. The positive root
3005:{\displaystyle s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
1004:
columns. The matrices that execute these dyadic operations are based on the properties of the
5906:
5827:
4106:
is proved because the equivalence holds for all the possible combinations of truth-values of
446:
224:
6989:
274:}. The basic logical operations defined using this set of vectors lead to matrix operators.
31:
7224:
Mizraji, E., Lin, J. (2002) The dynamics of logical decisions. Physica D, 168–169, 386–396
6108:
5221:{\displaystyle XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '}
2880:
2850:
2658:{\displaystyle X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}
2496:
2027:{\displaystyle L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},}
1687:{\displaystyle D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},}
791:
8:
7270:
7144:
7033:
Mizraji, E. (1996) The operators of vector logic. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39
6334:(0) = 1. For the 16 dyadic operators, the Boolean polynomials are of the form:
4511:
3822:
2327:{\displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}}
2180:
1832:
1373:{\displaystyle C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}}
382:
115:
6535:
The dyadic operations can be translated to this polynomial format when the coefficients
4904:{\displaystyle OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '}
4240:{\displaystyle L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=}
5807:
5787:
4603:
259:
are orthogonal vectors). This correspondence generates a space of vector truth-values:
89:
69:
23:
4382:
6944:
6883:
6224:
6201:
5525:
4378:
1005:
817:. It is important to note that this vector logic identity matrix is not generally an
582:
3821:
In the two-valued logic, the conjunction and the disjunction operations satisfy the
7302:
Differential and integral calculus for logical operations. A matrix–vector approach
7109:
6228:
6186:
586:
6990:
Vector logic: a natural algebraic representation of the fundamental logical gates.
1008:. Two properties of this product are essential for the formalism of vector logic:
581:
columns. The two basic monadic operators for this two-valued vector logic are the
7212:
7081:
Klir, G.J., Yuan, G. (1995) Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice–Hall, New Jersey
6929:
6924:
6182:
6178:
6170:
818:
63:
47:
7186:
Stern, A. (1988) Matrix Logic: Theory and Applications. North-Holland, Amsterdam
1190:
Using these properties, expressions for dyadic logic functions can be obtained:
7320:
7072:
Blanché, R. (1968) Introduction à la Logique Contemporaine, Armand Colin, Paris
6891:
6544:
6166:
6155:
6143:
5109:{\displaystyle IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')}
4514:
with similarities with the many-valued logic of Reichenbach. Given two vectors
2835:
2815:
278:
248:
130:. A two-valued vector logic requires a correspondence between the truth-values
4620:, a scalar probabilistic logic is provided by the projection over vector
781:{\displaystyle Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s}
7314:
7113:
6939:
6197:
5738:{\displaystyle B=({\sqrt {N}})_{2}={\frac {1}{2}}(1-i)I+{\frac {1}{2}}(1+i)N}
5631:{\displaystyle A=({\sqrt {N}})_{1}={\frac {1}{2}}(1+i)I+{\frac {1}{2}}(1-i)N}
147:
126:
4354:{\displaystyle D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)}
6898:
6220:
6209:
2819:
2184:
1116:
The operation of transposition is distributive over the Kronecker product:
120:
55:
6523:{\displaystyle f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(0,0)(1-x)(1-y)}
7045:
Suppes, P. (1957) Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, New York.
6540:
6174:
6151:
3567:
The resulting matrices for conjunction, disjunction and implication are:
2839:
143:
35:
7090:
Hayes, B. (1995) The square root of NOT. American Scientist, 83, 304–308
4996:{\displaystyle AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '}
928:
The 16 two-valued dyadic operators correspond to functions of the type
6968:
Vector logics: the matrix-vector representation of logical calculus.
5524:
This operator was originally defined for qubits in the framework of
1836:. The implication corresponds in classical logic to the expression
4722:{\displaystyle Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )}
3123:
and the matrices for conjunction, disjunction and implication are
20:
1207:) is executed by a matrix that acts on two vector truth-values:
1033:
are matrices of such size that one can form the matrix products
247:
is an arbitrary natural number, and "normalized" means that the
6190:
3857:)). For the two-valued vector logic this law is also verified:
5488:{\displaystyle EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')}
5400:{\displaystyle NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')}
4370:, the disjunction matrix, represents a commutative operation.
7145:
Context-dependent associations in linear distributed memories
1541:
1195:
27:
5312:{\displaystyle NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')}
1527:{\displaystyle C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.}
7063:
Rescher, N. (1969) Many-Valued Logic. McGraw–Hill, New York
3941:
The Kronecker product implies the following factorization:
2120:{\displaystyle L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s}
1772:{\displaystyle D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s}
2042:
and the properties of classical implication are satisfied:
4489:{\displaystyle \epsilon ,\delta \in ,\epsilon +\delta =1}
4016:{\displaystyle C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).}
6173:. This kind of formalism has been applied to develop a
4505:
2485:
The Exclusive or is the negation of the equivalence, ¬(
3749:
3680:
3599:
3521:
3475:
3418:
3373:
3275:
3209:
3143:
3080:
3034:
2981:
2948:
6742:
6599:
6558:
6345:
6242:
6111:
6065:
6029:
5983:
5947:
5909:
5863:
5830:
5810:
5790:
5757:
5646:
5539:
5414:
5326:
5244:
5123:
5010:
4918:
4812:
4745:
4635:
4606:
4558:
4520:
4440:
4402:
4254:
4125:
4039:
3952:
3868:
3575:
3463:
3349:
3131:
3022:
2936:
2883:
2853:
2749:
2679:
2536:
2499:
2418:
2348:
2208:
2135:
2050:
1905:
1858:
1787:
1702:
1565:
1454:
1402:
1254:
1213:
1123:
1102:{\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}
1050:
934:
837:
794:
685:
606:
527:
475:
449:
411:
385:
347:
291:
227:
198:
166:
92:
72:
4373:
1178:{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}
4381:was developed by many researchers, particularly by
7304:Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015
6860:
6668:
6585:
6522:
6305:
6126:
6097:
6051:
6015:
5969:
5933:
5895:
5849:
5816:
5796:
5776:
5737:
5630:
5487:
5399:
5311:
5220:
5108:
4995:
4903:
4797:
4721:
4612:
4592:
4544:
4488:
4426:
4353:
4239:
4069:
4015:
3919:
3805:
3557:
3444:
3328:
3113:
3004:
2898:
2868:
2800:
2727:
2657:
2514:
2469:
2396:
2326:
2165:
2119:
2026:
1893:. The explicit expression for this implication is:
1885:
1817:
1771:
1686:
1526:
1432:
1372:
1234:
1177:
1101:
988:
875:
809:
780:
644:
565:
521:The monadic operators result from the application
505:
461:
435:
397:
371:
325:
239:
210:
178:
98:
78:
7215:. Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283
6910:In addition, based on this formalism, a discrete
6897:The computation via reversible operations as the
6146:to represent logic operations can be referred to
903:behavior of the logical negation, namely that ¬(¬
7312:
4734:Here are the main results of these projections:
4502:via the uncertainties introduced in the inputs.
989:{\displaystyle Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}}
277:The operations of vector logic are based on the
7147:. Bulletin of Mathematical Biology, 50, 195–205
4798:{\displaystyle NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha }
3920:{\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)}
2801:{\displaystyle X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.}
2470:{\displaystyle E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.}
4087:In the classical propositional calculus, the
2728:{\displaystyle X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n}
2397:{\displaystyle E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s}
6992:Journal of Logic and Computation, 18, 97–121
6539:take the values indicated in the respective
6231:), the Boolean polynomials look as follows:
769:
757:
748:
736:
500:
488:
424:
412:
360:
348:
320:
308:
5500:If the scalar values belong to the set {0,
7273:Studi sulla formazione, 1–2012, pag. 69–84
6326:(0) = 0, and negation occurs if
326:{\displaystyle u^{T}v=\langle u,v\rangle }
7155:
7153:
7041:
7039:
4082:
7029:
7027:
7025:
6984:
6982:
6980:
6978:
6976:
6962:
6960:
2196:is represented by the following matrix:
7313:
6669:{\displaystyle f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=1}
6215:
4366:This result is based in the fact that
7150:
7102:
7036:
6861:{\displaystyle S=n(s\otimes s)^{T}+s}
5519:
4427:{\displaystyle f=\epsilon s+\delta n}
2911:
436:{\displaystyle \langle u,v\rangle =0}
372:{\displaystyle \langle u,v\rangle =1}
333:: the orthonormality between vectors
7271:Cognizione logica e modelli mentali.
7022:
6973:
6957:
6306:{\displaystyle f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)}
6098:{\displaystyle ({\sqrt {N}})_{2}=NA}
6016:{\displaystyle ({\sqrt {N}})_{1}=IA}
4593:{\displaystyle v=\alpha 's+\beta 'n}
4506:Scalar projections of vector outputs
516:
6970:Fuzzy Sets and Systems, 50, 179–185
923:
652:. This matrix operates as follows:
573:, and the associated matrices have
13:
6912:differential and integral calculus
6208:known as Syad and Saptbhangi; see
6165:The approach has been inspired in
4712:
4709:
4706:
4703:
4700:
4697:
4694:
4667:
4664:
4661:
4658:
4655:
4652:
4649:
4545:{\displaystyle u=\alpha s+\beta n}
3816:
2493:); it corresponds with the matrix
2188:. In vector logic the equivalence
566:{\displaystyle Mon:V_{2}\to V_{2}}
14:
7337:
4374:Many-valued two-dimensional logic
911:, corresponds with the fact that
6731:and the matrix version becomes:
4070:{\displaystyle C=ND(N\otimes N)}
2842:(NOR) operations, respectively:
2166:{\displaystyle L(s\otimes n)=n.}
1818:{\displaystyle D(n\otimes n)=n.}
1433:{\displaystyle C(s\otimes s)=s,}
58:, in which the unit vectors are
34:. Vector logic assumes that the
7294:
7285:
7276:
7263:
7254:
7245:
7236:
7227:
7218:
7198:
7189:
7180:
7171:
7162:
7137:
7128:
7119:
7093:
7084:
7075:
7066:
6052:{\displaystyle -({\sqrt {-1}})}
5970:{\displaystyle +({\sqrt {-1}})}
3737:
3656:
3509:
3394:
3263:
3197:
3068:
2969:
1886:{\displaystyle L=D(N\otimes I)}
876:{\displaystyle N=ns^{T}+sn^{T}}
821:in the sense of matrix algebra.
645:{\displaystyle I=ss^{T}+nn^{T}}
7057:
7048:
7013:
7004:
6995:
6855:
6846:
6833:
6821:
6808:
6796:
6783:
6780:
6765:
6752:
6657:
6645:
6636:
6624:
6615:
6603:
6574:
6562:
6517:
6505:
6502:
6490:
6487:
6475:
6463:
6451:
6448:
6436:
6427:
6415:
6409:
6397:
6382:
6370:
6361:
6349:
6300:
6288:
6285:
6279:
6267:
6261:
6252:
6246:
6077:
6066:
6046:
6033:
5995:
5984:
5964:
5951:
5777:{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
5729:
5717:
5698:
5686:
5664:
5653:
5622:
5610:
5591:
5579:
5557:
5546:
5482:
5465:
5444:
5427:
5394:
5377:
5356:
5339:
5306:
5289:
5271:
5254:
5233:The associated negations are:
5181:
5169:
5150:
5133:
5103:
5086:
5071:
5059:
5040:
5023:
4976:
4964:
4945:
4928:
4867:
4855:
4836:
4819:
4761:
4755:
4716:
4690:
4671:
4645:
4465:
4453:
4348:
4330:
4321:
4303:
4300:
4288:
4279:
4258:
4231:
4210:
4201:
4186:
4177:
4165:
4162:
4150:
4141:
4129:
4064:
4052:
4007:
3995:
3992:
3980:
3968:
3956:
3914:
3896:
3884:
3872:
2786:
2774:
2765:
2753:
2716:
2704:
2695:
2683:
2643:
2630:
2615:
2602:
2587:
2574:
2559:
2546:
2455:
2443:
2434:
2422:
2385:
2373:
2364:
2352:
2315:
2302:
2287:
2274:
2259:
2246:
2231:
2218:
2151:
2139:
2108:
2096:
2087:
2075:
2066:
2054:
2012:
1999:
1984:
1971:
1956:
1943:
1928:
1915:
1880:
1868:
1803:
1791:
1760:
1748:
1739:
1727:
1718:
1706:
1672:
1659:
1644:
1631:
1616:
1603:
1588:
1575:
1512:
1500:
1491:
1479:
1470:
1458:
1418:
1406:
1361:
1348:
1333:
1320:
1305:
1292:
1277:
1264:
1229:
1217:
1137:
1124:
1078:
1066:
1063:
1051:
973:
671:; due to the orthogonality of
550:
506:{\displaystyle u,v\in \{s,n\}}
202:
170:
1:
6950:
6873:
6154:, particularly in the use of
5896:{\displaystyle A^{2}=B^{2}=N}
1235:{\displaystyle C(u\otimes v)}
285:-dimensional column vectors:
52:classical propositional logic
6905:Elementary cellular automata
4600:and a dyadic logical matrix
251:of the vector is 1; usually
7:
6918:
6707:). In the example of NAND,
6699:respectively (the same for
4393:weighted by probabilities.
1553:) is executed by the matrix
996:; the dyadic matrices have
600:) is represented by matrix
109:
10:
7342:
7206:Modalities in vector logic
6137:
1014:The mixed-product property
211:{\displaystyle f\mapsto n}
179:{\displaystyle t\mapsto s}
6547:operation requires that:
831:is represented by matrix
6586:{\displaystyle f(1,1)=0}
6023:, and the negative root
5824:are complex conjugates:
596:: A logical identity ID(
142:-dimensional normalized
5934:{\displaystyle AB=BA=I}
5850:{\displaystyle B=A^{*}}
462:{\displaystyle u\neq v}
240:{\displaystyle q\geq 2}
60:propositional variables
7114:10.1093/jigpal/jzaa026
6935:Propositional calculus
6862:
6691:correspond to vectors
6670:
6587:
6524:
6330:(1) = 0 and
6322:(1) = 1 and
6307:
6142:Early attempts to use
6128:
6099:
6053:
6017:
5971:
5935:
5897:
5851:
5818:
5798:
5778:
5739:
5632:
5489:
5401:
5313:
5222:
5110:
4997:
4905:
4799:
4723:
4614:
4594:
4546:
4490:
4428:
4355:
4241:
4071:
4017:
3935:are two logic vectors.
3921:
3807:
3559:
3446:
3330:
3115:
3006:
2900:
2870:
2802:
2729:
2659:
2516:
2471:
2398:
2328:
2167:
2121:
2028:
1887:
1819:
1773:
1688:
1528:
1434:
1374:
1236:
1179:
1114:Distributive transpose
1103:
990:
877:
827:: A logical negation ¬
811:
782:
646:
567:
507:
463:
437:
399:
373:
327:
241:
212:
180:
100:
80:
6863:
6671:
6588:
6525:
6308:
6160:calculus of relations
6129:
6100:
6054:
6018:
5972:
5936:
5898:
5852:
5819:
5799:
5779:
5740:
5633:
5490:
5402:
5314:
5223:
5111:
4998:
4906:
4800:
4724:
4615:
4595:
4547:
4491:
4429:
4356:
4242:
4089:law of contraposition
4083:Law of contraposition
4072:
4018:
3922:
3808:
3560:
3447:
3331:
3116:
3007:
2901:
2871:
2803:
2730:
2660:
2517:
2472:
2399:
2329:
2168:
2122:
2029:
1888:
1820:
1774:
1689:
1529:
1435:
1375:
1237:
1180:
1104:
991:
878:
812:
783:
647:
568:
508:
464:
438:
400:
374:
328:
242:
213:
181:
101:
81:
6966:Mizraji, E. (1992).
6740:
6597:
6556:
6543:. For instance: the
6343:
6240:
6127:{\displaystyle NA=B}
6109:
6105:; as a consequence,
6063:
6027:
5981:
5945:
5907:
5861:
5828:
5808:
5788:
5755:
5644:
5537:
5412:
5324:
5242:
5121:
5008:
4916:
4810:
4743:
4633:
4604:
4556:
4518:
4438:
4400:
4252:
4123:
4037:
3950:
3866:
3573:
3461:
3347:
3129:
3020:
2934:
2899:{\displaystyle P=ND}
2881:
2869:{\displaystyle S=NC}
2851:
2747:
2677:
2534:
2515:{\displaystyle X=NE}
2497:
2416:
2346:
2206:
2133:
2048:
1903:
1856:
1785:
1700:
1563:
1452:
1400:
1252:
1211:
1121:
1048:
932:
835:
810:{\displaystyle In=n}
792:
683:
604:
525:
473:
447:
409:
383:
345:
289:
225:
196:
164:
90:
70:
7300:Mizraji, E. (2015)
7204:Mizraji, E. (1994)
7143:Mizraji, E. (1989)
6988:Mizraji, E. (2008)
6914:has been developed.
6216:Boolean polynomials
6171:Boolean polynomials
4512:probabilistic logic
1545:. The disjunction (
1199:. The conjunction (
398:{\displaystyle u=v}
124:and the value 0 to
7269:Binazzi, A.(2012)
7211:2014-08-11 at the
6858:
6666:
6583:
6520:
6303:
6124:
6095:
6049:
6013:
5967:
5931:
5893:
5847:
5814:
5794:
5774:
5735:
5628:
5520:Square root of NOT
5485:
5397:
5309:
5218:
5106:
4993:
4901:
4795:
4719:
4610:
4590:
4542:
4486:
4424:
4351:
4237:
4067:
4013:
3917:
3803:
3797:
3728:
3647:
3555:
3549:
3500:
3442:
3436:
3388:
3326:
3320:
3254:
3188:
3111:
3105:
3059:
3002:
2996:
2963:
2912:Numerical examples
2896:
2866:
2834:correspond to the
2798:
2725:
2655:
2512:
2467:
2394:
2324:
2163:
2117:
2024:
1883:
1815:
1769:
1684:
1524:
1430:
1370:
1232:
1175:
1099:
986:
873:
807:
778:
642:
563:
503:
459:
433:
395:
369:
323:
237:
208:
191:
187:
176:
96:
76:
6945:Jonathan Westphal
6202:G.N. Ramachandran
6158:to interpret the
6074:
6044:
5992:
5962:
5817:{\displaystyle B}
5797:{\displaystyle A}
5772:
5715:
5684:
5661:
5608:
5577:
5554:
5526:quantum computing
4613:{\displaystyle G}
4379:Many-valued logic
3841:), and its dual:
3673:
3672:
3592:
3591:
3411:
3410:
3366:
3365:
1006:Kronecker product
517:Monadic operators
99:{\displaystyle P}
79:{\displaystyle S}
7333:
7305:
7298:
7292:
7289:
7283:
7280:
7274:
7267:
7261:
7258:
7252:
7249:
7243:
7240:
7234:
7231:
7225:
7222:
7216:
7202:
7196:
7193:
7187:
7184:
7178:
7175:
7169:
7166:
7160:
7157:
7148:
7141:
7135:
7132:
7126:
7123:
7117:
7106:
7100:
7097:
7091:
7088:
7082:
7079:
7073:
7070:
7064:
7061:
7055:
7052:
7046:
7043:
7034:
7031:
7020:
7017:
7011:
7008:
7002:
6999:
6993:
6986:
6971:
6964:
6867:
6865:
6864:
6859:
6854:
6853:
6829:
6828:
6804:
6803:
6773:
6772:
6675:
6673:
6672:
6667:
6592:
6590:
6589:
6584:
6529:
6527:
6526:
6521:
6312:
6310:
6309:
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