1160:
7557:
3795:
3603:
3409:
3244:
3059:
2886:
2693:
2554:
2403:
2256:
2095:
1980:
1870:
1755:
1645:
1514:
8001:
7160:
7174:
7134:. NAND and NOR gates with 3 or more inputs rather than the usual 2 inputs are fairly common, although they are logically equivalent to a cascade of 2-input gates. All other operators are implemented by breaking them down into a logically equivalent combination of 2 or more of the above logic gates.
1216:
as input and produces a unique truth value as output. In other words: the input and output of a truth function are all truth values; a truth function will always output exactly one truth value, and inputting the same truth value(s) will always output the same truth value. The typical example is in
6070:
1286:..." are typical examples of connectives that are not truth-functional. If e.g. Mary mistakenly believes that Al Gore was President of the USA on April 20, 2000, but she does not believe that the moon is made of green cheese, then the sentence
5754:
However, some of the operators of a particular arity are actually degenerate forms that perform a lower-arity operation on some of the inputs and ignore the rest of the inputs. Out of the 256 ternary boolean operators cited above,
5860:
4710:
Some truth functions possess properties which may be expressed in the theorems containing the corresponding connective. Some of those properties that a binary truth function (or a corresponding logical connective) may have are:
6309:
5341:
1225:; if the truth value of the compound statement is entirely determined by the truth value(s) of the constituent statement(s), the compound statement is called a truth function, and any logical connectives used are said to be
5269:
1255:
is truth-functional if the truth-value of a compound sentence is a function of the truth-value of its sub-sentences. A class of connectives is truth-functional if each of its members is. For example, the connective
5749:
4661:
4547:
1180:
5659:
4784:: Whenever the operands of the operation are the same, the connective gives the operand as the result. In other words, the operation is both truth-preserving and falsehood-preserving (see below).
4884:
4699:
4434:
5131:
4623:
4585:
4466:
4720:: Within an expression containing two or more of the same associative connectives in a row, the order of the operations does not matter as long as the sequence of the operands is not changed.
4509:
4146:
6189:
4114:
5065:
4242:
1235:
is a truth-functional logic, in that every statement has exactly one truth value which is either true or false, and every logical connective is truth functional (with a correspondent
4370:
4306:
4274:
523:
6240:
5099:
4402:
4338:
4178:
1389:
cases such as a function not depending on one or both of its arguments. Truth and falsehood are denoted as 1 and 0, respectively, in the following truth tables for sake of brevity.
950:
465:
378:
5987:
4210:
590:
251:
909:
549:
225:
3954:
651:
5914:
4082:
4018:
3729:
3660:
3529:
3501:
3922:
732:
4050:
3986:
497:
337:
285:
165:
7376:
3126:
2760:
1062:
1010:
616:
7356:
6327:, logical connective symbols can be interpreted by means of an interpretation function and a functionally complete set of truth-functions (Gamut 1991), as detailed by the
4816:
867:
6104:
404:
1036:
311:
5599:
5565:
5531:
5459:
5410:
976:
199:
136:
87:
61:
6883:
6856:
6697:
6136:
841:
789:
430:
755:
682:
6804:
6777:
6737:
6661:
5497:
5201:
3317:
2959:
1572:
1441:
7047:
3152:
2786:
815:
705:
110:
1187:
5075:: For each variable, changing its value either always or never changes the truth-value of the operation, for all fixed values of all other variables. E.g.,
5758:
6257:
5296:
5224:
5664:
7138:
7453:
1349:) used in the construction of formulas is truth-functional. Their values for various truth-values as argument are usually given by
7653:
4628:
4514:
7954:
1354:
5615:
3825:, a truth-functional logical calculus does not need to have dedicated symbols for all of the above-mentioned functions to be
7263:
1173:
1279:" is true, and it is false otherwise. Some connectives of a natural language, such as English, are not truth-functional.
4821:
4666:
4407:
5104:
4590:
4552:
4439:
4476:
5863:
7860:
4119:
6149:
5916:
is one such operator which is actually a unary operator applied to one input, and ignoring the other two inputs.
7338:: 117–32. In his list on the last page of the article, Wernick does not distinguish between ← and →, or between
4087:
7921:
7526:
7481:
7428:, Princeton, NJ: Princeton University Press. See the Introduction for a history of the truth function concept.
7243:
7211:
5032:
6065:{\displaystyle \Omega =\Omega _{0}\cup \Omega _{1}\cup \ldots \cup \Omega _{j}\cup \ldots \cup \Omega _{m}\,.}
4215:
7911:
7446:
6328:
4343:
4279:
4247:
502:
6206:
5078:
4375:
4311:
4151:
922:
435:
350:
7719:
7607:
4183:
1163:
562:
230:
8076:
8015:
7947:
7760:
880:
528:
204:
7734:
7724:
7627:
7411:
3927:
621:
5869:
4055:
3991:
3714:
3645:
3514:
3486:
7775:
7765:
7516:
4902:
if and only if for each of the following five properties it contains at least one member lacking it:
3895:
3880:
The following are the minimal functionally complete sets of operators whose arities do not exceed 2:
710:
7418:, translated from the French and German versions by Otto Bird, Dordrecht, South Holland: D. Reidel.
4728:: The operands of the connective may be swapped without affecting the truth-value of the expression.
4023:
3959:
476:
316:
264:
141:
7744:
7739:
7729:
7439:
7361:
7145:
3822:
3111:
2745:
1386:
1041:
989:
595:
7341:
4795:
846:
7875:
7785:
7780:
7770:
7622:
7238:
6082:
4899:
3826:
3816:
3075:
2709:
1110:
383:
1015:
290:
8081:
7940:
7850:
7693:
7632:
7617:
7612:
7576:
7258:
7192:
5570:
5536:
5502:
5430:
5381:
3870:
3830:
1326:" is not determined solely by the truth-value of its component sentence, and hence the (unary)
1218:
1209:
1080:
955:
178:
115:
66:
40:
7916:
7714:
7688:
7673:
7658:
7536:
7198:
6868:
6841:
6682:
6121:
5071:
3617:
820:
768:
409:
171:
737:
664:
7906:
7678:
7531:
6789:
6762:
6722:
6646:
5475:
5186:
3302:
3258:
2944:
2900:
1557:
1426:
1346:
1138:
257:
7023:
3137:
2771:
8:
7880:
7683:
7648:
7511:
7205:
7144:
The fact that all truth functions can be expressed with NOR alone is demonstrated by the
3877:. A minimally complete set of operators is achieved by NAND alone {↑} and NOR alone {↓}.
3834:
2419:
2111:
1148:
794:
761:
33:
7137:
The "logical equivalence" of "NAND alone", "NOR alone", and "NOT and AND" is similar to
687:
92:
7825:
7698:
7591:
7586:
7486:
7476:
7397:
5974:
5143:
is the same as taking the complement of reading it from bottom to top; in other words,
1382:
1327:
1252:
1222:
1221:, wherein a compound statement is constructed using individual statements connected by
1143:
22:
7885:
7990:
7581:
7491:
7218:
7179:
7165:
5855:{\displaystyle {\binom {3}{2}}\cdot 16-{\binom {3}{1}}\cdot 4+{\binom {3}{0}}\cdot 2}
5424:
5375:
1528:
1085:
5415:-ary operators. In three-valued logic there are 3 nullary operators (constants), 27
7865:
7855:
7820:
7541:
7248:
7188:
5931:
5420:
5371:
5344:
5272:
1370:
1105:
982:
7018:(or any other set of functional complete truth-functions) then the truth-value of
5139:: To read the truth-value assignments for the operation from top to bottom on its
7901:
7805:
7462:
7223:
7111:
6304:{\displaystyle \Omega _{2}\supset \{\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow \}}
5923:
5416:
5367:
5336:{\displaystyle \vee ,\wedge ,\nleftrightarrow ,\bot ,\not \subset ,\not \supset }
4736:: A connective denoted by · distributes over another connective denoted by +, if
3866:
1338:
1232:
1090:
5862:
of them are such degenerate forms of binary or lower-arity operators, using the
3858:. The conditional operator "→" is therefore not necessary for a classical-based
7845:
7253:
7228:
4788:
4732:
3859:
2270:
1322:" differs in truth-value. That is, the truth-value of a sentence of the form "
1266:
343:
7098:
is true or false only under an interpretation of all its non-logical symbols.
8070:
8050:
8045:
7964:
7870:
7830:
7668:
7421:
7233:
4724:
4716:
1401:
1397:
1369:
In two-valued logic, there are sixteen possible truth functions, also called
1358:
1115:
7835:
8020:
7840:
7815:
7810:
7663:
7119:
3425:
1532:
915:
5264:{\displaystyle \vee ,\wedge ,\top ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\subset }
8055:
7979:
7506:
7496:
7123:
6324:
5282:
5210:
5140:
4780:
2568:
1886:
1661:
1350:
1342:
1240:
1239:), thus every compound statement is a truth function. On the other hand,
1236:
1213:
1095:
555:
6936:
is a sentence that is a string of symbols consisting of logical symbols
1318:") is false, but each compound sentence formed by prefixing the phrase "
7571:
7393:
7131:
7107:
1133:
7546:
5744:{\displaystyle |\mathbb {Z} _{k}|^{|\mathbb {Z} _{k}^{n}|}=k^{k^{n}}}
4907:
3869:
set of operators that can express every statement expressible in the
1292:
Mary believes that Al Gore was
President of the USA on April 20, 2000
873:
7932:
7521:
7309:
7127:
5919:
5366:. In two-valued logic there are 2 nullary operators (constants), 4
1994:
1769:
1381:. Any of these functions corresponds to a truth table of a certain
657:
7431:
8025:
3837:
of certain compound statements. For example, classical logic has
7334:
Wernick, William (1942) "Complete Sets of
Logical Functions,"
5281:: The interpretation under which all variables are assigned a
5209:: The interpretation under which all variables are assigned a
6108:
5357:
4656:{\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}
1201:
4542:{\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}}
8000:
7115:
7114:. Practically all digital circuits (the major exception is
3794:
3602:
3408:
3243:
3058:
2885:
2692:
2553:
2402:
2255:
2094:
1979:
1869:
1754:
1644:
1513:
1361:
whose formulae may be interpreted as either true or false.
6952:
representing logical connectives, and non-logical symbols
7392:
This article incorporates material from TruthFunction on
1310:
is false. In both cases, each component sentence (i.e. "
7556:
7310:
5654:{\displaystyle \mathbb {Z} _{k}^{n}\to \mathbb {Z} _{k}}
7300:, p. 295: Truth Functional. Edinburgh University Press.
7364:
7344:
7325:, p. 47: Classical Logic. Edinburgh University Press.
7287:, p. 294: Truth Function. Edinburgh University Press.
7026:
6871:
6844:
6792:
6765:
6725:
6685:
6649:
6260:
6209:
6152:
6124:
6085:
5990:
5872:
5761:
5667:
5618:
5573:
5539:
5505:
5478:
5433:
5384:
5299:
5227:
5189:
5107:
5081:
5035:
4824:
4798:
4669:
4631:
4593:
4555:
4517:
4479:
4442:
4410:
4378:
4346:
4314:
4282:
4250:
4218:
4186:
4154:
4122:
4090:
4058:
4026:
3994:
3962:
3930:
3898:
3717:
3648:
3517:
3489:
3305:
3140:
3114:
2947:
2774:
2748:
1560:
1429:
1044:
1018:
992:
958:
925:
883:
849:
823:
797:
771:
740:
713:
690:
667:
624:
598:
565:
531:
505:
479:
438:
412:
386:
353:
319:
293:
267:
233:
207:
181:
144:
118:
95:
69:
43:
7336:
Transactions of the
American Mathematical Society 51
7155:
4879:{\displaystyle a\land (a\lor b)=a\lor (a\land b)=a}
1304:
Mary believes that the moon is made of green cheese
7370:
7350:
7041:
6877:
6850:
6798:
6771:
6731:
6691:
6655:
6303:
6234:
6183:
6130:
6098:
6064:
5908:
5854:
5743:
5653:
5593:
5559:
5525:
5491:
5453:
5404:
5362:A concrete function may be also referred to as an
5335:
5263:
5195:
5125:
5093:
5059:
4878:
4810:
4694:{\displaystyle \{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}}
4693:
4655:
4617:
4579:
4541:
4503:
4460:
4429:{\displaystyle \{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}}
4428:
4396:
4364:
4332:
4300:
4268:
4236:
4204:
4172:
4140:
4108:
4076:
4044:
4012:
3980:
3948:
3916:
3723:
3654:
3523:
3495:
3311:
3146:
3120:
2953:
2780:
2754:
1566:
1435:
1364:
1312:Al Gore was president of the USA on April 20, 2000
1056:
1030:
1004:
970:
944:
903:
861:
835:
809:
783:
749:
726:
699:
676:
645:
610:
584:
543:
517:
491:
459:
424:
398:
372:
331:
305:
279:
245:
219:
193:
159:
130:
104:
81:
55:
5934:, taking two terms to make a compound statement (
5840:
5827:
5809:
5796:
5778:
5765:
5126:{\displaystyle \not \leftrightarrow ,\top ,\bot }
4618:{\displaystyle \{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}}
4580:{\displaystyle \{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}}
4461:{\displaystyle \{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}}
8068:
7398:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
6343:be any two sentences and let the truth function
6318:
4504:{\displaystyle \{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}}
5751:, which is how the above numbers were derived.
7051:is determined entirely by the truth-values of
3862:if "¬" (not) and "∨" (or) are already in use.
7948:
7447:
7094:. In other words, as expected and required,
5661:. Therefore, the number of such operators is
1260:" is truth-functional since a sentence like "
1181:
6298:
6274:
6229:
6223:
6178:
6166:
6118:In the more familiar propositional calculi,
4688:
4670:
4650:
4632:
4612:
4594:
4574:
4556:
4536:
4518:
4498:
4480:
4455:
4443:
4423:
4411:
4391:
4379:
4359:
4347:
4327:
4315:
4295:
4283:
4263:
4251:
4231:
4219:
4199:
4187:
4167:
4155:
4141:{\displaystyle \{\gets ,\nleftrightarrow \}}
4135:
4123:
4103:
4091:
4071:
4059:
4039:
4027:
4007:
3995:
3975:
3963:
3943:
3931:
3911:
3899:
1334:since it is unary) is non-truth-functional.
1262:Apples are fruits and carrots are vegetables
6184:{\displaystyle \Omega _{0}=\{\bot ,\top \}}
7955:
7941:
7454:
7440:
4109:{\displaystyle \{\to ,\nleftrightarrow \}}
3810:
1188:
1174:
6058:
5699:
5675:
5641:
5621:
5060:{\displaystyle \vee ,\wedge ,\top ,\bot }
3821:Because a function may be expressed as a
4237:{\displaystyle \{\gets ,\nrightarrow \}}
5293:as a result of these operations. E.g.,
5221:as a result of these operations. E.g.,
4705:
4365:{\displaystyle \{\nrightarrow ,\top \}}
4301:{\displaystyle \{\nrightarrow ,\neg \}}
4269:{\displaystyle \{\gets ,\nleftarrow \}}
1355:Truth-functional propositional calculus
518:{\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}
8069:
7328:
6235:{\displaystyle \Omega _{1}=\{\lnot \}}
5094:{\displaystyle \neg ,\leftrightarrow }
4397:{\displaystyle \{\nleftarrow ,\top \}}
4333:{\displaystyle \{\nleftarrow ,\neg \}}
4173:{\displaystyle \{\to ,\nrightarrow \}}
1385:in classical logic, including several
945:{\displaystyle A{\underline {\lor }}B}
460:{\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}
373:{\displaystyle A{\overline {\land }}B}
7936:
7435:
7106:Logical operators are implemented as
6138:is typically partitioned as follows:
4205:{\displaystyle \{\to ,\nleftarrow \}}
3745:
3553:
3426:Non-equivalence/Exclusive disjunction
3359:
3194:
3009:
2836:
2643:
2504:
2353:
2206:
2045:
1930:
1820:
1705:
1595:
1464:
585:{\displaystyle A{\overline {\lor }}B}
246:{\displaystyle A\leftrightharpoons B}
7962:
7264:Truth-functional propositional logic
7461:
7323:A Dictionary of Philosophical Logic
7298:A Dictionary of Philosophical Logic
7285:A Dictionary of Philosophical Logic
7101:
6335:be an interpretation function, let
904:{\displaystyle A\ {\text{XNOR}}\ B}
544:{\displaystyle A\nleftrightarrow B}
13:
7426:Introduction to Mathematical Logic
7405:
6793:
6766:
6650:
6405:and so on are defined by means of
6262:
6226:
6211:
6175:
6169:
6154:
6125:
6106:is the set of operator symbols of
6087:
6049:
6030:
6011:
5998:
5991:
5977:into disjoint subsets as follows:
5900:
5831:
5800:
5769:
5318:
5240:
5190:
5120:
5114:
5082:
5054:
5048:
4685:
4609:
4571:
4495:
4388:
4356:
4324:
4292:
4068:
4036:
4004:
3972:
3940:
3908:
2271:Non-conjunction/Alternative denial
1561:
1430:
668:
220:{\displaystyle A\Leftrightarrow B}
151:
148:
122:
14:
8093:
5612:-valued logic is a function from
3949:{\displaystyle \{\wedge ,\neg \}}
3875:minimal functionally complete set
646:{\displaystyle {\overline {A+B}}}
7999:
7555:
7172:
7158:
6995:have been provided interpreting
6550:and so on are defined directly:
5909:{\displaystyle f(x,y,z)=\lnot x}
4818:satisfies the absorption law if
4077:{\displaystyle \{\gets ,\bot \}}
4013:{\displaystyle \{\gets ,\neg \}}
3793:
3724:{\displaystyle \leftrightarrow }
3655:{\displaystyle \leftrightarrow }
3601:
3524:{\displaystyle \leftrightarrow }
3496:{\displaystyle \leftrightarrow }
3407:
3242:
3057:
2884:
2691:
2552:
2401:
2254:
2093:
1978:
1868:
1753:
1643:
1512:
1316:the moon is made of green cheese
1159:
1158:
3917:{\displaystyle \{\vee ,\neg \}}
1365:Table of binary truth functions
727:{\displaystyle {\overline {A}}}
7922:Tractatus Logico-Philosophicus
7527:Problem of multiple generality
7416:A Précis of Mathematical Logic
7396:, which is licensed under the
7315:
7303:
7290:
7277:
7244:List of Boolean algebra topics
7212:Tractatus Logico-Philosophicus
7036:
7030:
6295:
6289:
5894:
5876:
5715:
5693:
5687:
5669:
5636:
5252:
5246:
5088:
4867:
4855:
4843:
4831:
4641:
4603:
4527:
4489:
4452:
4420:
4254:
4222:
4190:
4158:
4126:
4094:
4062:
4045:{\displaystyle \{\to ,\bot \}}
4030:
3998:
3981:{\displaystyle \{\to ,\neg \}}
3966:
3718:
3649:
3518:
3490:
1048:
996:
602:
492:{\displaystyle A\not \equiv B}
390:
332:{\displaystyle A\rightarrow B}
323:
280:{\displaystyle A\Rightarrow B}
271:
237:
211:
160:{\displaystyle A\&\&B}
1:
7912:The Principles of Mathematics
7385:
7371:{\displaystyle \nrightarrow }
6329:principle of compositionality
6319:Principle of compositionality
5969:The set of logical operators
5864:inclusion–exclusion principle
3121:{\displaystyle \not \subset }
2755:{\displaystyle \not \supset }
1233:Classical propositional logic
1057:{\displaystyle A\leftarrow B}
1005:{\displaystyle A\Leftarrow B}
611:{\displaystyle A\downarrow B}
7608:Commutativity of conjunction
7351:{\displaystyle \nleftarrow }
4898:A set of truth functions is
4811:{\displaystyle \land ,\lor }
2569:Non-disjunction/Joint denial
862:{\displaystyle A\parallel B}
719:
638:
574:
452:
362:
7:
7151:
6099:{\displaystyle \Omega _{j}}
5926:, it takes a single term (¬
1282:Connectives of the form "x
1271:each of its sub-sentences "
1246:
399:{\displaystyle A\uparrow B}
10:
8098:
7628:Monotonicity of entailment
5355:
5289:produces a truth value of
5217:produces a truth value of
3814:
1031:{\displaystyle A\subset B}
306:{\displaystyle A\supset B}
8034:
8008:
7997:
7972:
7894:
7798:
7753:
7707:
7641:
7600:
7564:
7553:
7517:Idempotency of entailment
7469:
5594:{\displaystyle k^{k^{n}}}
5560:{\displaystyle k^{k^{3}}}
5526:{\displaystyle k^{k^{2}}}
5468:-valued logic, there are
5454:{\displaystyle 3^{3^{n}}}
5405:{\displaystyle 2^{2^{n}}}
3829:. This is expressed in a
3763:
3748:
3618:Equivalence/Biconditional
3571:
3556:
3377:
3362:
3212:
3197:
3027:
3012:
2854:
2839:
2661:
2646:
2522:
2507:
2371:
2356:
2224:
2209:
2063:
2048:
1948:
1933:
1838:
1823:
1723:
1708:
1613:
1598:
1482:
1467:
1243:is non-truth-functional.
971:{\displaystyle A\oplus B}
194:{\displaystyle A\equiv B}
7270:
7146:Apollo guidance computer
5351:
4792:: A pair of connectives
131:{\displaystyle A\&B}
82:{\displaystyle A\cdot B}
56:{\displaystyle A\land B}
7876:Willard Van Orman Quine
7239:Boolean-valued function
6878:{\displaystyle \wedge }
6851:{\displaystyle \wedge }
6692:{\displaystyle \wedge }
6385:Then, for convenience,
6131:{\displaystyle \Omega }
5866:. The ternary operator
5567:ternary operators, and
3817:Functional completeness
3811:Functional completeness
3076:Converse nonimplication
2710:Material nonimplication
1111:Functional completeness
836:{\displaystyle A\mid B}
784:{\displaystyle A\lor B}
425:{\displaystyle A\mid B}
7851:Charles Sanders Peirce
7694:Hypothetical syllogism
7372:
7352:
7259:Propositional calculus
7193:Alfred North Whitehead
7043:
6968:, then if and only if
6879:
6852:
6800:
6773:
6733:
6693:
6657:
6305:
6236:
6185:
6132:
6100:
6066:
5910:
5856:
5745:
5655:
5595:
5561:
5527:
5493:
5455:
5406:
5337:
5265:
5197:
5127:
5095:
5061:
4880:
4812:
4695:
4657:
4619:
4581:
4543:
4505:
4462:
4430:
4398:
4366:
4334:
4302:
4270:
4238:
4206:
4174:
4142:
4110:
4078:
4046:
4014:
3982:
3950:
3918:
3871:propositional calculus
3831:propositional calculus
3725:
3656:
3525:
3497:
3313:
3148:
3122:
2955:
2782:
2756:
1568:
1437:
1277:carrots are vegetables
1081:Propositional calculus
1058:
1032:
1006:
972:
946:
905:
863:
837:
811:
785:
751:
750:{\displaystyle \sim A}
728:
701:
678:
677:{\displaystyle \neg A}
647:
612:
586:
545:
519:
493:
461:
426:
400:
374:
333:
307:
281:
247:
221:
195:
161:
132:
106:
83:
57:
7917:Principia Mathematica
7689:Disjunctive syllogism
7674:modus ponendo tollens
7412:Józef Maria Bocheński
7373:
7353:
7312:, by Kevin C. Klement
7199:Principia Mathematica
7044:
6880:
6853:
6801:
6799:{\displaystyle \neg }
6774:
6772:{\displaystyle \neg }
6734:
6732:{\displaystyle \lor }
6694:
6658:
6656:{\displaystyle \neg }
6306:
6237:
6186:
6133:
6101:
6067:
5911:
5857:
5746:
5656:
5596:
5562:
5528:
5494:
5492:{\displaystyle k^{k}}
5456:
5407:
5338:
5266:
5198:
5196:{\displaystyle \neg }
5128:
5096:
5062:
4900:functionally complete
4881:
4813:
4696:
4658:
4620:
4582:
4544:
4506:
4463:
4431:
4399:
4367:
4335:
4303:
4271:
4239:
4207:
4175:
4143:
4111:
4079:
4047:
4015:
3983:
3951:
3919:
3827:functionally complete
3726:
3657:
3526:
3498:
3314:
3312:{\displaystyle \geq }
3149:
3123:
2956:
2954:{\displaystyle \leq }
2783:
2757:
1569:
1567:{\displaystyle \top }
1438:
1436:{\displaystyle \bot }
1324:Mary believes that...
1139:Programming languages
1059:
1033:
1007:
973:
947:
906:
864:
838:
812:
786:
752:
729:
702:
679:
648:
613:
587:
546:
520:
494:
462:
427:
401:
375:
334:
308:
282:
248:
222:
196:
162:
133:
107:
84:
58:
7907:Function and Concept
7679:Constructive dilemma
7654:Material implication
7362:
7342:
7321:Roy T. Cook (2009).
7296:Roy T. Cook (2009).
7283:Roy T. Cook (2009).
7118:) are built up from
7042:{\displaystyle I(s)}
7024:
6869:
6842:
6790:
6763:
6723:
6683:
6647:
6258:
6207:
6150:
6122:
6083:
5988:
5870:
5759:
5665:
5616:
5571:
5537:
5503:
5476:
5431:
5382:
5297:
5279:falsehood-preserving
5225:
5187:
5105:
5079:
5033:
4822:
4796:
4706:Algebraic properties
4667:
4629:
4591:
4553:
4515:
4477:
4440:
4408:
4376:
4344:
4312:
4280:
4248:
4216:
4184:
4152:
4120:
4088:
4056:
4024:
3992:
3960:
3928:
3896:
3715:
3646:
3515:
3487:
3303:
3259:Converse implication
3147:{\displaystyle <}
3138:
3112:
2945:
2901:Material implication
2781:{\displaystyle >}
2772:
2746:
1558:
1427:
1042:
1016:
990:
956:
923:
881:
847:
821:
795:
769:
738:
711:
688:
665:
622:
596:
563:
529:
503:
477:
436:
410:
384:
351:
317:
291:
265:
231:
205:
179:
142:
116:
93:
67:
41:
7881:Ludwig Wittgenstein
7684:Destructive dilemma
7512:Well-formed formula
7215:, Proposition 5.101
7206:Ludwig Wittgenstein
6146:nullary operators:
6079:In this partition,
5713:
5635:
5604:-ary operators. An
5472:nullary operators,
5464:-ary operators. In
4764:) for all operands
3835:logical equivalence
3620:
3428:
3261:
3078:
2903:
2712:
2571:
2422:
2273:
2114:
2000:
1892:
1775:
1667:
1535:
1404:
1223:logical connectives
1219:propositional logic
1149:Philosophy of logic
810:{\displaystyle A+B}
23:Logical connectives
8077:Mathematical logic
7826:Augustus De Morgan
7368:
7348:
7139:Turing equivalence
7132:transmission gates
7039:
6875:
6848:
6796:
6769:
6729:
6689:
6653:
6530:or, alternatively
6301:
6254:binary operators:
6232:
6181:
6128:
6096:
6062:
5906:
5852:
5741:
5697:
5651:
5619:
5591:
5557:
5533:binary operators,
5523:
5489:
5451:
5402:
5333:
5261:
5193:
5123:
5091:
5057:
4983:∈ {0,1} such that
4876:
4808:
4691:
4653:
4615:
4577:
4539:
4501:
4458:
4426:
4394:
4362:
4330:
4298:
4266:
4234:
4202:
4170:
4138:
4106:
4074:
4042:
4010:
3978:
3946:
3914:
3721:
3652:
3616:
3521:
3493:
3424:
3309:
3257:
3144:
3118:
3074:
2951:
2899:
2795: NIMPLY
2778:
2752:
2708:
2567:
2418:
2269:
2110:
1993:
1885:
1768:
1660:
1564:
1527:
1433:
1396:
1383:logical connective
1341:connectives (e.g.
1320:Mary believes that
1253:logical connective
1144:Mathematical logic
1054:
1028:
1002:
968:
942:
937:
901:
859:
833:
807:
781:
747:
724:
700:{\displaystyle -A}
697:
674:
643:
608:
582:
541:
515:
489:
457:
422:
396:
370:
329:
303:
277:
243:
217:
191:
157:
128:
105:{\displaystyle AB}
102:
79:
53:
8064:
8063:
7930:
7929:
7794:
7793:
7219:Bitwise operation
7180:Psychology portal
7166:Philosophy portal
6323:Instead of using
6203:unary operators:
5838:
5807:
5776:
5608:-ary operator in
5499:unary operators,
5425:ternary operators
5376:ternary operators
4886:for all operands
3808:
3807:
3801:
3800:
3790:
3789:
3609:
3608:
3598:
3597:
3415:
3414:
3404:
3403:
3250:
3249:
3239:
3238:
3065:
3064:
3054:
3053:
2968: IMPLY
2892:
2891:
2881:
2880:
2699:
2698:
2688:
2687:
2560:
2559:
2549:
2548:
2409:
2408:
2398:
2397:
2262:
2261:
2251:
2250:
2101:
2100:
2090:
2089:
1986:
1985:
1975:
1974:
1876:
1875:
1865:
1864:
1761:
1760:
1750:
1749:
1651:
1650:
1640:
1639:
1520:
1519:
1509:
1508:
1371:Boolean functions
1273:apples are fruits
1198:
1197:
1067:
1066:
930:
897:
893:
889:
722:
641:
577:
455:
365:
16:Function in logic
8089:
8003:
7957:
7950:
7943:
7934:
7933:
7866:Henry M. Sheffer
7856:Bertrand Russell
7821:Richard Dedekind
7705:
7704:
7649:De Morgan's laws
7623:Noncontradiction
7565:Classical logics
7559:
7456:
7449:
7442:
7433:
7432:
7379:
7377:
7375:
7374:
7369:
7357:
7355:
7354:
7349:
7332:
7326:
7319:
7313:
7307:
7301:
7294:
7288:
7281:
7249:Logical constant
7189:Bertrand Russell
7182:
7177:
7176:
7175:
7168:
7163:
7162:
7161:
7112:digital circuits
7102:Computer science
7093:
7050:
7048:
7046:
7045:
7040:
6994:
6884:
6882:
6881:
6876:
6857:
6855:
6854:
6849:
6805:
6803:
6802:
6797:
6778:
6776:
6775:
6770:
6738:
6736:
6735:
6730:
6698:
6696:
6695:
6690:
6662:
6660:
6659:
6654:
6331:of meaning. Let
6310:
6308:
6307:
6302:
6270:
6269:
6241:
6239:
6238:
6233:
6219:
6218:
6190:
6188:
6187:
6182:
6162:
6161:
6137:
6135:
6134:
6129:
6114:
6105:
6103:
6102:
6097:
6095:
6094:
6071:
6069:
6068:
6063:
6057:
6056:
6038:
6037:
6019:
6018:
6006:
6005:
5972:
5932:binary operators
5930:). The rest are
5915:
5913:
5912:
5907:
5861:
5859:
5858:
5853:
5845:
5844:
5843:
5830:
5814:
5813:
5812:
5799:
5783:
5782:
5781:
5768:
5750:
5748:
5747:
5742:
5740:
5739:
5738:
5737:
5720:
5719:
5718:
5712:
5707:
5702:
5696:
5690:
5684:
5683:
5678:
5672:
5660:
5658:
5657:
5652:
5650:
5649:
5644:
5634:
5629:
5624:
5600:
5598:
5597:
5592:
5590:
5589:
5588:
5587:
5566:
5564:
5563:
5558:
5556:
5555:
5554:
5553:
5532:
5530:
5529:
5524:
5522:
5521:
5520:
5519:
5498:
5496:
5495:
5490:
5488:
5487:
5460:
5458:
5457:
5452:
5450:
5449:
5448:
5447:
5423:, 7625597484987
5421:binary operators
5411:
5409:
5408:
5403:
5401:
5400:
5399:
5398:
5372:binary operators
5342:
5340:
5339:
5334:
5270:
5268:
5267:
5262:
5207:truth-preserving
5202:
5200:
5199:
5194:
5132:
5130:
5129:
5124:
5100:
5098:
5097:
5092:
5066:
5064:
5063:
5058:
4885:
4883:
4882:
4877:
4817:
4815:
4814:
4809:
4700:
4698:
4697:
4692:
4662:
4660:
4659:
4654:
4624:
4622:
4621:
4616:
4586:
4584:
4583:
4578:
4548:
4546:
4545:
4540:
4510:
4508:
4507:
4502:
4467:
4465:
4464:
4459:
4435:
4433:
4432:
4427:
4403:
4401:
4400:
4395:
4371:
4369:
4368:
4363:
4339:
4337:
4336:
4331:
4307:
4305:
4304:
4299:
4275:
4273:
4272:
4267:
4243:
4241:
4240:
4235:
4211:
4209:
4208:
4203:
4179:
4177:
4176:
4171:
4147:
4145:
4144:
4139:
4115:
4113:
4112:
4107:
4083:
4081:
4080:
4075:
4051:
4049:
4048:
4043:
4019:
4017:
4016:
4011:
3987:
3985:
3984:
3979:
3955:
3953:
3952:
3947:
3923:
3921:
3920:
3915:
3857:
3847:
3797:
3743:
3742:
3730:
3728:
3727:
3722:
3677: XNOR
3661:
3659:
3658:
3653:
3621:
3615:
3605:
3551:
3550:
3530:
3528:
3527:
3522:
3502:
3500:
3499:
3494:
3429:
3423:
3411:
3357:
3356:
3318:
3316:
3315:
3310:
3262:
3256:
3246:
3192:
3191:
3153:
3151:
3150:
3145:
3127:
3125:
3124:
3119:
3079:
3073:
3061:
3007:
3006:
2960:
2958:
2957:
2952:
2904:
2898:
2888:
2834:
2833:
2787:
2785:
2784:
2779:
2761:
2759:
2758:
2753:
2713:
2707:
2695:
2641:
2640:
2572:
2566:
2556:
2502:
2501:
2423:
2417:
2405:
2351:
2350:
2312: NAND
2274:
2268:
2258:
2204:
2203:
2115:
2109:
2097:
2043:
2042:
2001:
1992:
1982:
1928:
1927:
1893:
1884:
1872:
1818:
1817:
1776:
1767:
1757:
1703:
1702:
1668:
1659:
1647:
1593:
1592:
1573:
1571:
1570:
1565:
1536:
1526:
1516:
1462:
1461:
1442:
1440:
1439:
1434:
1405:
1395:
1392:
1391:
1373:, of two inputs
1227:truth functional
1190:
1183:
1176:
1162:
1161:
1106:Boolean function
1072:Related concepts
1063:
1061:
1060:
1055:
1037:
1035:
1034:
1029:
1011:
1009:
1008:
1003:
977:
975:
974:
969:
951:
949:
948:
943:
938:
910:
908:
907:
902:
895:
894:
891:
887:
868:
866:
865:
860:
842:
840:
839:
834:
816:
814:
813:
808:
790:
788:
787:
782:
756:
754:
753:
748:
733:
731:
730:
725:
723:
715:
706:
704:
703:
698:
683:
681:
680:
675:
652:
650:
649:
644:
642:
637:
626:
617:
615:
614:
609:
591:
589:
588:
583:
578:
570:
550:
548:
547:
542:
524:
522:
521:
516:
498:
496:
495:
490:
466:
464:
463:
458:
456:
451:
440:
431:
429:
428:
423:
405:
403:
402:
397:
379:
377:
376:
371:
366:
358:
338:
336:
335:
330:
312:
310:
309:
304:
286:
284:
283:
278:
252:
250:
249:
244:
226:
224:
223:
218:
200:
198:
197:
192:
166:
164:
163:
158:
137:
135:
134:
129:
111:
109:
108:
103:
88:
86:
85:
80:
62:
60:
59:
54:
30:
29:
19:
18:
8097:
8096:
8092:
8091:
8090:
8088:
8087:
8086:
8067:
8066:
8065:
8060:
8030:
8004:
7995:
7968:
7961:
7931:
7926:
7902:Begriffsschrift
7890:
7886:Jan Łukasiewicz
7806:Bernard Bolzano
7790:
7761:Double negation
7749:
7720:Double negation
7703:
7637:
7613:Excluded middle
7596:
7560:
7551:
7465:
7463:Classical logic
7460:
7408:
7406:Further reading
7388:
7383:
7382:
7363:
7360:
7359:
7343:
7340:
7339:
7333:
7329:
7320:
7316:
7308:
7304:
7295:
7291:
7282:
7278:
7273:
7268:
7224:Binary function
7209:
7196:
7178:
7173:
7171:
7164:
7159:
7157:
7154:
7104:
7091:
7078:
7068:
7066:
7057:
7025:
7022:
7021:
7019:
7017:
7010:
7001:
6992:
6979:
6969:
6967:
6958:
6951:
6942:
6927:
6907:
6870:
6867:
6866:
6843:
6840:
6839:
6820:
6791:
6788:
6787:
6764:
6761:
6760:
6745:
6724:
6721:
6720:
6705:
6684:
6681:
6680:
6669:
6648:
6645:
6644:
6626:
6619:
6612:
6605:
6596:
6589:
6582:
6575:
6566:
6559:
6549:
6543:
6536:
6517:
6510:
6495:
6482:
6471:
6464:
6449:
6432:
6421:
6411:
6404:
6398:
6391:
6380:
6373:
6366:
6359:
6350:be defined as:
6349:
6321:
6265:
6261:
6259:
6256:
6255:
6214:
6210:
6208:
6205:
6204:
6157:
6153:
6151:
6148:
6147:
6123:
6120:
6119:
6112:
6090:
6086:
6084:
6081:
6080:
6052:
6048:
6033:
6029:
6014:
6010:
6001:
5997:
5989:
5986:
5985:
5970:
5871:
5868:
5867:
5839:
5826:
5825:
5824:
5808:
5795:
5794:
5793:
5777:
5764:
5763:
5762:
5760:
5757:
5756:
5733:
5729:
5728:
5724:
5714:
5708:
5703:
5698:
5692:
5691:
5686:
5685:
5679:
5674:
5673:
5668:
5666:
5663:
5662:
5645:
5640:
5639:
5630:
5625:
5620:
5617:
5614:
5613:
5583:
5579:
5578:
5574:
5572:
5569:
5568:
5549:
5545:
5544:
5540:
5538:
5535:
5534:
5515:
5511:
5510:
5506:
5504:
5501:
5500:
5483:
5479:
5477:
5474:
5473:
5443:
5439:
5438:
5434:
5432:
5429:
5428:
5417:unary operators
5394:
5390:
5389:
5385:
5383:
5380:
5379:
5368:unary operators
5360:
5354:
5298:
5295:
5294:
5226:
5223:
5222:
5188:
5185:
5184:
5182:
5173:
5162:
5153:
5106:
5103:
5102:
5080:
5077:
5076:
5034:
5031:
5030:
5028:
5019:
5010:
5003:
4996:
4989:
4982:
4973:
4966:
4957:
4950:
4941:
4930:
4921:
4823:
4820:
4819:
4797:
4794:
4793:
4708:
4668:
4665:
4664:
4630:
4627:
4626:
4592:
4589:
4588:
4554:
4551:
4550:
4516:
4513:
4512:
4478:
4475:
4474:
4441:
4438:
4437:
4409:
4406:
4405:
4377:
4374:
4373:
4345:
4342:
4341:
4313:
4310:
4309:
4281:
4278:
4277:
4249:
4246:
4245:
4217:
4214:
4213:
4185:
4182:
4181:
4153:
4150:
4149:
4121:
4118:
4117:
4089:
4086:
4085:
4057:
4054:
4053:
4025:
4022:
4021:
3993:
3990:
3989:
3961:
3958:
3957:
3929:
3926:
3925:
3897:
3894:
3893:
3849:
3838:
3819:
3813:
3803:
3735:
3716:
3713:
3712:
3707:
3698:
3685: IFF
3681:
3673:
3665:
3647:
3644:
3643:
3628:
3611:
3543:
3534:
3516:
3513:
3512:
3507:
3488:
3485:
3484:
3475: XOR
3471:
3463:
3455:
3436:
3417:
3349:
3340:
3331:
3304:
3301:
3300:
3296:
3288:
3269:
3252:
3184:
3175:
3166:
3139:
3136:
3135:
3131:
3113:
3110:
3109:
3105:
3086:
3067:
2999:
2990:
2981:
2964:
2946:
2943:
2942:
2938:
2930:
2911:
2894:
2826:
2817:
2808:
2791:
2773:
2770:
2769:
2765:
2747:
2744:
2743:
2739:
2720:
2701:
2633:
2624:
2615:
2602: NOR
2598:
2579:
2562:
2494:
2484:
2475:
2466:
2449:
2430:
2411:
2343:
2334:
2325:
2308:
2300:
2281:
2264:
2196:
2187:
2178:
2165: AND
2161:
2149:
2141:
2122:
2103:
2035:
2024:
2008:
1988:
1920:
1900:
1878:
1810:
1799:
1783:
1763:
1695:
1675:
1653:
1585:
1574:
1559:
1556:
1555:
1543:
1522:
1454:
1443:
1428:
1425:
1424:
1412:
1367:
1339:classical logic
1267:if, and only if
1249:
1194:
1153:
1120:
1091:Boolean algebra
1086:Predicate logic
1043:
1040:
1039:
1017:
1014:
1013:
991:
988:
987:
957:
954:
953:
929:
924:
921:
920:
890:
882:
879:
878:
848:
845:
844:
822:
819:
818:
796:
793:
792:
770:
767:
766:
739:
736:
735:
714:
712:
709:
708:
689:
686:
685:
666:
663:
662:
627:
625:
623:
620:
619:
597:
594:
593:
569:
564:
561:
560:
530:
527:
526:
504:
501:
500:
478:
475:
474:
441:
439:
437:
434:
433:
411:
408:
407:
385:
382:
381:
357:
352:
349:
348:
318:
315:
314:
292:
289:
288:
266:
263:
262:
232:
229:
228:
206:
203:
202:
180:
177:
176:
143:
140:
139:
117:
114:
113:
94:
91:
90:
68:
65:
64:
42:
39:
38:
17:
12:
11:
5:
8095:
8085:
8084:
8079:
8062:
8061:
8059:
8058:
8053:
8048:
8038:
8036:
8035:Negation
8032:
8031:
8029:
8028:
8023:
8018:
8012:
8010:
8006:
8005:
7998:
7996:
7994:
7993:
7987:
7985:truth function
7982:
7976:
7974:
7970:
7969:
7960:
7959:
7952:
7945:
7937:
7928:
7927:
7925:
7924:
7919:
7914:
7909:
7904:
7898:
7896:
7892:
7891:
7889:
7888:
7883:
7878:
7873:
7868:
7863:
7861:Ernst Schröder
7858:
7853:
7848:
7846:Giuseppe Peano
7843:
7838:
7833:
7828:
7823:
7818:
7813:
7808:
7802:
7800:
7796:
7795:
7792:
7791:
7789:
7788:
7783:
7778:
7773:
7768:
7763:
7757:
7755:
7751:
7750:
7748:
7747:
7742:
7737:
7732:
7727:
7722:
7717:
7711:
7709:
7702:
7701:
7696:
7691:
7686:
7681:
7676:
7671:
7666:
7661:
7656:
7651:
7645:
7643:
7639:
7638:
7636:
7635:
7630:
7625:
7620:
7615:
7610:
7604:
7602:
7598:
7597:
7595:
7594:
7589:
7584:
7579:
7574:
7568:
7566:
7562:
7561:
7554:
7552:
7550:
7549:
7544:
7539:
7534:
7529:
7524:
7519:
7514:
7509:
7504:
7502:Truth function
7499:
7494:
7489:
7484:
7479:
7473:
7471:
7467:
7466:
7459:
7458:
7451:
7444:
7436:
7430:
7429:
7419:
7407:
7404:
7403:
7402:
7387:
7384:
7381:
7380:
7367:
7347:
7327:
7314:
7302:
7289:
7275:
7274:
7272:
7269:
7267:
7266:
7261:
7256:
7254:Modal operator
7251:
7246:
7241:
7236:
7231:
7229:Boolean domain
7226:
7221:
7216:
7203:
7185:
7184:
7183:
7169:
7153:
7150:
7103:
7100:
7087:
7076:
7062:
7055:
7038:
7035:
7032:
7029:
7015:
7006:
6999:
6988:
6977:
6963:
6956:
6947:
6940:
6926:
6925:
6905:
6874:
6847:
6830:
6818:
6795:
6768:
6746:
6743:
6728:
6706:
6703:
6688:
6670:
6667:
6652:
6633:
6629:
6628:
6624:
6617:
6610:
6603:
6598:
6594:
6587:
6580:
6573:
6568:
6564:
6557:
6547:
6541:
6534:
6528:
6527:
6515:
6508:
6493:
6488:
6480:
6469:
6462:
6447:
6442:
6430:
6419:
6409:
6402:
6396:
6389:
6383:
6382:
6378:
6371:
6364:
6357:
6347:
6320:
6317:
6316:
6315:
6314:
6313:
6312:
6311:
6300:
6297:
6294:
6291:
6288:
6285:
6282:
6279:
6276:
6273:
6268:
6264:
6247:
6246:
6245:
6244:
6243:
6242:
6231:
6228:
6225:
6222:
6217:
6213:
6196:
6195:
6194:
6193:
6192:
6191:
6180:
6177:
6174:
6171:
6168:
6165:
6160:
6156:
6127:
6093:
6089:
6077:
6076:
6075:
6074:
6073:
6072:
6061:
6055:
6051:
6047:
6044:
6041:
6036:
6032:
6028:
6025:
6022:
6017:
6013:
6009:
6004:
6000:
5996:
5993:
5924:unary operator
5905:
5902:
5899:
5896:
5893:
5890:
5887:
5884:
5881:
5878:
5875:
5851:
5848:
5842:
5837:
5834:
5829:
5823:
5820:
5817:
5811:
5806:
5803:
5798:
5792:
5789:
5786:
5780:
5775:
5772:
5767:
5736:
5732:
5727:
5723:
5717:
5711:
5706:
5701:
5695:
5689:
5682:
5677:
5671:
5648:
5643:
5638:
5633:
5628:
5623:
5586:
5582:
5577:
5552:
5548:
5543:
5518:
5514:
5509:
5486:
5482:
5446:
5442:
5437:
5397:
5393:
5388:
5353:
5350:
5349:
5348:
5332:
5329:
5326:
5323:
5320:
5317:
5314:
5311:
5308:
5305:
5302:
5276:
5260:
5257:
5254:
5251:
5248:
5245:
5242:
5239:
5236:
5233:
5230:
5204:
5192:
5178:
5171:
5158:
5151:
5134:
5122:
5119:
5116:
5113:
5110:
5090:
5087:
5084:
5068:
5056:
5053:
5050:
5047:
5044:
5041:
5038:
5024:
5015:
5008:
5001:
4994:
4987:
4978:
4971:
4962:
4955:
4946:
4939:
4926:
4919:
4896:
4895:
4875:
4872:
4869:
4866:
4863:
4860:
4857:
4854:
4851:
4848:
4845:
4842:
4839:
4836:
4833:
4830:
4827:
4807:
4804:
4801:
4785:
4777:
4733:distributivity
4729:
4721:
4707:
4704:
4703:
4702:
4690:
4687:
4684:
4681:
4678:
4675:
4672:
4652:
4649:
4646:
4643:
4640:
4637:
4634:
4614:
4611:
4608:
4605:
4602:
4599:
4596:
4576:
4573:
4570:
4567:
4564:
4561:
4558:
4538:
4535:
4532:
4529:
4526:
4523:
4520:
4500:
4497:
4494:
4491:
4488:
4485:
4482:
4472:
4471:Three elements
4469:
4457:
4454:
4451:
4448:
4445:
4425:
4422:
4419:
4416:
4413:
4393:
4390:
4387:
4384:
4381:
4361:
4358:
4355:
4352:
4349:
4329:
4326:
4323:
4320:
4317:
4297:
4294:
4291:
4288:
4285:
4265:
4262:
4259:
4256:
4253:
4233:
4230:
4227:
4224:
4221:
4201:
4198:
4195:
4192:
4189:
4169:
4166:
4163:
4160:
4157:
4137:
4134:
4131:
4128:
4125:
4105:
4102:
4099:
4096:
4093:
4073:
4070:
4067:
4064:
4061:
4041:
4038:
4035:
4032:
4029:
4009:
4006:
4003:
4000:
3997:
3977:
3974:
3971:
3968:
3965:
3945:
3942:
3939:
3936:
3933:
3913:
3910:
3907:
3904:
3901:
3891:
3888:
3885:
3860:logical system
3848:equivalent to
3815:Main article:
3812:
3809:
3806:
3805:
3799:
3798:
3791:
3788:
3787:
3786: 1
3784:
3783: 0
3781:
3780:1
3777:
3776:
3775: 0
3773:
3772: 1
3770:
3769:0
3767:
3761:
3760:
3757:
3753:
3752:
3747:
3740:
3720:
3689:
3651:
3637:
3636:
3633:
3630:
3625:
3613:
3607:
3606:
3599:
3596:
3595:
3594: 0
3592:
3591: 1
3589:
3588:1
3585:
3584:
3583: 1
3581:
3580: 0
3578:
3577:0
3575:
3569:
3568:
3565:
3561:
3560:
3555:
3548:
3520:
3492:
3479:
3445:
3444:
3441:
3438:
3433:
3420:
3419:
3413:
3412:
3405:
3402:
3401:
3400: 1
3398:
3397: 1
3395:
3394:1
3391:
3390:
3389: 0
3387:
3386: 1
3384:
3383:0
3381:
3375:
3374:
3371:
3367:
3366:
3361:
3354:
3322:
3308:
3278:
3277:
3274:
3271:
3266:
3254:
3248:
3247:
3240:
3237:
3236:
3235: 0
3233:
3232: 0
3230:
3229:1
3226:
3225:
3224: 1
3222:
3221: 0
3219:
3218:0
3216:
3210:
3209:
3206:
3202:
3201:
3196:
3189:
3157:
3143:
3117:
3095:
3094:
3091:
3088:
3083:
3070:
3069:
3063:
3062:
3055:
3052:
3051:
3050: 1
3048:
3047: 0
3045:
3044:1
3041:
3040:
3039: 1
3037:
3036: 1
3034:
3033:0
3031:
3025:
3024:
3021:
3017:
3016:
3011:
3004:
2972:
2950:
2920:
2919:
2916:
2913:
2908:
2896:
2890:
2889:
2882:
2879:
2878:
2877: 0
2875:
2874: 1
2872:
2871:1
2868:
2867:
2866: 0
2864:
2863: 0
2861:
2860:0
2858:
2852:
2851:
2848:
2844:
2843:
2838:
2831:
2799:
2777:
2751:
2729:
2728:
2725:
2722:
2717:
2704:
2703:
2697:
2696:
2689:
2686:
2685:
2684: 0
2682:
2681: 0
2679:
2678:1
2675:
2674:
2673: 0
2671:
2670: 1
2668:
2667:0
2665:
2659:
2658:
2655:
2651:
2650:
2645:
2638:
2606:
2588:
2587:
2584:
2581:
2576:
2564:
2558:
2557:
2550:
2547:
2546:
2545: 1
2543:
2542: 1
2540:
2539:1
2536:
2535:
2534: 1
2532:
2531: 0
2529:
2528:0
2526:
2520:
2519:
2516:
2512:
2511:
2506:
2499:
2457:
2453: OR
2439:
2438:
2435:
2432:
2427:
2414:
2413:
2407:
2406:
2399:
2396:
2395:
2394: 0
2392:
2391: 1
2389:
2388:1
2385:
2384:
2383: 1
2381:
2380: 1
2378:
2377:0
2375:
2369:
2368:
2365:
2361:
2360:
2355:
2348:
2316:
2290:
2289:
2286:
2283:
2278:
2266:
2260:
2259:
2252:
2249:
2248:
2247: 1
2245:
2244: 0
2242:
2241:1
2238:
2237:
2236: 0
2234:
2233: 0
2231:
2230:0
2228:
2222:
2221:
2218:
2214:
2213:
2208:
2201:
2169:
2131:
2130:
2127:
2124:
2119:
2106:
2105:
2099:
2098:
2091:
2088:
2087:
2086: 0
2084:
2083: 1
2081:
2080:1
2077:
2076:
2075: 0
2073:
2072: 1
2070:
2069:0
2067:
2061:
2060:
2057:
2053:
2052:
2047:
2040:
2029:
2017:
2016:
2013:
2010:
2005:
1990:
1984:
1983:
1976:
1973:
1972:
1971: 1
1969:
1968: 0
1966:
1965:1
1962:
1961:
1960: 1
1958:
1957: 0
1955:
1954:0
1952:
1946:
1945:
1942:
1938:
1937:
1932:
1925:
1915:
1909:
1908:
1905:
1902:
1897:
1881:
1880:
1874:
1873:
1866:
1863:
1862:
1861: 0
1859:
1858: 0
1856:
1855:1
1852:
1851:
1850: 1
1848:
1847: 1
1845:
1844:0
1842:
1836:
1835:
1832:
1828:
1827:
1822:
1815:
1804:
1792:
1791:
1788:
1785:
1780:
1765:
1759:
1758:
1751:
1748:
1747:
1746: 1
1744:
1743: 1
1741:
1740:1
1737:
1736:
1735: 0
1733:
1732: 0
1730:
1729:0
1727:
1721:
1720:
1717:
1713:
1712:
1707:
1700:
1690:
1684:
1683:
1680:
1677:
1672:
1656:
1655:
1649:
1648:
1641:
1638:
1637:
1636: 1
1634:
1633: 1
1631:
1630:1
1627:
1626:
1625: 1
1623:
1622: 1
1620:
1619:0
1617:
1611:
1610:
1607:
1603:
1602:
1597:
1590:
1576:
1563:
1552:
1551:
1548:
1545:
1540:
1524:
1518:
1517:
1510:
1507:
1506:
1505: 0
1503:
1502: 0
1500:
1499:1
1496:
1495:
1494: 0
1492:
1491: 0
1489:
1488:0
1486:
1480:
1479:
1476:
1472:
1471:
1466:
1459:
1445:
1432:
1421:
1420:
1417:
1414:
1409:
1366:
1363:
1308:
1307:
1298:is true while
1296:
1295:
1248:
1245:
1206:truth function
1196:
1195:
1193:
1192:
1185:
1178:
1170:
1167:
1166:
1155:
1154:
1152:
1151:
1146:
1141:
1136:
1130:
1127:
1126:
1122:
1121:
1119:
1118:
1113:
1108:
1103:
1101:Truth function
1098:
1093:
1088:
1083:
1077:
1074:
1073:
1069:
1068:
1065:
1064:
1053:
1050:
1047:
1027:
1024:
1021:
1001:
998:
995:
985:
979:
978:
967:
964:
961:
941:
936:
933:
928:
918:
912:
911:
900:
886:
876:
870:
869:
858:
855:
852:
832:
829:
826:
806:
803:
800:
780:
777:
774:
764:
758:
757:
746:
743:
721:
718:
696:
693:
673:
670:
660:
654:
653:
640:
636:
633:
630:
607:
604:
601:
581:
576:
573:
568:
558:
552:
551:
540:
537:
534:
514:
511:
508:
488:
485:
482:
472:
468:
467:
454:
450:
447:
444:
421:
418:
415:
395:
392:
389:
369:
364:
361:
356:
346:
340:
339:
328:
325:
322:
302:
299:
296:
276:
273:
270:
260:
254:
253:
242:
239:
236:
216:
213:
210:
190:
187:
184:
174:
168:
167:
156:
153:
150:
147:
127:
124:
121:
101:
98:
78:
75:
72:
52:
49:
46:
36:
26:
25:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
8094:
8083:
8082:Logical truth
8080:
8078:
8075:
8074:
8072:
8057:
8056:inconsistency
8054:
8052:
8051:contradiction
8049:
8047:
8043:
8040:
8039:
8037:
8033:
8027:
8024:
8022:
8019:
8017:
8014:
8013:
8011:
8007:
8002:
7992:
7989:⊨
7988:
7986:
7983:
7981:
7978:
7977:
7975:
7971:
7966:
7965:Logical truth
7958:
7953:
7951:
7946:
7944:
7939:
7938:
7935:
7923:
7920:
7918:
7915:
7913:
7910:
7908:
7905:
7903:
7900:
7899:
7897:
7893:
7887:
7884:
7882:
7879:
7877:
7874:
7872:
7871:Alfred Tarski
7869:
7867:
7864:
7862:
7859:
7857:
7854:
7852:
7849:
7847:
7844:
7842:
7839:
7837:
7834:
7832:
7831:Gottlob Frege
7829:
7827:
7824:
7822:
7819:
7817:
7814:
7812:
7809:
7807:
7804:
7803:
7801:
7797:
7787:
7784:
7782:
7779:
7777:
7776:Biconditional
7774:
7772:
7769:
7767:
7764:
7762:
7759:
7758:
7756:
7752:
7746:
7743:
7741:
7738:
7736:
7735:Biconditional
7733:
7731:
7728:
7726:
7723:
7721:
7718:
7716:
7713:
7712:
7710:
7706:
7700:
7697:
7695:
7692:
7690:
7687:
7685:
7682:
7680:
7677:
7675:
7672:
7670:
7669:modus tollens
7667:
7665:
7662:
7660:
7659:Transposition
7657:
7655:
7652:
7650:
7647:
7646:
7644:
7640:
7634:
7631:
7629:
7626:
7624:
7621:
7619:
7616:
7614:
7611:
7609:
7606:
7605:
7603:
7599:
7593:
7590:
7588:
7585:
7583:
7580:
7578:
7577:Propositional
7575:
7573:
7570:
7569:
7567:
7563:
7558:
7548:
7545:
7543:
7540:
7538:
7535:
7533:
7532:Associativity
7530:
7528:
7525:
7523:
7520:
7518:
7515:
7513:
7510:
7508:
7505:
7503:
7500:
7498:
7495:
7493:
7490:
7488:
7485:
7483:
7480:
7478:
7475:
7474:
7472:
7468:
7464:
7457:
7452:
7450:
7445:
7443:
7438:
7437:
7434:
7427:
7423:
7422:Alonzo Church
7420:
7417:
7413:
7410:
7409:
7401:
7399:
7395:
7390:
7389:
7365:
7345:
7337:
7331:
7324:
7318:
7311:
7306:
7299:
7293:
7286:
7280:
7276:
7265:
7262:
7260:
7257:
7255:
7252:
7250:
7247:
7245:
7242:
7240:
7237:
7235:
7234:Boolean logic
7232:
7230:
7227:
7225:
7222:
7220:
7217:
7214:
7213:
7207:
7204:
7202:, 2nd edition
7201:
7200:
7194:
7190:
7187:
7186:
7181:
7170:
7167:
7156:
7149:
7147:
7142:
7140:
7135:
7133:
7129:
7125:
7121:
7117:
7113:
7109:
7099:
7097:
7090:
7086:
7082:
7075:
7071:
7065:
7061:
7054:
7033:
7027:
7014:
7009:
7005:
6998:
6991:
6987:
6983:
6976:
6972:
6966:
6962:
6955:
6950:
6946:
6939:
6935:
6930:
6923:
6919:
6915:
6911:
6904:
6900:
6896:
6892:
6888:
6872:
6864:
6860:
6845:
6838:
6834:
6831:
6828:
6824:
6817:
6813:
6809:
6785:
6781:
6758:
6754:
6750:
6747:
6742:
6726:
6718:
6714:
6710:
6707:
6702:
6686:
6678:
6674:
6671:
6666:
6642:
6638:
6635:
6634:
6632:
6623:
6616:
6609:
6602:
6599:
6593:
6586:
6579:
6572:
6569:
6563:
6556:
6553:
6552:
6551:
6546:
6540:
6533:
6525:
6521:
6514:
6507:
6503:
6499:
6492:
6489:
6486:
6479:
6475:
6468:
6461:
6457:
6453:
6446:
6443:
6440:
6436:
6429:
6425:
6418:
6415:
6414:
6413:
6408:
6401:
6395:
6388:
6377:
6370:
6363:
6356:
6353:
6352:
6351:
6346:
6342:
6338:
6334:
6330:
6326:
6292:
6286:
6283:
6280:
6277:
6271:
6266:
6253:
6252:
6251:
6250:
6249:
6248:
6220:
6215:
6202:
6201:
6200:
6199:
6198:
6197:
6172:
6163:
6158:
6145:
6144:
6143:
6142:
6141:
6140:
6139:
6116:
6111:
6110:
6091:
6059:
6053:
6045:
6042:
6039:
6034:
6026:
6023:
6020:
6015:
6007:
6002:
5994:
5984:
5983:
5982:
5981:
5980:
5979:
5978:
5976:
5967:
5965:
5961:
5957:
5953:
5949:
5945:
5941:
5937:
5933:
5929:
5925:
5921:
5917:
5903:
5897:
5891:
5888:
5885:
5882:
5879:
5873:
5865:
5849:
5846:
5835:
5832:
5821:
5818:
5815:
5804:
5801:
5790:
5787:
5784:
5773:
5770:
5752:
5734:
5730:
5725:
5721:
5709:
5704:
5680:
5646:
5631:
5626:
5611:
5607:
5603:
5584:
5580:
5575:
5550:
5546:
5541:
5516:
5512:
5507:
5484:
5480:
5471:
5467:
5463:
5444:
5440:
5435:
5426:
5422:
5418:
5414:
5395:
5391:
5386:
5377:
5373:
5369:
5365:
5359:
5346:
5330:
5327:
5324:
5321:
5315:
5312:
5309:
5306:
5303:
5300:
5292:
5288:
5284:
5280:
5277:
5274:
5258:
5255:
5249:
5243:
5237:
5234:
5231:
5228:
5220:
5216:
5212:
5208:
5205:
5181:
5177:
5170:
5166:
5161:
5157:
5150:
5146:
5142:
5138:
5135:
5117:
5111:
5108:
5085:
5074:
5073:
5069:
5051:
5045:
5042:
5039:
5036:
5027:
5023:
5018:
5014:
5007:
5000:
4993:
4986:
4981:
4977:
4970:
4965:
4961:
4954:
4949:
4945:
4938:
4934:
4929:
4925:
4918:
4914:
4910:
4909:
4905:
4904:
4903:
4901:
4893:
4889:
4873:
4870:
4864:
4861:
4858:
4852:
4849:
4846:
4840:
4837:
4834:
4828:
4825:
4805:
4802:
4799:
4791:
4790:
4786:
4783:
4782:
4778:
4775:
4771:
4767:
4763:
4759:
4755:
4751:
4747:
4743:
4739:
4735:
4734:
4730:
4727:
4726:
4725:commutativity
4722:
4719:
4718:
4717:associativity
4714:
4713:
4712:
4682:
4679:
4676:
4673:
4647:
4644:
4638:
4635:
4606:
4600:
4597:
4568:
4565:
4562:
4559:
4533:
4530:
4524:
4521:
4492:
4486:
4483:
4473:
4470:
4449:
4446:
4417:
4414:
4385:
4382:
4353:
4350:
4321:
4318:
4289:
4286:
4260:
4257:
4228:
4225:
4196:
4193:
4164:
4161:
4132:
4129:
4100:
4097:
4065:
4033:
4001:
3969:
3937:
3934:
3905:
3902:
3892:
3889:
3886:
3883:
3882:
3881:
3878:
3876:
3872:
3868:
3863:
3861:
3856:
3852:
3846:
3842:
3836:
3832:
3828:
3824:
3818:
3804:
3796:
3792:
3785:
3782:
3779:
3778:
3774:
3771:
3768:
3766:
3762:
3758:
3755:
3754:
3751:
3744:
3741:
3739:
3734:
3711:
3706:
3702:
3697:
3693:
3690:
3688:
3684:
3680:
3676:
3672:
3668:
3664:
3642:
3639:
3638:
3635:Venn diagram
3634:
3631:
3626:
3623:
3622:
3619:
3614:
3612:
3604:
3600:
3593:
3590:
3587:
3586:
3582:
3579:
3576:
3574:
3570:
3566:
3563:
3562:
3559:
3552:
3549:
3547:
3542:
3538:
3533:
3511:
3506:
3483:
3480:
3478:
3474:
3470:
3466:
3462:
3458:
3454:
3450:
3447:
3446:
3443:Venn diagram
3442:
3439:
3434:
3431:
3430:
3427:
3422:
3421:
3418:
3410:
3406:
3399:
3396:
3393:
3392:
3388:
3385:
3382:
3380:
3376:
3372:
3369:
3368:
3365:
3358:
3355:
3353:
3348:
3344:
3339:
3335:
3330:
3326:
3323:
3321:
3306:
3299:
3295:
3291:
3287:
3283:
3280:
3279:
3276:Venn diagram
3275:
3272:
3267:
3264:
3263:
3260:
3255:
3253:
3245:
3241:
3234:
3231:
3228:
3227:
3223:
3220:
3217:
3215:
3211:
3207:
3204:
3203:
3200:
3193:
3190:
3188:
3183:
3179:
3174:
3170:
3165:
3161:
3158:
3156:
3141:
3134:
3130:
3115:
3108:
3104:
3100:
3097:
3096:
3093:Venn diagram
3092:
3089:
3084:
3081:
3080:
3077:
3072:
3071:
3068:
3060:
3056:
3049:
3046:
3043:
3042:
3038:
3035:
3032:
3030:
3026:
3022:
3019:
3018:
3015:
3008:
3005:
3003:
2998:
2994:
2989:
2985:
2980:
2976:
2973:
2971:
2967:
2963:
2948:
2941:
2937:
2933:
2929:
2925:
2922:
2921:
2918:Venn diagram
2917:
2914:
2909:
2906:
2905:
2902:
2897:
2895:
2887:
2883:
2876:
2873:
2870:
2869:
2865:
2862:
2859:
2857:
2853:
2849:
2846:
2845:
2842:
2835:
2832:
2830:
2825:
2821:
2816:
2812:
2807:
2803:
2800:
2798:
2794:
2790:
2775:
2768:
2764:
2749:
2742:
2738:
2734:
2731:
2730:
2727:Venn diagram
2726:
2723:
2718:
2715:
2714:
2711:
2706:
2705:
2702:
2694:
2690:
2683:
2680:
2677:
2676:
2672:
2669:
2666:
2664:
2660:
2656:
2653:
2652:
2649:
2642:
2639:
2637:
2632:
2628:
2623:
2619:
2614:
2610:
2607:
2605:
2601:
2597:
2593:
2590:
2589:
2586:Venn diagram
2585:
2582:
2577:
2574:
2573:
2570:
2565:
2563:
2555:
2551:
2544:
2541:
2538:
2537:
2533:
2530:
2527:
2525:
2521:
2517:
2514:
2513:
2510:
2503:
2500:
2498:
2492:
2488:
2483:
2479:
2474:
2470:
2465:
2461:
2458:
2456:
2452:
2448:
2444:
2441:
2440:
2437:Venn diagram
2436:
2433:
2428:
2425:
2424:
2421:
2416:
2415:
2412:
2404:
2400:
2393:
2390:
2387:
2386:
2382:
2379:
2376:
2374:
2370:
2366:
2363:
2362:
2359:
2352:
2349:
2347:
2342:
2338:
2333:
2329:
2324:
2320:
2317:
2315:
2311:
2307:
2303:
2299:
2295:
2292:
2291:
2288:Venn diagram
2287:
2284:
2279:
2276:
2275:
2272:
2267:
2265:
2257:
2253:
2246:
2243:
2240:
2239:
2235:
2232:
2229:
2227:
2223:
2219:
2216:
2215:
2212:
2205:
2202:
2200:
2195:
2191:
2186:
2182:
2177:
2173:
2170:
2168:
2164:
2160:
2156:
2152:
2148:
2144:
2140:
2136:
2133:
2132:
2129:Venn diagram
2128:
2125:
2120:
2117:
2116:
2113:
2108:
2107:
2104:
2096:
2092:
2085:
2082:
2079:
2078:
2074:
2071:
2068:
2066:
2062:
2058:
2055:
2054:
2051:
2044:
2041:
2039:
2034:
2030:
2028:
2023:
2019:
2018:
2015:Venn diagram
2014:
2011:
2006:
2003:
2002:
1999:
1998:
1991:
1989:
1981:
1977:
1970:
1967:
1964:
1963:
1959:
1956:
1953:
1951:
1947:
1943:
1940:
1939:
1936:
1929:
1926:
1924:
1919:
1916:
1914:
1911:
1910:
1907:Venn diagram
1906:
1903:
1898:
1895:
1894:
1891:
1890:
1883:
1882:
1879:
1871:
1867:
1860:
1857:
1854:
1853:
1849:
1846:
1843:
1841:
1837:
1833:
1830:
1829:
1826:
1819:
1816:
1814:
1809:
1805:
1803:
1798:
1794:
1793:
1790:Venn diagram
1789:
1786:
1781:
1778:
1777:
1774:
1773:
1766:
1764:
1756:
1752:
1745:
1742:
1739:
1738:
1734:
1731:
1728:
1726:
1722:
1718:
1715:
1714:
1711:
1704:
1701:
1699:
1694:
1691:
1689:
1686:
1685:
1682:Venn diagram
1681:
1678:
1673:
1670:
1669:
1666:
1665:
1658:
1657:
1654:
1646:
1642:
1635:
1632:
1629:
1628:
1624:
1621:
1618:
1616:
1612:
1608:
1605:
1604:
1601:
1594:
1591:
1589:
1584:
1580:
1577:
1554:
1553:
1550:Venn diagram
1549:
1546:
1541:
1538:
1537:
1534:
1530:
1525:
1523:
1515:
1511:
1504:
1501:
1498:
1497:
1493:
1490:
1487:
1485:
1481:
1477:
1474:
1473:
1470:
1463:
1460:
1458:
1453:
1449:
1446:
1423:
1422:
1419:Venn diagram
1418:
1415:
1410:
1407:
1406:
1403:
1399:
1398:Contradiction
1394:
1393:
1390:
1388:
1384:
1380:
1376:
1372:
1362:
1360:
1359:formal system
1356:
1352:
1348:
1344:
1340:
1337:The class of
1335:
1333:
1329:
1325:
1321:
1317:
1313:
1305:
1301:
1300:
1299:
1293:
1289:
1288:
1287:
1285:
1284:believes that
1280:
1278:
1274:
1270:
1268:
1263:
1259:
1254:
1244:
1242:
1238:
1234:
1230:
1228:
1224:
1220:
1215:
1212:that accepts
1211:
1207:
1203:
1191:
1186:
1184:
1179:
1177:
1172:
1171:
1169:
1168:
1165:
1157:
1156:
1150:
1147:
1145:
1142:
1140:
1137:
1135:
1134:Digital logic
1132:
1131:
1129:
1128:
1124:
1123:
1117:
1116:Scope (logic)
1114:
1112:
1109:
1107:
1104:
1102:
1099:
1097:
1094:
1092:
1089:
1087:
1084:
1082:
1079:
1078:
1076:
1075:
1071:
1070:
1051:
1045:
1025:
1022:
1019:
999:
993:
986:
984:
981:
980:
965:
962:
959:
939:
934:
931:
926:
919:
917:
914:
913:
898:
884:
877:
875:
872:
871:
856:
853:
850:
830:
827:
824:
804:
801:
798:
778:
775:
772:
765:
763:
760:
759:
744:
741:
716:
694:
691:
671:
661:
659:
656:
655:
634:
631:
628:
605:
599:
579:
571:
566:
559:
557:
554:
553:
538:
535:
532:
512:
509:
506:
486:
483:
480:
473:
471:nonequivalent
470:
469:
448:
445:
442:
419:
416:
413:
393:
387:
367:
359:
354:
347:
345:
342:
341:
326:
320:
300:
297:
294:
274:
268:
261:
259:
256:
255:
240:
234:
214:
208:
188:
185:
182:
175:
173:
170:
169:
154:
145:
125:
119:
99:
96:
76:
73:
70:
50:
47:
44:
37:
35:
32:
31:
28:
27:
24:
21:
20:
8041:
8021:formal proof
7984:
7841:Hugh MacColl
7816:Georg Cantor
7811:George Boole
7708:Introduction
7664:modus ponens
7592:Higher-order
7587:Second-order
7537:Distribution
7501:
7497:Truth tables
7425:
7415:
7391:
7335:
7330:
7322:
7317:
7305:
7297:
7292:
7284:
7279:
7210:
7197:
7143:
7136:
7105:
7095:
7088:
7084:
7080:
7073:
7069:
7063:
7059:
7052:
7012:
7011:by means of
7007:
7003:
6996:
6989:
6985:
6981:
6974:
6970:
6964:
6960:
6953:
6948:
6944:
6937:
6933:
6931:
6928:
6921:
6917:
6913:
6909:
6902:
6898:
6894:
6890:
6886:
6862:
6858:
6836:
6832:
6826:
6822:
6815:
6811:
6807:
6783:
6779:
6756:
6752:
6748:
6740:
6716:
6712:
6708:
6700:
6676:
6672:
6664:
6640:
6636:
6630:
6621:
6614:
6607:
6600:
6591:
6584:
6577:
6570:
6561:
6554:
6544:
6538:
6531:
6529:
6523:
6519:
6512:
6505:
6501:
6497:
6490:
6484:
6477:
6473:
6466:
6459:
6455:
6451:
6444:
6438:
6434:
6427:
6423:
6416:
6406:
6399:
6393:
6386:
6384:
6375:
6368:
6361:
6354:
6344:
6340:
6336:
6332:
6325:truth tables
6322:
6117:
6107:
6078:
5968:
5963:
5959:
5955:
5951:
5947:
5943:
5939:
5935:
5927:
5918:
5753:
5609:
5605:
5601:
5469:
5465:
5461:
5412:
5363:
5361:
5290:
5286:
5278:
5218:
5214:
5206:
5179:
5175:
5168:
5164:
5159:
5155:
5148:
5144:
5136:
5070:
5025:
5021:
5016:
5012:
5005:
4998:
4991:
4984:
4979:
4975:
4968:
4963:
4959:
4952:
4947:
4943:
4936:
4932:
4927:
4923:
4916:
4912:
4906:
4897:
4891:
4887:
4787:
4779:
4773:
4769:
4765:
4761:
4757:
4753:
4749:
4745:
4741:
4737:
4731:
4723:
4715:
4709:
3890:Two elements
3879:
3874:
3873:is called a
3864:
3854:
3850:
3844:
3840:
3820:
3802:
3764:
3749:
3737:
3732:
3709:
3704:
3700:
3695:
3691:
3686:
3682:
3678:
3674:
3670:
3666:
3662:
3640:
3632:Truth table
3610:
3572:
3557:
3545:
3540:
3536:
3531:
3509:
3504:
3481:
3476:
3472:
3468:
3464:
3460:
3456:
3452:
3448:
3440:Truth table
3416:
3378:
3363:
3351:
3346:
3342:
3337:
3333:
3328:
3324:
3319:
3297:
3293:
3289:
3285:
3281:
3273:Truth table
3251:
3213:
3198:
3186:
3181:
3177:
3172:
3168:
3163:
3159:
3154:
3132:
3128:
3106:
3102:
3098:
3090:Truth table
3066:
3028:
3013:
3001:
2996:
2992:
2987:
2983:
2978:
2974:
2969:
2965:
2961:
2939:
2935:
2931:
2927:
2923:
2915:Truth table
2893:
2855:
2840:
2828:
2823:
2819:
2814:
2810:
2805:
2801:
2796:
2792:
2788:
2766:
2762:
2740:
2736:
2732:
2724:Truth table
2700:
2662:
2647:
2635:
2630:
2626:
2621:
2617:
2612:
2608:
2603:
2599:
2595:
2591:
2583:Truth table
2561:
2523:
2508:
2496:
2490:
2486:
2481:
2477:
2472:
2468:
2463:
2459:
2454:
2450:
2446:
2442:
2434:Truth table
2410:
2372:
2357:
2345:
2340:
2336:
2331:
2327:
2322:
2318:
2313:
2309:
2305:
2301:
2297:
2293:
2285:Truth table
2263:
2225:
2210:
2198:
2193:
2189:
2184:
2180:
2175:
2171:
2166:
2162:
2158:
2154:
2150:
2146:
2142:
2138:
2134:
2126:Truth table
2102:
2064:
2049:
2037:
2032:
2026:
2021:
2012:Truth table
1996:
1995:Negation of
1987:
1949:
1934:
1922:
1917:
1912:
1904:Truth table
1888:
1887:Proposition
1877:
1839:
1824:
1812:
1807:
1801:
1796:
1787:Truth table
1771:
1770:Negation of
1762:
1724:
1709:
1697:
1692:
1687:
1679:Truth table
1663:
1662:Proposition
1652:
1614:
1599:
1587:
1582:
1578:
1547:Truth table
1521:
1483:
1468:
1456:
1451:
1447:
1416:Truth table
1378:
1374:
1368:
1351:truth tables
1336:
1331:
1323:
1319:
1315:
1311:
1309:
1303:
1297:
1291:
1283:
1281:
1276:
1272:
1265:
1261:
1257:
1250:
1231:
1226:
1214:truth values
1205:
1199:
1125:Applications
1100:
7980:truth value
7973:Functional:
7786:Disjunction
7781:Conjunction
7766:Existential
7754:Elimination
7745:Disjunction
7740:Conjunction
7725:Existential
7582:First-order
7507:Truth value
7477:Quantifiers
7108:logic gates
6606:(T,T) = T;
6590:(F,T) = T;
6360:(T,T) = F;
5975:partitioned
5283:truth value
5211:truth value
5141:truth table
4781:idempotence
3884:One element
3823:composition
2420:Disjunction
2112:Conjunction
1330:(or simply
1241:modal logic
1237:truth table
1096:Truth table
8071:Categories
7836:Kurt Gödel
7699:Absorption
7601:Principles
7487:Connective
7394:PlanetMath
7386:References
7067:, i.e. of
6675:(&) =
5356:See also:
4951:) for all
4789:absorption
3627:Equivalent
3435:Equivalent
3268:Equivalent
3085:Equivalent
2910:Equivalent
2719:Equivalent
2578:Equivalent
2429:Equivalent
2280:Equivalent
2121:Equivalent
2007:Equivalent
1899:Equivalent
1782:Equivalent
1674:Equivalent
1542:Equivalent
1411:Equivalent
1387:degenerate
1328:connective
1264:" is true
172:equivalent
7991:tautology
7771:Universal
7730:Universal
7633:Explosion
7618:Bivalence
7547:Soundness
7492:Tautology
7482:Predicate
7366:↛
7346:↚
6873:∧
6846:∧
6794:¬
6767:¬
6727:∨
6687:∧
6651:¬
6627:(F,F) = F
6597:(F,F) = F
6560:(T) = F;
6381:(F,F) = T
6296:↔
6290:→
6284:∨
6278:∧
6272:⊃
6263:Ω
6227:¬
6212:Ω
6176:⊤
6170:⊥
6155:Ω
6126:Ω
6088:Ω
6050:Ω
6046:∪
6043:…
6040:∪
6031:Ω
6027:∪
6024:…
6021:∪
6012:Ω
6008:∪
5999:Ω
5992:Ω
5901:¬
5847:⋅
5816:⋅
5791:−
5785:⋅
5637:→
5319:⊥
5313:↮
5307:∧
5301:∨
5259:⊂
5253:↔
5247:→
5241:⊤
5235:∧
5229:∨
5191:¬
5183:). E.g.,
5137:self dual
5121:⊥
5115:⊤
5089:↔
5083:¬
5055:⊥
5049:⊤
5043:∧
5037:∨
4908:monotonic
4862:∧
4853:∨
4838:∨
4829:∧
4806:∨
4800:∧
4686:⊤
4680:↮
4674:∧
4648:↮
4642:↔
4636:∧
4610:⊥
4604:↔
4598:∧
4572:⊤
4566:↮
4560:∨
4534:↮
4528:↔
4522:∨
4496:⊥
4490:↔
4484:∨
4453:↔
4447:↚
4421:↔
4415:↛
4389:⊤
4383:↚
4357:⊤
4351:↛
4325:¬
4319:↚
4293:¬
4287:↛
4261:↚
4255:←
4229:↛
4223:←
4197:↚
4191:→
4165:↛
4159:→
4133:↮
4127:←
4101:↮
4095:→
4069:⊥
4063:←
4037:⊥
4031:→
4005:¬
3999:←
3973:¬
3967:→
3941:¬
3935:∧
3909:¬
3903:∨
3887:{↑}, {↓}.
3719:↔
3650:↔
3629:formulas
3624:Notation
3519:↔
3491:↔
3437:formulas
3432:Notation
3327:∨ ¬
3307:≥
3270:formulas
3265:Notation
3087:formulas
3082:Notation
2949:≤
2912:formulas
2907:Notation
2804:∧ ¬
2721:formulas
2716:Notation
2629:∧ ¬
2580:formulas
2575:Notation
2489:∧ ¬
2431:formulas
2426:Notation
2339:∨ ¬
2282:formulas
2277:Notation
2123:formulas
2118:Notation
2009:formulas
2004:Notation
1901:formulas
1896:Notation
1784:formulas
1779:Notation
1676:formulas
1671:Notation
1581:∨ ¬
1562:⊤
1544:formulas
1539:Notation
1529:Tautology
1450:∧ ¬
1444:"bottom"
1431:⊥
1413:formulas
1408:Notation
1049:←
1023:⊂
997:⇐
963:⊕
935:_
932:∨
854:∥
828:∣
776:∨
742:∼
720:¯
692:−
669:¬
639:¯
603:↓
575:¯
572:∨
536:↮
453:¯
446:⋅
417:∣
391:↑
363:¯
360:∧
324:→
298:⊃
272:⇒
238:⇋
212:⇔
186:≡
152:&
149:&
123:&
74:⋅
48:∧
7715:Negation
7542:Validity
7522:Logicism
7424:(1944),
7414:(1959),
7152:See also
6932:Thus if
6620:(F,T) =
6613:(T,F) =
6583:(T,F) =
6576:(T,T) =
6567:(F) = T;
6374:(F,T) =
6367:(T,F) =
5946:∨
5938:∧
5419:, 19683
5364:operator
5345:validity
5331:⊅
5325:⊄
5273:validity
5154:, ..., ¬
5109:↮
5029:. E.g.,
3292:⊂
3171:∧
3116:⊄
2986:∨
2934:⊃
2750:⊅
2445:∨
2137:∧
1332:operator
1247:Overview
1210:function
1164:Category
983:converse
510:⇎
484:≢
8026:theorem
8009:Formal:
7967: ⊤
7470:General
7049:
7020:
5973:may be
5343:. (see
5271:. (see
5174:, ...,
5011:, ...,
4974:, ...,
4958:, ...,
4942:, ...,
4922:, ...,
3867:minimal
3746:
3554:
3360:
3195:
3010:
2837:
2644:
2505:
2354:
2304:|
2207:
2046:
1931:
1821:
1706:
1596:
1465:
1314:" and "
1275:" and "
258:implies
8044:
8016:theory
7799:People
7130:, and
6639:(~) =
5971:Ω
5427:, and
5378:, and
5374:, 256
5072:affine
2157:
2153:
2145:&
1575:"top"
896:
888:
8046:false
7895:Works
7642:Rules
7271:Notes
6929:etc.
6901:)) =
6814:)) =
6631:Then
6109:arity
5922:is a
5920:"Not"
5370:, 16
5358:arity
5352:Arity
5291:false
5287:false
5163:) = ¬
4911:: If
4756:) + (
4748:) = (
1402:False
1357:is a
1343:&
1208:is a
1202:logic
7572:Term
7358:and
7191:and
7120:NAND
7116:DRAM
7079:)...
7016:nand
6980:)...
6861:) =
6782:) =
6755:) =
6739:) =
6715:) =
6699:) =
6663:) =
6516:nand
6504:) =
6463:nand
6458:) =
6431:nand
6426:) =
6410:nand
6379:nand
6372:nand
6365:nand
6358:nand
6348:nand
5219:true
5215:true
4931:) ≤
3142:<
2776:>
1533:True
1377:and
1204:, a
892:XNOR
874:XNOR
344:NAND
7128:NOT
7124:NOR
7110:in
7058:...
7002:to
6959:...
6943:...
6916:),
6906:and
6893:),
6819:not
6704:and
6668:not
6625:and
6618:and
6611:and
6604:and
6565:not
6558:not
6548:and
6535:not
6509:not
6494:and
6481:not
6476:),
6470:not
6420:not
6403:and
6390:not
5966:).
5285:of
5213:of
5101:,
4740:· (
3833:as
3694:↮ ¬
3539:↮ ¬
3345:→ ¬
3180:↛ ¬
3162:↓ ¬
2995:← ¬
2977:↑ ¬
2822:↚ ¬
2611:↚ ¬
2485:¬(¬
2480:↑ ¬
2462:← ¬
2321:→ ¬
2192:↓ ¬
1258:and
1200:In
916:XOR
658:NOT
556:NOR
34:AND
8073::
7148:.
7141:.
7126:,
7122:,
6924:))
6885:)(
6829:))
6806:)(
6751:(~
6744:or
6595:or
6588:or
6581:or
6574:or
6542:or
6537:,
6526:))
6487:))
6448:or
6412::
6397:or
6392:,
6339:,
6115:.
5962:↔
5958:,
5954:→
5950:,
5942:,
5788:16
5147:(¬
5020:≤
5004:≤
4997:,
4990:≤
4967:,
4890:,
4772:,
4768:,
4760:·
4752:·
4744:+
4663:,
4625:,
4587:,
4549:,
4511:,
4436:,
4404:,
4372:,
4340:,
4308:,
4276:,
4244:,
4212:,
4180:,
4148:,
4116:,
4084:,
4052:,
4020:,
3988:,
3956:,
3924:,
3865:A
3853:→
3843:∨
3759:1
3756:0
3738:pq
3703:↮
3669:≡
3567:1
3564:0
3546:pq
3467:⨁
3459:≢
3451:↮
3373:1
3370:0
3352:pq
3336:↑
3284:←
3208:1
3205:0
3187:pq
3101:↚
3023:1
3020:0
3002:pq
2926:→
2850:1
2847:0
2829:pq
2813:↓
2735:↛
2657:1
2654:0
2636:pq
2620:↛
2594:↓
2518:1
2515:0
2497:pq
2471:→
2367:1
2364:0
2346:pq
2330:←
2296:↑
2220:1
2217:0
2199:pq
2183:↚
2174:↛¬
2059:1
2056:0
2038:pq
1944:1
1941:0
1923:pq
1834:1
1831:0
1813:pq
1719:1
1716:0
1698:pq
1609:1
1606:0
1588:pq
1478:1
1475:0
1457:pq
1353:.
1345:,
1251:A
1229:.
1038:,
1012:,
952:,
843:,
817:,
791:,
762:OR
734:,
707:,
684:,
618:,
592:,
525:,
499:,
432:,
406:,
380:,
313:,
287:,
227:,
201:,
138:,
112:,
89:,
63:,
8042:⊥
7963:
7956:e
7949:t
7942:v
7455:e
7448:t
7441:v
7400:.
7378:.
7208:,
7195:,
7096:S
7092:)
7089:n
7085:c
7083:(
7081:I
7077:1
7074:c
7072:(
7070:I
7064:n
7060:c
7056:1
7053:c
7037:)
7034:s
7031:(
7028:I
7013:f
7008:n
7004:v
7000:1
6997:v
6993:)
6990:n
6986:v
6984:(
6982:I
6978:1
6975:v
6973:(
6971:I
6965:n
6961:c
6957:1
6954:c
6949:n
6945:v
6941:1
6938:v
6934:S
6922:Ψ
6920:(
6918:I
6914:Φ
6912:(
6910:I
6908:(
6903:f
6899:Ψ
6897:(
6895:I
6891:Φ
6889:(
6887:I
6865:(
6863:I
6859:Ψ
6837:Φ
6835:(
6833:I
6827:Φ
6825:(
6823:I
6821:(
6816:f
6812:Φ
6810:(
6808:I
6786:(
6784:I
6780:Φ
6759:(
6757:I
6753:Φ
6749:I
6741:f
6719:(
6717:I
6713:v
6711:(
6709:I
6701:f
6679:(
6677:I
6673:I
6665:f
6643:(
6641:I
6637:I
6622:f
6615:f
6608:f
6601:f
6592:f
6585:f
6578:f
6571:f
6562:f
6555:f
6545:f
6539:f
6532:f
6524:y
6522:,
6520:x
6518:(
6513:f
6511:(
6506:f
6502:y
6500:,
6498:x
6496:(
6491:f
6485:y
6483:(
6478:f
6474:x
6472:(
6467:f
6465:(
6460:f
6456:y
6454:,
6452:x
6450:(
6445:f
6441:)
6439:x
6437:,
6435:x
6433:(
6428:f
6424:x
6422:(
6417:f
6407:f
6400:f
6394:f
6387:f
6376:f
6369:f
6362:f
6355:f
6345:f
6341:Ψ
6337:Φ
6333:I
6299:}
6293:,
6287:,
6281:,
6275:{
6267:2
6230:}
6224:{
6221:=
6216:1
6179:}
6173:,
6167:{
6164:=
6159:0
6113:j
6092:j
6060:.
6054:m
6035:j
6016:1
6003:0
5995:=
5964:Q
5960:P
5956:Q
5952:P
5948:Q
5944:P
5940:Q
5936:P
5928:P
5904:x
5898:=
5895:)
5892:z
5889:,
5886:y
5883:,
5880:x
5877:(
5874:f
5850:2
5841:)
5836:0
5833:3
5828:(
5822:+
5819:4
5810:)
5805:1
5802:3
5797:(
5779:)
5774:2
5771:3
5766:(
5735:n
5731:k
5726:k
5722:=
5716:|
5710:n
5705:k
5700:Z
5694:|
5688:|
5681:k
5676:Z
5670:|
5647:k
5642:Z
5632:n
5627:k
5622:Z
5610:k
5606:n
5602:n
5585:n
5581:k
5576:k
5551:3
5547:k
5542:k
5517:2
5513:k
5508:k
5485:k
5481:k
5470:k
5466:k
5462:n
5445:n
5441:3
5436:3
5413:n
5396:n
5392:2
5387:2
5347:)
5328:,
5322:,
5316:,
5310:,
5304:,
5275:)
5256:,
5250:,
5244:,
5238:,
5232:,
5203:.
5180:n
5176:a
5172:1
5169:a
5167:(
5165:f
5160:n
5156:a
5152:1
5149:a
5145:f
5133:.
5118:,
5112:,
5086:,
5067:.
5052:,
5046:,
5040:,
5026:n
5022:b
5017:n
5013:a
5009:2
5006:b
5002:2
4999:a
4995:1
4992:b
4988:1
4985:a
4980:n
4976:b
4972:1
4969:b
4964:n
4960:a
4956:1
4953:a
4948:n
4944:b
4940:1
4937:b
4935:(
4933:f
4928:n
4924:a
4920:1
4917:a
4915:(
4913:f
4894:.
4892:b
4888:a
4874:a
4871:=
4868:)
4865:b
4859:a
4856:(
4850:a
4847:=
4844:)
4841:b
4835:a
4832:(
4826:a
4803:,
4776:.
4774:c
4770:b
4766:a
4762:c
4758:a
4754:b
4750:a
4746:c
4742:b
4738:a
4701:.
4689:}
4683:,
4677:,
4671:{
4651:}
4645:,
4639:,
4633:{
4613:}
4607:,
4601:,
4595:{
4575:}
4569:,
4563:,
4557:{
4537:}
4531:,
4525:,
4519:{
4499:}
4493:,
4487:,
4481:{
4468:.
4456:}
4450:,
4444:{
4424:}
4418:,
4412:{
4392:}
4386:,
4380:{
4360:}
4354:,
4348:{
4328:}
4322:,
4316:{
4296:}
4290:,
4284:{
4264:}
4258:,
4252:{
4232:}
4226:,
4220:{
4200:}
4194:,
4188:{
4168:}
4162:,
4156:{
4136:}
4130:,
4124:{
4104:}
4098:,
4092:{
4072:}
4066:,
4060:{
4040:}
4034:,
4028:{
4008:}
4002:,
3996:{
3976:}
3970:,
3964:{
3944:}
3938:,
3932:{
3912:}
3906:,
3900:{
3855:Q
3851:P
3845:Q
3841:P
3839:¬
3765:P
3750:Q
3736:E
3733:Q
3731:¬
3710:P
3708:¬
3705:Q
3701:P
3699:¬
3696:Q
3692:P
3687:Q
3683:P
3679:Q
3675:P
3671:Q
3667:P
3663:Q
3641:P
3573:P
3558:Q
3544:J
3541:Q
3537:P
3535:¬
3532:Q
3510:P
3508:¬
3505:Q
3503:¬
3482:P
3477:Q
3473:P
3469:Q
3465:P
3461:Q
3457:P
3453:Q
3449:P
3379:P
3364:Q
3350:B
3347:Q
3343:P
3341:¬
3338:Q
3334:P
3332:¬
3329:Q
3325:P
3320:Q
3298:P
3294:Q
3290:P
3286:Q
3282:P
3214:P
3199:Q
3185:M
3182:Q
3178:P
3176:¬
3173:Q
3169:P
3167:¬
3164:Q
3160:P
3155:Q
3133:P
3129:Q
3107:P
3103:Q
3099:P
3029:P
3014:Q
3000:C
2997:Q
2993:P
2991:¬
2988:Q
2984:P
2982:¬
2979:Q
2975:P
2970:Q
2966:P
2962:Q
2940:P
2936:Q
2932:P
2928:Q
2924:P
2856:P
2841:Q
2827:L
2824:Q
2820:P
2818:¬
2815:Q
2811:P
2809:¬
2806:Q
2802:P
2797:Q
2793:P
2789:Q
2767:P
2763:Q
2741:P
2737:Q
2733:P
2663:P
2648:Q
2634:X
2631:Q
2627:P
2625:¬
2622:Q
2618:P
2616:¬
2613:Q
2609:P
2604:Q
2600:P
2596:Q
2592:P
2524:P
2509:Q
2495:A
2493:)
2491:Q
2487:P
2482:Q
2478:P
2476:¬
2473:Q
2469:P
2467:¬
2464:Q
2460:P
2455:Q
2451:P
2447:Q
2443:P
2373:P
2358:Q
2344:D
2341:Q
2337:P
2335:¬
2332:Q
2328:P
2326:¬
2323:Q
2319:P
2314:Q
2310:P
2306:Q
2302:P
2298:Q
2294:P
2226:P
2211:Q
2197:K
2194:Q
2190:P
2188:¬
2185:Q
2181:P
2179:¬
2176:Q
2172:P
2167:Q
2163:P
2159:Q
2155:·
2151:P
2147:Q
2143:P
2139:Q
2135:P
2065:P
2050:Q
2036:G
2033:q
2031:N
2027:Q
2025:~
2022:Q
2020:¬
1997:Q
1950:P
1935:Q
1921:H
1918:q
1913:Q
1889:Q
1840:P
1825:Q
1811:F
1808:p
1806:N
1802:P
1800:~
1797:P
1795:¬
1772:P
1725:P
1710:Q
1696:I
1693:p
1688:P
1664:P
1615:P
1600:Q
1586:V
1583:P
1579:P
1531:/
1484:P
1469:Q
1455:O
1452:P
1448:P
1400:/
1379:Q
1375:P
1347:→
1306:"
1302:"
1294:"
1290:"
1269:,
1256:"
1189:e
1182:t
1175:v
1052:B
1046:A
1026:B
1020:A
1000:B
994:A
966:B
960:A
940:B
927:A
899:B
885:A
857:B
851:A
831:B
825:A
805:B
802:+
799:A
779:B
773:A
745:A
717:A
695:A
672:A
635:B
632:+
629:A
606:B
600:A
580:B
567:A
539:B
533:A
513:B
507:A
487:B
481:A
449:B
443:A
420:B
414:A
394:B
388:A
368:B
355:A
327:B
321:A
301:B
295:A
275:B
269:A
241:B
235:A
215:B
209:A
189:B
183:A
155:B
146:A
126:B
120:A
100:B
97:A
77:B
71:A
51:B
45:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.