3344:
2999:
307:
5850:
1210:
649:
897:
2244:
239:
2472:
1364:
406:
2015:
1205:{\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}}
2010:
1763:
2819:
1645:
1482:
2267:
and the standard triangular billiards ball frame that holds 15 balls in place. Then 10 more balls are stacked on top of those, then another 6, then another three and one ball at the top completes the tetrahedron.
1873:
2991:
2341:
886:
20:
1681:
1569:
1406:
1238:
902:
71:
807:
725:
1233:
644:{\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}
3288:
1557:
1511:
1393:
3328:
3308:
1668:
1531:
1878:
3952:
2239:{\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}
1676:
2728:
1564:
1401:
2586:
1776:
3587:
2884:
3490:
3038:
294:
3945:
3509:
2682:
825:
234:{\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)}
4752:
3938:
3364:
4747:
3559:
2678:
4762:
4742:
5455:
5035:
3555:
2467:{\displaystyle n={\sqrt{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1}
23:
A pyramid with side length 5 contains 35 spheres. Each layer represents one of the first five triangular numbers.
752:
4757:
3580:
664:
1359:{\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n}&(1)\\&T_{n}=T_{n-1}+n&(2)\end{aligned}}}
5541:
5207:
4857:
4526:
4319:
3765:
3022:, and its diagonals being simplex numbers; similarly, the fifth tetrahedral number (35) equals the fourth
5383:
5242:
5073:
4887:
4877:
4531:
4511:
3770:
3750:
3363:
is the total number of gifts "my true love sent to me" during the course of all 12 verses of the carol, "
5212:
5332:
4955:
4797:
4712:
4521:
4503:
4397:
4387:
4377:
4213:
3760:
3742:
3641:
3631:
3621:
3414:
5237:
2286:
spheres are used as a unit, it can be shown that a space tiling with such units can achieve a densest
5874:
5460:
5005:
4626:
4412:
4407:
4402:
4392:
4369:
3865:
3656:
3651:
3646:
3636:
3613:
3573:
3435:
5217:
2253:
Tetrahedral numbers can be modelled by stacking spheres. For example, the fifth tetrahedral number (
5879:
4882:
4792:
4445:
3247:
5571:
5536:
5322:
5232:
5106:
5081:
4990:
4980:
4702:
4592:
4574:
4494:
3831:
3808:
3733:
2689:
2532:
5831:
5101:
4975:
4606:
4382:
4162:
4089:
3845:
3626:
813:
730:
Tetrahedral numbers can therefore be found in the fourth position either from left or right in
5795:
5435:
5086:
4940:
4867:
4022:
3900:
3343:
1216:
5728:
5622:
5586:
5327:
5050:
5030:
4847:
4516:
4304:
3755:
3019:
2876:
2826:
2477:
731:
655:
311:
4807:
4276:
3494:
8:
5884:
5450:
5314:
5309:
5277:
5040:
5015:
5010:
4985:
4915:
4911:
4842:
4732:
4564:
4360:
4329:
3798:
3604:
2681:
conjectured that every positive integer is the sum of at most 5 tetrahedral numbers: see
2005:{\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}}
1536:
1490:
1372:
5853:
5607:
5602:
5516:
5490:
5388:
5367:
5139:
5020:
4970:
4892:
4862:
4802:
4569:
4480:
4193:
3803:
3719:
3541:
3472:
3313:
3293:
2720:
1653:
1516:
40:
4737:
5849:
5747:
5692:
5546:
5521:
5495:
4950:
4945:
4872:
4852:
4837:
4559:
4541:
4460:
4450:
4435:
4198:
3793:
3780:
3699:
3689:
3679:
3538:
3476:
3464:
329:
62:
5272:
3347:
Number of gifts of each type and number received each day and their relationship to
5783:
5576:
5162:
5134:
5124:
5116:
5000:
4965:
4960:
4927:
4621:
4584:
4475:
4470:
4465:
4455:
4427:
4314:
4261:
4218:
4157:
3860:
3818:
3714:
3709:
3704:
3694:
3671:
3456:
3023:
2998:
389:
347:
4266:
306:
19:
5759:
5648:
5581:
5507:
5430:
5404:
5222:
4935:
4727:
4697:
4687:
4682:
4348:
4256:
4203:
4047:
3987:
3596:
3348:
36:
3031:
The only numbers that are both tetrahedral and triangular numbers are (sequence
5764:
5632:
5617:
5481:
5445:
5420:
5296:
5267:
5252:
5129:
5025:
4995:
4722:
4677:
4554:
4152:
4147:
4142:
4114:
4099:
4012:
3997:
3975:
3962:
3788:
3460:
2287:
320:
1758:{\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=2Te_{n-1}-Te_{n-2}+n\end{aligned}}}
1227:
Tetrahedral and triangular numbers are related through the recursive formulas
5868:
5687:
5671:
5612:
5566:
5262:
5247:
5157:
4440:
4309:
4271:
4228:
4109:
4094:
4084:
4042:
4032:
4007:
3930:
3910:
3684:
3468:
3331:
2814:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}
2590:
2264:
1640:{\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n-1}=Te_{n-2}+T_{n-1}\end{aligned}}}
1477:{\displaystyle {\begin{aligned}&Te_{n}=Te_{n-1}+T_{n-1}+n\end{aligned}}}
5723:
5712:
5627:
5465:
5440:
5357:
5257:
5227:
5202:
5186:
5091:
5058:
4781:
4692:
4631:
4208:
4104:
4037:
4017:
3992:
3915:
3870:
2700:
2693:
284:
280:
276:
5682:
5557:
5362:
4826:
4717:
4672:
4667:
4417:
4324:
4223:
4052:
4027:
4002:
3905:
3661:
272:
268:
264:
260:
44:
3241:+ 2)-bit numbers that contain two runs of 1's in their binary expansion.
3002:
The third tetrahedral number equals the fourth triangular number as the
2829:
of tetrahedral numbers follows the repeating pattern odd-even-even-even.
5819:
5800:
5096:
4707:
2300:
5425:
5352:
5344:
5149:
5063:
4181:
3885:
3546:
2692:
is 1 (Beukers, 1988), and the only tetrahedral number that is also a
2306:
397:
376:
366:
356:
5526:
3565:
3386:
2875:
Numbers that are both triangular and tetrahedral must satisfy the
1868:{\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}
5531:
5190:
5184:
3367:". The cumulative total number of gifts after each verse is also
2986:{\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}
1670:
th tetrahedral number satisfies the following recursive equation
4246:
2589:
proved in 1878 that only three tetrahedral numbers are also
3536:
3033:
289:
310:
3389:
three-house combinations is also a tetrahedral number,
256:
3510:"The Twelve Days of Christmas and Tetrahedral Numbers"
881:{\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}
4910:
3316:
3296:
3250:
2887:
2731:
2344:
2018:
1881:
1779:
1679:
1656:
1567:
1539:
1519:
1493:
1404:
1375:
1236:
900:
828:
755:
667:
409:
252:
248:
74:
5295:
2301:
Tetrahedral roots and tests for tetrahedral numbers
654:The tetrahedral numbers can also be represented as
3322:
3302:
3282:
2985:
2813:
2466:
2238:
2004:
1867:
1757:
1662:
1639:
1551:
1525:
1505:
1476:
1387:
1358:
1204:
880:
801:
719:
643:
233:
4294:
3556:Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula
2958:
2937:
2925:
2904:
2230:
2196:
1996:
1968:
1859:
1831:
708:
687:
43:with a triangular base and three sides, called a
5866:
2313:, one can define the (real) tetrahedral root of
388:th tetrahedral number is represented by the 3rd
4180:
2012:can be generalized. This leads to the formula:
3974:
3960:
3946:
3581:
2480:. Equivalently, if the real tetrahedral root
5782:
4132:
16:Polyhedral number representing a tetrahedron
3893:
3244:The largest tetrahedral number of the form
2688:The only tetrahedral number that is also a
2248:
4247:Possessing a specific set of other numbers
4070:
3953:
3939:
3588:
3574:
802:{\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}
5710:
4657:
1773:The pattern found for triangular numbers
720:{\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}
3434:Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12).
3342:
2997:
305:
18:
3433:
3018:-simplex number due to the symmetry of
2832:An observation of tetrahedral numbers:
2703:of tetrahedral numbers' reciprocals is
5867:
5818:
2683:Pollock tetrahedral numbers conjecture
5817:
5781:
5745:
5709:
5669:
5294:
5183:
4909:
4824:
4779:
4656:
4346:
4293:
4245:
4179:
4131:
4069:
3973:
3934:
3569:
3537:
3507:
1222:
4347:
3595:
737:
5746:
13:
5670:
3560:The Wolfram Demonstrations Project
3338:
2941:
2908:
2748:
2200:
1972:
1835:
1215:The formula can also be proved by
742:This proof uses the fact that the
691:
14:
5896:
3530:
3442:-dimensionale Champagnerpyramide"
1768:
746:th triangular number is given by
5848:
5456:Perfect digit-to-digit invariant
4825:
924:
3501:
3483:
3449:Mathematische Semesterberichte
3427:
2789:
2777:
2774:
2762:
1546:
1540:
1382:
1376:
1349:
1343:
1298:
1292:
1186:
1174:
1171:
1159:
1156:
1144:
1095:
1083:
1080:
1068:
1049:
1037:
1034:
1022:
1007:
995:
992:
980:
787:
775:
602:
590:
587:
575:
499:
487:
164:
152:
1:
4295:Expressible via specific sums
3766:Centered dodecahedral numbers
3493:. 21 May 2000. Archived from
3420:
3283:{\displaystyle 2^{a}+3^{b}+1}
2719:, which can be derived using
2499:
244:The tetrahedral numbers are:
3771:Centered icosahedral numbers
3751:Centered tetrahedral numbers
3365:The Twelve Days of Christmas
1875:and for tetrahedral numbers
625:
7:
5384:Multiplicative digital root
3761:Centered octahedral numbers
3642:Centered heptagonal numbers
3632:Centered pentagonal numbers
3622:Centered triangular numbers
3408:
3196:is the sum of all products
3010:-simplex number equals the
33:triangular pyramidal number
10:
5901:
4780:
3866:Squared triangular numbers
3657:Centered decagonal numbers
3652:Centered nonagonal numbers
3647:Centered octagonal numbers
3637:Centered hexagonal numbers
3461:10.1007/s00591-018-00236-x
3415:Centered triangular number
2263:) can be modelled with 35
301:
58:, is the sum of the first
5844:
5827:
5813:
5791:
5777:
5755:
5741:
5719:
5705:
5678:
5665:
5641:
5595:
5555:
5506:
5480:
5461:Perfect digital invariant
5413:
5397:
5376:
5343:
5308:
5304:
5290:
5198:
5179:
5148:
5115:
5072:
5049:
5036:Superior highly composite
4926:
4922:
4905:
4833:
4820:
4788:
4775:
4663:
4652:
4614:
4605:
4583:
4540:
4502:
4493:
4426:
4368:
4359:
4355:
4342:
4300:
4289:
4252:
4241:
4189:
4175:
4138:
4127:
4080:
4065:
3983:
3969:
3883:
3853:
3844:
3817:
3779:
3741:
3732:
3670:
3612:
3603:
3405:is the number of houses.
5074:Euler's totient function
4858:EulerâJacobi pseudoprime
4133:Other polynomial numbers
3832:Square pyramidal numbers
3809:Stella octangula numbers
3212:) are ordered pairs and
2533:square pyramidal numbers
2249:Geometric interpretation
4888:SomerâLucas pseudoprime
4878:LucasâCarmichael number
4713:Lazy caterer's sequence
3627:Centered square numbers
3385:The number of possible
2690:square pyramidal number
2496:th tetrahedral number.
51:th tetrahedral number,
4763:WedderburnâEtherington
4163:Lucky numbers of Euler
3351:
3324:
3304:
3284:
3027:
2987:
2815:
2752:
2581:, sum of even squares.
2468:
2275:tetrahedra built from
2240:
2179:
2144:
2106:
2059:
2006:
1951:
1916:
1869:
1814:
1759:
1664:
1641:
1553:
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1507:
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