1063:
1346:
499:
1823:
1216:
2031:
1602:
840:
1125:
230:
902:
771:
709:
1396:
259:
52:
537:
647:
2125:
2072:
1654:
621:
581:
182:
1856:
601:
561:
908:
1222:
25:
2294:
374:
1713:
2391:
284:
Tate's algorithm also gives the structure of the singular fibers given by the
Kodaira symbol or Néron symbol, for which, see
1131:
1943:
1514:
2350:
2224:
777:
79:
2338:
1069:
190:
846:
715:
653:
1352:
2247:
Laska, Michael (1982), "An
Algorithm for Finding a Minimal Weierstrass Equation for an Elliptic Curve",
2216:
235:
2367:
324:
2433:
35:
510:
344:
277:, and, if not, returns an integral model with integral coefficients for which the valuation at
2438:
626:
55:
2378:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlin / Heidelberg: Springer, pp. 33–52,
2094:
2041:
1623:
331:) as an improvement of the description of the Néron model of an elliptic curve by Néron (
606:
566:
96:
2210:
2409:
2370:(1975), "Algorithm for determining the type of a singular fiber in an elliptic pencil", in
2315:
365:
2417:
2360:
2323:
2278:
2234:
1832:
586:
546:
8:
2330:
1058:{\displaystyle b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+4a_{2}a_{6}+a_{2}a_{3}^{2}-a_{4}^{2}}
2266:
305:
266:
2397:
2387:
2346:
2289:
2220:
2413:
2379:
2371:
2356:
2319:
2303:
2285:
2274:
2256:
2230:
540:
285:
2405:
2342:
2311:
17:
343:
Assume that all the coefficients of the equation of the curve lie in a complete
1906:
has a triple root, change variables so the triple root is 0, so that π divides
1341:{\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}+9b_{2}b_{4}b_{6}}
2427:
2401:
361:
354:
351:
2127:
has a double root, change variables so the double root is 0. Then π divides
2290:"Modèles minimaux des variétés abèliennes sur les corps locaux et globaux"
59:
304:
Tate's algorithm can be greatly simplified if the characteristic of the
2383:
2307:
2270:
2199:
computer algebra system, available through the function elllocalred.
270:
2261:
494:{\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.}
2196:
273:
determines whether or not the given integral model is minimal at
2195:
The algorithm is implemented for algebraic number fields in the
1899:=2 or 4: there is a "sub-algorithm" for dealing with this case.
1656:
has two roots in K and 1 if it has two roots outside of K, and
2177:
Step 11. Otherwise the equation is not minimal. Divide each
1818:{\displaystyle P(T)=T^{3}+a_{2,1}T^{2}+a_{4,2}T+a_{6,3}.}
1665:
Step 6. Otherwise, change coordinates so that π divides
1441:
Step 3. Otherwise, change coordinates so that π divides
1887:
has one single and one double root, then the type is I
1211:{\displaystyle c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}
2097:
2074:
has two distinct roots modulo π then the type is IV,
2044:
1946:
1835:
1716:
1626:
1517:
1355:
1225:
1134:
1072:
911:
849:
780:
718:
656:
629:
609:
589:
569:
549:
513:
377:
238:
193:
99:
38:
2335:
Advanced Topics in the
Arithmetic of Elliptic Curves
2119:
2066:
2025:
1850:
1817:
1648:
1596:
1390:
1340:
1210:
1119:
1057:
896:
834:
765:
703:
641:
615:
595:
575:
555:
531:
493:
253:
224:
176:
46:
1407:Step 1: If π does not divide Δ then the type is I
2425:
2026:{\displaystyle Q_{2}(Y)=Y^{2}+a_{3,2}Y-a_{6,4}.}
1858:has 3 distinct roots modulo π then the type is I
1597:{\displaystyle Q_{1}(Y)=Y^{2}+a_{3,1}Y-a_{6,2}.}
368:π. The elliptic curve is given by the equation
308:field is not 2 or 3; in this case the type and
835:{\displaystyle b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}^{}}
2329:
2260:
2159:Step 10. Otherwise if π does not divide
241:
209:
155:
124:
40:
1480:Step 4. Otherwise, if π does not divide
2208:
1120:{\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4}}
316:can be read off from the valuations of
288:: in turn this determines the exponent
225:{\displaystyle E^{0}(\mathbb {Q} _{p})}
2426:
2212:Algorithms for modular elliptic curves
897:{\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6}}
766:{\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2}}
704:{\displaystyle a_{i,m}=a_{i}/\pi ^{m}}
2284:
2246:
332:
2376:Modular Functions of One Variable IV
2366:
2295:Publications Mathématiques de l'IHÉS
1391:{\displaystyle j=c_{4}^{3}/\Delta .}
328:
323:Tate's algorithm was introduced by
13:
2190:
1382:
1226:
630:
610:
570:
520:
14:
2450:
1422:Step 2: If π divides Δ but not c
1401:
281:of the discriminant is minimal.
254:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
2114:
2108:
2061:
2055:
1963:
1957:
1845:
1839:
1726:
1720:
1643:
1637:
1534:
1528:
523:
517:
219:
204:
168:
165:
150:
134:
119:
113:
1:
2339:Graduate Texts in Mathematics
2202:
261:-points whose reduction mod
47:{\displaystyle \mathbb {Q} }
7:
2215:(2nd ed.), Cambridge:
2186:by π and go back to step 1.
532:{\displaystyle v(\Delta )=}
338:
86:, the type of reduction at
10:
2455:
2249:Mathematics of Computation
2217:Cambridge University Press
2148:then the type is III and
603:in prime factorization of
65:. It returns the exponent
2166:then the type is II and
2082:is 3 if the roots are in
1870:is 1+(number of roots of
642:{\displaystyle \Delta =0}
2120:{\displaystyle Q_{2}(Y)}
2078:=v(Δ)−6, and
2067:{\displaystyle Q_{2}(Y)}
1866:=v(Δ)−4, and
1649:{\displaystyle Q_{1}(Y)}
2141:. If π does not divide
1895:=v(Δ)−4−ν,
1498:Step 5. Otherwise, let
1462:. If π does not divide
616:{\displaystyle \Delta }
583:, that is, exponent of
576:{\displaystyle \Delta }
345:discrete valuation ring
320:and Δ (defined below).
177:{\displaystyle c_{p}=,}
54:, or more generally an
2209:Cremona, John (1997),
2121:
2068:
2027:
1852:
1819:
1650:
1598:
1487:then the type is III,
1392:
1342:
1212:
1121:
1059:
898:
836:
767:
705:
643:
617:
597:
577:
557:
533:
495:
255:
226:
178:
56:algebraic number field
48:
2122:
2069:
2028:
1853:
1820:
1651:
1616:then the type is IV,
1609:If π does not divide
1599:
1469:then the type is II,
1393:
1343:
1213:
1122:
1060:
899:
837:
768:
706:
644:
618:
598:
578:
558:
534:
496:
256:
227:
179:
49:
28:of an elliptic curve
2331:Silverman, Joseph H.
2095:
2042:
1944:
1851:{\displaystyle P(T)}
1833:
1714:
1624:
1515:
1353:
1223:
1132:
1070:
909:
847:
778:
716:
654:
627:
607:
596:{\displaystyle \pi }
587:
567:
556:{\displaystyle \pi }
547:
511:
375:
236:
191:
97:
36:
2374:; Kuyk, W. (eds.),
1376:
1301:
1280:
1249:
1165:
1100:
1054:
1036:
939:
877:
831:
746:
2384:10.1007/BFb0097582
2308:10.1007/BF02684271
2170:=v(Δ)−8 and
2152:=v(Δ)−7 and
2117:
2064:
2023:
1848:
1815:
1646:
1594:
1426:then the type is I
1388:
1362:
1338:
1287:
1266:
1235:
1208:
1151:
1117:
1086:
1055:
1040:
1022:
925:
894:
863:
832:
820:
763:
732:
701:
639:
613:
593:
573:
553:
529:
491:
267:non-singular point
251:
222:
174:
90:, the local index
44:
24:takes as input an
2393:978-3-540-07392-5
2341:, vol. 151,
1934:be the polynomial
1891:for some ν>0,
1704:be the polynomial
1505:be the polynomial
623:, or infinity if
297:of the conductor
286:elliptic surfaces
58:, and a prime or
16:In the theory of
2446:
2420:
2363:
2326:
2281:
2264:
2255:(157): 257–260,
2243:
2242:
2241:
2126:
2124:
2123:
2118:
2107:
2106:
2073:
2071:
2070:
2065:
2054:
2053:
2032:
2030:
2029:
2024:
2019:
2018:
1997:
1996:
1978:
1977:
1956:
1955:
1920:, and π divides
1857:
1855:
1854:
1849:
1824:
1822:
1821:
1816:
1811:
1810:
1789:
1788:
1770:
1769:
1760:
1759:
1741:
1740:
1693:, and π divides
1655:
1653:
1652:
1647:
1636:
1635:
1603:
1601:
1600:
1595:
1590:
1589:
1568:
1567:
1549:
1548:
1527:
1526:
1397:
1395:
1394:
1389:
1381:
1375:
1370:
1347:
1345:
1344:
1339:
1337:
1336:
1327:
1326:
1317:
1316:
1300:
1295:
1279:
1274:
1259:
1258:
1248:
1243:
1217:
1215:
1214:
1209:
1207:
1206:
1191:
1190:
1181:
1180:
1164:
1159:
1144:
1143:
1126:
1124:
1123:
1118:
1116:
1115:
1099:
1094:
1082:
1081:
1064:
1062:
1061:
1056:
1053:
1048:
1035:
1030:
1021:
1020:
1008:
1007:
998:
997:
982:
981:
972:
971:
962:
961:
949:
948:
938:
933:
921:
920:
903:
901:
900:
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893:
892:
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871:
859:
858:
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839:
838:
833:
830:
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813:
812:
803:
802:
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789:
772:
770:
769:
764:
762:
761:
745:
740:
728:
727:
710:
708:
707:
702:
700:
699:
690:
685:
684:
672:
671:
648:
646:
645:
640:
622:
620:
619:
614:
602:
600:
599:
594:
582:
580:
579:
574:
562:
560:
559:
554:
541:p-adic valuation
538:
536:
535:
530:
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497:
492:
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447:
435:
434:
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387:
386:
260:
258:
257:
252:
250:
249:
244:
232:is the group of
231:
229:
228:
223:
218:
217:
212:
203:
202:
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181:
180:
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164:
163:
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149:
148:
133:
132:
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108:
53:
51:
50:
45:
43:
22:Tate's algorithm
2454:
2453:
2449:
2448:
2447:
2445:
2444:
2443:
2434:Elliptic curves
2424:
2423:
2394:
2353:
2343:Springer-Verlag
2262:10.2307/2007483
2239:
2237:
2227:
2205:
2193:
2191:Implementations
2185:
2165:
2147:
2140:
2133:
2102:
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2096:
2093:
2092:
2049:
2045:
2043:
2040:
2039:
2008:
2004:
1986:
1982:
1973:
1969:
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1947:
1945:
1942:
1941:
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1926:
1919:
1912:
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1831:
1830:
1800:
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1774:
1765:
1761:
1749:
1745:
1736:
1732:
1715:
1712:
1711:
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1692:
1685:
1678:
1671:
1631:
1627:
1625:
1622:
1621:
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1579:
1575:
1557:
1553:
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1540:
1522:
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1516:
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1503:
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1461:
1454:
1447:
1430:with v = v(Δ),
1429:
1425:
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1404:
1377:
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1182:
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1172:
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1139:
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1133:
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1129:
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1095:
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1077:
1073:
1071:
1068:
1067:
1049:
1044:
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1026:
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1012:
1003:
999:
993:
989:
977:
973:
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