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Superconformal algebra

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6096: 36: 1894: 2808: 2596: 3006: 2887: 2675: 1083: 716: 1731: 2681: 2471: 2098: 1996: 843: 595: 965: 1684: 3788: 1486: 3611: 1564: 2350: 1218: 3911: 3432: 4023: 3317: 522: 1174: 772: 416: 358: 304: 895: 3517: 1602: 644: 4167:
There are two possible algebras with minimal supersymmetry in two dimensions; a Neveu–Schwarz algebra and a Ramond algebra. Additional supersymmetry is possible, for instance the
3691: 1634: 1011: 2927: 200: 3845: 3254: 3960: 3366: 1518: 1251: 1440: 1328: 2259: 2203: 250: 1716: 1410: 1355: 1278: 3197: 3104: 165: 1115: 4151: 4087: 2456: 2403: 2147: 1378: 1298: 456: 436: 115:. In two dimensions, the superconformal algebra is infinite-dimensional. In higher dimensions, superconformal algebras are finite-dimensional and generate the 2933: 2814: 2602: 1889:{\displaystyle =\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }} 1016: 649: 5311: 4476: 2803:{\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }} 4913: 4324: 2591:{\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }} 4623: 4572: 2002: 1900: 4608: 4598: 777: 527: 900: 4577: 60: 6137: 4618: 1639: 4628: 3697: 1445: 3523: 1523: 2265: 4906: 4317: 418:. Given Kac's classification of finite-dimensional simple Lie superalgebras, this can only happen for small values of 1179: 4237: 3851: 3372: 78: 3966: 3260: 5278: 4744: 4633: 4357: 464: 6156: 5508: 5243: 4671: 4666: 1122: 723: 6171: 5870: 4603: 367: 309: 255: 17: 5450: 4956: 4899: 4310: 4168: 3011:
The bosonic conformal generators do not carry any R-charges, as they commute with the R-symmetry generators:
850: 3440: 1569: 602: 5895: 5220: 4951: 3617: 1607: 972: 4651: 4567: 4536: 4491: 4352: 2893: 5475: 170: 6130: 5396: 5101: 5048: 4551: 3799: 3208: 3917: 3323: 5690: 4521: 1491: 51: 5735: 4405: 1232: 5915: 5835: 5650: 5584: 4946: 4546: 5795: 1415: 1303: 6055: 5865: 5579: 5417: 5391: 5263: 5132: 5021: 4963: 2209: 2153: 205: 56:
This stub is remarkably poorly written and should be fixed to read in a more pedagogical fashion.
6111: 5422: 1689: 6161: 5820: 5561: 5367: 5230: 5053: 4656: 4506: 4185: 4162: 1383: 1333: 1256: 6166: 6123: 5675: 5615: 5556: 5523: 5518: 5316: 5306: 5273: 5137: 5014: 5009: 5004: 4989: 4979: 4686: 4681: 4593: 4531: 4435: 4415: 4190: 361: 5970: 6060: 5845: 5058: 5043: 4999: 4471: 4420: 4288: 3110: 3017: 138: 1091: 8: 5975: 5860: 5513: 5412: 5038: 4691: 4676: 4661: 4430: 4093: 4029: 92: 4292: 2409: 2356: 2104: 6020: 5940: 5840: 5800: 5730: 5680: 5645: 5480: 5357: 5253: 4994: 4800: 4372: 4367: 4278: 4243: 4215: 4180: 1722: 1363: 1283: 441: 421: 100: 5407: 6103: 5985: 5890: 5725: 5635: 5605: 5401: 5296: 5248: 5142: 4247: 4233: 108: 46: 5995: 5930: 5900: 5780: 5720: 5685: 5630: 5620: 5533: 5485: 5443: 5348: 5341: 5334: 5327: 5320: 5238: 5028: 4936: 4501: 4400: 4387: 4225: 3001:{\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0} 2882:{\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0} 2670:{\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0} 2462: 120: 5600: 306:. The superconformal algebra is a Lie superalgebra containing the bosonic factor 6075: 6030: 5980: 5965: 5955: 5850: 5815: 5640: 5210: 4984: 4830: 4795: 4516: 4511: 5920: 4860: 3793:
Under bosonic conformal transformations, the fermionic generators transform as:
6107: 6050: 6045: 6005: 5945: 5775: 5765: 5760: 5755: 5670: 5665: 5660: 5625: 5610: 5538: 5215: 5078: 4850: 4835: 4481: 4466: 124: 5935: 5855: 6150: 6040: 6025: 6000: 5990: 5960: 5905: 5880: 5810: 5805: 5770: 5745: 5705: 5495: 5147: 5063: 4941: 4922: 4875: 4855: 4805: 4440: 4377: 4347: 4333: 4266: 4229: 112: 5825: 1078:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)} 711:{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)} 6070: 5910: 5790: 5740: 5710: 5695: 5503: 5470: 5362: 5288: 5268: 5205: 5068: 4880: 4865: 4825: 4815: 4810: 4701: 4643: 4526: 4395: 4362: 4262: 1176:
in 5+1D, thanks to the fact that spinor and fundamental representations of
104: 6065: 6035: 6015: 5875: 5830: 5785: 5750: 5700: 5465: 5434: 5195: 5152: 4870: 4845: 4840: 4790: 4769: 4734: 4729: 4456: 4269:(1983). "Superspace, or one thousand and one lessons in supersymmetry". 6010: 5950: 5885: 5548: 5528: 5427: 5386: 5200: 4774: 4764: 4749: 4541: 4461: 4425: 4283: 4220: 1358: 5925: 5715: 5655: 5301: 5175: 5096: 5091: 5086: 4820: 4724: 4613: 4210:
West, P. C. (2002). "Introduction to Rigid Supersymmetric Theories".
1253:
supersymmetries in 3+1 dimensions is given by the bosonic generators
130: 2093:{\displaystyle =\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }} 1991:{\displaystyle =\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }} 5571: 5460: 5455: 5185: 5180: 5117: 5033: 4759: 4754: 4739: 4714: 838:{\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)} 590:{\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)} 5190: 5170: 5127: 5122: 4719: 960:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)} 4891: 4302: 4496: 4486: 6095: 5162: 4709: 4214:. NATO Science Series: B. Vol. 368. pp. 453–476. 27:
Algebra combining both supersymmetry and conformal symmetry
4212:
Confinement, Duality, and Non-Perturbative Aspects of QCD
4260: 1679:{\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots } 4096: 4032: 3969: 3920: 3854: 3802: 3700: 3620: 3526: 3443: 3375: 3326: 3263: 3211: 3113: 3020: 2936: 2896: 2817: 2684: 2605: 2474: 2412: 2359: 2268: 2212: 2156: 2107: 2005: 1903: 1734: 1692: 1642: 1610: 1572: 1526: 1494: 1448: 1418: 1386: 1366: 1336: 1306: 1286: 1259: 1235: 1182: 1125: 1094: 1019: 975: 903: 853: 780: 726: 652: 605: 530: 467: 444: 424: 370: 312: 258: 208: 173: 141: 3783:{\displaystyle =-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}} 1481:{\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}} 3606:{\displaystyle =\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}} 2465:; while the ones for the fermionic generators are: 1559:{\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}} 4145: 4081: 4017: 3954: 3905: 3839: 3782: 3685: 3605: 3511: 3426: 3360: 3311: 3248: 3191: 3098: 3000: 2921: 2881: 2802: 2669: 2590: 2450: 2397: 2345:{\displaystyle =-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D} 2344: 2253: 2197: 2141: 2092: 1990: 1888: 1710: 1678: 1628: 1596: 1558: 1512: 1480: 1434: 1404: 1372: 1349: 1322: 1292: 1272: 1245: 1212: 1168: 1109: 1077: 1005: 959: 889: 837: 766: 710: 638: 589: 516: 450: 430: 410: 352: 298: 244: 194: 159: 131:Superconformal algebra in dimension greater than 2 1224: 6148: 3202:But the fermionic generators do carry R-charge: 1220:are mapped to each other by outer automorphisms. 1213:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )} 4156: 3906:{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}} 3427:{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}} 1229:According to the superconformal algebra with 4018:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\overline {S}}} 3312:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}} 6131: 4907: 4318: 517:{\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)} 1169:{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)} 6138: 6124: 4914: 4900: 4325: 4311: 767:{\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)} 4282: 4219: 1203: 1040: 673: 411:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} 353:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} 299:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)} 176: 79:Learn how and when to remove this message 890:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)} 14: 6149: 3512:{\displaystyle =-\delta _{k}^{i}Q_{j}} 1686:right-handed Weyl spinor indices; and 1597:{\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots } 639:{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)} 360:and whose odd generators transform in 4895: 4306: 3686:{\displaystyle =\delta _{j}^{k}S^{i}} 1721:The Lie superbrackets of the bosonic 1629:{\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots } 1006:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)} 6090: 5312:Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound 4209: 29: 2922:{\displaystyle \left\{Q,S\right\}=} 1188: 1185: 1134: 1131: 1128: 1055: 1052: 1025: 1022: 981: 978: 937: 934: 909: 906: 859: 856: 815: 812: 787: 784: 733: 730: 688: 685: 658: 655: 614: 611: 608: 567: 564: 539: 536: 533: 477: 474: 471: 458:. A (possibly incomplete) list is 376: 373: 318: 315: 264: 261: 24: 4261:Gates, S. J.; Grisaru, Marcus T.; 1238: 195:{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}} 119:(in two Euclidean dimensions, the 25: 6183: 4921: 4332: 3840:{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}Q} 3249:{\displaystyle =-{\frac {1}{2}}Q} 1718:the internal R-symmetry indices. 1636:left-handed Weyl spinor indices; 6094: 4358:Supersymmetric quantum mechanics 3955:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}S} 3361:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}S} 34: 5509:Eleven-dimensional supergravity 1513:{\displaystyle S_{i}^{\alpha }} 4254: 4203: 4134: 4115: 4109: 4097: 4070: 4051: 4045: 4033: 3989: 3970: 3933: 3921: 3874: 3855: 3815: 3803: 3739: 3701: 3652: 3621: 3565: 3527: 3475: 3444: 3395: 3376: 3339: 3327: 3283: 3264: 3224: 3212: 3180: 3168: 3162: 3150: 3144: 3132: 3126: 3114: 3087: 3075: 3069: 3057: 3051: 3039: 3033: 3021: 2439: 2413: 2386: 2360: 2295: 2269: 2232: 2213: 2176: 2157: 2130: 2108: 2035: 2006: 1933: 1904: 1767: 1735: 1246:{\displaystyle {\mathcal {N}}} 1225:Superconformal algebra in 3+1D 1207: 1193: 1163: 1153: 1139: 1104: 1098: 1072: 1060: 1044: 1030: 1000: 993: 986: 954: 942: 926: 914: 884: 877: 864: 832: 820: 804: 798: 761: 754: 744: 705: 693: 677: 663: 633: 626: 619: 584: 572: 556: 544: 511: 498: 488: 405: 381: 347: 323: 293: 269: 239: 215: 154: 142: 13: 1: 4957:Second superstring revolution 4196: 1412:and the fermionic generators 6110:. You can help Knowledge by 5451:Generalized complex manifold 4952:First superstring revolution 4169:N = 2 superconformal algebra 4157:Superconformal algebra in 2D 4129: 4065: 4010: 3984: 3898: 3869: 3769: 3728: 3592: 3554: 3419: 3390: 3304: 3278: 2976: 2953: 2863: 2850: 2714: 2651: 2638: 2502: 1533: 1455: 1435:{\displaystyle Q^{\alpha i}} 1323:{\displaystyle M_{\mu \nu }} 7: 4353:Supersymmetric gauge theory 4174: 2254:{\displaystyle =+K_{\rho }} 2198:{\displaystyle =-P_{\rho }} 245:{\displaystyle SO(p+1,q+1)} 135:The conformal group of the 54:. The specific problem is: 10: 6188: 6089: 5049:Non-critical string theory 4652:Pure 4D N = 1 supergravity 4160: 1711:{\displaystyle i,j,\dots } 1604:denote spacetime indices; 5593: 5570: 5547: 5494: 5379: 5287: 5229: 5161: 5110: 5077: 4972: 4929: 4783: 4700: 4642: 4586: 4560: 4552:Electric–magnetic duality 4449: 4386: 4340: 1405:{\displaystyle T_{j}^{i}} 5585:Introduction to M-theory 5279:Wess–Zumino–Witten model 5221:Hanany–Witten transition 4947:History of string theory 4573:Haag–ƁopuszaƄski–Sohnius 4547:Little hierarchy problem 4230:10.1007/0-306-47056-X_17 1350:{\displaystyle K_{\mu }} 1273:{\displaystyle P_{\mu }} 5264:Vertex operator algebra 4964:String theory landscape 4629:6D (2,0) superconformal 1380:, the SU(N) R-symmetry 252:and its Lie algebra is 6157:Conformal field theory 6106:-related article is a 5562:AdS/CFT correspondence 5317:Exceptional Lie groups 5259:Superconformal algebra 5231:Conformal field theory 5102:Montonen–Olive duality 5054:Non-linear sigma model 4609:N = 4 super Yang–Mills 4599:N = 1 super Yang–Mills 4507:Supersymmetry breaking 4411:Superconformal algebra 4406:Super-PoincarĂ© algebra 4186:Super Virasoro algebra 4163:super Virasoro algebra 4147: 4083: 4019: 3956: 3907: 3841: 3784: 3687: 3607: 3513: 3428: 3362: 3313: 3250: 3193: 3100: 3002: 2923: 2883: 2804: 2671: 2592: 2452: 2399: 2346: 2255: 2199: 2143: 2094: 1992: 1890: 1712: 1680: 1630: 1598: 1560: 1514: 1482: 1436: 1406: 1374: 1351: 1324: 1294: 1274: 1247: 1214: 1170: 1111: 1079: 1007: 961: 891: 839: 768: 712: 640: 591: 518: 452: 432: 412: 362:spinor representations 354: 300: 246: 196: 161: 123:does not generate any 97:superconformal algebra 6172:Quantum physics stubs 5557:Holographic principle 5524:Type IIB supergravity 5519:Type IIA supergravity 5371:-form electrodynamics 4990:Bosonic string theory 4687:Type IIB supergravity 4682:Type IIA supergravity 4657:4D N = 1 supergravity 4522:Seiberg–Witten theory 4436:Super Minkowski space 4416:Supersymmetry algebra 4191:Supersymmetry 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arXiv
hep-th/9805055
doi
10.1007/0-306-47056-X_17
ISBN
0-306-45826-8
S2CID
119413468
Rocek, M.

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