1782:
392:
1709:
667:
780:
591:
1126:
292:
81:
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1318:
1222:
1501:
1395:
156:
960:
1569:
1540:
1421:
1357:
1248:
1187:
1148:
924:
902:
880:
832:
806:
444:
418:
481:
35:; definitions of an approximation of identity vary, but sometimes the definition of an approximation of the identity is taken to be the same as for a summability kernel.
1606:
1457:
1038:
534:
118:
687:
1058:
855:
501:
1714:
299:
23:
is a family or sequence of periodic integrable functions satisfying a certain set of properties, listed below. Certain kernels, such as the
1611:
596:
694:
550:
1071:
226:
1572:
46:
1542:
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1846:
1462:
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1362:
123:
929:
1548:
1506:
1400:
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1227:
1153:
1131:
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863:
811:
785:
423:
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1851:
453:
1578:
1429:
1010:
506:
90:
1251:
672:
8:
541:
1816:
1043:
840:
486:
1824:
991:
28:
669:, and the upper limit of integration on the third equation should be extended to
1777:{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }
972:
24:
978:
1840:
985:
387:{\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0}
1061:
1608:
is not radially decreasing symmetric, but the decreasing symmetrization
837:
This expresses the fact that the mass concentrates around the origin as
1704:{\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}
662:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}
775:{\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}
1784:, then a.e. convergence still holds, using a similar argument.
998:
a summability kernel, since it fails the second requirement.
586:{\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }
1121:{\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}
287:{\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}
76:{\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }
1717:
1614:
1581:
1551:
1509:
1465:
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866:
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400:
302:
229:
167:
126:
93:
49:
1250:. In the case of the Fejer kernel this is known as
1776:
1703:
1600:
1563:
1534:
1495:
1451:
1415:
1389:
1351:
1312:
1242:
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1032:
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386:
286:
215:{\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}
214:
150:
112:
75:
1838:
1719:
1647:
1313:{\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}
1806:. American Mathematical Society. p. 90.
1759:
1736:
1217:{\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}
1804:Harmonic Analysis: From Fourier to Wavelets
1801:
689:, so that the condition 3 above should be
1815:
1730:
1486:
1380:
1303:
1207:
1136:
1111:
912:
890:
868:
759:
646:
621:
579:
563:
555:
371:
271:
236:
199:
174:
141:
69:
59:
51:
1496:{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}
904:; then (1) and (2) are integrated over
1839:
1802:Pereyra, María; Ward, Lesley (2012).
1459:is radially decreasing symmetric and
31:. Summability kernels are related to
1821:An introduction to Harmonic Analysis
1390:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}
151:{\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}
13:
1771:
1558:
1410:
1237:
1198:
1102:
795:
407:
14:
1863:
1573:Hardy–Littlewood maximal function
1002:
547:With the more usual convention
1823:, Cambridge University Press,
1795:
1698:
1692:
1676:
1668:
1660:
1652:
1640:
1634:
1595:
1582:
1555:
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1482:
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1203:
1173:
1115:
1107:
1088:
1075:
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1014:
955:{\displaystyle |t|>\delta }
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934:
792:
766:
755:
751:
745:
731:
718:
710:
643:
637:
540:, then the second requirement
523:
510:
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367:
363:
357:
343:
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315:
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263:
257:
243:
196:
190:
145:
137:
107:
94:
1:
1788:
1040:be a summability kernel, and
593:, the first equation becomes
38:
33:approximation of the identity
27:, are particularly useful in
1564:{\displaystyle n\to \infty }
1535:{\displaystyle k_{n}*f\to f}
1416:{\displaystyle n\to \infty }
1352:{\displaystyle k_{n}*f\to f}
1243:{\displaystyle n\to \infty }
1182:{\displaystyle k_{n}*f\to f}
1143:{\displaystyle \mathbb {T} }
919:{\displaystyle \mathbb {R} }
897:{\displaystyle \mathbb {T} }
875:{\displaystyle \mathbb {R} }
827:{\displaystyle \delta >0}
801:{\displaystyle n\to \infty }
439:{\displaystyle \delta >0}
413:{\displaystyle n\to \infty }
7:
965:
538:positive summability kernel
476:{\displaystyle k_{n}\geq 0}
10:
1868:
1128:(continuous functions on
1601:{\displaystyle (k_{n})}
1452:{\displaystyle (k_{n})}
1033:{\displaystyle (k_{n})}
529:{\displaystyle (k_{n})}
113:{\displaystyle (k_{n})}
1778:
1705:
1602:
1565:
1536:
1497:
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1417:
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956:
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898:
876:
860:One can also consider
851:
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663:
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152:
114:
77:
1847:Mathematical analysis
1779:
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1603:
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1537:
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1354:
1315:
1245:
1224:, i.e. uniformly, as
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542:follows automatically
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1817:Katznelson, Yitzhak
294:(uniformly bounded)
16:Family of functions
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981:(continuous index)
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110:
85:summability kernel
73:
21:summability kernel
19:In mathematics, a
1749:
1718:
1646:
1625:
1053:{\displaystyle *}
850:{\displaystyle n}
613:
496:{\displaystyle n}
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1618:
1607:
1605:
1604:
1599:
1594:
1593:
1571:. This uses the
1570:
1568:
1567:
1562:
1541:
1539:
1538:
1533:
1519:
1518:
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1500:
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1494:
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1480:
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1456:
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1201:
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1186:
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1180:
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1165:
1149:
1147:
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1127:
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1124:
1119:
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1057:
1056:
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1025:
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544:from the first.
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29:Fourier analysis
1867:
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926:, and (3) over
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