11157:
9866:
11152:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)-\left(\theta -{\overline {x}}\right)\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}(\theta -{\overline {x}})^{2}-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})\right)\right)\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}+n(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\right)&&\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})(\theta -{\overline {x}})=0\\&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}
8293:
18390:
7881:
13906:
7355:
18376:
8288:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \beta -\alpha }\right)\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta \}}=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \leq x_{i}\leq \beta ,\,\forall \,i=1,\ldots ,n\}}\\&=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}
11468:
5888:
18414:
18402:
13552:
8550:
7079:
14177:
5402:
12165:
11168:
5531:
12686:
13901:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)x_{i}^{\alpha -1}e^{(-1/\beta )x_{i}}\\&=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}
8304:
7350:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x_{1},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{1}\leq \theta \}}\cdots {\frac {1}{\theta }}\mathbf {1} _{\{0\leq x_{n}\leq \theta \}}\\&={\frac {1}{\theta ^{n}}}\mathbf {1} _{\{0\leq \min\{x_{i}\}\}}\mathbf {1} _{\{\max\{x_{i}\}\leq \theta \}}\end{aligned}}}
776:). A general proof of this was given by Halmos and Savage and the theorem is sometimes referred to as the HalmosâSavage factorization theorem. The proofs below handle special cases, but an alternative general proof along the same lines can be given. In many simple cases the probability density function is fully specified by
13917:
9380:
5083:
6191:
sufficient statistic is necessarily minimal sufficient(note that this statement does not exclude a pathological case in which a complete sufficient exists while there is no minimal sufficient statistic). While it is hard to find cases in which a minimal sufficient statistic does not exist, it is not
609:
is not sufficient for the mean: even if the median of the sample is known, knowing the sample itself would provide further information about the population mean. For example, if the observations that are less than the median are only slightly less, but observations exceeding the median exceed it by
12861:
4814:
11927:
11463:{\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})&=(2\pi \sigma ^{2})^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{1 \over 2\sigma ^{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)\\g_{\theta }(x_{1}^{n})&=\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right)\end{aligned}}}
5883:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X\mid t}(x)&={\frac {f_{\theta }(x,t)}{f_{\theta }(t)}}\\&={\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(t)}}\\&={\frac {a(x)b_{\theta }(t)}{\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t)}}\\&={\frac {a(x)}{\sum _{x:T(x)=t}a(x)}}.\end{aligned}}}
12475:
6156:
A case in which there is no minimal sufficient statistic was shown by
Bahadur, 1954. However, under mild conditions, a minimal sufficient statistic does always exist. In particular, in Euclidean space, these conditions always hold if the random variables (associated with
8545:{\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\quad g_{(\alpha ,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \beta -\alpha }\right)^{n}\mathbf {1} _{\{\alpha \,\leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\,\leq \,\beta \}}.\end{aligned}}}
14941:
An alternative formulation of the condition that a statistic be sufficient, set in a
Bayesian context, involves the posterior distributions obtained by using the full data-set and by using only a statistic. Thus the requirement is that, for almost every
9528:
14172:{\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})=\left({1 \over \Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }}\right)^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\alpha -1}e^{{-1 \over \beta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}
15176:
It turns out that this "Bayesian sufficiency" is a consequence of the formulation above, however they are not directly equivalent in the infinite-dimensional case. A range of theoretical results for sufficiency in a
Bayesian context is available.
3844:
3067:
8844:
8967:
7762:
6788:
11919:
5397:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(t)&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x,t)\\&=\sum _{x:T(x)=t}f_{\theta }(x)\\&=\sum _{x:T(x)=t}a(x)b_{\theta }(t)\\&=\left(\sum _{x:T(x)=t}a(x)\right)b_{\theta }(t).\end{aligned}}}
9209:
4378:
1532:
1322:
13435:
14471:
396:, the jointly sufficient statistic, from which maximum likelihood estimates of both parameters can be estimated, consists of two functions, the sum of all data points and the sum of all squared data points (or equivalently, the
14592:
12697:
9871:
6276:
4642:
15171:
11716:
9756:
12160:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})=(2\pi \sigma ^{2})^{-n/2}\exp \left(-{\frac {n-1}{2\sigma ^{2}}}s^{2}\right)\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}(\theta -{\overline {x}})^{2}\right).\end{aligned}}}
6606:
3479:
6936:
9198:
5893:
With the first equality by definition of conditional probability density, the second by the remark above, the third by the equality proven above, and the fourth by simplification. This expression does not depend on
5536:
5088:
1999:
4647:
298:
15036:
12681:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{1}^{n}}(x_{1}^{n})&=\prod _{i=1}^{n}{1 \over \theta }\,e^{{-1 \over \theta }x_{i}}={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}
583:
46:
in relation to a parametric model of the dataset. A sufficient statistic contains all of the information that the dataset provides about the model parameters. It is closely related to the concepts of an
13557:
11173:
7084:
6382:
6104:
4036:
2844:
2421:
14317:
13922:
12702:
12480:
11932:
8688:
8309:
7886:
747:
13157:
13080:
12390:
5075:
4887:
7873:
4599:
4218:
4150:
3138:
13544:
12467:
9858:
5002:
2298:
14715:
is there a sufficient statistic whose dimension remains bounded as sample size increases. Intuitively, this states that nonexponential families of distributions on the real line require
13269:
2578:
988:
380:
of unknown quantities or may represent everything about the model that is unknown or not fully specified. In such a case, the sufficient statistic may be a set of functions, called a
12214:
15332:
12973:
11580:
14892:
14629:
12253:
7478:
14777:
14255:
9391:
9001:
7796:
6128:
2347:
2142:
9601:
4944:
14921:
This theorem shows that the existence of a finite-dimensional, real-vector-valued sufficient statistics sharply restricts the possible forms of a family of distributions on the
13231:
12307:
4082:
3966:
3920:
3525:
3363:
2467:
14837:
13467:
8626:
4495:
7565:
371:
211:
172:
5474:
3533:
3250:
3204:
14221:
12905:
11760:
11512:
9655:
8594:
340:
117:
11810:
6182:
2507:
15235:
14349:
13005:
11612:
8720:
6320:
2922:
9782:
4453:
14804:
13290:
13177:
12925:
11780:
11532:
9625:
8725:
7621:
5912:
4401:
4238:
3270:
3158:
2911:
2864:
2750:
2730:
1692:
794:
318:
141:
13310:
8851:
7646:
7641:
6617:
4634:
2710:
858:
5408:
3874:
3297:
2891:
2169:
5523:
2237:
823:
11815:
9375:{\displaystyle {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{1}} \over x_{1}!}\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{2}} \over x_{2}!}\cdots {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{n}} \over x_{n}!}}
14912:
5932:
5494:
5429:
4535:
4515:
3317:
2770:
7601:
4246:
1333:
1123:
13319:
12856:{\displaystyle {\begin{aligned}h(x_{1}^{n})=1,\,\,\,g_{\theta }(x_{1}^{n})={1 \over \theta ^{n}}\,e^{{-1 \over \theta }\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.\end{aligned}}}
4809:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(x)&=f_{\theta }(x,t)\\&=f_{\theta }(x\mid t)f_{\theta }(t)\\&=f(x\mid t)f_{\theta }(t)\end{aligned}}}
14354:
14478:
6198:
15185:
A concept called "linear sufficiency" can be formulated in a
Bayesian context, and more generally. First define the best linear predictor of a vector
11620:
9663:
6480:
895:
An implication of the theorem is that when using likelihood-based inference, two sets of data yielding the same value for the sufficient statistic
15477:(December 1973). "Studies in the History of Probability and Statistics. XXXII: Laplace, Fisher and the Discovery of the Concept of Sufficiency".
3368:
17511:
6807:
9072:
887:) is a sufficient statistic. In particular we can multiply a sufficient statistic by a nonzero constant and get another sufficient statistic.
18016:
1700:
18166:
17790:
16431:
216:
14952:
17564:
15981:
15952:
15055:
515:
18003:
6325:
6046:
15665:
3971:
2775:
2352:
66:
but can be applied in some cases where there is no sufficient statistic, although it is restricted to linear estimators. The
17:
16426:
16126:
443:
17030:
16178:
14780:
14260:
9541:) is the reciprocal of the product of the factorials. Note the parameter Îť interacts with the data only through its sum
8631:
7420:
671:
120:
13087:
13010:
12320:
5010:
4822:
413:
of the data is conditionally independent of the parameter given the value of the sufficient statistic for the parameter
15905:"On conditional independence and the relationship between sufficiency and invariance under the Bayesian point of view"
17813:
17705:
16099:
16081:
15833:
15544:
7808:
7568:
7015:
4540:
4155:
4087:
3299:, a sufficient statistics by hypothesis. Now divide both members by the absolute value of the non-vanishing Jacobian
3075:
13479:
12402:
9793:
18418:
17991:
17865:
14711:
among families of probability distributions whose domain does not vary with the parameter being estimated, only in
4949:
2242:
18445:
18049:
17710:
17455:
16826:
16416:
13237:
2515:
1634:
14786:
random variables whose distribution is known to be in some family of probability distributions, parametrized by
18100:
17312:
17119:
17008:
16966:
15979:
Godambe, V. P. (1966). "A New
Approach to Sampling from Finite Populations. II Distribution-Free Sufficiency".
15371:
13911:
The joint density of the sample takes the form required by the FisherâNeyman factorization theorem, by letting
12691:
The joint density of the sample takes the form required by the FisherâNeyman factorization theorem, by letting
11162:
The joint density of the sample takes the form required by the FisherâNeyman factorization theorem, by letting
8298:
The joint density of the sample takes the form required by the FisherâNeyman factorization theorem, by letting
934:
410:
17040:
15355:
13546:. Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities, i.e.
12469:. Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities, i.e.
9860:. Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities, i.e.
7875:. Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities, i.e.
7488:
373:. Typically, the sufficient statistic is a simple function of the data, e.g. the sum of all the data points.
18343:
17302:
16205:
16065:
12173:
9523:{\displaystyle e^{-n\lambda }\lambda ^{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}}
67:
15251:
14693:), and then evaluate that conditional expected value to get an estimator that is in various senses optimal.
12930:
11537:
5411:, the second by the remark above, the third by hypothesis, and the fourth because the summation is not over
17894:
17843:
17828:
17818:
17687:
17559:
17526:
17352:
17307:
17137:
15950:
Goldstein, M.; O'Hagan, A. (1996). "Bayes Linear
Sufficiency and Systems of Expert Posterior Assessments".
14842:
14597:
13473:
12396:
12219:
9787:
7802:
7500:
7433:
7050:
991:
633:
16055:
14725:
14226:
8972:
7767:
6113:
2303:
2098:
18440:
18406:
18238:
18039:
17963:
17264:
17018:
16687:
16151:
16060:
9560:
7073:). Because the observations are independent, the pdf can be written as a product of individual densities
4892:
13190:
12266:
4041:
3925:
3879:
3484:
3322:
2426:
18123:
18095:
18090:
17838:
17597:
17503:
17483:
17391:
17102:
16920:
16403:
16275:
506:
14928:
When the parameters or the random variables are no longer real-valued, the situation is more complex.
14813:
13440:
8599:
4458:
3839:{\displaystyle {\frac {g\left}{|J^{*}|}}=g_{1}\left{\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}
17855:
17623:
17344:
17269:
17198:
17127:
17047:
17035:
16905:
16893:
16886:
16594:
16315:
15361:
15343:
14642:
7518:
6981:
6188:
345:
185:
146:
70:
deals with individual finite data; the related notion there is the algorithmic sufficient statistic.
5437:
18338:
18105:
17968:
17653:
17618:
17582:
17367:
16809:
16718:
16677:
16589:
16280:
16119:
14716:
12310:
3209:
3163:
15408:
14185:
12869:
11724:
11476:
9630:
8558:
3062:{\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )=g_{1}(y_{1};\theta )h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1}),}
323:
100:
18247:
17860:
17800:
17737:
17375:
17359:
17097:
16959:
16949:
16799:
16713:
15821:
14658:
11788:
6160:
4411:
A simpler more illustrative proof is as follows, although it applies only in the discrete case.
2472:
174:
whose value contains all the information needed to compute any estimate of the parameter (e.g. a
15817:
15196:
8839:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right),}
18450:
18285:
18215:
18008:
17945:
17700:
17587:
16584:
16481:
16388:
16267:
16166:
14322:
12978:
11585:
8962:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}
8693:
7757:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)}
6783:{\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}}
6281:
82:
9764:
4417:
605:
can be obtained from the sample itself. On the other hand, for an arbitrary distribution the
18310:
18252:
18195:
18021:
17914:
17823:
17549:
17433:
17292:
17284:
17174:
17166:
16981:
16877:
16855:
16814:
16779:
16746:
16692:
16667:
16622:
16561:
16521:
16323:
16146:
15366:
14789:
13275:
13162:
12910:
11765:
11517:
9610:
7606:
5897:
4386:
4223:
3255:
3143:
2896:
2849:
2735:
2715:
1639:
779:
610:
a large amount, then this would have a bearing on one's inference about the population mean.
385:
303:
126:
13295:
7626:
4604:
2583:
828:
18233:
17808:
17757:
17733:
17695:
17613:
17592:
17544:
17423:
17401:
17370:
17279:
17156:
17107:
17025:
16998:
16954:
16672:
16448:
16328:
15928:
15904:
15881:
15858:
15744:
15506:
15420:
11914:{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}
9028:
7484:
3852:
3275:
2869:
2147:
15936:
15889:
15452:
7375:. Thus the density takes form required by the FisherâNeyman factorization theorem, where
5946:
if it can be represented as a function of any other sufficient statistic. In other words,
5499:
2174:
799:
300:. From this factorization, it can easily be seen that the maximum likelihood estimate of
8:
18380:
18305:
18228:
17909:
17673:
17666:
17628:
17536:
17516:
17488:
17221:
17087:
17082:
17072:
17064:
16882:
16843:
16733:
16723:
16632:
16411:
16367:
16285:
16210:
16112:
15376:
9604:
6993:
6187:
If there exists a minimal sufficient statistic, and this is usually the case, then every
598:
48:
43:
15748:
15424:
4373:{\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}{|J^{*}|}}}
18394:
18205:
18059:
17955:
17904:
17780:
17677:
17661:
17638:
17415:
17149:
17132:
17092:
17003:
16898:
16860:
16831:
16791:
16751:
16697:
16614:
16300:
16295:
15990:
15961:
15609:
15494:
15456:
14897:
14712:
14702:
13313:
13234:
7372:
5917:
5479:
5414:
4520:
4500:
3302:
2755:
1527:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\leftH(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}
1317:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f(x_{i};\theta )=g_{1}\leftH(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}
486:
384:. Typically, there are as many functions as there are parameters. For example, for a
175:
52:
15920:
14685:, and is never worse. Sometimes one can very easily construct a very crude estimator
13430:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}{X_{i}},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}
7574:
18389:
18300:
18270:
18262:
18082:
18073:
17998:
17929:
17785:
17770:
17745:
17633:
17574:
17440:
17428:
17054:
16971:
16915:
16838:
16682:
16604:
16383:
16257:
16095:
16077:
15829:
15799:
15760:
15661:
15591:
15550:
15540:
15349:
14466:{\displaystyle T(x_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i},\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right),}
15779:
15041:
More generally, without assuming a parametric model, we can say that the statistics
14587:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}X_{i},\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}
18325:
18280:
18044:
18031:
17924:
17899:
17833:
17765:
17643:
17251:
17144:
17077:
16990:
16937:
16756:
16627:
16421:
16305:
16220:
16187:
16031:
16021:
15932:
15916:
15885:
15867:
15795:
15791:
15752:
15638:
15581:
15486:
15448:
15438:
15428:
6271:{\displaystyle \left\{{\frac {L(X\mid \theta _{i})}{L(X\mid \theta _{0})}}\right\}}
4819:
with the last equality being true by the definition of sufficient statistics. Thus
377:
55:
which only contains information about the parameters and no ancillary information.
15569:
85:
because of the strong dependence on an assumption of the distributional form (see
18242:
17986:
17848:
17775:
17450:
17324:
17297:
17274:
17243:
16870:
16865:
16819:
16549:
16200:
15924:
15877:
15849:
15570:"Application of the Radon-Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics"
15502:
15474:
6414:
601:
with known variance. Once the sample mean is known, no further information about
401:
78:
17732:
15642:
11711:{\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i},}
18191:
18186:
16649:
16579:
16225:
16036:
15539:. Joy A. Thomas (2nd ed.). Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience. p. 36.
9751:{\displaystyle T(X_{1}^{n})={\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
7043:
654:
15732:
15586:
15490:
6601:{\displaystyle \Pr\{X=x\}=\Pr\{X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\}.}
18434:
18348:
18315:
18178:
18139:
17950:
17919:
17383:
17337:
16942:
16644:
16471:
16235:
16230:
16026:
16009:
15872:
15853:
15803:
15764:
15756:
15595:
15404:
14806:, satisfying certain technical regularity conditions, then that family is an
2752:
was not introduced in the transformation and accordingly not in the
Jacobian
619:
74:
15554:
18290:
18223:
18200:
18115:
17445:
16741:
16639:
16574:
16516:
16501:
16438:
16393:
15433:
15358:: a complete sufficient estimator is the best estimator of its expectation
6019:
A useful characterization of minimal sufficiency is that when the density
3474:{\displaystyle u_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,u_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}
18333:
18295:
17978:
17879:
17741:
17554:
17521:
17013:
16930:
16925:
16569:
16526:
16506:
16486:
16476:
16245:
6931:{\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}}
4414:
We use the shorthand notation to denote the joint probability density of
752:
i.e., the density Ć can be factored into a product such that one factor,
397:
81:
noted in 1973 that the concept of sufficiency had fallen out of favor in
9193:{\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).}
17179:
16659:
16359:
16290:
16240:
16215:
16135:
15994:
15965:
15498:
6980:
As a concrete application, this gives a procedure for distinguishing a
6322:, is a minimal sufficient statistic if the parameter space is discrete
31:
15443:
17332:
17184:
16804:
16599:
16511:
16496:
16491:
16456:
15681:
15460:
12170:
The FisherâNeyman factorization theorem still holds and implies that
1994:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}f\left=|J|g_{1}(y_{1};\theta )H\left.}
39:
16848:
16466:
16343:
16338:
16333:
15633:
Taraldsen, G. (2022). "The
Factorization Theorem for Sufficiency".
14678:
393:
51:
which contains no information about the model parameters, and of a
907:. By the factorization criterion, the likelihood's dependence on
415:. Both the statistic and the underlying parameter can be vectors.
18353:
18054:
15780:"Sufficiency and Exponential Families for Discrete Sample Spaces"
9533:
which shows that the factorization criterion is satisfied, where
9203:
Because the observations are independent, this can be written as
6611:
Because the observations are independent, this can be written as
293:{\displaystyle f_{\mathbf {X} }(x;\theta )=h(x)\,g(\theta ,T(x))}
15031:{\displaystyle \Pr(\theta \mid X=x)=\Pr(\theta \mid T(X)=t(x)).}
6474:
This is seen by considering the joint probability distribution:
18275:
17256:
17230:
17210:
16461:
16252:
15352:
on independence of complete sufficient and ancillary statistics
6192:
so hard to find cases in which there is no complete statistic.
606:
16104:
7510:
15731:
Tikochinsky, Y.; Tishby, N. Z.; Levine, R. D. (1984-11-01).
15166:{\displaystyle \Pr(X'=x'\mid X=x)=\Pr(X'=x'\mid T(X)=t(x)).}
578:{\displaystyle I{\bigl (}\theta ;T(X){\bigr )}=I(\theta ;X)}
16195:
15409:"On the mathematical foundations of theoretical statistics"
923:
will be the same as well, leading to identical inferences.
593:
As an example, the sample mean is sufficient for the mean (
389:
9066:
To see this, consider the joint probability distribution:
6377:{\displaystyle \left\{\theta _{0},...,\theta _{k}\right\}}
990:, denote a random sample from a distribution having the
919:). As this is the same in both cases, the dependence on
89:
below), but remained very important in theoretical work.
6150:
6099:{\displaystyle {\frac {f_{\theta }(x)}{f_{\theta }(y)}}}
376:
More generally, the "unknown parameter" may represent a
179:
15730:
15519:
7397:, and the rest of the expression is a function of only
4031:{\displaystyle f(x_{1};\theta )\cdots f(x_{n};\theta )}
2839:{\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}
2416:{\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1};\theta )}
15695:
Dodge (2003) â entry for minimal sufficient statistics
7483:
This is the sample maximum, scaled to correct for the
7046:
is a sufficient statistic for the population maximum.
6012:
captures all possible information about the parameter
5525:. Then we can derive an explicit expression for this:
890:
613:
15610:"Factorization theorem - Encyclopedia of Mathematics"
15254:
15199:
15058:
14955:
14900:
14845:
14816:
14792:
14728:
14600:
14481:
14357:
14325:
14263:
14229:
14188:
13920:
13555:
13482:
13443:
13322:
13298:
13278:
13240:
13193:
13165:
13090:
13013:
12981:
12933:
12913:
12872:
12700:
12478:
12405:
12323:
12269:
12222:
12176:
11930:
11818:
11791:
11768:
11727:
11623:
11588:
11540:
11520:
11479:
11171:
9869:
9796:
9767:
9666:
9633:
9613:
9563:
9394:
9212:
9075:
8975:
8854:
8728:
8696:
8634:
8602:
8561:
8307:
7884:
7811:
7770:
7649:
7629:
7609:
7577:
7521:
7436:
7082:
6810:
6620:
6483:
6328:
6284:
6201:
6163:
6116:
6049:
5920:
5900:
5534:
5502:
5482:
5440:
5417:
5086:
5013:
4952:
4895:
4825:
4645:
4607:
4543:
4523:
4503:
4461:
4420:
4389:
4249:
4226:
4158:
4090:
4044:
3974:
3928:
3882:
3855:
3536:
3487:
3371:
3325:
3305:
3278:
3258:
3212:
3166:
3146:
3078:
2925:
2899:
2872:
2852:
2778:
2758:
2738:
2718:
2586:
2518:
2475:
2429:
2355:
2306:
2245:
2177:
2150:
2101:
1703:
1642:
1336:
1126:
937:
831:
802:
782:
674:
518:
348:
326:
306:
219:
188:
149:
129:
103:
18017:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
15949:
15848:
3968:. The left-hand member is necessarily the joint pdf
15733:"Alternative approach to maximum-entropy inference"
15655:
14312:{\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}
8683:{\displaystyle g_{(\alpha \,,\,\beta )}(x_{1}^{n})}
742:{\displaystyle f(x;\theta )=h(x)\,g(\theta ,T(x)),}
17479:
16071:
16010:"The linear Markov property in credibility theory"
15854:"A Bayes but not classically sufficient statistic"
15326:
15229:
15165:
15030:
14906:
14886:
14831:
14798:
14771:
14623:
14586:
14465:
14343:
14311:
14249:
14215:
14171:
13900:
13538:
13461:
13429:
13304:
13284:
13263:
13225:
13171:
13151:
13074:
12999:
12967:
12919:
12899:
12855:
12680:
12461:
12384:
12317:(an unknown real-valued positive parameter), then
12301:
12247:
12208:
12159:
11913:
11804:
11774:
11754:
11710:
11606:
11574:
11526:
11506:
11462:
11151:
9852:
9776:
9750:
9649:
9619:
9595:
9522:
9374:
9192:
8995:
8961:
8838:
8714:
8682:
8620:
8588:
8544:
8287:
7867:
7790:
7756:
7635:
7615:
7595:
7559:
7472:
7349:
6941:which satisfies the factorization criterion, with
6930:
6782:
6600:
6376:
6314:
6270:
6176:
6122:
6098:
5926:
5906:
5882:
5517:
5488:
5468:
5423:
5396:
5069:
4996:
4938:
4881:
4808:
4628:
4593:
4529:
4509:
4489:
4447:
4395:
4372:
4232:
4212:
4144:
4076:
4030:
3960:
3914:
3868:
3838:
3519:
3473:
3357:
3311:
3291:
3264:
3244:
3198:
3152:
3132:
3061:
2905:
2885:
2858:
2838:
2764:
2744:
2724:
2704:
2572:
2501:
2461:
2415:
2341:
2292:
2231:
2163:
2136:
1993:
1686:
1526:
1316:
982:
852:
817:
788:
741:
577:
365:
334:
312:
292:
205:
166:
135:
111:
15902:
15413:Philosophical Transactions of the Royal Society A
13152:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
13075:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
12385:{\displaystyle T(X_{1}^{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
5070:{\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}
4882:{\displaystyle f_{\theta }(x)=a(x)b_{\theta }(t)}
18432:
15102:
15059:
14983:
14956:
14475:the FisherâNeyman factorization theorem implies
13084:the FisherâNeyman factorization theorem implies
11721:the FisherâNeyman factorization theorem implies
9076:
8923:
8888:
8848:the FisherâNeyman factorization theorem implies
8797:
8762:
8491:
8444:
8234:
8187:
7718:
7683:
7313:
7279:
6952:Note the crucial feature: the unknown parameter
6505:
6484:
17565:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
15784:Journal of the American Statistical Association
15394:Dodge, Y. (2003) â entry for linear sufficiency
7868:{\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\ldots ,X_{n})}
4594:{\displaystyle f_{\theta }(x,t)=f_{\theta }(x)}
4213:{\displaystyle h(u_{2},\dots ,u_{n}\mid u_{1})}
4145:{\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}
3133:{\displaystyle h(y_{2},\dots ,y_{n}\mid y_{1})}
15903:Nogales, A.G.; Oyola, J.A.; Perez, P. (2000).
14719:to fully capture the information in the data.
13539:{\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}
13437:is a two-dimensional sufficient statistic for
12462:{\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}
9853:{\displaystyle X_{1}^{n}=(X_{1},\dots ,X_{n})}
7764:is a two-dimensional sufficient statistic for
5980:) is sufficient, then there exists a function
5476:denote the conditional probability density of
903:) will always yield the same inferences about
469:Alternatively, one can say the statistic
178:estimate). Due to the factorization theorem (
16120:
15816:
14931:
4997:{\displaystyle b_{\theta }(t)=f_{\theta }(t)}
2293:{\displaystyle g(y_{1},\dots ,y_{n};\theta )}
549:
524:
15778:Andersen, Erling Bernhard (September 1970).
15567:
15513:
14677:) is a better (in the sense of having lower
11921:, the above likelihood can be rewritten as
8530:
8487:
8475:
8432:
8273:
8230:
8218:
8175:
8120:
8066:
8018:
7993:
7338:
7329:
7316:
7310:
7298:
7295:
7282:
7270:
7231:
7206:
7181:
7156:
6592:
6508:
6499:
6487:
6008:Intuitively, a minimal sufficient statistic
213:, the probability density can be written as
15467:
13264:{\displaystyle \Gamma (\alpha \,,\,\beta )}
12258:
2573:{\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
760:and the other factor, which does depend on
16165:
16127:
16113:
16092:The Oxford Dictionary of Statistical Terms
15520:Casella, George; Berger, Roger L. (2002).
15397:
7511:Uniform distribution (with two parameters)
6184:) are all discrete or are all continuous.
418:
16778:
16035:
16025:
15871:
15682:"The FisherâNeyman Factorization Theorem"
15656:Hogg, Robert V.; Craig, Allen T. (1995).
15632:
15585:
15442:
15432:
14819:
14611:
14607:
14279:
14275:
14240:
14236:
13976:
13972:
13960:
13959:
13958:
13254:
13250:
12792:
12740:
12739:
12738:
12617:
12564:
8986:
8982:
8650:
8646:
8526:
8522:
8442:
8438:
8269:
8265:
8185:
8181:
8098:
8094:
7781:
7777:
6392:
983:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
708:
262:
123:data conditioned on an unknown parameter
15982:Journal of the Royal Statistical Society
15953:Journal of the Royal Statistical Society
15777:
15649:
14633:
9627:(a parameter) and known finite variance
5409:definition of pdf for multiple variables
4383:is a function that does not depend upon
16053:
16007:
15978:
15658:Introduction to Mathematical Statistics
15473:
14936:
12209:{\displaystyle ({\overline {x}},s^{2})}
9006:
6987:
6949:) = 1 being just a constant.
143:, a sufficient statistic is a function
86:
14:
18433:
18091:KaplanâMeier estimator (product limit)
15403:
15327:{\displaystyle {\hat {E}}={\hat {E}}.}
12968:{\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}
11575:{\displaystyle g_{\theta }(x_{1}^{n})}
9552:
5937:
2004:The left-hand member is the joint pdf
497:equals the mutual information between
18164:
17731:
17478:
16777:
16547:
16164:
16108:
16076:(2nd ed.). Springer. Chapter 4.
15574:The Annals of Mathematical Statistics
15568:Halmos, P. R.; Savage, L. J. (1949).
15534:
15180:
14914:does not increase as the sample size
14887:{\displaystyle T(X_{1},\dots ,X_{n})}
14696:
14624:{\displaystyle (\alpha \,,\,\beta ).}
13233:are independent and distributed as a
13182:
12248:{\displaystyle (\theta ,\sigma ^{2})}
7473:{\displaystyle {\frac {n+1}{n}}T(X).}
6417:random variables with expected value
2349:; that is, it is the conditional pdf
462:), does not depend on the parameter
18401:
18101:Accelerated failure time (AFT) model
16072:Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998).
15909:Statistics & Probability Letters
14772:{\displaystyle X_{n},n=1,2,3,\dots }
14250:{\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}
12216:is a joint sufficient statistic for
8996:{\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}
7791:{\displaystyle (\alpha \,,\,\beta )}
6195:The collection of likelihood ratios
6123:{\displaystyle \Longleftrightarrow }
2342:{\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}
2137:{\displaystyle g_{1}(y_{1};\theta )}
444:conditional probability distribution
437:sufficient for underlying parameter
18413:
17696:Analysis of variance (ANOVA, anova)
16548:
14781:independent identically distributed
9596:{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
9059:is a sufficient statistic for
7421:minimum-variance unbiased estimator
6149:This follows as a consequence from
4939:{\displaystyle a(x)=f_{X\mid t}(x)}
891:Likelihood principle interpretation
632:of a sufficient statistic. If the
614:FisherâNeyman factorization theorem
481:if, for all prior distributions on
121:independent identically distributed
24:
17791:CochranâMantelâHaenszel statistics
16417:Pearson product-moment correlation
14894:whose number of scalar components
14641:finds a useful application in the
14020:
13749:
13641:
13241:
13226:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
12302:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
8095:
6471:is the total number of successes)
4077:{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
3961:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
3915:{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}
3520:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
3358:{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}
3259:
2916:The converse is proven by taking:
2462:{\displaystyle Y_{2},\dots ,Y_{n}}
1113:if and only if, for some function
25:
18462:
15686:. Webpage at Connexions (cnx.org)
14810:family if and only if there is a
14223:does not depend on the parameter
12907:does not depend on the parameter
12392:is a sufficient statistic for θ.
11514:does not depend on the parameter
8596:does not depend on the parameter
6458: = 1 and 'failure' to
3922:replaced by their value in terms
1537:We shall make the transformation
1072:). What we want to prove is that
18412:
18400:
18388:
18375:
18374:
18165:
15721:, 2nd Edition, Springer, page 42
14832:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
13472:To see this, consider the joint
13462:{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
12395:To see this, consider the joint
9786:To see this, consider the joint
8621:{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
8482:
8427:
8225:
8170:
8061:
7988:
7801:To see this, consider the joint
7305:
7265:
7201:
7151:
7049:To see this, consider the joint
4490:{\displaystyle f_{\theta }(x,t)}
4406:
1109:) is a sufficient statistic for
879:is a sufficient statistic, then
356:
328:
226:
196:
157:
105:
18050:Least-squares spectral analysis
16001:
15972:
15943:
15896:
15842:
15810:
15771:
15724:
15711:
15698:
15689:
15674:
14709:PitmanâKoopmanâDarmois theorem,
8345:
7560:{\displaystyle X_{1},...,X_{n}}
6449:(here 'success' corresponds to
5407:With the first equality by the
4636:and zero otherwise. Therefore:
2893:is a sufficient statistics for
2712:, was given not to depend upon
1629: = 1, ...,
1580: = 1, ...,
875:) is a one-to-one function and
366:{\displaystyle T(\mathbf {X} )}
206:{\displaystyle T(\mathbf {X} )}
167:{\displaystyle T(\mathbf {X} )}
17031:Mean-unbiased minimum-variance
16134:
15796:10.1080/01621459.1970.10481160
15626:
15602:
15561:
15537:Elements of Information Theory
15528:
15388:
15372:Sufficient dimension reduction
15318:
15315:
15309:
15297:
15291:
15279:
15267:
15261:
15224:
15212:
15206:
15157:
15154:
15148:
15139:
15133:
15105:
15096:
15062:
15022:
15019:
15013:
15004:
14998:
14986:
14977:
14959:
14881:
14849:
14653:) is any kind of estimator of
14615:
14601:
14594:is a sufficient statistic for
14503:
14485:
14379:
14361:
14306:
14288:
14283:
14269:
14244:
14230:
14210:
14192:
14029:
14023:
14003:
13985:
13980:
13966:
13946:
13928:
13758:
13752:
13713:
13696:
13650:
13644:
13600:
13582:
13533:
13501:
13456:
13444:
13344:
13326:
13258:
13244:
13159:is a sufficient statistic for
13112:
13094:
13035:
13017:
12962:
12944:
12894:
12876:
12769:
12751:
12726:
12708:
12523:
12505:
12456:
12424:
12345:
12327:
12242:
12223:
12203:
12177:
12136:
12116:
12001:
11981:
11975:
11957:
11762:is a sufficient statistic for
11749:
11731:
11645:
11627:
11569:
11551:
11501:
11483:
11442:
11422:
11376:
11358:
11330:
11303:
11227:
11207:
11197:
11179:
11131:
11111:
11061:
11034:
10958:
10938:
10919:
10900:
10897:
10871:
10826:
10806:
10791:
10764:
10683:
10663:
10640:
10621:
10618:
10592:
10556:
10536:
10503:
10476:
10395:
10375:
10208:
10188:
10146:
10126:
10069:
10049:
10007:
9987:
9914:
9896:
9847:
9815:
9761:is a sufficient statistic for
9688:
9670:
9461:
9416:
9184:
9100:
9091:
9079:
8990:
8976:
8969:is a sufficient statistic for
8876:
8858:
8750:
8732:
8677:
8659:
8654:
8640:
8615:
8603:
8583:
8565:
8386:
8368:
8363:
8351:
8333:
8315:
7929:
7911:
7862:
7830:
7785:
7771:
7671:
7653:
7643:are unknown parameters), then
7590:
7578:
7464:
7458:
7129:
7097:
6923:
6917:
6904:
6891:
6886:
6880:
6844:
6831:
6758:
6745:
6703:
6690:
6651:
6638:
6445:is a sufficient statistic for
6258:
6239:
6231:
6212:
6151:Fisher's factorization theorem
6117:
6090:
6084:
6069:
6063:
5867:
5861:
5847:
5841:
5822:
5816:
5794:
5788:
5770:
5764:
5750:
5744:
5720:
5714:
5701:
5695:
5673:
5667:
5652:
5646:
5617:
5611:
5596:
5584:
5561:
5555:
5512:
5506:
5469:{\displaystyle f_{X\mid t}(x)}
5463:
5457:
5384:
5378:
5360:
5354:
5340:
5334:
5302:
5296:
5283:
5277:
5263:
5257:
5230:
5224:
5203:
5197:
5170:
5158:
5137:
5131:
5107:
5101:
5064:
5058:
5045:
5039:
5030:
5024:
4991:
4985:
4969:
4963:
4933:
4927:
4905:
4899:
4876:
4870:
4857:
4851:
4842:
4836:
4799:
4793:
4780:
4768:
4752:
4746:
4733:
4721:
4698:
4686:
4666:
4660:
4623:
4617:
4588:
4582:
4566:
4554:
4484:
4472:
4442:
4439:
4433:
4421:
4363:
4348:
4342:
4297:
4285:
4253:
4207:
4162:
4139:
4094:
4025:
4006:
3997:
3978:
3829:
3814:
3808:
3763:
3743:
3711:
3676:
3661:
3644:
3612:
3590:
3558:
3468:
3436:
3414:
3382:
3127:
3082:
3053:
3008:
3002:
2983:
2967:
2929:
2833:
2782:
2694:
2691:
2659:
2637:
2605:
2567:
2522:
2410:
2359:
2336:
2317:
2287:
2249:
2225:
2217:
2213:
2181:
2131:
2112:
2095:). In the right-hand member,
1980:
1935:
1913:
1868:
1847:
1828:
1814:
1806:
1788:
1743:
1518:
1473:
1456:
1411:
1380:
1361:
1308:
1263:
1246:
1201:
1170:
1151:
1054:) be a statistic whose pdf is
841:
835:
812:
806:
733:
730:
724:
712:
705:
699:
690:
678:
572:
560:
544:
538:
411:joint probability distribution
360:
352:
287:
284:
278:
266:
259:
253:
244:
232:
200:
192:
182:), for a sufficient statistic
161:
153:
87:PitmanâKoopmanâDarmois theorem
13:
1:
18344:Geographic information system
17560:Simultaneous equations models
16047:
15921:10.1016/S0167-7152(99)00089-9
15852:; Ramamoorthi, R. V. (1982).
15708:, 2nd Edition, Springer, p 37
15522:Statistical Inference, 2nd ed
14839:-valued sufficient statistic
14669:) given sufficient statistic
9050: + ... +
6436: + ... +
3245:{\displaystyle X_{1}...X_{n}}
3199:{\displaystyle Y_{2}...Y_{n}}
861:
92:
68:Kolmogorov structure function
58:A related concept is that of
17527:Coefficient of determination
17138:Uniformly most powerful test
15717:Lehmann and Casella (1998),
15704:Lehmann and Casella (1998),
14216:{\displaystyle h(x_{1}^{n})}
13474:probability density function
13312:are unknown parameters of a
12900:{\displaystyle h(x_{1}^{n})}
12397:probability density function
12185:
12130:
11895:
11755:{\displaystyle T(X_{1}^{n})}
11656:
11507:{\displaystyle h(x_{1}^{n})}
11436:
11324:
11125:
11055:
10914:
10892:
10820:
10785:
10635:
10613:
10550:
10497:
10322:
10293:
9788:probability density function
9699:
9650:{\displaystyle \sigma ^{2},}
8589:{\displaystyle h(x_{1}^{n})}
7803:probability density function
7501:maximum likelihood estimator
7051:probability density function
7042:) is sufficient for θ â the
6982:fair coin from a biased coin
911:is only in conjunction with
634:probability density function
382:jointly sufficient statistic
335:{\displaystyle \mathbf {X} }
112:{\displaystyle \mathbf {X} }
7:
18096:Proportional hazards models
18040:Spectral density estimation
18022:Vector autoregression (VAR)
17456:Maximum posterior estimator
16688:Randomized controlled trial
16061:Encyclopedia of Mathematics
15643:10.13140/RG.2.2.15068.87687
15337:
11805:{\displaystyle \sigma ^{2}}
9027:are independent and have a
6387:
6177:{\displaystyle P_{\theta }}
5934:is a sufficient statistic.
3252:, which are independent on
2502:{\displaystyle Y_{1}=y_{1}}
1584:, having inverse functions
931:Due to Hogg and Craig. Let
10:
18467:
17856:Multivariate distributions
16276:Average absolute deviation
16074:Theory of Point Estimation
15719:Theory of Point Estimation
15706:Theory of Point Estimation
15245:) is linear sufficient if
15237:. Then a linear statistic
15230:{\displaystyle {\hat {E}}}
14932:Other types of sufficiency
14700:
7491:. Unscaled sample maximum
6991:
6793:and, collecting powers of
5942:A sufficient statistic is
867:It is easy to see that if
588:
507:data processing inequality
18370:
18324:
18261:
18214:
18177:
18173:
18160:
18132:
18114:
18081:
18072:
18030:
17977:
17938:
17887:
17878:
17844:Structural equation model
17799:
17756:
17752:
17727:
17686:
17652:
17606:
17573:
17535:
17502:
17498:
17474:
17414:
17323:
17242:
17206:
17197:
17180:Score/Lagrange multiplier
17165:
17118:
17063:
16989:
16980:
16790:
16786:
16773:
16732:
16706:
16658:
16613:
16595:Sample size determination
16560:
16556:
16543:
16447:
16402:
16376:
16358:
16314:
16266:
16186:
16177:
16173:
16160:
16142:
15824:(1994). "Section 5.1.4".
15535:Cover, Thomas M. (2006).
14344:{\displaystyle x_{1}^{n}}
13000:{\displaystyle x_{1}^{n}}
12311:exponentially distributed
11607:{\displaystyle x_{1}^{n}}
8715:{\displaystyle x_{1}^{n}}
6315:{\displaystyle i=1,...,k}
18339:Environmental statistics
17861:Elliptical distributions
17654:Generalized linear model
17583:Simple linear regression
17353:HodgesâLehmann estimator
16810:Probability distribution
16719:Stochastic approximation
16281:Coefficient of variation
16027:10.2143/ast.17.1.2014984
15757:10.1103/physreva.30.2638
15382:
14717:nonparametric statistics
14645:, which states that if
12259:Exponential distribution
9777:{\displaystyle \theta .}
9385:which may be written as
6956:interacts with the data
4448:{\displaystyle (X,T(X))}
926:
17999:Cross-correlation (XCF)
17607:Non-standard predictors
17041:LehmannâScheffĂŠ theorem
16714:Adaptive clinical trial
16054:Kholevo, A.S. (2001) ,
15587:10.1214/aoms/1177730032
15491:10.1093/biomet/60.3.439
15356:LehmannâScheffĂŠ theorem
14799:{\displaystyle \theta }
14659:conditional expectation
13285:{\displaystyle \alpha }
13172:{\displaystyle \theta }
12920:{\displaystyle \theta }
11775:{\displaystyle \theta }
11527:{\displaystyle \theta }
9620:{\displaystyle \theta }
7616:{\displaystyle \alpha }
7489:LehmannâScheffĂŠ theorem
7018:on the interval , then
6960:only via the statistic
5907:{\displaystyle \theta }
4396:{\displaystyle \theta }
4233:{\displaystyle \theta }
4220:, does not depend upon
3265:{\displaystyle \Theta }
3153:{\displaystyle \theta }
2906:{\displaystyle \theta }
2859:{\displaystyle \theta }
2745:{\displaystyle \theta }
2725:{\displaystyle \theta }
1687:{\displaystyle J=\left}
789:{\displaystyle \theta }
665:can be found such that
626:factorization criterion
419:Mathematical definition
313:{\displaystyle \theta }
136:{\displaystyle \theta }
62:, which is weaker than
18446:Statistical principles
18395:Mathematics portal
18216:Engineering statistics
18124:NelsonâAalen estimator
17701:Analysis of covariance
17588:Ordinary least squares
17512:Pearson product-moment
16916:Statistical functional
16827:Empirical distribution
16660:Controlled experiments
16389:Frequency distribution
16167:Descriptive statistics
16056:"Sufficient statistic"
15873:10.1214/aos/1176345895
15614:encyclopediaofmath.org
15434:10.1098/rsta.1922.0009
15328:
15231:
15167:
15032:
14908:
14888:
14833:
14800:
14773:
14722:Less tersely, suppose
14625:
14588:
14568:
14534:
14467:
14444:
14410:
14345:
14313:
14251:
14217:
14173:
14149:
14081:
13902:
13878:
13810:
13630:
13540:
13463:
13431:
13411:
13375:
13306:
13305:{\displaystyle \beta }
13286:
13265:
13227:
13173:
13153:
13138:
13076:
13061:
13001:
12969:
12921:
12901:
12857:
12833:
12682:
12658:
12553:
12463:
12386:
12371:
12303:
12249:
12210:
12161:
11915:
11870:
11806:
11776:
11756:
11712:
11694:
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11576:
11528:
11508:
11464:
11302:
11153:
11033:
10870:
10763:
10591:
10535:
10475:
10261:
10122:
9944:
9854:
9778:
9752:
9737:
9651:
9621:
9597:
9524:
9376:
9194:
8997:
8963:
8840:
8716:
8684:
8622:
8590:
8546:
8289:
7959:
7869:
7792:
7758:
7637:
7636:{\displaystyle \beta }
7617:
7597:
7561:
7474:
7351:
6932:
6784:
6602:
6393:Bernoulli distribution
6378:
6316:
6272:
6178:
6124:
6100:
5928:
5908:
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5470:
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5398:
5071:
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4940:
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4810:
4630:
4629:{\displaystyle t=T(x)}
4595:
4531:
4511:
4491:
4449:
4397:
4374:
4234:
4214:
4146:
4078:
4032:
3962:
3916:
3870:
3840:
3521:
3475:
3359:
3313:
3293:
3266:
3246:
3200:
3154:
3134:
3063:
2907:
2887:
2860:
2840:
2766:
2746:
2726:
2706:
2705:{\displaystyle H\left}
2574:
2503:
2463:
2417:
2343:
2294:
2233:
2165:
2138:
1995:
1724:
1688:
1528:
1357:
1318:
1147:
984:
854:
853:{\displaystyle h(x)=1}
819:
790:
743:
657:nonnegative functions
628:provides a convenient
579:
505:. In other words, the
450:, given the statistic
367:
336:
314:
294:
207:
168:
137:
113:
83:descriptive statistics
73:The concept is due to
18311:Population statistics
18253:System identification
17987:Autocorrelation (ACF)
17915:Exponential smoothing
17829:Discriminant analysis
17824:Canonical correlation
17688:Partition of variance
17550:Regression validation
17394:(JonckheereâTerpstra)
17293:Likelihood-ratio test
16982:Frequentist inference
16894:Locationâscale family
16815:Sampling distribution
16780:Statistical inference
16747:Cross-sectional study
16734:Observational studies
16693:Randomized experiment
16522:Stem-and-leaf display
16324:Central limit theorem
15362:RaoâBlackwell theorem
15329:
15232:
15168:
15047:predictive sufficient
15033:
14909:
14889:
14834:
14801:
14774:
14657:, then typically the
14643:RaoâBlackwell theorem
14634:RaoâBlackwell theorem
14626:
14589:
14548:
14514:
14468:
14424:
14390:
14351:through the function
14346:
14314:
14252:
14218:
14174:
14129:
14061:
13903:
13858:
13790:
13610:
13541:
13464:
13432:
13391:
13355:
13307:
13287:
13266:
13228:
13174:
13154:
13118:
13077:
13041:
13007:through the function
13002:
12970:
12922:
12902:
12858:
12813:
12683:
12638:
12533:
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12387:
12351:
12304:
12250:
12211:
12162:
11916:
11850:
11812:is unknown and since
11807:
11777:
11757:
11713:
11674:
11614:through the function
11609:
11577:
11529:
11509:
11465:
11282:
11154:
11013:
10850:
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10571:
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10241:
10102:
9924:
9855:
9779:
9753:
9717:
9652:
9622:
9598:
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9377:
9195:
8998:
8964:
8841:
8722:through the function
8717:
8685:
8623:
8591:
8547:
8290:
7939:
7870:
7793:
7759:
7638:
7618:
7598:
7569:uniformly distributed
7562:
7487:, and is MVUE by the
7475:
7352:
7016:uniformly distributed
6933:
6785:
6603:
6415:Bernoulli-distributed
6379:
6317:
6273:
6179:
6125:
6101:
5929:
5909:
5885:
5520:
5491:
5471:
5426:
5399:
5072:
4999:
4941:
4884:
4811:
4631:
4596:
4532:
4512:
4492:
4450:
4398:
4375:
4235:
4215:
4147:
4079:
4033:
3963:
3917:
3876:is the Jacobian with
3871:
3869:{\displaystyle J^{*}}
3841:
3522:
3476:
3360:
3314:
3294:
3292:{\displaystyle Y_{1}}
3267:
3247:
3201:
3155:
3140:does not depend upon
3135:
3064:
2908:
2888:
2886:{\displaystyle Y_{1}}
2861:
2846:does not depend upon
2841:
2767:
2747:
2727:
2707:
2575:
2504:
2464:
2418:
2344:
2295:
2234:
2166:
2164:{\displaystyle Y_{1}}
2139:
1996:
1704:
1689:
1529:
1337:
1319:
1127:
985:
855:
820:
791:
756:, does not depend on
744:
622:factorization theorem
580:
509:becomes an equality:
386:Gaussian distribution
368:
337:
315:
295:
208:
169:
138:
114:
97:Roughly, given a set
27:Statistical principle
18:Sufficiency principle
18234:Probabilistic design
17819:Principal components
17662:Exponential families
17614:Nonlinear regression
17593:General linear model
17555:Mixed effects models
17545:Errors and residuals
17522:Confounding variable
17424:Bayesian probability
17402:Van der Waerden test
17392:Ordered alternative
17157:Multiple comparisons
17036:RaoâBlackwellization
16999:Estimating equations
16955:Statistical distance
16673:Factorial experiment
16206:Arithmetic-Geometric
16008:Witting, T. (1987).
15859:Annals of Statistics
15419:(594â604): 309â368.
15252:
15197:
15056:
14953:
14937:Bayesian sufficiency
14898:
14843:
14814:
14790:
14726:
14713:exponential families
14598:
14479:
14355:
14323:
14261:
14227:
14186:
13918:
13553:
13480:
13441:
13320:
13296:
13276:
13238:
13191:
13163:
13088:
13011:
12979:
12931:
12911:
12870:
12698:
12476:
12403:
12321:
12313:with expected value
12309:are independent and
12267:
12220:
12174:
11928:
11816:
11789:
11766:
11725:
11621:
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11518:
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11169:
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9765:
9664:
9631:
9611:
9607:with expected value
9605:normally distributed
9603:are independent and
9561:
9392:
9210:
9073:
9029:Poisson distribution
9007:Poisson distribution
8973:
8852:
8726:
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8632:
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7607:
7575:
7567:are independent and
7519:
7434:
7080:
7014:are independent and
6988:Uniform distribution
6808:
6618:
6481:
6326:
6282:
6199:
6161:
6114:
6047:
5969:) is sufficient, and
5918:
5898:
5532:
5518:{\displaystyle T(X)}
5500:
5480:
5438:
5415:
5084:
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4950:
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3880:
3853:
3534:
3485:
3369:
3323:
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