1287:
1533:
995:
2137:
2036:
537:
1660:
2345:
1897:
1282:{\displaystyle \sigma (X)=\sum _{i<j\leq n}w_{ij}(d_{ij}(X)-\delta _{ij})^{2}=\sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}^{2}+\sum _{i<j}w_{ij}d_{ij}^{2}(X)-2\sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}d_{ij}(X)}
2273:
1395:
2363:. That is, one can find a reasonably aesthetically appealing layout for a network or graph by minimizing a stress function over the positions of the nodes in the graph. In this case, the
2503:
1717:
2214:
1813:
2391:
721:
576:
291:
1942:
875:
823:
196:
2549:
1387:
647:
1756:
2523:
987:
927:
907:
388:
162:
2465:
2175:
771:
608:
2042:
1565:
360:
337:
2434:
2412:
1353:
1330:
1310:
947:
843:
794:
741:
691:
671:
412:
313:
258:
238:
217:
134:
113:
92:
70:
49:
1950:
773:
can be used to specify a degree of confidence in the similarity between points (e.g. 0 can be specified if there is no information for a particular pair).
424:
2601:
de Leeuw, J. (1977), "Applications of convex analysis to multidimensional scaling", in Barra, J. R.; Brodeau, F.; Romie, G.; et al. (eds.),
881:
approach. However, a significantly better (in terms of guarantees on, and rate of, convergence) method for minimizing stress was introduced by
961:
function. This iterative majorization process is also referred to as the SMACOF algorithm ("Scaling by MAjorizing a COmplicated
Function").
1573:
2675:
2280:
1820:
1528:{\displaystyle \sum _{i<j}w_{ij}\delta _{ij}d_{ij}(X)=\,\operatorname {tr} \,X'B(X)X\geq \,\operatorname {tr} \,X'B(Z)Z}
2220:
2735:
825:
gives a plot in which points that are close together correspond to points that are also close together in the original
2525:
is chosen as a trade-off between preserving long- or short-range ideal distances. Good results have been shown for
2740:
2470:
1665:
2730:
2180:
1761:
23:
2651:
27:
2366:
696:
545:
264:
1912:
851:
799:
172:
2725:
2646:
2528:
613:
1725:
2508:
2132:{\displaystyle \leq C+\,\operatorname {tr} \,X'VX-2\,\operatorname {tr} \,X'B(Z)Z=\tau (X,Z)}
972:
912:
892:
373:
138:
2571:(1964), "Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis",
2440:
2150:
746:
2692:
Cohen, J. (1997), "Drawing graphs to convey proximity: an incremental arrangement method",
2359:
Stress majorization and algorithms similar to SMACOF also have application in the field of
581:
1541:
1361:
8:
2031:{\displaystyle \sigma (X)=C+\,\operatorname {tr} \,X'VX-2\,\operatorname {tr} \,X'B(X)X}
342:
319:
2419:
2397:
1338:
1315:
1295:
932:
828:
779:
726:
676:
656:
650:
397:
298:
243:
223:
202:
119:
98:
77:
55:
34:
2680:, Lecture Notes in Computer Science, vol. 3383, Springer-Verlag, pp. 239–250
2701:
2656:
2580:
878:
2674:
Gansner, E.; Koren, Y.; North, S. (2004), "Graph
Drawing by Stress Majorization",
2637:
Michailidis, G.; de Leeuw, J. (2001), "Data visualization through graph drawing",
2618:
954:
532:{\displaystyle \sigma (X)=\sum _{i<j\leq n}w_{ij}(d_{ij}(X)-\delta _{ij})^{2}}
363:
2568:
2351:
This algorithm has been shown to decrease stress monotonically (see de Leeuw).
1903:
1333:
2719:
2360:
391:
1356:
882:
2705:
2660:
1389:) and therefore relatively easily solved. The third term is bounded by:
889:
method at each step minimizes a simple convex function which both bounds
2584:
877:
could be minimized. For example, Kruskal recommended an iterative
723:
is the ideal distance between the points (their separation) in the
367:
2393:
are usually set to the graph-theoretic distances between nodes
1655:{\displaystyle b_{ij}=-{\frac {w_{ij}\delta _{ij}}{d_{ij}(Z)}}}
2340:{\displaystyle \sigma (X^{k-1})-\sigma (X^{k})<\epsilon }
165:-dimensional space is sought that minimizes the so-called
578:
is a weight for the measurement between a pair of points
2623:
2531:
2511:
2473:
2443:
2422:
2400:
2369:
2283:
2223:
2183:
2153:
2045:
1953:
1915:
1892:{\displaystyle b_{ii}=-\sum _{j=1,j\neq i}^{n}b_{ij}}
1823:
1764:
1728:
1668:
1576:
1544:
1398:
1364:
1341:
1318:
1298:
998:
975:
935:
915:
895:
854:
831:
802:
782:
749:
729:
699:
679:
659:
616:
584:
548:
427:
400:
394:
that measures the squared differences between ideal (
376:
345:
322:
301:
267:
246:
226:
205:
175:
141:
122:
101:
80:
58:
37:
2677:
Proceedings of 12th Int. Symp. Graph
Drawing (GD'04)
2636:
2268:{\displaystyle X^{k}\leftarrow \min _{X}\tau (X,Z)}
2543:
2517:
2497:
2459:
2428:
2406:
2385:
2339:
2267:
2208:
2169:
2131:
2030:
1936:
1891:
1807:
1750:
1711:
1654:
1559:
1527:
1381:
1347:
1324:
1304:
1281:
981:
941:
921:
901:
869:
837:
817:
788:
765:
735:
715:
685:
665:
641:
602:
570:
531:
406:
382:
354:
331:
307:
285:
252:
232:
211:
190:
156:
128:
107:
86:
64:
43:
2673:
2717:
2238:
414:-dimensional) distances and actual distances in
2694:ACM Transactions on Computer-Human Interaction
2143:The iterative minimization procedure is then:
366:so that the result may be visualised (i.e. an
16:Geometric placement based on ideal distances
2616:
2596:
2594:
1909:Thus, we have a simple quadratic function
2650:
2084:
2080:
2059:
2055:
2004:
2000:
1979:
1975:
1906:inequality, see Borg (pp. 152–153).
1501:
1497:
1470:
1466:
73:-dimensional data items, a configuration
2600:
2591:
2567:
2498:{\displaystyle \delta _{ij}^{-\alpha }}
2354:
1712:{\displaystyle d_{ij}(Z)\neq 0,i\neq j}
1292:Note that the first term is a constant
964:
418:-dimensional space. It is defined as:
2718:
909:from above and touches the surface of
2691:
1312:and the second term is quadratic in
743:-dimensional data space. Note that
2610:
2209:{\displaystyle Z\leftarrow X^{k-1}}
1902:Proof of this inequality is by the
1808:{\displaystyle d_{ij}(Z)=0,i\neq j}
13:
14:
2752:
2603:Recent developments in statistics
1355:the second term is equivalent to
2685:
2667:
2630:
2561:
2328:
2315:
2306:
2287:
2262:
2250:
2234:
2187:
2126:
2114:
2102:
2096:
2022:
2016:
1963:
1957:
1931:
1919:
1784:
1778:
1688:
1682:
1646:
1640:
1554:
1548:
1519:
1513:
1488:
1482:
1460:
1454:
1276:
1270:
1206:
1200:
1091:
1071:
1065:
1049:
1008:
1002:
864:
858:
812:
806:
636:
630:
597:
585:
520:
500:
494:
478:
437:
431:
280:
268:
185:
179:
151:
142:
1:
2554:
2386:{\displaystyle \delta _{ij}}
989:can be expanded as follows:
957:such a function is called a
716:{\displaystyle \delta _{ij}}
571:{\displaystyle w_{ij}\geq 0}
7:
2625:, New York: Springer-Verlag
286:{\displaystyle (n\times r)}
10:
2757:
1937:{\displaystyle \tau (X,Z)}
870:{\displaystyle \sigma (X)}
818:{\displaystyle \sigma (X)}
191:{\displaystyle \sigma (X)}
30:(MDS) where, for a set of
2736:Mathematical optimization
2544:{\displaystyle \alpha =2}
848:There are many ways that
845:-dimensional data space.
642:{\displaystyle d_{ij}(X)}
1751:{\displaystyle b_{ij}=0}
28:multidimensional scaling
2518:{\displaystyle \alpha }
1944:that majorizes stress:
982:{\displaystyle \sigma }
922:{\displaystyle \sigma }
902:{\displaystyle \sigma }
383:{\displaystyle \sigma }
157:{\displaystyle (\ll m)}
2545:
2519:
2499:
2461:
2460:{\displaystyle w_{ij}}
2430:
2408:
2387:
2341:
2269:
2210:
2171:
2170:{\displaystyle k^{th}}
2133:
2032:
1938:
1893:
1875:
1809:
1752:
1713:
1656:
1561:
1529:
1383:
1349:
1326:
1306:
1283:
983:
943:
923:
903:
887:iterative majorization
871:
839:
819:
790:
767:
766:{\displaystyle w_{ij}}
737:
717:
687:
667:
643:
604:
572:
533:
408:
384:
356:
333:
309:
287:
254:
234:
213:
192:
158:
130:
109:
88:
66:
45:
2741:Mathematical analysis
2706:10.1145/264645.264657
2661:10.1007/s001800100077
2546:
2520:
2500:
2462:
2431:
2409:
2388:
2342:
2270:
2211:
2172:
2134:
2033:
1939:
1894:
1843:
1810:
1753:
1714:
1657:
1562:
1530:
1384:
1350:
1327:
1307:
1284:
984:
944:
924:
904:
872:
840:
820:
791:
768:
738:
718:
688:
668:
644:
605:
603:{\displaystyle (i,j)}
573:
534:
409:
385:
357:
334:
310:
288:
255:
235:
214:
193:
159:
131:
110:
89:
67:
46:
24:optimization strategy
2529:
2509:
2471:
2441:
2420:
2398:
2367:
2355:Use in graph drawing
2281:
2221:
2181:
2151:
2043:
1951:
1913:
1821:
1762:
1726:
1666:
1574:
1560:{\displaystyle B(Z)}
1542:
1396:
1382:{\displaystyle X'VX}
1362:
1339:
1316:
1296:
996:
973:
969:The stress function
965:The SMACOF algorithm
933:
913:
893:
852:
829:
800:
780:
747:
727:
697:
677:
657:
614:
582:
546:
425:
398:
374:
343:
320:
299:
265:
244:
224:
203:
173:
139:
120:
99:
78:
56:
35:
2731:Dimension reduction
2494:
1199:
1149:
20:Stress majorization
2605:, pp. 133–145
2585:10.1007/BF02289565
2541:
2515:
2495:
2474:
2457:
2426:
2404:
2383:
2337:
2265:
2246:
2206:
2167:
2129:
2028:
1934:
1889:
1805:
1748:
1709:
1652:
1557:
1525:
1414:
1379:
1345:
1322:
1302:
1279:
1230:
1182:
1168:
1132:
1118:
1035:
979:
939:
919:
899:
867:
835:
815:
786:
763:
733:
713:
683:
663:
651:euclidean distance
639:
600:
568:
529:
464:
404:
380:
355:{\displaystyle 3-}
352:
332:{\displaystyle 2-}
329:
305:
283:
250:
230:
209:
188:
154:
126:
105:
84:
62:
41:
2639:Computation Stat.
2429:{\displaystyle j}
2407:{\displaystyle i}
2347:otherwise repeat.
2237:
1650:
1399:
1348:{\displaystyle V}
1325:{\displaystyle X}
1305:{\displaystyle C}
1215:
1153:
1103:
1014:
942:{\displaystyle Z}
838:{\displaystyle m}
789:{\displaystyle X}
736:{\displaystyle m}
686:{\displaystyle j}
666:{\displaystyle i}
443:
407:{\displaystyle m}
370:). The function
308:{\displaystyle X}
253:{\displaystyle 3}
233:{\displaystyle 2}
212:{\displaystyle r}
129:{\displaystyle r}
108:{\displaystyle n}
87:{\displaystyle X}
65:{\displaystyle m}
44:{\displaystyle n}
2748:
2710:
2708:
2689:
2683:
2681:
2671:
2665:
2663:
2654:
2634:
2628:
2626:
2614:
2608:
2606:
2598:
2589:
2587:
2565:
2550:
2548:
2547:
2542:
2524:
2522:
2521:
2516:
2504:
2502:
2501:
2496:
2493:
2485:
2467:are taken to be
2466:
2464:
2463:
2458:
2456:
2455:
2437:and the weights
2435:
2433:
2432:
2427:
2413:
2411:
2410:
2405:
2392:
2390:
2389:
2384:
2382:
2381:
2346:
2344:
2343:
2338:
2327:
2326:
2305:
2304:
2274:
2272:
2271:
2266:
2245:
2233:
2232:
2215:
2213:
2212:
2207:
2205:
2204:
2176:
2174:
2173:
2168:
2166:
2165:
2138:
2136:
2135:
2130:
2092:
2067:
2037:
2035:
2034:
2029:
2012:
1987:
1943:
1941:
1940:
1935:
1898:
1896:
1895:
1890:
1888:
1887:
1874:
1869:
1836:
1835:
1814:
1812:
1811:
1806:
1777:
1776:
1757:
1755:
1754:
1749:
1741:
1740:
1718:
1716:
1715:
1710:
1681:
1680:
1661:
1659:
1658:
1653:
1651:
1649:
1639:
1638:
1625:
1624:
1623:
1611:
1610:
1597:
1589:
1588:
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