4694:
4135:
4689:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}}
9146:
8768:
8121:
9141:{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}
1300:
7716:
7504:
5659:
3628:
1141:
11625:
8116:{\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}
7297:
5288:
13927:
3248:
772:
11141:
7499:{\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}
6774:
5654:{\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}
3623:{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.}
1136:{\displaystyle {\frac {\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}
11620:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).}
3875:
6572:
2655:
259:
4103:
3635:
1590:
9354:
7290:
11083:
7711:
4880:
2265:
6941:
2808:
1939:
10370:
10163:
9631:
2420:
3239:
6260:
10955:
1663:
The form above is perhaps the easiest in which to understand the inequality, since the square of the cosine can be at most 1, which occurs when the vectors are in the same or opposite directions. It can also be restated in terms of the vector coordinates
6769:{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle c\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle |=|c|\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|c\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
5042:
8620:
3899:
6000:
8493:
6431:
1463:
10712:
5202:
479:
is always a non-negative real number (even if the inner product is complex-valued). By taking the square root of both sides of the above inequality, the Cauchy–Schwarz inequality can be written in its more familiar form in terms of the norm:
9242:
557:
164:
7208:
10959:
6152:
7632:
10591:
2390:
441:
4790:
4763:
2097:
6840:
9459:
9988:
3870:{\displaystyle \left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).}
10509:
9522:
2666:
1775:
10050:
2997:
2933:
2869:
5100:
8682:
1235:
477:
10857:
9680:
5717:
There are many different proofs of the Cauchy–Schwarz inequality other than those given below. When consulting other sources, there are often two sources of confusion. First, some authors define
1458:
1400:
4958:
11137:
8773:
5293:
3105:
3051:
6309:
9861:
10257:
9527:
8414:
7203:
6182:
307:
3139:
5283:
5105:
1282:
8252:
7094:
6815:
6547:
6187:
5242:
8378:
7170:
7061:
2039:
1989:
767:
708:
8219:
8158:
5703:
5679:
8554:
5934:
3134:
2650:{\displaystyle \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}
2088:
1334:
1176:
9217:
8419:
6362:
8341:
8321:
7623:
5924:
5855:
5770:
2272:
389:
8296:
8274:
7598:
7572:
7550:
7528:
7031:
7009:
6987:
6965:
6514:
6492:
6460:
6357:
6335:
6074:
6052:
5899:
5877:
5826:
5804:
5745:
1658:
1636:
617:
595:
384:
151:
129:
13155:
10599:
8549:
4701:
9791:
10253:
9383:
254:{\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}
10826:
10788:
10732:
10411:
10195:
9917:
9881:
9811:
488:
8702:
8640:
8513:
4884:
The Cauchy–Schwarz inequality proves that this definition is sensible, by showing that the right-hand side lies in the interval and justifies the notion that (real)
1610:
4098:{\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}
10015:
9718:
8178:
1770:
1743:
1716:
1689:
346:
8763:
8734:
10852:
7120:
6086:
10218:
10045:
10752:
10434:
9237:
9186:
9166:
6835:
6567:
4949:
4929:
4140:
2416:
2269:
The Cauchy–Schwarz inequality can be proved using only elementary algebra in this case by observing that the difference of the right and the left hand side is
12614:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar Maria (2023). "Professor Heinz
Neudecker and matrix differential calculus".
12704:
11946:
Equality holds iff <c|c>=0 or |c>=0. From the definition of |c>, we conclude that |a> and |b> must be proportional.
1585:{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}
10514:
12873:
9349:{\displaystyle \Delta =4\left(|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.}
13816:
13362:
12238:
7285:{\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}
13379:
11078:{\displaystyle \Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .}
9388:
7706:{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }
9922:
5049:
12715:
Cauchy, A.-L. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités",
13652:
10439:
9464:
6266:
In both of the proofs given below, the proof in the trivial case where at least one of the vectors is zero (or equivalently, in the case where
12934:
4875:{\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}
13479:
7130:
Consequently, the Cauchy–Schwarz inequality only needs to be proven only for non-zero vectors and also only the non-trivial direction of the
2260:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}
6936:{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle |=\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {u} \|.}
5722:
13642:
6311:) is the same. It is presented immediately below only once to reduce repetition. It also includes the easy part of the proof of the
14070:
13769:
13624:
13179:
2938:
2874:
2829:
13963:
13600:
8645:
11766:
11796:
446:
2803:{\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0.}
12786:
12224:
11969:
9636:
1934:{\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}
1405:
1347:
1181:
14212:
13311:
12962:
11101:
3056:
3002:
12724:
11088:
Another generalization is a refinement obtained by interpolating between both sides of the Cauchy–Schwarz inequality:
10365:{\displaystyle \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).}
10158:{\displaystyle \left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}
6269:
13492:
13237:
11857:
11829:
9720:
norms. More generally, it can be interpreted as a special case of the definition of the norm of a linear operator on a
9626:{\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}
13374:
9816:
14087:
13581:
13472:
13293:
12913:
12469:
12423:
Kadison, Richard V. (1952-01-01). "A Generalized
Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras".
12407:
12380:
12353:
12326:
12274:
12188:
12161:
12134:
12107:
12080:
12053:
12026:
11999:
11939:
11914:
11887:
3234:{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}
12903:
12689:
11836:...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.
11819:
8383:
7175:
13851:
6255:{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .}
6157:
280:
43:
13496:
5247:
4899:, by taking the absolute value or the real part of the right-hand side, as is done when extracting a metric from
12858:
12579:
Liu, Shuangzhe; Neudecker, Heinz (1999). "A survey of Cauchy-Schwarz and
Kantorovich-type matrix inequalities".
10950:{\displaystyle \varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}}
8224:
7066:
6787:
6519:
5209:
14207:
14187:
13273:
13253:
12685:
12299:
11673:
8353:
7145:
7036:
86:
17:
7626:
1994:
1944:
713:
654:
13647:
13369:
13303:
13207:
12895:
12774:
12205:
11752:
11742:
5037:{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}
8615:{\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}
8183:
1240:
14102:
14040:
13930:
13703:
13637:
13465:
12518:
11688:
5995:{\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
644:
8128:
5688:
5664:
13956:
13667:
13357:
13227:
12890:
11747:
8488:{\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }
6426:{\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}
14143:
14056:
13912:
13866:
13790:
13672:
13321:
13263:
13120:
12885:
9748:
5046:
After defining an inner product on the set of random variables using the expectation of their product,
4900:
3110:
2064:
1310:
1152:
13907:
13723:
13326:
13258:
9191:
636:
14097:
13278:
11656:
11631:
10707:{\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}
9690:
5197:{\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}
4783:
The Cauchy–Schwarz inequality allows one to extend the notion of "angle between two vectors" to any
14202:
14163:
14092:
13759:
13657:
13560:
13352:
13331:
13268:
12464:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 78. Cambridge University Press. p. 40.
11722:
8326:
8301:
7603:
5904:
5835:
5750:
51:
8279:
8257:
7581:
7555:
7533:
7511:
7014:
6992:
6970:
6948:
6497:
6475:
6443:
6340:
6318:
6057:
6035:
5882:
5860:
5809:
5787:
5728:
1641:
1619:
1284:. This form is especially helpful when the inequality involves fractions where the numerator is a
600:
578:
367:
318:
267:
134:
112:
14197:
13856:
13632:
13133:
12955:
8518:
552:{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}
9754:
14061:
14030:
13949:
13887:
13831:
13795:
13283:
13212:
13105:
13085:
11668:
11662:
11650:
11638:
10223:
9362:
3893:
1299:
10811:
10757:
10717:
10396:
10180:
9886:
9866:
9796:
356:
14192:
14112:
14066:
14009:
13594:
13110:
13002:
12935:
Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine
Linearly Independent Vectors
12459:
11717:
8687:
8625:
8498:
1595:
78:
13590:
12534:
Moslehian, M.S.; Matharu, J.S.; Aujla, J.S. (2011). "Non-commutative
Callebaut inequality".
11976:
This inequality is an equality if and only if one of u, v is a scalar multiple of the other.
6147:{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
13995:
13870:
13288:
13174:
13059:
12807:(1952), "A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras",
11678:
9993:
9696:
8163:
2395:
1748:
1721:
1694:
1667:
324:
13457:
12930:
Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
8739:
8710:
7122:), so the above computation shows that the Cauchy-Schwarz inequality holds in this case.
4108:
565:
8:
13991:
13836:
13774:
13488:
13444:
13232:
13115:
13054:
13023:
12778:
12766:
11634:. There are also non-commutative versions for operators and tensor products of matrices.
10831:
7099:
6077:
5829:
4896:
4768:
4129:
4125:
620:
154:
39:
11821:
The Cauchy–Schwarz Master Class: an
Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
10200:
10027:
640:
13861:
13728:
13414:
13316:
13222:
13169:
13095:
13028:
12948:
12859:"Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung"
12824:
12804:
12674:
12631:
12596:
12561:
12543:
12440:
10737:
10419:
9793:
being a finite measure, the standard inner product gives rise to a positive functional
9222:
9171:
9151:
6820:
6552:
4934:
4914:
2401:
348:
47:
10586:{\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).}
2385:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,\ldots ,n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}
436:{\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}
14117:
14014:
13986:
13841:
13202:
12909:
12792:
12782:
12678:
12635:
12600:
12565:
12503:
12486:
12465:
12403:
12376:
12349:
12322:
12295:
12270:
12230:
12220:
12184:
12157:
12130:
12103:
12076:
12049:
12022:
11995:
11965:
11935:
11910:
11883:
11853:
11825:
11785:
10021:
10018:
7575:
3889:
3242:
8323:
The converse was proved at the beginning of this section, so the proof is complete.
4758:{\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}
2659:
Since the latter polynomial is nonnegative, it has at most one real root, hence its
14127:
14004:
13846:
13764:
13733:
13713:
13698:
13693:
13688:
13404:
13343:
13164:
13064:
13019:
13007:
12816:
12753:
12666:
12623:
12588:
12553:
12498:
12432:
9733:
1145:
It is a direct consequence of the Cauchy–Schwarz inequality, obtained by using the
13525:
14107:
13708:
13662:
13610:
13605:
13576:
12744:
Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications",
12654:
12397:
12370:
12343:
12316:
12264:
12178:
12151:
12124:
12097:
12070:
12043:
12016:
11989:
11959:
11904:
11877:
10414:
10385:
9729:
6516:
are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. If
4952:
4893:
4889:
2059:
1337:
94:
62:
13535:
13897:
13749:
13550:
13217:
13033:
12717:
Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
12627:
7294:
It follows from the linearity of the inner product in its first argument that:
6030:
648:
66:
12758:
12557:
9454:{\displaystyle p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}.}
14181:
14000:
13972:
13902:
13826:
13555:
13540:
13530:
13429:
13424:
13409:
13399:
13100:
13014:
12989:
12736:
12402:. Springer Monographs in Mathematics. Springer Science & Business Media.
12234:
9725:
5725:
rather than the first. Second, some proofs are only valid when the field is
4885:
1285:
310:
74:
12837:
9983:{\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}
5206:
To prove the covariance inequality using the Cauchy–Schwarz inequality, let
13892:
13545:
13515:
13186:
12985:
12796:
12670:
9721:
9239:
does not change, the discriminant of this polynomial must be non-positive:
4784:
4767:
The Cauchy–Schwarz inequality is used to prove that the inner product is a
2660:
12690:"Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies"
10504:{\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)}
14122:
13821:
13811:
13718:
13520:
9517:{\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}
2091:
1341:
1146:
314:
13754:
13586:
13439:
13130:
12828:
12592:
12444:
9741:
9737:
5706:
58:
11903:
Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2012-12-06).
13434:
13419:
12655:"Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses"
4132:
is a consequence of the Cauchy–Schwarz inequality, as is now shown:
12820:
12436:
3245:), then the inequality may be restated more explicitly as follows:
13074:
13043:
12994:
12971:
12929:
12725:"A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities"
7131:
6463:
6312:
5682:
4772:
70:
12548:
11852:(4th ed.). Stamford, CT: Cengage Learning. pp. 154–155.
10172:
Cauchy–Schwarz inequality for positive functionals on C*-algebras
13941:
1303:
Cauchy-Schwarz inequality in a unit circle of the
Euclidean plane
10375:
The next two theorems are further examples in operator algebra.
9689:
Various generalizations of the Cauchy–Schwarz inequality exist.
46:
in an inner product space in terms of the product of the vector
11691: – inequality applying to finite variance random variables
10167:
which extends verbatim to positive functionals on C*-algebras:
85:). The corresponding inequality for integrals was published by
12578:
11932:
Mathematical
Physics: A Modern Introduction to Its Foundations
1336:
denotes the 2-dimensional plane. It is also the 2-dimensional
12653:
Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015),
12345:
An
Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras
11637:
Several matrix versions of the Cauchy–Schwarz inequality and
9219:
which is a case that was checked earlier). Since the sign of
2992:{\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}
2928:{\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}
2864:{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}
1613:
50:. It is considered one of the most important and widely used
12940:
8765:
can be expanded using the bilinearity of the inner product:
8160:
and then taking the square root. Moreover, if the relation
5095:{\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}
631:
13487:
8677:{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}
313:. Examples of inner products include the real and complex
109:
The Cauchy–Schwarz inequality states that for all vectors
101:). Schwarz gave the modern proof of the integral version.
12613:
12263:
Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007-05-02).
11902:
8276:
then establishes a relation of linear dependence between
651:'s lemma (or the T2 lemma), states that for real numbers
472:{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }
27:
Mathematical inequality relating inner products and norms
12652:
10047:
In this language, the Cauchy–Schwarz inequality becomes
8736:
only takes non-negative real values. On the other hand,
8125:
The Cauchy–Schwarz inequality follows by multiplying by
5774:
This section gives two proofs of the following theorem:
12729:
12099:
Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics
9675:{\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}
12102:. Springer Science & Business Media. p. 146.
11824:. The Mathematical Association of America. p. 1.
8180:
in the above expression is actually an equality, then
13136:
12533:
12375:. Springer Science & Business Media. p. 28.
12183:. Springer Science & Business Media. p. 71.
11909:. Springer Science & Business Media. p. 14.
11144:
11104:
10962:
10860:
10834:
10814:
10760:
10740:
10720:
10602:
10517:
10442:
10422:
10399:
10260:
10226:
10203:
10183:
10053:
10030:
9996:
9925:
9889:
9869:
9819:
9799:
9757:
9699:
9639:
9530:
9467:
9391:
9365:
9245:
9225:
9194:
9174:
9154:
8771:
8742:
8713:
8690:
8648:
8628:
8557:
8521:
8501:
8422:
8386:
8356:
8329:
8304:
8282:
8260:
8227:
8186:
8166:
8131:
7719:
7635:
7606:
7584:
7558:
7536:
7514:
7300:
7211:
7178:
7148:
7102:
7069:
7039:
7017:
6995:
6973:
6951:
6843:
6823:
6790:
6575:
6555:
6522:
6500:
6478:
6446:
6365:
6343:
6321:
6272:
6190:
6160:
6089:
6060:
6038:
5937:
5907:
5885:
5863:
5838:
5812:
5790:
5753:
5731:
5691:
5667:
5291:
5250:
5212:
5108:
5052:
4961:
4937:
4917:
4793:
4704:
4138:
3902:
3638:
3251:
3142:
3113:
3059:
3005:
2941:
2877:
2832:
2669:
2423:
2404:
2275:
2100:
2067:
1997:
1947:
1778:
1751:
1724:
1697:
1670:
1644:
1622:
1598:
1466:
1453:{\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}
1408:
1395:{\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}
1350:
1313:
1243:
1230:{\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}
1184:
1155:
826:
783:
775:
716:
657:
603:
581:
491:
449:
392:
370:
327:
283:
167:
137:
115:
11736:
11734:
11693:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
7137:
7033:
are necessarily linearly dependent (for example, if
2044:
12266:
Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide
11132:{\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1,}
6780:
6440:Proof of the trivial parts: Case where a vector is
6026:
6008:
4698:Taking square roots gives the triangle inequality:
3136:is the canonical complex inner product (defined by
3100:{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }
3046:{\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }
1991:is in the same or opposite direction as the vector
13817:Spectral theory of ordinary differential equations
13149:
12315:Faria, Edson de; Melo, Welington de (2010-08-12).
11964:. Springer International Publishing. p. 172.
11875:
11791:. Department of Mathematics and Computer Science.
11619:
11131:
11077:
10949:
10846:
10820:
10782:
10746:
10726:
10706:
10585:
10503:
10428:
10405:
10364:
10247:
10212:
10189:
10157:
10039:
10009:
9982:
9911:
9875:
9855:
9805:
9785:
9736:, where the domain and/or range are replaced by a
9728:). Further generalizations are in the context of
9712:
9674:
9625:
9516:
9453:
9377:
9348:
9231:
9211:
9180:
9160:
9140:
8757:
8728:
8696:
8676:
8634:
8614:
8543:
8507:
8487:
8408:
8372:
8335:
8315:
8290:
8268:
8246:
8213:
8172:
8152:
8115:
7705:
7617:
7592:
7566:
7544:
7522:
7498:
7284:
7197:
7172:was proven above so it is henceforth assumed that
7164:
7114:
7088:
7055:
7025:
7003:
6981:
6959:
6935:
6829:
6809:
6768:
6561:
6541:
6508:
6486:
6454:
6425:
6351:
6329:
6304:{\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}
6303:
6254:
6176:
6146:
6068:
6046:
5994:
5918:
5893:
5871:
5849:
5820:
5798:
5764:
5739:
5697:
5673:
5653:
5277:
5236:
5196:
5094:
5036:
4943:
4923:
4874:
4757:
4688:
4097:
3869:
3622:
3233:
3128:
3099:
3045:
2991:
2927:
2863:
2812:
2802:
2649:
2410:
2384:
2259:
2082:
2033:
1983:
1933:
1764:
1737:
1710:
1683:
1652:
1630:
1604:
1584:
1452:
1394:
1328:
1276:
1229:
1170:
1135:
761:
702:
611:
589:
551:
471:
435:
378:
340:
301:
253:
145:
123:
12487:"Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality"
12206:"Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality"
12072:Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics
11731:
11715:
11659: – Inequality between integrals in Lp spaces
10803:(Modified Schwarz inequality for 2-positive maps)
8345:
575:Moreover, the two sides are equal if and only if
14179:
12262:
12180:Theoretical Statistics: Topics for a Core Course
11988:Bachman, George; Narici, Lawrence (2012-09-26).
10197:is a positive linear functional on a C*-algebra
9856:{\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}
321:. Every inner product gives rise to a Euclidean
3107:) and if the inner product on the vector space
1941:where equality holds if and only if the vector
12069:Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014-06-06).
8707:Since the inner product is positive-definite,
8409:{\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
7198:{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}
4955:. Then the covariance inequality is given by:
2090:with the standard inner product, which is the
104:
13957:
13473:
12956:
12849:Completely Bounded Maps and Operator Algebras
12461:Completely Bounded Maps and Operator Algebras
11987:
11876:Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001).
9863:Conversely, every positive linear functional
6177:{\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }
302:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
12318:Mathematical Aspects of Quantum Field Theory
12149:
11069:
11040:
11034:
11005:
10993:
10963:
10910:
10895:
9939:
9926:
9847:
9835:
9611:
9553:
9508:
9500:
9492:
9484:
9435:
9427:
9421:
9413:
9326:
9317:
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5065:
5053:
4892:. It can also be used to define an angle in
4863:
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1570:
1561:
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1543:
1518:
1510:
1507:
1499:
1484:
1467:
1460:then the Cauchy–Schwarz inequality becomes:
543:
535:
532:
524:
513:
497:
466:
450:
425:
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296:
284:
245:
229:
223:
207:
190:
174:
77:). The inequality for sums was published by
12883:
12684:
12321:. Cambridge University Press. p. 273.
12068:
5278:{\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}
90:
13964:
13950:
13480:
13466:
13380:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
12963:
12949:
12129:. Cambridge University Press. p. 74.
12122:
11740:
8247:{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}
7089:{\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }
6810:{\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }
6542:{\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }
5237:{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}
12777:. Vol. 19 (2nd ed.). New York:
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12743:
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12269:. Springer Science & Business Media.
11641:are applied to linear regression models.
10413:is a unital positive map, then for every
9747:An inner product can be used to define a
9732:, e.g. for operator-convex functions and
8402:
8394:
8373:{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }
7919:
7165:{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }
7056:{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }
5909:
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3961:
3916:
3116:
3093:
3039:
2851:
2094:, the Cauchy–Schwarz inequality becomes:
2070:
1316:
1158:
632:Sedrakyan's lemma - Positive real numbers
13770:Group algebra of a locally compact group
12835:
12722:
12018:Measure, Integration and Function Spaces
11813:
11811:
11809:
11653: – Theorem on orthonormal sequences
9919:can be used to define an inner product
6315:given above; that is, it proves that if
2663:is less than or equal to zero. That is,
2041:, or if one of them is the zero vector.
2034:{\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}
1984:{\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}
1298:
762:{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
703:{\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}
61:(via finite-dimensional vector spaces),
12856:
12846:
12803:
12457:
12422:
12395:
12368:
12294:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
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12045:A Modern Introduction to Linear Algebra
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11767:"Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality"
6778:which shows that equality holds in the
98:
57:Inner products of vectors can describe
14:
14180:
12901:
12765:
12714:
12204:Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (April 2009).
12176:
12014:
11847:
11841:
11817:
10734:is a linear functional. The case when
8350:Consider an arbitrary pair of vectors
8214:{\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}
5102:the Cauchy–Schwarz inequality becomes
1277:{\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}}
82:
13945:
13461:
12944:
12289:
12153:Probability and Statistical Inference
11957:
11806:
9751:. For example, given a Hilbert space
7530:is a vector orthogonal to the vector
4906:
4775:induced by the inner product itself.
36:Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality
13393:Applications & related
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11871:
11869:
11681: – Inequality that established
8153:{\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}
5928:
5698:{\displaystyle \operatorname {Cov} }
5674:{\displaystyle \operatorname {Var} }
482:
158:
13312:Marcinkiewicz interpolation theorem
12536:Linear Algebra and Its Applications
12341:
11850:Linear Algebra and its Applications
11665: – Theorem of convex functions
9359:For the equality case, notice that
3241:where the bar notation is used for
24:
13971:
13238:Symmetric decreasing rearrangement
13142:
12150:Mukhopadhyay, Nitis (2000-03-22).
12126:Fourier Analysis with Applications
11764:
9684:
9366:
9246:
6945:In particular, if at least one of
5566:
5528:
5346:
5257:
5219:
5169:
5147:
5114:
5071:
4888:are simply generalizations of the
3896:, the following inequality holds.
25:
14224:
14088:Compact operator on Hilbert space
12937:Tutorial and Interactive program.
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11783:
11630:This theorem can be deduced from
7138:Proof via the Pythagorean theorem
4787:inner-product space by defining:
1291:
13926:
13925:
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11802:from the original on 2022-10-09.
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9665:
9641:
9607:
9599:
9578:
9570:
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6923:
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6885:
6861:
6853:
6837:follows from the previous case:
6803:
6792:
6759:
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6723:
6706:
6695:
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3261:
3155:
3147:
3129:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
2943:
2879:
2842:
2834:
2394:or by considering the following
2083:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1646:
1624:
1565:
1547:
1514:
1503:
1479:
1471:
1410:
1352:
1329:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
1171:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
626:
605:
583:
539:
528:
509:
501:
462:
454:
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413:
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372:
241:
233:
219:
211:
186:
178:
139:
117:
12905:The Cauchy–Schwarz Master Class
12879:from the original on 2022-10-09
12746:Advances in Applied Mathematics
12710:from the original on 2022-10-09
12697:Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg
12607:
12572:
12527:
12511:
12478:
12451:
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12335:
12308:
12283:
12256:
12244:from the original on 2022-10-09
12197:
12170:
12143:
12116:
12089:
12062:
12035:
12008:
11981:
11951:
11685:spaces are normed vector spaces
9212:{\displaystyle \mathbf {u} =0,}
8515:is a complex number satisfying
4114:
3888:For the inner product space of
1340:where the inner product is the
920:
914:
12908:, Cambridge University Press,
12396:Størmer, Erling (2012-12-13).
12015:Swartz, Charles (1994-02-21).
11923:
11896:
11777:
11758:
11709:
10907:
10901:
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10648:
10641:
10556:
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9900:
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9768:
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9534:
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9401:
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9082:
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8608:
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8523:
8432:
8426:
8398:
8346:Proof by analyzing a quadratic
8077:
8052:
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7873:
7848:
6901:
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6671:
6644:
6636:
6609:
6601:
6577:
6462:and also one direction of the
6115:
6091:
5641:
5635:
5626:
5620:
5590:
5577:
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5077:
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5019:
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13:
1:
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8336:{\displaystyle \blacksquare }
8316:{\displaystyle \mathbf {v} .}
7618:{\displaystyle \mathbf {v} .}
7600:onto the plane orthogonal to
5919:{\displaystyle \mathbb {C} .}
5879:is the field of real numbers
5850:{\displaystyle \mathbb {F} ,}
5765:{\displaystyle \mathbb {C} .}
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11703:
8991:
8928:
8291:{\displaystyle \mathbf {u} }
8269:{\displaystyle \mathbf {z} }
7593:{\displaystyle \mathbf {u} }
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6359:are linearly dependent then
6352:{\displaystyle \mathbf {v} }
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5740:{\displaystyle \mathbb {R} }
4365:
3956:
3223:
3187:
2054:-dimensional Euclidean space
1653:{\displaystyle \mathbf {v} }
1631:{\displaystyle \mathbf {u} }
917: or equivalently,
612:{\displaystyle \mathbf {v} }
590:{\displaystyle \mathbf {u} }
379:{\displaystyle \mathbf {u} }
146:{\displaystyle \mathbf {v} }
124:{\displaystyle \mathbf {u} }
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5828:be arbitrary vectors in an
4778:
4119:
105:Statement of the inequality
38:) is an upper bound on the
10:
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9749:positive linear functional
9168:is a polynomial of degree
2822:-dimensional Complex space
710:and positive real numbers
386:is denoted and defined by
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13392:
13370:Minkowski–Steiner formula
13340:
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9378:{\displaystyle \Delta =0}
7132:Equality Characterization
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6464:Equality Characterization
6313:Equality Characterization
6027:Cauchy–Schwarz Inequality
6009:Cauchy–Schwarz Inequality
5779:Cauchy–Schwarz inequality
5712:
319:examples in inner product
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10821:{\displaystyle \varphi }
10783:{\displaystyle a=a^{*},}
10727:{\displaystyle \varphi }
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10190:{\displaystyle \varphi }
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9876:{\displaystyle \varphi }
9806:{\displaystyle \varphi }
9356:The conclusion follows.
7625:) We can thus apply the
6989:is the zero vector then
13857:Noncommutative geometry
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10436:in its domain, we have
9385:happens if and only if
8697:{\displaystyle \alpha }
8635:{\displaystyle \alpha }
8508:{\displaystyle \alpha }
8380:. Define the function
1605:{\displaystyle \theta }
13913:Tomita–Takesaki theory
13888:Approximation property
13832:Calculus of variations
13213:Convergence in measure
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12458:Paulsen, Vern (2002).
11669:Kantorovich inequality
11639:Kantorovich inequality
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14010:Orthogonal complement
13908:Banach–Mazur distance
13871:Generalized functions
13327:Riesz–Fischer theorem
13152:
13111:Polarization identity
12809:Annals of Mathematics
12425:Annals of Mathematics
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