8983:
1239:
212:
12418:
565:
8510:
98:
442:
7814:
487:
8978:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}
5933:
327:
715:
630:
6609:
8062:
7602:
6426:
10180:
1041:, there is no need for parentheses, and the result is the same irrespective of the order of the summands. Summation of a sequence of only one element results in this element itself. Summation of an empty sequence (a sequence with no elements), by convention, results in 0.
5668:
207:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
370:
10024:
4472:
11625:
560:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
7617:
4790:
5675:
255:
3557:
6981:
4307:
4138:
6251:
1417:
11468:
649:
6082:
572:
9622:
5277:
5142:
10807:
8495:
6724:
6831:
882:
9826:
7199:
4636:
8343:
6437:
11331:
796:
7859:
10334:
7423:
6258:
4996:
11145:
3414:
9138:
4905:
10961:
5378:
3292:
10622:
1637:
10720:
5473:
2846:
10436:
9335:
2706:
8244:
10030:
10877:
9483:
3084:
11061:
5480:
1807:
11847:
11223:
3191:
1214:
437:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
7412:
9219:
8515:
1725:
Alternatively, index and bounds of summation are sometimes omitted from the definition of summation if the context is sufficiently clear. This applies particularly when the index runs from 1 to
7279:
1812:
Generalizations of this notation are often used, in which an arbitrary logical condition is supplied, and the sum is intended to be taken over all values satisfying the condition. For example:
10514:
352:
12026:) to denote integers, if there is a risk of confusion. For example, even if there should be no doubt about the interpretation, it could look slightly confusing to many mathematicians to see
7347:
907:
2026:
468:
7031:
3895:
740:
11753:
9832:
3663:
1864:
1219:
Although such formulas do not always exist, many summation formulas have been discovered—with some of the most common and elementary ones being listed in the remainder of this article.
821:
7091:
237:
2151:
4333:
1048:
of their place in the sequence. For simple patterns, summation of long sequences may be represented with most summands replaced by ellipses. For example, summation of the first 100
11484:
2569:
2504:
The phrase 'algebraic sum' refers to a sum of terms which may have positive or negative signs. Terms with positive signs are added, while terms with negative signs are subtracted.
7809:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }
2310:
1920:
10206:
5928:{\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }
3818:
4647:
322:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
8135:
3721:
9384:
1130:
4501:
2732:
9686:
2264:
3948:
3750:
3429:
6842:
4157:
3988:
3583:
2183:
7852:
2595:
8092:
2494:
1642:
In general, while any variable can be used as the index of summation (provided that no ambiguity is incurred), some of the most common ones include letters such as
6097:
2945:
2058:
1949:
710:{\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\\\scriptstyle {\text{base}}^{\text{power}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}
2462:
2364:
2337:
625:{\displaystyle \scriptstyle \left\{{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}\right.}
1280:
1268:
1078:
12084:
12064:
12044:
12024:
12004:
11972:
11347:
2925:
2905:
2415:
2395:
2225:
2203:
2098:
2078:
1973:
1720:
1700:
1680:
1660:
5940:
2881:
7001:
9509:
5153:
5018:
10726:
8357:
6616:
6735:
839:
6604:{\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }
9708:
7105:
4542:
934:
70:
8255:
8057:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}
12324:
11236:
7597:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }
6421:{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }
761:
10224:
4912:
11074:
3314:
9029:
4805:
10892:
5284:
10520:
2438:
These degenerate cases are usually only used when the summation notation gives a degenerate result in a special case. For example, if
1536:
10628:
10175:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}
5385:
2761:
10340:
9236:
2604:
8159:
3202:
5663:{\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }
10820:
9394:
2973:
10990:
1735:
12400:
12220:
12194:
11788:
9007:
1135:
For long summations, and summations of variable length (defined with ellipses or Σ notation), it is a common problem to find
11158:
11683:
1145:
7354:
9148:
927:
63:
7214:
11983:
11936:
10442:
8990:
3107:
4511:: it is clear that for wildly oscillating functions the Riemann sum can be arbitrarily far from the Riemann integral.
333:
12227:
12145:
7286:
1025:
The summation of an explicit sequence is denoted as a succession of additions. For example, summation of is denoted
888:
10019:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}
1981:
449:
7006:
4507:
is fixed, and little can be said about the error in the above approximation without additional assumptions about
3826:
3094:
721:
11694:
4467:{\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}
3591:
1818:
802:
12438:
12246:
7045:
4327:
occurring in the definition of the corresponding definite integral. One can therefore expect that for instance
3098:
920:
218:
56:
11620:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}
4519:
The formulae below involve finite sums; for infinite summations or finite summations of expressions involving
2106:
1228:
2518:
10964:
4785:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }
4528:
4313:
2275:
12422:
12161:
10185:
3755:
1872:
39:
17:
12210:
11878:
11873:
11649:
8101:
3687:
12286:
12280:
9354:
11778:
1246:
Mathematical notation uses a symbol that compactly represents summation of many similar terms: the
4480:
2711:
1094:
9655:
7817:
7609:
4524:
3552:{\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}
2236:
1004:
12240:
6976:{\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }
5380:(the sum from the first term up to the last is equal to the sum from the last down to the first)
4302:{\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}
4133:{\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}
3911:
3726:
12340:
Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tome VIII
12263:
9012:
There exist very many summation identities involving binomial coefficients (a whole chapter of
7825:
7202:
4520:
3905:
3901:
2964:
1136:
1045:
984:
475:
12300:
11883:
9387:
8247:
6246:{\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }
3568:
2316:
2159:
446:
49:
12344:
12338:
7831:
2574:
12310:
12304:
11986:
does not matter (by definition), one usually uses letters from the middle of the alphabet (
9014:
8138:
8070:
6089:
6085:
2467:
1412:{\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}
1015:
992:
35:
11463:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}
2930:
2034:
1925:
8:
12368:
12362:
11858:
9018:
is devoted to just the basic techniques). Some of the most basic ones are the following.
6077:{\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }
3955:
3563:
2441:
1019:
1000:
2346:
2322:
12318:
12107:
12069:
12049:
12029:
12009:
11989:
11957:
11888:
4144:
3975:
3090:
2910:
2890:
2400:
2380:
2210:
2188:
2083:
2063:
1958:
1705:
1685:
1665:
1645:
1253:
1063:
12390:
3970:
Many such approximations can be obtained by the following connection between sums and
2854:
12443:
12396:
12190:
12141:
11932:
11913:
11863:
2752:
1011:
1044:
Very often, the elements of a sequence are defined, through a regular pattern, as a
11770:
is attested as a summation symbol for series. This usage was apparently widespread.
11671:
9617:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}
9141:
8095:
6986:
5272:{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }
5137:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }
4320:
3420:
2948:
2425:
10802:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}
8490:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}
11868:
11653:
11148:
10884:
30:
This article is about sums of several elements. For more elementary aspects, see
11927:
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums".
11893:
6719:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }
3820:
This function is defined up to the addition of a constant, and may be chosen as
12386:
12358:
12276:
11952:
11925:
For a detailed exposition on summation notation, and arithmetic with sums, see
11774:
11678:
10981:
10209:
9636:
6834:
6429:
4639:
3677:
3672:
is a function defined on the nonnegative integers. Thus, given such a function
2744:
1049:
637:
358:
12214:
6826:{\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }
877:{\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}
12432:
12216:
Der
Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band
10977:
9689:
7605:
5145:
4797:
4793:
9821:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}
7194:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }
4319:
For summations in which the summand is given (or can be interpolated) by an
2230:
There are also ways to generalize the use of many sigma signs. For example,
11334:
4631:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }
1081:
988:
8338:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}
11326:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}
4324:
2340:
1038:
1034:
948:
791:{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}
243:
9497:
3298:
2421:
996:
10329:{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}
7415:
6727:
4999:
4991:{\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }
3951:
2430:
827:
11140:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}
3409:{\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}
2464:
in the definition above, then there is only one term in the sum; if
1722:; the latter is also often used for the upper bound of a summation.
11760:
11666:
9133:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}
4900:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }
3971:
3308:
An example of application of the above equation is the following:
2748:
960:
956:
746:
569:
86:
31:
7037:
10956:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }
5373:{\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }
2205:
1952:
1238:
11951:
in contexts where there is no possibility of confusion with the
10617:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}
1632:{\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}
1489:, is incremented by one for each successive term, stopping when
12417:
10715:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}
5468:{\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }
2884:
2841:{\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{}f\,d\mu }
983:. Beside numbers, other types of values can be summed as well:
964:
496:
10431:{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}
9330:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}
6253:(splitting a sum into its odd and even parts, for odd indexes)
2701:{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}
11781:. Fourier's use includes lower and upper bounds, for example:
11657:
9008:
Binomial coefficient § Sums of the binomial coefficients
8239:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}
4323:
function of the index, the summation can be interpreted as a
3562:
The above formula is more commonly used for inverting of the
1271:
1084:
3287:{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
2420:
If the summation has no summands, then the evaluated sum is
6837:
of a sum is the product of the exponential of the summands)
655:
618:
493:
376:
261:
104:
11656:, suggests the symbol ∫ to mark the sum of differentials (
1441:
is an indexed variable representing each term of the sum;
10872:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }
9478:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}
6730:
of a product is the sum of the logarithms of the factors)
4477:
since the right-hand side is by definition the limit for
3079:{\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}
11056:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}
5935:(another application of commutativity and associativity)
1802:{\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}
12140:, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999,
11929:
Concrete
Mathematics: A Foundation for Computer Science
11842:{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }
9001:
5013:(index change); this generalizes the preceding formula.
1270:, an enlarged form of the upright capital Greek letter
11218:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}
7009:
6989:
4503:
of the left-hand side. However, for a given summation
3965:
2349:
2325:
1875:
1256:
1097:
1066:
892:
843:
806:
768:
765:
725:
679:
661:
658:
653:
607:
596:
585:
582:
576:
533:
526:
523:
509:
502:
499:
491:
453:
403:
382:
379:
374:
337:
288:
267:
264:
259:
222:
173:
152:
131:
110:
107:
102:
12255:
12253:
12251:
12249:
12232:
12230:
12072:
12052:
12032:
12012:
11992:
11960:
11791:
11697:
11664:), hence the S-shape. The renaming of this symbol to
11487:
11350:
11239:
11161:
11077:
10993:
10895:
10823:
10729:
10631:
10523:
10445:
10343:
10227:
10188:
10033:
9835:
9711:
9658:
9512:
9397:
9357:
9239:
9151:
9032:
8513:
8360:
8258:
8162:
8104:
8073:
7862:
7834:
7620:
7426:
7357:
7289:
7217:
7108:
7048:
6845:
6738:
6619:
6440:
6261:
6100:
5943:
5678:
5483:
5388:
5287:
5156:
5021:
4915:
4808:
4650:
4545:
4483:
4336:
4160:
3991:
3914:
3829:
3758:
3729:
3690:
3594:
3571:
3432:
3317:
3205:
3110:
2976:
2933:
2913:
2893:
2857:
2764:
2714:
2607:
2577:
2521:
2470:
2444:
2403:
2383:
2278:
2239:
2213:
2191:
2162:
2109:
2086:
2066:
2037:
1984:
1961:
1928:
1821:
1738:
1708:
1688:
1668:
1648:
1539:
1530:
Here is an example showing the summation of squares:
1283:
1209:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}
1148:
891:
842:
805:
764:
724:
652:
575:
490:
452:
373:
336:
258:
221:
101:
11926:
7407:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }
9214:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}
12138:Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics
12078:
12058:
12038:
12018:
11998:
11966:
11841:
11747:
11619:
11462:
11325:
11217:
11139:
11055:
10955:
10871:
10801:
10714:
10616:
10508:
10430:
10328:
10200:
10174:
10018:
9820:
9680:
9616:
9477:
9378:
9329:
9213:
9132:
8977:
8489:
8337:
8238:
8129:
8086:
8056:
7846:
7808:
7596:
7406:
7341:
7274:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }
7273:
7193:
7085:
7025:
6995:
6975:
6825:
6718:
6603:
6420:
6245:
6076:
5927:
5662:
5467:
5372:
5271:
5136:
4990:
4899:
4784:
4630:
4495:
4466:
4301:
4132:
3942:
3889:
3812:
3744:
3715:
3657:
3577:
3551:
3408:
3286:
3185:
3078:
2939:
2919:
2899:
2875:
2840:
2726:
2700:
2589:
2563:
2488:
2456:
2409:
2389:
2358:
2331:
2304:
2258:
2219:
2197:
2177:
2145:
2092:
2072:
2052:
2020:
1967:
1943:
1914:
1858:
1801:
1714:
1694:
1674:
1654:
1631:
1471:" under the summation symbol means that the index
1411:
1262:
1208:
1124:
1072:
901:
876:
815:
790:
734:
709:
624:
559:
462:
436:
346:
321:
231:
206:
10706:
10688:
10670:
10657:
10608:
10587:
10575:
10548:
10509:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}
10422:
10393:
10381:
10368:
10320:
10285:
10273:
10252:
10080:
10067:
9768:
9755:
9438:
9425:
9277:
9264:
9189:
9176:
9070:
9057:
9021:
8121:
8108:
7991:
7978:
7689:
7657:
6595:
6557:
6550:
6512:
6347:
6309:
6302:
6264:
3541:
3523:
3510:
3475:
3186:{\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}
2954:
2512:Summation may be defined recursively as follows:
12430:
9647:
3227:
347:{\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}
11773:In 1829, the summation symbol Σ is attested by
11677:In 1755, the summation symbol Σ is attested in
8144:
7342:{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }
7038:Powers and logarithm of arithmetic progressions
2339:, an enlarged form of the Greek capital letter
902:{\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}
12367:(in French). Paris: Gauthier-Villars. p.
12392:A History Of Mathematical Notations Volume II
12299:
11931:(2nd ed.). Addison-Wesley Professional.
9551:
9538:
2021:{\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}
928:
463:{\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}
64:
12357:
11687:. Euler uses the symbol in expressions like:
10785:
10772:
10195:
10189:
10147:
10132:
7026:{\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
2373:It is possible to sum fewer than 2 numbers:
12187:The History of Mathematics: An Introduction
3890:{\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}
1057:
1056:. Otherwise, summation is denoted by using
735:{\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}
27:Addition of several numbers or other values
12343:(in French). Paris: Didot. 1829. pp.
12323:: CS1 maint: location missing publisher (
12189:(7th ed.). McGraw-Hill. p. 414.
11748:{\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}
10781:
3658:{\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}
2738:
2130:
1859:{\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}
1022:, and are not considered in this article.
935:
921:
816:{\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}
71:
57:
11759:In 1772, usage of Σ and Σ is attested by
10162:
8028:
7086:{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }
7019:
7011:
4312:For more general approximations, see the
3908:provides a closed form in the case where
3173:
2963:that is defined over the integers in the
2831:
2124:
2118:
1233:
1229:Iterated binary operation § Notation
999:and, in general, elements of any type of
872:
868:
786:
782:
705:
701:
555:
551:
432:
428:
413:
409:
392:
388:
317:
313:
298:
294:
277:
273:
232:{\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}
202:
198:
183:
179:
162:
158:
141:
137:
120:
116:
5670:(commutativity and associativity, again)
5475:(a particular case of the formula above)
2146:{\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}
1237:
12213:(1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.).
12209:
14:
12431:
12385:
12259:
12236:
12219:. Berlin: Mayer & Müller. p.
12184:
12275:
12133:
12131:
12129:
12127:
8501:times the derivative with respect to
6611:(distributivity allows factorization)
4534:
2564:{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}
1729:. For example, one might write that:
12282:Institutiones Calculi differentialis
12156:
12154:
11684:Institutiones calculi differentialis
9002:Binomial coefficients and factorials
5279:(a variant of the preceding formula)
2751:theory, a sum can be expressed as a
2507:
1087:. For example, the sum of the first
10812:
8153:is assumed to be different from 1.
7349:(Sum of first even natural numbers)
6745:
3966:Approximation by definite integrals
2428:for addition. This is known as the
2315:A similar notation is used for the
2305:{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}
1975:in the specified range. Similarly,
24:
12124:
11808:
11698:
11560:
11410:
11286:
11196:
11112:
11028:
10692:
10661:
10591:
10552:
10397:
10372:
10289:
10256:
10071:
9759:
9542:
9429:
9268:
9180:
9061:
8112:
7982:
7281:(Sum of first odd natural numbers)
4490:
3730:
3698:
3595:
3572:
3514:
1915:{\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}
1091:natural numbers can be denoted as
25:
12455:
12410:
12162:"Calculus I - Summation Notation"
12151:
10201:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
3813:{\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}
2377:If the summation has one summand
12416:
12285:(in Latin). Petropolis. p.
12066:in the above formulae involving
7418:is the logarithm of the product)
3676:, the problem is to compute the
2967:, the following equation holds:
2499:
2368:
1869:is an alternative notation for
12379:
12351:
12331:
12293:
12269:
11894:Sigma § Character encoding
10971:
10952:
10868:
10153:
8130:{\displaystyle {\binom {p}{k}}}
7805:
7593:
7403:
7338:
7270:
7190:
7082:
6972:
6822:
6715:
6600:
6417:
6242:
6073:
5924:
5659:
5464:
5369:
5268:
5133:
4987:
4896:
4781:
4627:
3716:{\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}
3095:fundamental theorem of calculus
12203:
12178:
12100:
11976:
11945:
11919:
11906:
11729:
11704:
11670:arose later in exchanges with
11614:
11592:
11585:
11563:
11522:
11515:
11457:
11448:
11441:
11413:
11385:
11378:
11320:
11311:
11304:
11289:
11274:
11267:
11212:
11199:
11134:
11115:
11050:
11031:
10494:
10482:
10010:
9998:
9992:
9980:
9972:
9954:
9945:
9933:
9815:
9796:
9469:
9450:
9379:{\displaystyle 0\leq p\leq 1,}
9306:
9293:
9118:
9105:
9022:Involving the binomial theorem
8991:arithmetico–geometric sequence
8959:
8946:
8941:
8916:
8874:
8862:
8856:
8837:
8805:
8792:
8771:
8759:
8475:
8462:
8441:
8429:
7726:
7714:
7531:
7516:
7513:
7501:
7335:
7323:
7254:
7239:
7181:
7169:
6966:
6954:
6903:
6891:
6817:
6811:
6774:
6768:
6712:
6706:
6663:
6657:
6239:
6224:
6188:
6179:
6143:
6137:
6070:
6055:
6025:
6016:
5986:
5980:
5461:
5449:
5419:
5413:
5366:
5354:
5318:
5312:
5265:
5259:
5223:
5217:
5187:
5181:
5130:
5124:
5088:
5082:
5052:
5046:
4981:
4978:
4972:
4966:
4941:
4935:
4893:
4881:
4839:
4833:
4773:
4767:
4758:
4752:
4717:
4711:
4681:
4675:
4624:
4618:
4582:
4576:
4487:
4449:
4443:
4284:
4278:
4242:
4236:
4197:
4191:
4115:
4109:
4073:
4067:
4028:
4022:
3924:
3918:
3881:
3875:
3839:
3833:
3804:
3798:
3789:
3783:
3774:
3762:
3649:
3643:
3634:
3622:
3613:
3607:
3604:
3598:
3376:
3363:
3275:
3269:
3260:
3248:
3234:
3220:
3214:
3170:
3164:
3135:
3129:
3120:
3114:
3099:calculus of finite differences
3070:
3067:
3061:
3052:
3040:
3034:
3001:
2995:
2986:
2980:
2955:Calculus of finite differences
2870:
2858:
2823:
2811:
2800:
2794:
2695:
2689:
2653:
2647:
2638:
2632:
2552:
2546:
2172:
2166:
2140:
2134:
2120:
2047:
2041:
2015:
2009:
1938:
1932:
1906:
1900:
1853:
1847:
1194:
1182:
1018:. They involve the concept of
865:
857:
13:
1:
12359:Fourier, Jean-Baptiste Joseph
12093:
9652:In the following summations,
9648:Involving permutation numbers
8505:of the geometric progression)
8149:In the following summations,
4514:
3423:, this may be rewritten as:
1139:for the result. For example,
1125:{\textstyle \sum _{i=1}^{n}i}
1029:, and results in 9, that is,
12309:(in French). Paris. p.
11766:In 1823, the capital letter
8145:Summation index in exponents
4496:{\displaystyle n\to \infty }
2727:{\displaystyle b\geqslant a}
2397:, then the evaluated sum is
1054:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100
7:
12306:Oeuvres de Lagrange. Tome 3
11852:
10965:generalized harmonic number
9681:{\displaystyle {}_{n}P_{k}}
4529:list of mathematical series
3093:and is the analogue of the
2259:{\displaystyle \sum _{i,j}}
2185:over all positive integers
1222:
10:
12460:
12364:Oeuvres de Fourier. Tome 2
12211:Leibniz, Gottfried Wilhelm
11642:
9005:
7205:, consisting of the first
6084:(splitting a sum into its
3943:{\displaystyle f(n)=n^{k}}
3904:for such a summation, but
3745:{\displaystyle \Delta F=f}
1226:
40:Summation (disambiguation)
29:
12395:. Open Court Publishing.
12185:Burton, David M. (2011).
11982:Although the name of the
11879:Kahan summation algorithm
11874:Iterated binary operation
11650:Gottfried Wilhelm Leibniz
10976:The following are useful
10216:
9386:expresses the sum of the
9337:, the special case where
834:
826:
756:
745:
644:
636:
482:
474:
365:
357:
250:
242:
93:
85:
34:. For infinite sums, see
11899:
7824:More generally, one has
7097:that does not depend on
6092:parts, for even indexes)
5144:(splitting a sum, using
4525:transcendental functions
1502:This is read as "sum of
1459:upper bound of summation
1449:lower bound of summation
1007:denoted "+" is defined.
12166:tutorial.math.lamar.edu
9643:of the binomial theorem
9504:of the binomial theorem
9221:the special case where
7610:square pyramidal number
4521:trigonometric functions
4314:Euler–Maclaurin formula
3578:{\displaystyle \Delta }
2739:Measure theory notation
2178:{\displaystyle \mu (d)}
1137:closed-form expressions
1080:is an enlarged capital
12301:Lagrange, Joseph-Louis
12080:
12060:
12040:
12020:
12000:
11968:
11843:
11812:
11749:
11627:for non-negative real
11621:
11508:
11470:for non-negative real
11464:
11371:
11327:
11260:
11219:
11182:
11141:
11098:
11057:
11014:
10957:
10916:
10873:
10844:
10803:
10750:
10716:
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10618:
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10510:
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10330:
10248:
10202:
10176:
10109:
10054:
10020:
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9911:
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9053:
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8613:
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8240:
8189:
8131:
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8058:
7974:
7883:
7848:
7847:{\displaystyle p>1}
7810:
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7598:
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7447:
7408:
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7343:
7310:
7275:
7238:
7203:arithmetic progression
7195:
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4468:
4381:
4303:
4232:
4134:
4063:
3974:, which holds for any
3944:
3902:closed-form expression
3900:There is not always a
3891:
3871:
3814:
3746:
3717:
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2702:
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2591:
2590:{\displaystyle b<a}
2565:
2542:
2496:, then there is none.
2490:
2458:
2424:, because zero is the
2411:
2391:
2360:
2333:
2306:
2260:
2221:
2199:
2179:
2147:
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2074:
2054:
2022:
1969:
1945:
1916:
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1696:
1676:
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1633:
1560:
1413:
1309:
1264:
1243:
1234:Capital-sigma notation
1210:
1169:
1126:
1118:
1074:
1033:. Because addition is
975:; the result is their
903:
878:
817:
792:
736:
711:
626:
561:
464:
438:
348:
323:
233:
208:
38:. For other uses, see
12439:Mathematical notation
12081:
12061:
12041:
12021:
12001:
11969:
11884:Product (mathematics)
11844:
11792:
11750:
11622:
11488:
11465:
11351:
11328:
11240:
11220:
11162:
11142:
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11058:
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10958:
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9891:
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9823:
9712:
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9388:binomial distribution
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8248:geometric progression
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8132:
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8087:{\displaystyle B_{k}}
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7621:
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7344:
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7276:
7218:
7201:(Sum of the simplest
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7136:
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7049:
7028:
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6978:
6930:
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6721:
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5608:
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5375:
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3554:
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3331:
3289:
3188:
3101:, which states that:
3081:
3007:
2942:
2922:
2902:
2887:of the integers from
2878:
2843:
2765:
2729:
2703:
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2489:{\displaystyle n=m-1}
2459:
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2392:
2361:
2343:, is used instead of
2334:
2317:product of a sequence
2307:
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1717:
1697:
1677:
1657:
1634:
1540:
1414:
1284:
1274:. This is defined as
1265:
1241:
1227:Further information:
1211:
1149:
1127:
1098:
1075:
904:
879:
818:
793:
737:
712:
627:
562:
465:
439:
349:
324:
234:
209:
50:Arithmetic operations
12425:at Wikimedia Commons
12108:"Summation Notation"
12070:
12050:
12030:
12010:
11990:
11958:
11789:
11695:
11662:calculus summatorius
11485:
11348:
11237:
11159:
11075:
10991:
10893:
10821:
10727:
10629:
10521:
10443:
10341:
10225:
10186:
10031:
9833:
9709:
9656:
9510:
9395:
9355:
9237:
9149:
9030:
9015:Concrete Mathematics
8511:
8358:
8256:
8160:
8139:binomial coefficient
8102:
8071:
7860:
7832:
7818:Nicomachus's theorem
7618:
7424:
7355:
7287:
7215:
7106:
7046:
7007:
6987:
6843:
6736:
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6438:
6259:
6098:
5941:
5676:
5481:
5386:
5285:
5154:
5019:
4913:
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3108:
2974:
2940:{\displaystyle \mu }
2931:
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2712:
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2347:
2323:
2276:
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2107:
2084:
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2053:{\displaystyle f(x)}
2035:
1982:
1959:
1944:{\displaystyle f(k)}
1926:
1873:
1819:
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1706:
1686:
1666:
1646:
1537:
1477:starts out equal to
1281:
1254:
1242:The summation symbol
1146:
1095:
1064:
1001:mathematical objects
889:
840:
803:
762:
722:
650:
573:
488:
450:
371:
334:
256:
219:
99:
36:Series (mathematics)
11859:Capital-pi notation
10951:
7826:Faulhaber's formula
4439:
4274:
4187:
4105:
4018:
3956:polynomial function
3906:Faulhaber's formula
3564:difference operator
3155:
3089:This is known as a
2951:over the integers.
2743:In the notation of
2457:{\displaystyle n=m}
2359:{\textstyle \sum .}
2332:{\textstyle \prod }
1795:
1756:
12076:
12056:
12036:
12016:
11996:
11964:
11889:Summation by parts
11839:
11745:
11617:
11460:
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8973:
8487:
8345:(special case for
8335:
8236:
8127:
8084:
8054:
7844:
7806:
7604:(Sum of the first
7594:
7404:
7339:
7271:
7191:
7083:
7023:
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5134:
5005:from a finite set
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4628:
4535:General identities
4493:
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3183:
3141:
3091:telescoping series
3076:
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2587:
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2407:
2387:
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2329:
2302:
2298:
2288:
2256:
2255:
2217:
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