14415:
13475:
8214:
14410:{\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{\mu \kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}\\&-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\{\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p){\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}\eta ^{\nu \lambda }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\nu }p^{\lambda }{\Big )}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p).\end{aligned}}}
8997:
7335:
8209:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{n}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z}}{\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}}}{\frac {\delta Z}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{n-1}Z}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}}}{\frac {\delta Z}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}Z}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}}}{\frac {\delta ^{2}Z}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}Z}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}}}{\frac {\delta ^{3}Z}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{n-3}Z}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}
8221:
15828:
8992:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z}}{\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{n}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{n-1}F}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}F}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}F}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{n-3}F}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}
15114:
13469:
16463:
15823:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }(x)&=\int \Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \mu }(x')dx'\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')dx'\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\right)\int \Delta (x-x')\leftdx'.\end{aligned}}}
12995:
4594:
16113:
13464:{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}}
10021:
17708:
4108:
5307:
16458:{\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }+{\dfrac {1}{m^{2}}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\rho }T_{\rho \nu }+\partial _{\nu }\partial ^{\rho }T_{\rho \mu }-{\frac {1}{2}}~\eta _{\mu \nu }\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\right)+{\frac {2}{3m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }}
14788:
16707:
9520:
1458:
21087:
4589:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-1}{Z}}{\frac {\delta ^{2}Z}{\delta J(x)\delta J(x')}}{\Bigg \vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\Bigg \{}Z\left(\int d^{4}y'\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}yJ(y)\Delta (y-x')\right){\Bigg \}}{\Bigg \vert }_{J=0}={\frac {Z}{Z}}\Delta (x-x'){\Bigg \vert }_{J=0}\\\quad \\&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}
19196:
5023:
14967:
6293:
17385:
14519:
11449:
16472:
2161:
16938:
10516:
10016:{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\Big |}_{on-shell}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}}
18169:
6819:
20256:
19789:
6022:
21701:
20159:
7221:
17957:
21751:
is obtained from the properties of the projection operator, the tracelessness of the current, and the conservation of the current after being projected by the operator. These conditions can be derived form the Fierz-Pauli and the Fang-Fronsdal conditions on the fields themselves. The
Lagrangian
5302:{\displaystyle {\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,~{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,~{\frac {\delta \Gamma }{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,~{\frac {\delta \Gamma }{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.}
17290:
14804:
17703:{\displaystyle x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{\ell }}\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)x'^{\nu _{1}}\cdots x'^{\nu _{\ell }}={\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell ,m}(x)Y_{\ell ,m}^{*}(x')}
14783:{\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)={\frac {1}{2}}{\Big (}{\bar {\eta }}_{\mu \kappa }(p){\bar {\eta }}_{\nu \lambda }(p)+{\bar {\eta }}_{\mu \lambda }(p){\bar {\eta }}_{\nu \kappa }(p)-{\frac {2}{3}}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p){\bar {\eta }}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}}
6065:
12986:
12235:
11246:
16702:{\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\dfrac {1}{6m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\left(\square +3m^{2}\right){\mathfrak {T}}.}
7039:
1211:
346:
In terms of the statistical and non-relativistic applications, Schwinger's source formulation plays crucial rules in understanding many non-equilibrium systems. Source theory is theoretically significant as it needs neither divergence regularizations nor renormalization.
11584:
2692:
21304:
18892:
16776:
2888:
11153:
739:
15061:. Interestingly, massive gravity theories have not been widely appreciated until recently due to apparent inconsistencies obtained in the early 1970's studies of the exchange of a single spin-2 field between two sources. But in 2010 the dRGT approach of exploiting
21756:. The non-relativistic version of the projection operators, developed by Charles Zemach who is another student of Schwinger, is used heavily in hadron spectroscopy. Zemach's method could be relativistically improved to render the covariant projection operators.
18388:
970:
1829:
5691:
15929:
3250:
10189:
126:'s formulation the source is responsible for creating or destroying (detecting) particles. In a collision reaction a source could be other particles in the collision. Therefore, the source appears in the vacuum amplitude acting from both sides on the
17962:
19992:
16052:
6601:
21082:{\displaystyle {\begin{aligned}W_{\frac {3}{2}}&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu }(-p)~{\Big }~J^{\nu }(p)\\&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu }(-p)~{\Big }~J^{\nu }(p).\end{aligned}}}
11694:
6639:
19379:
9384:
3374:
5841:
1155:
3601:
21352:
3484:
20029:
17133:
14506:
7044:
10887:
3786:
1692:
17744:
18887:
274:
17138:
11239:
4631:. The general method by which such source fields are utilized to obtain propagators in both quantum, statistical-mechanics and other systems is outlined as follows. Upon redefining the partition function in terms of
14962:{\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }^{m=0}={\frac {1}{2}}{\Big (}\eta _{\mu \kappa }\eta _{\nu \lambda }+\eta _{\mu \lambda }\eta _{\nu \kappa }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\kappa \lambda }{\Big )}}
553:
6288:{\displaystyle \langle {\mathcal {F}}\rangle =e^{-i\Gamma }~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}~\exp {{\Bigg \{}i{\Big -{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma {\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }
3985:
11444:{\displaystyle {\begin{aligned}(\Box +m^{2})A_{\mu }=J_{\mu }+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\(\Box +m^{2})A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}}
4060:
20212:
1453:{\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i{\Big \langle }0,x'_{0}{\Big |}\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\Big (}a^{\dagger }+a{\Big )}{\Big |}0,x''_{0}~{\Big \rangle }_{J}}
16102:
12244:
6868:
19326:
11705:
10097:
5018:
2237:
1517:
11473:
5432:
19191:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left\lambda }(x)\Delta (x-x')S_{\lambda }(x')+{\frac {2}{3-N}}S_{\alpha }(x)\Delta (x-x')S_{\beta }(x')\right]\right)}}
18745:
16933:{\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\frac {1}{3m^{2}}}~\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathfrak {T}}}
21190:
20261:
19384:
15119:
13480:
13000:
12249:
11710:
11251:
8226:
7340:
4113:
2785:
1834:
17041:
570:
2333:
4707:
3658:
2156:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Big }}\\&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if(x_{0}-x'_{0})}}{f-E+i\epsilon }}\end{aligned}}}
18177:
852:
18393:
The symmetric properties of the projection operator make it easier to deal with the vacuum amplitude in the momentum space. Therefore rather that we express it in terms of the correlator
16749:
15969:
15016:
2521:
2401:
5834:
1204:
1032:
21128:
108:
15107:
5515:
4101:
17374:
10511:{\displaystyle \langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')|0\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\epsilon }}\lefte^{ip^{\mu }(x_{\mu }-x'_{\mu })}}
9513:
2528:
398:
18164:{\displaystyle e^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)~x_{\mu _{1}}\cdots x_{\mu _{\ell }}={\sqrt {{\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}~~Y_{\ell ,m}(x)}
15055:
5504:
15835:
9102:
2963:
1822:
21749:
10941:
21345:
18431:
10934:
9463:
2734:
17334:
10146:
21158:
2165:
The last result is the
Schwinger's source theory for interacting scalar fields and can be generalized to any spacetime regions. The discussed examples below follow the metric
17331:
16985:
20021:
19235:
7270:
6058:
5773:
5720:
1779:
19372:
9059:
19798:
18803:
15974:
6814:{\displaystyle G_{\Gamma }^{N,~c}={\frac {\delta \Gamma }{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}
20249:
10182:
6463:
2916:
1744:
845:
19784:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Bigg }}\\&=\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\exp {{\Bigg }}\langle 0|0\rangle _{J_{a}}.\end{aligned}}}
11589:
21185:
6327:
is the action of the free
Lagrangian. The last two integrals are the pillars of any effective field theory. This construction is indispensable in studying scattering (
4761:
161:
14976:, the projector operator is crucial to check the symmetric properties of the field, the conservation law of the current, and the allowed physical degrees of freedom.
6863:
6394:
6017:{\displaystyle e^{i\Gamma }={\mathcal {N}}\int \exp {{\Bigg \{}i{\Big -{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma {\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }
4866:
2426:
1068:
10575:
10545:
5467:
3258:
17739:
5793:
5744:
5329:
2956:
2758:
2453:
2275:
786:
325:
305:
181:
69:
21696:{\displaystyle W_{j+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {j+1}{2j+3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu _{1}\cdots \mu _{j}}(-p)~{\Big }~J^{\nu _{1}\cdots \nu _{j}}(p).}
4808:
1522:
As the integral is in the time domain, one can
Fourier transform it, together with the creation/annihilation operators, such that the amplitude eventually becomes
1073:
1721:
283:
in a region of the spacetime. As one sees in the examples below, the source field appears on the right-hand side of the equations of motion (usually second-order
20154:{\displaystyle \Pi _{\mu \nu }={\bar {\eta }}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\gamma ^{\alpha }{\bar {\eta }}_{\alpha \mu }\gamma ^{\beta }{\bar {\eta }}_{\beta \nu }.}
3489:
16769:
9406:
9109:
7328:
7299:
6843:
6630:
6452:
6423:
6325:
4895:
3379:
2936:
2778:
2473:
2353:
815:
762:
49:
7216:{\displaystyle G_{\Gamma }^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}
17049:
14422:
17952:{\displaystyle e_{(m)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}e_{(m)i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }},~\forall x_{i}\in S^{N-1}.}
18763:. But one should take care of the unphysical degrees of freedom in the theory. For example in N-dimensions and for a mixed symmetric massless version of
10594:
18808:
16105:
10586:
10585:. The massive case is more interesting as the current is not demanded to conserved. However, the current can be improved in a way similar to how the
3664:
17285:{\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}
2737:
188:
3672:
11160:
22082:
408:
15971:
is not necessarily conserved (it is not a gauge condition as that of the massless case). But the energy-momentum tensor can be improved as
1527:
3791:
562:
127:
12981:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{T}=\exp {\Bigg (}-{\frac {i}{2}}\int &{\Bigg }dx~dx'{\Bigg )}.\end{aligned}}}
7034:{\displaystyle G_{F}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}
401:
12230:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Big (}-{\frac {i}{2}}\int {\Big }dx~dx'{\Big )},\end{aligned}}}
20164:
6344:
16057:
137:
11579:{\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }}
10028:
4918:
2168:
17714:
5469:
between
Helmholtz free energy and entropy. It is now clear that thermal and statistical field theories stem fundamentally from
22762:
22540:
22482:
22452:
22370:
22140:
22058:
21947:
21919:
21876:
5334:
21299:{\displaystyle {\bar {J}}_{\mu }(p)={\frac {2}{5}}\gamma ^{\alpha }\Pi _{\mu \alpha \nu \beta }\gamma ^{\beta }J^{\nu }(p).}
18438:
3990:
2883:{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}
14513:
734:{\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{N})=(-i)^{n}{\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{N})}}{\Bigg |}_{J=0}}
9525:
16990:
15109:
and follows the same procedure used to define massive spin-1 fields, then it is easy to define massive spin-2 fields as
22173:
19242:
19198:
which for a theory in N=4 makes the source eventually reveal that it is a theory of a non physical field. However, the
2284:
1206:. In light of the relation between partition function and its correlators, the variation of the vacuum amplitude gives
18383:{\displaystyle \Pi ^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)=\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }~^{*}}
4638:
4608:
established the foundations of the effective field theory, which is widely appreciated among physicists. Despite the "
965:{\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}a)}
22573:
22507:
22285:
22260:
22232:
22105:
21828:
3606:
11697:
10589:
is improved so it ends up being conserved. And to get the equation of motion for the massive vector, one can define
16714:
15934:
14982:
2478:
2358:
1158:
18755:
Also, it is theoretically consistent to generalize the source theory to describe hypothetical gauge fields with
10184:. The last result matches with the used propagator in the vacuum amplitude in the configuration space, that is,
5798:
5686:{\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~}~\phi ~}{Z/{\mathcal {N}}}}}
3667:
is obtained from the partition function as follows. The last result allows us to read the partition function as
1463:
1164:
975:
21094:
2687:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx~dx'J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}
77:
23123:
21775:
20023:
15924:{\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h={\frac {1}{m^{2}}}\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}
15071:
6332:
4065:
3245:{\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\left\right)}}
284:
21901:
11148:{\displaystyle A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left.}
9468:
358:
15021:
5483:
4815:
17377:
22253:
Quantum Field Theory I: Basics in
Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists
21708:
14973:
133:
22502:. D. V. Shirkov. Reading, MA: Benjamin/Cummings Pub. Co., Advanced Book Program/World Science Division.
21311:
15065:
led to consistent covariantized massive theory free of all ghosts and discontinuities obtained earlier.
14508:, where the projection operator, or the Fourier transform of Jacobi field operator obtained by applying
10894:
9411:
22122:
17340:
10102:
2247:
140:
and can be related to the path integral formulation as the variation with respect to the source per se
21133:
17292:. The generalized projection operator also helps generalizing the electromagnetic polarization vector
19987:{\displaystyle W_{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J(-p){\Big }~J(p).}
17295:
16951:
16047:{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}}
9064:
6352:
4624:
1784:
328:
119:
19999:
19213:
7226:
6596:{\displaystyle G_{F}^{N,~c}={\frac {\delta F}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}
6030:
5749:
5696:
1749:
22749:, Geometry and Computing, vol. 13, Cham: Springer International Publishing, pp. 265–360,
19331:
18396:
11467:
9018:
2699:
340:
18769:
11689:{\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu })}
5311:
The integration in the definition of the effective action is allowed to be replaced with sum over
22434:
20217:
10582:
10151:
5723:
4902:
2895:
2736:
is the propagator (correlator) of the sources. The second term of the last amplitude defines the
22830:
22598:
22190:
21973:"Photons and Gravitons in Perturbation Theory: Derivation of Maxwell's and Einstein's Equations"
1726:
820:
21780:
17718:
6340:
5470:
3369:{\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}.}
21163:
4712:
143:
18756:
6848:
6361:
6328:
5474:
4821:
4811:
1150:{\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}
1040:
22831:"On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field"
10554:
10524:
6347:. Additionally, this theoretical framework initiates line of thoughts, publicized mainly be
5437:
17724:
14798:
5778:
5729:
5314:
4628:
3596:{\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)J(x)}
2941:
2743:
2431:
2278:
2253:
771:
310:
290:
166:
54:
22011:
9379:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left\right)}}
4766:
4609:
3479:{\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)}
847:. This motivates considering the Hamiltonian of forced harmonic oscillator as a toy model
8:
15062:
1700:
20:
22835:
Proceedings of the Royal
Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
21856:
4103:. Consequently, the propagator is defined by varying the partition function as follows.
2406:
22858:
22768:
22742:
22700:
22682:
22415:
22330:
22146:
22076:
21770:
21752:
formulations of massive fields and their conditions were studied by
Lambodar Singh and
18760:
17043:
16754:
14794:
14419:
And with help of symmetric properties of the source, the last result can be written as
9391:
7304:
7275:
6828:
6606:
6428:
6399:
6301:
4871:
2921:
2763:
2458:
2338:
791:
747:
34:
22792:
22670:
21863:, SpringerBriefs in Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 31–50,
17128:{\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}
14501:{\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}
23068:
22998:
22959:
22862:
22850:
22812:
22808:
22772:
22758:
22704:
22651:
22614:
22579:
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22536:
22513:
22503:
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22031:
21992:
21953:
21943:
21915:
21872:
21834:
21824:
21765:
5508:
23048:
22908:
22877:
21972:
4623:
considered as a function of the source fields. This method is commonly used in the
4612:", Weinberg gave the credit to Schwinger for catalyzing this theoretical framework.
350:
23099:
23087:
23060:
23029:
23017:
22990:
22951:
22920:
22889:
22842:
22804:
22750:
22692:
22641:
22610:
22440:
22399:
22358:
22314:
22202:
22128:
22023:
21984:
21907:
21864:
4910:
4616:
4599:
336:
280:
123:
22978:
22939:
22475:
Quantum theory of gravity: essays in honor of the 60. birthday of Bryce S. DeWitt
21911:
18764:
15058:
14509:
11463:
11459:
6633:
6456:
6336:
4605:
115:
22754:
21868:
19237:
10882:{\displaystyle W=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left.}
22696:
22444:
18882:{\displaystyle S_{\lambda }=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }T_{\lambda }}
22362:
22351:
Esposito, Giampiero; Kamenshchik, Alexander Yu.; Pollifrone, Giuseppe (1997).
22132:
10548:
6821:. Consequently in the one particle irreducible graphs (usually acronymized as
23117:
23064:
23002:
22963:
22924:
22893:
22854:
22816:
22655:
22550:
22411:
22326:
22068:
22035:
21996:
21988:
21957:
19199:
4632:
4620:
2250:
explains how sources weakly act. For a weak source emitting spin-0 particles
332:
23103:
23033:
22583:
21838:
11241:. Thus, the equation of motion can be written in any of the following forms
269:{\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~J(t)\phi (t)}}
23072:
22994:
22955:
22846:
22719:
22517:
10578:
9012:
6348:
3781:{\displaystyle Z=Ze^{{\frac {i}{2}}\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }}
16943:
11234:{\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=(1/m^{2})\partial _{\mu }J^{\mu }}
21753:
16711:
One can use the divergence condition to decouple the non-physical fields
22628:
Freund, Peter G. O.; Maheshwari, Amar; Schonberg, Edmond (August 1969).
22403:
22318:
558:
548:{\displaystyle Z={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~}}
22027:
22387:
22302:
14793:
In N-dimensional flat spacetime, 2/3 is replaced by 2/(N-1). And for
10891:
One can apply integration by part on the second term then single out
10581:
makes the spin-1 massive. The massless case is obvious as studied in
1687:{\displaystyle \langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=\exp {{\Big }}}
3980:{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}~e^{-i\int dt~}}
2740:. And for some interaction theory, the Lagrangian of a scalar field
22646:
22629:
744:
One implements the quantum variational methodology to realize that
22687:
4596:
This motivates the discussing the mean field approximation below.
22979:"Lagrangian formulation for arbitrary spin. II. The fermion case"
351:
Relation between path integral formulation and source formulation
4600:
Effective action, mean field approximation, and vertex functions
23088:"General formulation of covariant helicity-coupling amplitudes"
22718:
Van
Kortryk, Thomas; Curtright, Thomas; Alshal, Hassan (2021).
12990:
This amplitude in momentum space gives (transpose is imbedded)
22940:"Lagrangian formulation for arbitrary spin. I. The boson case"
22743:"Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups"
22388:"Relativistic field theories with symmetry-breaking solutions"
22303:"Relativistic field theories with symmetry-breaking solutions"
1157:. From now on we drop the hat and the asterisk. Remember that
355:
In the
Feynman's path integral formulation with normalization
22350:
21942:(2nd ed.). Princeton, N.J.: Princeton University Press.
20207:{\displaystyle \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }}
2455:
absorbs that single particle within another spacetime region
16097:{\displaystyle \partial ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0}
7272:, the most general relations between the N-points connected
3486:
term in the amplitude above can be Fourier transformed into
18759:
and mixed symmetric properties in arbitrary dimensions and
5434:. The last equation resembles the thermodynamical relation
22717:
11453:
10092:{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}
5013:{\displaystyle \Gamma =W-\int d^{4}xJ(x){\bar {\phi }}(x)}
2232:{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}
22627:
22275:
22100:(2nd ed.). Cambridge University Press. p. 175.
17741:
on a unit (N-1)-sphere defines the polarization tensor as
22599:"Interacting field of spin 2 and the einstein equations"
21823:. Reading, Mass.: Advanced Book Program, Perseus Books.
18750:
23046:
22535:. Jean Bernard Zuber. Dordrecht: Springer Netherlands.
22473:
Christensen, Steven M.; DeWitt, Bryce S., eds. (1984).
16944:
Massive totally symmetric arbitrary integer spin fields
14979:
It is worth noting that the vacuum polarization tensor
5427:{\displaystyle \Gamma =W-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}
23047:
Filippini, V.; Fontana, A.; Rotondi, A. (1995-03-01).
18740:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {{\Big }}}
9388:
In momentum space, the spin-1 particle with rest mass
4055:{\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }
22596:
22195:
Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications
21711:
21355:
21314:
21193:
21166:
21136:
21097:
20259:
20220:
20167:
20032:
20002:
19801:
19382:
19334:
19245:
19216:
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18895:
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17965:
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17388:
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16993:
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16779:
16757:
16717:
16575:
16475:
16176:
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16060:
15977:
15937:
15838:
15117:
15074:
15024:
14985:
14807:
14522:
14425:
13478:
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12247:
11708:
11592:
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11249:
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10597:
10557:
10527:
10192:
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10105:
10031:
9523:
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9067:
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8224:
7338:
7307:
7278:
7229:
7047:
6871:
6851:
6845:-correlator is defined as the inverse of the 2-point
6831:
6642:
6609:
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6431:
6402:
6364:
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1167:
1076:
1043:
978:
855:
823:
817:
can be seen as the expectation value of the function
794:
774:
750:
573:
411:
361:
313:
293:
191:
169:
146:
80:
57:
37:
22354:
Euclidean Quantum Gravity on Manifolds with Boundary
19793:
In momentum space the reduced amplitude is given by
6865:-correlator, i.e., the usual reduced correlation is
6351:
who was a PhD student of Schwinger, on developing a
2958:
to the momentum space, the vacuum amplitude becomes
1697:
It is easy to notice that there is a singularity at
22669:de Rham, Claudia; Gabadadze, Gregory (2010-08-10).
22597:Ogievetsky, V.I; Polubarinov, I.V (November 1965).
22276:Kleinert, Hagen; Schulte-Frohlinde, Verena (2001).
21903:
The Schwinger Action Principle and Effective Action
22280:. World Scientific Publishing Co. pp. 68–70.
21743:
21695:
21339:
21298:
21179:
21152:
21122:
21081:
20243:
20206:
20153:
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17368:
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17284:
17127:
17036:{\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)}
17035:
16979:
16932:
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6603:, then the corresponding correlator obtained from
6595:
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43:
22740:
22533:Quantum Field Theory: Perspective and Prospective
22472:
21643:
21507:
21045:
21010:
20970:
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19737:
19703:
19660:
19605:
19549:
19522:
19482:
19427:
19321:{\displaystyle S(x-x')=(p\!\!\!/+m)\Delta (x-x')}
19280:
19279:
19278:
18731:
18478:
14954:
14853:
14775:
14566:
14364:
14304:
14297:
14237:
14191:
14005:
13998:
13938:
13924:
13740:
13686:
13498:
12966:
12939:
12314:
12287:
12215:
12188:
11778:
11755:
9826:
8974:
8825:
8815:
8679:
8656:
8504:
8494:
8378:
8191:
8014:
8004:
7840:
7817:
7627:
7483:
7145:
6969:
6779:
6576:
6271:
6263:
6253:
6201:
6179:
6169:
6000:
5992:
5982:
5930:
5908:
5898:
5836:, so the vacuum amplitude can be reintroduced as
5261:
5182:
5094:
4524:
4446:
4438:
4289:
4210:
2328:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}
2005:
1877:
1678:
1599:
1439:
1409:
1402:
1379:
1315:
1289:
714:
23115:
22668:
22227:. Princeton University Press. pp. 331–341.
10936:to get a definition of the massive spin-1 field
4702:{\displaystyle W=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}
4615:All Green's functions may be formally found via
122:and responsible for the theory interactions. In
15832:The corresponding divergence condition is read
3653:{\displaystyle (\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}=J}
788:. From the perspectives of probability theory,
23049:"Covariant spin tensors in meson spectroscopy"
22530:
18174:And the projection operator can be defined as
6358:Back to Green functions of the actions. Since
4062:is the vacuum amplitude derived by the source
2918:to the mass term then Fourier transforms both
2738:partition function of free scalar field theory
2523:. Thus, the full vacuum amplitude is given by
16771:, so the equation of motion is simplified as
7637:
22977:Singh, L. P. S.; Hagen, C. R. (1974-02-15).
22938:Singh, L. P. S.; Hagen, C. R. (1974-02-15).
22906:
22497:
22385:
22300:
22225:Quantum Field Theory: An Integrated Approach
19758:
19743:
19580:
19565:
19402:
19387:
18911:
18896:
18457:
18442:
17959:Then, the generalized polarization vector is
16744:{\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }}
15964:{\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}
15090:
15075:
12267:
12252:
11728:
11713:
11700:, the vacuum amplitude in a compact form is
10643:
10628:
10258:
10193:
9128:
9113:
9061:acting on different causal spacetime points
7172:
7166:
6806:
6800:
6088:
6069:
5525:
5519:
5493:
5487:
5288:
5282:
5120:
5114:
4687:
4672:
4084:
4069:
4049:
3994:
3773:
3718:
2981:
2967:
2547:
2532:
2497:
2482:
2377:
2362:
2303:
2288:
1852:
1837:
1578:
1531:
1272:
1225:
22741:Gallier, Jean; Quaintance, Jocelyn (2020),
22566:The global approach to quantum field theory
22432:
21347:, the above results can be generalized to
16108:construction. Thus, the equation of motion
15011:{\displaystyle {\bar {\eta }}_{\nu \beta }}
11157:Additionally, the equation above says that
9001:
2516:{\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}
2403:is created within certain spacetime region
2396:{\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}
22976:
22937:
22671:"Generalization of the Fierz-Pauli action"
22127:(1 ed.). Cambridge University Press.
22081:: CS1 maint: location missing publisher (
21906:(1 ed.). Cambridge University Press.
19374:as defined above, the vacuum amplitude is
17335:quantized electromagnetic vector potential
5829:{\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }
4818:, to absorb the complex number, and hence
1512:{\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}
1199:{\displaystyle \phi \sim (a^{\dagger }+a)}
1027:{\displaystyle E^{2}=m^{2}+{\vec {p}}^{2}}
22909:"Massless fields with half-integral spin"
22790:
22686:
22645:
22012:"Brownian Motion of a Quantum Oscillator"
22009:
21818:
21123:{\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }}
16:Type of field appearing in the Lagrangian
22875:
22188:
21970:
15018:and the improved energy momentum tensor
103:{\displaystyle S_{\text{source}}=J\phi }
22250:
22222:
22120:
22051:Field theory of non-equilibrium systems
22048:
17378:addition theorem of spherical harmonics
15102:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{T}}
11454:Massive totally symmetric spin-2 fields
4096:{\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}
23116:
23015:
22563:
22433:Farhi, E.; Jackiw, R. (January 1982),
22163:
21854:
9508:{\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}}
6355:effective theory for quantum gravity.
1037:In fact, the current is real, that is
393:{\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z}
23085:
22907:Fang, J.; Fronsdal, C. (1978-11-15).
22346:
22344:
22278:Critical Properties of phi^4-Theories
22246:
22244:
22218:
22216:
22095:
18751:Mixed symmetric arbitrary spin fields
15050:{\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }}
5499:{\displaystyle \langle \phi \rangle }
22747:Differential Geometry and Lie Groups
22124:Introduction to Quantum Field Theory
21933:
21931:
21899:
21895:
21893:
21861:Schwinger's Quantum Action Principle
21850:
21848:
21814:
21812:
21810:
21808:
21806:
21804:
21802:
21800:
21798:
21796:
10551:makes the spin-1 massless. And when
5746:is decomposed into a classical part
4604:Based on Schwinger's source theory,
138:Schwinger's quantum action principle
22878:"Massless fields with integer spin"
22568:. Oxford: Oxford University Press.
22439:, WORLD SCIENTIFIC, pp. 1–14,
22357:. Dordrecht: Springer Netherlands.
21937:
21744:{\displaystyle {\frac {j+1}{2j+3}}}
21091:One can replace the reduced metric
18247:
17617:
16925:
16870:
16825:
16691:
16566:
16521:
16074:
16039:
15981:
7041:, and the effective correlation is
5477:. Back to the Legendre transforms,
114:This term appears in the action in
13:
22876:Fronsdal, Christian (1978-11-15).
22341:
22241:
22213:
21940:Quantum field theory in a nutshell
21542:
21340:{\displaystyle (j+{\frac {1}{2}})}
21246:
20034:
19295:
19206:Arbitrary half-integer spin fields
19118:
19007:
18848:
18838:
18582:
18400:
18182:
17914:
17427:
17182:
17076:
16914:
16904:
16719:
16614:
16604:
16433:
16423:
16376:
16366:
16308:
16298:
16246:
16236:
16210:
16200:
16062:
15939:
15899:
15866:
15840:
15758:
15745:
15656:
15639:
15629:
15520:
15507:
15483:
15471:
15461:
15381:
15357:
15345:
15272:
15248:
15236:
15154:
14809:
14524:
14449:
12893:
12880:
12791:
12755:
12745:
12625:
12612:
12588:
12557:
12547:
12480:
12456:
12425:
12341:
12138:
12125:
12101:
12061:
12051:
11975:
11951:
11911:
11814:
11402:
11392:
11330:
11320:
11212:
11165:
11101:
11077:
11049:
10981:
10929:{\displaystyle \int dxJ_{\mu }(x)}
10835:
10811:
10783:
10715:
9458:{\displaystyle p_{\mu }=(m,0,0,0)}
9329:
9305:
9277:
9209:
7053:
6852:
6685:
6648:
6365:
6230:
6143:
6133:
6105:
6074:
6036:
5959:
5881:
5853:
5675:
5578:
5539:
5338:
5217:
5138:
4922:
4556:
4498:
4408:
4332:
4009:
3894:
3872:
3815:
3733:
2823:
2810:
2791:
2703:
2637:
2335:, a single particle with momentum
2016:
1946:
1142:
1110:
1079:
858:
478:
439:
429:
364:
206:
14:
23135:
23018:"Use of Angular-Momentum Tensors"
22436:Dynamical Gauge Symmetry Breaking
21928:
21890:
21845:
21793:
18433:in configuration space, we write
17369:{\displaystyle x~{\text{and}}~x'}
17337:as follows. For spacetime points
14514:Schwinger's variational principle
10141:{\displaystyle (J_{\mu }(p))^{T}}
4709:, the partition function becomes
1824:the Green's function is revealed
1746:-prescription and shift the pole
22791:Curtright, Thomas (1985-12-26).
21153:{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
15057:appear in the early versions of
9006:
2475:such that the amplitude becomes
23079:
23040:
23009:
22970:
22931:
22900:
22869:
22823:
22784:
22734:
22711:
22662:
22621:
22590:
22557:
22531:DeWitt-Morette, Cecile (1999).
22524:
22491:
22466:
22426:
22386:Jona-Lasinio, G. (1964-12-01).
22379:
22301:Jona-Lasinio, G. (1964-12-01).
22294:
22269:
22182:
22157:
22121:Nastase, Horatiu (2019-10-17).
22016:Journal of Mathematical Physics
21971:Weinberg, Steven (1965-05-24).
17717:of the space of complex-valued
17326:{\displaystyle e_{m}^{\mu }(p)}
16980:{\displaystyle T^{\mu \nu }(p)}
15063:Stueckelberg field redefinition
9097:{\displaystyle x_{0}>x_{0}'}
4545:
2243:Source theory for scalar fields
1817:{\displaystyle x_{0}>x_{0}'}
23016:Zemach, Charles (1965-10-11).
22191:"Phenomenological Lagrangians"
22114:
22089:
22042:
22010:Schwinger, Julian (May 1961).
22003:
21964:
21821:Particles, sources, and fields
21687:
21681:
21499:
21490:
21445:
21435:
21334:
21315:
21290:
21284:
21219:
21213:
21201:
21105:
21069:
21063:
20874:
20854:
20851:
20796:
20770:
20761:
20736:
20726:
20679:
20673:
20587:
20570:
20522:
20505:
20444:
20427:
20410:
20390:
20364:
20355:
20330:
20320:
20133:
20101:
20056:
20016:{\displaystyle {\frac {3}{2}}}
19978:
19972:
19891:
19882:
19864:
19854:
19750:
19732:
19721:
19695:
19678:
19652:
19646:
19572:
19544:
19533:
19517:
19500:
19474:
19468:
19394:
19315:
19298:
19292:
19272:
19266:
19249:
19230:{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
19174:
19163:
19155:
19146:
19138:
19121:
19115:
19109:
19101:
19092:
19063:
19052:
19044:
19035:
19027:
19010:
19004:
18998:
18990:
18981:
18903:
18871:
18862:
18826:
18817:
18787:
18778:
18726:
18720:
18640:
18634:
18575:
18566:
18524:
18514:
18449:
18420:
18403:
18371:
18367:
18361:
18323:
18317:
18314:
18308:
18270:
18240:
18234:
18158:
18152:
18093:
18084:
18073:
18063:
18002:
17996:
17843:
17837:
17796:
17764:
17759:
17753:
17697:
17686:
17662:
17656:
17581:
17572:
17561:
17551:
17485:
17479:
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17279:
17273:
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17172:
17122:
17116:
17100:
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17072:
17066:
17030:
17024:
16974:
16968:
15794:
15783:
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15676:
15659:
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13847:
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13773:
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13752:
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13675:
13660:
13630:
13624:
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13575:
13569:
13554:
13531:
13525:
13510:
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13430:
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13374:
13359:
13329:
13323:
13308:
13265:
13259:
13244:
13207:
13201:
13186:
13143:
13137:
13122:
13088:
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13067:
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10547:, the chosen Feynman-'t Hooft
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9120:
9011:For a weak source producing a
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6053:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
6047:
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5768:{\displaystyle {\bar {\phi }}}
5759:
5715:{\displaystyle {\bar {\phi }}}
5706:
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5659:
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3511:
3505:
3499:
3473:
3464:
3458:
3449:
3404:
3401:
3395:
3389:
3376:It is easy to notice that the
3313:
3307:
3295:
3289:
3280:
3274:
3268:
3228:
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2670:
2657:
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2489:
2369:
2295:
2226:
2193:
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2093:
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2019:
2000:
1984:
1978:
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1930:
1844:
1774:{\displaystyle f-E+i\epsilon }
1673:
1664:
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1554:
1248:
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577:
540:
537:
531:
525:
519:
510:
483:
473:
421:
415:
387:
375:
285:partial differential equations
261:
255:
249:
243:
51:coupled to the original field
1:
22166:Field Theory: A Modern Primer
21900:Toms, David J. (2007-11-15).
21786:
19367:{\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}
18426:{\displaystyle \Delta (x-x')}
11462:, producing then absorbing a
9054:{\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}
6396:is the Legendre transform of
6345:low-energy effective theories
6333:spontaneous symmetry breaking
2729:{\displaystyle \Delta (x-x')}
2281:with a probability amplitude
22841:(953): 211–232. 1939-11-28.
22809:10.1016/0370-2693(85)91235-3
22724:Bulgarian Journal of Physics
22615:10.1016/0003-4916(65)90077-1
22498:Bogoli︠u︡bov, N. N. (1982).
22392:Il Nuovo Cimento (1955-1965)
22307:Il Nuovo Cimento (1955-1965)
22207:10.1016/0378-4371(79)90223-1
21912:10.1017/cbo9780511585913.008
18798:{\displaystyle T_{\lambda }}
9515:. Then, the amplitude gives
2428:. Then, another weak source
7:
23086:Chung, S. U. (1998-01-01).
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21855:Milton, Kimball A. (2015),
21766:Keldysh-Schwinger formalism
21759:
20244:{\displaystyle p\!\!\!/=-m}
10587:Belinfante-Rosenfeld tensor
10177:{\displaystyle J_{\mu }(p)}
2911:{\displaystyle -i\epsilon }
1723:. Then, we can exploit the
128:Green's function correlator
10:
23140:
22793:"Generalized gauge fields"
22697:10.1103/PhysRevD.82.044020
22630:"Finite-Range Gravitation"
22445:10.1142/9789814412698_0001
22251:Zeidler, Eberhard (2006).
21857:"Quantum Action Principle"
21819:Schwinger, Julian (1998).
11698:vacuum polarization tensor
9104:, the vacuum amplitude is
5724:background classical field
2248:Causal perturbation theory
1739:{\displaystyle i\epsilon }
840:{\displaystyle e^{J\phi }}
335:, the source field is the
22634:The Astrophysical Journal
22564:DeWitt, Bryce S. (2003).
22363:10.1007/978-94-011-5806-0
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22223:Fradkin, Eduardo (2021).
22189:Weinberg, Steven (1979).
22133:10.1017/9781108624992.009
21776:Wigner-Bargmann equations
18889:, the vacuum amplitude is
17715:the representation theory
11466:with a general redefined
11460:flat Minkowski background
6825:), the connected 2-point
4625:path integral formulation
329:electromagnetic potential
163:corresponds to the field
134:Schwinger's source theory
120:path integral formulation
23065:10.1103/PhysRevD.51.2247
22925:10.1103/PhysRevD.18.3630
22894:10.1103/PhysRevD.18.3624
21989:10.1103/PhysRev.138.B988
21180:{\displaystyle J_{\mu }}
15059:massive gravity theories
9465:in its rest frame, i.e.
9408:has a definite momentum
9002:Source theory for fields
4905:, we can invent a "new"
4756:{\displaystyle Z=e^{iW}}
1070:. And the Lagrangian is
156:{\displaystyle \delta J}
23104:10.1103/PhysRevD.57.431
23034:10.1103/PhysRev.140.B97
22164:Ramond, Pierre (2020).
17719:homogeneous polynomials
14974:Ward-Takahashi identity
11470:, acting as a current,
11464:missive spin-2 particle
11458:For a weak source in a
10583:quantum electrodynamics
9015:with a general current
9013:missive spin-1 particle
6858:{\displaystyle \Gamma }
6389:{\displaystyle \Gamma }
5471:functional integrations
4861:{\displaystyle \ln Z=F}
1063:{\displaystyle J=J^{*}}
766:external driving source
22995:10.1103/PhysRevD.9.910
22956:10.1103/PhysRevD.9.898
22847:10.1098/rspa.1939.0140
22720:"On Enceladian Fields"
22049:Kamenev, Alex (2011).
21781:Joos–Weinberg equation
21745:
21697:
21341:
21300:
21181:
21154:
21124:
21083:
20245:
20208:
20155:
20017:
19988:
19785:
19368:
19322:
19231:
19192:
18883:
18799:
18741:
18427:
18384:
18269:
18165:
17953:
17735:
17704:
17639:
17370:
17327:
17286:
17129:
17037:
16981:
16934:
16765:
16745:
16703:
16459:
16098:
16048:
15965:
15925:
15824:
15103:
15051:
15012:
14972:Together with help of
14963:
14795:massless spin-2 fields
14784:
14502:
14411:
13465:
12982:
12231:
11690:
11580:
11468:energy-momentum tensor
11445:
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10883:
10571:
10570:{\displaystyle \xi =0}
10541:
10540:{\displaystyle \xi =1}
10512:
10178:
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10017:
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6815:
6626:
6597:
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6419:
6390:
6341:nonlinear sigma models
6321:
6289:
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6018:
5830:
5789:
5769:
5740:
5716:
5687:
5500:
5475:functional derivatives
5463:
5462:{\displaystyle F=E-TS}
5428:
5325:
5303:
5020:, with the transforms
5014:
4899:reduced quantum action
4891:
4862:
4816:thermal field theories
4804:
4757:
4703:
4590:
4097:
4056:
3981:
3782:
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1513:
1454:
1200:
1159:canonical quantization
1151:
1064:
1028:
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758:
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321:
301:
270:
177:
157:
104:
65:
45:
22096:Ryder, Lewis (1996).
21746:
21698:
21342:
21301:
21182:
21155:
21125:
21084:
20246:
20209:
20156:
20018:
19989:
19786:
19369:
19323:
19232:
19193:
18884:
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