32:
1750:
2272:
1439:
1976:
1745:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.}
2442:
1251:
685:
528:
2267:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)=-i\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,}
837:
267:
2303:
1085:
536:
379:
1953:
1420:
718:
1026:
897:
371:
1077:
869:
173:
336:
305:
154:
2453:
2437:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\tau \,\exp(-i(\omega \pm \nu )\tau )=\pi \delta (\omega \pm \nu )-i{\mathcal {P}}{\Big (}{\frac {1}{\omega \pm \nu }}{\Big )}}
1246:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx}
1966:
is time. This expression, as written, is undefined (since the time integral does not converge), so it is typically modified by adding a negative real term to
680:{\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{e}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).}
523:{\displaystyle \lim _{w\to z}\phi _{i}(w)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),}
1858:
1262:
832:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\mp i\pi \delta (x)+{\mathcal {P}}{{\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}}.}
2635:
20:
909:
2293:
often requires the following integral function, which is a direct consequence of the
Sokhotski–Plemelj theorem and is often called the
2652:
2501:
338:
outside. The
Sokhotski–Plemelj formulas relate the limiting boundary values of these two analytic functions at a point
280:. However, on the interior and exterior of the curve, the integral produces analytic functions, which will be denoted
2599:
2557:
2537:
75:
53:
46:
2610:
Singular integral equations, boundary problems of function theory and their application to mathematical physics
2459:
707:
165:
1832:| ≪ ε, and is exactly symmetric about 0. Therefore, in the limit, it turns the integral into a
117:
878:
352:
262:{\displaystyle \phi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},}
40:
2493:
1050:
845:
1833:
1779:
900:
347:
314:
283:
57:
139:
108:) is often used in physics, although rarely referred to by name. The theorem is named after
1849:
1783:
872:
157:
8:
2456:(account of the Sokhotski–Plemelj theorem for the unit circle and a closed Jordan curve)
2629:
2616:
Blanchard, Bruening: Mathematical
Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
2579:
2595:
2553:
2533:
2526:
2497:
2464:
1845:
2489:
1948:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt)}
101:
2612:. Melbourne: Dept. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories.
2521:
109:
2286:
1036:
1415:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left\,dx=2\pi if(0)}
2646:
1031:
These formulae should be interpreted as integral equalities, as follows: Let
113:
104:, which helps in evaluating certain integrals. The real-line version of it (
1039:-valued function which is defined and continuous on the real line, and let
133:
2290:
712:
Especially important is the version for integrals over the real line.
690:
Subsequent generalizations relax the smoothness requirements on curve
1021:{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left=2\pi i\delta (x).}
116:, who rediscovered it as a main ingredient of his solution of the
97:
903:. One may take the difference of these two equalities to obtain
2622:
On definite integrals and functions used in series expansions
2277:
where the latter step uses the real version of the theorem.
2592:
Boundary value problems. Reprint of the 1966 translation
1970:
in the exponential, and then taking that to zero, i.e.:
2607:
2306:
1979:
1861:
1442:
1265:
1088:
1053:
912:
881:
848:
721:
539:
382:
355:
317:
286:
176:
142:
2484:
Breuer, Heinz-Peter; Petruccione, Francesco (2002).
1425:
Note that this version makes no use of analyticity.
2528:
The
Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations
2578:
2570:Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3
2525:
2436:
2266:
1947:
1852:, one often has to evaluate integrals of the form
1744:
1414:
1245:
1071:
1020:
891:
863:
831:
679:
522:
365:
330:
299:
261:
148:
21:Casorati–Sokhotski–Weierstrass theorem
2619:
2547:
2483:
2429:
2404:
820:
803:
2644:
2520:
2105:
1981:
1786:in the limit. Therefore, the first term equals ∓
1634:
1533:
1444:
1267:
1090:
914:
723:
541:
384:
2576:
2567:
105:
1800:For the second term, we note that the factor
2454:Singular integral operators on closed curves
1428:
701:
123:
2634:: CS1 maint: location missing publisher (
2581:Problems in the sense of Riemann and Klein
2494:10.1093/acprof:oso/9780199213900.001.0001
2328:
2254:
2177:
2049:
2027:
1908:
1886:
1732:
1710:
1623:
1513:
1381:
1236:
1159:
628:
471:
235:
76:Learn how and when to remove this message
2488:. Oxford University Press. p. 145.
39:This article includes a list of general
2645:
2589:
1839:
2585:. New York: Interscience Publishers.
25:
2280:
13:
2486:The Theory of Open Quantum Systems
2397:
2317:
2228:
2223:
2210:
2140:
2135:
2038:
2016:
2011:
1897:
1875:
1870:
1195:
884:
795:
598:
441:
358:
45:it lacks sufficient corresponding
14:
2664:
1755:For the first term, we note that
2291:master equation in Lindblad form
30:
2572:. Willey, John & Sons, Inc.
2552:. Wiley, John & Sons, Inc.
2608:Muskhelishvili, N. I. (1949).
2477:
2386:
2374:
2362:
2356:
2344:
2335:
2245:
2239:
2199:
2193:
2157:
2151:
2112:
2092:
2068:
2059:
2053:
1988:
1942:
1927:
1918:
1912:
1723:
1717:
1641:
1620:
1614:
1605:
1579:
1540:
1493:
1487:
1451:
1433:A simple proof is as follows.
1409:
1403:
1356:
1350:
1321:
1315:
1274:
1227:
1221:
1187:
1181:
1139:
1133:
1097:
1012:
1006:
921:
892:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
858:
852:
787:
781:
730:
671:
665:
625:
619:
572:
566:
548:
514:
508:
468:
462:
415:
409:
391:
366:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
232:
226:
186:
180:
1:
2514:
2470:
1782:, and therefore approaches a
112:, who proved it in 1868, and
2653:Theorems in complex analysis
2564:Appendix A, equation (A.19).
272:cannot be evaluated for any
7:
2447:
1072:{\displaystyle a<0<b}
10:
2669:
2620:Sokhotskii, Y. W. (1873).
2548:Merzbacher, Eugen (1998).
2287:theoretical quantum optics
864:{\displaystyle \delta (x)}
705:
18:
2532:. Cambridge Univ. Press.
1429:Proof of the real version
702:Version for the real line
331:{\displaystyle \phi _{e}}
300:{\displaystyle \phi _{i}}
90:Sokhotski–Plemelj theorem
2460:Kramers–Kronig relations
708:Kramers–Kronig relations
149:{\displaystyle \varphi }
124:Statement of the theorem
19:Not to be confused with
16:Complex analysis theorem
2577:Plemelj, Josip (1964).
2568:Henrici, Peter (1986).
1047:be real constants with
118:Riemann–Hilbert problem
60:more precise citations.
2594:, Dover Publications,
2590:Gakhov, F. D. (1990),
2438:
2289:, the derivation of a
2268:
1949:
1834:Cauchy principal value
1780:nascent delta function
1746:
1416:
1247:
1073:
1022:
901:Cauchy principal value
893:
865:
833:
681:
524:
367:
348:Cauchy principal value
332:
301:
263:
150:
2439:
2269:
1950:
1747:
1417:
1248:
1074:
1023:
894:
866:
834:
682:
525:
368:
333:
302:
264:
151:
2304:
1977:
1859:
1850:quantum field theory
1828:, approaches 0 for |
1784:Dirac delta function
1440:
1263:
1086:
1051:
910:
879:
873:Dirac delta function
846:
719:
537:
380:
353:
315:
284:
174:
166:Cauchy-type integral
140:
92:(Polish spelling is
2321:
2232:
2144:
2042:
2020:
1962:is some energy and
1901:
1879:
1840:Physics application
1670:
1569:
1480:
1303:
1214:
1126:
134:closed simple curve
2434:
2307:
2264:
2215:
2127:
2126:
2028:
2003:
2002:
1945:
1887:
1862:
1820:approaches 1 for |
1742:
1656:
1655:
1555:
1554:
1466:
1465:
1412:
1289:
1288:
1243:
1200:
1112:
1111:
1069:
1018:
935:
889:
861:
829:
744:
677:
555:
520:
398:
363:
328:
297:
259:
146:
136:in the plane, and
2624:. St. Petersburg.
2550:Quantum Mechanics
2503:978-0-19-852063-4
2465:Hilbert transform
2425:
2252:
2175:
2104:
1980:
1846:quantum mechanics
1730:
1708:
1633:
1609:
1532:
1511:
1443:
1374:
1339:
1266:
1234:
1157:
1089:
984:
960:
913:
816:
764:
722:
694:and the function
660:
647:
594:
540:
503:
490:
437:
383:
373:of the integral:
254:
208:
158:analytic function
86:
85:
78:
2660:
2639:
2633:
2625:
2613:
2604:
2586:
2584:
2573:
2563:
2543:
2531:
2522:Weinberg, Steven
2508:
2507:
2481:
2443:
2441:
2440:
2435:
2433:
2432:
2426:
2424:
2410:
2408:
2407:
2401:
2400:
2320:
2315:
2295:Heitler-function
2281:Heitler function
2273:
2271:
2270:
2265:
2253:
2248:
2234:
2231:
2226:
2214:
2213:
2176:
2174:
2160:
2146:
2143:
2138:
2125:
2124:
2123:
2041:
2036:
2019:
2014:
2001:
2000:
1999:
1954:
1952:
1951:
1946:
1900:
1895:
1878:
1873:
1819:
1818:
1806:
1792:
1777:
1776:
1766:
1761:
1751:
1749:
1748:
1743:
1731:
1726:
1712:
1709:
1707:
1706:
1705:
1693:
1692:
1682:
1681:
1672:
1669:
1664:
1654:
1653:
1652:
1610:
1608:
1604:
1603:
1591:
1590:
1571:
1568:
1563:
1553:
1552:
1551:
1512:
1510:
1496:
1482:
1479:
1474:
1464:
1463:
1462:
1421:
1419:
1418:
1413:
1380:
1376:
1375:
1373:
1359:
1345:
1340:
1338:
1324:
1310:
1302:
1297:
1287:
1286:
1285:
1252:
1250:
1249:
1244:
1235:
1230:
1216:
1213:
1208:
1199:
1198:
1158:
1156:
1142:
1128:
1125:
1120:
1110:
1109:
1108:
1078:
1076:
1075:
1070:
1046:
1042:
1034:
1027:
1025:
1024:
1019:
990:
986:
985:
983:
966:
961:
959:
942:
934:
933:
932:
898:
896:
895:
890:
888:
887:
870:
868:
867:
862:
838:
836:
835:
830:
825:
824:
823:
817:
809:
807:
806:
799:
798:
765:
763:
746:
743:
742:
741:
686:
684:
683:
678:
661:
653:
648:
646:
635:
614:
612:
611:
602:
601:
595:
593:
579:
565:
564:
554:
529:
527:
526:
521:
504:
496:
491:
489:
478:
457:
455:
454:
445:
444:
438:
436:
422:
408:
407:
397:
372:
370:
369:
364:
362:
361:
337:
335:
334:
329:
327:
326:
306:
304:
303:
298:
296:
295:
268:
266:
265:
260:
255:
253:
242:
221:
219:
218:
209:
207:
193:
164:. Note that the
155:
153:
152:
147:
102:complex analysis
81:
74:
70:
67:
61:
56:this article by
47:inline citations
34:
33:
26:
2668:
2667:
2663:
2662:
2661:
2659:
2658:
2657:
2643:
2642:
2627:
2626:
2602:
2560:
2540:
2517:
2512:
2511:
2504:
2482:
2478:
2473:
2450:
2428:
2427:
2414:
2409:
2403:
2402:
2396:
2395:
2316:
2311:
2305:
2302:
2301:
2283:
2235:
2233:
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