7797:
7261:
10267:
7792:{\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}
9879:
11927:
10262:{\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}
1441:
11475:
11644:
8231:
5104:
8057:
6688:
52:
is sometimes used to mean the enumerative geometry of linear subspaces of a vector space, which is roughly equivalent to describing the cohomology ring of
Grassmannians. Sometimes it is used to mean the more general enumerative geometry of algebraic varieties that are homogenous spaces of simple Lie
8385:
1203:
1181:
5746:
11323:
5295:
11922:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}
11044:
9864:
590:
7143:
1684:
8072:
11629:
4534:
1809:
6974:
4935:
5507:
12036:
7918:
5845:
6147:
6515:
2109:
6075:
1005:
9466:
5385:
4834:
8295:
1880:
1436:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}
103:, allows in particular the determination of cases in which the intersections of cells results in a finite set of points. A key result is that the Schubert cells (or rather, the classes of their Zariski closures, the
10580:
11470:{\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}
2429:
1015:
5607:
760:
5962:
12110:
8437:
8878:
2516:
2209:
8285:
12222:
5906:
2626:
3243:
1996:
10418:
6204:
5174:
5164:
3340:
10928:
9661:
10913:
8717:
843:
11649:
10933:
9884:
9121:
452:
6821:
6757:
675:
11262:
6989:
6345:
10477:
1563:
2685:
11173:
6505:
4404:
2301:
6425:
11094:
8497:
8226:{\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}
6254:
2971:
1574:
11217:
11139:
3941:
10615:
9639:
7219:
4884:
4629:
310:
11313:
10733:
8792:
4196:
7182:
4576:
3825:
3098:
2793:
10684:
9236:
8534:
2856:
399:
6003:
3397:
3603:
9554:
9511:
8662:
8622:
8582:
7905:
6289:
4723:
4341:
3701:
1518:
350:
254:
10807:
10770:
11490:
10355:
10306:
9583:
7848:
3656:
3430:
3069:
2764:
4444:
2719:
4474:
3161:
2329:
1478:
12148:
4922:
3037:
1695:
890:
4683:
4656:
2999:
2902:
2820:
7251:
6452:
8818:
6843:
5099:{\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}
4301:
3488:
2549:
1926:
3547:
929:
2876:
9159:
5545:
10834:
5597:
4255:
4228:
4082:
4015:
3968:
3852:
3768:
3515:
3125:
5400:
8992:
8964:
12247:
8052:{\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}
10635:
10497:
10326:
9179:
9032:
9012:
8938:
8918:
8898:
8742:
5565:
4464:
4374:
4275:
4145:
4122:
4102:
4055:
4035:
3988:
3872:
3741:
3721:
3462:
1900:
615:
439:
419:
214:
194:
174:
11942:
6683:{\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}
5761:
6080:
2436:
It can be shown that these classes are linearly independent and generate the Chow ring as their linear span. The associated intersection theory is called
3743:
is the solution space of a system of five independent homogeneous linear equations. These equations will generically span when restricted to a subspace
2006:
6008:
942:
9251:
8380:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}
5310:
4733:
1817:
1176:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}
5741:{\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}
10502:
2339:
685:
12562:
5911:
12041:
8395:
8823:
2443:
2119:
8246:
12158:
5855:
12727:
5290:{\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}
2554:
3166:
1931:
10360:
1448:
which is used when considering cellular homology instead of the Chow ring. The latter are disjoint affine spaces, of dimension
11039:{\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}
9859:{\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} }{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}
6152:
12695:
12429:
12592:
5114:
3253:
585:{\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}
10844:
8671:
7138:{\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}
779:
9042:
6762:
6698:
620:
11222:
6294:
10423:
1526:
12669:
12574:
12497:
12394:
2631:
1679:{\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}
11144:
6457:
4379:
2216:
6378:
116:
The combinatorial aspects mainly arise in relation to computing intersections of
Schubert cycles. Lifted from the
11054:
8450:
6209:
2912:
58:
11183:
11099:
3877:
12679:
12649:
12477:
12413:
12374:
10585:
9588:
7187:
4844:
4586:
259:
12632:
12600:
12566:
11273:
10693:
8751:
7851:
7811:
4150:
7158:
4552:
3773:
3074:
2769:
10640:
9189:
8502:
6829:, and can be used to determine the intersection product of any two Schubert classes when combined with the
2825:
355:
5967:
3350:
12722:
12627:
11624:{\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}
3557:
12656:. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 35. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press.
12484:. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 35. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press.
12381:. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 35. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press.
9519:
9476:
8627:
8587:
8547:
7858:
6259:
4688:
4306:
3666:
1483:
315:
219:
156:, where the generating cycles are represented by geometrically defined data. Denote the Grassmannian of
12642:
12622:
12539:
12458:
12298:
10775:
10738:
8440:
4529:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}
10331:
10282:
9559:
7824:
3608:
3406:
3045:
2740:
1804:{\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}
4409:
2690:
768:
3130:
2310:
1451:
12120:
6969:{\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}
4889:
3990:
will necessarily have nonzero intersection. For example, the expected dimension of intersection of
3004:
857:
4661:
4639:
4541:
showing an increase of the indices corresponds to an even greater specialization of subvarieties.
2982:
2885:
2798:
7224:
6430:
8797:
4280:
3467:
2521:
1905:
12278:
3520:
895:
2861:
9131:
5517:
5502:{\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}
81:
41:
8544:
There is an easy description of the cohomology ring, or the Chow ring, of the
Grassmannian
12705:
12439:
12258:
10812:
5570:
4233:
4201:
4060:
3993:
3946:
3830:
3746:
3493:
3103:
129:
125:
77:
45:
37:
12654:
Young
Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapts. 5 and 9.4
8:
12268:
12031:{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}
8969:
8943:
92:
48:, and both its algorithmic aspects and applications remain of current interest. The term
33:
12232:
5840:{\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}
12283:
10620:
10499:
is given as a generic homogeneous cubic polynomial, this is given as a generic section
10482:
10311:
9164:
9017:
8997:
8923:
8903:
8883:
8727:
6363:
5550:
4449:
4359:
4260:
4130:
4107:
4087:
4040:
4020:
3973:
3857:
3726:
3706:
3447:
1885:
600:
441:-dimensional subspaces are replaced by their projectizations.) Choosing an (arbitrary)
424:
404:
199:
179:
159:
109:
25:
6142:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}
12691:
12665:
12570:
12535:
12493:
12425:
12390:
12349:
12293:
7806:
6831:
2726:
121:
12530:
12657:
12609:
12485:
12382:
12379:
Young
Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapt. 9.4
12345:
12341:
7817:
1189:
100:
85:
29:
12701:
12687:
12482:
Young
Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapt. 5
12435:
12421:
2104:{\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}
96:
6070:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}
1000:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}
12638:
12584:
12550:
12325:
9461:{\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} }{(c(T)c(Q)-1)}}.}
133:
69:
12716:
12661:
12554:
12489:
12386:
12353:
9642:
6825:
5380:{\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}
4829:{\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}
2729:
below, all the
Schubert classes can be generated from these special classes.
1566:
851:
442:
57:
is sometimes understood as encompassing the study of analogous questions in
12513:
12273:
9161:
is the partition whose Young diagram consists of a single column of length
4927:
This is stable under inclusions of
Grassmannians. That is, the inclusion
3433:
153:
137:
117:
73:
9243:
The tautological sequence then gives the presentation of the Chow ring as
1875:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}
12288:
10687:
6357:
17:
12588:
12329:
10575:{\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}
12553:(1976). "Rigorous foundations of Schubert's enumerative calculus". In
2424:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}
12263:
149:
12613:
9641:, Schubert calculus can be used to compute the number of lines on a
4127:
The definition of a
Schubert variety states that the first value of
755:{\displaystyle n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}
12645:(2016), "3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry".
10772:
to get the number of points where the generic section vanishes on
5957:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}
95:
of these cells, which can be seen as the product structure in the
9473:
12105:{\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}
8432:{\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}
4303:
given by these constraints then define special subvarieties of
8873:{\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}
8243:
The intersection product between any pair of
Schubert classes
3039:
rectangular one (reversed, both horizontally and vertically).
2511:{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}
2204:{\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}
12583:
8280:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}
12217:{\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}
10809:. In order to get the Euler class, the total Chern class of
10420:. Also, the equation of a line can be given as a section of
5901:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}
9516:
One of the classical examples analyzed is the Grassmannian
8584:
using the Chern classes of two natural vector bundles over
2621:{\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}
44:. It is related to several more modern concepts, such as
3238:{\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}
1991:{\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}
10413:{\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}
6355:
The intersection product was first established using the
3827:, in which case the solution space (the intersection of
10920:
The splitting formula then reads as the formal equation
6199:{\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}
12559:
Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems
11315:
can be viewed as the direct sum of formal line bundles
6823:
are the weights of the partitions. This is called the
3444:
In order to explain the definition, consider a generic
128:
that acts on it, similar questions are involved in the
8106:
7946:
7315:
6576:
5159:{\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}
3335:{\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}
1731:
80:
of a linear subspace in projective space with a given
40:. Giving it a more rigorous foundation was the aim of
12235:
12161:
12123:
12044:
11945:
11647:
11493:
11326:
11276:
11225:
11186:
11147:
11102:
11057:
10931:
10847:
10815:
10778:
10741:
10696:
10643:
10623:
10588:
10505:
10485:
10426:
10363:
10334:
10314:
10285:
9882:
9664:
9591:
9562:
9522:
9479:
9254:
9192:
9167:
9134:
9045:
9020:
9000:
8972:
8946:
8926:
8906:
8886:
8826:
8800:
8754:
8730:
8674:
8630:
8590:
8550:
8505:
8453:
8398:
8298:
8249:
8075:
7921:
7861:
7827:
7264:
7227:
7190:
7161:
6992:
6846:
6765:
6701:
6518:
6460:
6433:
6381:
6297:
6262:
6212:
6155:
6083:
6011:
5970:
5914:
5858:
5764:
5610:
5573:
5553:
5520:
5403:
5313:
5177:
5117:
4938:
4892:
4847:
4736:
4691:
4664:
4642:
4589:
4555:
4477:
4452:
4412:
4382:
4362:
4309:
4283:
4263:
4236:
4204:
4153:
4133:
4110:
4090:
4063:
4043:
4023:
3996:
3976:
3949:
3880:
3860:
3833:
3776:
3749:
3729:
3709:
3669:
3611:
3560:
3523:
3496:
3470:
3450:
3409:
3353:
3256:
3169:
3133:
3106:
3077:
3048:
3007:
2985:
2979:
whose Young diagram is the complement of the one for
2915:
2888:
2864:
2828:
2801:
2772:
2743:
2693:
2634:
2557:
2524:
2446:
2342:
2313:
2219:
2122:
2009:
1934:
1908:
1888:
1820:
1698:
1577:
1529:
1486:
1454:
1206:
1018:
945:
898:
860:
782:
688:
623:
603:
455:
427:
407:
358:
318:
262:
222:
202:
182:
162:
10908:{\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}
8712:{\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}
8624:. We have the exact sequence of vector bundles over
3874:) will consist only of the zero vector. However, if
1523:
An equivalent characterization of the Schubert cell
838:{\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}
9116:{\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}
312:. (Note that the Grassmannian is sometimes denoted
12241:
12216:
12142:
12104:
12030:
11921:
11623:
11469:
11307:
11256:
11211:
11167:
11133:
11088:
11038:
10907:
10828:
10801:
10764:
10727:
10678:
10629:
10609:
10574:
10491:
10471:
10412:
10349:
10320:
10300:
10261:
9858:
9633:
9577:
9548:
9505:
9460:
9230:
9173:
9153:
9115:
9026:
9006:
8986:
8958:
8932:
8912:
8892:
8872:
8812:
8786:
8736:
8711:
8656:
8616:
8576:
8528:
8491:
8431:
8379:
8279:
8225:
8051:
7899:
7842:
7791:
7245:
7213:
7176:
7137:
6968:
6816:{\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}
6815:
6752:{\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}
6751:
6682:
6499:
6446:
6419:
6339:
6283:
6248:
6198:
6141:
6069:
5997:
5956:
5900:
5839:
5740:
5591:
5559:
5539:
5501:
5379:
5289:
5158:
5098:
4916:
4878:
4828:
4717:
4677:
4650:
4623:
4570:
4528:
4458:
4438:
4398:
4368:
4335:
4295:
4269:
4249:
4222:
4190:
4139:
4116:
4096:
4076:
4049:
4029:
4009:
3982:
3962:
3935:
3866:
3846:
3819:
3762:
3735:
3715:
3695:
3650:
3597:
3541:
3509:
3482:
3456:
3424:
3391:
3334:
3237:
3155:
3119:
3092:
3063:
3031:
2993:
2965:
2896:
2870:
2850:
2814:
2787:
2758:
2713:
2679:
2620:
2543:
2510:
2423:
2323:
2295:
2203:
2103:
1990:
1920:
1894:
1874:
1803:
1678:
1557:
1512:
1472:
1435:
1175:
999:
923:
884:
837:
754:
670:{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})}
669:
609:
584:
433:
413:
393:
344:
304:
248:
208:
188:
168:
12531:http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
11257:{\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }
6427:, there is an explicit formula of the product of
6340:{\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}
4466:. This gives the inclusion of Schubert varieties
2687:. The Schubert classes given by a single integer
2307:, does not depend on the choice of complete flag
352:if the vector space isn't explicitly given or as
12714:
12466:. pp. 132, section 4.1, 200, section 6.2.1.
12340:(10). American Mathematical Society: 1061–1082.
10472:{\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}
5964:are a cell and a subvariety in the Grassmannian
3403:locations of the representations of elements of
1558:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}
7253:matrix having the special classes as entries.
4198:is generically smaller than the expected value
2732:
2680:{\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}
148:Schubert calculus can be constructed using the
32:in order to solve various counting problems of
8539:
4658:. Alternatively, in the notational convention
99:of the Grassmannian, consisting of associated
12324:
11175:. The splitting equation gives the relations
11168:{\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}
9871:and as a graded Abelian group it is given by
6500:{\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}
4399:{\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }
3490:. It will have only a zero intersection with
2721:, (i.e., a horizontal partition), are called
2296:{\displaystyle \in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}
8426:
8399:
7894:
7862:
6420:{\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}
5093:
5061:
2171:
2123:
1399:
1235:
1167:
1047:
12563:Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
11089:{\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }
10274:
8994:as fiber. The Chern classes of the bundles
8492:{\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}
6249:{\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}
2966:{\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}
64:The objects introduced by Schubert are the
11212:{\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }
11134:{\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }
5514:defined by adding the extra basis element
4509:
4505:
3936:{\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}
12168:
11911:
10780:
10743:
10657:
10610:{\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}
10597:
10519:
10434:
10365:
10337:
10288:
10232:
10158:
10084:
10063:
9995:
9934:
9711:
9634:{\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}
9565:
9301:
8827:
7221:can be expressed as the determinant of a
7214:{\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}
4879:{\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}
4624:{\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}
360:
305:{\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}
28:introduced in the nineteenth century by
12620:
12549:
12150:is the top class, the integral is then
11308:{\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}
10728:{\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}
10637:if and only if the section vanishes on
8787:{\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}
6350:
4924:dimensional rectangular Young diagram.
4191:{\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}
12715:
12678:
12648:
12518:Enumerative Geometry and String Theory
12476:
12412:
12373:
8940:is the quotient vector bundle of rank
7177:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}
4571:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}
3820:{\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}
3093:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}
2788:{\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}
12408:
12406:
10679:{\displaystyle \in \mathbb {G} (1,3)}
9231:{\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}
8880:is the trivial vector bundle of rank
8529:{\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}
2851:{\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}
394:{\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}
12453:
12451:
12449:
12369:
12367:
12365:
12363:
12320:
12318:
12316:
12314:
10836:must be computed, which is given as
7810:. It has the same form as the first
7150:
6005:, they may also be viewed as a cell
5998:{\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}
4685:indicated above, its codimension in
4544:
3392:{\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}
2737:In some sources, the Schubert cells
9653:The Chow ring has the presentation
4578:has dimension equal to the weight
4356:There is a partial ordering on all
3598:{\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}
36:and, as such, is viewed as part of
13:
12470:
12403:
11453:
11430:
11419:
11403:
11384:
11361:
11160:
11150:
11111:
11066:
10512:
10427:
9549:{\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}
9506:{\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}
8657:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}
8617:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}
8577:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}
7900:{\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}
6284:{\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}
6085:
5916:
4718:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}
4557:
4494:
4479:
4336:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}
3696:{\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}
3079:
2774:
2362:
2316:
2240:
2224:
1838:
1792:
1582:
1547:
1513:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}
1422:
1406:
1224:
1036:
1020:
963:
947:
892:rectangular one for the partition
458:
345:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}
249:{\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}
113:) span the whole cohomology ring.
14:
12739:
12446:
12360:
12311:
10802:{\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}
10765:{\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}
7850:as determinants in terms of the
6454:with an arbitrary Schubert class
3042:Another labelling convention for
12544:Principles of Algebraic Geometry
12512:
10391:
10388:
10350:{\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}
10301:{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
10202:
10199:
10128:
10125:
10033:
10030:
9965:
9962:
9904:
9901:
9682:
9679:
9609:
9606:
9578:{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
9556:since it parameterizes lines in
9527:
9524:
9484:
9481:
9272:
9269:
8845:
8842:
8765:
8762:
8635:
8632:
8595:
8592:
8555:
8552:
8513:
8455:
8447:is a special case of this, when
8420:
8413:
8408:
8368:
8356:
8349:
8344:
8332:
8317:
8305:
8271:
8256:
7843:{\displaystyle s_{\mathbf {a} }}
7834:
7198:
7168:
6772:
6708:
6671:
6383:
6370:
6161:
6158:
6104:
6101:
6090:
6032:
6029:
6018:
5976:
5973:
5935:
5932:
5921:
5879:
5876:
5865:
5828:
5810:
5722:
5697:
5683:
5658:
5468:
5465:
5442:
5439:
5368:
5350:
5271:
5246:
5232:
5211:
5143:
5128:
5125:
5043:
5018:
5003:
5000:
4983:
4968:
4965:
4814:
4696:
4693:
4644:
4596:
4562:
4519:
4511:
4499:
4484:
4392:
4384:
4314:
4311:
3674:
3671:
3651:{\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}
3425:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}
3416:
3084:
3064:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}
3055:
2987:
2890:
2779:
2759:{\displaystyle X_{\mathbf {a} }}
2750:
2448:
2396:
2393:
2367:
2349:
2271:
2268:
2229:
1853:
1850:
1827:
1536:
1491:
1488:
1461:
1411:
1248:
1245:
1213:
1060:
1057:
1025:
978:
975:
952:
789:
625:
323:
320:
280:
277:
227:
224:
8238:
5040:
4841:of the complementary partition
4439:{\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}
3245:is the multi-index defined by
2714:{\displaystyle \sigma _{a_{1}}}
2079:
1775:
1753:
1383:
557:
529:
143:
59:generalized cohomology theories
12728:Topology of homogeneous spaces
12506:
12346:10.1080/00029890.1972.11993188
12184:
12172:
11879:
11839:
11807:
11789:
11776:
11770:
11742:
11727:
11724:
11709:
11693:
11690:
11677:
11662:
11615:
11600:
11597:
11576:
11573:
11552:
11549:
11534:
11528:
11525:
11512:
11497:
11444:
11414:
11408:
11378:
11352:
11339:
11302:
11289:
11116:
11106:
11071:
11061:
10989:
10977:
10974:
10962:
10952:
10939:
10864:
10851:
10796:
10784:
10759:
10747:
10722:
10709:
10673:
10661:
10650:
10644:
10569:
10566:
10553:
10535:
10523:
10515:
10466:
10450:
10438:
10430:
10407:
10395:
10381:
10369:
10221:
10218:
10206:
10195:
10147:
10144:
10132:
10121:
10052:
10049:
10037:
10026:
9984:
9981:
9969:
9958:
9923:
9920:
9908:
9897:
9850:
9841:
9809:
9806:
9768:
9765:
9760:
9715:
9701:
9698:
9686:
9675:
9628:
9625:
9613:
9602:
9543:
9531:
9500:
9488:
9449:
9440:
9434:
9428:
9422:
9416:
9411:
9408:
9402:
9374:
9368:
9352:
9346:
9324:
9318:
9305:
9291:
9288:
9276:
9265:
9209:
9203:
9142:
9135:
9099:
9092:
9078:
9068:
9062:
9056:
8861:
8849:
8781:
8769:
8748:whose fiber, over any element
8703:
8697:
8684:
8678:
8651:
8639:
8611:
8599:
8571:
8559:
8517:
8509:
8486:
8462:
7889:
7883:
7302:
7270:
7240:
7228:
7202:
7194:
6777:
6767:
6713:
6703:
6604:
6596:
6588:
6580:
6414:
6390:
6319:
6304:
6269:
6243:
6237:
6222:
6213:
6193:
6187:
6178:
6171:
6136:
6130:
6121:
6114:
6064:
6058:
6049:
6042:
5992:
5986:
5951:
5945:
5895:
5889:
5816:
5801:
5791:
5779:
5772:
5648:
5637:
5625:
5618:
5586:
5574:
5496:
5472:
5461:
5458:
5446:
5430:
5418:
5411:
5356:
5341:
5331:
5319:
5221:
5195:
5183:
5153:
5132:
5034:
5007:
4996:
4993:
4972:
4956:
4944:
4911:
4899:
4867:
4854:
4819:
4809:
4802:
4790:
4746:
4738:
4712:
4700:
4601:
4591:
4506:
4330:
4318:
4179:
4160:
3918:
3912:
3900:
3887:
3690:
3678:
3586:
3567:
3439:
3386:
3354:
3232:
3214:
3208:
3176:
3156:{\displaystyle {\bar {C}}_{L}}
3141:
3026:
3014:
2836:
2672:
2640:
2613:
2563:
2505:
2455:
2415:
2412:
2400:
2389:
2373:
2358:
2324:{\displaystyle {\mathcal {V}}}
2290:
2287:
2275:
2264:
2248:
2245:
2235:
2220:
2133:
2039:
2017:
1985:
1973:
1945:
1935:
1869:
1857:
1843:
1833:
1795:
1776:
1706:
1670:
1652:
1627:
1605:
1595:
1586:
1552:
1542:
1507:
1495:
1473:{\displaystyle |\mathbf {a} |}
1466:
1456:
1427:
1417:
1295:
1276:
1264:
1252:
1229:
1219:
1132:
1088:
1076:
1064:
1041:
1031:
994:
982:
968:
958:
912:
899:
879:
867:
794:
784:
664:
632:
523:
466:
388:
364:
339:
327:
299:
296:
284:
273:
243:
231:
1:
12601:American Mathematical Monthly
12567:American Mathematical Society
12334:American Mathematical Monthly
12332:(1972). "Schubert Calculus".
12304:
12143:{\displaystyle \sigma _{2,2}}
7184:for partitions of any length
4917:{\displaystyle k\times (n-k)}
4346:
3032:{\displaystyle k\times (n-k)}
2795:are labelled differently, as
1565:may be given in terms of the
885:{\displaystyle k\times (n-k)}
53:groups. Even more generally,
9648:
7853:complete symmetric functions
4678:{\displaystyle S_{\lambda }}
4651:{\displaystyle \mathbf {a} }
4351:
2994:{\displaystyle \mathbf {a} }
2897:{\displaystyle \mathbf {a} }
2815:{\displaystyle S_{\lambda }}
2733:Other notational conventions
1188:This is the closure, in the
7:
12628:Encyclopedia of Mathematics
12252:
11482:whose total Chern class is
8540:Relation with Chern classes
7246:{\displaystyle (k\times k)}
6447:{\displaystyle \sigma _{b}}
10:
12744:
12299:Mirror symmetry conjecture
12249:lines on a cubic surface.
8813:{\displaystyle w\subset V}
4296:{\displaystyle w\subset V}
3483:{\displaystyle w\subset V}
2544:{\displaystyle a_{j}>0}
1921:{\displaystyle w\subset V}
597:to each weakly decreasing
196:-dimensional vector space
84:. For further details see
3542:{\displaystyle j\leq n-k}
2213:Since the homology class
924:{\displaystyle (n-k)^{k}}
76:defined by conditions of
12662:10.1017/CBO9780511626241
12621:Sottile, Frank (2001) ,
12490:10.1017/CBO9780511626241
12387:10.1017/CBO9780511626241
11141:for formal line bundles
10479:. Since a cubic surface
10275:Lines on a cubic surface
6149:within the Grassmannian
2871:{\displaystyle \lambda }
2628:is usually just denoted
10735:can be integrated over
9154:{\displaystyle (1)^{i}}
7816:, expressing arbitrary
5540:{\displaystyle e_{n+1}}
4104:has expected dimension
2880:complementary partition
2858:, respectively, where
2766:and Schubert varieties
2440:. For a given sequence
2331:, it can be written as
1998:consisting of elements
1902:-dimensional subspaces
256:, and its Chow ring as
12565:. Vol. XXVIII.2.
12243:
12218:
12144:
12106:
12032:
11923:
11625:
11471:
11309:
11258:
11213:
11169:
11135:
11090:
11040:
10909:
10830:
10803:
10766:
10729:
10680:
10631:
10611:
10576:
10493:
10473:
10414:
10357:, hence an element of
10351:
10322:
10302:
10279:Recall that a line in
10263:
9860:
9635:
9585:. Using the Chow ring
9579:
9550:
9507:
9462:
9232:
9175:
9155:
9117:
9028:
9008:
8988:
8960:
8934:
8914:
8894:
8874:
8814:
8788:
8738:
8713:
8658:
8618:
8578:
8530:
8493:
8433:
8381:
8281:
8227:
8053:
7901:
7844:
7793:
7247:
7215:
7178:
7139:
6970:
6817:
6753:
6684:
6501:
6448:
6421:
6341:
6285:
6250:
6200:
6143:
6071:
5999:
5958:
5902:
5841:
5742:
5593:
5561:
5541:
5503:
5381:
5291:
5160:
5100:
4918:
4880:
4830:
4773:
4719:
4679:
4652:
4625:
4572:
4530:
4460:
4440:
4400:
4370:
4337:
4297:
4271:
4251:
4224:
4192:
4141:
4118:
4098:
4078:
4057:, the intersection of
4051:
4031:
4011:
3984:
3964:
3937:
3868:
3848:
3821:
3764:
3737:
3717:
3697:
3652:
3599:
3543:
3511:
3484:
3458:
3426:
3393:
3336:
3239:
3163:, respectively, where
3157:
3121:
3094:
3065:
3033:
2995:
2967:
2898:
2872:
2852:
2816:
2789:
2760:
2715:
2681:
2622:
2545:
2512:
2425:
2325:
2297:
2205:
2105:
1992:
1922:
1896:
1876:
1805:
1680:
1559:
1514:
1474:
1437:
1177:
1001:
925:
886:
839:
821:
756:
671:
611:
586:
435:
415:
395:
346:
306:
250:
210:
190:
170:
132:and classification of
46:characteristic classes
42:Hilbert's 15th problem
12244:
12229:Therefore, there are
12219:
12145:
12107:
12033:
11924:
11626:
11472:
11310:
11259:
11214:
11170:
11136:
11091:
11041:
10910:
10831:
10829:{\displaystyle T^{*}}
10804:
10767:
10730:
10681:
10632:
10612:
10577:
10494:
10474:
10415:
10352:
10323:
10303:
10264:
9861:
9636:
9580:
9551:
9508:
9463:
9233:
9176:
9156:
9118:
9029:
9009:
8989:
8961:
8935:
8915:
8895:
8875:
8815:
8789:
8739:
8714:
8659:
8619:
8579:
8531:
8494:
8441:Littlewood-Richardson
8434:
8382:
8282:
8228:
8054:
7902:
7845:
7813:Jacobi-Trudi identity
7804:This is known as the
7794:
7248:
7216:
7179:
7140:
6971:
6818:
6754:
6685:
6502:
6449:
6422:
6342:
6286:
6251:
6201:
6144:
6072:
6000:
5959:
5903:
5842:
5743:
5594:
5592:{\displaystyle (k+1)}
5562:
5542:
5504:
5382:
5292:
5161:
5101:
4919:
4881:
4831:
4753:
4720:
4680:
4653:
4626:
4573:
4531:
4461:
4441:
4401:
4371:
4338:
4298:
4272:
4252:
4250:{\displaystyle a_{i}}
4225:
4223:{\displaystyle n-k+i}
4193:
4142:
4119:
4099:
4079:
4077:{\displaystyle V_{7}}
4052:
4032:
4012:
4010:{\displaystyle V_{6}}
3985:
3965:
3963:{\displaystyle V_{j}}
3938:
3869:
3849:
3847:{\displaystyle V_{j}}
3822:
3765:
3763:{\displaystyle V_{j}}
3738:
3718:
3698:
3653:
3600:
3544:
3512:
3510:{\displaystyle V_{j}}
3485:
3459:
3432:in reduced matricial
3427:
3394:
3337:
3240:
3158:
3122:
3120:{\displaystyle C_{L}}
3095:
3066:
3034:
2996:
2968:
2899:
2873:
2853:
2817:
2790:
2761:
2716:
2682:
2623:
2546:
2513:
2426:
2326:
2298:
2206:
2106:
1993:
1923:
1897:
1877:
1806:
1681:
1560:
1515:
1475:
1438:
1178:
1002:
926:
887:
840:
801:
757:
672:
612:
587:
436:
416:
401:if the ambient space
396:
347:
307:
251:
211:
191:
171:
12686:. Berlin, New York:
12569:. pp. 445–482.
12529:Summer school notes
12420:. Berlin, New York:
12259:Enumerative geometry
12233:
12159:
12121:
12042:
11943:
11934:using the fact that
11645:
11491:
11324:
11274:
11223:
11184:
11145:
11100:
11055:
10929:
10845:
10813:
10776:
10739:
10694:
10641:
10621:
10586:
10503:
10483:
10424:
10361:
10332:
10312:
10283:
9880:
9662:
9589:
9560:
9520:
9477:
9252:
9190:
9165:
9132:
9043:
9018:
8998:
8970:
8944:
8924:
8904:
8884:
8824:
8798:
8752:
8728:
8672:
8628:
8588:
8548:
8503:
8451:
8396:
8296:
8247:
8073:
7919:
7859:
7825:
7262:
7225:
7188:
7159:
6990:
6844:
6763:
6699:
6516:
6458:
6431:
6379:
6375:In the special case
6351:Intersection product
6295:
6260:
6210:
6153:
6081:
6009:
5968:
5912:
5856:
5762:
5608:
5571:
5551:
5518:
5401:
5311:
5175:
5115:
4936:
4890:
4845:
4734:
4689:
4662:
4640:
4587:
4553:
4475:
4450:
4410:
4380:
4360:
4307:
4281:
4261:
4234:
4202:
4151:
4131:
4108:
4088:
4061:
4041:
4021:
3994:
3974:
3947:
3878:
3858:
3831:
3774:
3747:
3727:
3707:
3667:
3609:
3558:
3521:
3494:
3468:
3448:
3407:
3351:
3254:
3167:
3131:
3104:
3075:
3046:
3005:
2983:
2913:
2886:
2862:
2826:
2799:
2770:
2741:
2691:
2632:
2555:
2522:
2444:
2340:
2311:
2217:
2120:
2007:
1932:
1906:
1886:
1818:
1696:
1575:
1527:
1484:
1452:
1204:
1016:
943:
896:
858:
780:
686:
621:
601:
453:
425:
405:
356:
316:
260:
220:
200:
180:
160:
130:Bruhat decomposition
126:general linear group
38:enumerative geometry
12684:Intersection Theory
12623:"Schubert calculus"
12593:"Schubert calculus"
12418:Intersection Theory
12279:Giambelli's formula
12269:Intersection theory
11979:
11859:
10617:is a subvariety of
8987:{\displaystyle V/w}
8959:{\displaystyle n-k}
8746:tautological bundle
8425:
8361:
8022:
5800:
5340:
4549:A Schubert variety
2551:the Schubert class
1306: for all
617:-tuple of integers
176:-planes in a fixed
134:parabolic subgroups
93:intersection theory
34:projective geometry
12723:Algebraic geometry
12242:{\displaystyle 27}
12239:
12214:
12140:
12102:
12028:
11965:
11919:
11917:
11845:
11621:
11467:
11305:
11254:
11209:
11165:
11131:
11086:
11036:
11031:
10905:
10826:
10799:
10762:
10725:
10676:
10627:
10607:
10572:
10489:
10469:
10410:
10347:
10318:
10308:gives a dimension
10298:
10259:
10257:
9856:
9631:
9575:
9546:
9503:
9458:
9228:
9171:
9151:
9113:
9024:
9004:
8984:
8956:
8930:
8910:
8890:
8870:
8836:
8810:
8784:
8734:
8709:
8695:
8654:
8614:
8574:
8526:
8489:
8443:coefficients. The
8429:
8402:
8377:
8338:
8337:
8277:
8223:
8214:
8049:
8008:
7999:
7897:
7840:
7789:
7783:
7243:
7211:
7174:
7135:
6966:
6813:
6749:
6680:
6664:
6662:
6497:
6444:
6417:
6337:
6281:
6246:
6196:
6139:
6067:
5995:
5954:
5898:
5837:
5765:
5738:
5589:
5557:
5537:
5499:
5392:and the inclusion
5377:
5314:
5302:has the property
5287:
5156:
5096:
4914:
4876:
4826:
4715:
4675:
4648:
4621:
4568:
4526:
4456:
4436:
4396:
4366:
4333:
4293:
4267:
4247:
4220:
4188:
4137:
4114:
4094:
4074:
4047:
4027:
4007:
3980:
3960:
3933:
3864:
3844:
3817:
3760:
3733:
3713:
3693:
3648:
3595:
3539:
3507:
3480:
3454:
3422:
3389:
3332:
3235:
3153:
3117:
3090:
3061:
3029:
2991:
2963:
2894:
2868:
2848:
2812:
2785:
2756:
2711:
2677:
2618:
2541:
2508:
2421:
2321:
2293:
2201:
2101:
1988:
1928:that have a basis
1918:
1892:
1882:consists of those
1872:
1801:
1676:
1567:dual complete flag
1555:
1510:
1470:
1433:
1173:
997:
921:
882:
835:
752:
667:
607:
582:
431:
411:
391:
342:
302:
246:
206:
186:
166:
110:Schubert varieties
101:cohomology classes
26:algebraic geometry
12697:978-0-387-98549-7
12536:Phillip Griffiths
12460:3264 and All That
12431:978-0-387-98549-7
12294:Quintic threefold
11669:
11504:
11331:
11281:
10701:
10686:. Therefore, the
10630:{\displaystyle X}
10545:
10492:{\displaystyle X}
10321:{\displaystyle 2}
9854:
9453:
9174:{\displaystyle i}
9027:{\displaystyle Q}
9007:{\displaystyle T}
8933:{\displaystyle Q}
8913:{\displaystyle V}
8893:{\displaystyle n}
8829:
8737:{\displaystyle T}
8688:
8326:
7807:Giambelli formula
7155:Schubert classes
7151:Giambelli formula
6832:Giambelli formula
6571:
6322:
6307:
6272:
6240:
6225:
6190:
6174:
6133:
6117:
6077:and a subvariety
6061:
6045:
5775:
5621:
5567:-plane, giving a
5560:{\displaystyle k}
5414:
5059:
4636:of the partition
4545:Dimension formula
4459:{\displaystyle i}
4369:{\displaystyle k}
4270:{\displaystyle k}
4230:by the parameter
4140:{\displaystyle j}
4117:{\displaystyle 2}
4097:{\displaystyle w}
4050:{\displaystyle 1}
4030:{\displaystyle w}
3983:{\displaystyle w}
3867:{\displaystyle w}
3736:{\displaystyle w}
3716:{\displaystyle 4}
3457:{\displaystyle k}
3144:
2839:
2727:Giambelli formula
2438:Schubert calculus
2136:
2116:of the subspaces
2042:
2020:
1976:
1948:
1895:{\displaystyle k}
1709:
1655:
1630:
1608:
1589:
1480:, whose union is
1307:
1144:
931:, we associate a
610:{\displaystyle k}
434:{\displaystyle k}
414:{\displaystyle V}
209:{\displaystyle V}
189:{\displaystyle n}
169:{\displaystyle k}
122:homogeneous space
55:Schubert calculus
50:Schubert calculus
22:Schubert calculus
12735:
12709:
12675:
12635:
12617:
12597:
12580:
12555:Felix E. Browder
12522:
12521:
12510:
12504:
12503:
12474:
12468:
12467:
12465:
12455:
12444:
12443:
12410:
12401:
12400:
12371:
12358:
12357:
12322:
12248:
12246:
12245:
12240:
12223:
12221:
12220:
12215:
12207:
12206:
12188:
12187:
12171:
12149:
12147:
12146:
12141:
12139:
12138:
12111:
12109:
12108:
12103:
12098:
12097:
12079:
12078:
12060:
12059:
12037:
12035:
12034:
12029:
12027:
12026:
12008:
12007:
11998:
11997:
11978:
11973:
11961:
11960:
11928:
11926:
11925:
11920:
11918:
11910:
11909:
11885:
11878:
11877:
11858:
11853:
11838:
11837:
11813:
11797:
11796:
11754:
11689:
11688:
11676:
11675:
11670:
11667:
11661:
11660:
11636:it follows that
11630:
11628:
11627:
11622:
11524:
11523:
11511:
11510:
11505:
11502:
11476:
11474:
11473:
11468:
11466:
11465:
11457:
11456:
11443:
11442:
11434:
11433:
11423:
11422:
11407:
11406:
11397:
11396:
11388:
11387:
11374:
11373:
11365:
11364:
11351:
11350:
11338:
11337:
11332:
11329:
11314:
11312:
11311:
11306:
11301:
11300:
11288:
11287:
11282:
11279:
11263:
11261:
11260:
11255:
11241:
11240:
11218:
11216:
11215:
11210:
11196:
11195:
11174:
11172:
11171:
11166:
11164:
11163:
11154:
11153:
11140:
11138:
11137:
11132:
11115:
11114:
11095:
11093:
11092:
11087:
11070:
11069:
11045:
11043:
11042:
11037:
11032:
10995:
10951:
10950:
10914:
10912:
10911:
10906:
10904:
10903:
10885:
10884:
10863:
10862:
10835:
10833:
10832:
10827:
10825:
10824:
10808:
10806:
10805:
10800:
10783:
10771:
10769:
10768:
10763:
10746:
10734:
10732:
10731:
10726:
10721:
10720:
10708:
10707:
10702:
10699:
10685:
10683:
10682:
10677:
10660:
10636:
10634:
10633:
10628:
10616:
10614:
10613:
10608:
10606:
10605:
10600:
10581:
10579:
10578:
10573:
10565:
10564:
10552:
10551:
10546:
10543:
10522:
10498:
10496:
10495:
10490:
10478:
10476:
10475:
10470:
10465:
10464:
10437:
10419:
10417:
10416:
10411:
10394:
10368:
10356:
10354:
10353:
10348:
10346:
10345:
10340:
10327:
10325:
10324:
10319:
10307:
10305:
10304:
10299:
10297:
10296:
10291:
10268:
10266:
10265:
10260:
10258:
10254:
10253:
10235:
10205:
10194:
10193:
10180:
10179:
10161:
10131:
10120:
10119:
10106:
10105:
10087:
10079:
10078:
10066:
10036:
10025:
10024:
10011:
10010:
9998:
9968:
9957:
9956:
9937:
9907:
9896:
9895:
9865:
9863:
9862:
9857:
9855:
9853:
9840:
9839:
9827:
9826:
9805:
9804:
9786:
9785:
9763:
9759:
9758:
9746:
9745:
9727:
9726:
9714:
9708:
9685:
9674:
9673:
9640:
9638:
9637:
9632:
9612:
9601:
9600:
9584:
9582:
9581:
9576:
9574:
9573:
9568:
9555:
9553:
9552:
9547:
9530:
9512:
9510:
9509:
9504:
9487:
9467:
9465:
9464:
9459:
9454:
9452:
9414:
9401:
9400:
9367:
9366:
9345:
9344:
9317:
9316:
9304:
9298:
9275:
9264:
9263:
9237:
9235:
9234:
9229:
9224:
9223:
9202:
9201:
9180:
9178:
9177:
9172:
9160:
9158:
9157:
9152:
9150:
9149:
9122:
9120:
9119:
9114:
9109:
9108:
9107:
9106:
9086:
9085:
9055:
9054:
9033:
9031:
9030:
9025:
9013:
9011:
9010:
9005:
8993:
8991:
8990:
8985:
8980:
8965:
8963:
8962:
8957:
8939:
8937:
8936:
8931:
8919:
8917:
8916:
8911:
8899:
8897:
8896:
8891:
8879:
8877:
8876:
8871:
8848:
8837:
8819:
8817:
8816:
8811:
8794:is the subspace
8793:
8791:
8790:
8785:
8768:
8743:
8741:
8740:
8735:
8718:
8716:
8715:
8710:
8696:
8663:
8661:
8660:
8655:
8638:
8623:
8621:
8620:
8615:
8598:
8583:
8581:
8580:
8575:
8558:
8535:
8533:
8532:
8527:
8516:
8498:
8496:
8495:
8490:
8458:
8438:
8436:
8435:
8430:
8424:
8423:
8417:
8416:
8411:
8386:
8384:
8383:
8378:
8373:
8372:
8371:
8360:
8359:
8353:
8352:
8347:
8336:
8335:
8322:
8321:
8320:
8310:
8309:
8308:
8286:
8284:
8283:
8278:
8276:
8275:
8274:
8261:
8260:
8259:
8232:
8230:
8229:
8224:
8219:
8218:
8211:
8210:
8199:
8198:
8180:
8179:
8168:
8167:
8156:
8155:
8142:
8141:
8130:
8129:
8118:
8117:
8097:
8096:
8058:
8056:
8055:
8050:
8048:
8047:
8035:
8034:
8021:
8016:
8004:
8003:
7996:
7995:
7984:
7983:
7970:
7969:
7958:
7957:
7937:
7936:
7906:
7904:
7903:
7898:
7893:
7892:
7874:
7873:
7849:
7847:
7846:
7841:
7839:
7838:
7837:
7798:
7796:
7795:
7790:
7788:
7787:
7780:
7779:
7778:
7777:
7756:
7755:
7742:
7741:
7725:
7724:
7711:
7710:
7694:
7693:
7680:
7679:
7634:
7633:
7620:
7619:
7598:
7597:
7596:
7595:
7579:
7578:
7571:
7570:
7554:
7553:
7546:
7545:
7527:
7526:
7513:
7512:
7491:
7490:
7483:
7482:
7466:
7465:
7464:
7463:
7447:
7446:
7439:
7438:
7420:
7419:
7406:
7405:
7384:
7383:
7376:
7375:
7359:
7358:
7351:
7350:
7334:
7333:
7332:
7331:
7306:
7305:
7301:
7300:
7282:
7281:
7252:
7250:
7249:
7244:
7220:
7218:
7217:
7212:
7201:
7183:
7181:
7180:
7175:
7173:
7172:
7171:
7144:
7142:
7141:
7136:
7134:
7133:
7115:
7114:
7096:
7095:
7071:
7070:
7046:
7045:
7021:
7020:
7002:
7001:
6975:
6973:
6972:
6967:
6962:
6961:
6931:
6930:
6906:
6905:
6881:
6880:
6856:
6855:
6822:
6820:
6819:
6814:
6812:
6811:
6793:
6792:
6780:
6775:
6770:
6758:
6756:
6755:
6750:
6748:
6747:
6729:
6728:
6716:
6711:
6706:
6689:
6687:
6686:
6681:
6676:
6675:
6674:
6663:
6659:
6658:
6640:
6639:
6627:
6626:
6607:
6599:
6591:
6583:
6567:
6566:
6565:
6564:
6546:
6545:
6528:
6527:
6506:
6504:
6503:
6498:
6496:
6495:
6494:
6493:
6475:
6474:
6453:
6451:
6450:
6445:
6443:
6442:
6426:
6424:
6423:
6418:
6386:
6346:
6344:
6343:
6338:
6324:
6323:
6315:
6309:
6308:
6300:
6290:
6288:
6287:
6282:
6274:
6273:
6265:
6255:
6253:
6252:
6247:
6242:
6241:
6233:
6227:
6226:
6218:
6205:
6203:
6202:
6197:
6192:
6191:
6183:
6177:
6176:
6175:
6167:
6164:
6148:
6146:
6145:
6140:
6135:
6134:
6126:
6120:
6119:
6118:
6110:
6107:
6095:
6094:
6093:
6076:
6074:
6073:
6068:
6063:
6062:
6054:
6048:
6047:
6046:
6038:
6035:
6023:
6022:
6021:
6004:
6002:
6001:
5996:
5985:
5984:
5979:
5963:
5961:
5960:
5955:
5944:
5943:
5938:
5926:
5925:
5924:
5907:
5905:
5904:
5899:
5888:
5887:
5882:
5870:
5869:
5868:
5846:
5844:
5843:
5838:
5833:
5832:
5831:
5815:
5814:
5813:
5799:
5794:
5777:
5776:
5768:
5747:
5745:
5744:
5739:
5737:
5736:
5725:
5716:
5715:
5700:
5692:
5691:
5686:
5677:
5676:
5661:
5641:
5640:
5623:
5622:
5614:
5598:
5596:
5595:
5590:
5566:
5564:
5563:
5558:
5546:
5544:
5543:
5538:
5536:
5535:
5508:
5506:
5505:
5500:
5471:
5445:
5434:
5433:
5416:
5415:
5407:
5386:
5384:
5383:
5378:
5373:
5372:
5371:
5355:
5354:
5353:
5339:
5334:
5296:
5294:
5293:
5288:
5286:
5285:
5274:
5265:
5264:
5249:
5241:
5240:
5235:
5220:
5219:
5214:
5199:
5198:
5165:
5163:
5162:
5157:
5152:
5151:
5146:
5131:
5105:
5103:
5102:
5097:
5092:
5091:
5073:
5072:
5060:
5057:
5052:
5051:
5046:
5033:
5032:
5021:
5006:
4992:
4991:
4986:
4971:
4960:
4959:
4923:
4921:
4920:
4915:
4885:
4883:
4882:
4877:
4875:
4874:
4835:
4833:
4832:
4827:
4822:
4817:
4812:
4783:
4782:
4772:
4767:
4749:
4741:
4724:
4722:
4721:
4716:
4699:
4684:
4682:
4681:
4676:
4674:
4673:
4657:
4655:
4654:
4649:
4647:
4630:
4628:
4627:
4622:
4620:
4619:
4604:
4599:
4594:
4577:
4575:
4574:
4569:
4567:
4566:
4565:
4535:
4533:
4532:
4527:
4522:
4514:
4504:
4503:
4502:
4489:
4488:
4487:
4465:
4463:
4462:
4457:
4445:
4443:
4442:
4437:
4435:
4434:
4422:
4421:
4405:
4403:
4402:
4397:
4395:
4387:
4375:
4373:
4372:
4367:
4342:
4340:
4339:
4334:
4317:
4302:
4300:
4299:
4294:
4276:
4274:
4273:
4268:
4256:
4254:
4253:
4248:
4246:
4245:
4229:
4227:
4226:
4221:
4197:
4195:
4194:
4189:
4172:
4171:
4146:
4144:
4143:
4138:
4123:
4121:
4120:
4115:
4103:
4101:
4100:
4095:
4083:
4081:
4080:
4075:
4073:
4072:
4056:
4054:
4053:
4048:
4036:
4034:
4033:
4028:
4016:
4014:
4013:
4008:
4006:
4005:
3989:
3987:
3986:
3981:
3969:
3967:
3966:
3961:
3959:
3958:
3942:
3940:
3939:
3934:
3899:
3898:
3873:
3871:
3870:
3865:
3853:
3851:
3850:
3845:
3843:
3842:
3826:
3824:
3823:
3818:
3798:
3797:
3769:
3767:
3766:
3761:
3759:
3758:
3742:
3740:
3739:
3734:
3722:
3720:
3719:
3714:
3702:
3700:
3699:
3694:
3677:
3663:For example, in
3657:
3655:
3654:
3649:
3604:
3602:
3601:
3596:
3579:
3578:
3548:
3546:
3545:
3540:
3516:
3514:
3513:
3508:
3506:
3505:
3489:
3487:
3486:
3481:
3463:
3461:
3460:
3455:
3431:
3429:
3428:
3423:
3421:
3420:
3419:
3398:
3396:
3395:
3390:
3385:
3384:
3366:
3365:
3341:
3339:
3338:
3333:
3322:
3321:
3291:
3290:
3266:
3265:
3244:
3242:
3241:
3236:
3207:
3206:
3188:
3187:
3162:
3160:
3159:
3154:
3152:
3151:
3146:
3145:
3137:
3126:
3124:
3123:
3118:
3116:
3115:
3099:
3097:
3096:
3091:
3089:
3088:
3087:
3070:
3068:
3067:
3062:
3060:
3059:
3058:
3038:
3036:
3035:
3030:
3000:
2998:
2997:
2992:
2990:
2972:
2970:
2969:
2964:
2962:
2961:
2925:
2924:
2903:
2901:
2900:
2895:
2893:
2877:
2875:
2874:
2869:
2857:
2855:
2854:
2849:
2847:
2846:
2841:
2840:
2832:
2821:
2819:
2818:
2813:
2811:
2810:
2794:
2792:
2791:
2786:
2784:
2783:
2782:
2765:
2763:
2762:
2757:
2755:
2754:
2753:
2720:
2718:
2717:
2712:
2710:
2709:
2708:
2707:
2686:
2684:
2683:
2678:
2676:
2675:
2671:
2670:
2652:
2651:
2627:
2625:
2624:
2619:
2617:
2616:
2594:
2593:
2575:
2574:
2550:
2548:
2547:
2542:
2534:
2533:
2517:
2515:
2514:
2509:
2486:
2485:
2467:
2466:
2451:
2430:
2428:
2427:
2422:
2399:
2388:
2387:
2372:
2371:
2370:
2354:
2353:
2352:
2330:
2328:
2327:
2322:
2320:
2319:
2302:
2300:
2299:
2294:
2274:
2263:
2262:
2244:
2243:
2234:
2233:
2232:
2210:
2208:
2207:
2202:
2197:
2196:
2169:
2168:
2155:
2154:
2138:
2137:
2129:
2110:
2108:
2107:
2102:
2075:
2074:
2061:
2060:
2044:
2043:
2035:
2028:
2027:
2022:
2021:
2013:
1997:
1995:
1994:
1989:
1984:
1983:
1978:
1977:
1969:
1956:
1955:
1950:
1949:
1941:
1927:
1925:
1924:
1919:
1901:
1899:
1898:
1893:
1881:
1879:
1878:
1873:
1856:
1842:
1841:
1832:
1831:
1830:
1810:
1808:
1807:
1802:
1788:
1787:
1749:
1748:
1730:
1729:
1717:
1716:
1711:
1710:
1702:
1685:
1683:
1682:
1677:
1663:
1662:
1657:
1656:
1648:
1638:
1637:
1632:
1631:
1623:
1616:
1615:
1610:
1609:
1601:
1591:
1590:
1585:
1580:
1564:
1562:
1561:
1556:
1551:
1550:
1541:
1540:
1539:
1519:
1517:
1516:
1511:
1494:
1479:
1477:
1476:
1471:
1469:
1464:
1459:
1442:
1440:
1439:
1434:
1426:
1425:
1416:
1415:
1414:
1373:
1372:
1330:
1329:
1308:
1305:
1288:
1287:
1251:
1228:
1227:
1218:
1217:
1216:
1190:Zariski topology
1182:
1180:
1179:
1174:
1145:
1142:
1125:
1124:
1123:
1122:
1063:
1040:
1039:
1030:
1029:
1028:
1006:
1004:
1003:
998:
981:
967:
966:
957:
956:
955:
933:Schubert variety
930:
928:
927:
922:
920:
919:
891:
889:
888:
883:
844:
842:
841:
836:
831:
830:
820:
815:
797:
792:
787:
761:
759:
758:
753:
742:
741:
723:
722:
710:
709:
676:
674:
673:
668:
663:
662:
644:
643:
628:
616:
614:
613:
608:
591:
589:
588:
583:
547:
546:
541:
516:
515:
503:
502:
478:
477:
462:
461:
440:
438:
437:
432:
420:
418:
417:
412:
400:
398:
397:
392:
363:
351:
349:
348:
343:
326:
311:
309:
308:
303:
283:
272:
271:
255:
253:
252:
247:
230:
215:
213:
212:
207:
195:
193:
192:
187:
175:
173:
172:
167:
138:block triangular
86:Schubert variety
30:Hermann Schubert
12743:
12742:
12738:
12737:
12736:
12734:
12733:
12732:
12713:
12712:
12698:
12688:Springer-Verlag
12680:Fulton, William
12672:
12650:Fulton, William
12614:10.2307/2317421
12595:
12577:
12551:Kleiman, Steven
12526:
12525:
12511:
12507:
12500:
12478:Fulton, William
12475:
12471:
12463:
12457:
12456:
12447:
12432:
12422:Springer-Verlag
12414:Fulton, William
12411:
12404:
12397:
12375:Fulton, William
12372:
12361:
12323:
12312:
12307:
12284:Pieri's formula
12255:
12234:
12231:
12230:
12196:
12192:
12167:
12166:
12162:
12160:
12157:
12156:
12128:
12124:
12122:
12119:
12118:
12087:
12083:
12068:
12064:
12049:
12045:
12043:
12040:
12039:
12016:
12012:
12003:
11999:
11987:
11983:
11974:
11969:
11950:
11946:
11944:
11941:
11940:
11916:
11915:
11899:
11895:
11883:
11882:
11867:
11863:
11854:
11849:
11827:
11823:
11811:
11810:
11792:
11788:
11752:
11751:
11696:
11684:
11680:
11671:
11666:
11665:
11656:
11652:
11648:
11646:
11643:
11642:
11519:
11515:
11506:
11501:
11500:
11492:
11489:
11488:
11458:
11452:
11451:
11450:
11435:
11429:
11428:
11427:
11418:
11417:
11402:
11401:
11389:
11383:
11382:
11381:
11366:
11360:
11359:
11358:
11346:
11342:
11333:
11328:
11327:
11325:
11322:
11321:
11296:
11292:
11283:
11278:
11277:
11275:
11272:
11271:
11230:
11226:
11224:
11221:
11220:
11191:
11187:
11185:
11182:
11181:
11159:
11158:
11149:
11148:
11146:
11143:
11142:
11110:
11109:
11101:
11098:
11097:
11065:
11064:
11056:
11053:
11052:
11030:
11029:
10993:
10992:
10955:
10946:
10942:
10932:
10930:
10927:
10926:
10893:
10889:
10880:
10876:
10858:
10854:
10846:
10843:
10842:
10820:
10816:
10814:
10811:
10810:
10779:
10777:
10774:
10773:
10742:
10740:
10737:
10736:
10716:
10712:
10703:
10698:
10697:
10695:
10692:
10691:
10656:
10642:
10639:
10638:
10622:
10619:
10618:
10601:
10596:
10595:
10587:
10584:
10583:
10560:
10556:
10547:
10542:
10541:
10518:
10504:
10501:
10500:
10484:
10481:
10480:
10460:
10456:
10433:
10425:
10422:
10421:
10387:
10364:
10362:
10359:
10358:
10341:
10336:
10335:
10333:
10330:
10329:
10313:
10310:
10309:
10292:
10287:
10286:
10284:
10281:
10280:
10277:
10256:
10255:
10243:
10239:
10231:
10224:
10198:
10189:
10185:
10182:
10181:
10169:
10165:
10157:
10150:
10124:
10115:
10111:
10108:
10107:
10095:
10091:
10083:
10074:
10070:
10062:
10055:
10029:
10020:
10016:
10013:
10012:
10006:
10002:
9994:
9987:
9961:
9952:
9948:
9945:
9944:
9933:
9926:
9900:
9891:
9887:
9883:
9881:
9878:
9877:
9835:
9831:
9822:
9818:
9794:
9790:
9781:
9777:
9764:
9754:
9750:
9735:
9731:
9722:
9718:
9710:
9709:
9707:
9678:
9669:
9665:
9663:
9660:
9659:
9651:
9605:
9596:
9592:
9590:
9587:
9586:
9569:
9564:
9563:
9561:
9558:
9557:
9523:
9521:
9518:
9517:
9514:
9480:
9478:
9475:
9474:
9415:
9390:
9386:
9362:
9358:
9340:
9336:
9312:
9308:
9300:
9299:
9297:
9268:
9259:
9255:
9253:
9250:
9249:
9219:
9215:
9197:
9193:
9191:
9188:
9187:
9166:
9163:
9162:
9145:
9141:
9133:
9130:
9129:
9102:
9098:
9091:
9087:
9081:
9077:
9050:
9046:
9044:
9041:
9040:
9019:
9016:
9015:
8999:
8996:
8995:
8976:
8971:
8968:
8967:
8945:
8942:
8941:
8925:
8922:
8921:
8905:
8902:
8901:
8885:
8882:
8881:
8841:
8828:
8825:
8822:
8821:
8799:
8796:
8795:
8761:
8753:
8750:
8749:
8729:
8726:
8725:
8687:
8673:
8670:
8669:
8631:
8629:
8626:
8625:
8591:
8589:
8586:
8585:
8551:
8549:
8546:
8545:
8542:
8512:
8504:
8501:
8500:
8454:
8452:
8449:
8448:
8419:
8418:
8412:
8407:
8406:
8397:
8394:
8393:
8367:
8366:
8362:
8355:
8354:
8348:
8343:
8342:
8331:
8330:
8316:
8315:
8311:
8304:
8303:
8299:
8297:
8294:
8293:
8270:
8269:
8265:
8255:
8254:
8250:
8248:
8245:
8244:
8241:
8213:
8212:
8206:
8202:
8200:
8194:
8190:
8188:
8182:
8181:
8175:
8171:
8169:
8163:
8159:
8157:
8151:
8147:
8144:
8143:
8137:
8133:
8131:
8125:
8121:
8119:
8113:
8109:
8102:
8101:
8080:
8076:
8074:
8071:
8070:
8043:
8039:
8030:
8026:
8017:
8012:
7998:
7997:
7991:
7987:
7985:
7979:
7975:
7972:
7971:
7965:
7961:
7959:
7953:
7949:
7942:
7941:
7926:
7922:
7920:
7917:
7916:
7882:
7878:
7869:
7865:
7860:
7857:
7856:
7833:
7832:
7828:
7826:
7823:
7822:
7819:Schur functions
7782:
7781:
7773:
7769:
7768:
7764:
7762:
7757:
7737:
7733:
7732:
7728:
7726:
7706:
7702:
7701:
7697:
7695:
7675:
7671:
7670:
7666:
7663:
7662:
7657:
7652:
7647:
7642:
7636:
7635:
7615:
7611:
7610:
7606:
7604:
7599:
7591:
7587:
7586:
7582:
7580:
7566:
7562:
7561:
7557:
7555:
7541:
7537:
7536:
7532:
7529:
7528:
7508:
7504:
7503:
7499:
7497:
7492:
7478:
7474:
7473:
7469:
7467:
7459:
7455:
7454:
7450:
7448:
7434:
7430:
7429:
7425:
7422:
7421:
7401:
7397:
7396:
7392:
7390:
7385:
7371:
7367:
7366:
7362:
7360:
7346:
7342:
7341:
7337:
7335:
7327:
7323:
7322:
7318:
7311:
7310:
7296:
7292:
7277:
7273:
7269:
7265:
7263:
7260:
7259:
7226:
7223:
7222:
7197:
7189:
7186:
7185:
7167:
7166:
7162:
7160:
7157:
7156:
7153:
7123:
7119:
7104:
7100:
7079:
7075:
7054:
7050:
7029:
7025:
7010:
7006:
6997:
6993:
6991:
6988:
6987:
6939:
6935:
6914:
6910:
6889:
6885:
6864:
6860:
6851:
6847:
6845:
6842:
6841:
6835:. For example,
6807:
6803:
6788:
6784:
6776:
6771:
6766:
6764:
6761:
6760:
6743:
6739:
6724:
6720:
6712:
6707:
6702:
6700:
6697:
6696:
6670:
6669:
6665:
6661:
6660:
6648:
6644:
6635:
6631:
6622:
6618:
6615:
6614:
6603:
6595:
6587:
6579:
6575:
6560:
6556:
6541:
6537:
6536:
6532:
6523:
6519:
6517:
6514:
6513:
6489:
6485:
6470:
6466:
6465:
6461:
6459:
6456:
6455:
6438:
6434:
6432:
6429:
6428:
6382:
6380:
6377:
6376:
6373:
6353:
6314:
6313:
6299:
6298:
6296:
6293:
6292:
6264:
6263:
6261:
6258:
6257:
6232:
6231:
6217:
6216:
6211:
6208:
6207:
6182:
6181:
6166:
6165:
6157:
6156:
6154:
6151:
6150:
6125:
6124:
6109:
6108:
6100:
6099:
6089:
6088:
6084:
6082:
6079:
6078:
6053:
6052:
6037:
6036:
6028:
6027:
6017:
6016:
6012:
6010:
6007:
6006:
5980:
5972:
5971:
5969:
5966:
5965:
5939:
5931:
5930:
5920:
5919:
5915:
5913:
5910:
5909:
5883:
5875:
5874:
5864:
5863:
5859:
5857:
5854:
5853:
5827:
5826:
5822:
5809:
5808:
5804:
5795:
5778:
5767:
5766:
5763:
5760:
5759:
5726:
5721:
5720:
5705:
5701:
5696:
5687:
5682:
5681:
5666:
5662:
5657:
5624:
5613:
5612:
5611:
5609:
5606:
5605:
5572:
5569:
5568:
5552:
5549:
5548:
5525:
5521:
5519:
5516:
5515:
5464:
5438:
5417:
5406:
5405:
5404:
5402:
5399:
5398:
5367:
5366:
5362:
5349:
5348:
5344:
5335:
5318:
5312:
5309:
5308:
5275:
5270:
5269:
5254:
5250:
5245:
5236:
5231:
5230:
5215:
5210:
5209:
5182:
5178:
5176:
5173:
5172:
5147:
5142:
5141:
5124:
5116:
5113:
5112:
5087:
5083:
5068:
5064:
5056:
5047:
5042:
5041:
5022:
5017:
5016:
4999:
4987:
4982:
4981:
4964:
4943:
4939:
4937:
4934:
4933:
4891:
4888:
4887:
4870:
4866:
4846:
4843:
4842:
4818:
4813:
4808:
4778:
4774:
4768:
4757:
4745:
4737:
4735:
4732:
4731:
4725:is the weight
4692:
4690:
4687:
4686:
4669:
4665:
4663:
4660:
4659:
4643:
4641:
4638:
4637:
4615:
4611:
4600:
4595:
4590:
4588:
4585:
4584:
4561:
4560:
4556:
4554:
4551:
4550:
4547:
4518:
4510:
4498:
4497:
4493:
4483:
4482:
4478:
4476:
4473:
4472:
4451:
4448:
4447:
4430:
4426:
4417:
4413:
4411:
4408:
4407:
4391:
4383:
4381:
4378:
4377:
4361:
4358:
4357:
4354:
4349:
4310:
4308:
4305:
4304:
4282:
4279:
4278:
4262:
4259:
4258:
4241:
4237:
4235:
4232:
4231:
4203:
4200:
4199:
4167:
4163:
4152:
4149:
4148:
4132:
4129:
4128:
4109:
4106:
4105:
4089:
4086:
4085:
4068:
4064:
4062:
4059:
4058:
4042:
4039:
4038:
4022:
4019:
4018:
4001:
3997:
3995:
3992:
3991:
3975:
3972:
3971:
3954:
3950:
3948:
3945:
3944:
3894:
3890:
3879:
3876:
3875:
3859:
3856:
3855:
3838:
3834:
3832:
3829:
3828:
3793:
3789:
3775:
3772:
3771:
3754:
3750:
3748:
3745:
3744:
3728:
3725:
3724:
3708:
3705:
3704:
3670:
3668:
3665:
3664:
3610:
3607:
3606:
3574:
3570:
3559:
3556:
3555:
3522:
3519:
3518:
3501:
3497:
3495:
3492:
3491:
3469:
3466:
3465:
3449:
3446:
3445:
3442:
3415:
3414:
3410:
3408:
3405:
3404:
3380:
3376:
3361:
3357:
3352:
3349:
3348:
3305:
3301:
3286:
3282:
3261:
3257:
3255:
3252:
3251:
3202:
3198:
3183:
3179:
3168:
3165:
3164:
3147:
3136:
3135:
3134:
3132:
3129:
3128:
3111:
3107:
3105:
3102:
3101:
3083:
3082:
3078:
3076:
3073:
3072:
3054:
3053:
3049:
3047:
3044:
3043:
3006:
3003:
3002:
2986:
2984:
2981:
2980:
2945:
2941:
2920:
2916:
2914:
2911:
2910:
2889:
2887:
2884:
2883:
2863:
2860:
2859:
2842:
2831:
2830:
2829:
2827:
2824:
2823:
2806:
2802:
2800:
2797:
2796:
2778:
2777:
2773:
2771:
2768:
2767:
2749:
2748:
2744:
2742:
2739:
2738:
2735:
2723:special classes
2703:
2699:
2698:
2694:
2692:
2689:
2688:
2666:
2662:
2647:
2643:
2639:
2635:
2633:
2630:
2629:
2589:
2585:
2570:
2566:
2562:
2558:
2556:
2553:
2552:
2529:
2525:
2523:
2520:
2519:
2481:
2477:
2462:
2458:
2447:
2445:
2442:
2441:
2392:
2383:
2379:
2366:
2365:
2361:
2348:
2347:
2343:
2341:
2338:
2337:
2315:
2314:
2312:
2309:
2308:
2267:
2258:
2254:
2239:
2238:
2228:
2227:
2223:
2218:
2215:
2214:
2174:
2170:
2150:
2146:
2139:
2128:
2127:
2126:
2121:
2118:
2117:
2056:
2052:
2045:
2034:
2033:
2032:
2023:
2012:
2011:
2010:
2008:
2005:
2004:
1979:
1968:
1967:
1966:
1951:
1940:
1939:
1938:
1933:
1930:
1929:
1907:
1904:
1903:
1887:
1884:
1883:
1849:
1837:
1836:
1826:
1825:
1821:
1819:
1816:
1815:
1783:
1779:
1738:
1734:
1725:
1721:
1712:
1701:
1700:
1699:
1697:
1694:
1693:
1658:
1647:
1646:
1645:
1633:
1622:
1621:
1620:
1611:
1600:
1599:
1598:
1581:
1579:
1578:
1576:
1573:
1572:
1546:
1545:
1535:
1534:
1530:
1528:
1525:
1524:
1487:
1485:
1482:
1481:
1465:
1460:
1455:
1453:
1450:
1449:
1421:
1420:
1410:
1409:
1405:
1362:
1358:
1325:
1321:
1304:
1283:
1279:
1244:
1223:
1222:
1212:
1211:
1207:
1205:
1202:
1201:
1143: for
1141:
1118:
1114:
1095:
1091:
1056:
1035:
1034:
1024:
1023:
1019:
1017:
1014:
1013:
974:
962:
961:
951:
950:
946:
944:
941:
940:
915:
911:
897:
894:
893:
859:
856:
855:
826:
822:
816:
805:
793:
788:
783:
781:
778:
777:
737:
733:
718:
714:
705:
701:
687:
684:
683:
658:
654:
639:
635:
624:
622:
619:
618:
602:
599:
598:
542:
537:
536:
511:
507:
492:
488:
473:
469:
457:
456:
454:
451:
450:
426:
423:
422:
406:
403:
402:
359:
357:
354:
353:
319:
317:
314:
313:
276:
267:
263:
261:
258:
257:
223:
221:
218:
217:
201:
198:
197:
181:
178:
177:
161:
158:
157:
146:
105:Schubert cycles
97:cohomology ring
24:is a branch of
12:
11:
5:
12741:
12731:
12730:
12725:
12711:
12710:
12696:
12676:
12670:
12646:
12639:David Eisenbud
12636:
12618:
12585:Steven Kleiman
12581:
12575:
12547:
12533:
12524:
12523:
12505:
12498:
12469:
12445:
12430:
12402:
12395:
12359:
12309:
12308:
12306:
12303:
12302:
12301:
12296:
12291:
12286:
12281:
12276:
12271:
12266:
12261:
12254:
12251:
12238:
12227:
12226:
12225:
12224:
12213:
12210:
12205:
12202:
12199:
12195:
12191:
12186:
12183:
12180:
12177:
12174:
12170:
12165:
12137:
12134:
12131:
12127:
12115:
12114:
12113:
12112:
12101:
12096:
12093:
12090:
12086:
12082:
12077:
12074:
12071:
12067:
12063:
12058:
12055:
12052:
12048:
12025:
12022:
12019:
12015:
12011:
12006:
12002:
11996:
11993:
11990:
11986:
11982:
11977:
11972:
11968:
11964:
11959:
11956:
11953:
11949:
11932:
11931:
11930:
11929:
11914:
11908:
11905:
11902:
11898:
11894:
11891:
11888:
11886:
11884:
11881:
11876:
11873:
11870:
11866:
11862:
11857:
11852:
11848:
11844:
11841:
11836:
11833:
11830:
11826:
11822:
11819:
11816:
11814:
11812:
11809:
11806:
11803:
11800:
11795:
11791:
11787:
11784:
11781:
11778:
11775:
11772:
11769:
11766:
11763:
11760:
11757:
11755:
11753:
11750:
11747:
11744:
11741:
11738:
11735:
11732:
11729:
11726:
11723:
11720:
11717:
11714:
11711:
11708:
11705:
11702:
11699:
11697:
11695:
11692:
11687:
11683:
11679:
11674:
11664:
11659:
11655:
11651:
11650:
11634:
11633:
11632:
11631:
11620:
11617:
11614:
11611:
11608:
11605:
11602:
11599:
11596:
11593:
11590:
11587:
11584:
11581:
11578:
11575:
11572:
11569:
11566:
11563:
11560:
11557:
11554:
11551:
11548:
11545:
11542:
11539:
11536:
11533:
11530:
11527:
11522:
11518:
11514:
11509:
11499:
11496:
11480:
11479:
11478:
11477:
11464:
11461:
11455:
11449:
11446:
11441:
11438:
11432:
11426:
11421:
11416:
11413:
11410:
11405:
11400:
11395:
11392:
11386:
11380:
11377:
11372:
11369:
11363:
11357:
11354:
11349:
11345:
11341:
11336:
11304:
11299:
11295:
11291:
11286:
11268:
11267:
11266:
11265:
11253:
11250:
11247:
11244:
11239:
11236:
11233:
11229:
11208:
11205:
11202:
11199:
11194:
11190:
11162:
11157:
11152:
11130:
11127:
11124:
11121:
11118:
11113:
11108:
11105:
11085:
11082:
11079:
11076:
11073:
11068:
11063:
11060:
11049:
11048:
11047:
11046:
11035:
11028:
11025:
11022:
11019:
11016:
11013:
11010:
11007:
11004:
11001:
10998:
10996:
10994:
10991:
10988:
10985:
10982:
10979:
10976:
10973:
10970:
10967:
10964:
10961:
10958:
10956:
10954:
10949:
10945:
10941:
10938:
10935:
10934:
10918:
10917:
10916:
10915:
10902:
10899:
10896:
10892:
10888:
10883:
10879:
10875:
10872:
10869:
10866:
10861:
10857:
10853:
10850:
10823:
10819:
10798:
10795:
10792:
10789:
10786:
10782:
10761:
10758:
10755:
10752:
10749:
10745:
10724:
10719:
10715:
10711:
10706:
10675:
10672:
10669:
10666:
10663:
10659:
10655:
10652:
10649:
10646:
10626:
10604:
10599:
10594:
10591:
10571:
10568:
10563:
10559:
10555:
10550:
10540:
10537:
10534:
10531:
10528:
10525:
10521:
10517:
10514:
10511:
10508:
10488:
10468:
10463:
10459:
10455:
10452:
10449:
10446:
10443:
10440:
10436:
10432:
10429:
10409:
10406:
10403:
10400:
10397:
10393:
10390:
10386:
10383:
10380:
10377:
10374:
10371:
10367:
10344:
10339:
10317:
10295:
10290:
10276:
10273:
10272:
10271:
10270:
10269:
10252:
10249:
10246:
10242:
10238:
10234:
10230:
10227:
10225:
10223:
10220:
10217:
10214:
10211:
10208:
10204:
10201:
10197:
10192:
10188:
10184:
10183:
10178:
10175:
10172:
10168:
10164:
10160:
10156:
10153:
10151:
10149:
10146:
10143:
10140:
10137:
10134:
10130:
10127:
10123:
10118:
10114:
10110:
10109:
10104:
10101:
10098:
10094:
10090:
10086:
10082:
10077:
10073:
10069:
10065:
10061:
10058:
10056:
10054:
10051:
10048:
10045:
10042:
10039:
10035:
10032:
10028:
10023:
10019:
10015:
10014:
10009:
10005:
10001:
9997:
9993:
9990:
9988:
9986:
9983:
9980:
9977:
9974:
9971:
9967:
9964:
9960:
9955:
9951:
9947:
9946:
9943:
9940:
9936:
9932:
9929:
9927:
9925:
9922:
9919:
9916:
9913:
9910:
9906:
9903:
9899:
9894:
9890:
9886:
9885:
9869:
9868:
9867:
9866:
9852:
9849:
9846:
9843:
9838:
9834:
9830:
9825:
9821:
9817:
9814:
9811:
9808:
9803:
9800:
9797:
9793:
9789:
9784:
9780:
9776:
9773:
9770:
9767:
9762:
9757:
9753:
9749:
9744:
9741:
9738:
9734:
9730:
9725:
9721:
9717:
9713:
9706:
9703:
9700:
9697:
9694:
9691:
9688:
9684:
9681:
9677:
9672:
9668:
9650:
9647:
9630:
9627:
9624:
9621:
9618:
9615:
9611:
9608:
9604:
9599:
9595:
9572:
9567:
9545:
9542:
9539:
9536:
9533:
9529:
9526:
9513:
9502:
9499:
9496:
9493:
9490:
9486:
9483:
9472:
9471:
9470:
9469:
9468:
9457:
9451:
9448:
9445:
9442:
9439:
9436:
9433:
9430:
9427:
9424:
9421:
9418:
9413:
9410:
9407:
9404:
9399:
9396:
9393:
9389:
9385:
9382:
9379:
9376:
9373:
9370:
9365:
9361:
9357:
9354:
9351:
9348:
9343:
9339:
9335:
9332:
9329:
9326:
9323:
9320:
9315:
9311:
9307:
9303:
9296:
9293:
9290:
9287:
9284:
9281:
9278:
9274:
9271:
9267:
9262:
9258:
9241:
9240:
9239:
9238:
9227:
9222:
9218:
9214:
9211:
9208:
9205:
9200:
9196:
9170:
9148:
9144:
9140:
9137:
9126:
9125:
9124:
9123:
9112:
9105:
9101:
9097:
9094:
9090:
9084:
9080:
9076:
9073:
9070:
9067:
9064:
9061:
9058:
9053:
9049:
9023:
9003:
8983:
8979:
8975:
8955:
8952:
8949:
8929:
8909:
8889:
8869:
8866:
8863:
8860:
8857:
8854:
8851:
8847:
8844:
8840:
8835:
8832:
8809:
8806:
8803:
8783:
8780:
8777:
8774:
8771:
8767:
8764:
8760:
8757:
8733:
8722:
8721:
8720:
8719:
8708:
8705:
8702:
8699:
8694:
8691:
8686:
8683:
8680:
8677:
8653:
8650:
8647:
8644:
8641:
8637:
8634:
8613:
8610:
8607:
8604:
8601:
8597:
8594:
8573:
8570:
8567:
8564:
8561:
8557:
8554:
8541:
8538:
8525:
8522:
8519:
8515:
8511:
8508:
8488:
8485:
8482:
8479:
8476:
8473:
8470:
8467:
8464:
8461:
8457:
8428:
8422:
8415:
8410:
8405:
8401:
8390:
8389:
8388:
8387:
8376:
8370:
8365:
8358:
8351:
8346:
8341:
8334:
8329:
8325:
8319:
8314:
8307:
8302:
8273:
8268:
8264:
8258:
8253:
8240:
8237:
8236:
8235:
8234:
8233:
8222:
8217:
8209:
8205:
8201:
8197:
8193:
8189:
8187:
8184:
8183:
8178:
8174:
8170:
8166:
8162:
8158:
8154:
8150:
8146:
8145:
8140:
8136:
8132:
8128:
8124:
8120:
8116:
8112:
8108:
8107:
8105:
8100:
8095:
8092:
8089:
8086:
8083:
8079:
8062:
8061:
8060:
8059:
8046:
8042:
8038:
8033:
8029:
8025:
8020:
8015:
8011:
8007:
8002:
7994:
7990:
7986:
7982:
7978:
7974:
7973:
7968:
7964:
7960:
7956:
7952:
7948:
7947:
7945:
7940:
7935:
7932:
7929:
7925:
7896:
7891:
7888:
7885:
7881:
7877:
7872:
7868:
7864:
7836:
7831:
7802:
7801:
7800:
7799:
7786:
7776:
7772:
7767:
7763:
7761:
7758:
7754:
7751:
7748:
7745:
7740:
7736:
7731:
7727:
7723:
7720:
7717:
7714:
7709:
7705:
7700:
7696:
7692:
7689:
7686:
7683:
7678:
7674:
7669:
7665:
7664:
7661:
7658:
7656:
7653:
7651:
7648:
7646:
7643:
7641:
7638:
7637:
7632:
7629:
7626:
7623:
7618:
7614:
7609:
7605:
7603:
7600:
7594:
7590:
7585:
7581:
7577:
7574:
7569:
7565:
7560:
7556:
7552:
7549:
7544:
7540:
7535:
7531:
7530:
7525:
7522:
7519:
7516:
7511:
7507:
7502:
7498:
7496:
7493:
7489:
7486:
7481:
7477:
7472:
7468:
7462:
7458:
7453:
7449:
7445:
7442:
7437:
7433:
7428:
7424:
7423:
7418:
7415:
7412:
7409:
7404:
7400:
7395:
7391:
7389:
7386:
7382:
7379:
7374:
7370:
7365:
7361:
7357:
7354:
7349:
7345:
7340:
7336:
7330:
7326:
7321:
7317:
7316:
7314:
7309:
7304:
7299:
7295:
7291:
7288:
7285:
7280:
7276:
7272:
7268:
7242:
7239:
7236:
7233:
7230:
7210:
7207:
7204:
7200:
7196:
7193:
7170:
7165:
7152:
7149:
7148:
7147:
7146:
7145:
7132:
7129:
7126:
7122:
7118:
7113:
7110:
7107:
7103:
7099:
7094:
7091:
7088:
7085:
7082:
7078:
7074:
7069:
7066:
7063:
7060:
7057:
7053:
7049:
7044:
7041:
7038:
7035:
7032:
7028:
7024:
7019:
7016:
7013:
7009:
7005:
7000:
6996:
6979:
6978:
6977:
6976:
6965:
6960:
6957:
6954:
6951:
6948:
6945:
6942:
6938:
6934:
6929:
6926:
6923:
6920:
6917:
6913:
6909:
6904:
6901:
6898:
6895:
6892:
6888:
6884:
6879:
6876:
6873:
6870:
6867:
6863:
6859:
6854:
6850:
6810:
6806:
6802:
6799:
6796:
6791:
6787:
6783:
6779:
6774:
6769:
6746:
6742:
6738:
6735:
6732:
6727:
6723:
6719:
6715:
6710:
6705:
6693:
6692:
6691:
6690:
6679:
6673:
6668:
6657:
6654:
6651:
6647:
6643:
6638:
6634:
6630:
6625:
6621:
6617:
6616:
6613:
6610:
6606:
6602:
6598:
6594:
6590:
6586:
6582:
6578:
6577:
6574:
6570:
6563:
6559:
6555:
6552:
6549:
6544:
6540:
6535:
6531:
6526:
6522:
6492:
6488:
6484:
6481:
6478:
6473:
6469:
6464:
6441:
6437:
6416:
6413:
6410:
6407:
6404:
6401:
6398:
6395:
6392:
6389:
6385:
6372:
6369:
6352:
6349:
6336:
6333:
6330:
6327:
6321:
6318:
6312:
6306:
6303:
6280:
6277:
6271:
6268:
6245:
6239:
6236:
6230:
6224:
6221:
6215:
6195:
6189:
6186:
6180:
6173:
6170:
6163:
6160:
6138:
6132:
6129:
6123:
6116:
6113:
6106:
6103:
6098:
6092:
6087:
6066:
6060:
6057:
6051:
6044:
6041:
6034:
6031:
6026:
6020:
6015:
5994:
5991:
5988:
5983:
5978:
5975:
5953:
5950:
5947:
5942:
5937:
5934:
5929:
5923:
5918:
5897:
5894:
5891:
5886:
5881:
5878:
5873:
5867:
5862:
5850:
5849:
5848:
5847:
5836:
5830:
5825:
5821:
5818:
5812:
5807:
5803:
5798:
5793:
5790:
5787:
5784:
5781:
5774:
5771:
5751:
5750:
5749:
5748:
5735:
5732:
5729:
5724:
5719:
5714:
5711:
5708:
5704:
5699:
5695:
5690:
5685:
5680:
5675:
5672:
5669:
5665:
5660:
5656:
5653:
5650:
5647:
5644:
5639:
5636:
5633:
5630:
5627:
5620:
5617:
5588:
5585:
5582:
5579:
5576:
5556:
5534:
5531:
5528:
5524:
5512:
5511:
5510:
5509:
5498:
5495:
5492:
5489:
5486:
5483:
5480:
5477:
5474:
5470:
5467:
5463:
5460:
5457:
5454:
5451:
5448:
5444:
5441:
5437:
5432:
5429:
5426:
5423:
5420:
5413:
5410:
5390:
5389:
5388:
5387:
5376:
5370:
5365:
5361:
5358:
5352:
5347:
5343:
5338:
5333:
5330:
5327:
5324:
5321:
5317:
5300:
5299:
5298:
5297:
5284:
5281:
5278:
5273:
5268:
5263:
5260:
5257:
5253:
5248:
5244:
5239:
5234:
5229:
5226:
5223:
5218:
5213:
5208:
5205:
5202:
5197:
5194:
5191:
5188:
5185:
5181:
5155:
5150:
5145:
5140:
5137:
5134:
5130:
5127:
5123:
5120:
5109:
5108:
5107:
5106:
5095:
5090:
5086:
5082:
5079:
5076:
5071:
5067:
5063:
5055:
5050:
5045:
5039:
5036:
5031:
5028:
5025:
5020:
5015:
5012:
5009:
5005:
5002:
4998:
4995:
4990:
4985:
4980:
4977:
4974:
4970:
4967:
4963:
4958:
4955:
4952:
4949:
4946:
4942:
4913:
4910:
4907:
4904:
4901:
4898:
4895:
4873:
4869:
4865:
4862:
4859:
4856:
4853:
4850:
4839:
4838:
4837:
4836:
4825:
4821:
4816:
4811:
4807:
4804:
4801:
4798:
4795:
4792:
4789:
4786:
4781:
4777:
4771:
4766:
4763:
4760:
4756:
4752:
4748:
4744:
4740:
4714:
4711:
4708:
4705:
4702:
4698:
4695:
4672:
4668:
4646:
4634:
4633:
4632:
4631:
4618:
4614:
4610:
4607:
4603:
4598:
4593:
4564:
4559:
4546:
4543:
4539:
4538:
4537:
4536:
4525:
4521:
4517:
4513:
4508:
4501:
4496:
4492:
4486:
4481:
4455:
4433:
4429:
4425:
4420:
4416:
4394:
4390:
4386:
4376:-tuples where
4365:
4353:
4350:
4348:
4345:
4332:
4329:
4326:
4323:
4320:
4316:
4313:
4292:
4289:
4286:
4266:
4244:
4240:
4219:
4216:
4213:
4210:
4207:
4187:
4184:
4181:
4178:
4175:
4170:
4166:
4162:
4159:
4156:
4136:
4113:
4093:
4071:
4067:
4046:
4026:
4004:
4000:
3979:
3957:
3953:
3932:
3929:
3926:
3923:
3920:
3917:
3914:
3911:
3908:
3905:
3902:
3897:
3893:
3889:
3886:
3883:
3863:
3841:
3837:
3816:
3813:
3810:
3807:
3804:
3801:
3796:
3792:
3788:
3785:
3782:
3779:
3757:
3753:
3732:
3712:
3692:
3689:
3686:
3683:
3680:
3676:
3673:
3661:
3660:
3659:
3658:
3647:
3644:
3641:
3638:
3635:
3632:
3629:
3626:
3623:
3620:
3617:
3614:
3594:
3591:
3588:
3585:
3582:
3577:
3573:
3569:
3566:
3563:
3538:
3535:
3532:
3529:
3526:
3504:
3500:
3479:
3476:
3473:
3453:
3441:
3438:
3418:
3413:
3388:
3383:
3379:
3375:
3372:
3369:
3364:
3360:
3356:
3345:
3344:
3343:
3342:
3331:
3328:
3325:
3320:
3317:
3314:
3311:
3308:
3304:
3300:
3297:
3294:
3289:
3285:
3281:
3278:
3275:
3272:
3269:
3264:
3260:
3234:
3231:
3228:
3225:
3222:
3219:
3216:
3213:
3210:
3205:
3201:
3197:
3194:
3191:
3186:
3182:
3178:
3175:
3172:
3150:
3143:
3140:
3114:
3110:
3086:
3081:
3057:
3052:
3028:
3025:
3022:
3019:
3016:
3013:
3010:
2989:
2977:
2976:
2975:
2974:
2960:
2957:
2954:
2951:
2948:
2944:
2940:
2937:
2934:
2931:
2928:
2923:
2919:
2892:
2867:
2845:
2838:
2835:
2809:
2805:
2781:
2776:
2752:
2747:
2734:
2731:
2706:
2702:
2697:
2674:
2669:
2665:
2661:
2658:
2655:
2650:
2646:
2642:
2638:
2615:
2612:
2609:
2606:
2603:
2600:
2597:
2592:
2588:
2584:
2581:
2578:
2573:
2569:
2565:
2561:
2540:
2537:
2532:
2528:
2507:
2504:
2501:
2498:
2495:
2492:
2489:
2484:
2480:
2476:
2473:
2470:
2465:
2461:
2457:
2454:
2450:
2434:
2433:
2432:
2431:
2420:
2417:
2414:
2411:
2408:
2405:
2402:
2398:
2395:
2391:
2386:
2382:
2378:
2375:
2369:
2364:
2360:
2357:
2351:
2346:
2318:
2305:Schubert class
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2277:
2273:
2270:
2266:
2261:
2257:
2253:
2250:
2247:
2242:
2237:
2231:
2226:
2222:
2200:
2195:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2173:
2167:
2164:
2161:
2158:
2153:
2149:
2145:
2142:
2135:
2132:
2125:
2114:
2113:
2112:
2111:
2100:
2097:
2094:
2091:
2088:
2085:
2082:
2078:
2073:
2070:
2067:
2064:
2059:
2055:
2051:
2048:
2041:
2038:
2031:
2026:
2019:
2016:
1987:
1982:
1975:
1972:
1965:
1962:
1959:
1954:
1947:
1944:
1937:
1917:
1914:
1911:
1891:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1855:
1852:
1848:
1845:
1840:
1835:
1829:
1824:
1812:
1811:
1800:
1797:
1794:
1791:
1786:
1782:
1778:
1774:
1771:
1768:
1765:
1762:
1759:
1756:
1752:
1747:
1744:
1741:
1737:
1733:
1728:
1724:
1720:
1715:
1708:
1705:
1687:
1686:
1675:
1672:
1669:
1666:
1661:
1654:
1651:
1644:
1641:
1636:
1629:
1626:
1619:
1614:
1607:
1604:
1597:
1594:
1588:
1584:
1554:
1549:
1544:
1538:
1533:
1509:
1506:
1503:
1500:
1497:
1493:
1490:
1468:
1463:
1458:
1446:
1445:
1444:
1443:
1432:
1429:
1424:
1419:
1413:
1408:
1404:
1401:
1398:
1395:
1392:
1389:
1386:
1382:
1379:
1376:
1371:
1368:
1365:
1361:
1357:
1354:
1351:
1348:
1345:
1342:
1339:
1336:
1333:
1328:
1324:
1320:
1317:
1314:
1311:
1303:
1300:
1297:
1294:
1291:
1286:
1282:
1278:
1275:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1257:
1254:
1250:
1247:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1226:
1221:
1215:
1210:
1186:
1185:
1184:
1183:
1172:
1169:
1166:
1163:
1160:
1157:
1154:
1151:
1148:
1140:
1137:
1134:
1131:
1128:
1121:
1117:
1113:
1110:
1107:
1104:
1101:
1098:
1094:
1090:
1087:
1084:
1081:
1078:
1075:
1072:
1069:
1066:
1062:
1059:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1038:
1033:
1027:
1022:
996:
993:
990:
987:
984:
980:
977:
973:
970:
965:
960:
954:
949:
937:Schubert cycle
918:
914:
910:
907:
904:
901:
881:
878:
875:
872:
869:
866:
863:
854:fits into the
848:
847:
846:
845:
834:
829:
825:
819:
814:
811:
808:
804:
800:
796:
791:
786:
767:i.e., to each
765:
764:
763:
762:
751:
748:
745:
740:
736:
732:
729:
726:
721:
717:
713:
708:
704:
700:
697:
694:
691:
666:
661:
657:
653:
650:
647:
642:
638:
634:
631:
627:
606:
595:
594:
593:
592:
581:
578:
575:
572:
569:
566:
563:
560:
556:
553:
550:
545:
540:
535:
532:
528:
525:
522:
519:
514:
510:
506:
501:
498:
495:
491:
487:
484:
481:
476:
472:
468:
465:
460:
430:
410:
390:
387:
384:
381:
378:
375:
372:
369:
366:
362:
341:
338:
335:
332:
329:
325:
322:
301:
298:
295:
292:
289:
286:
282:
279:
275:
270:
266:
245:
242:
239:
236:
233:
229:
226:
205:
185:
165:
145:
142:
70:locally closed
66:Schubert cells
9:
6:
4:
3:
2:
12740:
12729:
12726:
12724:
12721:
12720:
12718:
12707:
12703:
12699:
12693:
12689:
12685:
12681:
12677:
12673:
12671:9780521567244
12667:
12663:
12659:
12655:
12651:
12647:
12644:
12643:Joseph Harris
12640:
12637:
12634:
12630:
12629:
12624:
12619:
12615:
12611:
12608:: 1061–1082.
12607:
12603:
12602:
12594:
12590:
12586:
12582:
12578:
12576:0-8218-1428-1
12572:
12568:
12564:
12560:
12556:
12552:
12548:
12546:, Chapter 1.5
12545:
12541:
12540:Joseph Harris
12537:
12534:
12532:
12528:
12527:
12520:. p. 96.
12519:
12515:
12514:Katz, Sheldon
12509:
12501:
12499:9780521567244
12495:
12491:
12487:
12483:
12479:
12473:
12462:
12461:
12454:
12452:
12450:
12441:
12437:
12433:
12427:
12423:
12419:
12415:
12409:
12407:
12398:
12396:9780521567244
12392:
12388:
12384:
12380:
12376:
12370:
12368:
12366:
12364:
12355:
12351:
12347:
12343:
12339:
12335:
12331:
12327:
12326:Kleiman, S.L.
12321:
12319:
12317:
12315:
12310:
12300:
12297:
12295:
12292:
12290:
12287:
12285:
12282:
12280:
12277:
12275:
12272:
12270:
12267:
12265:
12262:
12260:
12257:
12256:
12250:
12236:
12211:
12208:
12203:
12200:
12197:
12193:
12189:
12181:
12178:
12175:
12163:
12155:
12154:
12153:
12152:
12151:
12135:
12132:
12129:
12125:
12099:
12094:
12091:
12088:
12084:
12080:
12075:
12072:
12069:
12065:
12061:
12056:
12053:
12050:
12046:
12023:
12020:
12017:
12013:
12009:
12004:
12000:
11994:
11991:
11988:
11984:
11980:
11975:
11970:
11966:
11962:
11957:
11954:
11951:
11947:
11939:
11938:
11937:
11936:
11935:
11912:
11906:
11903:
11900:
11896:
11892:
11889:
11887:
11874:
11871:
11868:
11864:
11860:
11855:
11850:
11846:
11842:
11834:
11831:
11828:
11824:
11820:
11817:
11815:
11804:
11801:
11798:
11793:
11785:
11782:
11779:
11773:
11767:
11764:
11761:
11758:
11756:
11748:
11745:
11739:
11736:
11733:
11730:
11721:
11718:
11715:
11712:
11706:
11703:
11700:
11698:
11685:
11681:
11672:
11657:
11653:
11641:
11640:
11639:
11638:
11637:
11618:
11612:
11609:
11606:
11603:
11594:
11591:
11588:
11585:
11582:
11579:
11570:
11567:
11564:
11561:
11558:
11555:
11546:
11543:
11540:
11537:
11531:
11520:
11516:
11507:
11494:
11487:
11486:
11485:
11484:
11483:
11462:
11459:
11447:
11439:
11436:
11424:
11411:
11398:
11393:
11390:
11375:
11370:
11367:
11355:
11347:
11343:
11334:
11320:
11319:
11318:
11317:
11316:
11297:
11293:
11284:
11251:
11248:
11245:
11242:
11237:
11234:
11231:
11227:
11206:
11203:
11200:
11197:
11192:
11188:
11180:
11179:
11178:
11177:
11176:
11155:
11128:
11125:
11122:
11119:
11103:
11083:
11080:
11077:
11074:
11058:
11033:
11026:
11023:
11020:
11017:
11014:
11011:
11008:
11005:
11002:
10999:
10997:
10986:
10983:
10980:
10971:
10968:
10965:
10959:
10957:
10947:
10943:
10936:
10925:
10924:
10923:
10922:
10921:
10900:
10897:
10894:
10890:
10886:
10881:
10877:
10873:
10870:
10867:
10859:
10855:
10848:
10841:
10840:
10839:
10838:
10837:
10821:
10817:
10793:
10790:
10787:
10756:
10753:
10750:
10717:
10713:
10704:
10689:
10670:
10667:
10664:
10653:
10647:
10624:
10602:
10592:
10589:
10561:
10557:
10548:
10538:
10532:
10529:
10526:
10509:
10506:
10486:
10461:
10457:
10453:
10447:
10444:
10441:
10404:
10401:
10398:
10384:
10378:
10375:
10372:
10342:
10315:
10293:
10250:
10247:
10244:
10240:
10236:
10228:
10226:
10215:
10212:
10209:
10190:
10186:
10176:
10173:
10170:
10166:
10162:
10154:
10152:
10141:
10138:
10135:
10116:
10112:
10102:
10099:
10096:
10092:
10088:
10080:
10075:
10071:
10067:
10059:
10057:
10046:
10043:
10040:
10021:
10017:
10007:
10003:
9999:
9991:
9989:
9978:
9975:
9972:
9953:
9949:
9941:
9938:
9930:
9928:
9917:
9914:
9911:
9892:
9888:
9876:
9875:
9874:
9873:
9872:
9847:
9844:
9836:
9832:
9828:
9823:
9819:
9815:
9812:
9801:
9798:
9795:
9791:
9787:
9782:
9778:
9774:
9771:
9755:
9751:
9747:
9742:
9739:
9736:
9732:
9728:
9723:
9719:
9704:
9695:
9692:
9689:
9670:
9666:
9658:
9657:
9656:
9655:
9654:
9646:
9644:
9643:cubic surface
9622:
9619:
9616:
9597:
9593:
9570:
9540:
9537:
9534:
9497:
9494:
9491:
9455:
9446:
9443:
9437:
9431:
9425:
9419:
9405:
9397:
9394:
9391:
9387:
9383:
9380:
9377:
9371:
9363:
9359:
9355:
9349:
9341:
9337:
9333:
9330:
9327:
9321:
9313:
9309:
9294:
9285:
9282:
9279:
9260:
9256:
9248:
9247:
9246:
9245:
9244:
9225:
9220:
9216:
9212:
9206:
9198:
9194:
9186:
9185:
9184:
9183:
9182:
9168:
9146:
9138:
9110:
9103:
9095:
9088:
9082:
9074:
9071:
9065:
9059:
9051:
9047:
9039:
9038:
9037:
9036:
9035:
9021:
9001:
8981:
8977:
8973:
8953:
8950:
8947:
8927:
8920:as fiber and
8907:
8887:
8867:
8864:
8858:
8855:
8852:
8838:
8833:
8830:
8807:
8804:
8801:
8778:
8775:
8772:
8758:
8755:
8747:
8731:
8706:
8700:
8692:
8689:
8681:
8675:
8668:
8667:
8666:
8665:
8664:
8648:
8645:
8642:
8608:
8605:
8602:
8568:
8565:
8562:
8537:
8523:
8520:
8506:
8483:
8480:
8477:
8474:
8471:
8468:
8465:
8459:
8446:
8445:Pieri formula
8442:
8403:
8374:
8363:
8339:
8327:
8323:
8312:
8300:
8292:
8291:
8290:
8289:
8288:
8266:
8262:
8251:
8220:
8215:
8207:
8203:
8195:
8191:
8185:
8176:
8172:
8164:
8160:
8152:
8148:
8138:
8134:
8126:
8122:
8114:
8110:
8103:
8098:
8093:
8090:
8087:
8084:
8081:
8077:
8069:
8068:
8067:
8066:
8065:
8044:
8040:
8036:
8031:
8027:
8023:
8018:
8013:
8009:
8005:
8000:
7992:
7988:
7980:
7976:
7966:
7962:
7954:
7950:
7943:
7938:
7933:
7930:
7927:
7923:
7915:
7914:
7913:
7912:
7911:
7910:For example,
7908:
7886:
7879:
7875:
7870:
7866:
7855:
7854:
7829:
7821:
7820:
7815:
7814:
7809:
7808:
7784:
7774:
7770:
7765:
7759:
7752:
7749:
7746:
7743:
7738:
7734:
7729:
7721:
7718:
7715:
7712:
7707:
7703:
7698:
7690:
7687:
7684:
7681:
7676:
7672:
7667:
7659:
7654:
7649:
7644:
7639:
7630:
7627:
7624:
7621:
7616:
7612:
7607:
7601:
7592:
7588:
7583:
7575:
7572:
7567:
7563:
7558:
7550:
7547:
7542:
7538:
7533:
7523:
7520:
7517:
7514:
7509:
7505:
7500:
7494:
7487:
7484:
7479:
7475:
7470:
7460:
7456:
7451:
7443:
7440:
7435:
7431:
7426:
7416:
7413:
7410:
7407:
7402:
7398:
7393:
7387:
7380:
7377:
7372:
7368:
7363:
7355:
7352:
7347:
7343:
7338:
7328:
7324:
7319:
7312:
7307:
7297:
7293:
7289:
7286:
7283:
7278:
7274:
7266:
7258:
7257:
7256:
7255:
7254:
7237:
7234:
7231:
7208:
7205:
7191:
7163:
7130:
7127:
7124:
7120:
7116:
7111:
7108:
7105:
7101:
7097:
7092:
7089:
7086:
7083:
7080:
7076:
7072:
7067:
7064:
7061:
7058:
7055:
7051:
7047:
7042:
7039:
7036:
7033:
7030:
7026:
7022:
7017:
7014:
7011:
7007:
7003:
6998:
6994:
6986:
6985:
6984:
6983:
6982:
6963:
6958:
6955:
6952:
6949:
6946:
6943:
6940:
6936:
6932:
6927:
6924:
6921:
6918:
6915:
6911:
6907:
6902:
6899:
6896:
6893:
6890:
6886:
6882:
6877:
6874:
6871:
6868:
6865:
6861:
6857:
6852:
6848:
6840:
6839:
6838:
6837:
6836:
6834:
6833:
6828:
6827:
6826:Pieri formula
6808:
6804:
6800:
6797:
6794:
6789:
6785:
6781:
6744:
6740:
6736:
6733:
6730:
6725:
6721:
6717:
6677:
6666:
6655:
6652:
6649:
6645:
6641:
6636:
6632:
6628:
6623:
6619:
6611:
6608:
6600:
6592:
6584:
6572:
6568:
6561:
6557:
6553:
6550:
6547:
6542:
6538:
6533:
6529:
6524:
6520:
6512:
6511:
6510:
6509:
6508:
6490:
6486:
6482:
6479:
6476:
6471:
6467:
6462:
6439:
6435:
6411:
6408:
6405:
6402:
6399:
6396:
6393:
6387:
6371:Pieri formula
6368:
6366:
6365:
6360:
6359:
6348:
6334:
6331:
6328:
6325:
6316:
6310:
6301:
6278:
6275:
6266:
6234:
6228:
6219:
6206:for any pair
6184:
6168:
6127:
6111:
6096:
6055:
6039:
6024:
6013:
5989:
5981:
5948:
5940:
5927:
5892:
5884:
5871:
5860:
5834:
5823:
5819:
5805:
5796:
5788:
5785:
5782:
5769:
5758:
5757:
5756:
5755:
5754:
5753:does as well
5733:
5730:
5727:
5717:
5712:
5709:
5706:
5702:
5693:
5688:
5678:
5673:
5670:
5667:
5663:
5654:
5651:
5645:
5642:
5634:
5631:
5628:
5615:
5604:
5603:
5602:
5601:
5600:
5583:
5580:
5577:
5554:
5532:
5529:
5526:
5522:
5493:
5490:
5487:
5484:
5481:
5478:
5475:
5455:
5452:
5449:
5435:
5427:
5424:
5421:
5408:
5397:
5396:
5395:
5394:
5393:
5374:
5363:
5359:
5345:
5336:
5328:
5325:
5322:
5315:
5307:
5306:
5305:
5304:
5303:
5282:
5279:
5276:
5266:
5261:
5258:
5255:
5251:
5242:
5237:
5227:
5224:
5216:
5206:
5203:
5200:
5192:
5189:
5186:
5179:
5171:
5170:
5169:
5168:
5167:
5148:
5138:
5135:
5121:
5118:
5111:defined, for
5088:
5084:
5080:
5077:
5074:
5069:
5065:
5053:
5048:
5037:
5029:
5026:
5023:
5013:
5010:
4988:
4978:
4975:
4961:
4953:
4950:
4947:
4940:
4932:
4931:
4930:
4929:
4928:
4925:
4908:
4905:
4902:
4896:
4893:
4871:
4863:
4860:
4857:
4851:
4848:
4823:
4805:
4799:
4796:
4793:
4787:
4784:
4779:
4775:
4769:
4764:
4761:
4758:
4754:
4750:
4742:
4730:
4729:
4728:
4727:
4726:
4709:
4706:
4703:
4670:
4666:
4616:
4612:
4608:
4605:
4583:
4582:
4581:
4580:
4579:
4542:
4523:
4515:
4490:
4471:
4470:
4469:
4468:
4467:
4453:
4431:
4427:
4423:
4418:
4414:
4388:
4363:
4344:
4327:
4324:
4321:
4290:
4287:
4284:
4264:
4242:
4238:
4217:
4214:
4211:
4208:
4205:
4185:
4182:
4176:
4173:
4168:
4164:
4157:
4154:
4134:
4125:
4124:, and so on.
4111:
4091:
4069:
4065:
4044:
4024:
4002:
3998:
3977:
3955:
3951:
3930:
3927:
3924:
3921:
3915:
3909:
3906:
3903:
3895:
3891:
3884:
3881:
3861:
3839:
3835:
3814:
3811:
3808:
3805:
3802:
3799:
3794:
3790:
3786:
3783:
3780:
3777:
3755:
3751:
3730:
3710:
3687:
3684:
3681:
3645:
3642:
3639:
3636:
3633:
3630:
3627:
3624:
3621:
3618:
3615:
3612:
3592:
3589:
3583:
3580:
3575:
3571:
3564:
3561:
3554:
3553:
3552:
3551:
3550:
3536:
3533:
3530:
3527:
3524:
3502:
3498:
3477:
3474:
3471:
3451:
3437:
3435:
3411:
3402:
3381:
3377:
3373:
3370:
3367:
3362:
3358:
3347:The integers
3329:
3326:
3323:
3318:
3315:
3312:
3309:
3306:
3302:
3298:
3295:
3292:
3287:
3283:
3279:
3276:
3273:
3270:
3267:
3262:
3258:
3250:
3249:
3248:
3247:
3246:
3229:
3226:
3223:
3220:
3217:
3211:
3203:
3199:
3195:
3192:
3189:
3184:
3180:
3173:
3170:
3148:
3138:
3112:
3108:
3050:
3040:
3023:
3020:
3017:
3011:
3008:
2958:
2955:
2952:
2949:
2946:
2942:
2938:
2935:
2932:
2929:
2926:
2921:
2917:
2909:
2908:
2907:
2906:
2905:
2881:
2865:
2843:
2833:
2807:
2803:
2745:
2730:
2728:
2724:
2704:
2700:
2695:
2667:
2663:
2659:
2656:
2653:
2648:
2644:
2636:
2610:
2607:
2604:
2601:
2598:
2595:
2590:
2586:
2582:
2579:
2576:
2571:
2567:
2559:
2538:
2535:
2530:
2526:
2502:
2499:
2496:
2493:
2490:
2487:
2482:
2478:
2474:
2471:
2468:
2463:
2459:
2452:
2439:
2418:
2409:
2406:
2403:
2384:
2380:
2376:
2355:
2344:
2336:
2335:
2334:
2333:
2332:
2306:
2284:
2281:
2278:
2259:
2255:
2251:
2211:
2198:
2193:
2190:
2187:
2184:
2181:
2178:
2175:
2165:
2162:
2159:
2156:
2151:
2147:
2143:
2140:
2130:
2098:
2095:
2092:
2089:
2086:
2083:
2080:
2076:
2071:
2068:
2065:
2062:
2057:
2053:
2049:
2046:
2036:
2029:
2024:
2014:
2003:
2002:
2001:
2000:
1999:
1980:
1970:
1963:
1960:
1957:
1952:
1942:
1915:
1912:
1909:
1889:
1866:
1863:
1860:
1846:
1822:
1798:
1789:
1784:
1780:
1772:
1769:
1766:
1763:
1760:
1757:
1754:
1750:
1745:
1742:
1739:
1735:
1726:
1722:
1718:
1713:
1703:
1692:
1691:
1690:
1673:
1667:
1664:
1659:
1649:
1642:
1639:
1634:
1624:
1617:
1612:
1602:
1592:
1571:
1570:
1569:
1568:
1531:
1521:
1504:
1501:
1498:
1430:
1402:
1396:
1393:
1390:
1387:
1384:
1380:
1377:
1374:
1369:
1366:
1363:
1359:
1355:
1352:
1349:
1346:
1343:
1340:
1337:
1334:
1331:
1326:
1322:
1318:
1315:
1312:
1309:
1301:
1298:
1292:
1289:
1284:
1280:
1273:
1270:
1267:
1261:
1258:
1255:
1241:
1238:
1232:
1208:
1200:
1199:
1198:
1197:
1196:
1195:
1194:Schubert cell
1191:
1170:
1164:
1161:
1158:
1155:
1152:
1149:
1146:
1138:
1135:
1129:
1126:
1119:
1115:
1111:
1108:
1105:
1102:
1099:
1096:
1092:
1085:
1082:
1079:
1073:
1070:
1067:
1053:
1050:
1044:
1012:
1011:
1010:
1009:
1008:
1007:, defined as
991:
988:
985:
971:
938:
934:
916:
908:
905:
902:
876:
873:
870:
864:
861:
853:
852:Young diagram
832:
827:
823:
817:
812:
809:
806:
802:
798:
776:
775:
774:
773:
772:
770:
749:
746:
743:
738:
734:
730:
727:
724:
719:
715:
711:
706:
702:
698:
695:
692:
689:
682:
681:
680:
679:
678:
659:
655:
651:
648:
645:
640:
636:
629:
604:
579:
576:
573:
570:
567:
564:
561:
558:
554:
551:
548:
543:
538:
533:
530:
526:
520:
517:
512:
508:
504:
499:
496:
493:
489:
485:
482:
479:
474:
470:
463:
449:
448:
447:
446:
445:
444:
443:complete flag
428:
408:
385:
382:
379:
376:
373:
370:
367:
336:
333:
330:
293:
290:
287:
268:
264:
240:
237:
234:
203:
183:
163:
155:
151:
141:
139:
135:
131:
127:
123:
120:, which is a
119:
114:
112:
111:
106:
102:
98:
94:
89:
87:
83:
79:
75:
71:
67:
62:
60:
56:
51:
47:
43:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
12683:
12653:
12626:
12605:
12599:
12558:
12543:
12517:
12508:
12481:
12472:
12459:
12417:
12378:
12337:
12333:
12274:Grassmannian
12228:
12116:
11933:
11635:
11481:
11269:
11050:
10919:
10328:subspace of
10278:
9870:
9652:
9515:
9242:
9127:
8745:
8723:
8543:
8444:
8391:
8287:is given by
8242:
8239:General case
8063:
7909:
7852:
7818:
7812:
7805:
7803:
7154:
6980:
6830:
6824:
6694:
6374:
6362:
6356:
6354:
5851:
5752:
5513:
5391:
5301:
5110:
4926:
4840:
4635:
4548:
4540:
4355:
4126:
3662:
3443:
3434:echelon form
3400:
3346:
3041:
2978:
2879:
2736:
2725:. Using the
2722:
2437:
2435:
2304:
2212:
2115:
1813:
1688:
1522:
1447:
1193:
1187:
936:
932:
849:
766:
596:
154:Grassmannian
147:
144:Construction
118:Grassmannian
115:
108:
104:
90:
74:Grassmannian
68:, which are
65:
63:
54:
49:
21:
15:
12330:Laksov, Dan
12289:Chern class
10688:Euler class
8499:has length
3440:Explanation
3001:within the
2904:with parts
2303:, called a
140:matrices).
18:mathematics
12717:Categories
12589:Dan Laksov
12305:References
8820:itself,
6367:formulas.
4446:for every
4347:Properties
3549:, whereas
771:of weight
72:sets in a
12633:EMS Press
12354:0377-9017
12264:Chow ring
12194:σ
12164:∫
12126:σ
12085:σ
12066:σ
12062:⋅
12047:σ
12014:σ
12001:σ
11985:σ
11967:σ
11963:⋅
11948:σ
11897:σ
11865:σ
11847:σ
11825:σ
11805:β
11802:α
11786:β
11780:α
11768:β
11765:α
11749:β
11740:β
11731:α
11722:β
11716:α
11707:α
11686:∗
11613:β
11595:β
11586:α
11571:β
11565:α
11547:α
11521:∗
11460:⊗
11448:⊕
11437:⊗
11425:⊗
11412:⊕
11399:⊗
11391:⊗
11376:⊕
11368:⊗
11348:∗
11298:∗
11252:β
11249:⋅
11246:α
11228:σ
11207:β
11201:α
11189:σ
11129:β
11084:α
11027:β
11024:⋅
11021:α
11015:β
11009:α
10987:β
10972:α
10948:∗
10891:σ
10878:σ
10860:∗
10822:∗
10718:∗
10654:∈
10593:⊂
10582:. A line
10562:∗
10513:Γ
10510:∈
10462:∗
10428:Γ
10385:≅
10241:σ
10237:⋅
10167:σ
10163:⋅
10093:σ
10089:⋅
10081:⊕
10072:σ
10068:⋅
10004:σ
10000:⋅
9939:⋅
9845:−
9833:σ
9820:σ
9792:σ
9779:σ
9775:−
9752:σ
9733:σ
9720:σ
9671:∗
9649:Chow ring
9598:∗
9444:−
9395:−
9381:…
9331:…
9261:∗
9217:σ
9089:σ
9072:−
8951:−
8865:×
8834:_
8805:⊂
8759:∈
8704:→
8698:→
8693:_
8685:→
8679:→
8507:ℓ
8478:…
8364:σ
8328:∑
8313:σ
8301:σ
8267:σ
8252:σ
8204:σ
8192:σ
8173:σ
8161:σ
8149:σ
8135:σ
8123:σ
8111:σ
8078:σ
8041:σ
8037:⋅
8028:σ
8024:−
8010:σ
7989:σ
7977:σ
7963:σ
7951:σ
7924:σ
7766:σ
7760:⋯
7744:−
7730:σ
7713:−
7699:σ
7682:−
7668:σ
7660:⋮
7655:⋱
7650:⋮
7645:⋮
7640:⋮
7628:−
7608:σ
7602:⋯
7584:σ
7573:−
7559:σ
7548:−
7534:σ
7521:−
7501:σ
7495:⋯
7471:σ
7452:σ
7441:−
7427:σ
7414:−
7394:σ
7388:⋯
7364:σ
7339:σ
7320:σ
7287:…
7267:σ
7235:×
7206:≤
7192:ℓ
7164:σ
7121:σ
7102:σ
7077:σ
7052:σ
7027:σ
7008:σ
7004:⋅
6995:σ
6937:σ
6912:σ
6887:σ
6862:σ
6858:⋅
6849:σ
6798:⋯
6734:⋯
6667:σ
6653:−
6642:≤
6629:≤
6573:∑
6551:…
6534:σ
6530:⋅
6521:σ
6507:given by
6480:…
6463:σ
6436:σ
6406:…
6364:Giambelli
6332:−
6326:≥
6320:~
6311:−
6305:~
6276:≥
6270:~
6238:~
6223:~
6188:~
6172:~
6131:~
6115:~
6097:⊂
6086:Σ
6059:~
6043:~
6025:⊂
5928:⊂
5917:Σ
5872:⊂
5852:Thus, if
5824:σ
5806:σ
5797:∗
5773:~
5694:⊕
5679:⊂
5655:⊕
5649:↦
5619:~
5599:-plane,
5462:↪
5412:~
5364:σ
5346:σ
5337:∗
5243:⊕
5228:⊂
5222:↦
5207:⊂
5122:∈
5078:…
4997:↪
4906:−
4897:×
4861:−
4852:⊂
4849:λ
4806:−
4797:−
4776:λ
4755:∑
4743:λ
4671:λ
4609:∑
4558:Σ
4516:≥
4507:⟺
4495:Σ
4491:⊂
4480:Σ
4424:≥
4389:≥
4352:Inclusion
4288:⊂
4209:−
4183:≥
4174:∩
4158:
3910:
3885:
3812:−
3800:≤
3787:
3640:−
3634:≥
3622:−
3581:∩
3565:
3534:−
3528:≤
3475:⊂
3371:…
3310:−
3303:λ
3280:−
3274:−
3224:…
3212:⊂
3193:…
3142:¯
3080:Σ
3021:−
3012:×
2950:−
2939:−
2933:−
2918:λ
2866:λ
2844:λ
2837:¯
2808:λ
2775:Σ
2696:σ
2657:…
2637:σ
2605:…
2580:…
2560:σ
2497:…
2472:…
2385:∗
2377:∈
2363:Σ
2345:σ
2260:∗
2252:∈
2225:Σ
2188:…
2157:−
2134:~
2093:…
2063:−
2040:~
2030:∈
2018:~
1974:~
1961:…
1946:~
1913:⊂
1847:⊂
1793:∅
1767:…
1743:−
1732:∖
1707:~
1653:~
1643:⊂
1640:⋯
1628:~
1618:⊂
1606:~
1587:~
1407:Σ
1403:⊂
1394:≤
1388:≤
1356:−
1350:−
1344:≤
1338:≤
1319:−
1313:−
1290:∩
1274:
1242:∈
1192:, of the
1159:…
1136:≥
1127:∩
1112:−
1100:−
1086:
1054:∈
1021:Σ
972:⊂
948:Σ
906:−
874:−
865:×
803:∑
769:partition
744:≥
731:≥
728:⋯
725:≥
712:≥
699:≥
693:−
649:…
571:…
534:
505:⊂
497:−
486:⊂
483:⋯
480:⊂
383:−
371:−
269:∗
150:Chow ring
124:, to the
78:incidence
12682:(1998).
12652:(1997).
12591:(1972).
12542:(1978),
12480:(1997).
12416:(1998).
12377:(1997).
12253:See also
8900:, with
8439:are the
5547:to each
4277:-planes
3399:are the
677:, where
421:and its
12706:1644323
12557:(ed.).
12440:1644323
8966:, with
8744:is the
4886:in the
3723:-plane
3464:-plane
2878:is the
1689:where
152:of the
12704:
12694:
12668:
12573:
12496:
12438:
12428:
12393:
12352:
12117:Since
11270:Since
11051:where
9128:where
8724:where
8392:where
6695:where
4257:. The
3854:with
3127:and
850:whose
12596:(PDF)
12464:(PDF)
6358:Pieri
6291:and
6256:with
5166:, by
4147:with
3770:with
3401:pivot
2518:with
1814:Then
12692:ISBN
12666:ISBN
12641:and
12587:and
12571:ISBN
12538:and
12494:ISBN
12426:ISBN
12391:ISBN
12350:ISSN
12038:and
11219:and
11096:and
9181:and
9034:are
9014:and
8064:and
6981:and
6361:and
5908:and
5058:span
4084:and
4017:and
3970:and
3922:>
3703:, a
3605:for
3517:for
3071:and
2822:and
2536:>
935:(or
136:(as
91:The
82:flag
12658:doi
12610:doi
12486:doi
12383:doi
12342:doi
12212:27.
11668:Sym
11503:Sym
11330:Sym
11280:Sym
10700:Sym
10690:of
10544:Sym
4406:if
4155:dim
4037:is
3907:dim
3882:dim
3784:dim
3562:dim
3100:is
2882:to
1271:dim
1083:dim
531:dim
216:as
107:or
16:In
12719::
12702:MR
12700:.
12690:.
12664:.
12631:,
12625:,
12606:79
12604:.
12598:.
12561:.
12516:.
12492:.
12448:^
12436:MR
12434:.
12424:.
12405:^
12389:.
12362:^
12348:.
12338:79
12336:.
12328:;
12313:^
12237:27
12190:27
11893:27
9645:.
8839::=
8536:.
7907:.
7876::=
6759:,
6347:.
4343:.
3943:,
3436:.
3268::=
2927::=
2356::=
1790::=
1719::=
1520:.
1233::=
939:)
88:.
61:.
20:,
12708:.
12674:.
12660::
12616:.
12612::
12579:.
12502:.
12488::
12442:.
12399:.
12385::
12356:.
12344::
12209:=
12204:2
12201:,
12198:2
12185:)
12182:3
12179:,
12176:1
12173:(
12169:G
12136:2
12133:,
12130:2
12100:.
12095:2
12092:,
12089:2
12081:=
12076:1
12073:,
12070:1
12057:1
12054:,
12051:1
12024:2
12021:,
12018:2
12010:=
12005:1
11995:1
11992:,
11989:2
11981:=
11976:2
11971:1
11958:1
11955:,
11952:1
11913:,
11907:2
11904:,
11901:2
11890:=
11880:)
11875:1
11872:,
11869:1
11861:+
11856:2
11851:1
11843:2
11840:(
11835:1
11832:,
11829:1
11821:9
11818:=
11808:)
11799:+
11794:2
11790:)
11783:+
11777:(
11774:2
11771:(
11762:9
11759:=
11746:3
11743:)
11737:2
11734:+
11728:(
11725:)
11719:+
11713:2
11710:(
11704:3
11701:=
11694:)
11691:)
11682:T
11678:(
11673:3
11663:(
11658:4
11654:c
11619:,
11616:)
11610:3
11607:+
11604:1
11601:(
11598:)
11592:2
11589:+
11583:+
11580:1
11577:(
11574:)
11568:+
11562:2
11559:+
11556:1
11553:(
11550:)
11544:3
11541:+
11538:1
11535:(
11532:=
11529:)
11526:)
11517:T
11513:(
11508:3
11498:(
11495:c
11463:3
11454:M
11445:)
11440:2
11431:M
11420:L
11415:(
11409:)
11404:M
11394:2
11385:L
11379:(
11371:3
11362:L
11356:=
11353:)
11344:T
11340:(
11335:3
11303:)
11294:T
11290:(
11285:3
11264:.
11243:=
11238:1
11235:,
11232:1
11204:+
11198:=
11193:1
11161:M
11156:,
11151:L
11126:+
11123:1
11120:=
11117:)
11112:M
11107:(
11104:c
11081:+
11078:1
11075:=
11072:)
11067:L
11062:(
11059:c
11034:,
11018:+
11012:+
11006:+
11003:1
11000:=
10990:)
10984:+
10981:1
10978:(
10975:)
10969:+
10966:1
10963:(
10960:=
10953:)
10944:T
10940:(
10937:c
10901:1
10898:,
10895:1
10887:+
10882:1
10874:+
10871:1
10868:=
10865:)
10856:T
10852:(
10849:c
10818:T
10797:)
10794:3
10791:,
10788:1
10785:(
10781:G
10760:)
10757:3
10754:,
10751:1
10748:(
10744:G
10723:)
10714:T
10710:(
10705:3
10674:)
10671:3
10668:,
10665:1
10662:(
10658:G
10651:]
10648:L
10645:[
10625:X
10603:3
10598:P
10590:L
10570:)
10567:)
10558:T
10554:(
10549:3
10539:,
10536:)
10533:3
10530:,
10527:1
10524:(
10520:G
10516:(
10507:s
10487:X
10467:)
10458:T
10454:,
10451:)
10448:3
10445:,
10442:1
10439:(
10435:G
10431:(
10408:)
10405:4
10402:,
10399:2
10396:(
10392:r
10389:G
10382:)
10379:3
10376:,
10373:1
10370:(
10366:G
10343:4
10338:A
10316:2
10294:3
10289:P
10251:2
10248:,
10245:2
10233:Z
10229:=
10222:)
10219:)
10216:4
10213:,
10210:2
10207:(
10203:r
10200:G
10196:(
10191:8
10187:A
10177:1
10174:,
10171:2
10159:Z
10155:=
10148:)
10145:)
10142:4
10139:,
10136:2
10133:(
10129:r
10126:G
10122:(
10117:6
10113:A
10103:1
10100:,
10097:1
10085:Z
10076:2
10064:Z
10060:=
10053:)
10050:)
10047:4
10044:,
10041:2
10038:(
10034:r
10031:G
10027:(
10022:4
10018:A
10008:1
9996:Z
9992:=
9985:)
9982:)
9979:4
9976:,
9973:2
9970:(
9966:r
9963:G
9959:(
9954:2
9950:A
9942:1
9935:Z
9931:=
9924:)
9921:)
9918:4
9915:,
9912:2
9909:(
9905:r
9902:G
9898:(
9893:0
9889:A
9851:)
9848:1
9842:)
9837:2
9829:+
9824:1
9816:+
9813:1
9810:(
9807:)
9802:1
9799:,
9796:1
9788:+
9783:1
9772:1
9769:(
9766:(
9761:]
9756:2
9748:,
9743:1
9740:,
9737:1
9729:,
9724:1
9716:[
9712:Z
9705:=
9702:)
9699:)
9696:4
9693:,
9690:2
9687:(
9683:r
9680:G
9676:(
9667:A
9629:)
9626:)
9623:4
9620:,
9617:2
9614:(
9610:r
9607:G
9603:(
9594:A
9571:3
9566:P
9544:)
9541:4
9538:,
9535:2
9532:(
9528:r
9525:G
9501:)
9498:4
9495:,
9492:2
9489:(
9485:r
9482:G
9456:.
9450:)
9447:1
9441:)
9438:Q
9435:(
9432:c
9429:)
9426:T
9423:(
9420:c
9417:(
9412:]
9409:)
9406:Q
9403:(
9398:k
9392:n
9388:c
9384:,
9378:,
9375:)
9372:Q
9369:(
9364:1
9360:c
9356:,
9353:)
9350:T
9347:(
9342:k
9338:c
9334:,
9328:,
9325:)
9322:T
9319:(
9314:1
9310:c
9306:[
9302:Z
9295:=
9292:)
9289:)
9286:V
9283:,
9280:k
9277:(
9273:r
9270:G
9266:(
9257:A
9226:.
9221:i
9213:=
9210:)
9207:Q
9204:(
9199:i
9195:c
9169:i
9147:i
9143:)
9139:1
9136:(
9111:,
9104:i
9100:)
9096:1
9093:(
9083:i
9079:)
9075:1
9069:(
9066:=
9063:)
9060:T
9057:(
9052:i
9048:c
9022:Q
9002:T
8982:w
8978:/
8974:V
8954:k
8948:n
8928:Q
8908:V
8888:n
8868:V
8862:)
8859:V
8856:,
8853:k
8850:(
8846:r
8843:G
8831:V
8808:V
8802:w
8782:)
8779:V
8776:,
8773:k
8770:(
8766:r
8763:G
8756:w
8732:T
8707:0
8701:Q
8690:V
8682:T
8676:0
8652:)
8649:V
8646:,
8643:k
8640:(
8636:r
8633:G
8612:)
8609:V
8606:,
8603:k
8600:(
8596:r
8593:G
8572:)
8569:V
8566:,
8563:k
8560:(
8556:r
8553:G
8524:1
8521:=
8518:)
8514:b
8510:(
8487:)
8484:0
8481:,
8475:,
8472:0
8469:,
8466:b
8463:(
8460:=
8456:b
8427:}
8421:c
8414:b
8409:a
8404:c
8400:{
8375:,
8369:c
8357:c
8350:b
8345:a
8340:c
8333:c
8324:=
8318:b
8306:a
8272:b
8263:,
8257:a
8221:.
8216:|
8208:1
8196:0
8186:0
8177:2
8165:1
8153:0
8139:4
8127:3
8115:2
8104:|
8099:=
8094:1
8091:,
8088:1
8085:,
8082:2
8045:3
8032:1
8019:2
8014:2
8006:=
8001:|
7993:2
7981:1
7967:3
7955:2
7944:|
7939:=
7934:2
7931:,
7928:2
7895:}
7890:)
7887:j
7884:(
7880:s
7871:j
7867:h
7863:{
7835:a
7830:s
7785:|
7775:k
7771:a
7753:3
7750:+
7747:k
7739:k
7735:a
7722:2
7719:+
7716:k
7708:k
7704:a
7691:1
7688:+
7685:k
7677:k
7673:a
7631:3
7625:k
7622:+
7617:3
7613:a
7593:3
7589:a
7576:1
7568:3
7564:a
7551:2
7543:3
7539:a
7524:2
7518:k
7515:+
7510:2
7506:a
7488:1
7485:+
7480:2
7476:a
7461:2
7457:a
7444:1
7436:2
7432:a
7417:1
7411:k
7408:+
7403:1
7399:a
7381:2
7378:+
7373:1
7369:a
7356:1
7353:+
7348:1
7344:a
7329:1
7325:a
7313:|
7308:=
7303:)
7298:k
7294:a
7290:,
7284:,
7279:1
7275:a
7271:(
7241:)
7238:k
7232:k
7229:(
7209:k
7203:)
7199:a
7195:(
7169:a
7131:3
7128:,
7125:6
7117:+
7112:4
7109:,
7106:5
7098:+
7093:1
7090:,
7087:3
7084:,
7081:5
7073:+
7068:1
7065:,
7062:4
7059:,
7056:4
7048:+
7043:2
7040:,
7037:3
7034:,
7031:4
7023:=
7018:3
7015:,
7012:4
6999:2
6964:.
6959:1
6956:,
6953:1
6950:,
6947:2
6944:,
6941:4
6933:+
6928:1
6925:,
6922:3
6919:,
6916:4
6908:+
6903:1
6900:,
6897:2
6894:,
6891:5
6883:=
6878:1
6875:,
6872:2
6869:,
6866:4
6853:1
6809:k
6805:c
6801:+
6795:+
6790:1
6786:c
6782:=
6778:|
6773:c
6768:|
6745:k
6741:a
6737:+
6731:+
6726:1
6722:a
6718:=
6714:|
6709:a
6704:|
6678:,
6672:c
6656:1
6650:i
6646:a
6637:i
6633:c
6624:i
6620:a
6612:b
6609:+
6605:|
6601:a
6597:|
6593:=
6589:|
6585:c
6581:|
6569:=
6562:k
6558:a
6554:,
6548:,
6543:1
6539:a
6525:b
6491:k
6487:a
6483:,
6477:,
6472:1
6468:a
6440:b
6415:)
6412:0
6409:,
6403:,
6400:0
6397:,
6394:b
6391:(
6388:=
6384:b
6335:k
6329:n
6317:k
6302:n
6279:k
6267:k
6244:)
6235:n
6229:,
6220:k
6214:(
6194:)
6185:n
6179:(
6169:k
6162:r
6159:G
6137:)
6128:n
6122:(
6112:k
6105:r
6102:G
6091:a
6065:)
6056:n
6050:(
6040:k
6033:r
6030:G
6019:a
6014:X
5993:)
5990:n
5987:(
5982:k
5977:r
5974:G
5952:)
5949:n
5946:(
5941:k
5936:r
5933:G
5922:a
5896:)
5893:n
5890:(
5885:k
5880:r
5877:G
5866:a
5861:X
5835:.
5829:a
5820:=
5817:)
5811:a
5802:(
5792:)
5789:n
5786:,
5783:k
5780:(
5770:i
5734:1
5731:+
5728:n
5723:C
5718:=
5713:1
5710:+
5707:n
5703:e
5698:C
5689:n
5684:C
5674:1
5671:+
5668:n
5664:e
5659:C
5652:w
5646:w
5643::
5638:)
5635:n
5632:,
5629:k
5626:(
5616:i
5587:)
5584:1
5581:+
5578:k
5575:(
5555:k
5533:1
5530:+
5527:n
5523:e
5497:)
5494:1
5491:+
5488:n
5485:,
5482:1
5479:+
5476:k
5473:(
5469:r
5466:G
5459:)
5456:n
5453:,
5450:k
5447:(
5443:r
5440:G
5436::
5431:)
5428:n
5425:,
5422:k
5419:(
5409:i
5375:,
5369:a
5360:=
5357:)
5351:a
5342:(
5332:)
5329:n
5326:,
5323:k
5320:(
5316:i
5283:1
5280:+
5277:n
5272:C
5267:=
5262:1
5259:+
5256:n
5252:e
5247:C
5238:n
5233:C
5225:w
5217:n
5212:C
5204:w
5201::
5196:)
5193:n
5190:,
5187:k
5184:(
5180:i
5154:)
5149:n
5144:C
5139:,
5136:k
5133:(
5129:r
5126:G
5119:w
5094:}
5089:n
5085:e
5081:,
5075:,
5070:1
5066:e
5062:{
5054:=
5049:n
5044:C
5038:,
5035:)
5030:1
5027:+
5024:n
5019:C
5014:,
5011:k
5008:(
5004:r
5001:G
4994:)
4989:n
4984:C
4979:,
4976:k
4973:(
4969:r
4966:G
4962::
4957:)
4954:n
4951:,
4948:k
4945:(
4941:i
4912:)
4909:k
4903:n
4900:(
4894:k
4872:k
4868:)
4864:k
4858:n
4855:(
4824:.
4820:|
4815:a
4810:|
4803:)
4800:k
4794:n
4791:(
4788:k
4785:=
4780:i
4770:k
4765:1
4762:=
4759:i
4751:=
4747:|
4739:|
4713:)
4710:n
4707:,
4704:k
4701:(
4697:r
4694:G
4667:S
4645:a
4617:i
4613:a
4606:=
4602:|
4597:a
4592:|
4563:a
4524:,
4520:b
4512:a
4500:b
4485:a
4454:i
4432:i
4428:b
4419:i
4415:a
4393:b
4385:a
4364:k
4331:)
4328:n
4325:,
4322:k
4319:(
4315:r
4312:G
4291:V
4285:w
4265:k
4243:i
4239:a
4218:i
4215:+
4212:k
4206:n
4186:i
4180:)
4177:w
4169:j
4165:V
4161:(
4135:j
4112:2
4092:w
4070:7
4066:V
4045:1
4025:w
4003:6
3999:V
3978:w
3956:j
3952:V
3931:9
3928:=
3925:n
3919:)
3916:w
3913:(
3904:+
3901:)
3896:j
3892:V
3888:(
3862:w
3840:j
3836:V
3815:4
3809:9
3806:=
3803:5
3795:j
3791:V
3781:=
3778:j
3756:j
3752:V
3731:w
3711:4
3691:)
3688:9
3685:,
3682:4
3679:(
3675:r
3672:G
3646:.
3643:k
3637:n
3631:i
3628:+
3625:k
3619:n
3616:=
3613:j
3593:i
3590:=
3587:)
3584:w
3576:j
3572:V
3568:(
3537:k
3531:n
3525:j
3503:j
3499:V
3478:V
3472:w
3452:k
3417:a
3412:X
3387:)
3382:k
3378:L
3374:,
3368:,
3363:1
3359:L
3355:(
3330:.
3327:i
3324:+
3319:1
3316:+
3313:i
3307:k
3299:=
3296:i
3293:+
3288:i
3284:a
3277:k
3271:n
3263:i
3259:L
3233:)
3230:n
3227:,
3221:,
3218:1
3215:(
3209:)
3204:k
3200:L
3196:,
3190:,
3185:1
3181:L
3177:(
3174:=
3171:L
3149:L
3139:C
3113:L
3109:C
3085:a
3056:a
3051:X
3027:)
3024:k
3018:n
3015:(
3009:k
2988:a
2973:,
2959:1
2956:+
2953:i
2947:k
2943:a
2936:k
2930:n
2922:i
2891:a
2834:S
2804:S
2780:a
2751:a
2746:X
2705:1
2701:a
2673:)
2668:j
2664:a
2660:,
2654:,
2649:1
2645:a
2641:(
2614:)
2611:0
2608:,
2602:,
2599:0
2596:,
2591:j
2587:a
2583:,
2577:,
2572:1
2568:a
2564:(
2539:0
2531:j
2527:a
2506:)
2503:0
2500:,
2494:,
2491:0
2488:,
2483:j
2479:a
2475:,
2469:,
2464:1
2460:a
2456:(
2453:=
2449:a
2419:.
2416:)
2413:)
2410:V
2407:,
2404:k
2401:(
2397:r
2394:G
2390:(
2381:A
2374:]
2368:a
2359:[
2350:a
2317:V
2291:)
2288:)
2285:V
2282:,
2279:k
2276:(
2272:r
2269:G
2265:(
2256:A
2249:]
2246:)
2241:V
2236:(
2230:a
2221:[
2199:.
2194:k
2191:,
2185:,
2182:1
2179:=
2176:i
2172:}
2166:1
2163:+
2160:i
2152:i
2148:a
2144:+
2141:k
2131:V
2124:{
2099:k
2096:,
2090:,
2087:1
2084:=
2081:i
2077:,
2072:1
2069:+
2066:i
2058:i
2054:a
2050:+
2047:k
2037:V
2025:i
2015:W
1986:)
1981:k
1971:W
1964:,
1958:,
1953:1
1943:W
1936:(
1916:V
1910:w
1890:k
1870:)
1867:V
1864:,
1861:k
1858:(
1854:r
1851:G
1844:)
1839:V
1834:(
1828:a
1823:X
1799:.
1796:)
1785:0
1781:V
1777:(
1773:n
1770:,
1764:,
1761:1
1758:=
1755:i
1751:,
1746:i
1740:n
1736:V
1727:n
1723:V
1714:i
1704:V
1674:,
1671:)
1668:V
1665:=
1660:n
1650:V
1635:2
1625:V
1613:1
1603:V
1596:(
1593:=
1583:V
1553:)
1548:V
1543:(
1537:a
1532:X
1508:)
1505:V
1502:,
1499:k
1496:(
1492:r
1489:G
1467:|
1462:a
1457:|
1431:,
1428:)
1423:V
1418:(
1412:a
1400:}
1397:n
1391:j
1385:1
1381:,
1378:i
1375:+
1370:1
1367:+
1364:i
1360:a
1353:k
1347:n
1341:j
1335:i
1332:+
1327:i
1323:a
1316:k
1310:n
1302:i
1299:=
1296:)
1293:w
1285:j
1281:V
1277:(
1268::
1265:)
1262:V
1259:,
1256:k
1253:(
1249:r
1246:G
1239:w
1236:{
1230:)
1225:V
1220:(
1214:a
1209:X
1171:.
1168:}
1165:k
1162:,
1156:,
1153:1
1150:=
1147:i
1139:i
1133:)
1130:w
1120:i
1116:a
1109:i
1106:+
1103:k
1097:n
1093:V
1089:(
1080::
1077:)
1074:V
1071:,
1068:k
1065:(
1061:r
1058:G
1051:w
1048:{
1045:=
1042:)
1037:V
1032:(
1026:a
995:)
992:V
989:,
986:k
983:(
979:r
976:G
969:)
964:V
959:(
953:a
917:k
913:)
909:k
903:n
900:(
880:)
877:k
871:n
868:(
862:k
833:,
828:i
824:a
818:k
813:1
810:=
807:i
799:=
795:|
790:a
785:|
750:,
747:0
739:k
735:a
720:2
716:a
707:1
703:a
696:k
690:n
665:)
660:k
656:a
652:,
646:,
641:1
637:a
633:(
630:=
626:a
605:k
580:,
577:n
574:,
568:,
565:1
562:=
559:i
555:,
552:i
549:=
544:i
539:V
527:,
524:)
521:V
518:=
513:n
509:V
500:1
494:n
490:V
475:1
471:V
467:(
464:=
459:V
429:k
409:V
389:)
386:1
380:n
377:,
374:1
368:k
365:(
361:G
340:)
337:n
334:,
331:k
328:(
324:r
321:G
300:)
297:)
294:V
291:,
288:k
285:(
281:r
278:G
274:(
265:A
244:)
241:V
238:,
235:k
232:(
228:r
225:G
204:V
184:n
164:k
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.