4954:
2238:
4940:
4978:
4966:
1480:
1775:
1040:
917:
2043:
349:
is limited to the right (or left) then the asymptotic distribution of the range is equal to the asymptotic distribution of the largest (smallest) value. For more general distributions the asymptotic distribution can be expressed as a
617:
1520:
1475:{\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}^{n}&t=0\\\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&^{n}\\{}-{}&^{n}\\{}-{}&^{n}\\{}+{}&^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}
2208:
307:
474:
734:
1893:
1904:
1829:
80:
1770:{\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left^{n}-2\left^{n}+\left^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}
510:
2510:
Evans, D. L.; Leemis, L. M.; Drew, J. H. (2006). "The
Distribution of Order Statistics for Discrete Random Variables with Applications to Bootstrapping".
2054:
2637:
4075:
183:
5004:
4580:
4730:
4354:
2995:
4128:
4567:
2409:
2388:
56:
which contains all the data. It is calculated as the difference between the largest and smallest values (also known as the
2990:
2690:
1160:
3594:
2742:
68:. Since it only depends on two of the observations, it is most useful in representing the dispersion of small data sets.
4377:
4269:
370:
2608:
Siotani, M. (1956). "Order statistics for discrete case with a numerical application to the binomial distribution".
4982:
4555:
4429:
957:
106:
1795:, and every other sample having a value between the two extremes. The probability of one sample having a value of
4613:
4274:
4019:
3390:
2980:
4664:
3876:
3683:
3572:
3530:
2315:
2290:
3604:
4907:
3866:
2769:
1505:
317:
notes that the "beauty of this formula is completely marred by the facts that, in general, we cannot express
912:{\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}\,{\text{d}}x.}
4458:
4407:
4392:
4382:
4251:
4123:
4090:
3916:
3871:
3701:
1544:
1064:
499:
114:
38:
17:
5014:
4970:
4802:
4603:
4527:
3828:
3582:
3251:
2715:
2635:
Paul R. Rider (1951). "The
Distribution of the Range in Samples from a Discrete Rectangular Population".
4687:
4659:
4654:
4402:
4161:
4067:
4047:
3955:
3666:
3484:
2967:
2839:
2222:. In particular, the range is a linear function of order statistics, which brings it into the scope of
1000:
57:
5009:
4419:
4187:
3908:
3833:
3762:
3691:
3611:
3599:
3469:
3457:
3450:
3158:
2879:
968:
4902:
4669:
4532:
4217:
4182:
4146:
3931:
3373:
3282:
3241:
3153:
2844:
2683:
2038:{\displaystyle \left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}
1845:
4811:
4424:
4364:
4301:
3939:
3923:
3661:
3523:
3513:
3363:
3277:
4849:
4779:
4572:
4509:
4264:
4151:
3148:
3045:
2952:
2831:
2730:
65:
45:
2472:(1925). "On the Extreme Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Population".
4874:
4816:
4759:
4585:
4478:
4387:
4113:
3997:
3856:
3848:
3738:
3730:
3545:
3441:
3419:
3378:
3343:
3310:
3256:
3231:
3186:
3125:
3085:
2887:
2710:
1004:
53:
4797:
4372:
4321:
4297:
4259:
4177:
4156:
4108:
3987:
3965:
3934:
3843:
3720:
3671:
3589:
3562:
3518:
3474:
3236:
3012:
2892:
1802:
8:
4944:
4869:
4792:
4473:
4237:
4230:
4192:
4100:
4080:
4052:
3785:
3651:
3646:
3636:
3628:
3446:
3407:
3297:
3287:
3196:
2975:
2931:
2849:
2774:
2676:
2256:
612:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}
4958:
4769:
4623:
4519:
4468:
4344:
4241:
4225:
4202:
3979:
3713:
3696:
3656:
3567:
3462:
3424:
3395:
3355:
3315:
3261:
3178:
2864:
2654:
2594:
2560:
2489:
2451:
2362:
2243:
314:
4953:
4864:
4834:
4826:
4646:
4637:
4562:
4493:
4349:
4334:
4309:
4197:
4138:
4004:
3992:
3618:
3535:
3479:
3402:
3246:
3168:
2947:
2821:
2405:
2384:
2311:
2286:
2261:
2251:
2237:
4889:
4844:
4608:
4595:
4488:
4463:
4397:
4329:
4207:
3815:
3708:
3641:
3554:
3501:
3320:
3191:
2985:
2869:
2784:
2751:
2650:
2646:
2617:
2590:
2550:
2519:
2481:
2469:
2441:
2397:
2352:
1791:, can be determined by adding the probabilities of having two samples differing by
2203:{\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)^{n-2}\,{\text{d}}x}
4806:
4550:
4412:
4339:
4014:
3888:
3861:
3838:
3807:
3434:
3429:
3383:
3113:
2764:
2539:"Calculation of Exact Sampling Distribution of Ranges from a Discrete Population"
2401:
2219:
351:
61:
4296:
2485:
4755:
4750:
3213:
3143:
2789:
2555:
2538:
2446:
2429:
2357:
2340:
4998:
4912:
4879:
4742:
4703:
4514:
4483:
3947:
3901:
3506:
3208:
3035:
2799:
2794:
2581:
Abdel-Aty, S. H. (1954). "Ordered variables in discontinuous distributions".
2425:
4854:
4787:
4764:
4679:
4009:
3305:
3203:
3138:
3080:
3065:
3002:
2957:
2523:
2336:
4897:
4859:
4542:
4443:
4305:
4118:
4085:
3577:
3494:
3489:
3133:
3090:
3070:
3050:
3040:
2809:
2223:
1898:
The probability of all other values lying between these two extremes is:
302:{\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{n-1}\,{\text{d}}x.}
3743:
3223:
2923:
2854:
2804:
2779:
2699:
2658:
2621:
2564:
2493:
2455:
2366:
3896:
3748:
3368:
3163:
3075:
3060:
3055:
3020:
31:
3412:
3030:
2907:
2902:
2897:
633:
nonidentically distributed independent continuous random variables
81:
independent and identically distributed continuous random variables
2396:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7314. p. 165.
933:
independent and identically distributed discrete random variables
4917:
4618:
337:), and that the numerical integration is lengthy and tiresome."
4839:
3820:
3794:
3774:
3025:
2816:
2390:
Analytical and
Stochastic Modeling Techniques and Applications
2382:
2668:
2759:
1763:
1468:
2387:(2012). "Controlling Variability in Split-Merge Systems".
624:
2430:"Universal Bounds for Mean Range and Extreme Observation"
489:) is the inverse function. In the case where each of the
2424:
175:
The range, T, has the cumulative distribution function
71:
2057:
1907:
1848:
1805:
1523:
1043:
737:
513:
373:
186:
4581:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
2233:
924:
726:), the range has cumulative distribution function
121:), let T denote the range of them, that is, T= max(
4043:
2610:Annals of the Institute of Statistical Mathematics
2202:
2037:
1887:
1823:
1787:The probability of having a specific range value,
1769:
1474:
911:
611:
468:
301:
64:as the data. The range provides an indication of
4996:
2468:
4129:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
2638:Journal of the American Statistical Association
2509:
2280:
469:{\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)\,{\text{d}}G}
2536:
2684:
2634:
2378:
2376:
2305:
991:from a population with distribution function
2335:
1831:. The probability of another having a value
2729:
2691:
2677:
2373:
52:of a set of data is size of the narrowest
3342:
2580:
2554:
2445:
2356:
2191:
1947:
897:
597:
457:
287:
39:Range (disambiguation) § Mathematics
2331:
2329:
2327:
1032:The range has probability mass function
2607:
2505:
2503:
2310:. Pearson South Africa. pp. 7â27.
656:with cumulative distribution functions
625:For continuous non-IID random variables
14:
4997:
4655:KaplanâMeier estimator (product limit)
4728:
4295:
4042:
3341:
3111:
2728:
2672:
2576:
2574:
2543:The Annals of Mathematical Statistics
2434:The Annals of Mathematical Statistics
2345:The Annals of Mathematical Statistics
2324:
2213:
2048:Combining the three together yields:
5005:Statistical deviation and dispersion
4965:
4665:Accelerated failure time (AFT) model
2500:
691:) and probability density functions
4977:
4260:Analysis of variance (ANOVA, anova)
3112:
2218:The range is a specific example of
1024:is a positive integer or infinity.
72:For continuous IID random variables
24:
4355:CochranâMantelâHaenszel statistics
2981:Pearson product-moment correlation
2595:10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x
2571:
2383:Tsimashenka, I.; Knottenbelt, W.;
2104:
2099:
787:
782:
575:
550:
527:
522:
218:
213:
25:
5026:
1027:
987:is the range of a sample of size
925:For discrete IID random variables
4976:
4964:
4952:
4939:
4938:
4729:
2285:. Cengage Learning. p. 74.
2236:
958:cumulative distribution function
107:cumulative distribution function
60:). It is expressed in the same
4614:Least-squares spectral analysis
2628:
2601:
2341:"The Distribution of the Range"
170:
3595:Mean-unbiased minimum-variance
2698:
2651:10.1080/01621459.1951.10500796
2530:
2462:
2418:
2299:
2274:
2176:
2172:
2166:
2157:
2145:
2139:
2136:
2124:
2118:
2112:
2088:
2076:
2067:
2061:
2012:
2006:
1997:
1985:
1944:
1938:
1879:
1867:
1861:
1849:
1818:
1812:
1533:
1527:
1410:
1406:
1400:
1391:
1373:
1367:
1343:
1339:
1327:
1318:
1300:
1294:
1270:
1266:
1260:
1251:
1239:
1233:
1209:
1205:
1193:
1184:
1172:
1166:
1104:
1100:
1094:
1088:
1053:
1047:
894:
891:
885:
869:
857:
844:
808:
802:
747:
741:
594:
585:
578:
563:
559:
553:
541:
532:
454:
439:
426:
404:
401:
395:
272:
268:
262:
253:
241:
235:
232:
226:
196:
190:
13:
1:
4908:Geographic information system
4124:Simultaneous equations models
2283:An Introduction to Statistics
2267:
1782:
1506:discrete uniform distribution
502:, the mean range is given by
4091:Coefficient of determination
3702:Uniformly most powerful test
2512:INFORMS Journal on Computing
2402:10.1007/978-3-642-30782-9_12
2308:Elementary Statistics: Vol 2
1888:{\displaystyle (n-1)g(x+t).}
500:standard normal distribution
340:If the distribution of each
115:probability density function
7:
4660:Proportional hazards models
4604:Spectral density estimation
4586:Vector autoregression (VAR)
4020:Maximum posterior estimator
3252:Randomized controlled trial
2229:
362:The mean range is given by
10:
5031:
4420:Multivariate distributions
2840:Average absolute deviation
1487:
1001:without loss of generality
357:
58:sample maximum and minimum
36:
29:
4934:
4888:
4825:
4778:
4741:
4737:
4724:
4696:
4678:
4645:
4636:
4594:
4541:
4502:
4451:
4442:
4408:Structural equation model
4363:
4320:
4316:
4291:
4250:
4216:
4170:
4137:
4099:
4066:
4062:
4038:
3978:
3887:
3806:
3770:
3761:
3744:Score/Lagrange multiplier
3729:
3682:
3627:
3553:
3544:
3354:
3350:
3337:
3296:
3270:
3222:
3177:
3159:Sample size determination
3124:
3120:
3107:
3011:
2966:
2940:
2922:
2878:
2830:
2750:
2741:
2737:
2724:
2706:
2486:10.1093/biomet/17.3-4.364
969:probability mass function
4903:Environmental statistics
4425:Elliptical distributions
4218:Generalized linear model
4147:Simple linear regression
3917:HodgesâLehmann estimator
3374:Probability distribution
3283:Stochastic approximation
2845:Coefficient of variation
2281:George Woodbury (2001).
30:Not to be confused with
4563:Cross-correlation (XCF)
4171:Non-standard predictors
3605:LehmannâScheffĂ© theorem
3278:Adaptive clinical trial
2556:10.1214/aoms/1177728500
2537:Irving W. Burr (1955).
2447:10.1214/aoms/1177728848
2358:10.1214/aoms/1177730387
4959:Mathematics portal
4780:Engineering statistics
4688:NelsonâAalen estimator
4265:Analysis of covariance
4152:Ordinary least squares
4076:Pearson product-moment
3480:Statistical functional
3391:Empirical distribution
3224:Controlled experiments
2953:Frequency distribution
2731:Descriptive statistics
2583:Statistica Neerlandica
2524:10.1287/ijoc.1040.0105
2428:; H. A. David (1954).
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