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vector space (rather than merely a preordered vector space) while others only require that it be a preordered vector space. We will henceforth assume that every Riesz space and every vector lattice is an
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The extra structure provided by these spaces provide for distinct kinds of Riesz subspaces. The collection of each kind structure in a Riesz space (for example, the collection of all ideals) forms a
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There are numerous projection properties that Riesz spaces may have. A Riesz space is said to have the (principal) projection property if every (principal) band is a projection band.
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There are a number of meaningful non-equivalent ways to define convergence of sequences or nets with respect to the order structure of a Riesz space. A sequence
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1868:
1655:
6860:
The intersection of an arbitrary collection of ideals is again an ideal, which allows for the definition of a smallest ideal containing some non-empty subset
11912:
12459:
12042:
9521:
14085:
13304:-completeness and the projection property separately imply the principal projection property; and the principal projection property implies the
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15024:
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5396:
2404:
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14849:
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14044:
13926:
13845:
13634:
The conditions are equivalent only when they apply to all triples in a lattice. There are elements in (for example)
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14206:
14176:
14101:
13142:
13116:
Super
Dedekind Complete (SDC) if every nonempty set, bounded above, has a countable subset with identical supremum;
11325:
7136:
are defined similarly, with the words 'arbitrary subset' replaced with 'countable subset'. Clearly every band is a
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9753:
5082:
14480:
10157:
9974:
9793:
8617:
6331:
692:
14562:
13888:
929:. Because the preorder is compatible with the vector space structure, one can show that any pair also have an
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10476:
7159:
The intersection of an arbitrary family of bands is again a band. As with ideals, for every non-empty subset
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14881:
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14011:
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11073:
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7765:
8870:
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2578:
of second order. This space is lattice-ordered by the usual pointwise comparison, but cannot be written as
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The preorder, together with items 1 and 2, which make it "compatible with the vector space structure", make
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is a Riesz space. It is
Archimedean, but usually does not have the principal projection property unless
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relates the following additional properties to the (principal) projection property: A Riesz space is...
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3914:
3517:
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is a preordered vector lattice if and only if it satisfies any of the following equivalent properties:
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5661:{\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}
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556:
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14547:
13962:, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
12596:
12188:
11876:
11757:
7873:
7585:
if each set with an upper bound has a supremum and each set with a lower bound has an infimum.
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6285:
4705:
4538:
4100:
2105:
2082:
1930:
172:
72:, in that important results are special cases of results for Riesz spaces. For example, the
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14956:
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14936:
14681:
14644:
14634:
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8:
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7020:
6943:
4380:
2765:
13264:
Then these properties are related as follows. SDC implies DC; DC implies both
Dedekind
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11151:
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10537:
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13046:
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12948:
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12318:
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10296:
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10206:
10137:
10134:
is the ordered direct sum of these subspaces if the canonical algebraic isomorphism of
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8942:
8788:
8767:
8432:
8412:
8362:
8342:
8296:
8276:
8246:
8130:
8110:
7995:
7975:
7955:
7853:
7833:
7813:
7745:
7696:
7676:
7656:
7636:
7616:
7243:
7162:
7073:
6974:
6954:
6863:
6704:
6684:
6624:
6604:
6584:
6564:
6475:
6455:
6431:
6311:
6265:
6241:
6186:
6166:
6082:
6027:
6003:
5879:
5859:
5827:
4933:
4518:
4475:
4455:
4406:
4386:
4184:
4080:
4060:
4036:
4016:
3489:
3009:
2627:
2598:
2384:
2332:
2279:
2236:
2175:
2151:
2039:
1987:
1967:
1910:
1884:
1818:
1524:
1346:
1304:
963:
936:
908:
854:
521:
407:
387:
367:
327:
307:
206:
152:
132:
104:
14876:
14186:
1838:
1625:
14973:
14951:
14811:
14796:
14776:
14579:
14298:
14216:
14040:
14015:
13988:
13978:
13947:
13937:
13922:
13914:
13884:
13841:
13840:. Colloquium Publications (3rd ed.). American Mathematical Society. p. 11.
13528:
13106:
10192:
8267:
7581:
5849:
2297:
1878:
14070:
14786:
14639:
14242:
14201:
14171:
14166:
13977:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
3453:
2710:
whenever either the supremum or infimum exists (in which case they both exist). If
2563:
1903:
954:
926:
12002:{\displaystyle u(|x|)=\sup \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}
14968:
14751:
14629:
14624:
14609:
14525:
14434:
14419:
14282:
14036:
13878:
13341:
7588:
An order complete, regularly ordered vector lattice whose canonical image in its
7520:
2583:
2575:
1283:
51:
47:
2597:-vector spaces also applies to Riesz spaces: every lattice-ordered vector space
14886:
14871:
14861:
14720:
14698:
14676:
14262:
14257:
14237:
14211:
14196:
14181:
14150:
12346:
A pre-ordered vector lattice homomorphism between two Riesz spaces is called a
10975:
9149:
8785:
8264:
2006:
1958:
69:
15051:
14985:
14941:
14919:
14791:
14661:
14649:
14454:
13992:
13951:
13936:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
13368:
13139:-complete if every countable nonempty set, bounded above, has a supremum; and
12530:{\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}
12113:{\displaystyle 0=\inf \left\{u\left(x^{+}\right),u\left(x^{-}\right)\right\}}
11108:
is an order complete vector lattice under its canonical order; furthermore,
2562:
The same result does not hold in infinite dimensions. For an example due to
1871:
1275:
58:
9592:{\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\right\}.}
1957:
If a space is ordered then its order bound dual is a vector subspace of its
14806:
14688:
14671:
14589:
14429:
14382:
7589:
1658:
1298:
but that a preordered vector lattice is not necessarily partially ordered.
14705:
14584:
14449:
13596:
10313:
are two non-trivial ordered vector spaces with respective positive cones
126:
27:
6991:
is defined to be an ideal with the extra property, that for any element
4566:
14980:
14914:
14755:
14267:
14135:
11646:
is linear and if any one of the following equivalent conditions hold:
9883:
1811:
1554:
13664:
13662:
13660:
9650:
is a family of preordered vector spaces and that the positive cone of
2574:
that are continuous except at finitely many points, where they have a
2558:, and the product of these two spaces has the canonical product order.
15031:
14904:
14710:
14277:
13365:
12633:
12225:
11294:
9372:
8980:
7523:. Some spaces do not have non-trivial projection bands (for example,
6727:
6676:
2606:
14826:
14693:
14444:
13860:
13858:
13794:
13734:
13732:
13730:
13728:
13726:
13657:
13498:
13110:
11263:
The set of all positive linear forms on a vector space, denoted by
1020:
822:
550:
539:
350:
68:
Riesz spaces have wide-ranging applications. They are important in
13792:
13790:
13788:
13786:
13784:
13782:
13780:
13778:
13776:
13774:
13761:
13759:
13757:
13755:
13753:
13751:
13749:
13747:
13724:
13722:
13720:
13718:
13716:
13714:
13712:
13710:
13708:
13706:
13599: – Mathematical set closed under positive linear combinations
10466:{\displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}
12339:
A pre-ordered vector lattice homomorphism that is bijective is a
11478:
there do exist ordered vector spaces for which set equality does
5853:
2621:, but not every partially ordered vector space is a Riesz space.
1084:
930:
360:
13855:
13693:
13691:
13689:
13687:
13685:
13683:
13681:
13679:
13677:
7519:
The collection of all projection bands in a Riesz space forms a
14351:
13771:
13744:
13703:
11128:
contains exactly those linear maps that map order intervals of
7047:
is the supremum of an arbitrary subset of positive elements in
5353:; that is, it has the following equivalent properties: for all
2222:
Finite-dimensional Riesz spaces are entirely classified by the
1901:
that map every order interval into a bounded set is called the
925:
a preordered vector space. Item 3 says that the preorder is a
84:
through the work of Greek-American economist and mathematician
2329:
under its canonical order. Otherwise, there exists an integer
13674:
13531:) pointwise partial order is a Dedekind complete Riesz space.
13331:-completeness and the projection property together imply DC.
10008:
that is given the canonical subspace ordering inherited from
5460:{\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}
2449:{\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}
7202:
there exists a smallest band containing that subset, called
1622:
In an ordered real vector space, every interval of the form
13960:
Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires
5535:{\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}
4372:{\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}.}
1289:
Note that many authors required that a vector lattice be a
63:
Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires
11173:
6154:{\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<p_{n}\downarrow 0.}
13284:-completeness and the projection property; Both Dedekind
10094:
are ordered vector subspaces of an ordered vector space
7426:
There then also exists a positive linear idempotent, or
9964:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}
9643:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}
8273:. Furthermore, there exist vector a vector sublattice
13804:
14100:
13540:
13504:
13476:
13447:
13403:
13377:
13350:
13317:
13290:
13270:
13240:
13220:
13191:
13171:
13151:
13125:
13069:
13049:
13025:
13005:
12971:
12951:
12922:
12890:
12864:
12844:
12816:
12775:
12755:
12718:
12691:
12666:
12642:
12599:
12573:
12543:
12462:
12426:
12403:
12383:
12363:
12321:
12285:
12259:
12234:
12191:
12156:
12126:
12045:
12015:
11915:
11879:
11796:
11760:
11677:
11655:
11632:
11608:
11576:
11556:
11536:
11516:
11496:
11441:
11385:
11355:
11335:
11303:
11269:
11234:
11208:
11184:
11154:
11134:
11114:
11076:
11044:
11024:
11004:
10984:
10961:
10941:
10921:
10883:
10859:
10839:
10819:
10799:
10767:
10742:
10712:
10686:
10648:
10628:
10587:
10563:
10540:
10520:
10479:
10402:
10382:
10362:
10339:
10319:
10299:
10279:
10253:
10229:
10209:
10160:
10140:
10120:
10100:
10054:
10014:
9977:
9928:
9891:
9853:
9833:
9796:
9756:
9713:
9683:
9656:
9607:
9524:
9504:
9484:
9457:
9437:
9401:
9381:
9357:
9333:
9308:
9280:
9256:
9226:
9198:
9178:
9158:
9134:
9094:
9066:
9038:
9009:
8989:
8965:
8945:
8913:
8907:
provides an example of an ordered vector space where
8873:
8842:
8813:
8791:
8770:
8742:
8713:
8685:
8656:
8625:
8594:
8565:
8518:
8478:
8455:
8435:
8415:
8385:
8365:
8345:
8319:
8299:
8279:
8249:
8226:
8216:) is a vector lattice under the induced order but is
8188:
8153:
8133:
8113:
8078:
8018:
7998:
7978:
7958:
7910:
7876:
7856:
7836:
7816:
7768:
7748:
7719:
7699:
7679:
7659:
7639:
7619:
7603:
7529:
7478:
7436:
7396:
7370:
7338:
7312:
7270:
7246:
7210:
7185:
7165:
7142:
7118:
7096:
7076:
7053:
7023:
6997:
6977:
6957:
6913:
6886:
6866:
6837:
6791:
6763:
6737:
6707:
6687:
6651:
6641:
is a vector lattice under its canonical order but is
6627:
6607:
6587:
6567:
6532:
6498:
6478:
6458:
6434:
6386:
6334:
6314:
6288:
6268:
6244:
6209:
6189:
6169:
6105:
6085:
6050:
6030:
6006:
5971:
5935:
5902:
5882:
5862:
5830:
5795:
5751:
5713:
5675:
5549:
5474:
5399:
5359:
5310:
5270:
5244:
5208:
5182:
5156:
5085:
5013:
4979:
4956:
4936:
4890:
4863:
4836:
4777:
4731:
4708:
4654:
4606:
4577:
4567:
Representation as a disjoint sum of positive elements
4541:
4521:
4498:
4478:
4458:
4429:
4409:
4389:
4321:
4294:
4259:
4233:
4207:
4187:
4158:
4129:
4103:
4083:
4063:
4039:
4019:
3965:
3917:
3895:
3827:
3759:
3731:
3641:
3613:
3584:
3520:
3492:
3464:
3380:
3318:
3295:
3263:
3227:
3172:
3115:
3082:
3059:
3032:
3012:
2910:
2888:
2845:
2768:
2742:
2716:
2672:
2650:
2630:
2531:
2497:
2462:
2407:
2387:
2355:
2335:
2306:
2282:
2259:
2239:
2198:
2178:
2154:
2131:
2108:
2085:
2062:
2042:
2016:
1990:
1970:
1933:
1913:
1887:
1841:
1821:
1749:
1711:
1667:
1628:
1563:
1527:
1492:
1457:
1425:
1393:
1369:
1349:
1327:
1307:
1241:
1206:
1178:
1153:
1118:
1093:
1054:
1029:
990:
966:
939:
911:
877:
857:
831:
792:
755:
729:
701:
655:
629:
584:
559:
524:
478:
452:
430:
410:
390:
370:
330:
310:
281:
255:
229:
209:
175:
155:
135:
107:
19:"Vector lattice" redirects here. For other uses, see
13311:
None of the reverse implications hold, but
Dedekind
12377:
is a non-zero linear functional on a vector lattice
7576:
if every subset has both a supremum and an infimum.
16:
Partially ordered vector space, ordered as a lattice
13643:
that satisfy the first equation but not the second.
13340:The space of continuous real valued functions with
11530:are preordered vector lattices with positive cones
9128:is a vector lattice homomorphism. Furthermore, if
8379:can be extended to a positive linear functional on
7713:is the preorder induced by the pointed convex cone
1274:is a preordered vector lattice whose preorder is a
404:and if for any upper bound (resp. any lower bound)
13919:Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6
13605: – Greatest lower bound and least upper bound
13555:
13517:
13482:
13462:
13433:
13389:
13356:
13323:
13296:
13276:
13252:
13226:
13206:
13177:
13157:
13131:
13075:
13055:
13031:
13011:
12989:
12957:
12937:
12908:
12876:
12850:
12831:
12802:
12761:
12734:
12704:
12677:
12651:
12624:
12585:
12558:
12529:
12446:
12409:
12389:
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11900:
11865:
11781:
11746:
11661:
11638:
11614:
11594:
11562:
11542:
11522:
11502:
11470:
11427:
11371:
11341:
11315:
11285:
11255:
11220:
11190:
11163:
11140:
11120:
11100:
11062:
11030:
11010:
10990:
10967:
10947:
10927:
10907:
10865:
10845:
10825:
10805:
10785:
10751:
10724:
10698:
10672:
10634:
10614:
10569:
10549:
10526:
10506:
10465:
10388:
10368:
10348:
10325:
10305:
10285:
10265:
10235:
10215:
10183:
10146:
10126:
10106:
10086:
10040:
10000:
9963:
9914:
9866:
9839:
9819:
9782:
9742:
9699:
9669:
9642:
9591:
9510:
9490:
9470:
9443:
9415:
9387:
9363:
9339:
9317:
9294:
9262:
9242:
9212:
9184:
9164:
9140:
9120:
9080:
9052:
9024:
8995:
8971:
8951:
8928:
8899:
8859:
8828:
8797:
8776:
8756:
8728:
8699:
8671:
8642:
8608:
8580:
8551:
8504:
8464:
8441:
8421:
8394:
8371:
8351:
8331:
8305:
8285:
8255:
8235:
8208:
8174:
8139:
8119:
8099:
8064:
8004:
7984:
7972:(importantly, note that this supremum is taken in
7964:
7944:
7897:
7862:
7842:
7822:
7795:
7754:
7734:
7705:
7685:
7665:
7645:
7633:is a vector subspace of a preordered vector space
7625:
7556:
7509:
7464:
7418:
7382:
7356:
7332:can be written uniquely as a sum of two elements,
7324:
7298:
7252:
7219:
7194:
7171:
7148:
7124:
7105:
7082:
7062:
7039:
7009:
6983:
6963:
6922:
6895:
6872:
6852:
6823:
6778:
6749:
6713:
6693:
6660:
6633:
6613:
6593:
6573:
6553:
6519:
6484:
6464:
6440:
6401:
6372:
6320:
6300:
6274:
6250:
6230:
6195:
6175:
6153:
6091:
6071:
6036:
6012:
5992:
5954:
5921:
5888:
5868:
5836:
5816:
5766:
5737:
5699:
5660:
5534:
5459:
5383:
5339:
5296:
5256:
5230:
5194:
5168:
5142:
5072:{\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |x-y|}
5071:
5000:
4965:
4942:
4922:
4876:
4849:
4822:
4763:
4717:
4694:
4640:
4592:
4556:
4527:
4507:
4484:
4464:
4444:
4415:
4395:
4371:
4303:
4280:
4245:
4219:
4193:
4173:
4144:
4115:
4089:
4069:
4045:
4025:
4005:
3951:
3904:
3881:
3813:
3745:
3717:
3627:
3599:
3570:
3498:
3478:
3437:
3366:
3304:
3281:
3249:
3213:
3158:
3101:
3068:
3041:
3018:
2991:
2897:
2874:
2831:
2754:
2728:
2702:
2659:
2636:
2546:
2517:
2483:
2448:
2393:
2373:
2341:
2321:
2288:
2268:
2245:
2207:
2184:
2160:
2140:
2117:
2094:
2071:
2048:
2028:
1996:
1976:
1949:
1919:
1893:
1862:
1827:
1797:
1735:
1697:
1649:
1614:
1533:
1513:
1478:
1443:
1411:
1379:
1355:
1335:
1313:
1261:
1250:
1227:
1193:
1162:
1139:
1102:
1075:
1038:
1011:
972:
945:
917:
894:
863:
843:
813:
776:
741:
716:
682:
641:
608:
570:
530:
490:
464:
439:
416:
396:
376:
336:
316:
296:
267:
241:
215:
187:
161:
141:
113:
13931:
13668:
13490:satisfies further conditions (for example, being
7156:-ideal, but the converse is not true in general.
384:if it is an upper bound (resp. a lower bound) of
15049:
12469:
12350:; if it is also bijective, then it is called a
12052:
11941:
11866:{\displaystyle u(\inf\{x,y\})=\inf\{u(x),u(y)\}}
11827:
11803:
11747:{\displaystyle u(\sup\{x,y\})=\sup\{u(x),u(y)\}}
11708:
11684:
8429:be a vector subspace of an ordered vector space
7912:
6533:
5119:
5098:
4950:as the difference of disjoint elements that are
4668:
4620:
4436:
3979:
3931:
3642:
3521:
3132:
2992:{\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).}
2944:
2917:
2685:
2673:
2109:
2086:
1493:
1458:
1207:
125:(which by definition is a vector space over the
14033:Introduction to Operator Theory in Riesz spaces
13876:
9915:{\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}
6044:if there exists a monotone converging sequence
5852:decreasing (resp. increasing) sequence and its
4383:, but the converse is not true in general. If
1809:if it is contained in some order interval. An
13932:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
11485:
9743:{\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}
6930:An Ideal generated by a singleton is called a
14367:
14086:
13965:
13864:
13798:
13765:
13738:
13697:
1661:. From axioms 1 and 2 above it follows that
80:. Riesz spaces have also seen application in
13109:if every nonempty set, bounded above, has a
12797:
12776:
12454:is a surjective vector lattice homomorphism.
11860:
11830:
11818:
11806:
11741:
11711:
11699:
11687:
10998:is the set of all positive linear maps from
10460:
10409:
10041:{\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}
9783:{\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}
8616:that induces a canonical preordering on the
7228:A band generated by a singleton is called a
6548:
6536:
5143:{\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}.}
5134:
5122:
5113:
5101:
4686:
4671:
4635:
4623:
4548:
4542:
4266:
4260:
4214:
4208:
3997:
3982:
3946:
3934:
3677:
3645:
3556:
3524:
3150:
3135:
2300:then it is (a vector lattice) isomorphic to
1815:of a preordered vector space is any element
1606:
1582:
1508:
1496:
1473:
1461:
1222:
1210:
506:
13883:. London: North Holland. pp. 122–138.
13617: – Partially ordered topological space
10514:which is the space of all linear maps from
10184:{\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}
10001:{\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}
9820:{\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}
7564:), so this Boolean algebra may be trivial.
4702:where note that both of these elements are
15025:Positive cone of a partially ordered group
14374:
14360:
14093:
14079:
10706:is a proper cone, the ordering defined by
9518:is canonically ordered by the proper cone
9088:is a vector lattice and the canonical map
6373:{\displaystyle \left|x_{n}-x\right|<ru}
1147:their infimum and their supremum exist in
13611: – Vector space with a partial order
13543:
12440:
10191:(with the canonical product order) is an
9790:which determines a canonical ordering on
9302:is the quotient of the order topology on
8882:
8202:
2534:
2500:
2465:
2430:
2410:
2309:
1553:in a partially ordered vector space is a
1370:
1329:
891:
878:
567:
560:
61:who first defined them in his 1928 paper
15008:Positive cone of an ordered vector space
13877:Luxemburg, W.A.J.; Zaanen, A.C. (1971).
13835:
13810:
13145:if, for every pair of positive elements
13090:
10615:{\displaystyle \operatorname {L} (X;W).}
10507:{\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}
10273:is equal to the whole vector space. If
10198:
3718:{\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|.}
2253:is a vector lattice of finite-dimension
13999:
11198:on a preordered vector space is called
11174:Positive functionals and the order dual
11101:{\displaystyle \operatorname {L} (X;Y)}
10673:{\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}
8107:then the 2-dimensional vector subspace
7796:{\displaystyle C\cap (-C)=\varnothing }
6183:is a positive element of a Riesz space
15050:
14027:
12341:pre-ordered vector lattice isomorphism
11624:preordered vector lattice homomorphism
9423:is also a topological vector lattice.
8900:{\displaystyle X=\mathbb {R} _{0}^{2}}
3882:{\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}
538:in which every pair of elements has a
14355:
14074:
12685:generates an extreme ray of the cone
11471:{\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b},}
10793:between two preordered vector spaces
10557:In this case the ordering defined by
8512:be the canonical projection, and let
8359:but no positive linear functional on
6937:
2875:{\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}
1615:{\displaystyle =\{x:a\leq x\leq b\}.}
8552:{\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).}
7299:{\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}
6231:{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}
6072:{\displaystyle \left\{p_{n}\right\}}
5993:{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}
5817:{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}
5784:
4695:{\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}
4006:{\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}
2518:{\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}}
1387:) is generating (that is, such that
12999:A vector lattice homomorphism from
12447:{\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }
12417:then the following are equivalent:
11428:{\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}
10087:{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
8209:{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
7945:{\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}
7235:
5700:{\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}
2612:
13:
14535:Properties & Types (
11077:
10649:
10588:
10480:
10418:
9232:
8764:into an ordered vector space. If
7604:Subspaces, quotients, and products
7408:
7288:
6601:). It can happen that a subspace
4641:{\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}
3952:{\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}
3571:{\displaystyle \inf\{|x|,|y|\}=0,}
3438:{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|.}
3214:{\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}
3159:{\displaystyle |x|:=\sup\{x,-x\},}
2484:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}
14:
15074:
14991:Positive cone of an ordered field
14102:Ordered topological vector spaces
14053:
13567:is a non-Archimedean Riesz space.
7790:
6581:(where this supremum is taken in
5922:{\displaystyle x_{n}\downarrow x}
3001:
2217:
76:follows as a special case of the
14845:Ordered topological vector space
14381:
13556:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
11669:preserves the lattice operations
10908:{\displaystyle u(X)\subseteq D.}
8147:defined by all maps of the form
5340:{\displaystyle x^{-}\leq y^{-}.}
4930:is the unique representation of
4823:{\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}.}
4379:Disjoint complements are always
3746:{\displaystyle x{\text{ and }}y}
3628:{\displaystyle x{\text{ and }}y}
3479:{\displaystyle x{\text{ and }}y}
2703:{\displaystyle \sup A=-\inf(-A)}
2547:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
2322:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1321:is an ordered vector space over
96:
13908:
13870:
10833:with respective positive cones
9032:defines the canonical order of
8836:defines the canonical order of
7653:then the canonical ordering on
7567:
7419:{\displaystyle v\in B^{\bot }.}
5955:{\displaystyle x_{n}\uparrow x}
5738:{\displaystyle x\vee z=y\vee z}
5297:{\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}
3447:
2192:is an order complete subset of
1262:Riesz space and vector lattices
549:is vector space endowed with a
13829:
13816:
13628:
13428:
13422:
13413:
13407:
12990:{\displaystyle 0\leq s\leq 1.}
12803:{\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}
12619:
12613:
12436:
12295:
12289:
12211:
12205:
12166:
12160:
11935:
11931:
11923:
11919:
11857:
11851:
11842:
11836:
11821:
11800:
11738:
11732:
11723:
11717:
11702:
11681:
11586:
11244:
11238:
11095:
11083:
10893:
10887:
10777:
10667:
10655:
10606:
10594:
10498:
10486:
10451:
10445:
10436:
10424:
9558:
9552:
9104:
9016:
8923:
8917:
8820:
8720:
8663:
8572:
8543:
8537:
8525:
8488:
8157:
8065:{\displaystyle X=L^{p}(,\mu )}
8059:
8050:
8038:
8035:
7939:
7927:
7784:
7775:
7551:
7548:
7536:
7533:
7495:
7489:
7453:
7260:in a Riesz space, is called a
7033:
7025:
6817:
6809:
6801:
6793:
6423:
6145:
5946:
5913:
5652:
5640:
5634:
5622:
5616:
5604:
5598:
5586:
5580:
5568:
5562:
5550:
5529:
5517:
5511:
5499:
5493:
5481:
5454:
5442:
5436:
5424:
5418:
5406:
5065:
5051:
4787:
4779:
3841:
3828:
3807:
3799:
3791:
3783:
3775:
3761:
3708:
3700:
3692:
3684:
3673:
3665:
3657:
3649:
3552:
3544:
3536:
3528:
3428:
3420:
3412:
3404:
3396:
3382:
3360:
3352:
3347:
3339:
3331:
3320:
3237:
3229:
3207:
3199:
3185:
3177:
3125:
3117:
3092:
3084:
2983:
2947:
2932:
2920:
2823:
2805:
2799:
2787:
2781:
2769:
2697:
2688:
2619:partially ordered vector space
2010:if for every non-empty subset
1857:
1842:
1789:
1777:
1768:
1756:
1730:
1718:
1692:
1680:
1644:
1629:
1576:
1564:
885:
879:
501:
44:partially ordered vector space
1:
14802:Series-parallel partial order
14192:Locally convex vector lattice
13669:Narici & Beckenstein 2011
13650:
13571:
13434:{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
9121:{\displaystyle \pi :X\to X/M}
8505:{\displaystyle \pi :X\to X/M}
8175:{\displaystyle t\mapsto at+b}
7742:where this cone is proper if
7465:{\displaystyle P_{B}:E\to E,}
7017:for which its absolute value
4923:{\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}
4764:{\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}
4281:{\displaystyle \{a\}\perp B.}
3814:{\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}
2374:{\displaystyle 2\leq k\leq n}
2148:We say that a vector lattice
1881:on a preordered vector space
1798:{\displaystyle tx(1-t)y\in .}
91:
57:Riesz spaces are named after
14481:Cantor's isomorphism theorem
13969:; Wolff, Manfred P. (1999).
9750:is a pointed convex cone in
9700:{\displaystyle C_{\alpha }.}
8100:{\displaystyle 0<p<1,}
7592:is order complete is called
6411:
5779:Riesz decomposition property
5231:{\displaystyle x^{+}\leq y.}
3635:are disjoint if and only if
2566:, consider the vector space
2029:{\displaystyle B\subseteq A}
1544:
1336:{\displaystyle \mathbb {R} }
1282:for which the ordering is a
895:{\displaystyle \,(\leq ).\,}
683:{\displaystyle x+z\leq y+z.}
78:Freudenthal spectral theorem
36:lattice-ordered vector space
7:
14521:Szpilrajn extension theorem
14496:Hausdorff maximal principle
14471:Boolean prime ideal theorem
14065:Encyclopedia of Mathematics
14007:Encyclopedia of Mathematics
13590:
13334:
13083:are given their respective
12348:vector lattice homomorphism
12307:{\displaystyle u(x)\geq 0.}
11486:Vector lattice homomorphism
11329:of an ordered vector space
11256:{\displaystyle f(x)\geq 0.}
9867:{\displaystyle C_{\alpha }}
9670:{\displaystyle X_{\alpha }}
7510:{\displaystyle P_{B}(f)=u.}
6824:{\displaystyle |g|\leq |f|}
6554:{\displaystyle \sup\{x,y\}}
6448:is a vector lattice then a
4535:is a lattice disjoint from
3367:{\displaystyle |rx|=|r||x|}
1514:{\displaystyle \inf\{x,y\}}
1479:{\displaystyle \sup\{x,y\}}
1228:{\displaystyle \sup\{x,0\}}
10:
15079:
14867:Topological vector lattice
14146:Topological vector lattice
13880:Riesz Spaces : Vol. 1
13836:Birkhoff, Garrett (1967).
13185:, whenever the inequality
12352:vector lattice isomorphism
10642:is any vector subspace of
9451:is any set then the space
9349:topological vector lattice
9243:{\displaystyle M^{\bot }.}
9025:{\displaystyle {\hat {C}}}
8829:{\displaystyle {\hat {C}}}
8729:{\displaystyle {\hat {C}}}
8672:{\displaystyle {\hat {C}}}
8581:{\displaystyle {\hat {C}}}
8271:topological vector lattice
6941:
6674:
5777:Every Riesz space has the
5384:{\displaystyle x,y,z\in X}
3451:
3250:{\displaystyle |x|\geq 0.}
2125:exist and are elements of
1736:{\displaystyle t\in (0,1)}
1278:. Equivalently, it is an
960:A preordered vector space
871:with respect to the order
777:{\displaystyle ax\leq ay.}
609:{\displaystyle x,y,z\in E}
571:{\displaystyle \,\leq ,\,}
18:
14897:
14825:
14764:
14534:
14463:
14412:
14389:
14333:
14312:
14291:
14226:Types of elements/subsets
14225:
14159:
14108:
13971:Topological Vector Spaces
13934:Topological Vector Spaces
13865:Schaefer & Wolff 1999
13799:Schaefer & Wolff 1999
13766:Schaefer & Wolff 1999
13739:Schaefer & Wolff 1999
13698:Schaefer & Wolff 1999
12625:{\displaystyle u^{-1}(0)}
12217:{\displaystyle u^{-1}(0)}
11901:{\displaystyle x,y\in X.}
11782:{\displaystyle x,y\in X.}
10955:are vector lattices with
7898:{\displaystyle x,y\in M,}
6670:
6520:{\displaystyle x,y\in F,}
5001:{\displaystyle x,y\in X,}
4174:{\displaystyle A\perp B.}
3600:{\displaystyle x\perp y.}
2624:Note that for any subset
2491:has its canonical order,
1140:{\displaystyle x,y\in E,}
1076:{\displaystyle x,y\in E,}
1012:{\displaystyle x,y\in E,}
814:{\displaystyle x,y\in E,}
547:preordered vector lattice
513:preordered vector lattice
507:Preordered vector lattice
86:Charalambos D. Aliprantis
14476:Cantor–Bernstein theorem
14141:Positive linear operator
14000:Sobolev, V. I. (2001) ,
13621:
13207:{\displaystyle nx\leq y}
13041:topological homomorphism
12909:{\displaystyle x-y\in C}
11595:{\displaystyle u:X\to Y}
11148:into order intervals of
10786:{\displaystyle u:X\to Y}
9971:is a vector subspace of
9847:is a proper cone if all
8959:is a vector lattice and
7735:{\displaystyle C\cap M,}
6903:and is called the ideal
4445:{\displaystyle x=\sup A}
4246:{\displaystyle a\perp B}
3282:{\displaystyle x,y\in X}
1444:{\displaystyle x,y\in C}
1380:{\displaystyle \,\geq 0}
786:For any pair of vectors
717:{\displaystyle 0\leq a,}
21:Lattice (disambiguation)
15020:Partially ordered group
14840:Specialization preorder
14121:Partially ordered space
13615:Partially ordered space
13583:Every Riesz space is a
13492:extremally disconnected
13463:{\displaystyle x\in X,}
13390:{\displaystyle f\leq g}
13344:on a topological space
13324:{\displaystyle \sigma }
13297:{\displaystyle \sigma }
13277:{\displaystyle \sigma }
13214:holds for all integers
13132:{\displaystyle \sigma }
12832:{\displaystyle x\in C,}
12586:{\displaystyle u\geq 0}
12559:{\displaystyle x\in X.}
12272:{\displaystyle x\geq 0}
12142:{\displaystyle x\in X.}
12031:{\displaystyle x\in X.}
11349:is the set, denoted by
11293:is a cone equal to the
11221:{\displaystyle x\geq 0}
10725:{\displaystyle C\cap M}
10699:{\displaystyle C\cap M}
10396:if and only if the set
8929:{\displaystyle \pi (C)}
8332:{\displaystyle N\cap C}
7762:is proper (that is, if
7149:{\displaystyle \sigma }
7125:{\displaystyle \sigma }
6853:{\displaystyle g\in I.}
6779:{\displaystyle g\in E,}
6645:a vector sublattice of
6402:{\displaystyle n>N.}
5349:Every Riesz space is a
5257:{\displaystyle x\leq y}
5195:{\displaystyle x\leq y}
5169:{\displaystyle y\geq 0}
4966:{\displaystyle \geq 0.}
4593:{\displaystyle x\in X,}
4472:is a subset lattice in
4152:in which case we write
4145:{\displaystyle b\in B,}
3578:in which case we write
2755:{\displaystyle y\geq 0}
2729:{\displaystyle x\geq 0}
2617:Every Riesz space is a
1805:A subset is said to be
1698:{\displaystyle x,y\in }
1194:{\displaystyle x\in E,}
844:{\displaystyle x\vee y}
742:{\displaystyle x\leq y}
642:{\displaystyle x\leq y}
491:{\displaystyle a\geq b}
465:{\displaystyle a\leq b}
297:{\displaystyle s\in S.}
268:{\displaystyle s\geq b}
242:{\displaystyle s\leq b}
14506:Kruskal's tree theorem
14501:Knaster–Tarski theorem
14491:Dushnik–Miller theorem
14292:Topologies/Convergence
14160:Types of orders/spaces
13579:lattice ordered groups
13557:
13519:
13484:
13464:
13435:
13391:
13358:
13325:
13298:
13278:
13254:
13228:
13208:
13179:
13159:
13133:
13107:Dedekind Complete (DC)
13100:main inclusion theorem
13077:
13057:
13033:
13013:
12991:
12959:
12939:
12910:
12878:
12877:{\displaystyle y\in C}
12852:
12833:
12804:
12763:
12736:
12735:{\displaystyle X^{*}.}
12706:
12679:
12653:
12626:
12587:
12560:
12531:
12448:
12411:
12391:
12371:
12329:
12308:
12273:
12245:
12218:
12179:
12178:{\displaystyle u(C)=D}
12143:
12114:
12032:
12003:
11902:
11867:
11783:
11748:
11663:
11640:
11616:
11596:
11564:
11544:
11524:
11504:
11472:
11429:
11373:
11372:{\displaystyle X^{+},}
11343:
11317:
11287:
11286:{\displaystyle C^{*},}
11257:
11222:
11192:
11165:
11142:
11122:
11102:
11064:
11063:{\displaystyle M:=H-H}
11032:
11012:
10992:
10969:
10949:
10929:
10909:
10867:
10847:
10827:
10807:
10787:
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10726:
10700:
10674:
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10571:
10551:
10528:
10508:
10467:
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10370:
10350:
10327:
10307:
10287:
10267:
10237:
10217:
10185:
10148:
10128:
10108:
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10042:
10002:
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9644:
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9492:
9478:of all functions from
9472:
9445:
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8953:
8936:is not a proper cone.
8930:
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8758:
8730:
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8339:has empty interior in
8333:
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7420:
7384:
7383:{\displaystyle u\in B}
7358:
7326:
7325:{\displaystyle f\in E}
7306:meaning every element
7300:
7254:
7221:
7204:the band generated by
7196:
7173:
7150:
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7011:
7010:{\displaystyle f\in E}
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6965:
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6854:
6825:
6780:
6751:
6750:{\displaystyle f\in I}
6715:
6695:
6662:
6635:
6615:
6595:
6575:
6555:
6521:
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6466:
6442:
6403:
6374:
6322:
6302:
6301:{\displaystyle r>0}
6276:
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6155:
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6038:
6014:
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5870:
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5258:
5232:
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5170:
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5073:
5002:
4967:
4944:
4924:
4878:
4851:
4824:
4765:
4719:
4718:{\displaystyle \geq 0}
4696:
4642:
4594:
4558:
4557:{\displaystyle \{x\}.}
4529:
4509:
4492:that is disjoint from
4486:
4466:
4446:
4417:
4397:
4373:
4305:
4282:
4247:
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4117:
4116:{\displaystyle a\in A}
4091:
4071:
4047:
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4007:
3953:
3906:
3889:where for any element
3883:
3815:
3747:
3719:
3629:
3601:
3572:
3500:
3480:
3439:
3368:
3306:
3283:
3251:
3215:
3160:
3103:
3070:
3043:
3020:
2993:
2899:
2876:
2833:
2756:
2730:
2704:
2661:
2638:
2591:epi-mono factorization
2589:. On the other hand,
2548:
2519:
2485:
2450:
2395:
2375:
2343:
2323:
2290:
2270:
2247:
2209:
2186:
2162:
2142:
2119:
2118:{\displaystyle \inf B}
2096:
2095:{\displaystyle \sup B}
2073:
2050:
2030:
1998:
1978:
1951:
1950:{\displaystyle V^{b}.}
1921:
1895:
1864:
1829:
1799:
1737:
1699:
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1515:
1480:
1445:
1413:
1381:
1357:
1337:
1315:
1252:
1229:
1195:
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718:
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621:Translation Invariance
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189:
188:{\displaystyle b\in X}
163:
143:
115:
82:mathematical economics
13565:lexicographical order
13558:
13520:
13518:{\displaystyle L^{p}}
13485:
13465:
13436:
13392:
13359:
13326:
13299:
13279:
13255:
13229:
13209:
13180:
13160:
13134:
13091:Projection properties
13078:
13058:
13034:
13014:
12992:
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12737:
12707:
12705:{\displaystyle X^{*}}
12680:
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12180:
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11868:
11784:
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11641:
11617:
11597:
11565:
11545:
11525:
11505:
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11430:
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11318:
11288:
11258:
11223:
11193:
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105:
15058:Functional analysis
14836:Alexandrov topology
14782:Lexicographic order
14741:Well-quasi-ordering
13967:Schaefer, Helmut H.
13867:, pp. 205–214.
13801:, pp. 250–257.
13768:, pp. 204–214.
13741:, pp. 205–209.
13671:, pp. 139–153.
13253:{\displaystyle x=0}
12397:with positive cone
11316:{\displaystyle -C.}
10622:More generally, if
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2593:in the category of
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2298:Archimedean ordered
957:, hence a lattice.
545:More explicitly, a
356:greater lower bound
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