534:
217:
529:{\displaystyle {\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b}-1)=4y(y+1)\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=4y^{2}+4y+1\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{aligned}}}
1840:
222:
1246:
638:
1127:
1022:
1537:
1610:
1644:
1306:
875:
2130:
123:
1982:
1433:
825:
715:
2062:
1879:
1636:
1922:
908:
1358:
781:
1387:
1332:
932:
2290:
Bugeaud, Y.; Mignotte, M.; Siksek, S. (2006). "Classical and modular approaches to exponential
Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation".
1134:
654:
191:
147:
2153:
557:
1029:
2456:
2074:
imply that the number of solutions in each case is finite. Bugeaud, Mignotte and Siksek solved equations of this type with
940:
2483:
1438:
41:
2447:
Saradha, N.; Srinivasan, Anitha (2008). "Generalized
Lebesgue–Ramanujan–Nagell equations". In Saradha, N. (ed.).
1542:
1835:{\displaystyle (x,n)={\begin{cases}(2^{k}-3,3)\\(2^{k}-1,k+2)\\(2^{k}+1,k+3)\\(3\cdot 2^{k}-1,2k+3)\end{cases}}}
2562:
2567:
2329:
2012:
1255:
2475:
830:
2538:
2088:
81:
1938:
1671:
1392:
786:
671:
2021:
1848:
1615:
2148:
1888:
29:
2524:
880:
1337:
751:
2409:
2082:≤ 100. In particular, the following generalization of the Ramanujan–Nagell equation:
1363:
2493:
8:
2431:
1311:
154:
52:
2413:
2501:
2317:
2299:
917:
745:
547: − 3, and the corresponding triangular Mersenne numbers (also known as
162:
2275:
2479:
2452:
2357:
208:
158:
2321:
2489:
2417:
2309:
64:
2467:
2333:
2071:
204:
44:, an equation to be solved in integers where one of the variables appears as an
45:
2313:
2556:
2389:
2373:
911:
748:
implies that the number of solutions in each case is finite. By representing
166:
56:
33:
21:
60:
37:
17:
2422:
2393:
1334:
corresponding to the
Ramanujan–Nagell equation. This does not hold for
647:= 1, 3, 5, 11 and 181, giving 0, 1, 3, 15, 4095 and no more (sequence
203:
The problem of finding all numbers of the form 2 − 1 (
2304:
55:, who conjectured that it has only five integer solutions, and after
2504:(1929). "Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen".
2170:
2168:
1241:{\displaystyle r=2:\qquad (AB^{2}x)^{2}=(AB^{2}y)^{3}-A^{2}B^{4}D}
2525:"Values of X corresponding to N in the Ramanujan–Nagell Equation"
2252:
157:, proposed independently in 1943 by the Norwegian mathematician
2240:
2192:
2165:
910:, the equation of Ramanujan–Nagell type is reduced to three
1828:
934:), each of which has a finite number of integer solutions:
649:
633:{\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}
186:
142:
1122:{\displaystyle r=1:\qquad (ABx)^{2}=(ABy)^{3}-A^{2}B^{2}D}
2228:
2204:
59:, who proved the conjecture. It implies non-existence of
2334:"Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation
2289:
2258:
2091:
2024:
1941:
1891:
1885:
for which there are exactly two solutions, including
1851:
1647:
1618:
1545:
1441:
1395:
1366:
1340:
1314:
1258:
1137:
1032:
943:
920:
883:
833:
789:
754:
674:
660:
560:
220:
153:
This was conjectured in 1913 by Indian mathematician
84:
1927:
2216:
1017:{\displaystyle r=0:\qquad (Ax)^{2}=(Ay)^{3}-A^{2}D}
2124:
2056:
1976:
1916:
1873:
1834:
1630:
1604:
1531:
1427:
1381:
1352:
1326:
1300:
1240:
1121:
1016:
926:
902:
869:
819:
775:
709:
632:
528:
117:
2474:. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 87.
2446:
2246:
2198:
2180:
2174:
2554:
2276:"On the generalized Ramanujan-Nagell equation I"
2465:
2234:
1532:{\displaystyle (x,n)=(5,3),(7,5),(9,6),(23,9)}
1308:has at most two solutions, except in the case
198:
814:
796:
1605:{\displaystyle D=-(4^{k}-3\cdot 2^{k+1}+1)}
2430:
2421:
2356:
2303:
2135:has positive integer solutions only when
2121:
114:
2328:
2222:
70:
2506:Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl
2273:
2210:
2154:Scientific equations named after people
165:in 1948 by the Norwegian mathematician
36:and a number that is seven less than a
2555:
2500:
2388:
2372:
2186:
1881:. There are infinitely many values of
1638:there are at least the four solutions
2376:(1948). "Løsning till oppgave nr 2".
2259:Bugeaud, Mignotte & Siksek 2006
13:
1301:{\displaystyle A=1,\ B=2,\ D>0}
661:Equations of Ramanujan–Nagell type
14:
2579:
2517:
2472:Exponential Diophantine equations
1928:Equations of Lebesgue–Nagell type
128:and solutions in natural numbers
870:{\displaystyle B^{n}=B^{r}y^{3}}
184:= 1, 3, 5, 11 and 181 (sequence
42:exponential Diophantine equation
2125:{\displaystyle y^{n}-7=x^{2}\,}
2015:, who proved that the equation
1845:and these are the only four if
1150:
1045:
956:
118:{\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}\,}
1977:{\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}
1822:
1782:
1775:
1744:
1737:
1706:
1699:
1674:
1660:
1648:
1599:
1555:
1526:
1514:
1508:
1496:
1490:
1478:
1472:
1460:
1454:
1442:
1428:{\displaystyle x^{2}-17=2^{n}}
1203:
1183:
1171:
1151:
1084:
1071:
1059:
1046:
989:
979:
967:
957:
820:{\displaystyle r\in \{0,1,2\}}
710:{\displaystyle x^{2}+D=AB^{n}}
621:
609:
606:
594:
579:
567:
513:
497:
464:
399:
340:
333:
321:
309:
290:
279:
266:
254:
140:= 3, 4, 5, 7 and 15 (sequence
1:
2267:
2247:Saradha & Srinivasan 2008
2199:Saradha & Srinivasan 2008
2175:Saradha & Srinivasan 2008
2067:has no nontrivial solutions.
2057:{\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}
1874:{\displaystyle D>-10^{12}}
2451:. Narosa. pp. 207–223.
1631:{\displaystyle k\geqslant 3}
173:correspond to the values of
51:The equation is named after
7:
2142:
199:Triangular Mersenne numbers
10:
2584:
2476:Cambridge University Press
2394:"The Diophantine equation
2235:Shorey & Tijdeman 1986
2547:+ 2 Be A Power Of 2?
2314:10.1112/S0010437X05001739
1917:{\displaystyle D=2^{m}-1}
40:. It is an example of an
26:Ramanujan–Nagell equation
2434:(1913). "Question 464".
2360:(1943). "Oppgave nr 2".
2159:
1932:An equation of the form
665:An equation of the form
549:Ramanujan–Nagell numbers
2549:, Math Forum discussion
2139:= 1, 3, 5, 11, or 181.
2011:. This is named after
1435:has the four solutions
903:{\displaystyle y=B^{m}}
2292:Compositio Mathematica
2126:
2070:Results of Shorey and
2058:
2013:Victor-Amédée Lebesgue
1978:
1918:
1875:
1836:
1632:
1606:
1533:
1429:
1383:
1354:
1353:{\displaystyle D<0}
1328:
1302:
1242:
1123:
1018:
928:
904:
871:
821:
777:
776:{\displaystyle n=3m+r}
711:
634:
530:
119:
2563:Diophantine equations
2449:Diophantine Equations
2127:
2059:
1979:
1919:
1876:
1837:
1633:
1607:
1534:
1430:
1384:
1382:{\displaystyle D=-17}
1355:
1329:
1303:
1243:
1124:
1019:
929:
905:
872:
822:
778:
742:Ramanujan–Nagell type
712:
635:
531:
120:
71:Equation and solution
2478:. pp. 137–138.
2274:Beukers, F. (1981).
2089:
2022:
2009:Lebesgue–Nagell type
1939:
1889:
1849:
1645:
1616:
1543:
1439:
1393:
1364:
1338:
1312:
1256:
1135:
1030:
941:
918:
881:
831:
787:
752:
672:
558:
218:
82:
61:perfect binary codes
2568:Srinivasa Ramanujan
2527:. Wolfram MathWorld
2436:J. Indian Math. Soc
2414:1961ArM.....4..185N
2283:Acta Arithmetica 38
2149:Pillai's conjecture
1327:{\displaystyle D=7}
155:Srinivasa Ramanujan
53:Srinivasa Ramanujan
2423:10.1007/BF02592006
2378:Norsk Mat. Tidsskr
2362:Norsk Mat. Tidsskr
2213:, p. 401-403.
2122:
2078:= 1 and 1 ≤
2054:
1974:
1914:
1871:
1832:
1827:
1628:
1602:
1529:
1425:
1379:
1350:
1324:
1298:
1252:The equation with
1238:
1119:
1014:
924:
900:
867:
817:
773:
707:
630:
543:are just those of
526:
524:
115:
20:, in the field of
2458:978-81-7319-898-4
2007:is said to be of
1539:. In general, if
1288:
1273:
927:{\displaystyle r}
744:. The result of
740:is said to be of
628:
586:
471:
406:
347:
286:
273:
228:
159:Wilhelm Ljunggren
63:with the minimum
2575:
2535:
2533:
2532:
2513:
2497:
2462:
2443:
2427:
2425:
2408:(2–3): 185–187.
2385:
2369:
2353:
2325:
2307:
2286:
2280:
2262:
2256:
2250:
2244:
2238:
2232:
2226:
2220:
2214:
2208:
2202:
2196:
2190:
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2178:
2172:
2131:
2129:
2128:
2123:
2120:
2119:
2101:
2100:
2063:
2061:
2060:
2055:
2053:
2052:
2034:
2033:
1983:
1981:
1980:
1975:
1973:
1972:
1951:
1950:
1923:
1921:
1920:
1915:
1907:
1906:
1880:
1878:
1877:
1872:
1870:
1869:
1841:
1839:
1838:
1833:
1831:
1830:
1800:
1799:
1756:
1755:
1718:
1717:
1686:
1685:
1637:
1635:
1634:
1629:
1611:
1609:
1608:
1603:
1592:
1591:
1567:
1566:
1538:
1536:
1535:
1530:
1434:
1432:
1431:
1426:
1424:
1423:
1405:
1404:
1388:
1386:
1385:
1380:
1359:
1357:
1356:
1351:
1333:
1331:
1330:
1325:
1307:
1305:
1304:
1299:
1286:
1271:
1247:
1245:
1244:
1239:
1234:
1233:
1224:
1223:
1211:
1210:
1198:
1197:
1179:
1178:
1166:
1165:
1128:
1126:
1125:
1120:
1115:
1114:
1105:
1104:
1092:
1091:
1067:
1066:
1023:
1021:
1020:
1015:
1010:
1009:
997:
996:
975:
974:
933:
931:
930:
925:
909:
907:
906:
901:
899:
898:
876:
874:
873:
868:
866:
865:
856:
855:
843:
842:
826:
824:
823:
818:
782:
780:
779:
774:
716:
714:
713:
708:
706:
705:
684:
683:
652:
639:
637:
636:
631:
629:
624:
592:
587:
582:
562:
535:
533:
532:
527:
525:
521:
520:
487:
486:
469:
444:
443:
422:
421:
404:
385:
384:
363:
362:
345:
302:
301:
284:
274:
269:
249:
238:
237:
226:
224:
205:Mersenne numbers
189:
169:. The values of
145:
136:exist just when
124:
122:
121:
116:
113:
112:
94:
93:
75:The equation is
65:Hamming distance
2583:
2582:
2578:
2577:
2576:
2574:
2573:
2572:
2553:
2552:
2530:
2528:
2523:
2520:
2486:
2466:Shorey, T. N.;
2459:
2346:Nouv. Ann. Math
2278:
2270:
2265:
2257:
2253:
2245:
2241:
2233:
2229:
2221:
2217:
2209:
2205:
2197:
2193:
2185:
2181:
2173:
2166:
2162:
2145:
2115:
2111:
2096:
2092:
2090:
2087:
2086:
2048:
2044:
2029:
2025:
2023:
2020:
2019:
1968:
1964:
1946:
1942:
1940:
1937:
1936:
1930:
1902:
1898:
1890:
1887:
1886:
1865:
1861:
1850:
1847:
1846:
1826:
1825:
1795:
1791:
1779:
1778:
1751:
1747:
1741:
1740:
1713:
1709:
1703:
1702:
1681:
1677:
1667:
1666:
1646:
1643:
1642:
1617:
1614:
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