43:
1649:
1381:
1154:
2353:
1898:
934:
1341:
2479:
1644:{\displaystyle x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}\right)={\frac {1}{b}}\leq 1.}
2022:
986:
2153:
745:
2142:
1703:
516:
780:
1186:
2916:
2562:
2808:
2859:
2762:
2639:
2691:
1678:
2946:
2592:
2364:
2052:
2665:
412:
2966:
2711:
2502:
205:
1924:
3443:
3418:
1149:{\displaystyle x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0,}
3052:
2348:{\displaystyle e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},}
666:
1893:{\displaystyle (b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,}
2060:
198:
3061:
3515:
3192:
459:
3402:
Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
3373:
3184:
3573:
3558:
929:{\displaystyle x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.}
191:
23:
3070:
141:
1336:{\displaystyle {\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots {\big (}b+(n-b){\big )}}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}.}
3364:
3233:
257:
is irrational in 1737 (but the text was only published seven years later). He computed the representation of
3075:
133:
417:
Since this continued fraction is infinite and every rational number has a terminating continued fraction,
3578:
426:
421:
is irrational. A short proof of the previous equality is known. Since the simple continued fraction of
2864:
2510:
262:
219:
33:
2988:
is not a root of a second-degree polynomial with rational coefficients. This last fact implies that
2767:
607:
must be a positive integer. However, the fast convergence of the series representation implies that
3320:
3311:
2813:
2716:
179:
3568:
2597:
3095:
450:
3030:, in 1873, which means that is not a root of any polynomial with rational coefficients, as is
2670:
2474:{\displaystyle 0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n}}\leq {\frac {1}{2}}}
3563:
3057:
3027:
1657:
2921:
2567:
1682:
Since there is no integer strictly between 0 and 1, we have reached a contradiction, and so
3494:
3252:
2030:
939:
The first term is an integer, and every fraction in the sum is actually an integer because
62:
3489:
3004:
is not a root of a third-degree polynomial with rational coefficients, which implies that
8:
2644:
271:
83:
3256:
3385:
3340:
3332:
3268:
3242:
3152:
2951:
2696:
2487:
99:
88:
3511:
3344:
3198:
3188:
3156:
242:
103:
78:
57:
3175:
3503:
3377:
3324:
3260:
3142:
3134:
3037:
2977:
1372:
433:
is not a root of a quadratic polynomial with rational coefficients; in particular,
234:
2017:{\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
3531:
3499:
3227:
Cohn, Henry (2006). "A short proof of the simple continued fraction expansion of
3019:
2992:
is irrational. His proofs are similar to
Fourier's proof of the irrationality of
623:
226:
446:
230:
162:
3507:
3122:
2918:
would be an integer. But from the above inequality, that is not possible. So,
611:
is still strictly smaller than 1. From this contradiction we deduce that
3552:
3485:
3437:
Liouville, Joseph (1840). "Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre
2997:
3471:
3305:
MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987). "An elementary proof that
157:
3272:
3000:
explained how it is possible to prove along the same line of ideas that
245:; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers.
3389:
3336:
3138:
3147:
3264:
3247:
3215:
565:
545:. The idea is to then analyze the scaled-up difference (here denoted
93:
3381:
3328:
42:
1697:
Another proof can be obtained from the previous one by noting that
972:
is strictly positive, we insert the above series representation of
3462:
3202:
740:{\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right).}
600:
1687:
3216:
A Short Proof of the Simple
Continued Fraction Expansion of e
2137:{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}
3412:
Liouville, Joseph (1840). "Sur l'irrationalité du nombre
1907: < 1. This is impossible, of course, since
1903:
and this inequality is equivalent to the assertion that
16:
Mathematical proof that Euler's number (e) is irrational
1918:
Still another proof can be obtained from the fact that
511:{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}.}
2954:
2924:
2867:
2816:
2770:
2719:
2699:
2673:
2647:
2600:
2570:
2513:
2490:
2367:
2156:
2063:
2033:
1927:
1706:
1660:
1384:
1189:
989:
783:
669:
462:
274:
3170:
Sandifer, C. Edward (2007). "Chapter 32: Who proved
949:
for each term. Therefore, under the assumption that
233:, who had been a student of Jacob's younger brother
3304:
560:partial sum, which approximates the limiting value
3536:Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris
2960:
2940:
2910:
2853:
2802:
2756:
2705:
2685:
2659:
2633:
2586:
2556:
2496:
2473:
2347:
2136:
2046:
2016:
1892:
1672:
1643:
1335:
1148:
928:
739:
510:
406:
3550:
3104:Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
3098:[A dissertation on continued fractions]
2810:Hence, for this choice, the difference between
525:is assumed to be a rational number of the form
3484:
3358:Penesi, L. L. (1953). "Elementary proof that
3288:Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie
3285:
3053:Characterizations of the exponential function
1282:
1254:
1159:because all the terms are strictly positive.
253:Euler wrote the first proof of the fact that
199:
3444:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
3419:Journal de Mathématiques Pures et Appliquées
3292:A mixture of Algebraic Analysis and Geometry
206:
192:
3534:(1873). "Sur la fonction exponentielle".
3436:
3411:
3246:
3146:
564:. By choosing the scale factor to be the
229:in 1683. More than half a century later,
3294:]. Veuve Courcier. pp. 340–341.
3169:
3012:is irrational for any non-zero rational
3530:
3461:
3096:"De fractionibus continuis dissertatio"
2984:is irrational followed by a proof that
2693:It is possible to appropriately choose
549:) between the series representation of
3551:
3357:
3120:
3093:
1357:. Changing the index of summation to
3226:
1346:This inequality is strict for every
3374:Mathematical Association of America
3185:Mathematical Association of America
2980:published a proof of the fact that
1692:
453:, which is based upon the equality
13:
3498:(4th ed.). Berlin, New York:
2971:
2564:is always an integer. Assume that
2211:
1973:
1524:
1463:
1413:
1112:
1023:
485:
440:
14:
3590:
3470:(in German). Vol. 2. Basel:
3123:"An essay on continued fractions"
626:, there exist positive integers
248:
41:
3524:
3478:
3455:
3430:
3405:
3008:is irrational. More generally,
2948:is irrational. This means that
2911:{\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}
2557:{\displaystyle (2n-1)!s_{2n-1}}
3396:
3351:
3298:
3279:
3220:
3209:
3163:
3114:
3087:
2883:
2868:
2832:
2817:
2803:{\displaystyle n\geq (q+1)/2.}
2789:
2777:
2735:
2720:
2529:
2514:
2389:
2374:
2333:
2324:
2295:
2285:
2229:
2219:
2111:
2101:
1991:
1981:
1863:
1851:
1848:
1836:
1788:
1776:
1773:
1761:
1719:
1707:
1548:
1535:
1487:
1474:
1371:and using the formula for the
1312:
1299:
1277:
1265:
1246:
1234:
1231:
1219:
873:
861:
398:
281:
1:
3365:American Mathematical Monthly
3286:de Stainville, Janot (1815).
3234:American Mathematical Monthly
3081:
3071:Lindemann–Weierstrass theorem
2854:{\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}
2757:{\displaystyle (2n-1)!e^{-1}}
445:The most well-known proof is
142:Lindemann–Weierstrass theorem
599:partial sum are turned into
7:
3127:Mathematical Systems Theory
3046:
2634:{\displaystyle e^{-1}=p/q,}
1180:we have the upper estimate
10:
3595:
3076:Proof that π is irrational
3574:E (mathematical constant)
3559:Diophantine approximation
3508:10.1007/978-3-642-00856-6
2484:for any positive integer
1373:infinite geometric series
553:and its strictly smaller
263:simple continued fraction
3321:Mathematical Association
3312:The Mathematical Gazette
3121:Euler, Leonhard (1985).
3094:Euler, Leonhard (1744).
2686:{\displaystyle q\neq 0.}
750:Use the assumption that
618:Now for the details. If
429:, this also proves that
1915:are positive integers.
1673:{\displaystyle x<1.}
976:into the definition of
968:. First, to prove that
2962:
2942:
2941:{\displaystyle e^{-1}}
2912:
2855:
2804:
2758:
2707:
2687:
2661:
2635:
2588:
2587:{\displaystyle e^{-1}}
2558:
2498:
2475:
2349:
2281:
2215:
2138:
2097:
2048:
2018:
1977:
1894:
1674:
1645:
1528:
1467:
1417:
1337:
1150:
1116:
1066:
1027:
930:
902:
834:
741:
713:
512:
489:
451:proof by contradiction
408:
31:mathematical constant
3058:Transcendental number
3028:transcendental number
2963:
2943:
2913:
2856:
2805:
2759:
2708:
2688:
2662:
2636:
2589:
2559:
2499:
2476:
2350:
2252:
2195:
2139:
2077:
2049:
2047:{\displaystyle s_{n}}
2019:
1957:
1895:
1675:
1646:
1508:
1441:
1391:
1338:
1169:. For all terms with
1151:
1090:
1046:
1007:
931:
882:
814:
742:
693:
513:
469:
409:
180:Schanuel's conjecture
3495:Proofs from THE BOOK
3187:. pp. 185–190.
3022:further proved that
2952:
2922:
2865:
2814:
2768:
2764:is an integer, i.e.
2717:
2697:
2671:
2645:
2598:
2568:
2511:
2488:
2365:
2154:
2061:
2031:
1925:
1704:
1658:
1382:
1187:
987:
781:
667:
660:. Define the number
460:
272:
63:Exponential function
24:a series of articles
3474:. pp. 129–133.
3468:Mathematische Werke
3257:2006math......1660C
2660:{\displaystyle p,q}
407:{\displaystyle e=.}
134:representations of
3579:Irrational numbers
3502:. pp. 27–36.
3490:Ziegler, GĂĽnter M.
3139:10.1007/bf01699475
2958:
2938:
2908:
2851:
2800:
2754:
2703:
2683:
2667:are co-prime, and
2657:
2631:
2584:
2554:
2494:
2471:
2345:
2134:
2044:
2014:
1890:
1670:
1641:
1333:
1162:We now prove that
1146:
960:We now prove that
926:
737:
508:
404:
225:was introduced by
3517:978-3-642-00855-9
3447:. 1 (in French).
3422:. 1 (in French).
3194:978-0-88385-563-8
3174:is irrational?".
3066:is transcendental
3036:for any non-zero
2961:{\displaystyle e}
2706:{\displaystyle n}
2497:{\displaystyle n}
2469:
2456:
2340:
2313:
2247:
2129:
2009:
1936:
1867:
1825:
1792:
1750:
1633:
1616:
1613:
1579:
1558:
1503:
1436:
1328:
1288:
1208:
1135:
1080:
1041:
921:
848:
809:
727:
503:
216:
215:
79:compound interest
58:Natural logarithm
3586:
3544:
3543:
3528:
3522:
3521:
3482:
3476:
3475:
3459:
3453:
3452:
3434:
3428:
3427:
3409:
3403:
3400:
3394:
3393:
3362:is irrational".
3355:
3349:
3348:
3309:is irrational".
3302:
3296:
3295:
3283:
3277:
3276:
3265:10.2307/27641837
3250:
3224:
3218:
3213:
3207:
3206:
3182:
3177:How Euler did it
3167:
3161:
3160:
3150:
3118:
3112:
3111:
3101:
3091:
3035:
2967:
2965:
2964:
2959:
2947:
2945:
2944:
2939:
2937:
2936:
2917:
2915:
2914:
2909:
2907:
2906:
2860:
2858:
2857:
2852:
2850:
2849:
2809:
2807:
2806:
2801:
2796:
2763:
2761:
2760:
2755:
2753:
2752:
2712:
2710:
2709:
2704:
2692:
2690:
2689:
2684:
2666:
2664:
2663:
2658:
2640:
2638:
2637:
2632:
2624:
2613:
2612:
2594:is rational, so
2593:
2591:
2590:
2585:
2583:
2582:
2563:
2561:
2560:
2555:
2553:
2552:
2503:
2501:
2500:
2495:
2480:
2478:
2477:
2472:
2470:
2462:
2457:
2455:
2444:
2439:
2435:
2434:
2433:
2412:
2411:
2354:
2352:
2351:
2346:
2341:
2339:
2319:
2314:
2312:
2304:
2303:
2302:
2283:
2280:
2266:
2248:
2246:
2238:
2237:
2236:
2217:
2214:
2209:
2191:
2190:
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