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995:
187:
One day in 1926, J. F. Petrie told me with much excitement that he had discovered two new regular polyhedral; infinite but free of false vertices. When my incredulity had begun to subside, he described them to me: one consisting of squares, six at each vertex, and one consisting of hexagons, four at
182:
He first noted the importance of the regular skew polygons which appear on the surface of regular polyhedra and higher polytopes. Coxeter explained in 1937 how he and Petrie began to expand the classical subject of regular polyhedra:
175:. He was born in 1907 and as a schoolboy showed remarkable promise of mathematical ability. In periods of intense concentration he could answer questions about complicated four-dimensional objects by
6075:
1071:} can also be determined, such that every three consecutive sides (but no four) belong to one of the polychoron's cells. As the surface of a 4-polytope is a 3-dimensional space (the
731:
4241:
3657:
3205:
989:) can also be defined as being the Petrie polygons of the regular tilings, having angles of 90, 120, and 60 degrees of their square, hexagon and triangular faces respectively.
772:
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539:
529:
510:
500:
481:
471:
53:. Seen from the solid's 5-fold symmetry axis it looks like a regular decagon. Every pair of consecutive sides belongs to one pentagon (but no triple does).
125:
onto a plane such that one Petrie polygon becomes a regular polygon with the remainder of the projection interior to it. The plane in question is the
5953:
202:
for publication. Realizing the geometric facility of the skew polygons used by Petrie, Coxeter named them after his friend when he wrote
370:
on the right it can be seen that their Petrie polygons have rectangular intersections in the points where the edges touch the common
337:
5871:
145:. These polygons and projected graphs are useful in visualizing symmetric structure of the higher-dimensional regular polytopes.
5904:
5306:
6065:
296:
5952:
H.S.M. Coxeter (1937) "Regular skew polyhedral in three and four dimensions and their topological analogues",
763:
722:
1436:
The Petrie polygon projections are useful for the visualization of polytopes of dimension four and higher.
858:
846:
782:
246:
1001:
Infinite regular skew polygons also exist as Petrie polygons of the regular hyperbolic tilings, like the
152:. They form the faces of another embedding of the same graph, usually on a different surface, called the
1498:
Each triple of consecutive sides of the 4-cube's Petrie octagon belongs to one of its eight cube cells.
662:
The concentric rings of vertices are counted starting from the outside working inwards with a notation:
6057:
255:
5907:
1797:
1496:
Each pair of consecutive sides of the 3-cube's Petrie hexagon belongs to one of its six square faces.
1002:
754:
713:
328:
198:
172:
395:
6005:
5329:
1540: = 1 the first and the second half are the two distinct but coinciding edges of a digon.)
287:
5986:
5299:
832:
825:
818:
811:
5940:
5974:
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1789:
1781:
1714:
423:
416:
319:
122:
110:
is a skew polygon such that every two consecutive sides (but no three) belongs to one of the
33:
5368:
5346:
5334:
409:
402:
5935:
5500:
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1010:
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115:
43:
8:
5855:
5754:
5504:
1805:
1491:
looks identical to the 1-cube. But the 1-cube has a single edge, while the digon has two.
790:
455:
1075:), the Petrie polygon of a regular 4-polytope is a 3-dimensional helix in this surface.
6229:
5724:
5674:
5624:
5581:
5551:
5511:
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6040:
5900:
5863:
994:
852:
204:
24:
6110:
5926:(2000), "Bridges between geometry and graph theory", in Gorini, Catherine A. (ed.),
5919:
6129:
6091:
5930:, MAA Notes, vol. 53, Washington, DC: Math. Assoc. America, pp. 174–194,
5867:
5432:
5421:
5410:
5399:
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5966:
5896:
5807:
193:
138:
130:
6186:
6167:
5909:(Definition: paper 13, Discrete groups generated by reflections, 1933, p. 161)
5899:, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
4357:
4193:
310:
6223:
6148:
5824:
5712:
5705:
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1812:
1776:
367:
142:
126:
2282:
1664:
1053:. Every triple of consecutive sides belongs to one of its eight cubic cells.
1027:
366:}, are contained within the same projected Petrie polygon. In the images of
5764:
5168:
2276:
1467:
168:
165:
76:
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2841:
2315:
2234:
2127:
431:
153:
1725:
which generate semiregular and uniform polytopes for dimensions 4 to 8.
1701:
This table represents Petrie polygon projections of 3 regular families (
1017:
5759:
5743:
5693:
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The Petrie polygons are the exterior of these orthogonal projections.
371:
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6025:. Section 4.3 Flags and Orthoschemes, Section 11.3 Petrie polygons
1036:
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1987:
1934:
1505: + 1 can be constructed from that for dimension
1432:
The Petrie polygon projections of regular and uniform polytopes
1198:
1127:
1082:
218:
6124:
5987:
http://cms.math.ca/openaccess/cjm/v10/cjm1958v10.0220-0221.pdf
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2211:
1488:
674:, ...), ending in zero if there are no central vertices.
2427:
2377:
2172:
2133:
1544:
The sides of each Petrie polygon belong to these dimensions:
1474: − 1 sides of the Petrie polygon among its edges.
5488:
3763:
3239:
2166:
437:
6200:
4956:
3237:
2514:
2027:
6105:
4550:
3936:
1964:
6014:
pp. 24–25, and
Chapter 12, pp. 213–235,
6181:
6162:
6086:
6143:
1494:
The 2-cube's Petrie square is identical to the 2-cube.
148:
Petrie polygons can be defined more generally for any
1501:
The images show how the Petrie polygon for dimension
1018:
The Petrie polygon of regular polychora (4-polytopes)
5893:
Kaleidoscopes: Selected
Writings of H. S. M. Coxeter
1632:consecutive sides belong to different dimensions.
211:The idea of Petrie polygons was later extended to
1515:(edges between vertices with numbers < 2)
6221:
1696:
164:John Flinders Petrie (1907–1972) was the son of
1520:The second half is moved to the next dimension
5954:Proceedings of the London Mathematical Society
5918:
4355:
4273:
4191:
3761:
3689:
3617:
3175:
1992:
1059:The Petrie polygon for the regular polychora {
114:. Petrie polygons are named for mathematician
5300:
797:Petrie polygons for Kepler–Poinsot polyhedra
219:The Petrie polygons of the regular polyhedra
6028:Ball, W. W. R. and H. S. M. Coxeter (1987)
121:For every regular polytope there exists an
6072:ON THE NUMBER OF SIDES OF A PETRIE POLYGON
6010:, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (sec 2.6
5307:
5293:
192:In 1938 Petrie collaborated with Coxeter,
6032:, 13th ed. New York: Dover. (p. 135)
133:of the polygon, and the number of sides,
106:is the regular polygon itself; that of a
5271:
4835:
4437:
3833:
3299:
2897:
2894:
2238:
2056:
1962:
5872:List of regular polytopes and compounds
1731:Table of irreducible polytope families
6222:
6201:
6182:
6163:
6144:
6125:
6106:
6087:
6037:The Beauty of Geometry: Twelve Essays
5969:, H. T. Flather, J. F. Petrie (1938)
5977:studies, mathematical series 6: 1–26
378:Petrie polygons for Platonic solids
16:Skew polygon derived from a polytope
6030:Mathematical Recreations and Essays
1531:are added to connect the two parts.
13:
1466: − 1)-cubes forming its
1456:, which is also the number of its
14:
6241:
6080:
5260:
5255:
5250:
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227:
32:
23:
6016:The generalized Petrie polygon
1903:
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1879:
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196:, and H. T. Flather to produce
5980:
5959:
5946:
5912:
5886:
1452:has a Petrie polygon of size 2
376:
1:
5995:
5895:, edited by F. Arthur Sherk,
1868:
1837:
1697:Irreducible polytope families
1439:
5172:
5063:
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608:
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338:Dodecahedron and icosahedron
7:
5281:
1522:(2 added to vertex numbers)
781:The Petrie polygons of the
10:
6246:
6058:Cambridge University Press
6054:Abstract Regular Polytopes
6004:, H. S. M. (1947, 63, 73)
5861:
5288:
1730:
1045:The Petrie polygon of the
159:
42:The Petrie polygon of the
6035:Coxeter, H. S. M. (1999)
6023:Regular complex polytopes
5971:The Fifty-nine Icosahedra
1915:
1867:
1836:
1826:
1816:
1804:
1484:
1479:
1003:order-7 triangular tiling
804:
801:
676:The number of sides for {
658:
388:
385:
199:The Fifty-Nine Icosahedra
5879:
783:Kepler–Poinsot polyhedra
684:} is 24/(10 −
94:) belongs to one of the
6130:"Cross polytope graphs"
6021:Coxeter, H.S.M. (1974)
6052:, Egon Schulte (2002)
1425::((30,60),60,30,60,0)
6039:, Dover Publications
5975:University of Toronto
1715:exceptional Lie group
1487:The 1-cubes's Petrie
775:with Petrie decagrams
213:semiregular polytopes
123:orthogonal projection
5939:. See in particular
1517:remains where it is.
734:with Petrie hexagons
340:with Petrie decagons
299:with Petrie hexagons
116:John Flinders Petrie
6206:"Gosset graph 3_21"
5856:pentagonal polytope
5755:Uniform 10-polytope
5315:Fundamental convex
1806:pentagonal polytope
798:
379:
297:Cube and octahedron
258:with Petrie squares
6203:Weisstein, Eric W.
6184:Weisstein, Eric W.
6165:Weisstein, Eric W.
6146:Weisstein, Eric W.
6127:Weisstein, Eric W.
6111:"Hypercube graphs"
6108:Weisstein, Eric W.
6089:Weisstein, Eric W.
6070:Steinberg, Robert,
5965:H. S. M. Coxeter,
5725:Uniform 9-polytope
5675:Uniform 8-polytope
5625:Uniform 7-polytope
5582:Uniform 6-polytope
5552:Uniform 5-polytope
5512:Uniform polychoron
5475:Uniform polyhedron
5323:in dimensions 2–10
1367:V:(30,30,30,30,0)
796:
377:
108:regular polyhedron
6007:Regular Polytopes
5905:978-0-471-01003-6
5877:
5876:
5864:Polytope families
5321:uniform polytopes
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1529:(shown in orange)
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696:
692:) − 2.
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