Perturbation theory (quantum mechanics)

12183: 6890: 12178:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad +V_{nn}\left(-2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}} 6085: 5121: 6080:{\displaystyle {\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}} 24769: 24068: 32745: 32097: 16623: 24764:{\displaystyle {\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}} 12188: 32740:{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)=1&-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{n}\langle n|V|n\rangle t-{\frac {i\lambda ^{2}}{\hbar }}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle t^{2}+\cdots \\&+\lambda \sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle \langle n|+\lambda ^{2}\sum _{m\neq n}\sum _{q\neq n}\sum _{n}{\frac {\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{q}-E_{n})}}|m\rangle \langle q|+\cdots \end{aligned}}} 31248: 3519: 25428: 16618:{\displaystyle {\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg }|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg }|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg }|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}} 30653: 6705: 3124: 25002: 22121: 21052: 6157: 31243:{\displaystyle U(t)=1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\cdots } 38: 35390: 21791: 3514:{\displaystyle {\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}} 20693: 25586:. It is an extremely valuable tool for calculating the properties of any physical system. It is used for the quantitative description of phenomena as diverse as proton-proton scattering, photo-ionization of materials, scattering of electrons off lattice defects in a conductor, scattering of neutrons off nuclei, electric susceptibilities of materials, neutron absorption cross sections in a nuclear reactor, and much more. 22261:. This convention will be adopted throughout this subsection, that all functions without the parameter dependence explicitly stated are assumed to be evaluated at the origin. The power series may converge slowly or even not converge when the energy levels are close to each other. The adiabatic assumption breaks down when there is energy level degeneracy, and hence the perturbation theory is not applicable in that case. 2683: 25423:{\displaystyle H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu }\right)=\langle m|H|n\rangle +\delta _{nm}\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+{\frac {1}{2!}}\sum _{l\in {\mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{l}}}+{\frac {\langle m|\partial _{\nu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{l}}}\right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .} 17675: 35167: 33447: 1577: 18035: 5115: 1307: 1064: 23431: 6700:{\displaystyle E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.} 35172: 23969: 2448: 22578: 23748: 17326: 34917: 33224: 1326: 359:. Imagine, for example, that we have a system of free (i.e. non-interacting) particles, to which an attractive interaction is introduced. Depending on the form of the interaction, this may create an entirely new set of eigenstates corresponding to groups of particles bound to one another. An example of this phenomenon may be found in conventional 22116:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu }\partial _{\mu }E_{n}+{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}+\cdots \\\left|n(x^{\mu })\right\rangle &=|n\rangle +x^{\mu }|\partial _{\mu }n\rangle +{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }|\partial _{\mu }\partial _{\nu }n\rangle +\cdots \end{aligned}}} 17682: 21047:{\displaystyle \left|\psi _{nk}\right\rangle =\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle +\lambda \sum \limits _{m\neq n}{\frac {V_{m,nk}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\left(-\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle +\sum \limits _{l\neq k}{\frac {V_{nl,m}}{E_{nl}^{(1)}-E_{nk}^{(1)}}}\left|\psi _{nl}^{(0)}\right\rangle \right)+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2})\,.} 4833: 4555:, which is why it was assumed that there is no degeneracy. The above formula for the perturbed eigenstates also implies that the perturbation theory can be legitimately used only when the absolute magnitude of the matrix elements of the perturbation is small compared with the corresponding differences in the unperturbed energy levels, i.e., 1069: 820: 17037: 30636: 29238: 33822: 23165: 3038: 20669: 23077: 4449: 3790: 2444: 27291: 23774: 27642: 4152: 36076: 22367: 23559: 23151:

can be discussed separately. The first case will lead to the first theorem and the second case to the second theorem, which can be shown immediately by rearranging the terms. With the differential rules given by the Hellmann–Feynman theorems, the perturbative correction to the energies and states can

36464: 24773:

Both energy derivatives and state derivatives will be involved in deduction. Whenever a state derivative is encountered, resolve it by inserting the complete set of basis, then the Hellmann-Feynman theorem is applicable. Because differentiation can be calculated systematically, the series expansion

1871: 443:

Time-independent perturbation theory is one of two categories of perturbation theory, the other being time-dependent perturbation (see next section). In time-independent perturbation theory, the perturbation Hamiltonian is static (i.e., possesses no time dependence). Time-independent perturbation

32933:

and we consider the question if a dual Dyson series exists that applies in the limit of a perturbation increasingly large. This question can be answered in an affirmative way and the series is the well-known adiabatic series. This approach is quite general and can be shown in the following way.

36986: 36268: 18265: 35385:{\displaystyle E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=\lambda {\frac {3}{4}}{\frac {1}{\alpha ^{2}}}={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}\lambda }{m^{2}\omega ^{2}}}.} 18278:. The first-order energy shift is not well defined, since there is no unique way to choose a basis of eigenstates for the unperturbed system. The various eigenstates for a given energy will perturb with different energies, or may well possess no continuous family of perturbations at all. 19098: 27002:

play a similar role as in time-independent perturbation theory, being proportional to the rate at which amplitudes are shifted between states. Note, however, that the direction of the shift is modified by the exponential phase factor. Over times much longer than the energy difference

33186: 27892: 19295: 22815: 1318:, these reduce to the unperturbed values, which are the first term in each series. Since the perturbation is weak, the energy levels and eigenstates should not deviate too much from their unperturbed values, and the terms should rapidly become smaller as the order is increased. 28393: 2678:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1} 16790: 26882: 30430: 29024: 17670:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle -{\text{subtractions}}.} 4824: 34721: 33627: 2802: 37290: 2873: 35162:{\displaystyle E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int e^{-\alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}dx=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\int e^{-\alpha x^{2}}dx,} 35876: 33442:{\displaystyle {\begin{aligned}V(t)|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{0}\rangle }{\partial \tau }}\\V(t)|\psi _{1}\rangle +H_{0}|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{1}\rangle }{\partial \tau }}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}} 1572:{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).} 20454: 22907: 4263: 25589:

Since the perturbed Hamiltonian is time-dependent, so are its energy levels and eigenstates. Thus, the goals of time-dependent perturbation theory are slightly different from time-independent perturbation theory. One is interested in the following quantities:

18030:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}ds_{i}\,e^{-(s_{i}-E_{n}^{(0)})\tau _{i}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1})\,} 21781:

The validity of perturbation theory lies on the adiabatic assumption, which assumes the eigenenergies and eigenstates of the Hamiltonian are smooth functions of parameters such that their values in the vicinity region can be calculated in power series (like

18624: 5110:{\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})} 3613: 20336: 37563: 2298: 18833: 26655: 35499: 611: 1302:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0}\\\left|n^{(k)}\right\rangle &=\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\right|_{\lambda =0.}\end{aligned}}} 3981: 1059:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}} 35883: 39157: 36273: 1696: 23426:{\displaystyle E_{n}(x^{\mu })=\langle n|H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+\Re \sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}x^{\mu }x^{\nu }+\cdots ,} 33611: 34814: 36081: 29015: 18492: 17248: 36783: 32929: 28020: 18048: 26028: 28817: 27419: 27059: 33051: 24049: 18911: 1689: 26484: 33067: 32012: 2013: 26183: 21144: 4692: 19109: 32747:

where the time secular series yields the eigenvalues of the perturbed problem specified above, recursively; whereas the remaining time-constant part yields the corrections to the stationary eigenfunctions also given above

23964:{\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\langle \partial _{\mu }n|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle \right),} 22681: 28186: 22350: 26701: 25644:

physics, where one is interested in the populations of different atomic states in a gas when a time-dependent electric field is applied. These probabilities are also useful for calculating the "quantum broadening" of

25536:

In a formal way it is possible to define an effective Hamiltonian that gives exactly the low-lying energy states and wavefunctions. In practice, some kind of approximation (perturbation theory) is generally required.

22573:{\displaystyle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}},\qquad \langle \partial _{\mu }m|n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{n}}}.} 23743:{\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\langle \partial _{\mu }n|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|\partial _{\mu }n\rangle .} 3108: 2246: 4706: 34595: 30645:

As an aside, note that time-independent perturbation theory is also organized inside this time-dependent perturbation theory Dyson series. To see this, write the unitary evolution operator, obtained from the above

18349:

are non-zero, so complete mixing of at least some of these states is assured. Typically, the eigenvalues will split, and the eigenspaces will become simple (one-dimensional), or at least of smaller dimension than

2687: 770: 35641: 28177: 26993: 37103: 27701: 27414: 33229: 36788: 35736: 30337: 29900: 24061:

can be excluded from the summation, which avoids the singularity of the energy denominator. The same procedure can be carried on for higher order derivatives, from which higher order corrections are obtained.

4551:, which means that the perturbation deforms the eigenstate to a greater extent if there are more eigenstates at nearby energies. The expression is singular if any of these states have the same energy as state 34434: 35729: 24977: 19415: 6801: 28691: 322:

Under some circumstances, perturbation theory is an invalid approach to take. This happens when the system we wish to describe cannot be described by a small perturbation imposed on some simple system. In

32818: 31382: 27055:

However, exact solutions are difficult to find when there are many energy levels, and one instead looks for perturbative solutions. These may be obtained by expressing the equations in an integral form,

25830: 32093:

gives back the final state of the system by eliminating all oscillating terms, but keeping the secular ones. The integrals are thus computable, and, separating the diagonal terms from the others yields

21796: 5126: 3112:

To obtain the first-order correction to the energy eigenstate, the expression for the first-order energy correction is inserted back into the result shown above, equating the first-order coefficients of

1074: 825: 19333:, where near-degeneracy, treated properly, gives rise to an energy gap even for small perturbations. Other eigenstates will only shift the absolute energy of all near-degenerate states simultaneously. 18503: 162:) can be expressed as "corrections" to those of the simple system. These corrections, being small compared to the size of the quantities themselves, can be calculated using approximate methods such as 36572: 34910: 19329:

Near-degenerate states should also be treated similarly, when the original Hamiltonian splits aren't larger than the perturbation in the near-degenerate subspace. An application is found in the

37682:

Aoyama, Tatsumi; Hayakawa, Masashi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (2012). "Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization".

18689: 17115: 30397: 26499: 37377: 35402: 23552: 6881: 6147: 486: 20218: 19830: 19622: 210:

Perturbation theory is applicable if the problem at hand cannot be solved exactly, but can be formulated by adding a "small" term to the mathematical description of the exactly solvable problem.

32102: 24073: 19998: 19668: 12193: 6895: 3129: 37108: 21731: 4533: 2129: 23129: 31372: 31310: 30024: 29969: 28883: 25531: 17032:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau )V(0)|n^{(0)}\rangle -\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle ^{2}=\mathrel {\mathop {:} } \int _{\mathbb {R} }\!ds\;\rho _{n,2}(s)\,e^{-(s-E_{n}^{(0)})\tau }} 4214: 2868: 39102: 37424: 22259: 21216: 20404: 30631:{\displaystyle A_{\alpha \beta }=-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle \beta |V(t_{1})|\alpha \rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })(t_{1}-t_{0})}~,} 22674: 29233:{\displaystyle \lambda e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}~,} 22900: 33817:{\displaystyle e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{F}(t)\rangle }{\partial t}}} 24917: 22176: 25473: 20223: 33501: 27696: 21517: 36623: 34851: 34728: 26290:

on the right hand side. This is only a matter of convention, and may be done without loss of generality. The reason we go to this trouble is that when the system starts in the state

3033:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =-\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,} 282:. In practice, convergent perturbation expansions often converge slowly while divergent perturbation expansions sometimes give good results, c.f. the exact solution, at lower order. 28895: 18380: 17126: 4701:

We can find the higher-order deviations by a similar procedure, though the calculations become quite tedious with our current formulation. Our normalization prescription gives that

26288: 21284: 2286: 166:. The complicated system can therefore be studied based on knowledge of the simpler one. In effect, it is describing a complicated unsolved system using a simple, solvable system. 36669: 32839: 27930: 21607: 21416: 21357: 35531: 25943: 21468: 20664:{\displaystyle E_{nk}=E_{n}^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda ^{2}\sum \limits _{m\neq n}{\frac {\left|V_{m,nk}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}+{\mathcal {O}}(\lambda ^{3})\,,} 28699: 24853: 24822: 23072:{\displaystyle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle +E_{m}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}\langle m|n\rangle +E_{n}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle .} 19512: 4444:{\displaystyle \left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .} 25934: 18330: 684: 39147: 32939: 16714: 4255: 3976: 3846: 3605: 3560: 2170: 2061: 1914: 34465: 33217: 32080: 30425: 19781: 1592: 35569: 34565: 26384: 25897: 25698:

for the unperturbed system. (We drop the (0) superscripts for the eigenstates, because it is not useful to speak of energy levels and eigenstates for the perturbed system.)

24997:

be the coupling terms connecting the subspaces. Then when the high energy degrees of freedoms are integrated out, the effective Hamiltonian in the low energy subspace reads

21654: 19451: 16785: 37610: 18866: 18651: 3785:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39152: 38393: 25696: 21549: 37415: 31377: 20062: 19952: 19888: 19752: 19573: 19324: 18895: 18680: 17321: 17288: 3884: 2439:{\displaystyle \left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1} 1923: 411:. Perturbation theory can only detect solutions "close" to the unperturbed solution, even if there are other solutions for which the perturbative expansion is not valid. 34493: 26692: 26316: 26058: 25727: 22845: 20169: 19914: 19480: 807: 32823:

The unitary evolution operator is applicable to arbitrary eigenstates of the unperturbed problem and, in this case, yields a secular series that holds at small times.

21222:, which basically defines the derivatives of the quantum states and calculates the perturbative corrections by taking derivatives iteratively at the unperturbed point. 20104: 36664: 21059: 20689: 20450: 20140: 32047: 20430: 20024: 19714: 3935: 3909: 34572: 34568: 33489: 33486: 23451: 4147:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 154:

representing a weak disturbance to the system. If the disturbance is not too large, the various physical quantities associated with the perturbed system (e.g. its

55: 16740: 36071:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\,d\phi \right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},} 22280: 36491: 19850: 19688: 19535: 391:

of the expansion parameter. However, if we "integrate" over the solitonic phenomena, the nonperturbative corrections in this case will be tiny; of the order of

23974: 3043: 2178: 642:

be a dimensionless parameter that can take on values ranging continuously from 0 (no perturbation) to 1 (the full perturbation). The perturbed Hamiltonian is:

38771: 36459:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{-2n-1}}\right)={\frac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}.} 33190:

but a direct substitution into the above equation fails to produce useful results. This situation can be adjusted making a rescaling of the time variable as

691: 35576: 28025: 1866:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39140: 38776: 27023:

is sufficiently slow, this may cause the state amplitudes to oscillate. (For example, such oscillations are useful for managing radiative transitions in a

27305: 25629:-direction of the electron in a hydrogen atom, in which case the expected value, when multiplied by an appropriate coefficient, gives the time-dependent 431:. Computers have also been used to carry out perturbation theory calculations to extraordinarily high levels of precision, which has proven important in 36263:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\left(\delta _{n,1-k}+\delta _{n,-1-k}\right)\right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},} 30029: 29247: 26068: 33847: 4558: 18260:{\displaystyle E_{n}^{(k)}=(-1)^{k-1}\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}{\frac {ds_{i}}{s_{i}-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1}).} 35646: 21422:

over the parameter manifold, on which derivatives of these states can be defined. The perturbation theory is to answer the following question: given

19347: 6719: 809:

in terms of the energy levels and eigenstates of the old Hamiltonian. If the perturbation is sufficiently weak, they can be written as a (Maclaurin)

32049:

and the asymptotic limit of larger times. This means that, at each contribution of the perturbation series, one has to add a multiplicative factor

28402: 27637:{\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}^{(0)}\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 27286:{\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 452:, who investigated harmonic vibrations of a string perturbed by small inhomogeneities. This is why this perturbation theory is often referred to as 150:

in terms of a simpler one. The idea is to start with a simple system for which a mathematical solution is known, and add an additional "perturbing"

102: 38386: 25744: 74: 38500: 19093:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle .} 2063:, which is a valid quantum state though no longer an energy eigenstate. The perturbation causes the average energy of this state to increase by 39135: 36499: 22269:

The above power series expansion can be readily evaluated if there is a systematic approach to calculate the derivates to any order. Using the

245:) is very long. This instability shows up as a broadening of the energy spectrum lines, which perturbation theory fails to reproduce entirely. 34856: 33181:{\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{0}\rangle +{\frac {1}{\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\frac {1}{\lambda ^{2}}}|\psi _{2}\rangle +\ldots } 2022:

This result can be interpreted in the following way: supposing that the perturbation is applied, but the system is kept in the quantum state

248:

The expressions produced by perturbation theory are not exact, but they can lead to accurate results as long as the expansion parameter, say

81: 26899: 25633:

of a hydrogen gas. With an appropriate choice of perturbation (i.e. an oscillating electric potential), this allows one to calculate the AC

38953: 27030:

Up to this point, we have made no approximations, so this set of differential equations is exact. By supplying appropriate initial values

6805: 278:). There exist ways to convert them into convergent series, which can be evaluated for large-expansion parameters, most efficiently by the 38379: 19290:{\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle ,} 22810:{\displaystyle \partial _{\mu }H|n\rangle +H|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}|n\rangle +E_{n}|\partial _{\mu }n\rangle .} 21659: 38998: 88: 28388:{\displaystyle TA(t_{1})A(t_{2})={\begin{cases}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{cases}}~.} 31260: 24922: 27044:, we could in principle find an exact (i.e., non-perturbative) solution. This is easily done when there are only two energy levels ( 19341:

Let us consider degenerate energy eigenstates and a perturbation that completely lifts the degeneracy to first order of correction.

18897:, compared to the range of energies found in the system, it is crucial in understanding certain details, such as spectral lines in 38505: 33619:

as we are trying to eliminate the interaction term. Now, in dual way with respect to the small perturbations, we have to solve the

32751: 26877:{\displaystyle {\frac {dc_{n}}{dt}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\langle n|V(t)|k\rangle \,c_{k}(t)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }~.} 198:, are too idealized to adequately describe most systems. Using perturbation theory, we can use the known solutions of these simple 70: 18339:

denote the subspace spanned by these degenerate eigenstates. No matter how small the perturbation is, in the degenerate subspace

4819:{\displaystyle 2\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.} 449: 448:

in a 1926 paper, shortly after he produced his theories in wave mechanics. In this paper Schrödinger referred to earlier work of

34716:{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}+\lambda x^{4}.} 21230:

From the differential geometric point of view, a parameterized Hamiltonian is considered as a function defined on the parameter

2797:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.} 376: 279: 28693:

Note that in the second term, the 1/2! factor exactly cancels the double contribution due to the time-ordering operator, etc.

27887:{\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 25640:

The second quantity looks at the time-dependent probability of occupation for each eigenstate. This is particularly useful in

21297:

that acts on the Hilbert space. The parameters here can be external field, interaction strength, or driving parameters in the

1916:, the first term on the left-hand side cancels the first term on the right-hand side. (Recall, the unperturbed Hamiltonian is 38515: 38102: 38023: 37941: 37919: 37836: 17042: 2016: 688:

The energy levels and eigenstates of the perturbed Hamiltonian are again given by the time-independent Schrödinger equation,

348: 36991: 30344: 25668:

We will briefly examine the method behind Dirac's formulation of time-dependent perturbation theory. Choose an energy basis

39081: 36981:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}{r}}\,dx'dy'dz',} 35871:{\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2\pi }}\int e^{-in\phi }\cos \phi e^{in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0.} 32831:

In a similar way as for small perturbations, it is possible to develop a strong perturbation theory. Consider as usual the

23505: 6090: 630:

be a Hamiltonian representing a weak physical disturbance, such as a potential energy produced by an external field. Thus,

20174: 19786: 19578: 38535: 38530: 19957: 19627: 27900:, which relates the rate of transitions between quantum states to the density of states at particular energies; or the 25609:

a given time-dependent state) of those basis states that are energy eigenkets (eigenvectors) in the unperturbed system.

24065:

The same computational scheme is applicable for the correction of states. The result to the second order is as follows

22277:

are used to calculate these single derivatives. The first Hellmann–Feynman theorem gives the derivative of the energy,

18284: 4470: 2175:

Before corrections to the energy eigenstate are computed, the issue of normalization must be addressed. Supposing that

2066: 647: 23084: 38146: 37418: 31315: 29974: 29912: 28826: 25478: 4159: 2813: 423:. It has become practical to obtain numerical non-perturbative solutions for certain problems, using methods such as 121: 38317:

Lifshitz, E. M., & LD and Sykes Landau (JB). (1965). Quantum Mechanics; Non-relativistic Theory. Pergamon Press.

37957:

Hogervorst M, Meineri M, Penedones J, Salehi Vaziri K (2021). "Hamiltonian truncation in Anti-de Sitter spacetime".

35536: 30638:

as detailed in the previous section——while the corresponding transition probability to a continuum is furnished by

25848: 22213: 21156: 2131:. However, the true energy shift is slightly different, because the perturbed eigenstate is not exactly the same as 38948: 38632: 20341: 18619:{\displaystyle V|k^{(0)}\rangle =\epsilon _{k}|k^{(0)}\rangle +{\text{small}}\qquad \forall |k^{(0)}\rangle \in D,} 95: 22621: 20331:{\displaystyle V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 38695: 38455: 37295: 27905: 22850: 21153:

The generalization of time-independent perturbation theory to the case where there are multiple small parameters

6149:), we obtain the same expression for the second-order correction to the wave function, except for the last term. 199: 183: 151: 37655:

Simon, Barry (1982). "Large orders and summability of eigenvalue perturbation theory: A mathematical overview".

24865: 22143: 18828:{\displaystyle \langle k^{(0)}|V|l^{(0)}\rangle =V_{kl}\qquad \forall \;|k^{(0)}\rangle ,|l^{(0)}\rangle \in D.} 18496:

For the first-order perturbation, we need solve the perturbed Hamiltonian restricted to the degenerate subspace

38622: 38134: 27644:

To the same approximation, the summation in the above expression can be removed since in the unperturbed state

26650:{\displaystyle \sum _{n}\left(i\hbar {\frac {dc_{n}}{dt}}-c_{n}(t)V(t)\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =0~.} 25435: 16666: 59: 37792:

Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [Quantization as an eigenvalue problem].

35494:{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}-\lambda \cos \phi } 27647: 21473: 606:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots } 39211: 38627: 38520: 37636: 34819: 34587: 25621:

measurement performed on a macroscopic number of copies of the perturbed system. For example, we could take

36577: 39206: 39181: 38525: 37285:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr)\,dx'dy',} 26237: 22354:

The second Hellmann–Feynman theorem gives the derivative of the state (resolved by the complete basis with

22274: 21237: 2251: 17: 24774:

approach to the perturbative corrections can be coded on computers with symbolic processing software like

21568: 21377: 21318: 38567: 35504: 26032:

The quantum state at each instant can be expressed as a linear combination of the complete eigenbasis of

21425: 191: 38366: 25475:

are restricted in the low energy subspace. The above result can be derived by power series expansion of

24827: 24796: 21750:

should be identified as the generalized force operators related to those coordinates. Different indices

19485: 39185: 38649: 37558:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}\,dx',} 25902: 19330: 3118: 2807: 339:(the expansion parameter) becomes too large, violating the requirement that corrections must be small. 16678: 4219: 3940: 3810: 3569: 3524: 2134: 2025: 1878: 619:

superscripts denote that these quantities are associated with the unperturbed system. Note the use of

39045: 38978: 38973: 38936: 38467: 38440: 38410: 34592:

Consider the quantum harmonic oscillator with the quartic potential perturbation and the Hamiltonian

34441: 33193: 32052: 30402: 22273:, the derivatives can be broken down to the single derivative on either the energy or the state. The 19757: 424: 34519: 28239: 21621: 19420: 16748: 38902: 38897: 38806: 38766: 38482: 37910: 36666:

present in the space, in the first approximation, the perturbed state is described by the equation

23971:

then all parts can be calculated using the Hellmann–Feynman theorems. In terms of Lie derivatives,

22183: 21298: 20338:

are diagonal. Assuming also that the degeneracy is completely lifted to the first order, i.e. that

18844: 18629: 37741:

Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences

25671: 21522: 39091: 38359: 38338: 37382: 33606:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle } 33456: 25630: 21754:

label the different forces along different directions in the parameter manifold. For example, if

21056:

Notice that here the first order correction to the state is orthogonal to the unperturbed state,

20029: 19919: 19855: 19719: 19540: 19300: 18898: 18871: 18656: 18281:

This is manifested in the calculation of the perturbed eigenstate via the fact that the operator

18275: 17293: 17255: 3851: 3795: 286: 48: 38727: 36494: 35573:

The unperturbed normalized quantum wave functions are those of the rigid rotor and are given by

34809:{\displaystyle \psi _{0}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-\alpha x^{2}/2}} 34470: 33620: 32832: 29018: 27925: 26669: 26293: 26035: 25704: 22822: 22616: 21618:

Without loss of generality, the coordinate system can be shifted, such that the reference point

20145: 19893: 19456: 784: 478: 179: 39096: 39086: 39060: 38882: 38877: 38872: 38867: 38825: 38788: 38734: 38460: 38450: 38428: 37631: 37626: 30639: 29010:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle ~.} 27897: 25555: 23771:

on the operator level. Resolve the derivative of state by inserting the complete set of basis,

23472:

is given by the first Hellmann–Feynman theorem directly. To obtain the second order derivative

20070: 18487:{\displaystyle |n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{nk}|k^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle .} 18361:. Instead, we consider the perturbation "small" if the new eigenstate is close to the subspace 17243:{\displaystyle E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {ds}{s-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,2}(s).} 324: 38040: 37568: 36628: 25738: 20674: 20435: 20109: 375:. When faced with such systems, one usually turns to other approximation schemes, such as the 39013: 38993: 38931: 38860: 38639: 38617: 38592: 38492: 38159:

Frasca, M. (1998). "Duality in Perturbation Theory and the Quantum Adiabatic Approximation".

36778:{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ^{(1)}+k^{2}\psi ^{(1)}={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi ^{(0)},} 33493: 32924:{\displaystyle H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 32019: 28015:{\displaystyle H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 26695: 21656:

is set to be the origin. The following linearly parameterized Hamiltonian is frequently used

21219: 20409: 20003: 19693: 3914: 3563: 1586: 419:

The problem of non-perturbative systems has been somewhat alleviated by the advent of modern

260:

that seem to converge to the exact values when summed to higher order. After a certain order

35394: 26023:{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.} 186:

of even moderate complexity. The Hamiltonians to which we know exact solutions, such as the

39171: 39065: 39050: 38965: 38892: 38855: 38850: 38840: 38600: 38554: 38284: 38231: 38178: 38052: 37976: 37865: 37801: 37748: 37701: 28812:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}~,} 22179: 2172:. These further shifts are given by the second and higher order corrections to the energy. 1589:. The zeroth-order equation is simply the Schrödinger equation for the unperturbed system, 620: 302: 34588:

Example of first-order perturbation theory – ground-state energy of the quartic oscillator

33462: 32016:

It is evident that, at second order, one must sum on all the intermediate states. Assume

26318:

and no perturbation is present, the amplitudes have the convenient property that, for all

23436: 445: 8: 39040: 38909: 38820: 38707: 38678: 38402: 33046:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 28889: 25614: 24051:

according to the definition of the connection for the vector bundle. Therefore, the case

24044:{\displaystyle \langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0} 18653:

are first-order corrections to the degenerate energy levels, and "small" is a vector of

16719: 368: 143: 38288: 38235: 38182: 38089:, Graduate Texts in Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 265–310, 38056: 37980: 37869: 37805: 37752: 37705: 3889: 1684:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39177: 38830: 38816: 38798: 38781: 38761: 38744: 38654: 38477: 38300: 38274: 38265:

Frasca, Marco (2007). "A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system".

38247: 38221: 38194: 38168: 37992: 37966: 37891: 37854:"Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package" 37769: 37736: 37717: 37691: 36476: 30026:(for the sake of simplicity assume a pure discrete spectrum), yields, to first order, 26479:{\displaystyle \left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}~.} 19835: 19673: 19520: 19102:

The operator on the left-hand side is not singular when applied to eigenstates outside

18357:

The successful perturbations will not be "small" relative to a poorly chosen basis of

4828:

Up to second order, the expressions for the energies and (normalized) eigenstates are:

1917: 635: 214: 20064:, but not necessarily unique, i.e. not necessarily always different among themselves. 39003: 38739: 38717: 38644: 38605: 38582: 38371: 38142: 38130: 38098: 38019: 37996: 37937: 37915: 37883: 37832: 37774: 37721: 34576: 25595: 17252:

Similar formulas exist to all orders in perturbation theory, allowing one to express

16743: 6152:

Extending the process further, the third-order energy correction can be shown to be

428: 380: 360: 336: 275: 234: 195: 163: 135: 38304: 38251: 38212:

Mostafazadeh, A. (1997). "Quantum adiabatic approximation and the geometric phase".

37895: 32007:{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)=1&-\left\\&-\left+\cdots \end{aligned}}} 2008:{\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 38921: 38712: 38700: 38683: 38661: 38610: 38562: 38423: 38292: 38267:

Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences

38239: 38198: 38186: 38090: 38060: 37984: 37873: 37809: 37764: 37756: 37709: 37664: 26664: 25658: 6710:

Corrections to fifth order (energies) and fourth order (states) in compact notation

2019:

of the perturbation Hamiltonian while the system is in the unperturbed eigenstate.

432: 301:

has been found to agree with experiment to eleven decimal places. In QED and other

271: 26178:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ~,} 23752:

Note that for a linearly parameterized Hamiltonian, there is no second derivative

20432:, we have the following formulae for the energy correction to the second order in 39027: 38983: 38810: 38754: 38749: 38688: 38510: 38435: 38344: 38094: 38011: 27909: 25662: 25650: 25559: 21139:{\displaystyle \left\langle \psi _{nk}^{(0)}|\psi _{nk}^{(1)}\right\rangle =0\,.} 4687:{\displaystyle |\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.} 4543:; it is also inversely proportional to the energy difference between eigenstates 306: 298: 37988: 1321:

Substituting the power series expansion into the Schrödinger equation produces:

38671: 38122: 38082: 37713: 26216: 25654: 23081:

Given that the eigenstates of the Hamiltonian always form an orthonormal basis

18274:

Suppose that two or more energy eigenstates of the unperturbed Hamiltonian are

384: 238: 226: 147: 38351: 38330: 37878: 37853: 36473:

When the unperturbed state is a free motion of a particle with kinetic energy

35733:

The first-order energy correction to the rotor due to the potential energy is

20171:

in the basis of the unperturbed eigenstates. We assume that the basis vectors

473:, which is assumed to have no time dependence. It has known energy levels and 39200: 38988: 38943: 38926: 38572: 38445: 38243: 38190: 37887: 37813: 33452: 27920:

Time-dependent perturbations can be reorganized through the technique of the

26228: 25734: 25646: 25563: 21783: 21419: 474: 222: 218: 187: 178:

systems, as it turns out to be very difficult to find exact solutions to the

159: 270:

however, the results become increasingly worse since the series are usually

237:

with a linear potential is unstable (has no true bound states) although the

39008: 38887: 38666: 38577: 38472: 38296: 37778: 37760: 33831: 30647: 29241: 28396: 27921: 27901: 26493: 25634: 24793:

be the Hamiltonian completely restricted either in the low-energy subspace

22345:{\displaystyle \partial _{\mu }E_{n}=\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle } 4457:-th energy eigenket has a contribution from each of the energy eigenstates 810: 387:

in the unperturbed model and the energy of a soliton typically goes as the

253: 230: 155: 38064: 37668: 21218:

in place of λ can be formulated more systematically using the language of

39119: 39035: 35395:

Example of first- and second-order perturbation theory – quantum pendulum

34512:

and we can go from one to another applying this exchange. This is called

24775: 22606:

The theorems can be simply derived by applying the differential operator

3103:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.} 2241:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,} 435:

for generating theoretical results that can be compared with experiment.

372: 352: 347:

Perturbation theory also fails to describe states that are not generated

297:

interaction is treated perturbatively, the calculation of the electron's

252:, is very small. Typically, the results are expressed in terms of finite 6087:

If an intermediate normalization is taken (it means, if we require that

39055: 38279: 38226: 38173: 37956: 37621: 34499:. The reason is that we have obtained this series simply interchanging 30427:. The corresponding transition probability amplitude to first order is 25551: 22270: 19575:. We will denote the unperturbed states in this degenerate subspace as 765:{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .} 242: 35636:{\displaystyle \psi _{n}(\phi )={\frac {e^{in\phi }}{\sqrt {2\pi }}},} 28172:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =T\exp {\left}|\psi (t_{0})\rangle ~,} 26988:{\displaystyle \langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }} 22186:. All the terms on the right-hand-side of the series are evaluated at 39103:

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

38418: 23454: 19716:

represents all other energy eigenstates with energies different from

19690:

is the index of the unperturbed state in the degenerate subspace and

18837:

This procedure is approximate, since we neglected states outside the

27409:{\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots } 27048:= 1, 2), and this solution is useful for modelling systems like the 27019:, the phase winds around 0 several times. If the time-dependence of 20220:

in the degenerate subspace are chosen such that the matrix elements

1581:

Expanding this equation and comparing coefficients of each power of

37: 37971: 37831:. Vol. I (2nd ed.). London: Macmillan. pp. 115–118. 21374:

respectively. In the language of differential geometry, the states

21231: 4535:, which is a measure of how much the perturbation mixes eigenstate 420: 335:

field cannot be treated perturbatively at low energies because the

290: 233:) can be calculated. This is only approximate because the sum of a 142:

is a set of approximation schemes directly related to mathematical

37696: 30332:{\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~.} 29895:{\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~,} 26488:

Plugging into the Schrödinger equation and using the fact that ∂/∂

25741:, where state vectors evolve in time and operators are constant), 3937:

can be chosen and multiplying the first-order equation through by

615:

For simplicity, it is assumed that the energies are discrete. The

37737:"Density functional theory across chemistry, physics and biology" 34429:{\displaystyle |\psi _{F}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle .} 27049: 427:. These advances have been of particular benefit to the field of 356: 175: 35399:

Consider the quantum-mathematical pendulum with the Hamiltonian

34575:

is a semiclassical series with eigenvalues given exactly as for

25701:

If the unperturbed system is an eigenstate (of the Hamiltonian)

21776: 4216:

also gives us the component of the first-order correction along

2806:

Since the overall phase is not determined in quantum mechanics,

39158:

European Community on Computational Methods in Applied Sciences

38722: 38540: 38010:

Bir, Gennadiĭ Levikovich; Pikus, Grigoriĭ Ezekielevich (1974).

35724:{\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}.} 33496:. Indeed, in this case we introduce the unitary transformation 25606: 24972:{\displaystyle m\in {\mathcal {H}}_{L},l\in {\mathcal {H}}_{H}} 19410:{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}\,,} 6796:{\displaystyle V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle ,} 364: 294: 202:

to generate solutions for a range of more complicated systems.

28686:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~.} 37735:

van Mourik, T.; Buhl, M.; Gaigeot, M.-P. (10 February 2014).

32813:{\displaystyle |n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )} 27024: 25825:{\displaystyle |j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle ~.} 25641: 25613:

The first quantity is important because it gives rise to the

20142:, we denote the matrix elements of the perturbation operator 18908:

can be found in the same way as for the non-degenerate case,

17123:

in the interaction picture, evolving in Euclidean time. Then

371:

leads to the formation of correlated electron pairs known as

332: 328: 174:

Perturbation theory is an important tool for describing real

39153:

International Council for Industrial and Applied Mathematics

35880:

Using the formula for the second-order correction, one gets

33830:

appears only into the exponential and so, the corresponding

18868:

is generally observed. Although the splitting may be small,

4696: 28375: 26234:

We have explicitly extracted the exponential phase factors

15940: 15930: 4788: 4738: 4060: 3072: 3005: 2952: 2902: 2766: 2716: 2645: 2583: 2530: 2477: 2207: 1218: 38331:"L1.1 General problem. Non-degenerate perturbation theory" 37681: 18904:

Higher-order corrections due to other eigenstates outside

6885:

then the energy corrections to fifth order can be written

626:

A perturbation is then introduced to the Hamiltonian. Let

38012:"Chapter 15: Perturbation theory for the degenerate case" 36567:{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0} 27302:

back into right hand side, yields an iterative solution,

25936:

denote the quantum state of the perturbed system at time

21148: 18841:

subspace ("small"). The splitting of degenerate energies

18626:

simultaneously for all the degenerate eigenstates, where

34905:{\displaystyle E_{0}^{(0)}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega } 27908:, which is one of the starting points for the method of 24862:

connecting the low- and the high-energy subspaces, i.e.

33455:

equation. But we know that in this case we can use the

25834:

Now, introduce a time-dependent perturbing Hamiltonian

17110:{\displaystyle V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }} 438: 309:

are used to systematically sum the power series terms.

38401: 37098:{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}} 36580: 34885: 30392:{\displaystyle |\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle } 25566:, studies the effect of a time-dependent perturbation 19754:. The eventual degeneracy among the other states with 38772:

Numerical methods for ordinary differential equations

38016:

Symmetry and Strain-induced Effects in Semiconductors

37734: 37571: 37427: 37385: 37298: 37111: 36994: 36791: 36672: 36631: 36502: 36479: 36468: 36276: 36084: 35886: 35739: 35649: 35579: 35539: 35507: 35405: 35175: 34920: 34859: 34822: 34731: 34598: 34522: 34473: 34444: 33850: 33630: 33504: 33465: 33227: 33196: 33070: 32942: 32842: 32754: 32100: 32055: 32022: 31380: 31318: 31263: 30656: 30433: 30405: 30399:, by dint of the perturbation can go into the state 30347: 30341:

Thus, the system, initially in the unperturbed state

30032: 29977: 29915: 29250: 29027: 28898: 28829: 28702: 28405: 28189: 28028: 27933: 27704: 27650: 27422: 27308: 27062: 26902: 26704: 26694:

on the left, this can be reduced to a set of coupled

26672: 26502: 26387: 26296: 26240: 26071: 26038: 25946: 25905: 25851: 25747: 25707: 25674: 25540: 25481: 25438: 25005: 24925: 24868: 24830: 24799: 24071: 23977: 23777: 23562: 23547:{\displaystyle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle } 23508: 23439: 23168: 23087: 22910: 22853: 22825: 22684: 22624: 22370: 22283: 22216: 22146: 21794: 21662: 21624: 21571: 21525: 21476: 21428: 21380: 21321: 21240: 21159: 21062: 20696: 20677: 20457: 20438: 20412: 20344: 20226: 20177: 20148: 20112: 20073: 20032: 20006: 19960: 19922: 19896: 19858: 19838: 19789: 19760: 19722: 19696: 19676: 19630: 19581: 19543: 19523: 19488: 19459: 19423: 19350: 19303: 19112: 18914: 18874: 18847: 18692: 18659: 18632: 18506: 18383: 18287: 18051: 17685: 17329: 17296: 17258: 17129: 17045: 16793: 16751: 16722: 16681: 12191: 6893: 6876:{\displaystyle E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)},} 6808: 6722: 6160: 6142:{\displaystyle \langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1} 6093: 5124: 4836: 4709: 4561: 4473: 4266: 4222: 4162: 3984: 3943: 3917: 3892: 3854: 3813: 3616: 3572: 3527: 3127: 3046: 2876: 2816: 2690: 2451: 2301: 2254: 2181: 2137: 2069: 2028: 1926: 1881: 1699: 1595: 1329: 1072: 823: 787: 694: 650: 489: 39148:

Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles

39141:

Japan Society for Industrial and Applied Mathematics

38777:

Numerical methods for partial differential equations

38491: 33451:

that can be solved once we know the solution of the

28888:

Perform the following unitary transformation to the

25940:. It obeys the time-dependent Schrödinger equation, 25733:= 0, its state at subsequent times varies only by a 22182:

if the vector bundle is equipped with non-vanishing

20213:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 19825:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 19617:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 3886:. After renaming the summation dummy index above as 2810:, in time-independent theory it can be assumed that 38964: 38083:"Time-Dependent Perturbations in Quantum Mechanics" 27904:, obtained by applying the iterative method to the 26227:(strictly speaking, they are the amplitudes in the 25545: 22847:from left and make use of the Schrödinger equation 21773:should be the magnetization in the same direction. 20671:and for the state correction to the first order in 19993:{\displaystyle \left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle } 19663:{\displaystyle \left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle } 19336: 464:The process begins with an unperturbed Hamiltonian 62:. Unsourced material may be challenged and removed. 37851: 37604: 37557: 37409: 37371: 37284: 37097: 36980: 36777: 36658: 36617: 36566: 36485: 36458: 36262: 36070: 35870: 35723: 35635: 35563: 35525: 35493: 35384: 35161: 34904: 34845: 34808: 34715: 34559: 34487: 34459: 34428: 33816: 33605: 33480: 33441: 33211: 33180: 33045: 32923: 32812: 32739: 32074: 32041: 32006: 31366: 31304: 31242: 30630: 30419: 30391: 30331: 30018: 29963: 29894: 29232: 29009: 28877: 28811: 28685: 28387: 28171: 28014: 27896:Several further results follow from this, such as 27886: 27690: 27636: 27408: 27285: 26987: 26876: 26686: 26649: 26478: 26310: 26282: 26177: 26052: 26022: 25928: 25891: 25824: 25721: 25690: 25525: 25467: 25422: 24971: 24911: 24847: 24816: 24763: 24043: 23963: 23742: 23546: 23445: 23425: 23123: 23071: 22894: 22839: 22809: 22668: 22572: 22344: 22253: 22170: 22115: 21726:{\displaystyle H(x^{\mu })=H(0)+x^{\mu }F_{\mu }.} 21725: 21648: 21601: 21543: 21511: 21462: 21410: 21351: 21278: 21210: 21138: 21046: 20683: 20663: 20444: 20424: 20398: 20330: 20212: 20163: 20134: 20098: 20056: 20018: 19992: 19946: 19908: 19882: 19844: 19824: 19775: 19746: 19708: 19682: 19662: 19616: 19567: 19529: 19506: 19474: 19445: 19409: 19318: 19289: 19092: 18889: 18860: 18827: 18674: 18645: 18618: 18486: 18377:are now the basis for the perturbation expansion, 18343:the energy differences between the eigenstates of 18324: 18259: 18029: 17669: 17315: 17282: 17242: 17109: 17031: 16779: 16734: 16708: 16617: 12177: 6875: 6795: 6699: 6141: 6079: 5109: 4818: 4686: 4527: 4467:. Each term is proportional to the matrix element 4443: 4249: 4208: 4146: 3970: 3929: 3903: 3878: 3840: 3794:Suppose that the zeroth-order energy level is not 3784: 3610:The first-order equation may thus be expressed as 3599: 3554: 3513: 3102: 3032: 2862: 2796: 2677: 2438: 2280: 2240: 2164: 2123: 2055: 2007: 1908: 1865: 1683: 1571: 1301: 1058: 801: 764: 678: 605: 38087:Advanced Quantum Mechanics: Materials and Photons 34914:Using the first-order correction formula, we get 34853:), and the energy of unperturbed ground state is 25550:Time-dependent perturbation theory, initiated by 23160:To the second order, the energy correction reads 23155: 22594:simply stands for the generalized force operator 21225: 17169: 16949: 15632: 13675: 13609: 13322: 13275: 12681: 4528:{\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } 2124:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } 1164: 39198: 37852:Sulejmanpasic, Tin; Ünsal, Mithat (2018-07-01). 26373:is the probability that the system is in state 23124:{\displaystyle \langle m|n\rangle =\delta _{mn}} 21741:are considered as generalized coordinates, then 37931: 37908:Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). 37421:. In the one-dimensional case, the solution is 37105:. In the two-dimensional case, the solution is 34725:The ground state of the harmonic oscillator is 31367:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 31305:{\displaystyle \sum _{n}|n\rangle \langle n|=1} 30019:{\displaystyle \sum _{n}|n\rangle \langle n|=1} 29964:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 28878:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 28395:Thus, the exponential represents the following 25526:{\displaystyle \langle m|H(x^{\mu })|n\rangle } 18373:, so to speak. These perturbed eigenstates in 4209:{\displaystyle \langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle } 2863:{\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle } 2609: 1920:). This leads to the first-order energy shift, 205: 39136:Society for Industrial and Applied Mathematics 29909:Using the solution of the unperturbed problem 22254:{\displaystyle |n\rangle \equiv |n(0)\rangle } 21211:{\displaystyle x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )} 19297:but the effect on the degenerate states is of 18686:. This amounts to diagonalizing the matrix 18365:. The new Hamiltonian must be diagonalized in 12185:and the states to fourth order can be written 38387: 33219:producing the following meaningful equations 32826: 25845:. The Hamiltonian of the perturbed system is 21777:Perturbation theory as power series expansion 20399:{\displaystyle E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}} 38954:Supersymmetric theory of stochastic dynamics 38367:Quantum Physics Online - perturbation theory 38352:"L1.2 Setting up the perturbative equations" 38211: 34420: 33875: 33800: 33758: 33600: 33522: 33409: 33372: 33341: 33296: 33259: 33169: 33131: 33100: 33079: 33062:. Our aim is to find a solution in the form 33029: 32994: 32907: 32872: 32804: 32772: 32716: 32713: 32639: 32617: 32614: 32592: 32523: 32520: 32481: 32459: 32408: 32386: 32383: 32361: 32274: 32252: 32249: 32227: 32177: 32155: 31978: 31975: 31886: 31864: 31861: 31839: 31599: 31596: 31507: 31485: 31361: 31337: 31285: 31282: 30541: 30503: 30414: 30386: 30356: 30320: 30274: 30271: 30182: 30144: 30057: 29999: 29996: 29958: 29934: 29883: 29275: 29210: 29168: 28998: 28916: 28872: 28848: 28789: 28754: 28696:Consider the following perturbation problem 28674: 28423: 28160: 28046: 27998: 27963: 27816: 27780: 27544: 27508: 27416:where, for example, the first-order term is 27295:Repeatedly substituting this expression for 27190: 27154: 26926: 26903: 26896:in the second term, then used the fact that 26791: 26760: 26673: 26632: 26456: 26433: 26305: 26166: 26089: 26047: 26011: 25967: 25923: 25813: 25765: 25716: 25684: 25520: 25482: 25355: 25323: 25320: 25288: 25251: 25219: 25216: 25184: 25118: 25086: 25067: 25045: 24900: 24869: 24720: 24668: 24636: 24633: 24601: 24566: 24514: 24482: 24479: 24447: 24422: 24348: 24316: 24313: 24281: 24218: 24179: 24147: 24118: 24032: 24008: 24002: 23978: 23950: 23926: 23923: 23891: 23885: 23853: 23850: 23826: 23734: 23692: 23686: 23644: 23638: 23596: 23541: 23509: 23502:to the result of the first order derivative 23493:, simply applying the differential operator 23363: 23331: 23328: 23296: 23258: 23226: 23220: 23198: 23102: 23088: 23063: 23039: 23023: 23009: 22983: 22959: 22943: 22911: 22871: 22854: 22826: 22801: 22767: 22733: 22706: 22669:{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,} 22660: 22636: 22582:For the linearly parameterized Hamiltonian, 22536: 22504: 22495: 22471: 22436: 22404: 22395: 22371: 22339: 22307: 22264: 22248: 22225: 22165: 22100: 22031: 21997: 21596: 21506: 21405: 21346: 21234:that maps each particular set of parameters 19281: 19207: 19159: 19134: 19084: 19055: 19007: 18980: 18813: 18786: 18741: 18693: 18604: 18568: 18531: 18478: 18448: 18392: 17842: 17686: 17653: 17498: 17486: 17330: 16918: 16869: 16863: 16794: 16703: 16608: 15663: 13663: 13635: 13306: 12669: 12641: 12533: 12325: 12297: 12217: 6787: 6739: 6614: 6566: 6539: 6491: 6370: 6322: 6319: 6271: 6268: 6220: 6130: 6094: 5146: 4615: 4567: 4522: 4474: 4244: 4203: 4163: 3944: 3835: 3594: 3549: 2857: 2817: 2269: 2255: 2159: 2118: 2070: 2050: 1882: 1257: 945: 796: 756: 732: 383:. This is because there is no analogue of a 71:"Perturbation theory" quantum mechanics 37791: 37372:{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}} 36574:corresponds to plane waves with wavenumber 34467:we can see that this is indeed a series in 25605:The time-dependent expansion coefficients ( 22895:{\displaystyle \langle m|H=\langle m|E_{m}} 21760:denotes the external magnetic field in the 16641:such that the denominator does not vanish. 169: 38394: 38380: 38041:"General Theory of Effective Hamiltonians" 37934:Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory 37657:International Journal of Quantum Chemistry 33430: 27779: 27507: 27153: 25577:applied to a time-independent Hamiltonian 24912:{\displaystyle \langle m|H(0)|l\rangle =0} 24855:, such that there is no matrix element in 22171:{\displaystyle |\partial _{\mu }n\rangle } 19890:when there is no perturbation, i.e., when 19783:does not change our arguments. All states 18764: 17290:in terms of the inverse Laplace transform 16956: 2248:but perturbation theory also assumes that 459: 305:, special calculation techniques known as 38278: 38225: 38172: 38081:Dick, Rainer (2020), Dick, Rainer (ed.), 38038: 37970: 37877: 37768: 37695: 37540: 37256: 36941: 36020: 33431: 27915: 27819: 27569: 27547: 27218: 27193: 26814: 26794: 25468:{\displaystyle m,n\in {\mathcal {H}}_{L}} 21132: 21040: 20657: 19403: 18196: 18113: 18107: 18026: 17968: 17907: 17866: 17860: 17211: 17163: 16982: 16943: 4697:Second-order and higher-order corrections 414: 355:and various collective phenomena such as 225:of hydrogen caused by the presence of an 122:Learn how and when to remove this message 27:Approximate modelling of a quantum system 38358:. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. 38337:. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. 38129:, North Holland, John Wiley & Sons. 38009: 37932:Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1977). 37826: 33826:and we see that the expansion parameter 27691:{\displaystyle c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}} 24781: 21512:{\displaystyle |n(x_{0}^{\mu })\rangle } 19344:The perturbed Hamiltonian is denoted as 18269: 454:Rayleigh–Schrödinger perturbation theory 36618:{\textstyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}} 34846:{\displaystyle \alpha =m\omega /\hbar } 22134:denotes the derivative with respect to 3798:, i.e. that there is no eigenstate of 342: 217:to the quantum mechanical model of the 14: 39199: 38264: 38158: 36625:. If there is a weak potential energy 26659:By resolving the identity in front of 26359:The square of the absolute amplitude 21149:Generalization to multi-parameter case 19517:Let us focus on the degeneracy of the 19514:is the parameter of the perturbation. 18332:does not have a well-defined inverse. 17323:of the connected correlation function 317: 213:For example, by adding a perturbative 38375: 38076: 38074: 37654: 33488:does not depend on time one gets the 31374:for a pure discrete spectrum, write 26283:{\displaystyle \exp(-iE_{n}t/\hbar )} 23457:function. The first order derivative 21279:{\displaystyle (x^{1},x^{2},\cdots )} 2281:{\displaystyle \langle n|n\rangle =1} 38258: 38205: 38152: 38080: 29902:as a perturbation series with small 26062: 21602:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 21411:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 21352:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 19624:and the other unperturbed states as 18043:-th order energy shift is given by 477:, arising from the time-independent 439:Time-independent perturbation theory 60:adding citations to reliable sources 31: 35526:{\displaystyle -\lambda \cos \phi } 34516:in perturbation theory. The choice 34495:justifying in this way the name of 21463:{\displaystyle E_{n}(x_{0}^{\mu })} 20886: 20760: 20531: 16650:-th order correction to the energy 327:, for instance, the interaction of 24: 38403:Industrial and applied mathematics 38071: 36674: 36504: 36469:Potential energy as a perturbation 35460: 35450: 35246: 35236: 35108: 35098: 34643: 34633: 34571:that is a gradient expansion. The 33805: 33773: 33414: 33391: 33301: 33278: 33034: 33009: 32934:Consider the perturbation problem 32912: 32887: 32086:arbitrarily small. Thus the limit 29240:so it is solved through the above 29215: 29183: 28794: 28769: 28003: 27978: 26914: 25985: 25981: 25541:Time-dependent perturbation theory 25454: 25335: 25300: 25231: 25196: 25163: 25098: 24958: 24935: 24848:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{H}} 24834: 24817:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{L}} 24803: 24648: 24613: 24494: 24459: 24328: 24293: 24159: 24020: 23982: 23938: 23903: 23865: 23830: 23789: 23779: 23722: 23704: 23666: 23656: 23618: 23600: 23574: 23564: 23521: 23440: 23343: 23308: 23274: 23238: 23051: 22990: 22971: 22923: 22789: 22740: 22721: 22686: 22516: 22475: 22416: 22383: 22319: 22285: 22153: 22088: 22078: 22019: 21924: 21914: 21856: 21519:at an unperturbed reference point 21363:-th eigenenergy and eigenstate of 21019: 20636: 19761: 19507:{\displaystyle 0<\lambda <1} 19482:is the perturbation operator, and 18761: 18580: 16742:, one has to consider the inverse 25: 39223: 38633:Stochastic differential equations 38323: 37419:Hankel function of the first kind 34896: 34840: 34343: 34278: 34226: 34161: 34012: 33947: 33897: 33767: 33699: 33641: 33541: 33385: 33272: 33003: 32881: 32203: 32140: 31902: 31774: 31523: 31425: 31188: 31110: 31054: 30976: 30816: 30738: 30688: 30557: 30463: 30198: 30084: 29802: 29724: 29668: 29590: 29430: 29352: 29302: 29177: 29105: 29041: 28935: 28763: 28445: 28075: 27972: 27873: 27748: 27623: 27466: 27272: 27112: 26980: 26863: 26745: 26619: 26521: 26274: 26153: 25976: 25929:{\displaystyle |\psi (t)\rangle } 25800: 22178:, it should be understood as the 18325:{\displaystyle E_{n}^{(0)}-H_{0}} 1585:results in an infinite series of 679:{\displaystyle H=H_{0}+\lambda V} 351:from the "free model", including 38949:Supersymmetric quantum mechanics 38362:from the original on 2021-12-12. 38341:from the original on 2021-12-12. 37936:(3rd ed.). Pergamon Press. 25546:Method of variation of constants 19453:is the unperturbed Hamiltonian, 19337:Degeneracy lifted to first order 16709:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 4250:{\displaystyle |k^{(0)}\rangle } 3971:{\displaystyle \langle k^{(0)}|} 3841:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 3807:in the orthogonal complement of 3607:, i.e., the other eigenvectors. 3600:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 3555:{\displaystyle |k^{(0)}\rangle } 2165:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 2056:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 1909:{\displaystyle \langle n^{(0)}|} 36: 38831:Stochastic variational calculus 38623:Ordinary differential equations 38311: 38116: 38032: 38003: 37858:Computer Physics Communications 37615: 35533:taken as the perturbation i.e. 34460:{\displaystyle \tau =\lambda t} 33212:{\displaystyle \tau =\lambda t} 32075:{\displaystyle e^{-\epsilon t}} 30420:{\displaystyle |\beta \rangle } 28823:is small and that the problem 28183:is the time ordering operator, 26663:and multiplying through by the 24824:or in the high-energy subspace 22470: 21615:close to that reference point. 19776:{\displaystyle \forall m\neq n} 18760: 18579: 15938: 15275: 14474: 13316: 11799: 11188: 10111: 9252: 4260:Thus, in total, the result is, 575: 47:needs additional citations for 38628:Partial differential equations 38501:Arbitrary-precision arithmetic 37959:Journal of High Energy Physics 37950: 37925: 37902: 37845: 37820: 37785: 37728: 37675: 37648: 37598: 37579: 37514: 37503: 37495: 37489: 37450: 37444: 37439: 37433: 37402: 37396: 37360: 37342: 37330: 37312: 37253: 37244: 37239: 37233: 37220: 37198: 37190: 37184: 37140: 37128: 37123: 37117: 37086: 37068: 37056: 37038: 37026: 37008: 36915: 36882: 36874: 36868: 36826: 36808: 36803: 36797: 36767: 36761: 36723: 36717: 36694: 36688: 36653: 36635: 36553: 36547: 36524: 36518: 36293: 36287: 36101: 36095: 35903: 35897: 35756: 35750: 35666: 35660: 35596: 35590: 35564:{\displaystyle V=-\cos \phi .} 35192: 35186: 34937: 34931: 34876: 34870: 34560:{\displaystyle H_{0}=p^{2}/2m} 34417: 34404: 34397: 34380: 34354: 34315: 34289: 34263: 34237: 34198: 34172: 34049: 34023: 33984: 33958: 33872: 33866: 33852: 33797: 33791: 33777: 33755: 33749: 33735: 33729: 33710: 33671: 33652: 33597: 33591: 33577: 33571: 33552: 33519: 33513: 33506: 33475: 33469: 33395: 33358: 33327: 33323: 33317: 33282: 33245: 33241: 33235: 33155: 33117: 33086: 33072: 33026: 33020: 33013: 32991: 32985: 32978: 32974: 32971: 32965: 32943: 32904: 32898: 32891: 32869: 32863: 32856: 32852: 32846: 32807: 32797: 32793: 32781: 32769: 32763: 32756: 32723: 32706: 32699: 32673: 32670: 32644: 32632: 32624: 32607: 32599: 32530: 32513: 32474: 32466: 32401: 32393: 32376: 32368: 32267: 32259: 32242: 32234: 32170: 32162: 32114: 32108: 31985: 31968: 31962: 31936: 31933: 31907: 31879: 31871: 31854: 31846: 31834: 31808: 31805: 31779: 31606: 31589: 31583: 31557: 31554: 31528: 31500: 31492: 31394: 31388: 31354: 31330: 31292: 31275: 31257:Using the identity resolution 31229: 31203: 31172: 31159: 31151: 31125: 31095: 31069: 31038: 31025: 31017: 30991: 30857: 30831: 30800: 30787: 30779: 30753: 30666: 30660: 30617: 30591: 30588: 30562: 30534: 30530: 30517: 30510: 30407: 30383: 30370: 30363: 30349: 30317: 30304: 30297: 30281: 30264: 30258: 30232: 30229: 30203: 30175: 30171: 30158: 30151: 30054: 30048: 30034: 30006: 29989: 29951: 29927: 29880: 29867: 29860: 29843: 29817: 29786: 29773: 29765: 29739: 29709: 29683: 29652: 29639: 29631: 29605: 29471: 29445: 29414: 29401: 29393: 29367: 29272: 29266: 29252: 29207: 29201: 29187: 29165: 29159: 29145: 29139: 29120: 29089: 29083: 29075: 29056: 28995: 28989: 28975: 28969: 28950: 28913: 28907: 28900: 28865: 28841: 28786: 28780: 28773: 28751: 28745: 28738: 28734: 28731: 28725: 28703: 28671: 28658: 28651: 28636: 28623: 28617: 28604: 28501: 28488: 28420: 28414: 28407: 28344: 28331: 28325: 28312: 28277: 28264: 28258: 28245: 28228: 28215: 28209: 28196: 28157: 28144: 28137: 28127: 28116: 28043: 28037: 28030: 27995: 27989: 27982: 27960: 27954: 27947: 27943: 27937: 27857: 27831: 27809: 27805: 27794: 27787: 27732: 27726: 27721: 27715: 27667: 27661: 27607: 27581: 27564: 27558: 27537: 27533: 27522: 27515: 27450: 27444: 27439: 27433: 27395: 27389: 27371: 27365: 27347: 27341: 27325: 27319: 27256: 27230: 27215: 27204: 27183: 27179: 27168: 27161: 27101: 27095: 27079: 27073: 26948: 26942: 26923: 26917: 26910: 26852: 26826: 26811: 26805: 26784: 26780: 26774: 26767: 26680: 26625: 26582: 26576: 26570: 26564: 26453: 26447: 26440: 26410: 26404: 26298: 26277: 26247: 26159: 26121: 26115: 26086: 26080: 26073: 26040: 26008: 26002: 25995: 25964: 25958: 25951: 25920: 25914: 25907: 25892:{\displaystyle H=H_{0}+V(t)~.} 25880: 25874: 25806: 25762: 25756: 25749: 25709: 25677: 25625:to be the displacement in the 25513: 25509: 25496: 25489: 25348: 25330: 25313: 25295: 25244: 25226: 25209: 25191: 25111: 25093: 25060: 25052: 24893: 24889: 24883: 24876: 24713: 24700: 24673: 24661: 24643: 24626: 24608: 24559: 24546: 24519: 24507: 24489: 24472: 24454: 24415: 24408: 24382: 24379: 24353: 24341: 24323: 24306: 24288: 24211: 24172: 24154: 24111: 24015: 23995: 23933: 23916: 23898: 23878: 23860: 23843: 23717: 23699: 23679: 23651: 23631: 23613: 23534: 23516: 23356: 23338: 23321: 23303: 23251: 23233: 23213: 23205: 23192: 23179: 23156:Correction of energy and state 23152:be calculated systematically. 23095: 23046: 23016: 22966: 22936: 22918: 22878: 22861: 22833: 22784: 22760: 22716: 22699: 22653: 22629: 22529: 22511: 22488: 22429: 22411: 22378: 22332: 22314: 22245: 22239: 22232: 22218: 22148: 22073: 22014: 21990: 21974: 21961: 21822: 21809: 21694: 21688: 21679: 21666: 21649:{\displaystyle x_{0}^{\mu }=0} 21593: 21580: 21573: 21503: 21485: 21478: 21457: 21439: 21402: 21389: 21382: 21343: 21330: 21323: 21273: 21241: 21226:Hamiltonian and force operator 21205: 21173: 21116: 21110: 21093: 21087: 21081: 21037: 21024: 21000: 20994: 20969: 20963: 20942: 20936: 20873: 20867: 20837: 20831: 20813: 20807: 20744: 20738: 20654: 20641: 20623: 20617: 20599: 20593: 20391: 20385: 20364: 20358: 20319: 20313: 20290: 20275: 20269: 20201: 20195: 20155: 20049: 20043: 19981: 19975: 19939: 19933: 19875: 19869: 19813: 19807: 19739: 19733: 19651: 19645: 19605: 19599: 19560: 19554: 19466: 19446:{\displaystyle {\hat {H}}_{0}} 19431: 19397: 19373: 19357: 19313: 19307: 19276: 19270: 19261: 19252: 19246: 19228: 19222: 19202: 19196: 19187: 19179: 19173: 19167: 19129: 19123: 19114: 19079: 19073: 19064: 19050: 19044: 19035: 19027: 19021: 19015: 18975: 18969: 18960: 18936: 18930: 18884: 18878: 18808: 18802: 18793: 18781: 18775: 18766: 18736: 18730: 18721: 18713: 18707: 18701: 18669: 18663: 18599: 18593: 18584: 18563: 18557: 18548: 18526: 18520: 18511: 18473: 18467: 18458: 18443: 18437: 18428: 18385: 18304: 18298: 18251: 18213: 18188: 18182: 18086: 18076: 18068: 18062: 18023: 17985: 17953: 17948: 17942: 17916: 17836: 17830: 17821: 17817: 17811: 17805: 17792: 17786: 17760: 17751: 17713: 17706: 17700: 17694: 17648: 17642: 17633: 17629: 17623: 17617: 17604: 17598: 17572: 17563: 17525: 17518: 17512: 17506: 17480: 17474: 17465: 17461: 17455: 17449: 17436: 17430: 17404: 17395: 17357: 17350: 17344: 17338: 17275: 17269: 17234: 17228: 17203: 17197: 17146: 17140: 17055: 17049: 17021: 17016: 17010: 16991: 16979: 16973: 16912: 16906: 16897: 16889: 16883: 16877: 16858: 16852: 16843: 16839: 16833: 16827: 16821: 16814: 16808: 16802: 16780:{\displaystyle \rho _{n,2}(s)} 16774: 16768: 16698: 16692: 16683: 16667:connected correlation function 16603: 16597: 16588: 16502: 16476: 16372: 16353: 16300: 16274: 16224: 16198: 15658: 15652: 15638: 15530: 15497: 15302: 15283: 14763: 14737: 14382: 14356: 14277: 14244: 13658: 13652: 13643: 13630: 13624: 13615: 13556: 13530: 13301: 13295: 13281: 13126: 13100: 13035: 13016: 12664: 12658: 12649: 12636: 12630: 12621: 12528: 12522: 12508: 12320: 12314: 12305: 12292: 12286: 12272: 12212: 12206: 12197: 12133: 12107: 11749: 11723: 11714: 11708: 11654: 11628: 11586: 11560: 11028: 11002: 10870: 10864: 10591: 10565: 10071: 10045: 10003: 9977: 9916: 9890: 9848: 9822: 9092: 9066: 9026: 9000: 8840: 8814: 8466: 8460: 8408: 8382: 8180: 8154: 8145: 8139: 7916: 7890: 7560: 7534: 7492: 7466: 7285: 7279: 7227: 7201: 7054: 7048: 7001: 6975: 6959: 6953: 6914: 6908: 6865: 6859: 6841: 6835: 6782: 6776: 6767: 6759: 6753: 6747: 6714:If we introduce the notation, 6676: 6670: 6652: 6646: 6619: 6609: 6603: 6594: 6586: 6580: 6574: 6562: 6534: 6528: 6519: 6511: 6505: 6499: 6475: 6469: 6451: 6445: 6420: 6414: 6396: 6390: 6365: 6359: 6350: 6342: 6336: 6330: 6314: 6308: 6299: 6291: 6285: 6279: 6263: 6257: 6248: 6240: 6234: 6228: 6177: 6171: 6127: 6121: 6114: 6108: 6102: 6067: 6054: 6030: 6024: 6006: 6000: 5973: 5962: 5956: 5935: 5929: 5916: 5887: 5881: 5831: 5825: 5807: 5801: 5775: 5769: 5748: 5742: 5724: 5718: 5697: 5691: 5670: 5664: 5606: 5600: 5582: 5576: 5551: 5545: 5527: 5521: 5495: 5489: 5468: 5462: 5444: 5438: 5417: 5411: 5390: 5384: 5322: 5316: 5298: 5292: 5271: 5265: 5244: 5238: 5217: 5211: 5167: 5161: 5143: 5137: 5130: 5104: 5091: 5077: 5071: 5053: 5047: 5016: 5010: 4989: 4983: 4928: 4922: 4901: 4895: 4875: 4869: 4853: 4847: 4801: 4795: 4778: 4772: 4751: 4745: 4728: 4722: 4677: 4671: 4665: 4647: 4641: 4627: 4619: 4610: 4604: 4595: 4587: 4581: 4575: 4563: 4517: 4511: 4502: 4494: 4488: 4482: 4453:The first-order change in the 4429: 4423: 4406: 4400: 4382: 4376: 4355: 4349: 4328: 4322: 4282: 4276: 4239: 4233: 4224: 4198: 4192: 4183: 4177: 4171: 4132: 4126: 4105: 4099: 4078: 4072: 4055: 4049: 4030: 4024: 4006: 4000: 3964: 3958: 3952: 3871: 3865: 3830: 3824: 3815: 3770: 3764: 3743: 3737: 3719: 3713: 3676: 3670: 3638: 3632: 3589: 3583: 3574: 3544: 3538: 3529: 3495: 3489: 3475: 3469: 3447: 3441: 3420: 3414: 3396: 3390: 3346: 3340: 3314: 3308: 3290: 3284: 3258: 3252: 3226: 3220: 3202: 3196: 3150: 3144: 3085: 3079: 3062: 3056: 3018: 3012: 2995: 2989: 2965: 2959: 2942: 2936: 2915: 2909: 2892: 2886: 2852: 2846: 2837: 2831: 2825: 2779: 2773: 2756: 2750: 2729: 2723: 2706: 2700: 2658: 2652: 2635: 2629: 2596: 2590: 2573: 2567: 2543: 2537: 2520: 2514: 2490: 2484: 2467: 2461: 2416: 2410: 2386: 2380: 2352: 2346: 2322: 2316: 2295:, the following must be true: 2262: 2220: 2214: 2197: 2191: 2154: 2148: 2139: 2113: 2107: 2098: 2090: 2084: 2078: 2045: 2039: 2030: 1993: 1987: 1966: 1960: 1943: 1937: 1902: 1896: 1890: 1851: 1845: 1831: 1825: 1803: 1797: 1783: 1777: 1755: 1749: 1725: 1719: 1669: 1663: 1649: 1643: 1621: 1615: 1546: 1540: 1516: 1510: 1480: 1474: 1453: 1447: 1409: 1403: 1379: 1373: 1250: 1200: 1194: 1093: 1087: 1037: 1031: 1000: 994: 970: 964: 938: 922: 916: 888: 882: 861: 855: 789: 749: 725: 563: 557: 543: 537: 515: 509: 407:in the perturbation parameter 312: 13: 1: 38516:Interactive geometry software 38039:Soliverez, Carlos E. (1981). 37642: 37637:Perturbed angular correlation 36785:whose particular integral is 26886:where we have used equation ( 22140:. When applying to the state 18861:{\displaystyle \epsilon _{k}} 18646:{\displaystyle \epsilon _{k}} 16787:of the two-point correlator: 16646:It is possible to relate the 367:-mediated attraction between 146:for describing a complicated 38095:10.1007/978-3-030-57870-1_13 34438:After the rescaling in time 28819:assuming that the parameter 25691:{\displaystyle {|n\rangle }} 25602:, for a given initial state. 22819:Then overlap with the state 21544:{\displaystyle x_{0}^{\mu }} 1693:The first-order equation is 774:The objective is to express 206:Applying perturbation theory 7: 38568:Computational number theory 38531:Numerical-analysis software 37827:Rayleigh, J. W. S. (1894). 37410:{\displaystyle H_{0}^{(1)}} 34582: 34567:yields, as already said, a 26888: 26191: 20057:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19947:{\displaystyle E_{m}^{(0)}} 19883:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19747:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19568:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19319:{\displaystyle O(\lambda )} 18890:{\displaystyle O(\lambda )} 18675:{\displaystyle O(\lambda )} 18369:, or a slight variation of 17679:To be precise, if we write 17316:{\displaystyle \rho _{n,k}} 17283:{\displaystyle E_{n}^{(k)}} 17117:is the perturbing operator 3879:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 2870:is purely real. Therefore, 192:quantum harmonic oscillator 10: 39228: 37914:(2nd ed.), Addison Wesley 37714:10.1103/PhysRevD.85.033007 35501:with the potential energy 34488:{\displaystyle 1/\lambda } 32827:Strong perturbation theory 31250:and take the perturbation 26687:{\displaystyle \langle n|} 26311:{\displaystyle |j\rangle } 26223:which we will refer to as 26053:{\displaystyle |n\rangle } 25722:{\displaystyle |j\rangle } 22840:{\displaystyle \langle m|} 20164:{\displaystyle {\hat {V}}} 19909:{\displaystyle \lambda =0} 19475:{\displaystyle {\hat {V}}} 19331:nearly free electron model 3119:resolution of the identity 2808:without loss of generality 802:{\displaystyle |n\rangle } 39166: 39128: 39112: 39074: 39026: 38974:Algebra of physical space 38839: 38797: 38591: 38553: 38441:Automated theorem proving 38409: 38067:– via Academia.Edu. 37879:10.1016/j.cpc.2017.11.018 33838:, is meaningful at large 26892:) to evaluate the sum on 25554:and further developed by 22275:Hellmann–Feynman theorems 22265:Hellmann–Feynman theorems 21286:to an Hermitian operator 20099:{\displaystyle V_{nl,nk}} 425:density functional theory 38767:Numerical linear algebra 38244:10.1103/PhysRevA.55.1653 38191:10.1103/PhysRevA.58.3439 38139:Modern Quantum Mechanics 38137:; J. J. Sakurai (1994). 37911:Modern Quantum Mechanics 37814:10.1002/andp.19263851302 37605:{\displaystyle r=|x-x'|} 36659:{\displaystyle U(x,y,z)} 31254:to be time-independent. 28022:has the formal solution 21299:quantum phase transition 20684:{\displaystyle \lambda } 20445:{\displaystyle \lambda } 20135:{\displaystyle V_{m,nk}} 444:theory was presented by 170:Approximate Hamiltonians 38506:Finite element analysis 38456:Constraint satisfaction 37989:10.1007/JHEP08(2021)063 33457:adiabatic approximation 32042:{\displaystyle t_{0}=0} 27906:time evolution operator 26998:The matrix elements of 26215:s are to be determined 25631:dielectric polarization 20425:{\displaystyle l\neq k} 20026:are all different from 20019:{\displaystyle m\neq n} 19832:with various values of 19709:{\displaystyle m\neq n} 19537:-th unperturbed energy 18899:Electron Spin Resonance 3930:{\displaystyle k\neq n} 2291:Then at first order in 460:First order corrections 287:quantum electrodynamics 39061:Mathematical economics 38735:Multivariable calculus 38618:Differential equations 38461:Constraint programming 38451:Computational geometry 38297:10.1098/rspa.2007.1879 37761:10.1098/rsta.2012.0488 37632:Muon spin spectroscopy 37606: 37559: 37411: 37373: 37286: 37099: 36982: 36779: 36660: 36619: 36568: 36493:, the solution of the 36487: 36460: 36264: 36072: 35872: 35725: 35637: 35565: 35527: 35495: 35386: 35163: 34906: 34847: 34810: 34717: 34573:Wigner-Kirkwood series 34569:Wigner-Kirkwood series 34561: 34489: 34461: 34430: 33818: 33607: 33492:that is often used in 33490:Wigner-Kirkwood series 33482: 33443: 33213: 33182: 33047: 32925: 32814: 32741: 32082:in the integrands for 32076: 32043: 32008: 31368: 31306: 31244: 30632: 30421: 30393: 30333: 30020: 29965: 29896: 29234: 29011: 28879: 28813: 28687: 28389: 28173: 28016: 27916:Method of Dyson series 27888: 27692: 27638: 27410: 27287: 26989: 26878: 26696:differential equations 26688: 26651: 26480: 26312: 26284: 26179: 26054: 26024: 25930: 25893: 25826: 25723: 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Perturbation theory (quantum mechanics)

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