Perturbation theory (quantum mechanics)

12172: 6879: 12167:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=V_{nn}\\E_{n}^{(2)}&={\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\E_{n}^{(3)}&={\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}-V_{nn}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}\\E_{n}^{(4)}&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\&={\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}}}-E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{2}}}-2V_{nn}{\frac {V_{nk_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {|V_{nk_{4}}|^{2}}{E_{nk_{4}}^{3}}}\\E_{n}^{(5)}&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad -V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-V_{nn}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2V_{nn}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}{\frac {|V_{nk_{2}}|^{2}}{E_{nk_{2}}}}\\&\quad +V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}+V_{nn}^{2}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{5}}^{3}}}-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\\&={\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-2E_{n}^{(2)}{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}-{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {V_{nk_{3}}V_{k_{3}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{3}}}}\\&\quad +V_{nn}\left(-2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{4}}E_{nk_{5}}}}-{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{2}}E_{nk_{4}}^{2}E_{nk_{5}}}}+{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{2}}}{\frac {|V_{nk_{3}}|^{2}}{E_{nk_{3}}^{2}}}+2E_{n}^{(2)}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{3}}}\right)\\&\quad +V_{nn}^{2}\left(2{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{4}}V_{k_{4}n}}{E_{nk_{4}}^{3}E_{nk_{5}}}}+{\frac {V_{nk_{5}}V_{k_{5}k_{3}}V_{k_{3}n}}{E_{nk_{3}}^{2}E_{nk_{5}}^{2}}}\right)-V_{nn}^{3}{\frac {|V_{nk_{5}}|^{2}}{E_{nk_{5}}^{4}}}\end{aligned}}} 6074: 5110: 6069:{\displaystyle {\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}} 24758: 24057: 32734: 32086: 16612: 24753:{\displaystyle {\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}} 12177: 32729:{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)=1&-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\sum _{n}\langle n|V|n\rangle t-{\frac {i\lambda ^{2}}{\hbar }}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}t-{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\sum _{m,n}\langle n|V|m\rangle \langle m|V|n\rangle t^{2}+\cdots \\&+\lambda \sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|V|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle \langle n|+\lambda ^{2}\sum _{m\neq n}\sum _{q\neq n}\sum _{n}{\frac {\langle m|V|n\rangle \langle n|V|q\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{q}-E_{n})}}|m\rangle \langle q|+\cdots \end{aligned}}} 31237: 3508: 25417: 16607:{\displaystyle {\begin{aligned}|n^{(1)}\rangle &={\frac {V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}}}|k_{1}^{(0)}\rangle \\|n^{(2)}\rangle &=\left({\frac {V_{k_{1}k_{2}}V_{k_{2}n}}{E_{nk_{1}}E_{nk_{2}}}}-{\frac {V_{nn}V_{k_{1}n}}{E_{nk_{1}}^{2}}}\right)|k_{1}^{(0)}\rangle -{\frac {1}{2}}{\frac {V_{nk_{1}}V_{k_{1}n}}{E_{k_{1}n}^{2}}}|n^{(0)}\rangle \\|n^{(3)}\rangle &={\Bigg }|k_{1}^{(0)}\rangle \\&\quad +{\Bigg }|n^{(0)}\rangle \\|n^{(4)}\rangle &={\Bigg }|k_{1}^{(0)}\rangle +{\frac {1}{2}}\left|n^{(0)}\rangle \end{aligned}}} 30642: 6694: 3113: 24991: 22110: 21041: 6146: 31232:{\displaystyle U(t)=1-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}-{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}V(t_{1})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{1}-t_{0})}e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}V(t_{2})e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t_{2}-t_{0})}+\cdots } 27: 35379: 21780: 3503:{\displaystyle {\begin{aligned}V\left|n^{(0)}\right\rangle &=\left(\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle +\left(\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle n^{(0)}\right|\right)V\left|n^{(0)}\right\rangle \\&=\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\end{aligned}}} 20682: 25575:. It is an extremely valuable tool for calculating the properties of any physical system. It is used for the quantitative description of phenomena as diverse as proton-proton scattering, photo-ionization of materials, scattering of electrons off lattice defects in a conductor, scattering of neutrons off nuclei, electric susceptibilities of materials, neutron absorption cross sections in a nuclear reactor, and much more. 22250:. This convention will be adopted throughout this subsection, that all functions without the parameter dependence explicitly stated are assumed to be evaluated at the origin. The power series may converge slowly or even not converge when the energy levels are close to each other. The adiabatic assumption breaks down when there is energy level degeneracy, and hence the perturbation theory is not applicable in that case. 2672: 25412:{\displaystyle H_{mn}^{\text{eff}}\left(x^{\mu }\right)=\langle m|H|n\rangle +\delta _{nm}\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+{\frac {1}{2!}}\sum _{l\in {\mathcal {H}}_{H}}\left({\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{l}}}+{\frac {\langle m|\partial _{\nu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{l}}}\right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .} 17664: 35156: 33436: 1566: 18024: 5104: 1296: 1053: 23420: 6689:{\displaystyle E_{n}^{(3)}=\sum _{k\neq n}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle \langle m^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)}}-\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \sum _{m\neq n}{\frac {|\langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle |^{2}}{\left(E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}\right)^{2}}}.} 35161: 23958: 2437: 22567: 23737: 17315: 34906: 33213: 1315: 348:. Imagine, for example, that we have a system of free (i.e. non-interacting) particles, to which an attractive interaction is introduced. Depending on the form of the interaction, this may create an entirely new set of eigenstates corresponding to groups of particles bound to one another. An example of this phenomenon may be found in conventional 22105:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(x^{\mu })&=E_{n}+x^{\mu }\partial _{\mu }E_{n}+{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}+\cdots \\\left|n(x^{\mu })\right\rangle &=|n\rangle +x^{\mu }|\partial _{\mu }n\rangle +{\frac {1}{2!}}x^{\mu }x^{\nu }|\partial _{\mu }\partial _{\nu }n\rangle +\cdots \end{aligned}}} 17671: 21036:{\displaystyle \left|\psi _{nk}\right\rangle =\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle +\lambda \sum \limits _{m\neq n}{\frac {V_{m,nk}}{E_{m}^{(0)}-E_{n}^{(0)}}}\left(-\left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle +\sum \limits _{l\neq k}{\frac {V_{nl,m}}{E_{nl}^{(1)}-E_{nk}^{(1)}}}\left|\psi _{nl}^{(0)}\right\rangle \right)+{\mathcal {O}}(\lambda ^{2})\,.} 4822: 4544:, which is why it was assumed that there is no degeneracy. The above formula for the perturbed eigenstates also implies that the perturbation theory can be legitimately used only when the absolute magnitude of the matrix elements of the perturbation is small compared with the corresponding differences in the unperturbed energy levels, i.e., 1058: 809: 17026: 30625: 29227: 33811: 23154: 3027: 20658: 23066: 4438: 3779: 2433: 27280: 23763: 27631: 4141: 36065: 22356: 23548: 23140:

can be discussed separately. The first case will lead to the first theorem and the second case to the second theorem, which can be shown immediately by rearranging the terms. With the differential rules given by the Hellmann–Feynman theorems, the perturbative correction to the energies and states can

36453: 24762:

Both energy derivatives and state derivatives will be involved in deduction. Whenever a state derivative is encountered, resolve it by inserting the complete set of basis, then the Hellmann-Feynman theorem is applicable. Because differentiation can be calculated systematically, the series expansion

1860: 432:

Time-independent perturbation theory is one of two categories of perturbation theory, the other being time-dependent perturbation (see next section). In time-independent perturbation theory, the perturbation Hamiltonian is static (i.e., possesses no time dependence). Time-independent perturbation

32922:

and we consider the question if a dual Dyson series exists that applies in the limit of a perturbation increasingly large. This question can be answered in an affirmative way and the series is the well-known adiabatic series. This approach is quite general and can be shown in the following way.

36975: 36257: 18254: 35374:{\displaystyle E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\left({\frac {\pi }{\alpha }}\right)^{\frac {1}{2}}=\lambda {\frac {3}{4}}{\frac {1}{\alpha ^{2}}}={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}\lambda }{m^{2}\omega ^{2}}}.} 18267:. The first-order energy shift is not well defined, since there is no unique way to choose a basis of eigenstates for the unperturbed system. The various eigenstates for a given energy will perturb with different energies, or may well possess no continuous family of perturbations at all. 19087: 26991:

play a similar role as in time-independent perturbation theory, being proportional to the rate at which amplitudes are shifted between states. Note, however, that the direction of the shift is modified by the exponential phase factor. Over times much longer than the energy difference

33175: 27881: 19284: 22804: 1307:, these reduce to the unperturbed values, which are the first term in each series. Since the perturbation is weak, the energy levels and eigenstates should not deviate too much from their unperturbed values, and the terms should rapidly become smaller as the order is increased. 28382: 2667:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle +{\cancel {\lambda ^{2}\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle }}=1} 16779: 26871: 30419: 29013: 17659:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle -{\text{subtractions}}.} 4813: 34710: 33616: 2791: 37279: 2862: 35151:{\displaystyle E_{0}^{(1)}=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int e^{-\alpha x^{2}/2}x^{4}e^{-\alpha x^{2}/2}dx=\lambda \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}\int e^{-\alpha x^{2}}dx,} 35865: 33431:{\displaystyle {\begin{aligned}V(t)|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{0}\rangle }{\partial \tau }}\\V(t)|\psi _{1}\rangle +H_{0}|\psi _{0}\rangle &=i\hbar {\frac {\partial |\psi _{1}\rangle }{\partial \tau }}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}} 1561:{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right)=\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\cdots \right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\cdots \right).} 20443: 22896: 4252: 25578:

Since the perturbed Hamiltonian is time-dependent, so are its energy levels and eigenstates. Thus, the goals of time-dependent perturbation theory are slightly different from time-independent perturbation theory. One is interested in the following quantities:

18019:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau _{1}+\ldots +\tau _{k-1})\dotsm V(\tau _{1}+\tau _{2})V(\tau _{1})V(0)|n^{(0)}\rangle _{\text{conn}}=\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}ds_{i}\,e^{-(s_{i}-E_{n}^{(0)})\tau _{i}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1})\,} 21770:

The validity of perturbation theory lies on the adiabatic assumption, which assumes the eigenenergies and eigenstates of the Hamiltonian are smooth functions of parameters such that their values in the vicinity region can be calculated in power series (like

18613: 5099:{\displaystyle E_{n}(\lambda )=E_{n}^{(0)}+\lambda \left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}{\frac {\left|\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+O(\lambda ^{3})} 3602: 20325: 37552: 2287: 18822: 26644: 35488: 600: 1291:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(k)}&={\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}E_{n}}{d\lambda ^{k}}}{\bigg |}_{\lambda =0}\\\left|n^{(k)}\right\rangle &=\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}|n\rangle }{d\lambda ^{k}}}\right|_{\lambda =0.}\end{aligned}}} 3970: 1048:{\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \\|n\rangle &=\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle +\lambda ^{2}\left|n^{(2)}\right\rangle +\cdots \end{aligned}}} 35872: 39146: 36262: 1685: 23415:{\displaystyle E_{n}(x^{\mu })=\langle n|H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle x^{\mu }+\Re \sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}x^{\mu }x^{\nu }+\cdots ,} 33600: 34803: 36070: 29004: 18481: 17237: 36772: 32918: 28009: 18037: 26017: 28806: 27408: 27048: 33040: 24038: 18900: 1678: 26473: 33056: 32001: 2002: 26172: 21133: 4681: 19098: 32736:

where the time secular series yields the eigenvalues of the perturbed problem specified above, recursively; whereas the remaining time-constant part yields the corrections to the stationary eigenfunctions also given above

23953:{\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\sum _{m}\left(\langle \partial _{\mu }n|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle \right),} 22670: 28175: 22339: 26690: 25633:

physics, where one is interested in the populations of different atomic states in a gas when a time-dependent electric field is applied. These probabilities are also useful for calculating the "quantum broadening" of

25525:

In a formal way it is possible to define an effective Hamiltonian that gives exactly the low-lying energy states and wavefunctions. In practice, some kind of approximation (perturbation theory) is generally required.

22562:{\displaystyle \langle m|\partial _{\mu }n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}},\qquad \langle \partial _{\mu }m|n\rangle ={\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{m}-E_{n}}}.} 23732:{\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }E_{n}=\langle \partial _{\mu }n|\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\mu }\partial _{\nu }H|n\rangle +\langle n|\partial _{\nu }H|\partial _{\mu }n\rangle .} 3097: 2235: 4695: 34584: 30634:

As an aside, note that time-independent perturbation theory is also organized inside this time-dependent perturbation theory Dyson series. To see this, write the unitary evolution operator, obtained from the above

18338:

are non-zero, so complete mixing of at least some of these states is assured. Typically, the eigenvalues will split, and the eigenspaces will become simple (one-dimensional), or at least of smaller dimension than

2676: 759: 35630: 28166: 26982: 37092: 27690: 27403: 33218: 36777: 35725: 30326: 29889: 24050:

can be excluded from the summation, which avoids the singularity of the energy denominator. The same procedure can be carried on for higher order derivatives, from which higher order corrections are obtained.

4540:, which means that the perturbation deforms the eigenstate to a greater extent if there are more eigenstates at nearby energies. The expression is singular if any of these states have the same energy as state 34423: 35718: 24966: 19404: 6790: 28680: 311:

Under some circumstances, perturbation theory is an invalid approach to take. This happens when the system we wish to describe cannot be described by a small perturbation imposed on some simple system. In

32807: 31371: 27044:

However, exact solutions are difficult to find when there are many energy levels, and one instead looks for perturbative solutions. These may be obtained by expressing the equations in an integral form,

25819: 32082:

gives back the final state of the system by eliminating all oscillating terms, but keeping the secular ones. The integrals are thus computable, and, separating the diagonal terms from the others yields

21785: 5115: 3101:

To obtain the first-order correction to the energy eigenstate, the expression for the first-order energy correction is inserted back into the result shown above, equating the first-order coefficients of

1063: 814: 19322:, where near-degeneracy, treated properly, gives rise to an energy gap even for small perturbations. Other eigenstates will only shift the absolute energy of all near-degenerate states simultaneously. 18492: 151:) can be expressed as "corrections" to those of the simple system. These corrections, being small compared to the size of the quantities themselves, can be calculated using approximate methods such as 36561: 34899: 19318:

Near-degenerate states should also be treated similarly, when the original Hamiltonian splits aren't larger than the perturbation in the near-degenerate subspace. An application is found in the

37671:

Aoyama, Tatsumi; Hayakawa, Masashi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (2012). "Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization".

18678: 17104: 30386: 26488: 37366: 35391: 23541: 6870: 6136: 475: 20207: 19819: 19611: 199:

Perturbation theory is applicable if the problem at hand cannot be solved exactly, but can be formulated by adding a "small" term to the mathematical description of the exactly solvable problem.

32091: 24062: 19987: 19657: 12182: 6884: 3118: 37097: 21720: 4522: 2118: 23118: 31361: 31299: 30013: 29958: 28872: 25520: 17021:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V(\tau )V(0)|n^{(0)}\rangle -\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle ^{2}=\mathrel {\mathop {:} } \int _{\mathbb {R} }\!ds\;\rho _{n,2}(s)\,e^{-(s-E_{n}^{(0)})\tau }} 4203: 2857: 39091: 37413: 22248: 21205: 20393: 30620:{\displaystyle A_{\alpha \beta }=-{\frac {i\lambda }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\langle \beta |V(t_{1})|\alpha \rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\alpha }-E_{\beta })(t_{1}-t_{0})}~,} 22663: 29222:{\displaystyle \lambda e^{{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}V(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{I}(t)\rangle }{\partial t}}~,} 22889: 33806:{\displaystyle e^{{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}H_{0}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi _{F}(t)\rangle }{\partial t}}} 24906: 22165: 25462: 20212: 33490: 27685: 21506: 36612: 34840: 34717: 26279:

on the right hand side. This is only a matter of convention, and may be done without loss of generality. The reason we go to this trouble is that when the system starts in the state

3022:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =-\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle ,} 271:. In practice, convergent perturbation expansions often converge slowly while divergent perturbation expansions sometimes give good results, c.f. the exact solution, at lower order. 28884: 18369: 17115: 4690:

We can find the higher-order deviations by a similar procedure, though the calculations become quite tedious with our current formulation. Our normalization prescription gives that

26277: 21273: 2275: 155:. The complicated system can therefore be studied based on knowledge of the simpler one. In effect, it is describing a complicated unsolved system using a simple, solvable system. 36658: 32828: 27919: 21596: 21405: 21346: 35520: 25932: 21457: 20653:{\displaystyle E_{nk}=E_{n}^{0}+\lambda V_{nk,nk}+\lambda ^{2}\sum \limits _{m\neq n}{\frac {\left|V_{m,nk}\right|^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}+{\mathcal {O}}(\lambda ^{3})\,,} 28688: 24842: 24811: 23061:{\displaystyle \langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle +E_{m}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}\langle m|n\rangle +E_{n}\langle m|\partial _{\mu }n\rangle .} 19501: 4433:{\displaystyle \left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\left|k^{(0)}\right\rangle .} 25923: 18319: 673: 39136: 32928: 16703: 4244: 3965: 3835: 3594: 3549: 2159: 2050: 1903: 34454: 33206: 32069: 30414: 19770: 1581: 35558: 34554: 26373: 25886: 25687:

for the unperturbed system. (We drop the (0) superscripts for the eigenstates, because it is not useful to speak of energy levels and eigenstates for the perturbed system.)

24986:

be the coupling terms connecting the subspaces. Then when the high energy degrees of freedoms are integrated out, the effective Hamiltonian in the low energy subspace reads

21643: 19440: 16774: 37599: 18855: 18640: 3774:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)\left|n^{(1)}\right\rangle =\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39141: 38382: 25685: 21538: 37404: 31366: 20051: 19941: 19877: 19741: 19562: 19313: 18884: 18669: 17310: 17277: 3873: 2428:{\displaystyle \left(\left\langle n^{(0)}\right|+\lambda \left\langle n^{(1)}\right|\right)\left(\left|n^{(0)}\right\rangle +\lambda \left|n^{(1)}\right\rangle \right)=1} 1912: 400:. Perturbation theory can only detect solutions "close" to the unperturbed solution, even if there are other solutions for which the perturbative expansion is not valid. 34482: 26681: 26305: 26047: 25716: 22834: 20158: 19903: 19469: 796: 32812:

The unitary evolution operator is applicable to arbitrary eigenstates of the unperturbed problem and, in this case, yields a secular series that holds at small times.

21211:, which basically defines the derivatives of the quantum states and calculates the perturbative corrections by taking derivatives iteratively at the unperturbed point. 20093: 36653: 21048: 20678: 20439: 20129: 32036: 20419: 20013: 19703: 3924: 3898: 34561: 34557: 33478: 33475: 23440: 4136:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left\langle k^{(0)}\right.\left|n^{(1)}\right\rangle =\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 143:

representing a weak disturbance to the system. If the disturbance is not too large, the various physical quantities associated with the perturbed system (e.g. its

44: 16729: 36060:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\int e^{-ik\phi }\cos \phi e^{in\phi }\,d\phi \right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},} 22269: 36480: 19839: 19677: 19524: 380:

of the expansion parameter. However, if we "integrate" over the solitonic phenomena, the nonperturbative corrections in this case will be tiny; of the order of

23963: 3032: 2167: 631:

be a dimensionless parameter that can take on values ranging continuously from 0 (no perturbation) to 1 (the full perturbation). The perturbed Hamiltonian is:

38760: 36448:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{2n-1}}+{\frac {1}{-2n-1}}\right)={\frac {ma^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}.} 33179:

but a direct substitution into the above equation fails to produce useful results. This situation can be adjusted making a rescaling of the time variable as

680: 35565: 28014: 1855:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(1)}\right\rangle +V\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(1)}\right\rangle +E_{n}^{(1)}\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39129: 38765: 27012:

is sufficiently slow, this may cause the state amplitudes to oscillate. (For example, such oscillations are useful for managing radiative transitions in a

27294: 25618:-direction of the electron in a hydrogen atom, in which case the expected value, when multiplied by an appropriate coefficient, gives the time-dependent 420:. Computers have also been used to carry out perturbation theory calculations to extraordinarily high levels of precision, which has proven important in 36252:{\displaystyle E_{n}^{(2)}={\frac {ma^{2}}{2\hbar ^{2}}}\sum _{k}{\frac {\left|\left(\delta _{n,1-k}+\delta _{n,-1-k}\right)\right|^{2}}{n^{2}-k^{2}}},} 30018: 29236: 26057: 33836: 4547: 18249:{\displaystyle E_{n}^{(k)}=(-1)^{k-1}\int _{\mathbb {R} }\,\prod _{i=1}^{k-1}{\frac {ds_{i}}{s_{i}-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,k}(s_{1},\ldots ,s_{k-1}).} 35635: 21411:

over the parameter manifold, on which derivatives of these states can be defined. The perturbation theory is to answer the following question: given

19336: 6708: 798:

in terms of the energy levels and eigenstates of the old Hamiltonian. If the perturbation is sufficiently weak, they can be written as a (Maclaurin)

32038:

and the asymptotic limit of larger times. This means that, at each contribution of the perturbation series, one has to add a multiplicative factor

28391: 27626:{\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}^{(0)}\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 27275:{\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)-{\frac {i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 441:, who investigated harmonic vibrations of a string perturbed by small inhomogeneities. This is why this perturbation theory is often referred to as 139:

in terms of a simpler one. The idea is to start with a simple system for which a mathematical solution is known, and add an additional "perturbing"

91: 38375: 25733: 63: 38489: 19082:{\displaystyle \left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle .} 2052:, which is a valid quantum state though no longer an energy eigenstate. The perturbation causes the average energy of this state to increase by 39124: 36488: 22258:

The above power series expansion can be readily evaluated if there is a systematic approach to calculate the derivates to any order. Using the

234:) is very long. This instability shows up as a broadening of the energy spectrum lines, which perturbation theory fails to reproduce entirely. 34845: 33170:{\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{0}\rangle +{\frac {1}{\lambda }}|\psi _{1}\rangle +{\frac {1}{\lambda ^{2}}}|\psi _{2}\rangle +\ldots } 2011:

This result can be interpreted in the following way: supposing that the perturbation is applied, but the system is kept in the quantum state

237:

The expressions produced by perturbation theory are not exact, but they can lead to accurate results as long as the expansion parameter, say

70: 26888: 25622:

of a hydrogen gas. With an appropriate choice of perturbation (i.e. an oscillating electric potential), this allows one to calculate the AC

38942: 27019:

Up to this point, we have made no approximations, so this set of differential equations is exact. By supplying appropriate initial values

6794: 267:). There exist ways to convert them into convergent series, which can be evaluated for large-expansion parameters, most efficiently by the 38368: 19279:{\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\not \in D}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle ,} 22799:{\displaystyle \partial _{\mu }H|n\rangle +H|\partial _{\mu }n\rangle =\partial _{\mu }E_{n}|n\rangle +E_{n}|\partial _{\mu }n\rangle .} 21648: 38987: 77: 28377:{\displaystyle TA(t_{1})A(t_{2})={\begin{cases}A(t_{1})A(t_{2})&t_{1}>t_{2}\\A(t_{2})A(t_{1})&t_{2}>t_{1}\end{cases}}~.} 31249: 24911: 27033:, we could in principle find an exact (i.e., non-perturbative) solution. This is easily done when there are only two energy levels ( 19330:

Let us consider degenerate energy eigenstates and a perturbation that completely lifts the degeneracy to first order of correction.

18886:, compared to the range of energies found in the system, it is crucial in understanding certain details, such as spectral lines in 38494: 33608:

as we are trying to eliminate the interaction term. Now, in dual way with respect to the small perturbations, we have to solve the

32740: 26866:{\displaystyle {\frac {dc_{n}}{dt}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\langle n|V(t)|k\rangle \,c_{k}(t)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }~.} 187:, are too idealized to adequately describe most systems. Using perturbation theory, we can use the known solutions of these simple 59: 18328:

denote the subspace spanned by these degenerate eigenstates. No matter how small the perturbation is, in the degenerate subspace

4808:{\displaystyle 2\left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(2)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.} 438: 437:

in a 1926 paper, shortly after he produced his theories in wave mechanics. In this paper Schrödinger referred to earlier work of

34705:{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}+\lambda x^{4}.} 21219:

From the differential geometric point of view, a parameterized Hamiltonian is considered as a function defined on the parameter

2786:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle +\left\langle n^{(1)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =0.} 365: 268: 28682:

Note that in the second term, the 1/2! factor exactly cancels the double contribution due to the time-ordering operator, etc.

27876:{\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }~.} 25629:

The second quantity looks at the time-dependent probability of occupation for each eigenstate. This is particularly useful in

21286:

that acts on the Hilbert space. The parameters here can be external field, interaction strength, or driving parameters in the

1905:, the first term on the left-hand side cancels the first term on the right-hand side. (Recall, the unperturbed Hamiltonian is 38504: 38091: 38012: 37930: 37908: 37825: 17031: 2005: 677:

The energy levels and eigenstates of the perturbed Hamiltonian are again given by the time-independent Schrödinger equation,

337: 36980: 30333: 25657:

We will briefly examine the method behind Dirac's formulation of time-dependent perturbation theory. Choose an energy basis

39070: 36970:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x,y,z)=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y',z'){\frac {e^{ikr}}{r}}\,dx'dy'dz',} 35860:{\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2\pi }}\int e^{-in\phi }\cos \phi e^{in\phi }=-{\frac {1}{2\pi }}\int \cos \phi =0.} 32820:

In a similar way as for small perturbations, it is possible to develop a strong perturbation theory. Consider as usual the

23494: 6079: 619:

be a Hamiltonian representing a weak physical disturbance, such as a potential energy produced by an external field. Thus,

20163: 19775: 19567: 38524: 38519: 19946: 19616: 27889:, which relates the rate of transitions between quantum states to the density of states at particular energies; or the 25598:

a given time-dependent state) of those basis states that are energy eigenkets (eigenvectors) in the unperturbed system.

24054:

The same computational scheme is applicable for the correction of states. The result to the second order is as follows

22266:

are used to calculate these single derivatives. The first Hellmann–Feynman theorem gives the derivative of the energy,

18273: 4459: 2164:

Before corrections to the energy eigenstate are computed, the issue of normalization must be addressed. Supposing that

2055: 636: 23073: 38135: 37407: 31304: 29963: 29901: 28815: 25467: 4148: 2802: 412:. It has become practical to obtain numerical non-perturbative solutions for certain problems, using methods such as 110: 38306:

Lifshitz, E. M., & LD and Sykes Landau (JB). (1965). Quantum Mechanics; Non-relativistic Theory. Pergamon Press.

37946:

Hogervorst M, Meineri M, Penedones J, Salehi Vaziri K (2021). "Hamiltonian truncation in Anti-de Sitter spacetime".

35525: 30627:

as detailed in the previous section——while the corresponding transition probability to a continuum is furnished by

25837: 22202: 21145: 2120:. However, the true energy shift is slightly different, because the perturbed eigenstate is not exactly the same as 38937: 38621: 20330: 18608:{\displaystyle V|k^{(0)}\rangle =\epsilon _{k}|k^{(0)}\rangle +{\text{small}}\qquad \forall |k^{(0)}\rangle \in D,} 84: 22610: 20320:{\displaystyle V_{nl,nk}\equiv \left\langle \psi _{nl}^{(0)}\right|{\hat {V}}\left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 38684: 38444: 37284: 27894: 22839: 21142:

The generalization of time-independent perturbation theory to the case where there are multiple small parameters

6138:), we obtain the same expression for the second-order correction to the wave function, except for the last term. 188: 172: 140: 37644:

Simon, Barry (1982). "Large orders and summability of eigenvalue perturbation theory: A mathematical overview".

24854: 22132: 18817:{\displaystyle \langle k^{(0)}|V|l^{(0)}\rangle =V_{kl}\qquad \forall \;|k^{(0)}\rangle ,|l^{(0)}\rangle \in D.} 18485:

For the first-order perturbation, we need solve the perturbed Hamiltonian restricted to the degenerate subspace

38611: 38123: 27633:

To the same approximation, the summation in the above expression can be removed since in the unperturbed state

26639:{\displaystyle \sum _{n}\left(i\hbar {\frac {dc_{n}}{dt}}-c_{n}(t)V(t)\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =0~.} 25424: 16655: 48: 37781:

Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" [Quantization as an eigenvalue problem].

35483:{\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}-\lambda \cos \phi } 27636: 21462: 595:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle ,\qquad n=1,2,3,\cdots } 39200: 38616: 38509: 37625: 34808: 34576: 25610:

measurement performed on a macroscopic number of copies of the perturbed system. For example, we could take

36566: 39195: 39170: 38514: 37274:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x,y)=-{\frac {im}{2\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x',y')H_{0}^{(1)}(kr)\,dx'dy',} 26226: 22343:

The second Hellmann–Feynman theorem gives the derivative of the state (resolved by the complete basis with

22263: 21226: 2240: 24763:

approach to the perturbative corrections can be coded on computers with symbolic processing software like

21557: 21366: 21307: 38556: 35493: 26021:

The quantum state at each instant can be expressed as a linear combination of the complete eigenbasis of

21414: 180: 38355: 25464:

are restricted in the low energy subspace. The above result can be derived by power series expansion of

24816: 24785: 21739:

should be identified as the generalized force operators related to those coordinates. Different indices

19474: 39174: 38638: 37547:{\displaystyle \psi ^{(1)}(x)=-{\frac {im}{\hbar ^{2}}}\int \psi ^{(0)}U(x'){\frac {e^{ikr}}{k}}\,dx',} 25891: 19319: 3107: 2796: 328:(the expansion parameter) becomes too large, violating the requirement that corrections must be small. 16667: 4208: 3929: 3799: 3558: 3513: 2123: 2014: 1867: 608:

superscripts denote that these quantities are associated with the unperturbed system. Note the use of

39034: 38967: 38962: 38925: 38456: 38429: 38399: 34581:

Consider the quantum harmonic oscillator with the quartic potential perturbation and the Hamiltonian

34430: 33182: 32041: 30391: 22262:, the derivatives can be broken down to the single derivative on either the energy or the state. The 19746: 413: 34508: 28228: 21610: 19409: 16737: 38891: 38886: 38795: 38755: 38471: 37899: 36655:

present in the space, in the first approximation, the perturbed state is described by the equation

23960:

then all parts can be calculated using the Hellmann–Feynman theorems. In terms of Lie derivatives,

22172: 21287: 20327:

are diagonal. Assuming also that the degeneracy is completely lifted to the first order, i.e. that

18833: 18618: 37730:

Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences

25660: 21511: 39080: 38348: 38327: 37371: 33595:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V(t-t_{0})}|\psi _{F}(t)\rangle } 33445: 25619: 21743:

label the different forces along different directions in the parameter manifold. For example, if

21045:

Notice that here the first order correction to the state is orthogonal to the unperturbed state,

20018: 19908: 19844: 19708: 19529: 19289: 18887: 18860: 18645: 18270:

This is manifested in the calculation of the perturbed eigenstate via the fact that the operator

18264: 17282: 17244: 3840: 3784: 275: 37: 38716: 36483: 35562:

The unperturbed normalized quantum wave functions are those of the rigid rotor and are given by

34798:{\displaystyle \psi _{0}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-\alpha x^{2}/2}} 34459: 33609: 32821: 29007: 27914: 26658: 26282: 26024: 25693: 22811: 22605: 21607:

Without loss of generality, the coordinate system can be shifted, such that the reference point

20134: 19882: 19445: 773: 467: 168: 39085: 39075: 39049: 38871: 38866: 38861: 38856: 38814: 38777: 38723: 38449: 38439: 38417: 37620: 37615: 30628: 28999:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H_{0}(t-t_{0})}|\psi _{I}(t)\rangle ~.} 27886: 25544: 23760:

on the operator level. Resolve the derivative of state by inserting the complete set of basis,

23461:

is given by the first Hellmann–Feynman theorem directly. To obtain the second order derivative

20059: 18476:{\displaystyle |n\rangle =\sum _{k\in D}\alpha _{nk}|k^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle .} 18350:. Instead, we consider the perturbation "small" if the new eigenstate is close to the subspace 17232:{\displaystyle E_{n}^{(2)}=-\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {ds}{s-E_{n}^{(0)}}}\,\rho _{n,2}(s).} 313: 38029: 37557: 36617: 25727: 20663: 20424: 20098: 364:. When faced with such systems, one usually turns to other approximation schemes, such as the 39002: 38982: 38920: 38849: 38628: 38606: 38581: 38481: 38148:

Frasca, M. (1998). "Duality in Perturbation Theory and the Quantum Adiabatic Approximation".

36767:{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ^{(1)}+k^{2}\psi ^{(1)}={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}\psi ^{(0)},} 33482: 32913:{\displaystyle H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 32008: 28004:{\displaystyle H(t)|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 26684: 21645:

is set to be the origin. The following linearly parameterized Hamiltonian is frequently used

21208: 20398: 19992: 19682: 3903: 3552: 1575: 408:

The problem of non-perturbative systems has been somewhat alleviated by the advent of modern

249:

that seem to converge to the exact values when summed to higher order. After a certain order

35383: 26012:{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.} 175:

of even moderate complexity. The Hamiltonians to which we know exact solutions, such as the

39160: 39054: 39039: 38954: 38881: 38844: 38839: 38829: 38589: 38543: 38273: 38220: 38167: 38041: 37965: 37854: 37790: 37737: 37690: 28801:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}~,} 22168: 2161:. These further shifts are given by the second and higher order corrections to the energy. 1578:. The zeroth-order equation is simply the Schrödinger equation for the unperturbed system, 609: 291: 34577:

Example of first-order perturbation theory – ground-state energy of the quartic oscillator

33451: 32005:

It is evident that, at second order, one must sum on all the intermediate states. Assume

26307:

and no perturbation is present, the amplitudes have the convenient property that, for all

23425: 434: 8: 39029: 38898: 38809: 38696: 38667: 38391: 33035:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial |\psi (t)\rangle }{\partial t}}} 28878: 25603: 24040:

according to the definition of the connection for the vector bundle. Therefore, the case

24033:{\displaystyle \langle \partial _{\mu }n|n\rangle =\langle n|\partial _{\mu }n\rangle =0} 18642:

are first-order corrections to the degenerate energy levels, and "small" is a vector of

16708: 357: 132: 38277: 38224: 38171: 38078:, Graduate Texts in Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 265–310, 38045: 37969: 37858: 37794: 37741: 37694: 3878: 1673:{\displaystyle H_{0}\left|n^{(0)}\right\rangle =E_{n}^{(0)}\left|n^{(0)}\right\rangle .} 39166: 38819: 38805: 38787: 38770: 38750: 38733: 38643: 38466: 38289: 38263: 38254:

Frasca, Marco (2007). "A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system".

38236: 38210: 38183: 38157: 37981: 37955: 37880: 37843:"Aspects of perturbation theory in quantum mechanics: The BenderWuMathematica® package" 37758: 37725: 37706: 37680: 36465: 30015:(for the sake of simplicity assume a pure discrete spectrum), yields, to first order, 26468:{\displaystyle \left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}~.} 19824: 19662: 19509: 19091:

The operator on the left-hand side is not singular when applied to eigenstates outside

18346:

The successful perturbations will not be "small" relative to a poorly chosen basis of

4817:

Up to second order, the expressions for the energies and (normalized) eigenstates are:

1906: 624: 203: 20053:, but not necessarily unique, i.e. not necessarily always different among themselves. 38992: 38728: 38706: 38633: 38594: 38571: 38360: 38131: 38119: 38087: 38008: 37985: 37926: 37904: 37872: 37821: 37763: 37710: 34565: 25584: 17241:

Similar formulas exist to all orders in perturbation theory, allowing one to express

16732: 6141:

Extending the process further, the third-order energy correction can be shown to be

417: 369: 349: 325: 264: 223: 184: 152: 124: 38293: 38240: 38201:

Mostafazadeh, A. (1997). "Quantum adiabatic approximation and the geometric phase".

37884: 31996:{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)=1&-\left\\&-\left+\cdots \end{aligned}}} 1997:{\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle .} 38910: 38701: 38689: 38672: 38650: 38599: 38551: 38412: 38281: 38256:

Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences

38228: 38187: 38175: 38079: 38049: 37973: 37862: 37798: 37753: 37745: 37698: 37653: 26653: 25647: 6699:

Corrections to fifth order (energies) and fourth order (states) in compact notation

2008:

of the perturbation Hamiltonian while the system is in the unperturbed eigenstate.

421: 290:

has been found to agree with experiment to eleven decimal places. In QED and other

260: 26167:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ~,} 23741:

Note that for a linearly parameterized Hamiltonian, there is no second derivative

20421:, we have the following formulae for the energy correction to the second order in 39016: 38972: 38799: 38743: 38738: 38677: 38499: 38424: 38333: 38083: 38000: 27898: 25651: 25639: 25548: 21128:{\displaystyle \left\langle \psi _{nk}^{(0)}|\psi _{nk}^{(1)}\right\rangle =0\,.} 4676:{\displaystyle |\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |\ll |E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}|.} 4532:; it is also inversely proportional to the energy difference between eigenstates 295: 287: 37977: 1310:

Substituting the power series expansion into the Schrödinger equation produces:

38660: 38111: 38071: 37702: 26205: 25643: 23070:

Given that the eigenstates of the Hamiltonian always form an orthonormal basis

18263:

Suppose that two or more energy eigenstates of the unperturbed Hamiltonian are

373: 227: 215: 136: 38340: 38319: 37867: 37842: 36462:

When the unperturbed state is a free motion of a particle with kinetic energy

35722:

The first-order energy correction to the rotor due to the potential energy is

20160:

in the basis of the unperturbed eigenstates. We assume that the basis vectors

462:, which is assumed to have no time dependence. It has known energy levels and 39189: 38977: 38932: 38915: 38561: 38434: 38232: 38179: 37876: 37802: 33441: 27909:

Time-dependent perturbations can be reorganized through the technique of the

26217: 25723: 25635: 25552: 21772: 21408: 463: 211: 207: 176: 167:

systems, as it turns out to be very difficult to find exact solutions to the

148: 259:

however, the results become increasingly worse since the series are usually

226:

with a linear potential is unstable (has no true bound states) although the

38997: 38876: 38655: 38566: 38461: 38285: 37767: 37749: 33820: 30636: 29230: 28385: 27910: 27890: 26482: 25623: 24782:

be the Hamiltonian completely restricted either in the low-energy subspace

22334:{\displaystyle \partial _{\mu }E_{n}=\langle n|\partial _{\mu }H|n\rangle } 4446:-th energy eigenket has a contribution from each of the energy eigenstates 799: 376:

in the unperturbed model and the energy of a soliton typically goes as the

242: 219: 144: 38053: 37657: 21207:

in place of λ can be formulated more systematically using the language of

39108: 39024: 35384:

Example of first- and second-order perturbation theory – quantum pendulum

34501:

and we can go from one to another applying this exchange. This is called

24764: 22595:

The theorems can be simply derived by applying the differential operator

3092:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(1)}\right\rangle =0.} 2230:{\displaystyle \left\langle n^{(0)}\right|\left.n^{(0)}\right\rangle =1,} 424:

for generating theoretical results that can be compared with experiment.

361: 341: 336:

Perturbation theory also fails to describe states that are not generated

286:

interaction is treated perturbatively, the calculation of the electron's

241:, is very small. Typically, the results are expressed in terms of finite 6076:

If an intermediate normalization is taken (it means, if we require that

39044: 38268: 38215: 38162: 37945: 37610: 34488:. The reason is that we have obtained this series simply interchanging 30416:. The corresponding transition probability amplitude to first order is 25540: 22259: 19564:. We will denote the unperturbed states in this degenerate subspace as 754:{\displaystyle \left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .} 231: 35625:{\displaystyle \psi _{n}(\phi )={\frac {e^{in\phi }}{\sqrt {2\pi }}},} 28161:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =T\exp {\left}|\psi (t_{0})\rangle ~,} 26977:{\displaystyle \langle k|\Psi (t)\rangle =c_{k}(t)e^{-iE_{k}t/\hbar }} 22175:. All the terms on the right-hand-side of the series are evaluated at 39092:

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences

38407: 23443: 19705:

represents all other energy eigenstates with energies different from

19679:

is the index of the unperturbed state in the degenerate subspace and

18826:

This procedure is approximate, since we neglected states outside the

27398:{\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots } 27037:= 1, 2), and this solution is useful for modelling systems like the 27008:, the phase winds around 0 several times. If the time-dependence of 20209:

in the degenerate subspace are chosen such that the matrix elements

1570:

Expanding this equation and comparing coefficients of each power of

26: 37960: 37820:. Vol. I (2nd ed.). London: Macmillan. pp. 115–118. 21363:

respectively. In the language of differential geometry, the states

21220: 4524:, which is a measure of how much the perturbation mixes eigenstate 409: 324:

field cannot be treated perturbatively at low energies because the

279: 222:) can be calculated. This is only approximate because the sum of a 131:

is a set of approximation schemes directly related to mathematical

37685: 30321:{\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~.} 29884:{\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~,} 26477:

Plugging into the Schrödinger equation and using the fact that ∂/∂

25730:, where state vectors evolve in time and operators are constant), 3926:

can be chosen and multiplying the first-order equation through by

604:

For simplicity, it is assumed that the energies are discrete. The

37726:"Density functional theory across chemistry, physics and biology" 34418:{\displaystyle |\psi _{F}(t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle .} 27038: 416:. These advances have been of particular benefit to the field of 345: 164: 35388:

Consider the quantum-mathematical pendulum with the Hamiltonian

34564:

is a semiclassical series with eigenvalues given exactly as for

25690:

If the unperturbed system is an eigenstate (of the Hamiltonian)

21765: 4205:

also gives us the component of the first-order correction along

2795:

Since the overall phase is not determined in quantum mechanics,

39147:

European Community on Computational Methods in Applied Sciences

38711: 38529: 37999:

Bir, Gennadiĭ Levikovich; Pikus, Grigoriĭ Ezekielevich (1974).

35713:{\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}}{2ma^{2}}}.} 33485:. Indeed, in this case we introduce the unitary transformation 25595: 24961:{\displaystyle m\in {\mathcal {H}}_{L},l\in {\mathcal {H}}_{H}} 19399:{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}\,,} 6785:{\displaystyle V_{nm}\equiv \langle n^{(0)}|V|m^{(0)}\rangle ,} 353: 283: 191:

to generate solutions for a range of more complicated systems.

28675:{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\left|\psi (t_{0})\rangle ~.} 37724:

van Mourik, T.; Buhl, M.; Gaigeot, M.-P. (10 February 2014).

32802:{\displaystyle |n(\lambda )\rangle =U(0;\lambda )|n\rangle )} 27013: 25814:{\displaystyle |j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle ~.} 25630: 25602:

The first quantity is important because it gives rise to the

20131:, we denote the matrix elements of the perturbation operator 18897:

can be found in the same way as for the non-degenerate case,

17112:

in the interaction picture, evolving in Euclidean time. Then

360:

leads to the formation of correlated electron pairs known as

321: 317: 163:

Perturbation theory is an important tool for describing real

39142:

International Council for Industrial and Applied Mathematics

35869:

Using the formula for the second-order correction, one gets

33819:

appears only into the exponential and so, the corresponding

18857:

is generally observed. Although the splitting may be small,

4685: 28364: 26223:

We have explicitly extracted the exponential phase factors

15929: 15919: 4777: 4727: 4049: 3061: 2994: 2941: 2891: 2755: 2705: 2634: 2572: 2519: 2466: 2196: 1207: 38320:"L1.1 General problem. Non-degenerate perturbation theory" 37670: 18893:

Higher-order corrections due to other eigenstates outside

6874:

then the energy corrections to fifth order can be written

615:

A perturbation is then introduced to the Hamiltonian. Let

38001:"Chapter 15: Perturbation theory for the degenerate case" 36556:{\displaystyle \nabla ^{2}\psi ^{(0)}+k^{2}\psi ^{(0)}=0} 27291:

back into right hand side, yields an iterative solution,

25925:

denote the quantum state of the perturbed system at time

21137: 18830:

subspace ("small"). The splitting of degenerate energies

18615:

simultaneously for all the degenerate eigenstates, where

34894:{\displaystyle E_{0}^{(0)}={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega } 27897:, which is one of the starting points for the method of 24851:

connecting the low- and the high-energy subspaces, i.e.

33444:

equation. But we know that in this case we can use the

25823:

Now, introduce a time-dependent perturbing Hamiltonian

17099:{\displaystyle V(\tau )=e^{H_{0}\tau }Ve^{-H_{0}\tau }} 427: 298:

are used to systematically sum the power series terms.

38390: 37087:{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}} 36569: 34874: 30381:{\displaystyle |\alpha \rangle =|\psi (t_{0})\rangle } 25555:, studies the effect of a time-dependent perturbation 19743:. The eventual degeneracy among the other states with 38761:

Numerical methods for ordinary differential equations

38005:

Symmetry and Strain-induced Effects in Semiconductors

37723: 37560: 37416: 37374: 37287: 37100: 36983: 36780: 36661: 36620: 36491: 36468: 36457: 36265: 36073: 35875: 35728: 35638: 35568: 35528: 35496: 35394: 35164: 34909: 34848: 34811: 34720: 34587: 34511: 34462: 34433: 33839: 33619: 33493: 33454: 33216: 33185: 33059: 32931: 32831: 32743: 32089: 32044: 32011: 31369: 31307: 31252: 30645: 30422: 30394: 30388:, by dint of the perturbation can go into the state 30336: 30330:

Thus, the system, initially in the unperturbed state

30021: 29966: 29904: 29239: 29016: 28887: 28818: 28691: 28394: 28178: 28017: 27922: 27693: 27639: 27411: 27297: 27051: 26891: 26693: 26683:

on the left, this can be reduced to a set of coupled

26661: 26491: 26376: 26285: 26229: 26060: 26027: 25935: 25894: 25840: 25736: 25696: 25663: 25529: 25470: 25427: 24994: 24914: 24857: 24819: 24788: 24060: 23966: 23766: 23551: 23536:{\displaystyle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle } 23497: 23428: 23157: 23076: 22899: 22842: 22814: 22673: 22613: 22359: 22272: 22205: 22135: 21783: 21651: 21613: 21560: 21514: 21465: 21417: 21369: 21310: 21229: 21148: 21051: 20685: 20666: 20446: 20427: 20401: 20333: 20215: 20166: 20137: 20101: 20062: 20021: 19995: 19949: 19911: 19885: 19847: 19827: 19778: 19749: 19711: 19685: 19665: 19619: 19570: 19532: 19512: 19477: 19448: 19412: 19339: 19292: 19101: 18903: 18863: 18836: 18681: 18648: 18621: 18495: 18372: 18276: 18040: 17674: 17318: 17285: 17247: 17118: 17034: 16782: 16740: 16711: 16670: 12180: 6882: 6865:{\displaystyle E_{nm}\equiv E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)},} 6797: 6711: 6149: 6131:{\displaystyle \langle n^{(0)}|n(\lambda )\rangle =1} 6082: 5113: 4825: 4698: 4550: 4462: 4255: 4211: 4151: 3973: 3932: 3906: 3881: 3843: 3802: 3605: 3561: 3516: 3116: 3035: 2865: 2805: 2679: 2440: 2290: 2243: 2170: 2126: 2058: 2017: 1915: 1870: 1688: 1584: 1318: 1061: 812: 776: 683: 639: 478: 39137:

Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles

39130:

Japan Society for Industrial and Applied Mathematics

38766:

Numerical methods for partial differential equations

38480: 33440:

that can be solved once we know the solution of the

28877:

Perform the following unitary transformation to the

25929:. It obeys the time-dependent Schrödinger equation, 25722:= 0, its state at subsequent times varies only by a 22171:

if the vector bundle is equipped with non-vanishing

20202:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 19814:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 19606:{\displaystyle \left|\psi _{nk}^{(0)}\right\rangle } 3875:. After renaming the summation dummy index above as 2799:, in time-independent theory it can be assumed that 38953: 38072:"Time-Dependent Perturbations in Quantum Mechanics" 27893:, obtained by applying the iterative method to the 26216:(strictly speaking, they are the amplitudes in the 25534: 22836:from left and make use of the Schrödinger equation 21762:should be the magnetization in the same direction. 20660:and for the state correction to the first order in 19982:{\displaystyle \left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle } 19652:{\displaystyle \left|\psi _{m}^{(0)}\right\rangle } 19325: 453:The process begins with an unperturbed Hamiltonian 51:. Unsourced material may be challenged and removed. 37840: 37593: 37546: 37398: 37360: 37273: 37086: 36969: 36766: 36647: 36606: 36555: 36474: 36447: 36251: 36059: 35859: 35712: 35624: 35552: 35514: 35482: 35373: 35150: 34893: 34834: 34797: 34704: 34548: 34476: 34448: 34417: 33805: 33594: 33469: 33430: 33200: 33169: 33034: 32912: 32801: 32728: 32063: 32030: 31995: 31355: 31293: 31231: 30619: 30408: 30380: 30320: 30007: 29952: 29883: 29221: 28998: 28866: 28800: 28674: 28376: 28160: 28003: 27885:Several further results follow from this, such as 27875: 27679: 27625: 27397: 27274: 26976: 26865: 26675: 26638: 26467: 26299: 26271: 26166: 26041: 26011: 25917: 25880: 25813: 25710: 25679: 25514: 25456: 25411: 24960: 24900: 24836: 24805: 24752: 24032: 23952: 23731: 23535: 23434: 23414: 23112: 23060: 22883: 22828: 22798: 22657: 22561: 22333: 22242: 22159: 22104: 21715:{\displaystyle H(x^{\mu })=H(0)+x^{\mu }F_{\mu }.} 21714: 21637: 21590: 21532: 21500: 21451: 21399: 21340: 21267: 21199: 21127: 21035: 20672: 20652: 20433: 20413: 20387: 20319: 20201: 20152: 20123: 20087: 20045: 20007: 19981: 19935: 19897: 19871: 19833: 19813: 19764: 19735: 19697: 19671: 19651: 19605: 19556: 19518: 19495: 19463: 19434: 19398: 19307: 19278: 19081: 18878: 18849: 18816: 18663: 18634: 18607: 18475: 18366:are now the basis for the perturbation expansion, 18332:the energy differences between the eigenstates of 18313: 18248: 18018: 17658: 17304: 17271: 17231: 17098: 17020: 16768: 16723: 16697: 16606: 12166: 6864: 6784: 6688: 6130: 6068: 5098: 4807: 4675: 4516: 4456:. Each term is proportional to the matrix element 4432: 4238: 4197: 4135: 3959: 3918: 3892: 3867: 3829: 3783:Suppose that the zeroth-order energy level is not 3773: 3599:The first-order equation may thus be expressed as 3588: 3543: 3502: 3091: 3021: 2851: 2785: 2666: 2427: 2269: 2229: 2153: 2112: 2044: 1996: 1897: 1854: 1672: 1560: 1290: 1047: 790: 753: 667: 594: 38076:Advanced Quantum Mechanics: Materials and Photons 34903:Using the first-order correction formula, we get 34842:), and the energy of unperturbed ground state is 25539:Time-dependent perturbation theory, initiated by 23149:To the second order, the energy correction reads 23144: 22583:simply stands for the generalized force operator 21214: 17158: 16938: 15621: 13664: 13598: 13311: 13264: 12670: 4517:{\displaystyle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } 2113:{\displaystyle \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } 1153: 39187: 37841:Sulejmanpasic, Tin; Ünsal, Mithat (2018-07-01). 26362:is the probability that the system is in state 23113:{\displaystyle \langle m|n\rangle =\delta _{mn}} 21730:are considered as generalized coordinates, then 37920: 37897:Sakurai, J.J., and Napolitano, J. (1964,2011). 37410:. In the one-dimensional case, the solution is 37094:. In the two-dimensional case, the solution is 34714:The ground state of the harmonic oscillator is 31356:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 31294:{\displaystyle \sum _{n}|n\rangle \langle n|=1} 30008:{\displaystyle \sum _{n}|n\rangle \langle n|=1} 29953:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 28867:{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } 28384:Thus, the exponential represents the following 25515:{\displaystyle \langle m|H(x^{\mu })|n\rangle } 18362:, so to speak. These perturbed eigenstates in 4198:{\displaystyle \langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle } 2852:{\displaystyle \langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle } 2598: 1909:). This leads to the first-order energy shift, 194: 39125:Society for Industrial and Applied Mathematics 29898:Using the solution of the unperturbed problem 22243:{\displaystyle |n\rangle \equiv |n(0)\rangle } 21200:{\displaystyle x^{\mu }=(x^{1},x^{2},\cdots )} 19286:but the effect on the degenerate states is of 18675:. This amounts to diagonalizing the matrix 18354:. The new Hamiltonian must be diagonalized in 12174:and the states to fourth order can be written 38376: 33208:producing the following meaningful equations 32815: 25834:. The Hamiltonian of the perturbed system is 21766:Perturbation theory as power series expansion 20388:{\displaystyle E_{nl}^{(1)}\neq E_{nk}^{(1)}} 38943:Supersymmetric theory of stochastic dynamics 38356:Quantum Physics Online - perturbation theory 38341:"L1.2 Setting up the perturbative equations" 38200: 34409: 33864: 33789: 33747: 33589: 33511: 33398: 33361: 33330: 33285: 33248: 33158: 33120: 33089: 33068: 33051:. Our aim is to find a solution in the form 33018: 32983: 32896: 32861: 32793: 32761: 32705: 32702: 32628: 32606: 32603: 32581: 32512: 32509: 32470: 32448: 32397: 32375: 32372: 32350: 32263: 32241: 32238: 32216: 32166: 32144: 31967: 31964: 31875: 31853: 31850: 31828: 31588: 31585: 31496: 31474: 31350: 31326: 31274: 31271: 30530: 30492: 30403: 30375: 30345: 30309: 30263: 30260: 30171: 30133: 30046: 29988: 29985: 29947: 29923: 29872: 29264: 29199: 29157: 28987: 28905: 28861: 28837: 28778: 28743: 28685:Consider the following perturbation problem 28663: 28412: 28149: 28035: 27987: 27952: 27805: 27769: 27533: 27497: 27405:where, for example, the first-order term is 27284:Repeatedly substituting this expression for 27179: 27143: 26915: 26892: 26885:in the second term, then used the fact that 26780: 26749: 26662: 26621: 26445: 26422: 26294: 26155: 26078: 26036: 26000: 25956: 25912: 25802: 25754: 25705: 25673: 25509: 25471: 25344: 25312: 25309: 25277: 25240: 25208: 25205: 25173: 25107: 25075: 25056: 25034: 24889: 24858: 24709: 24657: 24625: 24622: 24590: 24555: 24503: 24471: 24468: 24436: 24411: 24337: 24305: 24302: 24270: 24207: 24168: 24136: 24107: 24021: 23997: 23991: 23967: 23939: 23915: 23912: 23880: 23874: 23842: 23839: 23815: 23723: 23681: 23675: 23633: 23627: 23585: 23530: 23498: 23491:to the result of the first order derivative 23482:, simply applying the differential operator 23352: 23320: 23317: 23285: 23247: 23215: 23209: 23187: 23091: 23077: 23052: 23028: 23012: 22998: 22972: 22948: 22932: 22900: 22860: 22843: 22815: 22790: 22756: 22722: 22695: 22658:{\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,} 22649: 22625: 22571:For the linearly parameterized Hamiltonian, 22525: 22493: 22484: 22460: 22425: 22393: 22384: 22360: 22328: 22296: 22253: 22237: 22214: 22154: 22089: 22020: 21986: 21585: 21495: 21394: 21335: 21223:that maps each particular set of parameters 19270: 19196: 19148: 19123: 19073: 19044: 18996: 18969: 18802: 18775: 18730: 18682: 18593: 18557: 18520: 18467: 18437: 18381: 17831: 17675: 17642: 17487: 17475: 17319: 16907: 16858: 16852: 16783: 16692: 16597: 15652: 13652: 13624: 13295: 12658: 12630: 12522: 12314: 12286: 12206: 6776: 6728: 6603: 6555: 6528: 6480: 6359: 6311: 6308: 6260: 6257: 6209: 6119: 6083: 5135: 4604: 4556: 4511: 4463: 4233: 4192: 4152: 3933: 3824: 3583: 3538: 2846: 2806: 2258: 2244: 2148: 2107: 2059: 2039: 1871: 1246: 934: 785: 745: 721: 372:. This is because there is no analogue of a 60:"Perturbation theory" quantum mechanics 37780: 37361:{\displaystyle r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}} 36563:corresponds to plane waves with wavenumber 34456:we can see that this is indeed a series in 25594:The time-dependent expansion coefficients ( 22884:{\displaystyle \langle m|H=\langle m|E_{m}} 21749:denotes the external magnetic field in the 16630:such that the denominator does not vanish. 158: 38383: 38369: 38030:"General Theory of Effective Hamiltonians" 37923:Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory 37646:International Journal of Quantum Chemistry 33419: 27768: 27496: 27142: 25566:applied to a time-independent Hamiltonian 24901:{\displaystyle \langle m|H(0)|l\rangle =0} 24844:, such that there is no matrix element in 22160:{\displaystyle |\partial _{\mu }n\rangle } 19879:when there is no perturbation, i.e., when 19772:does not change our arguments. All states 18753: 17279:in terms of the inverse Laplace transform 16945: 2237:but perturbation theory also assumes that 448: 294:, special calculation techniques known as 38267: 38214: 38161: 38070:Dick, Rainer (2020), Dick, Rainer (ed.), 38027: 37959: 37866: 37757: 37684: 37529: 37245: 36930: 36009: 33420: 27904: 27808: 27558: 27536: 27207: 27182: 26803: 26783: 25457:{\displaystyle m,n\in {\mathcal {H}}_{L}} 21121: 21029: 20646: 19392: 18185: 18102: 18096: 18015: 17957: 17896: 17855: 17849: 17200: 17152: 16971: 16932: 4686:Second-order and higher-order corrections 403: 344:and various collective phenomena such as 214:of hydrogen caused by the presence of an 111:Learn how and when to remove this message 16:Approximate modelling of a quantum system 38347:. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. 38326:. MIT OpenCourseWare. 14 February 2019. 38118:, North Holland, John Wiley & Sons. 37998: 37921:Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1977). 37815: 33815:and we see that the expansion parameter 27680:{\displaystyle c_{k}^{(0)}=\delta _{kn}} 24770: 21501:{\displaystyle |n(x_{0}^{\mu })\rangle } 19333:The perturbed Hamiltonian is denoted as 18258: 443:Rayleigh–Schrödinger perturbation theory 36607:{\textstyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}} 34835:{\displaystyle \alpha =m\omega /\hbar } 22123:denotes the derivative with respect to 3787:, i.e. that there is no eigenstate of 331: 206:to the quantum mechanical model of the 39188: 38253: 38147: 36614:. If there is a weak potential energy 26648:By resolving the identity in front of 26348:The square of the absolute amplitude 21138:Generalization to multi-parameter case 19506:Let us focus on the degeneracy of the 19503:is the parameter of the perturbation. 18321:does not have a well-defined inverse. 17312:of the connected correlation function 306: 202:For example, by adding a perturbative 38364: 38065: 38063: 37643: 33477:does not depend on time one gets the 31363:for a pure discrete spectrum, write 26272:{\displaystyle \exp(-iE_{n}t/\hbar )} 23446:function. The first order derivative 21268:{\displaystyle (x^{1},x^{2},\cdots )} 2270:{\displaystyle \langle n|n\rangle =1} 38247: 38194: 38141: 38069: 29891:as a perturbation series with small 26051: 21591:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 21400:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 21341:{\displaystyle |n(x^{\mu })\rangle } 19613:and the other unperturbed states as 18032:-th order energy shift is given by 466:, arising from the time-independent 428:Time-independent perturbation theory 49:adding citations to reliable sources 20: 35515:{\displaystyle -\lambda \cos \phi } 34505:in perturbation theory. The choice 34484:justifying in this way the name of 21452:{\displaystyle E_{n}(x_{0}^{\mu })} 20875: 20749: 20520: 16639:-th order correction to the energy 316:, for instance, the interaction of 13: 38392:Industrial and applied mathematics 38060: 36663: 36493: 36458:Potential energy as a perturbation 35449: 35439: 35235: 35225: 35097: 35087: 34632: 34622: 34560:that is a gradient expansion. The 33794: 33762: 33403: 33380: 33290: 33267: 33023: 32998: 32923:Consider the perturbation problem 32901: 32876: 32075:arbitrarily small. Thus the limit 29229:so it is solved through the above 29204: 29172: 28783: 28758: 27992: 27967: 26903: 25974: 25970: 25530:Time-dependent perturbation theory 25443: 25324: 25289: 25220: 25185: 25152: 25087: 24947: 24924: 24837:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{H}} 24823: 24806:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{L}} 24792: 24637: 24602: 24483: 24448: 24317: 24282: 24148: 24009: 23971: 23927: 23892: 23854: 23819: 23778: 23768: 23711: 23693: 23655: 23645: 23607: 23589: 23563: 23553: 23510: 23429: 23332: 23297: 23263: 23227: 23040: 22979: 22960: 22912: 22778: 22729: 22710: 22675: 22505: 22464: 22405: 22372: 22308: 22274: 22142: 22077: 22067: 22008: 21913: 21903: 21845: 21508:at an unperturbed reference point 21352:-th eigenenergy and eigenstate of 21008: 20625: 19750: 19496:{\displaystyle 0<\lambda <1} 19471:is the perturbation operator, and 18750: 18569: 16731:, one has to consider the inverse 14: 39212: 38622:Stochastic differential equations 38312: 37408:Hankel function of the first kind 34885: 34829: 34332: 34267: 34215: 34150: 34001: 33936: 33886: 33756: 33688: 33630: 33530: 33374: 33261: 32992: 32870: 32192: 32129: 31891: 31763: 31512: 31414: 31177: 31099: 31043: 30965: 30805: 30727: 30677: 30546: 30452: 30187: 30073: 29791: 29713: 29657: 29579: 29419: 29341: 29291: 29166: 29094: 29030: 28924: 28752: 28434: 28064: 27961: 27862: 27737: 27612: 27455: 27261: 27101: 26969: 26852: 26734: 26608: 26510: 26263: 26142: 25965: 25918:{\displaystyle |\psi (t)\rangle } 25789: 22167:, it should be understood as the 18314:{\displaystyle E_{n}^{(0)}-H_{0}} 1574:results in an infinite series of 668:{\displaystyle H=H_{0}+\lambda V} 340:from the "free model", including 38938:Supersymmetric quantum mechanics 38351:from the original on 2021-12-12. 38330:from the original on 2021-12-12. 37925:(3rd ed.). Pergamon Press. 25535:Method of variation of constants 19442:is the unperturbed Hamiltonian, 19326:Degeneracy lifted to first order 16698:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 4239:{\displaystyle |k^{(0)}\rangle } 3960:{\displaystyle \langle k^{(0)}|} 3830:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 3796:in the orthogonal complement of 3596:, i.e., the other eigenvectors. 3589:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 3544:{\displaystyle |k^{(0)}\rangle } 2154:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 2045:{\displaystyle |n^{(0)}\rangle } 1898:{\displaystyle \langle n^{(0)}|} 25: 38820:Stochastic variational calculus 38612:Ordinary differential equations 38300: 38105: 38021: 37992: 37847:Computer Physics Communications 37604: 35522:taken as the perturbation i.e. 34449:{\displaystyle \tau =\lambda t} 33201:{\displaystyle \tau =\lambda t} 32064:{\displaystyle e^{-\epsilon t}} 30409:{\displaystyle |\beta \rangle } 28812:is small and that the problem 28172:is the time ordering operator, 26652:and multiplying through by the 24813:or in the high-energy subspace 22459: 21604:close to that reference point. 19765:{\displaystyle \forall m\neq n} 18749: 18568: 15927: 15264: 14463: 13305: 11788: 11177: 10100: 9241: 4249:Thus, in total, the result is, 564: 36:needs additional citations for 38617:Partial differential equations 38490:Arbitrary-precision arithmetic 37948:Journal of High Energy Physics 37939: 37914: 37891: 37834: 37809: 37774: 37717: 37664: 37637: 37587: 37568: 37503: 37492: 37484: 37478: 37439: 37433: 37428: 37422: 37391: 37385: 37349: 37331: 37319: 37301: 37242: 37233: 37228: 37222: 37209: 37187: 37179: 37173: 37129: 37117: 37112: 37106: 37075: 37057: 37045: 37027: 37015: 36997: 36904: 36871: 36863: 36857: 36815: 36797: 36792: 36786: 36756: 36750: 36712: 36706: 36683: 36677: 36642: 36624: 36542: 36536: 36513: 36507: 36282: 36276: 36090: 36084: 35892: 35886: 35745: 35739: 35655: 35649: 35585: 35579: 35553:{\displaystyle V=-\cos \phi .} 35181: 35175: 34926: 34920: 34865: 34859: 34549:{\displaystyle H_{0}=p^{2}/2m} 34406: 34393: 34386: 34369: 34343: 34304: 34278: 34252: 34226: 34187: 34161: 34038: 34012: 33973: 33947: 33861: 33855: 33841: 33786: 33780: 33766: 33744: 33738: 33724: 33718: 33699: 33660: 33641: 33586: 33580: 33566: 33560: 33541: 33508: 33502: 33495: 33464: 33458: 33384: 33347: 33316: 33312: 33306: 33271: 33234: 33230: 33224: 33144: 33106: 33075: 33061: 33015: 33009: 33002: 32980: 32974: 32967: 32963: 32960: 32954: 32932: 32893: 32887: 32880: 32858: 32852: 32845: 32841: 32835: 32796: 32786: 32782: 32770: 32758: 32752: 32745: 32712: 32695: 32688: 32662: 32659: 32633: 32621: 32613: 32596: 32588: 32519: 32502: 32463: 32455: 32390: 32382: 32365: 32357: 32256: 32248: 32231: 32223: 32159: 32151: 32103: 32097: 31974: 31957: 31951: 31925: 31922: 31896: 31868: 31860: 31843: 31835: 31823: 31797: 31794: 31768: 31595: 31578: 31572: 31546: 31543: 31517: 31489: 31481: 31383: 31377: 31343: 31319: 31281: 31264: 31246:Using the identity resolution 31218: 31192: 31161: 31148: 31140: 31114: 31084: 31058: 31027: 31014: 31006: 30980: 30846: 30820: 30789: 30776: 30768: 30742: 30655: 30649: 30606: 30580: 30577: 30551: 30523: 30519: 30506: 30499: 30396: 30372: 30359: 30352: 30338: 30306: 30293: 30286: 30270: 30253: 30247: 30221: 30218: 30192: 30164: 30160: 30147: 30140: 30043: 30037: 30023: 29995: 29978: 29940: 29916: 29869: 29856: 29849: 29832: 29806: 29775: 29762: 29754: 29728: 29698: 29672: 29641: 29628: 29620: 29594: 29460: 29434: 29403: 29390: 29382: 29356: 29261: 29255: 29241: 29196: 29190: 29176: 29154: 29148: 29134: 29128: 29109: 29078: 29072: 29064: 29045: 28984: 28978: 28964: 28958: 28939: 28902: 28896: 28889: 28854: 28830: 28775: 28769: 28762: 28740: 28734: 28727: 28723: 28720: 28714: 28692: 28660: 28647: 28640: 28625: 28612: 28606: 28593: 28490: 28477: 28409: 28403: 28396: 28333: 28320: 28314: 28301: 28266: 28253: 28247: 28234: 28217: 28204: 28198: 28185: 28146: 28133: 28126: 28116: 28105: 28032: 28026: 28019: 27984: 27978: 27971: 27949: 27943: 27936: 27932: 27926: 27846: 27820: 27798: 27794: 27783: 27776: 27721: 27715: 27710: 27704: 27656: 27650: 27596: 27570: 27553: 27547: 27526: 27522: 27511: 27504: 27439: 27433: 27428: 27422: 27384: 27378: 27360: 27354: 27336: 27330: 27314: 27308: 27245: 27219: 27204: 27193: 27172: 27168: 27157: 27150: 27090: 27084: 27068: 27062: 26937: 26931: 26912: 26906: 26899: 26841: 26815: 26800: 26794: 26773: 26769: 26763: 26756: 26669: 26614: 26571: 26565: 26559: 26553: 26442: 26436: 26429: 26399: 26393: 26287: 26266: 26236: 26148: 26110: 26104: 26075: 26069: 26062: 26029: 25997: 25991: 25984: 25953: 25947: 25940: 25909: 25903: 25896: 25881:{\displaystyle H=H_{0}+V(t)~.} 25869: 25863: 25795: 25751: 25745: 25738: 25698: 25666: 25614:to be the displacement in the 25502: 25498: 25485: 25478: 25337: 25319: 25302: 25284: 25233: 25215: 25198: 25180: 25100: 25082: 25049: 25041: 24882: 24878: 24872: 24865: 24702: 24689: 24662: 24650: 24632: 24615: 24597: 24548: 24535: 24508: 24496: 24478: 24461: 24443: 24404: 24397: 24371: 24368: 24342: 24330: 24312: 24295: 24277: 24200: 24161: 24143: 24100: 24004: 23984: 23922: 23905: 23887: 23867: 23849: 23832: 23706: 23688: 23668: 23640: 23620: 23602: 23523: 23505: 23345: 23327: 23310: 23292: 23240: 23222: 23202: 23194: 23181: 23168: 23145:Correction of energy and state 23141:be calculated systematically. 23084: 23035: 23005: 22955: 22925: 22907: 22867: 22850: 22822: 22773: 22749: 22705: 22688: 22642: 22618: 22518: 22500: 22477: 22418: 22400: 22367: 22321: 22303: 22234: 22228: 22221: 22207: 22137: 22062: 22003: 21979: 21963: 21950: 21811: 21798: 21683: 21677: 21668: 21655: 21638:{\displaystyle x_{0}^{\mu }=0} 21582: 21569: 21562: 21492: 21474: 21467: 21446: 21428: 21391: 21378: 21371: 21332: 21319: 21312: 21262: 21230: 21215:Hamiltonian and force operator 21194: 21162: 21105: 21099: 21082: 21076: 21070: 21026: 21013: 20989: 20983: 20958: 20952: 20931: 20925: 20862: 20856: 20826: 20820: 20802: 20796: 20733: 20727: 20643: 20630: 20612: 20606: 20588: 20582: 20380: 20374: 20353: 20347: 20308: 20302: 20279: 20264: 20258: 20190: 20184: 20144: 20038: 20032: 19970: 19964: 19928: 19922: 19864: 19858: 19802: 19796: 19728: 19722: 19640: 19634: 19594: 19588: 19549: 19543: 19455: 19435:{\displaystyle {\hat {H}}_{0}} 19420: 19386: 19362: 19346: 19302: 19296: 19265: 19259: 19250: 19241: 19235: 19217: 19211: 19191: 19185: 19176: 19168: 19162: 19156: 19118: 19112: 19103: 19068: 19062: 19053: 19039: 19033: 19024: 19016: 19010: 19004: 18964: 18958: 18949: 18925: 18919: 18873: 18867: 18797: 18791: 18782: 18770: 18764: 18755: 18725: 18719: 18710: 18702: 18696: 18690: 18658: 18652: 18588: 18582: 18573: 18552: 18546: 18537: 18515: 18509: 18500: 18462: 18456: 18447: 18432: 18426: 18417: 18374: 18293: 18287: 18240: 18202: 18177: 18171: 18075: 18065: 18057: 18051: 18012: 17974: 17942: 17937: 17931: 17905: 17825: 17819: 17810: 17806: 17800: 17794: 17781: 17775: 17749: 17740: 17702: 17695: 17689: 17683: 17637: 17631: 17622: 17618: 17612: 17606: 17593: 17587: 17561: 17552: 17514: 17507: 17501: 17495: 17469: 17463: 17454: 17450: 17444: 17438: 17425: 17419: 17393: 17384: 17346: 17339: 17333: 17327: 17264: 17258: 17223: 17217: 17192: 17186: 17135: 17129: 17044: 17038: 17010: 17005: 16999: 16980: 16968: 16962: 16901: 16895: 16886: 16878: 16872: 16866: 16847: 16841: 16832: 16828: 16822: 16816: 16810: 16803: 16797: 16791: 16769:{\displaystyle \rho _{n,2}(s)} 16763: 16757: 16687: 16681: 16672: 16656:connected correlation function 16592: 16586: 16577: 16491: 16465: 16361: 16342: 16289: 16263: 16213: 16187: 15647: 15641: 15627: 15519: 15486: 15291: 15272: 14752: 14726: 14371: 14345: 14266: 14233: 13647: 13641: 13632: 13619: 13613: 13604: 13545: 13519: 13290: 13284: 13270: 13115: 13089: 13024: 13005: 12653: 12647: 12638: 12625: 12619: 12610: 12517: 12511: 12497: 12309: 12303: 12294: 12281: 12275: 12261: 12201: 12195: 12186: 12122: 12096: 11738: 11712: 11703: 11697: 11643: 11617: 11575: 11549: 11017: 10991: 10859: 10853: 10580: 10554: 10060: 10034: 9992: 9966: 9905: 9879: 9837: 9811: 9081: 9055: 9015: 8989: 8829: 8803: 8455: 8449: 8397: 8371: 8169: 8143: 8134: 8128: 7905: 7879: 7549: 7523: 7481: 7455: 7274: 7268: 7216: 7190: 7043: 7037: 6990: 6964: 6948: 6942: 6903: 6897: 6854: 6848: 6830: 6824: 6771: 6765: 6756: 6748: 6742: 6736: 6703:If we introduce the notation, 6665: 6659: 6641: 6635: 6608: 6598: 6592: 6583: 6575: 6569: 6563: 6551: 6523: 6517: 6508: 6500: 6494: 6488: 6464: 6458: 6440: 6434: 6409: 6403: 6385: 6379: 6354: 6348: 6339: 6331: 6325: 6319: 6303: 6297: 6288: 6280: 6274: 6268: 6252: 6246: 6237: 6229: 6223: 6217: 6166: 6160: 6116: 6110: 6103: 6097: 6091: 6056: 6043: 6019: 6013: 5995: 5989: 5962: 5951: 5945: 5924: 5918: 5905: 5876: 5870: 5820: 5814: 5796: 5790: 5764: 5758: 5737: 5731: 5713: 5707: 5686: 5680: 5659: 5653: 5595: 5589: 5571: 5565: 5540: 5534: 5516: 5510: 5484: 5478: 5457: 5451: 5433: 5427: 5406: 5400: 5379: 5373: 5311: 5305: 5287: 5281: 5260: 5254: 5233: 5227: 5206: 5200: 5156: 5150: 5132: 5126: 5119: 5093: 5080: 5066: 5060: 5042: 5036: 5005: 4999: 4978: 4972: 4917: 4911: 4890: 4884: 4864: 4858: 4842: 4836: 4790: 4784: 4767: 4761: 4740: 4734: 4717: 4711: 4666: 4660: 4654: 4636: 4630: 4616: 4608: 4599: 4593: 4584: 4576: 4570: 4564: 4552: 4506: 4500: 4491: 4483: 4477: 4471: 4442:The first-order change in the 4418: 4412: 4395: 4389: 4371: 4365: 4344: 4338: 4317: 4311: 4271: 4265: 4228: 4222: 4213: 4187: 4181: 4172: 4166: 4160: 4121: 4115: 4094: 4088: 4067: 4061: 4044: 4038: 4019: 4013: 3995: 3989: 3953: 3947: 3941: 3860: 3854: 3819: 3813: 3804: 3759: 3753: 3732: 3726: 3708: 3702: 3665: 3659: 3627: 3621: 3578: 3572: 3563: 3533: 3527: 3518: 3484: 3478: 3464: 3458: 3436: 3430: 3409: 3403: 3385: 3379: 3335: 3329: 3303: 3297: 3279: 3273: 3247: 3241: 3215: 3209: 3191: 3185: 3139: 3133: 3074: 3068: 3051: 3045: 3007: 3001: 2984: 2978: 2954: 2948: 2931: 2925: 2904: 2898: 2881: 2875: 2841: 2835: 2826: 2820: 2814: 2768: 2762: 2745: 2739: 2718: 2712: 2695: 2689: 2647: 2641: 2624: 2618: 2585: 2579: 2562: 2556: 2532: 2526: 2509: 2503: 2479: 2473: 2456: 2450: 2405: 2399: 2375: 2369: 2341: 2335: 2311: 2305: 2284:, the following must be true: 2251: 2209: 2203: 2186: 2180: 2143: 2137: 2128: 2102: 2096: 2087: 2079: 2073: 2067: 2034: 2028: 2019: 1982: 1976: 1955: 1949: 1932: 1926: 1891: 1885: 1879: 1840: 1834: 1820: 1814: 1792: 1786: 1772: 1766: 1744: 1738: 1714: 1708: 1658: 1652: 1638: 1632: 1610: 1604: 1535: 1529: 1505: 1499: 1469: 1463: 1442: 1436: 1398: 1392: 1368: 1362: 1239: 1189: 1183: 1082: 1076: 1026: 1020: 989: 983: 959: 953: 927: 911: 905: 877: 871: 850: 844: 778: 738: 714: 552: 546: 532: 526: 504: 498: 396:in the perturbation parameter 301: 1: 38505:Interactive geometry software 38028:Soliverez, Carlos E. (1981). 37631: 37626:Perturbed angular correlation 36774:whose particular integral is 26875:where we have used equation ( 22129:. When applying to the state 18850:{\displaystyle \epsilon _{k}} 18635:{\displaystyle \epsilon _{k}} 16776:of the two-point correlator: 16635:It is possible to relate the 356:-mediated attraction between 135:for describing a complicated 38084:10.1007/978-3-030-57870-1_13 34427:After the rescaling in time 28808:assuming that the parameter 25680:{\displaystyle {|n\rangle }} 25591:, for a given initial state. 22808:Then overlap with the state 21533:{\displaystyle x_{0}^{\mu }} 1682:The first-order equation is 763:The objective is to express 195:Applying perturbation theory 7: 38557:Computational number theory 38520:Numerical-analysis software 37816:Rayleigh, J. W. S. (1894). 37399:{\displaystyle H_{0}^{(1)}} 34571: 34556:yields, as already said, a 26877: 26180: 20046:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19936:{\displaystyle E_{m}^{(0)}} 19872:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19736:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19557:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 19308:{\displaystyle O(\lambda )} 18879:{\displaystyle O(\lambda )} 18664:{\displaystyle O(\lambda )} 18358:, or a slight variation of 17668:To be precise, if we write 17305:{\displaystyle \rho _{n,k}} 17272:{\displaystyle E_{n}^{(k)}} 17106:is the perturbing operator 3868:{\displaystyle E_{n}^{(0)}} 2859:is purely real. Therefore, 181:quantum harmonic oscillator 10: 39217: 37903:(2nd ed.), Addison Wesley 37703:10.1103/PhysRevD.85.033007 35490:with the potential energy 34477:{\displaystyle 1/\lambda } 32816:Strong perturbation theory 31239:and take the perturbation 26676:{\displaystyle \langle n|} 26300:{\displaystyle |j\rangle } 26212:which we will refer to as 26042:{\displaystyle |n\rangle } 25711:{\displaystyle |j\rangle } 22829:{\displaystyle \langle m|} 20153:{\displaystyle {\hat {V}}} 19898:{\displaystyle \lambda =0} 19464:{\displaystyle {\hat {V}}} 19320:nearly free electron model 3108:resolution of the identity 2797:without loss of generality 791:{\displaystyle |n\rangle } 39155: 39117: 39101: 39063: 39015: 38963:Algebra of physical space 38828: 38786: 38580: 38542: 38430:Automated theorem proving 38398: 38056:– via Academia.Edu. 37868:10.1016/j.cpc.2017.11.018 33827:, is meaningful at large 26881:) to evaluate the sum on 25543:and further developed by 22264:Hellmann–Feynman theorems 22254:Hellmann–Feynman theorems 21275:to an Hermitian operator 20088:{\displaystyle V_{nl,nk}} 414:density functional theory 38756:Numerical linear algebra 38233:10.1103/PhysRevA.55.1653 38180:10.1103/PhysRevA.58.3439 38128:Modern Quantum Mechanics 38126:; J. J. Sakurai (1994). 37900:Modern Quantum Mechanics 37803:10.1002/andp.19263851302 37594:{\displaystyle r=|x-x'|} 36648:{\displaystyle U(x,y,z)} 31243:to be time-independent. 28011:has the formal solution 21288:quantum phase transition 20673:{\displaystyle \lambda } 20434:{\displaystyle \lambda } 20124:{\displaystyle V_{m,nk}} 433:theory was presented by 159:Approximate Hamiltonians 38495:Finite element analysis 38445:Constraint satisfaction 37978:10.1007/JHEP08(2021)063 33446:adiabatic approximation 32031:{\displaystyle t_{0}=0} 27895:time evolution operator 26987:The matrix elements of 26204:s are to be determined 25620:dielectric polarization 20414:{\displaystyle l\neq k} 20015:are all different from 20008:{\displaystyle m\neq n} 19821:with various values of 19698:{\displaystyle m\neq n} 19526:-th unperturbed energy 18888:Electron Spin Resonance 3919:{\displaystyle k\neq n} 2280:Then at first order in 449:First order corrections 276:quantum electrodynamics 39050:Mathematical economics 38724:Multivariable calculus 38607:Differential equations 38450:Constraint programming 38440:Computational geometry 38286:10.1098/rspa.2007.1879 37750:10.1098/rsta.2012.0488 37621:Muon spin spectroscopy 37595: 37548: 37400: 37362: 37275: 37088: 36971: 36768: 36649: 36608: 36557: 36482:, the solution of the 36476: 36449: 36253: 36061: 35861: 35714: 35626: 35554: 35516: 35484: 35375: 35152: 34895: 34836: 34799: 34706: 34562:Wigner-Kirkwood series 34558:Wigner-Kirkwood series 34550: 34478: 34450: 34419: 33807: 33596: 33481:that is often used in 33479:Wigner-Kirkwood series 33471: 33432: 33202: 33171: 33036: 32914: 32803: 32730: 32071:in the integrands for 32065: 32032: 31997: 31357: 31295: 31233: 30621: 30410: 30382: 30322: 30009: 29954: 29885: 29223: 29000: 28868: 28802: 28676: 28378: 28162: 28005: 27905:Method of Dyson series 27877: 27681: 27627: 27399: 27276: 26978: 26867: 26685:differential equations 26677: 26640: 26469: 26301: 26273: 26168: 26043: 26013: 25919: 25882: 25815: 25712: 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Perturbation theory (quantum mechanics)

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