11150:
10454:
11145:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}}
4205:
12206:
13229:
3676:
3337:
10431:
11565:
15868:
20662:
12739:
2955:
10071:
4200:{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{k}\,{\hat {x}}_{k})\cdot (\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{\ell })=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=a_{k}\,\sigma _{\ell }\,\delta _{k\ell }=a_{k}\,\sigma _{k}\\&=a_{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+a_{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+a_{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
15556:
12201:{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}}
13224:{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}}
14300:
6942:
3332:{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
10426:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}}
15089:
357:
9577:
33:
15863:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}
14709:
9081:
13932:
6575:
14887:
9816:
17248:
2914:
116:
13761:
9279:
14468:
14522:
8799:
14295:{\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}
17057:
6937:{\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{{\sqrt {2\left|{\vec {a}}\right|\ (a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|)\ }}\ }}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}
15223:
16677:
19192:
17367:
15084:{\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M.\end{aligned}}\\\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}}
9600:
2707:
13527:
1304:
19326:
1518:
15978:
13514:
4623:
15387:
8291:
7936:
18839:
352:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}}
12709:
9572:{\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}.~}
2700:
5531:
18394:
18031:
14704:{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }.}
14307:
12363:
15547:
9076:{\displaystyle {\begin{aligned}\left+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}
8664:
16488:
4822:
6419:
17695:
15094:
8484:
3473:
1630:
16174:
10056:
11547:
7246:
16291:
5856:
18521:. The Pauli matrices are some of the most important single-qubit operations. In that context, the Cartan decomposition given above is called the "Z–Y decomposition of a single-qubit gate". Choosing a different Cartan pair gives a similar "X–Y
9191:
17584:
5081:
4977:
16543:
18933:
9811:{\displaystyle ~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~}
17258:
17243:{\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}.}
17030:
2020:
5219:
2909:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{2},\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{3},\sigma _{1}\right\}&=0\end{aligned}}}
14874:
13345:
4510:
15277:
18218:
7823:
7098:
4403:
17801:
in order to return to their original configuration. This is due to the two-to-one correspondence between SU(2) and SO(3) mentioned above, and the fact that, although one visualizes spin up/down as the north–south pole on the
7458:
16506:
of SU(2). The elements of SU(2) are exponentials of linear combinations of these three generators, and multiply as indicated above in discussing the Pauli vector. Although this suffices to generate SU(2), it is not a proper
7349:
1157:
19206:
6277:
1367:
13332:
17935:, the spinors in four dimensions are 4 × 1 (or 1 × 4) matrices. Hence the Pauli matrices or the Sigma matrices operating on these spinors have to be 4 × 4 matrices. They are defined in terms of 2 × 2 Pauli matrices as
15875:
8113:
6028:
19481:"Des lois géometriques qui regissent les déplacements d' un systéme solide dans l' espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacement considérées indépendant des causes qui peuvent les produire"
18723:
13756:{\displaystyle e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right).}
8784:
8175:
18732:
18283:
15452:
9979:
4465:
4682:
12535:
2457:
7815:
2218:
4695:
2106:
11319:
14892:
18496:
18304:
17941:
11405:
14463:{\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}
7656:
16072:
7740:
5717:
8167:
5397:
5389:
3350:
12222:
7559:
6567:
6469:
6122:
14932:
12744:
11570:
10459:
10076:
9290:
8804:
3681:
2960:
2712:
2462:
1906:
1553:
121:
14792:
8033:
5131:
1772:
381:. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal/vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left).
9984:
6995:
2324:
16385:
16296:
Its eigenvalues are therefore 1 or −1. It may thus be utilized as an interaction term in a
Hamiltonian, splitting the energy eigenvalues of its symmetric versus antisymmetric eigenstates.
8560:
2400:
18126:
18071:
4302:
as its Lie bracket) via functions of matrices, making the map an isomorphism of Lie algebras. This makes the Pauli matrices intertwiners from the point of view of representation theory.
2155:
6282:
5586:
17612:
7982:
8367:
1548:
11222:
18136:
16362:
16865:
16829:
16768:
16728:
16083:
8555:
6517:
6170:
2436:
562:
9893:
7597:
7499:
1698:
18875:
8327:
5657:
2278:
637:
489:
6057:
5620:
5253:
4296:
4241:
14805:
11448:
14304:
Taking the dot product of any unit vector with the above formula generates the expression of any single qubit operator under any rotation. For example, it can be shown that
8699:
7159:
7124:
4853:
3581:
3545:
3509:
16189:
8359:
5754:
1123:
976:
912:
17400:
17052:
16966:
1801:
1724:
1089:
1028:
878:
694:
7151:
5285:
1058:
942:
826:
796:
768:
740:
17477:
15218:{\displaystyle 2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,}
13927:
13850:
13821:
13792:
12477:
4501:
3668:
3639:
3610:
16672:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}.}
9092:
4329:
4267:
19187:{\displaystyle {\hat {k}}\tan c/2=({\hat {n}}\tan a/2+{\hat {m}}\tan b/2-{\hat {m}}\times {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)/(1-{\hat {m}}\cdot {\hat {n}}\tan a/2~\tan b/2)}
17485:
17362:{\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}
8519:
4985:
4881:
17896:. The analog formula to the above generalization of Euler's formula for Pauli matrices, the group element in terms of spin matrices, is tractable, but less simple.
16971:
5746:
1937:
13236:
5887:
13898:
8793:
Pauli vectors elegantly map these commutation and anticommutation relations to corresponding vector products. Adding the commutator to the anticommutator gives
5329:
5305:
4873:
1144:
997:
847:
5892:
5136:
18154:
7000:
6421:
A standard result in linear algebra (a linear map that satisfies a polynomial equation written in distinct linear factors is diagonal) means this implies
4334:
9940:
7354:
1299:{\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}},}
19321:{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.}
1513:{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I,}
7251:
20320:
15973:{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}
6178:
13866:
13509:{\displaystyle {\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right).}
12384:
4618:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}.}
8038:
15382:{\displaystyle \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.}
18671:
8286:{\displaystyle \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).}
17773:
7931:{\displaystyle x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}.}
18834:{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times ({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}
8704:
18223:
4408:
14733:
12704:{\displaystyle f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}.}
4628:
2695:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&=0\\\left&=2i\sigma _{3}\\\left&=2i\sigma _{1}\\\left&=2i\sigma _{2}\end{aligned}}}
7751:
2160:
20534:
19753:
18389:{\displaystyle {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}.}
18026:{\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.}
15407:
2 × 2 matrices with unit trace. This can be seen by first expressing an arbitrary
Hermitian matrix as a real linear combination of
13519:
2039:
19507:
11242:
20625:
18418:
17876:
of this representation with itself repeatedly, one may construct all higher irreducible representations. That is, the resulting
11341:
6175:
More abstractly, without computing the determinant, which requires explicit properties of the Pauli matrices, this follows from
11556:
7605:
5526:{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }},}
16896:
16033:
7675:
19713:
19678:
19521:
19433:
12358:{\displaystyle ~~e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~}
5662:
17737:
particle, in each of the three spatial directions. As an immediate consequence of the Cartan decomposition mentioned above,
15542:{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}
8118:
5334:
20544:
20310:
7507:
6522:
6424:
6077:
1826:
1345:
and 0 otherwise. This expression is useful for "selecting" any one of the matrices numerically by substituting values of
17:
7987:
5086:
1729:
8659:{\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}
6947:
16483:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.}
4817:{\displaystyle \det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2}.}
2283:
19647:
19348:
18571:
13880:
It is also straightforward to likewise work out the adjoint action on the Pauli vector, namely rotation of any angle
12508:
17437:
6414:{\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0.}
17893:
2331:
20345:
18581:
18094:
18039:
17690:{\displaystyle Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.}
16503:
2114:
19892:
17932:
17869:
16508:
14474:
8479:{\displaystyle \det(A+B)=\det(A)+\det(B)+\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} (B)-\operatorname {tr} (AB).}
5539:
3468:{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3},}
1625:{\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0,\end{aligned}}}
20718:
20713:
18084:
16180:
7943:
16169:{\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}
20708:
20109:
19746:
15404:
1663:
565:
19404:
16333:
11191:
10051:{\displaystyle {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}}
2438:
using the
Clifford algebra recovers the commutation relations above, up to unimportant numerical factors.
1934:
These commutation relations make the Pauli matrices the generators of a representation of the Lie algebra
1352:
in turn useful when any of the matrices (but no particular one) is to be used in algebraic manipulations.
20184:
18539:
17777:
16834:
16798:
16737:
16697:
16002:
15981:
15395:
2 × 2 matrices can be expressed in terms of the identity matrix and the Pauli matrices also leads to the
14802:
is a 3-component, complex vector. It is straightforward to show, using the properties listed above, that
8524:
6474:
6127:
2405:
1928:
531:
11542:{\displaystyle \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.}
9860:
9587:
7567:
7471:
1672:
20340:
19862:
18848:
17865:
13518:
Consequently, the composite rotation parameters in this group element (a closed form of the respective
8299:
7241:{\displaystyle {\vec {a}}=a(\sin \vartheta \cos \varphi ,\sin \vartheta \sin \varphi ,\cos \vartheta )}
5625:
2251:
610:
462:
16286:{\displaystyle P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}
6033:
5851:{\displaystyle R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right).}
5591:
4272:
4217:
3673:
The Pauli vector provides a mapping mechanism from a vector basis to a Pauli matrix basis as follows:
20444:
20315:
20229:
18534:
17747:
17713:
2943:
48:
19203:
Explicitly, in the convention of "right-space matrices into elements of left-space matrices", it is
17252:
Alternatively, the isomorphism can be achieved by a map using the Pauli matrices in reversed order,
8669:
7103:
4827:
3550:
3514:
3478:
20549:
20439:
20147:
19827:
13335:
8332:
7820:
and allow raising and lowering using the
Minkowski metric tensor. The relation can then be written
7745:
This 4-vector also has a completeness relation. It is convenient to define a second Pauli 4-vector
2244:
These anti-commutation relations make the Pauli matrices the generators of a representation of the
1095:
948:
884:
17889:
17383:
17035:
16949:
14484:
An alternative notation that is commonly used for the Pauli matrices is to write the vector index
9186:{\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}
1784:
1707:
1064:
1003:
853:
677:
20584:
20513:
20395:
20255:
19852:
19739:
7129:
5258:
5224:
1036:
920:
804:
774:
746:
718:
17579:{\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.}
17453:
13903:
13826:
13797:
13768:
12404:
5076:{\displaystyle \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}),}
4972:{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\,{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\,U^{-1},}
4477:
3644:
3615:
3586:
20454:
20037:
19842:
15440:
14881:
12526:
4308:
4246:
402:
40:
17054:
to this set is given by the following map (notice the reversed signs for the Pauli matrices):
12212:
In the last line, the first sum is the cosine, while the second sum is the sine; so, finally,
6066:
This cross-product can be used to prove the orientation-preserving property of the map above.
20400:
20137:
19987:
19982:
19817:
19792:
19787:
19513:
19461:
17025:{\displaystyle \left\{\;\mathbf {1} ,\,\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \;\right\}.}
16880:
15400:
8492:
2015:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).}
378:
18587:
7940:
Similarly to the Pauli 3-vector case, we can find a matrix group that acts as isometries on
20594:
19952:
19782:
19762:
19585:
19488:
19480:
19363:
18549:
17759:
17755:
16771:
16683:
573:
74:
56:
19623:
16514:, as the Pauli eigenvalues are scaled unconventionally. The conventional normalization is
5722:
8:
20698:
20615:
20589:
20167:
19972:
19962:
18507:
17443:
16775:
10065:
The following traces can be derived using the commutation and anticommutation relations.
5331:
implies that the rotation is orientation preserving. This allows the definition of a map
640:
19589:
19367:
18930:
the rotation angles of the rotation group. That is, the Gibbs formula linked amounts to
14869:{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}}
5869:
20666:
20620:
20610:
20564:
20559:
20488:
20424:
20290:
20027:
20022:
19957:
19947:
19812:
19667:
19635:
19601:
19575:
19379:
18622:
18561:
13883:
12388:
11552:
11225:
9196:
5314:
5290:
4858:
1924:
1912:
1129:
982:
832:
430:
424:
17446:, Pauli matrices are useful in the context of the Cayley-Klein parameters. The matrix
6172:
This follows immediately from tracelessness and explicitly computing the determinant.
20703:
20677:
20661:
20464:
20459:
20449:
20429:
20390:
20385:
20214:
20209:
20194:
20189:
20180:
20175:
20122:
20017:
19967:
19912:
19882:
19877:
19857:
19847:
19807:
19719:
19709:
19684:
19674:
19653:
19643:
19517:
19439:
19429:
17900:
17873:
17709:
16327:
anti-Hermitian matrices with trace 0. Direct calculation, as above, shows that the
15226:
14488:
in the superscript, and the matrix indices as subscripts, so that the element in row
5214:{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }},}
4208:
1539:
1356:
366:
82:
19605:
19383:
18566:
18213:{\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}.}
9895:, which is also the definition for the product of two vectors in geometric algebra.
7093:{\displaystyle {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|(\epsilon ,0,-(1-\epsilon ^{2}/2))}
4398:{\displaystyle {\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}}
20672:
20640:
20569:
20508:
20503:
20483:
20419:
20325:
20295:
20280:
20260:
20199:
20152:
20127:
20117:
20088:
20007:
20002:
19977:
19907:
19887:
19797:
19777:
19701:
19593:
19555:
19476:
19471:
19371:
18910:. Note that, by virtue of the standard normalization of that group's generators as
18598:
18556:
18518:
7662:
2245:
604:
420:
385:
90:
78:
20265:
8296:
In fact, the determinant property follows abstractly from trace properties of the
7453:{\displaystyle \psi _{-}=(-\sin(\vartheta /2)\exp(-i\varphi ),\cos(\vartheta /2))}
20370:
20305:
20285:
20270:
20250:
20234:
20132:
20063:
20053:
20012:
19897:
19867:
19417:
18592:
17700:
Similar expressions follow for general Pauli vector rotations as detailed above.
2230:
1528:
1328:
457:
437:
in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the
44:
19216:
16908:
13870:
7344:{\displaystyle \psi _{+}=(\cos(\vartheta /2),\sin(\vartheta /2)\exp(i\varphi ))}
20630:
20574:
20554:
20539:
20498:
20375:
20335:
20300:
20224:
20163:
20142:
20073:
20058:
19992:
19937:
19927:
19922:
19832:
18726:
18544:
18409:
18286:
17721:
16313:
16024:
15392:
14723:
2030:
1775:
1317:
498:
438:
374:
370:
362:
86:
71:
36:
6272:{\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}
20692:
20635:
20493:
20434:
20365:
20355:
20350:
20275:
20204:
20078:
20068:
19997:
19917:
19902:
19837:
19723:
19705:
19688:
19657:
19563:
19559:
17885:
17877:
17817:
4299:
2441:
A few explicit commutators and anti-commutators are given below as examples:
1667:
442:
19443:
13327:{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,}
20518:
20475:
20380:
20093:
20032:
19942:
19822:
19597:
19421:
18668:
The Pauli vector is a formal device. It may be thought of as an element of
18576:
18514:
17880:
for higher spin systems in three spatial dimensions, for arbitrarily large
15396:
8557:
the cross-terms vanish. It then follows, now showing summation explicitly,
6060:
2946:
1151:
All three of the Pauli matrices can be compacted into a single expression:
705:
409:
17479:
of a point in space is defined in terms of the above Pauli vector matrix,
8108:{\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\cong \mathrm {Spin} (1,3).}
20360:
20330:
20098:
19932:
19802:
19457:
18842:
18088:
17904:
16943:
16731:
16365:
16328:
16320:
12392:
9583:
6023:{\displaystyle =2i\,({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.}
5307:
as a rotation of three-dimensional space. In fact, it turns out that the
2931:
1643:
1535:
667:
502:
406:
60:
19346:
18718:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}}
16791:
are a realization (and, in fact, the lowest-dimensional realization) of
20411:
19872:
19375:
18148:
are also antisymmetric. Hence there are only six independent matrices.
17813:
17717:
15550:
13233:
which specifies the generic group multiplication, where, manifestly,
5866:
The cross-product is given by the matrix commutator (up to a factor of
1817:
671:
600:
434:
19566:(2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials".
4331:
Hermitian traceless matrix-valued dual vector, that is, an element of
20645:
20219:
19349:"Imaginary numbers are not Real – the geometric algebra of spacetime"
16309:
8779:{\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}
2927:
11417:
case using the anticommutation relations. For convenience, the case
20579:
18278:{\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}
17803:
17725:
16779:
9974:{\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J} }
4460:{\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}.}
569:
19580:
14726:
Hermitian matrices means that we can express any
Hermitian matrix
4677:{\displaystyle {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}
19731:
19462:"4. Concerning the differential and integral calculus of vectors"
17781:
17606:
may be written in terms of Pauli matrices and the unit matrix as
17423:
may be given in terms of the Pauli matrices in this formulation.
16782:
in three-dimensional space. In other words, one can say that the
14718:
The fact that the Pauli matrices, along with the identity matrix
12728:
provides a parameterization of the composition law of the group
110:
32:
15247:
As noted above, it is common to denote the 2 × 2 unit matrix by
1662:), the Pauli matrices form an orthogonal basis (in the sense of
17920:
17373:
15241:
13867:
Rotation formalisms in three dimensions § Rodrigues vector
14722:, form an orthogonal basis for the Hilbert space of all 2 × 2
7810:{\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).}
2213:{\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j},}
19468:. New Haven, CT: Tuttle, Moorehouse & Taylor. p. 67.
19347:
Gull, S. F.; Lasenby, A. N.; Doran, C. J. L. (January 1993).
18511:
16887:, meaning that there is a two-to-one group homomorphism from
16305:
12490:
2101:{\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I,}
1806:
427:
of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers.
94:
27:
Matrices important in quantum mechanics and the study of spin
15274:
The completeness relation can alternatively be expressed as
11314:{\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,}
6030:
In fact, the existence of a norm follows from the fact that
5588:
This map is the concrete realization of the double cover of
18595:(the first Pauli matrix is an exchange matrix of order two)
18586:
For higher spin generalizations of the Pauli matrices, see
16795:
rotations in three-dimensional space. However, even though
7126:, which yields the correct eigenvectors (0,1) and (1,0) of
18491:{\displaystyle \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl }.}
15439:
as above, and then imposing the positive-semidefinite and
11400:{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I,}
8489:
That is, the 'cross-terms' can be written as traces. When
5133:
is
Hermitian and traceless. It then makes sense to define
4692:
The norm is given by the determinant (up to a minus sign)
452:
represents the observable corresponding to spin along the
17780:. In the same way, the Pauli matrices are related to the
15987:
7651:{\displaystyle x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}
708:; the entry shows the value of the row times the column.
102:
16067:{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}
12483:
while the determinant of the exponential itself is just
8115:
Similarly to above, this can be explicitly realized for
7735:{\displaystyle \det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}
4298:
as a normed vector space and as a Lie algebra (with the
17797:
particles is that they must be rotated by an angle of 4
5712:{\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong \mathrm {Spin} (3).}
19554:
18408:
are written in compact form in terms of commutator of
18330:
17967:
15884:
15625:
15561:
15476:
14955:
14908:
14310:
11194:
8707:
8563:
8211:
8162:{\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }
7841:
7468:
The Pauli 4-vector, used in spinor theory, is written
6852:
6681:
5384:{\displaystyle R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)}
4096:
4054:
4002:
3953:
3301:
3250:
3194:
3131:
3063:
3000:
2352:
1470:
1179:
308:
232:
159:
19209:
18936:
18851:
18735:
18674:
18421:
18307:
18226:
18157:
18097:
18042:
17944:
17615:
17488:
17456:
17386:
17261:
17060:
17038:
16974:
16952:
16837:
16801:
16740:
16700:
16546:
16388:
16336:
16192:
16179:
This operator can also be written more explicitly as
16086:
16036:
15878:
15559:
15455:
15280:
15240:, the completeness relation follows as stated above.
15097:
15091:
which can be rewritten in terms of matrix indices as
14890:
14808:
14736:
14525:
13935:
13906:
13886:
13829:
13800:
13771:
13530:
13348:
13239:
12742:
12714:
12538:
12407:
12225:
11568:
11451:
11344:
11245:
10457:
10074:
9987:
9943:
9863:
9603:
9282:
9095:
8802:
8672:
8527:
8495:
8370:
8335:
8302:
8178:
8121:
8041:
7990:
7946:
7826:
7754:
7678:
7608:
7570:
7510:
7474:
7357:
7254:
7162:
7132:
7106:
7003:
6950:
6578:
6525:
6477:
6427:
6285:
6181:
6130:
6080:
6036:
5895:
5872:
5757:
5725:
5665:
5628:
5594:
5542:
5400:
5337:
5317:
5293:
5261:
5227:
5139:
5089:
4988:
4884:
4861:
4830:
4698:
4631:
4513:
4480:
4411:
4337:
4311:
4275:
4249:
4220:
3679:
3647:
3618:
3589:
3553:
3517:
3481:
3353:
2958:
2710:
2460:
2408:
2334:
2286:
2254:
2163:
2117:
2042:
1940:
1829:
1787:
1732:
1710:
1675:
1551:
1370:
1160:
1132:
1098:
1067:
1039:
1006:
985:
951:
923:
887:
856:
835:
807:
777:
749:
721:
680:
613:
534:
465:
119:
8788:
7554:{\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).}
6562:{\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }
6464:{\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }
6117:{\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }
18073:matrices have the same algebraic properties as the
1901:{\displaystyle =2i\varepsilon _{jkl}\,\sigma _{l},}
19666:
19320:
19186:
18869:
18833:
18717:
18490:
18388:
18277:
18212:
18120:
18065:
18025:
17894:Rotation group SO(3) § A note on Lie algebras
17776:of the particles are represented as two-component
17689:
17578:
17471:
17394:
17361:
17242:
17046:
17024:
16960:
16859:
16823:
16762:
16722:
16671:
16482:
16356:
16285:
16168:
16066:
15972:
15862:
15541:
15381:
15236:. Since this is true for any choice of the matrix
15217:
15083:
14868:
14787:{\displaystyle M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}}
14786:
14703:
14462:
14294:
13921:
13892:
13844:
13815:
13786:
13755:
13508:
13326:
13223:
12703:
12471:
12357:
12200:
11541:
11399:
11313:
11216:
11144:
10425:
10050:
9973:
9887:
9810:
9571:
9185:
9075:
8778:
8693:
8658:
8549:
8513:
8478:
8353:
8321:
8285:
8161:
8107:
8028:{\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}
8027:
7976:
7930:
7809:
7734:
7650:
7591:
7553:
7493:
7452:
7343:
7240:
7145:
7118:
7092:
6989:
6936:
6561:
6511:
6463:
6413:
6271:
6164:
6116:
6051:
6022:
5881:
5850:
5748:can be recovered using the tracing process above:
5740:
5711:
5651:
5614:
5580:
5525:
5383:
5323:
5299:
5279:
5247:
5213:
5126:{\displaystyle U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}}
5125:
5075:
4971:
4867:
4847:
4816:
4684:, making it manifest that the map is a bijection.
4676:
4617:
4495:
4459:
4397:
4323:
4290:
4261:
4235:
4199:
3662:
3633:
3604:
3575:
3539:
3503:
3467:
3331:
2908:
2694:
2430:
2394:
2318:
2272:
2212:
2149:
2100:
2014:
1900:
1795:
1767:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}
1766:
1718:
1692:
1624:
1512:
1298:
1138:
1117:
1083:
1052:
1022:
991:
970:
936:
906:
872:
841:
820:
790:
762:
734:
688:
631:
556:
483:
373:, which takes into account the interaction of the
351:
19535:
19533:
17926:
9782:
9748:
9731:
9697:
9687:
9653:
9646:
9612:
9199:each side of the equation with components of two
7920:
7860:
7156:Alternatively, one may use spherical coordinates
6990:{\displaystyle a_{3}\to -\left|{\vec {a}}\right|}
4592:
4532:
3583:are an equivalent notation for the more familiar
392:(sometimes considered as the zeroth Pauli matrix
20690:
16005:(also known as a permutation) between two spins
12408:
11231:
9582:Finally, translating the index notation for the
8733:
8620:
8564:
8407:
8392:
8371:
7679:
5034:
4989:
4699:
2319:{\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} ).}
1556:
501:) also generate transformations in the sense of
18139:. By the antisymmetry of angular momentum, the
16968:, represented by the span of the basis vectors
10449:is also considered, these relationships become
6069:
4824:Then, considering the conjugation action of an
2921:
19530:
15227:summation over the repeated indices is implied
9221:(which commute with the Pauli matrices, i.e.,
19747:
19428:. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
19416:
18480:
18450:
7913:
7886:
6569:means it has exactly one of each eigenvalue.
4738:
4704:
4573:
4539:
4305:Another way to view the Pauli vector is as a
361:These matrices are named after the physicist
16474:
16417:
9981:Or equivalently, the Pauli vector satisfies:
8869:
8843:
2395:{\displaystyle \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}}
2144:
2118:
2069:
2043:
2024:
493:The Pauli matrices (after multiplication by
19470:In fact, however, the formula goes back to
19426:Quantum Computation and Quantum Information
18121:{\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }
18066:{\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }
12525:) function is provided by application of
7599:to the vector space of Hermitian matrices,
4243:to the vector space of traceless Hermitian
2150:{\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}}
20321:Fundamental (linear differential equation)
19754:
19740:
18087:is not a three-vector, but a second order
17013:
16980:
16473:
16458:
16439:
16420:
14479:
12722:A straightforward application of formula
1807:Commutation and anti-commutation relations
1649:With the inclusion of the identity matrix
1635:from which we can deduce that each matrix
19695:
19579:
19539:
19475:
18854:
18824:
18790:
18778:
18744:
18705:
18693:
18036:It follows from this definition that the
17657:
17634:
17562:
17545:
17528:
17388:
17342:
17326:
17315:
17299:
17288:
17226:
17171:
17116:
17040:
17007:
16998:
16989:
16954:
16654:
16643:
16639:
16626:
16615:
16611:
16598:
16587:
16583:
16462:
16454:
16443:
16435:
16424:
16219:
16054:
16039:
15980:with eigenvalue +1, hence it acts like a
15951:
15947:
15933:
15904:
15900:
15841:
15837:
15804:
15800:
15776:
15772:
15753:
15727:
15723:
15699:
15695:
15676:
15652:
15648:
15359:
15345:
15320:
15195:
15176:
15131:
15101:
15057:
15053:
15026:
15022:
15008:
14981:
14970:
14966:
14927:
14923:
14919:
14852:
14830:
14773:
14746:
14684:
14654:
14640:
14615:
14359:
14348:
11535:
9736:
9489:
9384:
9163:
9006:
8149:
8063:
8012:
7952:
7573:
6039:
5968:
5581:{\displaystyle R(U)\in \mathrm {SO} (3).}
4952:
4924:
4375:
4360:
4278:
4269:matrices. This map encodes structures of
4223:
3917:
3890:
3879:
3817:
3806:
3770:
3731:
2306:
2257:
2091:
1946:
1884:
1789:
1757:
1712:
1431:
1253:
1216:
682:
616:
468:
416:Hermitian matrices. This means that any
39:(1900–1958), c. 1924. Pauli received the
19505:
17833:particle, the spin operator is given by
17589:Consequently, the transformation matrix
15449:For a pure state, in polar coordinates,
8361:matrices, the following identity holds:
4504:
4469:
1811:
456:th coordinate axis in three-dimensional
388:, and together with the identity matrix
31:
20626:Matrix representation of conic sections
18651:, hence in it no pre-multiplication by
17816:vectors in the two-dimensional complex
10060:
7977:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}
4625:This constitutes an inverse to the map
4214:More formally, this defines a map from
699:
14:
20691:
19664:
19634:
18501:
18196:
18104:
18049:
17948:
17903:of multiparticle systems, the general
17431:
16364:is the three-dimensional real algebra
15988:Relation with the permutation operator
14516:for the Pauli matrices can be written
12507:matrix can be found in the article on
6944:These expressions become singular for
6471:is diagonal with possible eigenvalues
4503:can be recovered from the matrix (see
1816:The Pauli matrices obey the following
528:form a basis for the real Lie algebra
19735:
19456:
17712:, each Pauli matrix is related to an
16942:is isomorphic to the real algebra of
16770:, which corresponds to the Lie group
11217:{\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}
2328:The usual construction of generators
19393:– via geometry.mrao.cam.ac.uk.
18523:decomposition of a single-qubit gate
17703:
17411:gives yet another way of describing
16897:relationship between SO(3) and SU(2)
16357:{\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}
16319:matrices with unit determinant; its
12214:
9840:is identified with the pseudoscalar
9592:
423:can be written in a unique way as a
101:), they are occasionally denoted by
19544:. Addison-Wesley. pp. 109–118.
19512:(2nd ed.). CRC Press. p.
18914:the Pauli matrices, the parameters
17415:. The two-to-one homomorphism from
16860:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
16843:
16840:
16824:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
16807:
16804:
16763:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
16746:
16743:
16723:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
16706:
16703:
16552:
16549:
16394:
16391:
16343:
16340:
12497:A more abstract version of formula
11224:is used to denote the sum over the
9937:satisfies the commutation relation:
8550:{\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}
6512:{\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}
6165:{\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|.}
2431:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
2414:
2411:
1995:
1992:
1973:
1970:
557:{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
540:
537:
24:
19761:
18809:
18763:
18678:
18588:Spin (physics) § Higher spins
18423:
18240:
18162:
18137:Lorentz transformations on spinors
16875:are not isomorphic as Lie groups.
12122:
12007:
11873:
11758:
11646:
9898:If we define the spin operator as
9888:{\displaystyle a\cdot b+a\wedge b}
8179:
8135:
8132:
8083:
8080:
8077:
8074:
8049:
8046:
7998:
7995:
7592:{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}
7494:{\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }
6279:since this can be factorised into
5693:
5690:
5687:
5684:
5633:
5630:
5599:
5596:
5562:
5559:
5368:
5365:
5348:
5345:
2292:
2289:
1736:
1693:{\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}
1679:
445:. In the context of Pauli's work,
25:
20730:
19474:(1840), replete with half-angle:
19215:
18870:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}
18572:Generalizations of Pauli matrices
17812:they are actually represented by
16682:As SU(2) is a compact group, its
13875:
11557:Taylor series for sine and cosine
11410:which can be shown first for the
9963:
9857:then the right hand side becomes
8789:Relation to dot and cross product
8322:{\displaystyle \ \sigma ^{\mu }.}
7984:in this case the matrix group is
7463:
6997:. They can be rescued by letting
6572:Its normalized eigenvectors are
5652:{\displaystyle \mathrm {SU} (2),}
2273:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
632:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}
484:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}
20660:
19642:(4th ed.). Addison-Wesley.
18617:This conforms to the convention
17787:An interesting property of spin
17630:
17438:Quaternions and spatial rotation
17332:
17305:
17278:
17263:
17187:
17132:
17077:
17062:
17009:
17000:
16991:
16982:
16867:are isomorphic as Lie algebras,
15578:
9967:
9953:
9945:
7669:convention) in its determinant:
6052:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
5861:
5615:{\displaystyle \mathrm {SO} (3)}
4291:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
4236:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3342:
576:generated by the three matrices
20528:Used in science and engineering
19628:The Feynman Lectures on Physics
19548:
19509:Geometry, Topology, and Physics
18399:The relativistic spin matrices
17884:, can be calculated using this
17330:
17303:
17276:
17185:
17130:
17075:
13522:in this case) simply amount to
11279:
6758:
4209:Einstein's summation convention
3347:The Pauli vector is defined by
377:of a particle with an external
109:) when used in connection with
19771:Explicitly constrained entries
19700:. Cambridge University Press.
19640:Introductory Quantum Mechanics
19499:
19450:
19410:
19397:
19340:
19197:
19181:
19138:
19123:
19108:
19100:
19057:
19042:
19010:
18978:
18969:
18943:
18879:
18828:
18820:
18803:
18800:
18782:
18774:
18757:
18697:
18689:
18662:
18611:
17933:relativistic quantum mechanics
17927:Relativistic quantum mechanics
17516:
17501:
17463:
17450:corresponding to the position
17336:
17309:
17282:
17267:
17191:
17136:
17081:
17066:
16909:Spinor § Three dimensions
16902:
16854:
16848:
16818:
16812:
16757:
16751:
16717:
16711:
16563:
16557:
16405:
16399:
16254:
16232:
16181:Dirac's spin exchange operator
15872:acts on the state eigenvector
15606:
15591:
15462:
14558:
14533:
14436:
14421:
14401:
14283:
14280:
14274:
14259:
14250:
14235:
14220:
14208:
14202:
14187:
14172:
14160:
14154:
14142:
14120:
14105:
14064:
14042:
14027:
13992:
13986:
13967:
13955:
13946:
13913:
13871:Spinor § Three dimensions
13836:
13807:
13778:
13739:
13698:
13683:
13650:
13617:
13563:
13548:
13474:
13459:
13426:
13393:
13355:
13294:
13279:
13201:
13186:
13134:
13119:
13072:
13031:
13016:
12983:
12950:
12904:
12889:
12834:
12819:
12784:
12769:
12689:
12680:
12671:
12665:
12653:
12638:
12620:
12611:
12602:
12596:
12581:
12578:
12572:
12557:
12548:
12542:
12453:
12450:
12444:
12429:
12420:
12411:
12335:
12329:
12314:
12305:
12269:
12254:
12185:
12170:
12140:
12130:
12103:
12097:
12082:
12073:
12058:
12049:
12025:
12015:
11969:
11954:
11934:
11927:
11912:
11900:
11891:
11881:
11842:
11833:
11819:
11812:
11797:
11785:
11776:
11766:
11699:
11684:
11610:
11595:
11529:
11514:
11479:
11464:
11376:
11369:
11354:
11345:
11298:
11291:
11281:
11270:
11252:
11209:
11200:
11101:
11086:
10649:
10637:
10038:
10015:
9995:
9796:
9774:
9759:
9723:
9708:
9679:
9664:
9638:
9623:
8977:
8931:
8925:
8879:
8770:
8758:
8749:
8736:
8694:{\displaystyle \ 2\times 2\ ,}
8470:
8461:
8449:
8443:
8434:
8428:
8416:
8410:
8401:
8395:
8386:
8374:
8240:
8189:
8182:
8153:
8139:
8099:
8087:
8067:
8053:
8016:
8002:
7872:
7801:
7795:
7777:
7762:
7726:
7714:
7705:
7682:
7619:
7545:
7539:
7524:
7447:
7444:
7430:
7418:
7406:
7397:
7383:
7371:
7338:
7335:
7326:
7317:
7303:
7291:
7277:
7268:
7235:
7181:
7169:
7119:{\displaystyle \epsilon \to 0}
7110:
7087:
7084:
7057:
7039:
7029:
7010:
6977:
6961:
6916:
6909:
6899:
6841:
6837:
6830:
6820:
6803:
6799:
6792:
6782:
6707:
6662:
6652:
6626:
6613:
6550:
6535:
6502:
6495:
6485:
6452:
6437:
6402:
6398:
6391:
6381:
6371:
6356:
6347:
6344:
6340:
6333:
6323:
6313:
6298:
6289:
6247:
6239:
6229:
6216:
6209:
6194:
6185:
6155:
6148:
6138:
6105:
6090:
6011:
5999:
5993:
5978:
5969:
5956:
5950:
5935:
5920:
5905:
5896:
5768:
5761:
5735:
5729:
5703:
5697:
5677:
5671:
5643:
5637:
5609:
5603:
5572:
5566:
5552:
5546:
5514:
5502:
5496:
5484:
5478:
5472:
5463:
5444:
5428:
5413:
5378:
5372:
5361:
5358:
5352:
5268:
5235:
5202:
5183:
5167:
5152:
5117:
5102:
5067:
5061:
5046:
5037:
5028:
5022:
5007:
4992:
4946:
4931:
4912:
4897:
4848:{\displaystyle {\text{SU}}(2)}
4842:
4836:
4801:
4793:
4783:
4770:
4755:
4730:
4715:
4687:
4668:
4653:
4644:
4638:
4606:
4584:
4565:
4550:
4487:
4448:
4433:
4424:
4418:
4386:
4370:
4364:
4356:
3847:
3825:
3790:
3778:
3757:
3751:
3739:
3718:
3705:
3690:
3654:
3625:
3596:
3576:{\displaystyle {\hat {x}}_{3}}
3561:
3540:{\displaystyle {\hat {x}}_{2}}
3525:
3504:{\displaystyle {\hat {x}}_{1}}
3489:
3450:
3418:
3386:
3360:
2425:
2419:
2389:
2363:
2310:
2302:
2006:
2000:
1984:
1978:
1962:
1941:
1856:
1830:
1761:
1753:
551:
545:
13:
1:
20545:Fundamental (computer vision)
19673:(3rd ed.). McGraw-Hill.
19615:
18085:relativistic angular momentum
17915:is defined to consist of all
12732:. One may directly solve for
12724:
12715:The group composition law of
12513:
12499:
11232:Exponential of a Pauli vector
8354:{\displaystyle \ 2\times 2\ }
1118:{\displaystyle -i\sigma _{x}}
971:{\displaystyle -i\sigma _{z}}
907:{\displaystyle -i\sigma _{y}}
568:to the special unitary group
401:), the Pauli matrices form a
18582:Euler's four-square identity
17923:products of Pauli matrices.
17403:forms a group isomorphic to
17395:{\displaystyle \mathbb {H} }
17047:{\displaystyle \mathbb {H} }
16961:{\displaystyle \mathbb {H} }
15391:The fact that any Hermitian
6070:Eigenvalues and eigenvectors
2922:Eigenvectors and eigenvalues
1796:{\displaystyle \mathbb {C} }
1719:{\displaystyle \mathbb {R} }
1084:{\displaystyle i\sigma _{y}}
1023:{\displaystyle i\sigma _{x}}
873:{\displaystyle i\sigma _{z}}
689:{\displaystyle \mathbb {H} }
7:
20311:Duplication and elimination
20110:eigenvalues or eigenvectors
19665:Schiff, Leonard I. (1968).
19540:Goldstein, Herbert (1959).
19466:Elements of Vector Analysis
18540:Spinors in three dimensions
18528:
14475:Rodrigues' rotation formula
12373:
9826:
8521:are chosen to be different
7248:to obtain the eigenvectors
7146:{\displaystyle \sigma _{z}}
5280:{\displaystyle {\vec {a}},}
5248:{\displaystyle {\vec {a}}'}
4875:on this space of matrices,
1929:Einstein summation notation
1053:{\displaystyle \sigma _{z}}
937:{\displaystyle \sigma _{y}}
821:{\displaystyle \sigma _{x}}
791:{\displaystyle \sigma _{z}}
763:{\displaystyle \sigma _{y}}
735:{\displaystyle \sigma _{x}}
89:. Usually indicated by the
10:
20735:
20244:With specific applications
19873:Discrete Fourier Transform
18729:is endowed with a mapping
18604:
17866:fundamental representation
17472:{\displaystyle {\vec {x}}}
17435:
17426:
16906:
14472:
13922:{\displaystyle {\hat {n}}}
13864:
13845:{\displaystyle {\hat {k}}}
13816:{\displaystyle {\hat {m}}}
13787:{\displaystyle {\hat {n}}}
12472:{\displaystyle \det=a^{2}}
11324:one has, for even powers,
4496:{\displaystyle {\vec {a}}}
3663:{\displaystyle {\hat {z}}}
3634:{\displaystyle {\hat {y}}}
3605:{\displaystyle {\hat {x}}}
1542:of the Pauli matrices are
20654:
20603:
20535:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
20527:
20473:
20409:
20243:
20162:Satisfying conditions on
20161:
20107:
20046:
19770:
19624:"The Pauli spin matrices"
19526:– via Google Books.
18898:representation holds for
18535:Algebra of physical space
17748:projective representation
17714:angular momentum operator
14798:is a complex number, and
12489:generic group element of
11228:of the included indices.
5659:and therefore shows that
4324:{\displaystyle 2\times 2}
4262:{\displaystyle 2\times 2}
2930:) Pauli matrices has two
2702:
2025:Anticommutation relations
49:Pauli exclusion principle
19706:10.1017/CBO9780511806117
19698:Essential Quantum Optics
19506:Nakahara, Mikio (2003).
19334:
18655:is necessary to land in
18151:The first three are the
18128:needs to be replaced by
17746:are the generators of a
17598:for rotations about the
16913:The real linear span of
16689:
16299:
15399:representation of 2 × 2
13336:spherical law of cosines
7564:This defines a map from
5287:and therefore interpret
1726:, and the Hilbert space
1704:Hermitian matrices over
19893:Generalized permutation
19696:Leonhardt, Ulf (2010).
17892:. They can be found in
17716:that corresponds to an
17602:-axis through an angle
16504:infinitesimal generator
16379:. In compact notation,
12511:. A general version of
8666:Since the matrices are
8514:{\displaystyle \ A,B\ }
7661:which also encodes the
666:functions identically (
20667:Mathematics portal
19598:10.3842/SIGMA.2014.084
19322:
19188:
18871:
18835:
18719:
18492:
18390:
18279:
18214:
18122:
18067:
18027:
17691:
17580:
17473:
17396:
17363:
17244:
17048:
17026:
16962:
16861:
16825:
16764:
16724:
16673:
16484:
16358:
16287:
16170:
16068:
15974:
15864:
15543:
15383:
15301:
15219:
15085:
14870:
14788:
14705:
14596:
14512:In this notation, the
14464:
14296:
13923:
13894:
13846:
13817:
13788:
13757:
13510:
13328:
13225:
12705:
12473:
12359:
12202:
12126:
12011:
11877:
11762:
11650:
11543:
11401:
11315:
11218:
11146:
10427:
10052:
9975:
9889:
9812:
9573:
9187:
9077:
8780:
8695:
8660:
8551:
8515:
8480:
8355:
8323:
8287:
8163:
8109:
8029:
7978:
7932:
7811:
7736:
7652:
7593:
7555:
7495:
7454:
7345:
7242:
7147:
7120:
7094:
6991:
6938:
6563:
6513:
6465:
6415:
6273:
6166:
6118:
6059:is a Lie algebra (see
6053:
6024:
5883:
5852:
5742:
5713:
5653:
5616:
5582:
5527:
5385:
5325:
5301:
5281:
5249:
5215:
5127:
5077:
4973:
4869:
4849:
4818:
4678:
4619:
4497:
4461:
4399:
4325:
4292:
4263:
4237:
4201:
3664:
3635:
3606:
3577:
3541:
3505:
3469:
3333:
2910:
2696:
2432:
2396:
2320:
2274:
2214:
2151:
2102:
2029:They also satisfy the
2016:
1902:
1797:
1768:
1720:
1694:
1626:
1514:
1309:where the solution to
1300:
1140:
1119:
1085:
1054:
1024:
993:
972:
938:
908:
874:
843:
822:
792:
764:
736:
690:
633:
558:
485:
353:
52:
43:in 1945, nominated by
41:Nobel Prize in physics
19323:
19189:
18872:
18836:
18720:
18493:
18391:
18280:
18220:The remaining three,
18215:
18123:
18068:
18028:
17692:
17581:
17474:
17397:
17364:
17245:
17049:
17032:The isomorphism from
17027:
16963:
16862:
16826:
16765:
16725:
16674:
16485:
16359:
16288:
16171:
16069:
15975:
15865:
15544:
15405:positive semidefinite
15384:
15281:
15220:
15086:
14871:
14789:
14706:
14576:
14514:completeness relation
14480:Completeness relation
14465:
14297:
13924:
13895:
13847:
13818:
13789:
13758:
13511:
13329:
13226:
12706:
12487:, which makes it the
12474:
12360:
12203:
12106:
11991:
11857:
11742:
11630:
11553:Matrix exponentiating
11544:
11402:
11316:
11219:
11147:
10428:
10053:
9976:
9890:
9813:
9574:
9255:and vector component
9188:
9078:
8781:
8696:
8661:
8552:
8516:
8481:
8356:
8324:
8288:
8164:
8110:
8030:
7979:
7933:
7812:
7737:
7653:
7594:
7556:
7496:
7455:
7346:
7243:
7148:
7121:
7100:and taking the limit
7095:
6992:
6939:
6564:
6519:The tracelessness of
6514:
6466:
6416:
6274:
6167:
6119:
6054:
6025:
5884:
5853:
5743:
5714:
5654:
5617:
5583:
5528:
5386:
5326:
5302:
5282:
5255:has the same norm as
5250:
5216:
5128:
5078:
4974:
4870:
4850:
4819:
4679:
4620:
4505:completeness relation
4498:
4470:Completeness relation
4462:
4400:
4326:
4293:
4264:
4238:
4202:
3665:
3636:
3607:
3578:
3542:
3506:
3470:
3334:
2911:
2697:
2433:
2397:
2321:
2275:
2215:
2152:
2103:
2017:
1903:
1812:Commutation relations
1798:
1769:
1721:
1695:
1627:
1515:
1301:
1141:
1120:
1086:
1055:
1025:
994:
973:
939:
909:
875:
844:
823:
793:
765:
737:
691:
634:
559:
486:
384:Each Pauli matrix is
379:electromagnetic field
354:
35:
20719:Hypercomplex numbers
20714:Mathematical physics
19489:J. Math. Pures Appl.
19207:
18934:
18894:derived here in the
18849:
18733:
18727:tensor product space
18672:
18636:. In the convention
18419:
18305:
18224:
18155:
18095:
18040:
17942:
17762:particles with spin
17756:rotation group SO(3)
17613:
17486:
17454:
17384:
17259:
17058:
17036:
16972:
16950:
16835:
16799:
16738:
16698:
16684:Cartan decomposition
16544:
16386:
16334:
16190:
16084:
16034:
15876:
15557:
15453:
15278:
15095:
14888:
14806:
14734:
14523:
14500:-th Pauli matrix is
14308:
13933:
13904:
13884:
13827:
13798:
13769:
13528:
13346:
13237:
12740:
12536:
12517:for an analytic (at
12405:
12223:
11566:
11449:
11342:
11243:
11192:
11154:where Greek indices
10455:
10072:
10061:Some trace relations
9985:
9941:
9861:
9601:
9280:
9093:
8800:
8705:
8670:
8561:
8525:
8493:
8368:
8333:
8300:
8176:
8119:
8039:
7988:
7944:
7824:
7752:
7676:
7606:
7568:
7508:
7472:
7355:
7252:
7160:
7130:
7104:
7001:
6948:
6576:
6523:
6475:
6425:
6283:
6179:
6128:
6078:
6034:
5893:
5870:
5755:
5741:{\displaystyle R(U)}
5723:
5663:
5626:
5592:
5540:
5398:
5335:
5315:
5291:
5259:
5225:
5137:
5087:
4986:
4882:
4859:
4828:
4696:
4629:
4511:
4478:
4409:
4335:
4309:
4273:
4247:
4218:
3677:
3645:
3616:
3587:
3551:
3515:
3479:
3351:
2956:
2942:. The corresponding
2708:
2458:
2406:
2332:
2284:
2252:
2161:
2115:
2040:
1938:
1827:
1785:
1730:
1708:
1673:
1549:
1368:
1158:
1130:
1096:
1065:
1037:
1004:
983:
949:
921:
885:
854:
833:
805:
775:
747:
719:
700:Algebraic properties
678:
611:
532:
463:
369:, they occur in the
117:
77:that are traceless,
57:mathematical physics
20709:Rotational symmetry
20616:Linear independence
19863:Diagonally dominant
19590:2014SIGMA..10..084C
19542:Classical Mechanics
19418:Nielsen, Michael A.
19368:1993FoPh...23.1175G
18900:all representations
18885:The relation among
18508:quantum information
18502:Quantum information
18135:, the generator of
17899:Also useful in the
17752:spin representation
17444:classical mechanics
17432:Classical mechanics
16734:to the Lie algebra
15982:projection operator
15403:’ density matrix, (
15338:
15319:
15194:
15175:
14633:
14614:
12527:Sylvester's formula
12509:matrix exponentials
11172:assume values from
9264:(and likewise with
8732:
6074:The eigenvalues of
1653:(sometimes denoted
1421:
1403:
1385:
709:
641:associative algebra
431:Hermitian operators
67:are a set of three
18:Pauli spin matrices
20621:Matrix exponential
20611:Jordan normal form
20445:Fisher information
20316:Euclidean distance
20230:Totally unimodular
19636:Liboff, Richard L.
19376:10.1007/BF01883676
19318:
19306:
19305:
19184:
18867:
18831:
18715:
18623:matrix exponential
18562:Gell-Mann matrices
18550:§ Dirac basis
18488:
18386:
18377:
18275:
18210:
18118:
18063:
18023:
18014:
17874:Kronecker products
17687:
17576:
17469:
17392:
17359:
17240:
17044:
17022:
16958:
16857:
16821:
16760:
16720:
16669:
16509:representation of
16502:can be seen as an
16493:As a result, each
16480:
16354:
16323:is the set of all
16283:
16166:
16064:
15970:
15964:
15860:
15854:
15570:
15539:
15530:
15379:
15321:
15302:
15215:
15177:
15158:
15157:
15081:
15079:
15042:
14990:
14964:
14917:
14884:, and hence that
14866:
14784:
14762:
14716:
14701:
14616:
14597:
14460:
14292:
13919:
13890:
13842:
13813:
13784:
13753:
13506:
13324:
13221:
13219:
12701:
12469:
12355:
12198:
12196:
11539:
11397:
11311:
11226:cyclic permutation
11214:
11213:
11142:
11140:
11105:
10653:
10423:
10421:
10048:
9971:
9885:
9808:
9569:
9561:
9183:
9073:
9071:
8776:
8718:
8717:
8691:
8656:
8619:
8581:
8547:
8511:
8476:
8351:
8319:
8283:
8220:
8159:
8105:
8025:
7974:
7928:
7850:
7807:
7732:
7648:
7589:
7551:
7491:
7450:
7341:
7238:
7143:
7116:
7090:
6987:
6934:
6922:
6749:
6559:
6509:
6461:
6411:
6269:
6162:
6114:
6049:
6020:
5882:{\displaystyle 2i}
5879:
5848:
5738:
5719:The components of
5709:
5649:
5612:
5578:
5523:
5381:
5321:
5297:
5277:
5245:
5211:
5123:
5073:
4969:
4865:
4845:
4814:
4674:
4615:
4493:
4474:Each component of
4457:
4395:
4321:
4288:
4259:
4233:
4197:
4195:
4184:
4082:
4030:
3978:
3660:
3631:
3602:
3573:
3537:
3501:
3465:
3329:
3327:
3316:
3265:
3212:
3146:
3081:
3015:
2906:
2904:
2692:
2690:
2428:
2392:
2361:
2316:
2270:
2210:
2147:
2098:
2012:
1925:Levi-Civita symbol
1913:structure constant
1898:
1793:
1764:
1716:
1690:
1622:
1620:
1510:
1495:
1407:
1389:
1371:
1296:
1287:
1136:
1115:
1081:
1050:
1020:
989:
968:
934:
904:
870:
839:
818:
788:
760:
732:
704:
686:
629:
554:
481:
425:linear combination
349:
347:
336:
260:
184:
53:
20686:
20685:
20678:Category:Matrices
20550:Fuzzy associative
20440:Doubly stochastic
20148:Positive-definite
19828:Block tridiagonal
19715:978-0-521-14505-3
19680:978-0-07-055287-6
19669:Quantum Mechanics
19523:978-0-7503-0606-5
19477:Rodrigues, Olinde
19435:978-0-521-63235-5
19314:
19163:
19141:
19126:
19082:
19060:
19045:
19013:
18981:
18946:
18446:
18271:
18238:
18229:
18160:
18117:
18100:
18062:
18045:
17901:quantum mechanics
17710:quantum mechanics
17704:Quantum mechanics
17682:
17649:
17519:
17504:
17466:
17355:
16659:
16631:
16603:
16279:
16257:
16235:
16217:
15956:
15909:
15846:
15809:
15781:
15732:
15704:
15657:
15609:
15594:
15569:
15465:
15375:
15211:
15148:
15073:
15033:
15004:
15001:
14963:
14916:
14753:
14714:
14561:
14536:
14439:
14424:
14404:
14384:
14339:
14288:
14258:
14253:
14238:
14228:
14223:
14195:
14190:
14175:
14145:
14123:
14108:
14092:
14072:
14067:
14057:
14045:
14030:
14014:
13975:
13970:
13960:
13916:
13893:{\displaystyle a}
13839:
13810:
13781:
13765:(Of course, when
13742:
13706:
13701:
13686:
13653:
13620:
13604:
13566:
13551:
13477:
13462:
13429:
13396:
13380:
13358:
13320:
13297:
13282:
13204:
13189:
13137:
13122:
13075:
13039:
13034:
13019:
12986:
12953:
12907:
12892:
12837:
12822:
12787:
12772:
12696:
12656:
12641:
12627:
12575:
12560:
12447:
12432:
12381:
12380:
12354:
12351:
12332:
12317:
12272:
12257:
12231:
12228:
12192:
12100:
12085:
12065:
11976:
11930:
11915:
11849:
11815:
11800:
11730:
11702:
11687:
11613:
11598:
11532:
11517:
11482:
11467:
11441:= 0, 1, 2, 3, ...
11372:
11357:
11334:= 0, 1, 2, 3, ...
11294:
11273:
11255:
11195:
11188:and the notation
11081:
10632:
10046:
10041:
10023:
10018:
10003:
9998:
9834:
9833:
9807:
9804:
9799:
9777:
9762:
9726:
9711:
9682:
9667:
9641:
9626:
9609:
9606:
9568:
9288:
9285:
9182:
9176:
9101:
9098:
8708:
8701:this is equal to
8687:
8675:
8610:
8572:
8543:
8530:
8510:
8498:
8350:
8338:
8305:
8243:
8219:
8158:
8124:
8044:
8021:
7993:
7970:
7949:
7875:
7849:
7798:
7765:
7644:
7542:
7490:
7477:
7172:
7032:
7013:
6980:
6930:
6912:
6845:
6844:
6833:
6795:
6710:
6674:
6672:
6668:
6667:
6655:
6625:
6616:
6558:
6553:
6538:
6528:
6498:
6480:
6460:
6455:
6440:
6430:
6394:
6374:
6359:
6336:
6316:
6301:
6288:
6265:
6242:
6212:
6197:
6184:
6151:
6133:
6113:
6108:
6093:
6083:
6014:
5996:
5981:
5953:
5938:
5923:
5908:
5791:
5669:
5517:
5499:
5489:
5466:
5447:
5431:
5416:
5324:{\displaystyle U}
5300:{\displaystyle U}
5271:
5238:
5205:
5186:
5170:
5155:
5120:
5105:
5064:
5049:
5025:
5010:
4949:
4934:
4915:
4900:
4868:{\displaystyle U}
4834:
4796:
4773:
4758:
4733:
4718:
4671:
4656:
4641:
4609:
4587:
4568:
4553:
4522:
4490:
4451:
4436:
4421:
4342:
3850:
3828:
3781:
3742:
3708:
3693:
3657:
3628:
3599:
3564:
3528:
3492:
3453:
3421:
3389:
3363:
3187:
3186:
3124:
3123:
3056:
3055:
2993:
2992:
2919:
2918:
2360:
2241:identity matrix.
1355:The matrices are
1149:
1148:
1139:{\displaystyle I}
992:{\displaystyle I}
842:{\displaystyle I}
639:and the (unital)
367:quantum mechanics
16:(Redirected from
20726:
20673:List of matrices
20665:
20664:
20641:Row echelon form
20585:State transition
20514:Seidel adjacency
20396:Totally positive
20256:Alternating sign
19853:Complex Hadamard
19756:
19749:
19742:
19733:
19732:
19727:
19692:
19672:
19661:
19631:
19610:
19609:
19583:
19552:
19546:
19545:
19537:
19528:
19527:
19503:
19497:
19496:
19485:
19472:Olinde Rodrigues
19469:
19454:
19448:
19447:
19422:Chuang, Isaac L.
19414:
19408:
19401:
19395:
19394:
19392:
19390:
19362:(9): 1175–1201.
19353:
19344:
19328:
19327:
19325:
19324:
19319:
19312:
19311:
19307:
19201:
19195:
19193:
19191:
19190:
19185:
19177:
19161:
19157:
19143:
19142:
19134:
19128:
19127:
19119:
19107:
19096:
19080:
19076:
19062:
19061:
19053:
19047:
19046:
19038:
19029:
19015:
19014:
19006:
18997:
18983:
18982:
18974:
18962:
18948:
18947:
18939:
18905:
18897:
18893:
18883:
18877:
18876:
18874:
18873:
18868:
18863:
18862:
18857:
18840:
18838:
18837:
18832:
18827:
18819:
18818:
18813:
18812:
18799:
18798:
18793:
18781:
18773:
18772:
18767:
18766:
18753:
18752:
18747:
18724:
18722:
18721:
18716:
18714:
18713:
18708:
18696:
18688:
18687:
18682:
18681:
18666:
18660:
18658:
18654:
18650:
18635:
18615:
18599:Split-quaternion
18557:Angular momentum
18519:unitary matrices
18497:
18495:
18494:
18489:
18484:
18483:
18477:
18476:
18464:
18463:
18454:
18453:
18447:
18439:
18434:
18433:
18407:
18395:
18393:
18392:
18387:
18382:
18381:
18369:
18368:
18363:
18362:
18351:
18350:
18345:
18344:
18321:
18320:
18315:
18314:
18295:
18284:
18282:
18281:
18276:
18269:
18268:
18267:
18262:
18261:
18251:
18250:
18236:
18227:
18219:
18217:
18216:
18211:
18206:
18205:
18200:
18199:
18192:
18191:
18173:
18172:
18158:
18147:
18134:
18127:
18125:
18124:
18119:
18115:
18114:
18113:
18108:
18107:
18098:
18079:
18072:
18070:
18069:
18064:
18060:
18059:
18058:
18053:
18052:
18043:
18032:
18030:
18029:
18024:
18019:
18018:
18011:
18010:
18005:
18004:
17983:
17982:
17977:
17976:
17958:
17957:
17952:
17951:
17918:
17914:
17890:ladder operators
17863:
17857:
17855:
17854:
17851:
17848:
17832:
17831:
17827:
17811:
17800:
17796:
17795:
17791:
17782:isospin operator
17771:
17770:
17766:
17760:non-relativistic
17745:
17735:
17734:
17730:
17696:
17694:
17693:
17688:
17683:
17675:
17667:
17666:
17650:
17642:
17633:
17625:
17624:
17605:
17601:
17597:
17585:
17583:
17582:
17577:
17572:
17571:
17555:
17554:
17538:
17537:
17521:
17520:
17512:
17506:
17505:
17497:
17478:
17476:
17475:
17470:
17468:
17467:
17459:
17449:
17422:
17418:
17414:
17410:
17406:
17402:
17401:
17399:
17398:
17393:
17391:
17368:
17366:
17365:
17360:
17353:
17352:
17351:
17335:
17325:
17324:
17308:
17298:
17297:
17281:
17266:
17249:
17247:
17246:
17241:
17236:
17235:
17216:
17215:
17206:
17205:
17190:
17181:
17180:
17161:
17160:
17151:
17150:
17135:
17126:
17125:
17106:
17105:
17096:
17095:
17080:
17065:
17053:
17051:
17050:
17045:
17043:
17031:
17029:
17028:
17023:
17018:
17014:
17012:
17003:
16994:
16985:
16967:
16965:
16964:
16959:
16957:
16941:
16894:
16890:
16886:
16878:
16874:
16870:
16866:
16864:
16863:
16858:
16847:
16846:
16830:
16828:
16827:
16822:
16811:
16810:
16790:
16769:
16767:
16766:
16761:
16750:
16749:
16729:
16727:
16726:
16721:
16710:
16709:
16694:The Lie algebra
16678:
16676:
16675:
16670:
16665:
16661:
16660:
16655:
16653:
16652:
16637:
16632:
16627:
16625:
16624:
16609:
16604:
16599:
16597:
16596:
16581:
16556:
16555:
16536:
16534:
16532:
16531:
16528:
16525:
16512:
16501:
16489:
16487:
16486:
16481:
16472:
16471:
16453:
16452:
16434:
16433:
16398:
16397:
16378:
16363:
16361:
16360:
16355:
16353:
16352:
16347:
16346:
16326:
16318:
16292:
16290:
16289:
16284:
16277:
16276:
16272:
16265:
16264:
16259:
16258:
16250:
16243:
16242:
16237:
16236:
16228:
16218:
16210:
16205:
16204:
16175:
16173:
16172:
16167:
16162:
16158:
16157:
16156:
16147:
16146:
16129:
16125:
16124:
16123:
16114:
16113:
16099:
16098:
16077:
16075:
16073:
16071:
16070:
16065:
16063:
16062:
16057:
16048:
16047:
16042:
16022:
16013:
16000:
15979:
15977:
15976:
15971:
15969:
15968:
15961:
15957:
15952:
15945:
15932:
15931:
15914:
15910:
15905:
15898:
15869:
15867:
15866:
15861:
15859:
15858:
15851:
15847:
15842:
15835:
15826:
15825:
15814:
15810:
15805:
15798:
15786:
15782:
15777:
15770:
15758:
15757:
15737:
15733:
15728:
15721:
15709:
15705:
15700:
15693:
15681:
15680:
15662:
15658:
15653:
15646:
15637:
15636:
15616:
15612:
15611:
15610:
15602:
15596:
15595:
15587:
15581:
15571:
15562:
15548:
15546:
15545:
15540:
15535:
15534:
15467:
15466:
15458:
15445:
15438:
15388:
15386:
15385:
15380:
15373:
15372:
15371:
15358:
15357:
15337:
15332:
15318:
15313:
15300:
15295:
15273:
15256:
15239:
15235:
15231:
15224:
15222:
15221:
15216:
15209:
15208:
15207:
15193:
15188:
15174:
15169:
15156:
15144:
15143:
15130:
15129:
15114:
15113:
15090:
15088:
15087:
15082:
15080:
15071:
15067:
15066:
15052:
15051:
15041:
15002:
14999:
14991:
14980:
14979:
14965:
14956:
14946:
14945:
14935:
14934:
14918:
14909:
14906:
14879:
14875:
14873:
14872:
14867:
14865:
14864:
14845:
14841:
14840:
14839:
14829:
14828:
14801:
14797:
14793:
14791:
14790:
14785:
14783:
14782:
14772:
14771:
14761:
14729:
14721:
14710:
14708:
14707:
14702:
14697:
14696:
14683:
14682:
14667:
14666:
14653:
14652:
14632:
14627:
14613:
14608:
14595:
14590:
14572:
14571:
14563:
14562:
14554:
14547:
14546:
14538:
14537:
14529:
14509:
14499:
14495:
14491:
14487:
14469:
14467:
14466:
14461:
14459:
14458:
14446:
14442:
14441:
14440:
14432:
14426:
14425:
14417:
14406:
14405:
14397:
14391:
14390:
14389:
14385:
14377:
14369:
14368:
14358:
14357:
14347:
14346:
14345:
14341:
14340:
14332:
14320:
14319:
14301:
14299:
14298:
14293:
14286:
14256:
14255:
14254:
14246:
14240:
14239:
14231:
14226:
14225:
14224:
14216:
14193:
14192:
14191:
14183:
14177:
14176:
14168:
14147:
14146:
14138:
14132:
14131:
14130:
14126:
14125:
14124:
14116:
14110:
14109:
14101:
14093:
14085:
14070:
14069:
14068:
14060:
14055:
14054:
14053:
14052:
14048:
14047:
14046:
14038:
14032:
14031:
14023:
14015:
14007:
13985:
13984:
13973:
13972:
13971:
13963:
13958:
13945:
13944:
13928:
13926:
13925:
13920:
13918:
13917:
13909:
13899:
13897:
13896:
13891:
13861:
13851:
13849:
13848:
13843:
13841:
13840:
13832:
13822:
13820:
13819:
13814:
13812:
13811:
13803:
13793:
13791:
13790:
13785:
13783:
13782:
13774:
13762:
13760:
13759:
13754:
13749:
13745:
13744:
13743:
13735:
13729:
13725:
13704:
13703:
13702:
13694:
13688:
13687:
13679:
13655:
13654:
13646:
13622:
13621:
13613:
13605:
13603:
13589:
13570:
13569:
13568:
13567:
13559:
13553:
13552:
13544:
13515:
13513:
13512:
13507:
13502:
13498:
13479:
13478:
13470:
13464:
13463:
13455:
13431:
13430:
13422:
13398:
13397:
13389:
13381:
13379:
13365:
13360:
13359:
13351:
13341:
13333:
13331:
13330:
13325:
13318:
13299:
13298:
13290:
13284:
13283:
13275:
13230:
13228:
13227:
13222:
13220:
13213:
13212:
13211:
13207:
13206:
13205:
13197:
13191:
13190:
13182:
13157:
13144:
13140:
13139:
13138:
13130:
13124:
13123:
13115:
13101:
13081:
13077:
13076:
13068:
13062:
13058:
13037:
13036:
13035:
13027:
13021:
13020:
13012:
12988:
12987:
12979:
12955:
12954:
12946:
12932:
12928:
12909:
12908:
12900:
12894:
12893:
12885:
12846:
12845:
12844:
12840:
12839:
12838:
12830:
12824:
12823:
12815:
12796:
12795:
12794:
12790:
12789:
12788:
12780:
12774:
12773:
12765:
12735:
12731:
12718:
12710:
12708:
12707:
12702:
12697:
12692:
12660:
12658:
12657:
12649:
12643:
12642:
12634:
12628:
12623:
12591:
12577:
12576:
12568:
12562:
12561:
12553:
12506:
12486:
12478:
12476:
12475:
12470:
12468:
12467:
12449:
12448:
12440:
12434:
12433:
12425:
12375:
12364:
12362:
12361:
12356:
12352:
12349:
12348:
12334:
12333:
12325:
12319:
12318:
12310:
12298:
12281:
12280:
12279:
12275:
12274:
12273:
12265:
12259:
12258:
12250:
12229:
12226:
12215:
12207:
12205:
12204:
12199:
12197:
12193:
12191:
12168:
12167:
12166:
12148:
12147:
12128:
12125:
12120:
12102:
12101:
12093:
12087:
12086:
12078:
12066:
12064:
12047:
12046:
12045:
12033:
12032:
12013:
12010:
12005:
11981:
11977:
11975:
11952:
11951:
11950:
11932:
11931:
11923:
11917:
11916:
11908:
11899:
11898:
11879:
11876:
11871:
11850:
11848:
11831:
11830:
11829:
11817:
11816:
11808:
11802:
11801:
11793:
11784:
11783:
11764:
11761:
11756:
11735:
11731:
11729:
11721:
11720:
11719:
11714:
11710:
11709:
11705:
11704:
11703:
11695:
11689:
11688:
11680:
11663:
11662:
11652:
11649:
11644:
11622:
11621:
11620:
11616:
11615:
11614:
11606:
11600:
11599:
11591:
11555:, and using the
11548:
11546:
11545:
11540:
11534:
11533:
11525:
11519:
11518:
11510:
11504:
11503:
11489:
11485:
11484:
11483:
11475:
11469:
11468:
11460:
11442:
11431:For odd powers,
11427:
11423:
11416:
11406:
11404:
11403:
11398:
11387:
11386:
11374:
11373:
11365:
11359:
11358:
11350:
11335:
11320:
11318:
11317:
11312:
11301:
11296:
11295:
11287:
11284:
11275:
11274:
11266:
11257:
11256:
11248:
11223:
11221:
11220:
11215:
11212:
11187:
11171:
11167:
11151:
11149:
11148:
11143:
11141:
11137:
11136:
11124:
11123:
11104:
11071:
11070:
11058:
11057:
11045:
11044:
11032:
11031:
11013:
11009:
11008:
11007:
10995:
10994:
10982:
10981:
10966:
10965:
10953:
10952:
10940:
10939:
10916:
10912:
10911:
10910:
10898:
10897:
10882:
10881:
10869:
10868:
10853:
10852:
10840:
10839:
10812:
10808:
10807:
10806:
10797:
10796:
10787:
10786:
10777:
10776:
10752:
10751:
10724:
10723:
10711:
10710:
10698:
10697:
10679:
10678:
10666:
10665:
10652:
10621:
10617:
10616:
10615:
10606:
10605:
10596:
10595:
10571:
10570:
10548:
10544:
10543:
10542:
10533:
10532:
10508:
10507:
10485:
10481:
10480:
10448:
10432:
10430:
10429:
10424:
10422:
10418:
10414:
10413:
10412:
10400:
10399:
10384:
10383:
10371:
10370:
10355:
10354:
10342:
10341:
10314:
10310:
10309:
10308:
10299:
10298:
10289:
10288:
10279:
10278:
10254:
10253:
10225:
10221:
10220:
10219:
10210:
10209:
10200:
10199:
10175:
10174:
10152:
10148:
10147:
10146:
10137:
10136:
10102:
10098:
10097:
10057:
10055:
10054:
10049:
10047:
10042:
10034:
10032:
10024:
10019:
10011:
10009:
10004:
9999:
9991:
9989:
9980:
9978:
9977:
9972:
9970:
9956:
9948:
9936:
9928:
9922:
9920:
9919:
9916:
9913:
9894:
9892:
9891:
9886:
9856:
9839:
9828:
9817:
9815:
9814:
9809:
9805:
9802:
9801:
9800:
9792:
9786:
9785:
9779:
9778:
9770:
9764:
9763:
9755:
9752:
9751:
9735:
9734:
9728:
9727:
9719:
9713:
9712:
9704:
9701:
9700:
9691:
9690:
9684:
9683:
9675:
9669:
9668:
9660:
9657:
9656:
9650:
9649:
9643:
9642:
9634:
9628:
9627:
9619:
9616:
9615:
9607:
9604:
9593:
9578:
9576:
9575:
9570:
9566:
9562:
9555:
9554:
9542:
9541:
9532:
9531:
9519:
9518:
9509:
9508:
9499:
9498:
9488:
9487:
9462:
9461:
9452:
9451:
9442:
9441:
9432:
9431:
9418:
9414:
9410:
9409:
9394:
9393:
9383:
9382:
9359:
9358:
9349:
9348:
9332:
9331:
9322:
9321:
9312:
9311:
9302:
9301:
9286:
9283:
9272:
9263:
9254:
9246:for each matrix
9245:
9220:
9211:
9202:
9192:
9190:
9189:
9184:
9180:
9174:
9173:
9172:
9162:
9161:
9137:
9136:
9121:
9120:
9111:
9110:
9099:
9096:
9082:
9080:
9079:
9074:
9072:
9068:
9067:
9058:
9057:
9035:
9034:
9016:
9015:
9005:
9004:
8976:
8975:
8966:
8965:
8953:
8952:
8943:
8942:
8924:
8923:
8914:
8913:
8901:
8900:
8891:
8890:
8868:
8867:
8855:
8854:
8839:
8835:
8834:
8833:
8821:
8820:
8785:
8783:
8782:
8777:
8748:
8747:
8731:
8726:
8716:
8700:
8698:
8697:
8692:
8685:
8673:
8665:
8663:
8662:
8657:
8652:
8648:
8647:
8646:
8637:
8636:
8618:
8606:
8602:
8601:
8600:
8591:
8590:
8580:
8556:
8554:
8553:
8548:
8541:
8540:
8539:
8528:
8520:
8518:
8517:
8512:
8508:
8496:
8485:
8483:
8482:
8477:
8360:
8358:
8357:
8352:
8348:
8336:
8328:
8326:
8325:
8320:
8315:
8314:
8303:
8292:
8290:
8289:
8284:
8279:
8275:
8274:
8273:
8264:
8263:
8251:
8250:
8245:
8244:
8236:
8221:
8212:
8206:
8205:
8200:
8197:
8196:
8169:with components
8168:
8166:
8165:
8160:
8156:
8152:
8138:
8122:
8114:
8112:
8111:
8106:
8086:
8066:
8052:
8042:
8034:
8032:
8031:
8026:
8019:
8015:
8001:
7991:
7983:
7981:
7980:
7975:
7968:
7967:
7966:
7955:
7947:
7937:
7935:
7934:
7929:
7924:
7923:
7917:
7916:
7910:
7909:
7900:
7899:
7890:
7889:
7883:
7882:
7877:
7876:
7868:
7864:
7863:
7851:
7842:
7836:
7835:
7816:
7814:
7813:
7808:
7800:
7799:
7791:
7773:
7772:
7767:
7766:
7758:
7741:
7739:
7738:
7733:
7704:
7703:
7694:
7693:
7663:Minkowski metric
7657:
7655:
7654:
7649:
7642:
7641:
7640:
7631:
7630:
7618:
7617:
7598:
7596:
7595:
7590:
7588:
7587:
7576:
7560:
7558:
7557:
7552:
7544:
7543:
7535:
7520:
7519:
7501:with components
7500:
7498:
7497:
7492:
7488:
7487:
7486:
7475:
7459:
7457:
7456:
7451:
7440:
7393:
7367:
7366:
7350:
7348:
7347:
7342:
7313:
7287:
7264:
7263:
7247:
7245:
7244:
7239:
7174:
7173:
7165:
7152:
7150:
7149:
7144:
7142:
7141:
7125:
7123:
7122:
7117:
7099:
7097:
7096:
7091:
7080:
7075:
7074:
7038:
7034:
7033:
7025:
7015:
7014:
7006:
6996:
6994:
6993:
6988:
6986:
6982:
6981:
6973:
6960:
6959:
6943:
6941:
6940:
6935:
6928:
6927:
6926:
6919:
6914:
6913:
6905:
6902:
6894:
6893:
6880:
6879:
6867:
6866:
6846:
6840:
6835:
6834:
6826:
6823:
6815:
6814:
6802:
6797:
6796:
6788:
6785:
6777:
6773:
6768:
6767:
6754:
6753:
6746:
6745:
6730:
6729:
6716:
6712:
6711:
6703:
6693:
6692:
6675:
6673:
6670:
6669:
6665:
6661:
6657:
6656:
6648:
6638:
6637:
6623:
6622:
6618:
6617:
6609:
6599:
6593:
6588:
6587:
6568:
6566:
6565:
6560:
6556:
6555:
6554:
6546:
6540:
6539:
6531:
6526:
6518:
6516:
6515:
6510:
6505:
6500:
6499:
6491:
6488:
6478:
6470:
6468:
6467:
6462:
6458:
6457:
6456:
6448:
6442:
6441:
6433:
6428:
6420:
6418:
6417:
6412:
6401:
6396:
6395:
6387:
6384:
6376:
6375:
6367:
6361:
6360:
6352:
6343:
6338:
6337:
6329:
6326:
6318:
6317:
6309:
6303:
6302:
6294:
6286:
6278:
6276:
6275:
6270:
6263:
6256:
6255:
6250:
6244:
6243:
6235:
6232:
6224:
6223:
6214:
6213:
6205:
6199:
6198:
6190:
6182:
6171:
6169:
6168:
6163:
6158:
6153:
6152:
6144:
6141:
6131:
6123:
6121:
6120:
6115:
6111:
6110:
6109:
6101:
6095:
6094:
6086:
6081:
6058:
6056:
6055:
6050:
6048:
6047:
6042:
6029:
6027:
6026:
6021:
6016:
6015:
6007:
5998:
5997:
5989:
5983:
5982:
5974:
5955:
5954:
5946:
5940:
5939:
5931:
5925:
5924:
5916:
5910:
5909:
5901:
5888:
5886:
5885:
5880:
5857:
5855:
5854:
5849:
5844:
5840:
5839:
5838:
5826:
5825:
5813:
5812:
5792:
5784:
5779:
5778:
5747:
5745:
5744:
5739:
5718:
5716:
5715:
5710:
5696:
5670:
5667:
5658:
5656:
5655:
5650:
5636:
5621:
5619:
5618:
5613:
5602:
5587:
5585:
5584:
5579:
5565:
5532:
5530:
5529:
5524:
5519:
5518:
5510:
5501:
5500:
5492:
5487:
5468:
5467:
5459:
5453:
5449:
5448:
5440:
5433:
5432:
5424:
5418:
5417:
5409:
5390:
5388:
5387:
5382:
5371:
5351:
5330:
5328:
5327:
5322:
5306:
5304:
5303:
5298:
5286:
5284:
5283:
5278:
5273:
5272:
5264:
5254:
5252:
5251:
5246:
5244:
5240:
5239:
5231:
5220:
5218:
5217:
5212:
5207:
5206:
5198:
5192:
5188:
5187:
5179:
5172:
5171:
5163:
5157:
5156:
5148:
5132:
5130:
5129:
5124:
5122:
5121:
5113:
5107:
5106:
5098:
5082:
5080:
5079:
5074:
5066:
5065:
5057:
5051:
5050:
5042:
5027:
5026:
5018:
5012:
5011:
5003:
4978:
4976:
4975:
4970:
4965:
4964:
4951:
4950:
4942:
4936:
4935:
4927:
4917:
4916:
4908:
4902:
4901:
4893:
4874:
4872:
4871:
4866:
4854:
4852:
4851:
4846:
4835:
4832:
4823:
4821:
4820:
4815:
4810:
4809:
4804:
4798:
4797:
4789:
4786:
4775:
4774:
4766:
4760:
4759:
4751:
4742:
4741:
4735:
4734:
4726:
4720:
4719:
4711:
4708:
4707:
4683:
4681:
4680:
4675:
4673:
4672:
4664:
4658:
4657:
4649:
4643:
4642:
4634:
4624:
4622:
4621:
4616:
4611:
4610:
4602:
4596:
4595:
4589:
4588:
4580:
4577:
4576:
4570:
4569:
4561:
4555:
4554:
4546:
4543:
4542:
4536:
4535:
4523:
4515:
4502:
4500:
4499:
4494:
4492:
4491:
4483:
4466:
4464:
4463:
4458:
4453:
4452:
4444:
4438:
4437:
4429:
4423:
4422:
4414:
4404:
4402:
4401:
4396:
4394:
4393:
4384:
4383:
4378:
4363:
4355:
4354:
4343:
4340:
4330:
4328:
4327:
4322:
4297:
4295:
4294:
4289:
4287:
4286:
4281:
4268:
4266:
4265:
4260:
4242:
4240:
4239:
4234:
4232:
4231:
4226:
4206:
4204:
4203:
4198:
4196:
4189:
4188:
4181:
4180:
4166:
4165:
4150:
4149:
4136:
4135:
4120:
4119:
4108:
4107:
4087:
4086:
4048:
4047:
4035:
4034:
3996:
3995:
3983:
3982:
3947:
3946:
3931:
3927:
3926:
3916:
3915:
3903:
3902:
3889:
3888:
3878:
3877:
3862:
3858:
3857:
3852:
3851:
3843:
3836:
3835:
3830:
3829:
3821:
3816:
3815:
3805:
3804:
3789:
3788:
3783:
3782:
3774:
3769:
3768:
3750:
3749:
3744:
3743:
3735:
3730:
3729:
3710:
3709:
3701:
3695:
3694:
3686:
3669:
3667:
3666:
3661:
3659:
3658:
3650:
3640:
3638:
3637:
3632:
3630:
3629:
3621:
3611:
3609:
3608:
3603:
3601:
3600:
3592:
3582:
3580:
3579:
3574:
3572:
3571:
3566:
3565:
3557:
3546:
3544:
3543:
3538:
3536:
3535:
3530:
3529:
3521:
3510:
3508:
3507:
3502:
3500:
3499:
3494:
3493:
3485:
3474:
3472:
3471:
3466:
3461:
3460:
3455:
3454:
3446:
3442:
3441:
3429:
3428:
3423:
3422:
3414:
3410:
3409:
3397:
3396:
3391:
3390:
3382:
3378:
3377:
3365:
3364:
3356:
3338:
3336:
3335:
3330:
3328:
3321:
3320:
3288:
3287:
3270:
3269:
3237:
3236:
3217:
3216:
3188:
3182:
3178:
3169:
3168:
3151:
3150:
3125:
3119:
3115:
3106:
3105:
3086:
3085:
3057:
3051:
3047:
3038:
3037:
3020:
3019:
2994:
2988:
2984:
2975:
2974:
2941:
2937:
2915:
2913:
2912:
2907:
2905:
2891:
2887:
2886:
2885:
2873:
2872:
2844:
2840:
2839:
2838:
2826:
2825:
2797:
2793:
2792:
2791:
2779:
2778:
2747:
2743:
2742:
2741:
2729:
2728:
2701:
2699:
2698:
2693:
2691:
2687:
2686:
2664:
2660:
2659:
2658:
2646:
2645:
2627:
2626:
2604:
2600:
2599:
2598:
2586:
2585:
2567:
2566:
2544:
2540:
2539:
2538:
2526:
2525:
2497:
2493:
2492:
2491:
2479:
2478:
2450:Anticommutators
2444:
2443:
2437:
2435:
2434:
2429:
2418:
2417:
2401:
2399:
2398:
2393:
2388:
2387:
2375:
2374:
2362:
2353:
2347:
2346:
2325:
2323:
2322:
2317:
2309:
2301:
2300:
2295:
2279:
2277:
2276:
2271:
2266:
2265:
2260:
2246:Clifford algebra
2240:
2236:
2228:
2219:
2217:
2216:
2211:
2206:
2205:
2196:
2195:
2183:
2182:
2173:
2172:
2156:
2154:
2153:
2148:
2143:
2142:
2130:
2129:
2107:
2105:
2104:
2099:
2090:
2089:
2068:
2067:
2055:
2054:
2021:
2019:
2018:
2013:
1999:
1998:
1977:
1976:
1955:
1954:
1949:
1922:
1907:
1905:
1904:
1899:
1894:
1893:
1883:
1882:
1855:
1854:
1842:
1841:
1802:
1800:
1799:
1794:
1792:
1780:
1773:
1771:
1770:
1765:
1760:
1752:
1751:
1740:
1739:
1725:
1723:
1722:
1717:
1715:
1703:
1699:
1697:
1696:
1691:
1689:
1688:
1683:
1682:
1661:
1652:
1641:
1631:
1629:
1628:
1623:
1621:
1604:
1603:
1568:
1567:
1526:
1519:
1517:
1516:
1511:
1500:
1499:
1461:
1460:
1451:
1450:
1441:
1440:
1420:
1415:
1402:
1397:
1384:
1379:
1351:
1344:
1334:
1326:
1315:
1305:
1303:
1302:
1297:
1292:
1291:
1284:
1283:
1266:
1265:
1246:
1245:
1229:
1228:
1209:
1208:
1194:
1193:
1170:
1169:
1145:
1143:
1142:
1137:
1124:
1122:
1121:
1116:
1114:
1113:
1090:
1088:
1087:
1082:
1080:
1079:
1059:
1057:
1056:
1051:
1049:
1048:
1029:
1027:
1026:
1021:
1019:
1018:
998:
996:
995:
990:
977:
975:
974:
969:
967:
966:
943:
941:
940:
935:
933:
932:
913:
911:
910:
905:
903:
902:
879:
877:
876:
871:
869:
868:
848:
846:
845:
840:
827:
825:
824:
819:
817:
816:
797:
795:
794:
789:
787:
786:
769:
767:
766:
761:
759:
758:
741:
739:
738:
733:
731:
730:
710:
703:
695:
693:
692:
687:
685:
665:
638:
636:
635:
630:
625:
624:
619:
605:Clifford algebra
598:
563:
561:
560:
555:
544:
543:
527:
496:
490:
488:
487:
482:
477:
476:
471:
455:
451:
441:two-dimensional
421:Hermitian matrix
419:
415:
400:
391:
358:
356:
355:
350:
348:
341:
340:
295:
294:
282:
281:
265:
264:
219:
218:
206:
205:
189:
188:
146:
145:
133:
132:
108:
100:
70:
21:
20734:
20733:
20729:
20728:
20727:
20725:
20724:
20723:
20689:
20688:
20687:
20682:
20659:
20650:
20599:
20523:
20469:
20405:
20239:
20157:
20103:
20042:
19843:Centrosymmetric
19766:
19760:
19730:
19716:
19681:
19650:
19622:
19618:
19613:
19553:
19549:
19538:
19531:
19524:
19504:
19500:
19483:
19455:
19451:
19436:
19415:
19411:
19402:
19398:
19388:
19386:
19351:
19345:
19341:
19337:
19332:
19331:
19304:
19303:
19298:
19293:
19288:
19282:
19281:
19276:
19271:
19266:
19260:
19259:
19254:
19249:
19244:
19238:
19237:
19232:
19227:
19222:
19214:
19210:
19208:
19205:
19204:
19202:
19198:
19173:
19153:
19133:
19132:
19118:
19117:
19103:
19092:
19072:
19052:
19051:
19037:
19036:
19025:
19005:
19004:
18993:
18973:
18972:
18958:
18938:
18937:
18935:
18932:
18931:
18903:
18895:
18886:
18884:
18880:
18858:
18853:
18852:
18850:
18847:
18846:
18841:induced by the
18823:
18814:
18808:
18807:
18806:
18794:
18789:
18788:
18777:
18768:
18762:
18761:
18760:
18748:
18743:
18742:
18734:
18731:
18730:
18709:
18704:
18703:
18692:
18683:
18677:
18676:
18675:
18673:
18670:
18669:
18667:
18663:
18656:
18652:
18641:
18626:
18616:
18612:
18607:
18593:Exchange matrix
18531:
18504:
18479:
18478:
18472:
18468:
18459:
18455:
18449:
18448:
18438:
18426:
18422:
18420:
18417:
18416:
18405:
18400:
18376:
18375:
18370:
18364:
18358:
18357:
18356:
18353:
18352:
18346:
18340:
18339:
18338:
18336:
18326:
18325:
18316:
18310:
18309:
18308:
18306:
18303:
18302:
18298:are defined as
18293:
18288:
18263:
18257:
18256:
18255:
18243:
18239:
18225:
18222:
18221:
18201:
18195:
18194:
18193:
18181:
18177:
18165:
18161:
18156:
18153:
18152:
18145:
18140:
18133:
18129:
18109:
18103:
18102:
18101:
18096:
18093:
18092:
18078:
18074:
18054:
18048:
18047:
18046:
18041:
18038:
18037:
18013:
18012:
18006:
18000:
17999:
17998:
17996:
17990:
17989:
17984:
17978:
17972:
17971:
17970:
17963:
17962:
17953:
17947:
17946:
17945:
17943:
17940:
17939:
17929:
17916:
17912:
17907:
17852:
17849:
17844:
17843:
17841:
17834:
17829:
17825:
17824:
17806:
17798:
17793:
17789:
17788:
17768:
17764:
17763:
17743:
17738:
17732:
17728:
17727:
17720:describing the
17706:
17674:
17662:
17658:
17641:
17629:
17620:
17616:
17614:
17611:
17610:
17603:
17599:
17595:
17590:
17567:
17563:
17550:
17546:
17533:
17529:
17511:
17510:
17496:
17495:
17487:
17484:
17483:
17458:
17457:
17455:
17452:
17451:
17447:
17440:
17434:
17429:
17420:
17416:
17412:
17408:
17404:
17387:
17385:
17382:
17381:
17376:
17347:
17343:
17331:
17320:
17316:
17304:
17293:
17289:
17277:
17262:
17260:
17257:
17256:
17231:
17227:
17211:
17207:
17201:
17197:
17186:
17176:
17172:
17156:
17152:
17146:
17142:
17131:
17121:
17117:
17101:
17097:
17091:
17087:
17076:
17061:
17059:
17056:
17055:
17039:
17037:
17034:
17033:
17008:
16999:
16990:
16981:
16979:
16975:
16973:
16970:
16969:
16953:
16951:
16948:
16947:
16939:
16932:
16925:
16914:
16911:
16905:
16892:
16888:
16884:
16876:
16872:
16868:
16839:
16838:
16836:
16833:
16832:
16803:
16802:
16800:
16797:
16796:
16788:
16783:
16742:
16741:
16739:
16736:
16735:
16702:
16701:
16699:
16696:
16695:
16692:
16648:
16644:
16638:
16636:
16620:
16616:
16610:
16608:
16592:
16588:
16582:
16580:
16579:
16575:
16548:
16547:
16545:
16542:
16541:
16529:
16526:
16523:
16522:
16520:
16515:
16510:
16499:
16494:
16467:
16463:
16448:
16444:
16429:
16425:
16390:
16389:
16387:
16384:
16383:
16375:
16369:
16348:
16339:
16338:
16337:
16335:
16332:
16331:
16324:
16316:
16302:
16260:
16249:
16248:
16247:
16238:
16227:
16226:
16225:
16224:
16220:
16209:
16197:
16193:
16191:
16188:
16187:
16152:
16148:
16142:
16138:
16137:
16133:
16119:
16115:
16109:
16105:
16104:
16100:
16091:
16087:
16085:
16082:
16081:
16058:
16053:
16052:
16043:
16038:
16037:
16035:
16032:
16031:
16029:
16028:
16020:
16015:
16011:
16006:
15998:
15993:
15990:
15963:
15962:
15946:
15944:
15940:
15921:
15917:
15915:
15899:
15897:
15893:
15880:
15879:
15877:
15874:
15873:
15853:
15852:
15836:
15834:
15830:
15821:
15817:
15815:
15799:
15797:
15793:
15771:
15769:
15765:
15746:
15742:
15739:
15738:
15722:
15720:
15716:
15694:
15692:
15688:
15669:
15665:
15663:
15647:
15645:
15641:
15632:
15628:
15621:
15620:
15601:
15600:
15586:
15585:
15577:
15576:
15572:
15560:
15558:
15555:
15554:
15553:density matrix
15529:
15528:
15517:
15497:
15472:
15471:
15457:
15456:
15454:
15451:
15450:
15443:
15436:
15429:
15422:
15415:
15408:
15364:
15360:
15350:
15346:
15333:
15325:
15314:
15306:
15296:
15285:
15279:
15276:
15275:
15270:
15263:
15258:
15254:
15248:
15245:
15237:
15233:
15229:
15200:
15196:
15189:
15181:
15170:
15162:
15152:
15136:
15132:
15122:
15118:
15106:
15102:
15096:
15093:
15092:
15078:
15077:
15062:
15058:
15047:
15043:
15037:
15012:
14993:
14992:
14989:
14988:
14975:
14971:
14954:
14947:
14941:
14937:
14931:
14907:
14905:
14898:
14891:
14889:
14886:
14885:
14877:
14857:
14853:
14835:
14831:
14824:
14820:
14819:
14815:
14807:
14804:
14803:
14799:
14795:
14778:
14774:
14767:
14763:
14757:
14735:
14732:
14731:
14727:
14719:
14689:
14685:
14675:
14671:
14659:
14655:
14645:
14641:
14628:
14620:
14609:
14601:
14591:
14580:
14564:
14553:
14552:
14551:
14539:
14528:
14527:
14526:
14524:
14521:
14520:
14506:
14501:
14497:
14493:
14489:
14485:
14482:
14477:
14454:
14450:
14431:
14430:
14416:
14415:
14414:
14410:
14396:
14395:
14376:
14372:
14371:
14370:
14364:
14360:
14353:
14349:
14331:
14327:
14323:
14322:
14321:
14315:
14311:
14309:
14306:
14305:
14245:
14244:
14230:
14229:
14215:
14214:
14182:
14181:
14167:
14166:
14137:
14136:
14115:
14114:
14100:
14099:
14098:
14094:
14084:
14077:
14073:
14059:
14058:
14037:
14036:
14022:
14021:
14020:
14016:
14006:
14002:
13998:
13980:
13976:
13962:
13961:
13940:
13936:
13934:
13931:
13930:
13908:
13907:
13905:
13902:
13901:
13900:along any axis
13885:
13882:
13881:
13878:
13873:
13853:
13831:
13830:
13828:
13825:
13824:
13802:
13801:
13799:
13796:
13795:
13794:is parallel to
13773:
13772:
13770:
13767:
13766:
13734:
13733:
13693:
13692:
13678:
13677:
13645:
13644:
13612:
13611:
13610:
13606:
13593:
13588:
13584:
13580:
13558:
13557:
13543:
13542:
13535:
13531:
13529:
13526:
13525:
13469:
13468:
13454:
13453:
13421:
13420:
13388:
13387:
13386:
13382:
13369:
13364:
13350:
13349:
13347:
13344:
13343:
13339:
13289:
13288:
13274:
13273:
13238:
13235:
13234:
13218:
13217:
13196:
13195:
13181:
13180:
13179:
13175:
13168:
13164:
13155:
13154:
13129:
13128:
13114:
13113:
13112:
13108:
13097:
13079:
13078:
13067:
13066:
13026:
13025:
13011:
13010:
12978:
12977:
12945:
12944:
12943:
12939:
12899:
12898:
12884:
12883:
12861:
12857:
12847:
12829:
12828:
12814:
12813:
12812:
12808:
12801:
12797:
12779:
12778:
12764:
12763:
12762:
12758:
12751:
12747:
12743:
12741:
12738:
12737:
12733:
12729:
12720:
12716:
12661:
12659:
12648:
12647:
12633:
12632:
12592:
12590:
12567:
12566:
12552:
12551:
12537:
12534:
12533:
12504:
12484:
12463:
12459:
12439:
12438:
12424:
12423:
12406:
12403:
12402:
12389:Euler's formula
12366:
12344:
12324:
12323:
12309:
12308:
12294:
12264:
12263:
12249:
12248:
12247:
12243:
12236:
12232:
12224:
12221:
12220:
12195:
12194:
12169:
12153:
12149:
12143:
12139:
12129:
12127:
12121:
12110:
12092:
12091:
12077:
12076:
12048:
12038:
12034:
12028:
12024:
12014:
12012:
12006:
11995:
11979:
11978:
11953:
11937:
11933:
11922:
11921:
11907:
11906:
11894:
11890:
11880:
11878:
11872:
11861:
11832:
11822:
11818:
11807:
11806:
11792:
11791:
11779:
11775:
11765:
11763:
11757:
11746:
11733:
11732:
11722:
11715:
11694:
11693:
11679:
11678:
11677:
11673:
11669:
11665:
11664:
11658:
11654:
11653:
11651:
11645:
11634:
11623:
11605:
11604:
11590:
11589:
11588:
11584:
11577:
11573:
11569:
11567:
11564:
11563:
11524:
11523:
11509:
11508:
11490:
11474:
11473:
11459:
11458:
11457:
11453:
11452:
11450:
11447:
11446:
11432:
11428:by convention.
11425:
11424:is taken to be
11418:
11411:
11379:
11375:
11364:
11363:
11349:
11348:
11343:
11340:
11339:
11325:
11297:
11286:
11285:
11280:
11265:
11264:
11247:
11246:
11244:
11241:
11240:
11234:
11199:
11193:
11190:
11189:
11173:
11169:
11155:
11139:
11138:
11129:
11125:
11110:
11106:
11085:
11063:
11059:
11050:
11046:
11037:
11033:
11024:
11020:
11000:
10996:
10987:
10983:
10974:
10970:
10958:
10954:
10945:
10941:
10932:
10928:
10927:
10923:
10903:
10899:
10890:
10886:
10874:
10870:
10861:
10857:
10845:
10841:
10832:
10828:
10827:
10823:
10813:
10802:
10798:
10792:
10788:
10782:
10778:
10772:
10768:
10767:
10763:
10754:
10753:
10738:
10734:
10716:
10712:
10703:
10699:
10690:
10686:
10671:
10667:
10658:
10654:
10636:
10622:
10611:
10607:
10601:
10597:
10591:
10587:
10586:
10582:
10573:
10572:
10563:
10559:
10549:
10538:
10534:
10528:
10524:
10523:
10519:
10510:
10509:
10500:
10496:
10486:
10476:
10472:
10468:
10458:
10456:
10453:
10452:
10443:
10437:
10420:
10419:
10405:
10401:
10392:
10388:
10376:
10372:
10363:
10359:
10347:
10343:
10334:
10330:
10329:
10325:
10315:
10304:
10300:
10294:
10290:
10284:
10280:
10274:
10270:
10269:
10265:
10256:
10255:
10243:
10239:
10226:
10215:
10211:
10205:
10201:
10195:
10191:
10190:
10186:
10177:
10176:
10167:
10163:
10153:
10142:
10138:
10132:
10128:
10127:
10123:
10114:
10113:
10103:
10093:
10089:
10085:
10075:
10073:
10070:
10069:
10063:
10033:
10031:
10010:
10008:
9990:
9988:
9986:
9983:
9982:
9966:
9952:
9944:
9942:
9939:
9938:
9930:
9917:
9914:
9909:
9908:
9906:
9899:
9862:
9859:
9858:
9854:
9850:
9846:
9841:
9837:
9819:
9791:
9790:
9781:
9780:
9769:
9768:
9754:
9753:
9747:
9746:
9730:
9729:
9718:
9717:
9703:
9702:
9696:
9695:
9686:
9685:
9674:
9673:
9659:
9658:
9652:
9651:
9645:
9644:
9633:
9632:
9618:
9617:
9611:
9610:
9602:
9599:
9598:
9560:
9559:
9547:
9543:
9537:
9533:
9527:
9523:
9514:
9510:
9504:
9500:
9494:
9490:
9477:
9473:
9463:
9457:
9453:
9447:
9443:
9437:
9433:
9427:
9423:
9420:
9419:
9402:
9398:
9389:
9385:
9372:
9368:
9364:
9360:
9354:
9350:
9344:
9340:
9333:
9327:
9323:
9317:
9313:
9307:
9303:
9297:
9293:
9289:
9281:
9278:
9277:
9270:
9265:
9261:
9256:
9252:
9247:
9242:
9238:
9231:
9227:
9222:
9218:
9213:
9209:
9204:
9200:
9194:
9168:
9164:
9151:
9147:
9129:
9125:
9116:
9112:
9106:
9102:
9094:
9091:
9090:
9070:
9069:
9063:
9059:
9053:
9049:
9039:
9027:
9023:
9011:
9007:
8994:
8990:
8981:
8980:
8971:
8967:
8961:
8957:
8948:
8944:
8938:
8934:
8919:
8915:
8909:
8905:
8896:
8892:
8886:
8882:
8872:
8863:
8859:
8850:
8846:
8829:
8825:
8816:
8812:
8811:
8807:
8803:
8801:
8798:
8797:
8791:
8743:
8739:
8727:
8722:
8712:
8706:
8703:
8702:
8671:
8668:
8667:
8642:
8638:
8632:
8628:
8627:
8623:
8614:
8596:
8592:
8586:
8582:
8576:
8571:
8567:
8562:
8559:
8558:
8535:
8531:
8526:
8523:
8522:
8494:
8491:
8490:
8369:
8366:
8365:
8334:
8331:
8330:
8310:
8306:
8301:
8298:
8297:
8269:
8265:
8259:
8255:
8246:
8235:
8234:
8233:
8232:
8228:
8210:
8201:
8199:
8198:
8192:
8188:
8177:
8174:
8173:
8148:
8131:
8120:
8117:
8116:
8073:
8062:
8045:
8040:
8037:
8036:
8035:and this shows
8011:
7994:
7989:
7986:
7985:
7956:
7951:
7950:
7945:
7942:
7941:
7919:
7918:
7912:
7911:
7905:
7901:
7895:
7891:
7885:
7884:
7878:
7867:
7866:
7865:
7859:
7858:
7840:
7831:
7827:
7825:
7822:
7821:
7790:
7789:
7768:
7757:
7756:
7755:
7753:
7750:
7749:
7699:
7695:
7689:
7685:
7677:
7674:
7673:
7636:
7632:
7626:
7622:
7613:
7609:
7607:
7604:
7603:
7577:
7572:
7571:
7569:
7566:
7565:
7534:
7533:
7515:
7511:
7509:
7506:
7505:
7482:
7478:
7473:
7470:
7469:
7466:
7436:
7389:
7362:
7358:
7356:
7353:
7352:
7309:
7283:
7259:
7255:
7253:
7250:
7249:
7164:
7163:
7161:
7158:
7157:
7137:
7133:
7131:
7128:
7127:
7105:
7102:
7101:
7076:
7070:
7066:
7024:
7023:
7019:
7005:
7004:
7002:
6999:
6998:
6972:
6971:
6967:
6955:
6951:
6949:
6946:
6945:
6921:
6920:
6915:
6904:
6903:
6898:
6889:
6885:
6882:
6881:
6875:
6871:
6862:
6858:
6848:
6847:
6836:
6825:
6824:
6819:
6810:
6806:
6798:
6787:
6786:
6781:
6772:
6763:
6759:
6748:
6747:
6741:
6737:
6725:
6721:
6718:
6717:
6702:
6701:
6697:
6688:
6684:
6677:
6676:
6647:
6646:
6642:
6633:
6629:
6608:
6607:
6603:
6598:
6597:
6592:
6583:
6579:
6577:
6574:
6573:
6545:
6544:
6530:
6529:
6524:
6521:
6520:
6501:
6490:
6489:
6484:
6476:
6473:
6472:
6447:
6446:
6432:
6431:
6426:
6423:
6422:
6397:
6386:
6385:
6380:
6366:
6365:
6351:
6350:
6339:
6328:
6327:
6322:
6308:
6307:
6293:
6292:
6284:
6281:
6280:
6251:
6246:
6245:
6234:
6233:
6228:
6219:
6215:
6204:
6203:
6189:
6188:
6180:
6177:
6176:
6154:
6143:
6142:
6137:
6129:
6126:
6125:
6100:
6099:
6085:
6084:
6079:
6076:
6075:
6072:
6043:
6038:
6037:
6035:
6032:
6031:
6006:
6005:
5988:
5987:
5973:
5972:
5945:
5944:
5930:
5929:
5915:
5914:
5900:
5899:
5894:
5891:
5890:
5871:
5868:
5867:
5864:
5831:
5827:
5821:
5817:
5808:
5804:
5803:
5799:
5783:
5771:
5767:
5756:
5753:
5752:
5724:
5721:
5720:
5683:
5666:
5664:
5661:
5660:
5629:
5627:
5624:
5623:
5595:
5593:
5590:
5589:
5558:
5541:
5538:
5537:
5509:
5508:
5491:
5490:
5458:
5457:
5439:
5438:
5437:
5423:
5422:
5408:
5407:
5399:
5396:
5395:
5364:
5344:
5336:
5333:
5332:
5316:
5313:
5312:
5311:restriction on
5292:
5289:
5288:
5263:
5262:
5260:
5257:
5256:
5230:
5229:
5228:
5226:
5223:
5222:
5197:
5196:
5178:
5177:
5176:
5162:
5161:
5147:
5146:
5138:
5135:
5134:
5112:
5111:
5097:
5096:
5088:
5085:
5084:
5056:
5055:
5041:
5040:
5017:
5016:
5002:
5001:
4987:
4984:
4983:
4957:
4953:
4941:
4940:
4926:
4925:
4907:
4906:
4892:
4891:
4883:
4880:
4879:
4860:
4857:
4856:
4831:
4829:
4826:
4825:
4805:
4800:
4799:
4788:
4787:
4782:
4765:
4764:
4750:
4749:
4737:
4736:
4725:
4724:
4710:
4709:
4703:
4702:
4697:
4694:
4693:
4690:
4663:
4662:
4648:
4647:
4633:
4632:
4630:
4627:
4626:
4601:
4600:
4591:
4590:
4579:
4578:
4572:
4571:
4560:
4559:
4545:
4544:
4538:
4537:
4531:
4530:
4514:
4512:
4509:
4508:
4482:
4481:
4479:
4476:
4475:
4472:
4443:
4442:
4428:
4427:
4413:
4412:
4410:
4407:
4406:
4389:
4385:
4379:
4374:
4373:
4359:
4344:
4339:
4338:
4336:
4333:
4332:
4310:
4307:
4306:
4282:
4277:
4276:
4274:
4271:
4270:
4248:
4245:
4244:
4227:
4222:
4221:
4219:
4216:
4215:
4194:
4193:
4183:
4182:
4176:
4172:
4167:
4161:
4157:
4145:
4141:
4138:
4137:
4131:
4127:
4115:
4111:
4109:
4103:
4099:
4092:
4091:
4081:
4080:
4072:
4066:
4065:
4060:
4050:
4049:
4043:
4039:
4029:
4028:
4023:
4017:
4016:
4008:
3998:
3997:
3991:
3987:
3977:
3976:
3971:
3965:
3964:
3959:
3949:
3948:
3942:
3938:
3929:
3928:
3922:
3918:
3911:
3907:
3895:
3891:
3884:
3880:
3873:
3869:
3860:
3859:
3853:
3842:
3841:
3840:
3831:
3820:
3819:
3818:
3811:
3807:
3800:
3796:
3784:
3773:
3772:
3771:
3764:
3760:
3745:
3734:
3733:
3732:
3725:
3721:
3711:
3700:
3699:
3685:
3684:
3680:
3678:
3675:
3674:
3649:
3648:
3646:
3643:
3642:
3620:
3619:
3617:
3614:
3613:
3591:
3590:
3588:
3585:
3584:
3567:
3556:
3555:
3554:
3552:
3549:
3548:
3531:
3520:
3519:
3518:
3516:
3513:
3512:
3495:
3484:
3483:
3482:
3480:
3477:
3476:
3456:
3445:
3444:
3443:
3437:
3433:
3424:
3413:
3412:
3411:
3405:
3401:
3392:
3381:
3380:
3379:
3373:
3369:
3355:
3354:
3352:
3349:
3348:
3345:
3326:
3325:
3315:
3314:
3308:
3307:
3297:
3296:
3289:
3280:
3276:
3274:
3264:
3263:
3257:
3256:
3246:
3245:
3238:
3229:
3225:
3222:
3221:
3211:
3210:
3201:
3200:
3190:
3189:
3177:
3170:
3161:
3157:
3155:
3145:
3144:
3138:
3137:
3127:
3126:
3114:
3107:
3098:
3094:
3091:
3090:
3080:
3079:
3070:
3069:
3059:
3058:
3046:
3039:
3030:
3026:
3024:
3014:
3013:
3007:
3006:
2996:
2995:
2983:
2976:
2967:
2963:
2959:
2957:
2954:
2953:
2939:
2935:
2924:
2903:
2902:
2892:
2881:
2877:
2868:
2864:
2863:
2859:
2856:
2855:
2845:
2834:
2830:
2821:
2817:
2816:
2812:
2809:
2808:
2798:
2787:
2783:
2774:
2770:
2769:
2765:
2762:
2761:
2748:
2737:
2733:
2724:
2720:
2719:
2715:
2711:
2709:
2706:
2705:
2689:
2688:
2682:
2678:
2665:
2654:
2650:
2641:
2637:
2636:
2632:
2629:
2628:
2622:
2618:
2605:
2594:
2590:
2581:
2577:
2576:
2572:
2569:
2568:
2562:
2558:
2545:
2534:
2530:
2521:
2517:
2516:
2512:
2509:
2508:
2498:
2487:
2483:
2474:
2470:
2469:
2465:
2461:
2459:
2456:
2455:
2410:
2409:
2407:
2404:
2403:
2383:
2379:
2370:
2366:
2351:
2339:
2335:
2333:
2330:
2329:
2305:
2296:
2288:
2287:
2285:
2282:
2281:
2261:
2256:
2255:
2253:
2250:
2249:
2238:
2234:
2231:Kronecker delta
2226:
2221:
2201:
2197:
2191:
2187:
2178:
2174:
2168:
2164:
2162:
2159:
2158:
2138:
2134:
2125:
2121:
2116:
2113:
2112:
2082:
2078:
2063:
2059:
2050:
2046:
2041:
2038:
2037:
2031:anticommutation
2027:
1991:
1990:
1969:
1968:
1950:
1945:
1944:
1939:
1936:
1935:
1920:
1915:
1889:
1885:
1872:
1868:
1850:
1846:
1837:
1833:
1828:
1825:
1824:
1814:
1809:
1788:
1786:
1783:
1782:
1778:
1756:
1741:
1735:
1734:
1733:
1731:
1728:
1727:
1711:
1709:
1706:
1705:
1701:
1684:
1678:
1677:
1676:
1674:
1671:
1670:
1664:Hilbert–Schmidt
1660:
1654:
1650:
1640:
1636:
1619:
1618:
1605:
1599:
1595:
1586:
1585:
1569:
1563:
1559:
1552:
1550:
1547:
1546:
1529:identity matrix
1524:
1494:
1493:
1488:
1482:
1481:
1476:
1466:
1465:
1456:
1452:
1446:
1442:
1436:
1432:
1416:
1411:
1398:
1393:
1380:
1375:
1369:
1366:
1365:
1346:
1336:
1332:
1331:, which equals
1329:Kronecker delta
1325:
1321:
1310:
1286:
1285:
1276:
1272:
1267:
1258:
1254:
1238:
1234:
1231:
1230:
1221:
1217:
1201:
1197:
1195:
1186:
1182:
1175:
1174:
1165:
1161:
1159:
1156:
1155:
1131:
1128:
1127:
1109:
1105:
1097:
1094:
1093:
1075:
1071:
1066:
1063:
1062:
1044:
1040:
1038:
1035:
1034:
1014:
1010:
1005:
1002:
1001:
984:
981:
980:
962:
958:
950:
947:
946:
928:
924:
922:
919:
918:
898:
894:
886:
883:
882:
864:
860:
855:
852:
851:
834:
831:
830:
812:
808:
806:
803:
802:
782:
778:
776:
773:
772:
754:
750:
748:
745:
744:
726:
722:
720:
717:
716:
702:
681:
679:
676:
675:
664:
657:
650:
644:
620:
615:
614:
612:
609:
608:
597:
590:
583:
577:
536:
535:
533:
530:
529:
526:
519:
512:
506:
505:: the matrices
494:
472:
467:
466:
464:
461:
460:
458:Euclidean space
453:
450:
446:
417:
413:
399:
393:
389:
346:
345:
335:
334:
326:
320:
319:
314:
304:
303:
296:
290:
286:
277:
273:
270:
269:
259:
258:
253:
247:
246:
238:
228:
227:
220:
214:
210:
201:
197:
194:
193:
183:
182:
177:
171:
170:
165:
155:
154:
147:
141:
137:
128:
124:
120:
118:
115:
114:
106:
98:
68:
45:Albert Einstein
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
20732:
20722:
20721:
20716:
20711:
20706:
20701:
20684:
20683:
20681:
20680:
20675:
20670:
20655:
20652:
20651:
20649:
20648:
20643:
20638:
20633:
20631:Perfect matrix
20628:
20623:
20618:
20613:
20607:
20605:
20601:
20600:
20598:
20597:
20592:
20587:
20582:
20577:
20572:
20567:
20562:
20557:
20552:
20547:
20542:
20537:
20531:
20529:
20525:
20524:
20522:
20521:
20516:
20511:
20506:
20501:
20496:
20491:
20486:
20480:
20478:
20471:
20470:
20468:
20467:
20462:
20457:
20452:
20447:
20442:
20437:
20432:
20427:
20422:
20416:
20414:
20407:
20406:
20404:
20403:
20401:Transformation
20398:
20393:
20388:
20383:
20378:
20373:
20368:
20363:
20358:
20353:
20348:
20343:
20338:
20333:
20328:
20323:
20318:
20313:
20308:
20303:
20298:
20293:
20288:
20283:
20278:
20273:
20268:
20263:
20258:
20253:
20247:
20245:
20241:
20240:
20238:
20237:
20232:
20227:
20222:
20217:
20212:
20207:
20202:
20197:
20192:
20187:
20178:
20172:
20170:
20159:
20158:
20156:
20155:
20150:
20145:
20140:
20138:Diagonalizable
20135:
20130:
20125:
20120:
20114:
20112:
20108:Conditions on
20105:
20104:
20102:
20101:
20096:
20091:
20086:
20081:
20076:
20071:
20066:
20061:
20056:
20050:
20048:
20044:
20043:
20041:
20040:
20035:
20030:
20025:
20020:
20015:
20010:
20005:
20000:
19995:
19990:
19988:Skew-symmetric
19985:
19983:Skew-Hermitian
19980:
19975:
19970:
19965:
19960:
19955:
19950:
19945:
19940:
19935:
19930:
19925:
19920:
19915:
19910:
19905:
19900:
19895:
19890:
19885:
19880:
19875:
19870:
19865:
19860:
19855:
19850:
19845:
19840:
19835:
19830:
19825:
19820:
19818:Block-diagonal
19815:
19810:
19805:
19800:
19795:
19793:Anti-symmetric
19790:
19788:Anti-Hermitian
19785:
19780:
19774:
19772:
19768:
19767:
19759:
19758:
19751:
19744:
19736:
19729:
19728:
19714:
19693:
19679:
19662:
19648:
19632:
19619:
19617:
19614:
19612:
19611:
19556:Curtright, T L
19547:
19529:
19522:
19498:
19449:
19434:
19409:
19396:
19338:
19336:
19333:
19330:
19329:
19317:
19310:
19302:
19299:
19297:
19294:
19292:
19289:
19287:
19284:
19283:
19280:
19277:
19275:
19272:
19270:
19267:
19265:
19262:
19261:
19258:
19255:
19253:
19250:
19248:
19245:
19243:
19240:
19239:
19236:
19233:
19231:
19228:
19226:
19223:
19221:
19218:
19217:
19213:
19196:
19183:
19180:
19176:
19172:
19169:
19166:
19160:
19156:
19152:
19149:
19146:
19140:
19137:
19131:
19125:
19122:
19116:
19113:
19110:
19106:
19102:
19099:
19095:
19091:
19088:
19085:
19079:
19075:
19071:
19068:
19065:
19059:
19056:
19050:
19044:
19041:
19035:
19032:
19028:
19024:
19021:
19018:
19012:
19009:
19003:
19000:
18996:
18992:
18989:
18986:
18980:
18977:
18971:
18968:
18965:
18961:
18957:
18954:
18951:
18945:
18942:
18926:correspond to
18908:group identity
18878:
18866:
18861:
18856:
18830:
18826:
18822:
18817:
18811:
18805:
18802:
18797:
18792:
18787:
18784:
18780:
18776:
18771:
18765:
18759:
18756:
18751:
18746:
18741:
18738:
18712:
18707:
18702:
18699:
18695:
18691:
18686:
18680:
18661:
18619:in mathematics
18609:
18608:
18606:
18603:
18602:
18601:
18596:
18590:
18584:
18579:
18574:
18569:
18567:Poincaré group
18564:
18559:
18554:
18553:
18552:
18545:Gamma matrices
18542:
18537:
18530:
18527:
18503:
18500:
18499:
18498:
18487:
18482:
18475:
18471:
18467:
18462:
18458:
18452:
18445:
18442:
18437:
18432:
18429:
18425:
18410:gamma matrices
18403:
18397:
18396:
18385:
18380:
18374:
18371:
18367:
18361:
18355:
18354:
18349:
18343:
18337:
18335:
18332:
18331:
18329:
18324:
18319:
18313:
18291:
18274:
18266:
18260:
18254:
18249:
18246:
18242:
18235:
18232:
18209:
18204:
18198:
18190:
18187:
18184:
18180:
18176:
18171:
18168:
18164:
18143:
18131:
18112:
18106:
18076:
18057:
18051:
18034:
18033:
18022:
18017:
18009:
18003:
17997:
17995:
17992:
17991:
17988:
17985:
17981:
17975:
17969:
17968:
17966:
17961:
17956:
17950:
17928:
17925:
17910:
17878:spin operators
17741:
17705:
17702:
17698:
17697:
17686:
17681:
17678:
17673:
17670:
17665:
17661:
17656:
17653:
17648:
17645:
17640:
17637:
17632:
17628:
17623:
17619:
17593:
17587:
17586:
17575:
17570:
17566:
17561:
17558:
17553:
17549:
17544:
17541:
17536:
17532:
17527:
17524:
17518:
17515:
17509:
17503:
17500:
17494:
17491:
17465:
17462:
17436:Main article:
17433:
17430:
17428:
17425:
17390:
17372:As the set of
17370:
17369:
17358:
17350:
17346:
17341:
17338:
17334:
17329:
17323:
17319:
17314:
17311:
17307:
17302:
17296:
17292:
17287:
17284:
17280:
17275:
17272:
17269:
17265:
17239:
17234:
17230:
17225:
17222:
17219:
17214:
17210:
17204:
17200:
17196:
17193:
17189:
17184:
17179:
17175:
17170:
17167:
17164:
17159:
17155:
17149:
17145:
17141:
17138:
17134:
17129:
17124:
17120:
17115:
17112:
17109:
17104:
17100:
17094:
17090:
17086:
17083:
17079:
17074:
17071:
17068:
17064:
17042:
17021:
17017:
17011:
17006:
17002:
16997:
16993:
16988:
16984:
16978:
16956:
16937:
16930:
16923:
16907:Main article:
16904:
16901:
16879:is actually a
16856:
16853:
16850:
16845:
16842:
16820:
16817:
16814:
16809:
16806:
16786:
16759:
16756:
16753:
16748:
16745:
16719:
16716:
16713:
16708:
16705:
16691:
16688:
16680:
16679:
16668:
16664:
16658:
16651:
16647:
16642:
16635:
16630:
16623:
16619:
16614:
16607:
16602:
16595:
16591:
16586:
16578:
16574:
16571:
16568:
16565:
16562:
16559:
16554:
16551:
16497:
16491:
16490:
16479:
16476:
16470:
16466:
16461:
16457:
16451:
16447:
16442:
16438:
16432:
16428:
16423:
16419:
16416:
16413:
16410:
16407:
16404:
16401:
16396:
16393:
16373:
16351:
16345:
16342:
16301:
16298:
16294:
16293:
16282:
16275:
16271:
16268:
16263:
16256:
16253:
16246:
16241:
16234:
16231:
16223:
16216:
16213:
16208:
16203:
16200:
16196:
16177:
16176:
16165:
16161:
16155:
16151:
16145:
16141:
16136:
16132:
16128:
16122:
16118:
16112:
16108:
16103:
16097:
16094:
16090:
16061:
16056:
16051:
16046:
16041:
16025:tensor product
16023:living in the
16018:
16009:
15996:
15989:
15986:
15967:
15960:
15955:
15950:
15943:
15939:
15936:
15930:
15927:
15924:
15920:
15916:
15913:
15908:
15903:
15896:
15892:
15889:
15886:
15885:
15883:
15857:
15850:
15845:
15840:
15833:
15829:
15824:
15820:
15816:
15813:
15808:
15803:
15796:
15792:
15789:
15785:
15780:
15775:
15768:
15764:
15761:
15756:
15752:
15749:
15745:
15741:
15740:
15736:
15731:
15726:
15719:
15715:
15712:
15708:
15703:
15698:
15691:
15687:
15684:
15679:
15675:
15672:
15668:
15664:
15661:
15656:
15651:
15644:
15640:
15635:
15631:
15627:
15626:
15624:
15619:
15615:
15608:
15605:
15599:
15593:
15590:
15584:
15580:
15575:
15568:
15565:
15538:
15533:
15527:
15524:
15521:
15518:
15516:
15513:
15510:
15507:
15504:
15501:
15498:
15496:
15493:
15490:
15487:
15484:
15481:
15478:
15477:
15475:
15470:
15464:
15461:
15434:
15427:
15420:
15413:
15378:
15370:
15367:
15363:
15356:
15353:
15349:
15344:
15341:
15336:
15331:
15328:
15324:
15317:
15312:
15309:
15305:
15299:
15294:
15291:
15288:
15284:
15268:
15261:
15252:
15214:
15206:
15203:
15199:
15192:
15187:
15184:
15180:
15173:
15168:
15165:
15161:
15155:
15151:
15147:
15142:
15139:
15135:
15128:
15125:
15121:
15117:
15112:
15109:
15105:
15100:
15076:
15070:
15065:
15061:
15056:
15050:
15046:
15040:
15036:
15032:
15029:
15025:
15021:
15018:
15015:
15013:
15011:
15007:
14998:
14995:
14994:
14987:
14984:
14978:
14974:
14969:
14962:
14959:
14953:
14950:
14948:
14944:
14940:
14936:
14933:
14930:
14926:
14922:
14915:
14912:
14904:
14901:
14899:
14897:
14894:
14893:
14880:" denotes the
14863:
14860:
14856:
14851:
14848:
14844:
14838:
14834:
14827:
14823:
14818:
14814:
14811:
14781:
14777:
14770:
14766:
14760:
14756:
14752:
14749:
14745:
14742:
14739:
14713:
14712:
14711:
14700:
14695:
14692:
14688:
14681:
14678:
14674:
14670:
14665:
14662:
14658:
14651:
14648:
14644:
14639:
14636:
14631:
14626:
14623:
14619:
14612:
14607:
14604:
14600:
14594:
14589:
14586:
14583:
14579:
14575:
14570:
14567:
14560:
14557:
14550:
14545:
14542:
14535:
14532:
14504:
14481:
14478:
14457:
14453:
14449:
14445:
14438:
14435:
14429:
14423:
14420:
14413:
14409:
14403:
14400:
14394:
14388:
14383:
14380:
14375:
14367:
14363:
14356:
14352:
14344:
14338:
14335:
14330:
14326:
14318:
14314:
14291:
14285:
14282:
14279:
14276:
14273:
14270:
14267:
14264:
14261:
14252:
14249:
14243:
14237:
14234:
14222:
14219:
14213:
14210:
14207:
14204:
14201:
14198:
14189:
14186:
14180:
14174:
14171:
14165:
14162:
14159:
14156:
14153:
14150:
14144:
14141:
14135:
14129:
14122:
14119:
14113:
14107:
14104:
14097:
14091:
14088:
14083:
14080:
14076:
14066:
14063:
14051:
14044:
14041:
14035:
14029:
14026:
14019:
14013:
14010:
14005:
14001:
13997:
13994:
13991:
13988:
13983:
13979:
13969:
13966:
13957:
13954:
13951:
13948:
13943:
13939:
13915:
13912:
13889:
13877:
13876:Adjoint action
13874:
13838:
13835:
13809:
13806:
13780:
13777:
13752:
13748:
13741:
13738:
13732:
13728:
13724:
13721:
13718:
13715:
13712:
13709:
13700:
13697:
13691:
13685:
13682:
13676:
13673:
13670:
13667:
13664:
13661:
13658:
13652:
13649:
13643:
13640:
13637:
13634:
13631:
13628:
13625:
13619:
13616:
13609:
13602:
13599:
13596:
13592:
13587:
13583:
13579:
13576:
13573:
13565:
13562:
13556:
13550:
13547:
13541:
13538:
13534:
13505:
13501:
13497:
13494:
13491:
13488:
13485:
13482:
13476:
13473:
13467:
13461:
13458:
13452:
13449:
13446:
13443:
13440:
13437:
13434:
13428:
13425:
13419:
13416:
13413:
13410:
13407:
13404:
13401:
13395:
13392:
13385:
13378:
13375:
13372:
13368:
13363:
13357:
13354:
13323:
13317:
13314:
13311:
13308:
13305:
13302:
13296:
13293:
13287:
13281:
13278:
13272:
13269:
13266:
13263:
13260:
13257:
13254:
13251:
13248:
13245:
13242:
13216:
13210:
13203:
13200:
13194:
13188:
13185:
13178:
13174:
13171:
13167:
13163:
13160:
13158:
13156:
13153:
13150:
13147:
13143:
13136:
13133:
13127:
13121:
13118:
13111:
13107:
13104:
13100:
13096:
13093:
13090:
13087:
13084:
13082:
13080:
13074:
13071:
13065:
13061:
13057:
13054:
13051:
13048:
13045:
13042:
13033:
13030:
13024:
13018:
13015:
13009:
13006:
13003:
13000:
12997:
12994:
12991:
12985:
12982:
12976:
12973:
12970:
12967:
12964:
12961:
12958:
12952:
12949:
12942:
12938:
12935:
12931:
12927:
12924:
12921:
12918:
12915:
12912:
12906:
12903:
12897:
12891:
12888:
12882:
12879:
12876:
12873:
12870:
12867:
12864:
12860:
12856:
12853:
12850:
12848:
12843:
12836:
12833:
12827:
12821:
12818:
12811:
12807:
12804:
12800:
12793:
12786:
12783:
12777:
12771:
12768:
12761:
12757:
12754:
12750:
12746:
12745:
12719:
12713:
12712:
12711:
12700:
12695:
12691:
12688:
12685:
12682:
12679:
12676:
12673:
12670:
12667:
12664:
12655:
12652:
12646:
12640:
12637:
12631:
12626:
12622:
12619:
12616:
12613:
12610:
12607:
12604:
12601:
12598:
12595:
12589:
12586:
12583:
12580:
12574:
12571:
12565:
12559:
12556:
12550:
12547:
12544:
12541:
12503:for a general
12481:
12480:
12466:
12462:
12458:
12455:
12452:
12446:
12443:
12437:
12431:
12428:
12422:
12419:
12416:
12413:
12410:
12391:, extended to
12379:
12378:
12369:
12367:
12347:
12343:
12340:
12337:
12331:
12328:
12322:
12316:
12313:
12307:
12304:
12301:
12297:
12293:
12290:
12287:
12284:
12278:
12271:
12268:
12262:
12256:
12253:
12246:
12242:
12239:
12235:
12218:
12210:
12209:
12190:
12187:
12184:
12181:
12178:
12175:
12172:
12165:
12162:
12159:
12156:
12152:
12146:
12142:
12138:
12135:
12132:
12124:
12119:
12116:
12113:
12109:
12105:
12099:
12096:
12090:
12084:
12081:
12075:
12072:
12069:
12063:
12060:
12057:
12054:
12051:
12044:
12041:
12037:
12031:
12027:
12023:
12020:
12017:
12009:
12004:
12001:
11998:
11994:
11990:
11987:
11984:
11982:
11980:
11974:
11971:
11968:
11965:
11962:
11959:
11956:
11949:
11946:
11943:
11940:
11936:
11929:
11926:
11920:
11914:
11911:
11905:
11902:
11897:
11893:
11889:
11886:
11883:
11875:
11870:
11867:
11864:
11860:
11856:
11853:
11847:
11844:
11841:
11838:
11835:
11828:
11825:
11821:
11814:
11811:
11805:
11799:
11796:
11790:
11787:
11782:
11778:
11774:
11771:
11768:
11760:
11755:
11752:
11749:
11745:
11741:
11738:
11736:
11734:
11728:
11725:
11718:
11713:
11708:
11701:
11698:
11692:
11686:
11683:
11676:
11672:
11668:
11661:
11657:
11648:
11643:
11640:
11637:
11633:
11629:
11626:
11624:
11619:
11612:
11609:
11603:
11597:
11594:
11587:
11583:
11580:
11576:
11572:
11571:
11550:
11549:
11538:
11531:
11528:
11522:
11516:
11513:
11507:
11502:
11499:
11496:
11493:
11488:
11481:
11478:
11472:
11466:
11463:
11456:
11408:
11407:
11396:
11393:
11390:
11385:
11382:
11378:
11371:
11368:
11362:
11356:
11353:
11347:
11322:
11321:
11310:
11307:
11304:
11300:
11293:
11290:
11283:
11278:
11272:
11269:
11263:
11260:
11254:
11251:
11233:
11230:
11211:
11208:
11205:
11202:
11198:
11135:
11132:
11128:
11122:
11119:
11116:
11113:
11109:
11103:
11100:
11097:
11094:
11091:
11088:
11084:
11080:
11077:
11074:
11069:
11066:
11062:
11056:
11053:
11049:
11043:
11040:
11036:
11030:
11027:
11023:
11019:
11016:
11012:
11006:
11003:
10999:
10993:
10990:
10986:
10980:
10977:
10973:
10969:
10964:
10961:
10957:
10951:
10948:
10944:
10938:
10935:
10931:
10926:
10922:
10919:
10915:
10909:
10906:
10902:
10896:
10893:
10889:
10885:
10880:
10877:
10873:
10867:
10864:
10860:
10856:
10851:
10848:
10844:
10838:
10835:
10831:
10826:
10822:
10819:
10816:
10814:
10811:
10805:
10801:
10795:
10791:
10785:
10781:
10775:
10771:
10766:
10762:
10759:
10756:
10755:
10750:
10747:
10744:
10741:
10737:
10733:
10730:
10727:
10722:
10719:
10715:
10709:
10706:
10702:
10696:
10693:
10689:
10685:
10682:
10677:
10674:
10670:
10664:
10661:
10657:
10651:
10648:
10645:
10642:
10639:
10635:
10631:
10628:
10625:
10623:
10620:
10614:
10610:
10604:
10600:
10594:
10590:
10585:
10581:
10578:
10575:
10574:
10569:
10566:
10562:
10558:
10555:
10552:
10550:
10547:
10541:
10537:
10531:
10527:
10522:
10518:
10515:
10512:
10511:
10506:
10503:
10499:
10495:
10492:
10489:
10487:
10484:
10479:
10475:
10471:
10467:
10464:
10461:
10460:
10441:
10436:If the matrix
10434:
10433:
10417:
10411:
10408:
10404:
10398:
10395:
10391:
10387:
10382:
10379:
10375:
10369:
10366:
10362:
10358:
10353:
10350:
10346:
10340:
10337:
10333:
10328:
10324:
10321:
10318:
10316:
10313:
10307:
10303:
10297:
10293:
10287:
10283:
10277:
10273:
10268:
10264:
10261:
10258:
10257:
10252:
10249:
10246:
10242:
10238:
10235:
10232:
10229:
10227:
10224:
10218:
10214:
10208:
10204:
10198:
10194:
10189:
10185:
10182:
10179:
10178:
10173:
10170:
10166:
10162:
10159:
10156:
10154:
10151:
10145:
10141:
10135:
10131:
10126:
10122:
10119:
10116:
10115:
10112:
10109:
10106:
10104:
10101:
10096:
10092:
10088:
10084:
10081:
10078:
10077:
10062:
10059:
10045:
10040:
10037:
10030:
10027:
10022:
10017:
10014:
10007:
10002:
9997:
9994:
9969:
9965:
9962:
9959:
9955:
9951:
9947:
9884:
9881:
9878:
9875:
9872:
9869:
9866:
9852:
9848:
9844:
9832:
9831:
9822:
9820:
9798:
9795:
9789:
9784:
9776:
9773:
9767:
9761:
9758:
9750:
9745:
9742:
9739:
9733:
9725:
9722:
9716:
9710:
9707:
9699:
9694:
9689:
9681:
9678:
9672:
9666:
9663:
9655:
9648:
9640:
9637:
9631:
9625:
9622:
9614:
9596:
9580:
9579:
9565:
9558:
9553:
9550:
9546:
9540:
9536:
9530:
9526:
9522:
9517:
9513:
9507:
9503:
9497:
9493:
9486:
9483:
9480:
9476:
9472:
9469:
9466:
9464:
9460:
9456:
9450:
9446:
9440:
9436:
9430:
9426:
9422:
9421:
9417:
9413:
9408:
9405:
9401:
9397:
9392:
9388:
9381:
9378:
9375:
9371:
9367:
9363:
9357:
9353:
9347:
9343:
9339:
9336:
9334:
9330:
9326:
9320:
9316:
9310:
9306:
9300:
9296:
9292:
9291:
9268:
9259:
9250:
9240:
9236:
9229:
9225:
9216:
9207:
9179:
9171:
9167:
9160:
9157:
9154:
9150:
9146:
9143:
9140:
9135:
9132:
9128:
9124:
9119:
9115:
9109:
9105:
9088:
9084:
9083:
9066:
9062:
9056:
9052:
9048:
9045:
9042:
9040:
9038:
9033:
9030:
9026:
9022:
9019:
9014:
9010:
9003:
9000:
8997:
8993:
8989:
8986:
8983:
8982:
8979:
8974:
8970:
8964:
8960:
8956:
8951:
8947:
8941:
8937:
8933:
8930:
8927:
8922:
8918:
8912:
8908:
8904:
8899:
8895:
8889:
8885:
8881:
8878:
8875:
8873:
8871:
8866:
8862:
8858:
8853:
8849:
8845:
8842:
8838:
8832:
8828:
8824:
8819:
8815:
8810:
8806:
8805:
8790:
8787:
8775:
8772:
8769:
8766:
8763:
8760:
8757:
8754:
8751:
8746:
8742:
8738:
8735:
8730:
8725:
8721:
8715:
8711:
8690:
8684:
8681:
8678:
8655:
8651:
8645:
8641:
8635:
8631:
8626:
8622:
8617:
8613:
8609:
8605:
8599:
8595:
8589:
8585:
8579:
8575:
8570:
8566:
8546:
8538:
8534:
8507:
8504:
8501:
8487:
8486:
8475:
8472:
8469:
8466:
8463:
8460:
8457:
8454:
8451:
8448:
8445:
8442:
8439:
8436:
8433:
8430:
8427:
8424:
8421:
8418:
8415:
8412:
8409:
8406:
8403:
8400:
8397:
8394:
8391:
8388:
8385:
8382:
8379:
8376:
8373:
8347:
8344:
8341:
8318:
8313:
8309:
8294:
8293:
8282:
8278:
8272:
8268:
8262:
8258:
8254:
8249:
8242:
8239:
8231:
8227:
8224:
8218:
8215:
8209:
8204:
8195:
8191:
8187:
8184:
8181:
8155:
8151:
8147:
8144:
8141:
8137:
8134:
8130:
8127:
8104:
8101:
8098:
8095:
8092:
8089:
8085:
8082:
8079:
8076:
8072:
8069:
8065:
8061:
8058:
8055:
8051:
8048:
8024:
8018:
8014:
8010:
8007:
8004:
8000:
7997:
7973:
7965:
7962:
7959:
7954:
7927:
7922:
7915:
7908:
7904:
7898:
7894:
7888:
7881:
7874:
7871:
7862:
7857:
7854:
7848:
7845:
7839:
7834:
7830:
7818:
7817:
7806:
7803:
7797:
7794:
7788:
7785:
7782:
7779:
7776:
7771:
7764:
7761:
7743:
7742:
7731:
7728:
7725:
7722:
7719:
7716:
7713:
7710:
7707:
7702:
7698:
7692:
7688:
7684:
7681:
7659:
7658:
7647:
7639:
7635:
7629:
7625:
7621:
7616:
7612:
7586:
7583:
7580:
7575:
7562:
7561:
7550:
7547:
7541:
7538:
7532:
7529:
7526:
7523:
7518:
7514:
7485:
7481:
7465:
7464:Pauli 4-vector
7462:
7449:
7446:
7443:
7439:
7435:
7432:
7429:
7426:
7423:
7420:
7417:
7414:
7411:
7408:
7405:
7402:
7399:
7396:
7392:
7388:
7385:
7382:
7379:
7376:
7373:
7370:
7365:
7361:
7340:
7337:
7334:
7331:
7328:
7325:
7322:
7319:
7316:
7312:
7308:
7305:
7302:
7299:
7296:
7293:
7290:
7286:
7282:
7279:
7276:
7273:
7270:
7267:
7262:
7258:
7237:
7234:
7231:
7228:
7225:
7222:
7219:
7216:
7213:
7210:
7207:
7204:
7201:
7198:
7195:
7192:
7189:
7186:
7183:
7180:
7177:
7171:
7168:
7140:
7136:
7115:
7112:
7109:
7089:
7086:
7083:
7079:
7073:
7069:
7065:
7062:
7059:
7056:
7053:
7050:
7047:
7044:
7041:
7037:
7031:
7028:
7022:
7018:
7012:
7009:
6985:
6979:
6976:
6970:
6966:
6963:
6958:
6954:
6933:
6925:
6918:
6911:
6908:
6901:
6897:
6892:
6888:
6884:
6883:
6878:
6874:
6870:
6865:
6861:
6857:
6854:
6853:
6851:
6843:
6839:
6832:
6829:
6822:
6818:
6813:
6809:
6805:
6801:
6794:
6791:
6784:
6780:
6776:
6771:
6766:
6762:
6757:
6752:
6744:
6740:
6736:
6733:
6728:
6724:
6720:
6719:
6715:
6709:
6706:
6700:
6696:
6691:
6687:
6683:
6682:
6680:
6664:
6660:
6654:
6651:
6645:
6641:
6636:
6632:
6628:
6621:
6615:
6612:
6606:
6602:
6596:
6591:
6586:
6582:
6552:
6549:
6543:
6537:
6534:
6508:
6504:
6497:
6494:
6487:
6483:
6454:
6451:
6445:
6439:
6436:
6410:
6407:
6404:
6400:
6393:
6390:
6383:
6379:
6373:
6370:
6364:
6358:
6355:
6349:
6346:
6342:
6335:
6332:
6325:
6321:
6315:
6312:
6306:
6300:
6297:
6291:
6268:
6262:
6259:
6254:
6249:
6241:
6238:
6231:
6227:
6222:
6218:
6211:
6208:
6202:
6196:
6193:
6187:
6161:
6157:
6150:
6147:
6140:
6136:
6107:
6104:
6098:
6092:
6089:
6071:
6068:
6046:
6041:
6019:
6013:
6010:
6004:
6001:
5995:
5992:
5986:
5980:
5977:
5971:
5967:
5964:
5961:
5958:
5952:
5949:
5943:
5937:
5934:
5928:
5922:
5919:
5913:
5907:
5904:
5898:
5878:
5875:
5863:
5860:
5859:
5858:
5847:
5843:
5837:
5834:
5830:
5824:
5820:
5816:
5811:
5807:
5802:
5798:
5795:
5790:
5787:
5782:
5777:
5774:
5770:
5766:
5763:
5760:
5737:
5734:
5731:
5728:
5708:
5705:
5702:
5699:
5695:
5692:
5689:
5686:
5682:
5679:
5676:
5673:
5648:
5645:
5642:
5639:
5635:
5632:
5611:
5608:
5605:
5601:
5598:
5577:
5574:
5571:
5568:
5564:
5561:
5557:
5554:
5551:
5548:
5545:
5534:
5533:
5522:
5516:
5513:
5507:
5504:
5498:
5495:
5486:
5483:
5480:
5477:
5474:
5471:
5465:
5462:
5456:
5452:
5446:
5443:
5436:
5430:
5427:
5421:
5415:
5412:
5406:
5403:
5380:
5377:
5374:
5370:
5367:
5363:
5360:
5357:
5354:
5350:
5347:
5343:
5340:
5320:
5296:
5276:
5270:
5267:
5243:
5237:
5234:
5210:
5204:
5201:
5195:
5191:
5185:
5182:
5175:
5169:
5166:
5160:
5154:
5151:
5145:
5142:
5119:
5116:
5110:
5104:
5101:
5095:
5092:
5072:
5069:
5063:
5060:
5054:
5048:
5045:
5039:
5036:
5033:
5030:
5024:
5021:
5015:
5009:
5006:
5000:
4997:
4994:
4991:
4980:
4979:
4968:
4963:
4960:
4956:
4948:
4945:
4939:
4933:
4930:
4923:
4920:
4914:
4911:
4905:
4899:
4896:
4890:
4887:
4864:
4844:
4841:
4838:
4813:
4808:
4803:
4795:
4792:
4785:
4781:
4778:
4772:
4769:
4763:
4757:
4754:
4748:
4745:
4740:
4732:
4729:
4723:
4717:
4714:
4706:
4701:
4689:
4686:
4670:
4667:
4661:
4655:
4652:
4646:
4640:
4637:
4614:
4608:
4605:
4599:
4594:
4586:
4583:
4575:
4567:
4564:
4558:
4552:
4549:
4541:
4534:
4529:
4526:
4521:
4518:
4489:
4486:
4471:
4468:
4456:
4450:
4447:
4441:
4435:
4432:
4426:
4420:
4417:
4392:
4388:
4382:
4377:
4372:
4369:
4366:
4362:
4358:
4353:
4350:
4347:
4320:
4317:
4314:
4285:
4280:
4258:
4255:
4252:
4230:
4225:
4192:
4187:
4179:
4175:
4171:
4168:
4164:
4160:
4156:
4153:
4148:
4144:
4140:
4139:
4134:
4130:
4126:
4123:
4118:
4114:
4110:
4106:
4102:
4098:
4097:
4095:
4090:
4085:
4079:
4076:
4073:
4071:
4068:
4067:
4064:
4061:
4059:
4056:
4055:
4053:
4046:
4042:
4038:
4033:
4027:
4024:
4022:
4019:
4018:
4015:
4012:
4009:
4007:
4004:
4003:
4001:
3994:
3990:
3986:
3981:
3975:
3972:
3970:
3967:
3966:
3963:
3960:
3958:
3955:
3954:
3952:
3945:
3941:
3937:
3934:
3932:
3930:
3925:
3921:
3914:
3910:
3906:
3901:
3898:
3894:
3887:
3883:
3876:
3872:
3868:
3865:
3863:
3861:
3856:
3849:
3846:
3839:
3834:
3827:
3824:
3814:
3810:
3803:
3799:
3795:
3792:
3787:
3780:
3777:
3767:
3763:
3759:
3756:
3753:
3748:
3741:
3738:
3728:
3724:
3720:
3717:
3714:
3712:
3707:
3704:
3698:
3692:
3689:
3683:
3682:
3656:
3653:
3627:
3624:
3598:
3595:
3570:
3563:
3560:
3534:
3527:
3524:
3498:
3491:
3488:
3464:
3459:
3452:
3449:
3440:
3436:
3432:
3427:
3420:
3417:
3408:
3404:
3400:
3395:
3388:
3385:
3376:
3372:
3368:
3362:
3359:
3344:
3341:
3340:
3339:
3324:
3319:
3313:
3310:
3309:
3306:
3303:
3302:
3300:
3295:
3292:
3290:
3286:
3283:
3279:
3275:
3273:
3268:
3262:
3259:
3258:
3255:
3252:
3251:
3249:
3244:
3241:
3239:
3235:
3232:
3228:
3224:
3223:
3220:
3215:
3209:
3206:
3203:
3202:
3199:
3196:
3195:
3193:
3185:
3181:
3176:
3173:
3171:
3167:
3164:
3160:
3156:
3154:
3149:
3143:
3140:
3139:
3136:
3133:
3132:
3130:
3122:
3118:
3113:
3110:
3108:
3104:
3101:
3097:
3093:
3092:
3089:
3084:
3078:
3075:
3072:
3071:
3068:
3065:
3064:
3062:
3054:
3050:
3045:
3042:
3040:
3036:
3033:
3029:
3025:
3023:
3018:
3012:
3009:
3008:
3005:
3002:
3001:
2999:
2991:
2987:
2982:
2979:
2977:
2973:
2970:
2966:
2962:
2961:
2923:
2920:
2917:
2916:
2901:
2898:
2895:
2893:
2890:
2884:
2880:
2876:
2871:
2867:
2862:
2858:
2857:
2854:
2851:
2848:
2846:
2843:
2837:
2833:
2829:
2824:
2820:
2815:
2811:
2810:
2807:
2804:
2801:
2799:
2796:
2790:
2786:
2782:
2777:
2773:
2768:
2764:
2763:
2760:
2757:
2754:
2751:
2749:
2746:
2740:
2736:
2732:
2727:
2723:
2718:
2714:
2713:
2703:
2685:
2681:
2677:
2674:
2671:
2668:
2666:
2663:
2657:
2653:
2649:
2644:
2640:
2635:
2631:
2630:
2625:
2621:
2617:
2614:
2611:
2608:
2606:
2603:
2597:
2593:
2589:
2584:
2580:
2575:
2571:
2570:
2565:
2561:
2557:
2554:
2551:
2548:
2546:
2543:
2537:
2533:
2529:
2524:
2520:
2515:
2511:
2510:
2507:
2504:
2501:
2499:
2496:
2490:
2486:
2482:
2477:
2473:
2468:
2464:
2463:
2452:
2451:
2448:
2427:
2424:
2421:
2416:
2413:
2391:
2386:
2382:
2378:
2373:
2369:
2365:
2359:
2356:
2350:
2345:
2342:
2338:
2315:
2312:
2308:
2304:
2299:
2294:
2291:
2269:
2264:
2259:
2224:
2209:
2204:
2200:
2194:
2190:
2186:
2181:
2177:
2171:
2167:
2157:is defined as
2146:
2141:
2137:
2133:
2128:
2124:
2120:
2109:
2108:
2097:
2094:
2088:
2085:
2081:
2077:
2074:
2071:
2066:
2062:
2058:
2053:
2049:
2045:
2026:
2023:
2011:
2008:
2005:
2002:
1997:
1994:
1989:
1986:
1983:
1980:
1975:
1972:
1967:
1964:
1961:
1958:
1953:
1948:
1943:
1918:
1909:
1908:
1897:
1892:
1888:
1881:
1878:
1875:
1871:
1867:
1864:
1861:
1858:
1853:
1849:
1845:
1840:
1836:
1832:
1813:
1810:
1808:
1805:
1791:
1781:matrices over
1763:
1759:
1755:
1750:
1747:
1744:
1738:
1714:
1687:
1681:
1658:
1638:
1633:
1632:
1617:
1614:
1611:
1608:
1606:
1602:
1598:
1594:
1591:
1588:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1572:
1570:
1566:
1562:
1558:
1555:
1554:
1521:
1520:
1509:
1506:
1503:
1498:
1492:
1489:
1487:
1484:
1483:
1480:
1477:
1475:
1472:
1471:
1469:
1464:
1459:
1455:
1449:
1445:
1439:
1435:
1430:
1427:
1424:
1419:
1414:
1410:
1406:
1401:
1396:
1392:
1388:
1383:
1378:
1374:
1323:
1318:imaginary unit
1307:
1306:
1295:
1290:
1282:
1279:
1275:
1271:
1268:
1264:
1261:
1257:
1252:
1249:
1244:
1241:
1237:
1233:
1232:
1227:
1224:
1220:
1215:
1212:
1207:
1204:
1200:
1196:
1192:
1189:
1185:
1181:
1180:
1178:
1173:
1168:
1164:
1147:
1146:
1135:
1125:
1112:
1108:
1104:
1101:
1091:
1078:
1074:
1070:
1060:
1047:
1043:
1031:
1030:
1017:
1013:
1009:
999:
988:
978:
965:
961:
957:
954:
944:
931:
927:
915:
914:
901:
897:
893:
890:
880:
867:
863:
859:
849:
838:
828:
815:
811:
799:
798:
785:
781:
770:
757:
753:
742:
729:
725:
714:
701:
698:
684:
662:
655:
648:
628:
623:
618:
595:
588:
581:
553:
550:
547:
542:
539:
524:
517:
510:
499:anti-Hermitian
480:
475:
470:
448:
397:
371:Pauli equation
363:Wolfgang Pauli
344:
339:
333:
330:
327:
325:
322:
321:
318:
315:
313:
310:
309:
307:
302:
299:
297:
293:
289:
285:
280:
276:
272:
271:
268:
263:
257:
254:
252:
249:
248:
245:
242:
239:
237:
234:
233:
231:
226:
223:
221:
217:
213:
209:
204:
200:
196:
195:
192:
187:
181:
178:
176:
173:
172:
169:
166:
164:
161:
160:
158:
153:
150:
148:
144:
140:
136:
131:
127:
123:
122:
65:Pauli matrices
37:Wolfgang Pauli
26:
9:
6:
4:
3:
2:
20731:
20720:
20717:
20715:
20712:
20710:
20707:
20705:
20702:
20700:
20697:
20696:
20694:
20679:
20676:
20674:
20671:
20669:
20668:
20663:
20657:
20656:
20653:
20647:
20644:
20642:
20639:
20637:
20636:Pseudoinverse
20634:
20632:
20629:
20627:
20624:
20622:
20619:
20617:
20614:
20612:
20609:
20608:
20606:
20604:Related terms
20602:
20596:
20595:Z (chemistry)
20593:
20591:
20588:
20586:
20583:
20581:
20578:
20576:
20573:
20571:
20568:
20566:
20563:
20561:
20558:
20556:
20553:
20551:
20548:
20546:
20543:
20541:
20538:
20536:
20533:
20532:
20530:
20526:
20520:
20517:
20515:
20512:
20510:
20507:
20505:
20502:
20500:
20497:
20495:
20492:
20490:
20487:
20485:
20482:
20481:
20479:
20477:
20472:
20466:
20463:
20461:
20458:
20456:
20453:
20451:
20448:
20446:
20443:
20441:
20438:
20436:
20433:
20431:
20428:
20426:
20423:
20421:
20418:
20417:
20415:
20413:
20408:
20402:
20399:
20397:
20394:
20392:
20389:
20387:
20384:
20382:
20379:
20377:
20374:
20372:
20369:
20367:
20364:
20362:
20359:
20357:
20354:
20352:
20349:
20347:
20344:
20342:
20339:
20337:
20334:
20332:
20329:
20327:
20324:
20322:
20319:
20317:
20314:
20312:
20309:
20307:
20304:
20302:
20299:
20297:
20294:
20292:
20289:
20287:
20284:
20282:
20279:
20277:
20274:
20272:
20269:
20267:
20264:
20262:
20259:
20257:
20254:
20252:
20249:
20248:
20246:
20242:
20236:
20233:
20231:
20228:
20226:
20223:
20221:
20218:
20216:
20213:
20211:
20208:
20206:
20203:
20201:
20198:
20196:
20193:
20191:
20188:
20186:
20182:
20179:
20177:
20174:
20173:
20171:
20169:
20165:
20160:
20154:
20151:
20149:
20146:
20144:
20141:
20139:
20136:
20134:
20131:
20129:
20126:
20124:
20121:
20119:
20116:
20115:
20113:
20111:
20106:
20100:
20097:
20095:
20092:
20090:
20087:
20085:
20082:
20080:
20077:
20075:
20072:
20070:
20067:
20065:
20062:
20060:
20057:
20055:
20052:
20051:
20049:
20045:
20039:
20036:
20034:
20031:
20029:
20026:
20024:
20021:
20019:
20016:
20014:
20011:
20009:
20006:
20004:
20001:
19999:
19996:
19994:
19991:
19989:
19986:
19984:
19981:
19979:
19976:
19974:
19971:
19969:
19966:
19964:
19961:
19959:
19956:
19954:
19953:Pentadiagonal
19951:
19949:
19946:
19944:
19941:
19939:
19936:
19934:
19931:
19929:
19926:
19924:
19921:
19919:
19916:
19914:
19911:
19909:
19906:
19904:
19901:
19899:
19896:
19894:
19891:
19889:
19886:
19884:
19881:
19879:
19876:
19874:
19871:
19869:
19866:
19864:
19861:
19859:
19856:
19854:
19851:
19849:
19846:
19844:
19841:
19839:
19836:
19834:
19831:
19829:
19826:
19824:
19821:
19819:
19816:
19814:
19811:
19809:
19806:
19804:
19801:
19799:
19796:
19794:
19791:
19789:
19786:
19784:
19783:Anti-diagonal
19781:
19779:
19776:
19775:
19773:
19769:
19764:
19757:
19752:
19750:
19745:
19743:
19738:
19737:
19734:
19725:
19721:
19717:
19711:
19707:
19703:
19699:
19694:
19690:
19686:
19682:
19676:
19671:
19670:
19663:
19659:
19655:
19651:
19649:0-8053-8714-5
19645:
19641:
19637:
19633:
19629:
19625:
19621:
19620:
19607:
19603:
19599:
19595:
19591:
19587:
19582:
19577:
19573:
19569:
19565:
19561:
19557:
19551:
19543:
19536:
19534:
19525:
19519:
19515:
19511:
19510:
19502:
19494:
19491:
19490:
19482:
19478:
19473:
19467:
19463:
19459:
19453:
19445:
19441:
19437:
19431:
19427:
19423:
19419:
19413:
19406:
19400:
19385:
19381:
19377:
19373:
19369:
19365:
19361:
19357:
19350:
19343:
19339:
19315:
19308:
19300:
19295:
19290:
19285:
19278:
19273:
19268:
19263:
19256:
19251:
19246:
19241:
19234:
19229:
19224:
19219:
19211:
19200:
19178:
19174:
19170:
19167:
19164:
19158:
19154:
19150:
19147:
19144:
19135:
19129:
19120:
19114:
19111:
19104:
19097:
19093:
19089:
19086:
19083:
19077:
19073:
19069:
19066:
19063:
19054:
19048:
19039:
19033:
19030:
19026:
19022:
19019:
19016:
19007:
19001:
18998:
18994:
18990:
18987:
18984:
18975:
18966:
18963:
18959:
18955:
18952:
18949:
18940:
18929:
18925:
18921:
18917:
18913:
18909:
18901:
18892:
18889:
18882:
18864:
18859:
18844:
18815:
18795:
18785:
18769:
18754:
18749:
18739:
18736:
18728:
18710:
18700:
18684:
18665:
18648:
18644:
18639:
18633:
18629:
18624:
18620:
18614:
18610:
18600:
18597:
18594:
18591:
18589:
18585:
18583:
18580:
18578:
18575:
18573:
18570:
18568:
18565:
18563:
18560:
18558:
18555:
18551:
18548:
18547:
18546:
18543:
18541:
18538:
18536:
18533:
18532:
18526:
18524:
18520:
18516:
18515:quantum gates
18513:
18509:
18485:
18473:
18469:
18465:
18460:
18456:
18443:
18440:
18435:
18430:
18427:
18415:
18414:
18413:
18411:
18406:
18383:
18378:
18372:
18365:
18359:
18347:
18341:
18333:
18327:
18322:
18317:
18311:
18301:
18300:
18299:
18297:
18294:
18272:
18264:
18258:
18252:
18247:
18244:
18233:
18230:
18207:
18202:
18188:
18185:
18182:
18178:
18174:
18169:
18166:
18149:
18146:
18138:
18110:
18090:
18086:
18081:
18055:
18020:
18015:
18007:
18001:
17993:
17986:
17979:
17973:
17964:
17959:
17954:
17938:
17937:
17936:
17934:
17924:
17922:
17913:
17906:
17902:
17897:
17895:
17891:
17887:
17886:spin operator
17883:
17879:
17875:
17871:
17867:
17862:
17861:
17847:
17839:
17838:
17821:
17819:
17818:Hilbert space
17815:
17809:
17805:
17785:
17783:
17779:
17775:
17761:
17757:
17753:
17749:
17744:
17736:
17723:
17719:
17715:
17711:
17701:
17684:
17679:
17676:
17671:
17668:
17663:
17659:
17654:
17651:
17646:
17643:
17638:
17635:
17626:
17621:
17617:
17609:
17608:
17607:
17596:
17573:
17568:
17564:
17559:
17556:
17551:
17547:
17542:
17539:
17534:
17530:
17525:
17522:
17513:
17507:
17498:
17492:
17489:
17482:
17481:
17480:
17460:
17445:
17439:
17424:
17379:
17375:
17356:
17348:
17344:
17339:
17327:
17321:
17317:
17312:
17300:
17294:
17290:
17285:
17273:
17270:
17255:
17254:
17253:
17250:
17237:
17232:
17228:
17223:
17220:
17217:
17212:
17208:
17202:
17198:
17194:
17182:
17177:
17173:
17168:
17165:
17162:
17157:
17153:
17147:
17143:
17139:
17127:
17122:
17118:
17113:
17110:
17107:
17102:
17098:
17092:
17088:
17084:
17072:
17069:
17019:
17015:
17004:
16995:
16986:
16976:
16945:
16936:
16929:
16922:
16918:
16910:
16900:
16898:
16882:
16851:
16815:
16794:
16793:infinitesimal
16789:
16781:
16777:
16773:
16754:
16733:
16714:
16687:
16685:
16666:
16662:
16656:
16649:
16645:
16640:
16633:
16628:
16621:
16617:
16612:
16605:
16600:
16593:
16589:
16584:
16576:
16572:
16569:
16566:
16560:
16540:
16539:
16538:
16518:
16513:
16505:
16500:
16477:
16468:
16464:
16459:
16455:
16449:
16445:
16440:
16436:
16430:
16426:
16421:
16414:
16411:
16408:
16402:
16382:
16381:
16380:
16376:
16367:
16349:
16330:
16322:
16315:
16311:
16307:
16297:
16280:
16273:
16269:
16266:
16261:
16251:
16244:
16239:
16229:
16221:
16214:
16211:
16206:
16201:
16198:
16194:
16186:
16185:
16184:
16182:
16163:
16159:
16153:
16149:
16143:
16139:
16134:
16130:
16126:
16120:
16116:
16110:
16106:
16101:
16095:
16092:
16088:
16080:
16079:
16078:
16059:
16049:
16044:
16026:
16021:
16012:
16004:
16003:transposition
15999:
15985:
15983:
15965:
15958:
15953:
15948:
15941:
15937:
15934:
15928:
15925:
15922:
15918:
15911:
15906:
15901:
15894:
15890:
15887:
15881:
15870:
15855:
15848:
15843:
15838:
15831:
15827:
15822:
15818:
15811:
15806:
15801:
15794:
15790:
15787:
15783:
15778:
15773:
15766:
15762:
15759:
15754:
15750:
15747:
15743:
15734:
15729:
15724:
15717:
15713:
15710:
15706:
15701:
15696:
15689:
15685:
15682:
15677:
15673:
15670:
15666:
15659:
15654:
15649:
15642:
15638:
15633:
15629:
15622:
15617:
15613:
15603:
15597:
15588:
15582:
15573:
15566:
15563:
15552:
15536:
15531:
15525:
15522:
15519:
15514:
15511:
15508:
15505:
15502:
15499:
15494:
15491:
15488:
15485:
15482:
15479:
15473:
15468:
15459:
15447:
15442:
15433:
15426:
15419:
15412:
15406:
15402:
15398:
15394:
15389:
15376:
15368:
15365:
15361:
15354:
15351:
15347:
15342:
15339:
15334:
15329:
15326:
15322:
15315:
15310:
15307:
15303:
15297:
15292:
15289:
15286:
15282:
15271:
15264:
15251:
15244:
15243:
15228:
15212:
15204:
15201:
15197:
15190:
15185:
15182:
15178:
15171:
15166:
15163:
15159:
15153:
15149:
15145:
15140:
15137:
15133:
15126:
15123:
15119:
15115:
15110:
15107:
15103:
15098:
15074:
15068:
15063:
15059:
15054:
15048:
15044:
15038:
15034:
15030:
15027:
15023:
15019:
15016:
15014:
15009:
15005:
14996:
14985:
14982:
14976:
14972:
14967:
14960:
14957:
14951:
14949:
14942:
14938:
14928:
14924:
14920:
14913:
14910:
14902:
14900:
14895:
14883:
14861:
14858:
14854:
14849:
14846:
14842:
14836:
14832:
14825:
14821:
14816:
14812:
14809:
14779:
14775:
14768:
14764:
14758:
14754:
14750:
14747:
14743:
14740:
14737:
14725:
14698:
14693:
14690:
14686:
14679:
14676:
14672:
14668:
14663:
14660:
14656:
14649:
14646:
14642:
14637:
14634:
14629:
14624:
14621:
14617:
14610:
14605:
14602:
14598:
14592:
14587:
14584:
14581:
14577:
14573:
14568:
14565:
14555:
14548:
14543:
14540:
14530:
14519:
14518:
14517:
14515:
14510:
14507:
14476:
14471:
14455:
14451:
14447:
14443:
14433:
14427:
14418:
14411:
14407:
14398:
14392:
14386:
14381:
14378:
14373:
14365:
14361:
14354:
14350:
14342:
14336:
14333:
14328:
14324:
14316:
14312:
14302:
14289:
14277:
14271:
14268:
14265:
14262:
14247:
14241:
14232:
14217:
14211:
14205:
14199:
14196:
14184:
14178:
14169:
14163:
14157:
14151:
14148:
14139:
14133:
14127:
14117:
14111:
14102:
14095:
14089:
14086:
14081:
14078:
14074:
14061:
14049:
14039:
14033:
14024:
14017:
14011:
14008:
14003:
13999:
13995:
13989:
13981:
13977:
13964:
13952:
13949:
13941:
13937:
13910:
13887:
13872:
13868:
13863:
13860:
13856:
13833:
13804:
13775:
13763:
13750:
13746:
13736:
13730:
13726:
13722:
13719:
13716:
13713:
13710:
13707:
13695:
13689:
13680:
13674:
13671:
13668:
13665:
13662:
13659:
13656:
13647:
13641:
13638:
13635:
13632:
13629:
13626:
13623:
13614:
13607:
13600:
13597:
13594:
13590:
13585:
13581:
13577:
13574:
13571:
13560:
13554:
13545:
13539:
13536:
13532:
13523:
13521:
13520:BCH expansion
13516:
13503:
13499:
13495:
13492:
13489:
13486:
13483:
13480:
13471:
13465:
13456:
13450:
13447:
13444:
13441:
13438:
13435:
13432:
13423:
13417:
13414:
13411:
13408:
13405:
13402:
13399:
13390:
13383:
13376:
13373:
13370:
13366:
13361:
13352:
13337:
13321:
13315:
13312:
13309:
13306:
13303:
13300:
13291:
13285:
13276:
13270:
13267:
13264:
13261:
13258:
13255:
13252:
13249:
13246:
13243:
13240:
13231:
13214:
13208:
13198:
13192:
13183:
13176:
13172:
13169:
13165:
13161:
13159:
13151:
13148:
13145:
13141:
13131:
13125:
13116:
13109:
13105:
13102:
13098:
13094:
13091:
13088:
13085:
13083:
13069:
13063:
13059:
13055:
13052:
13049:
13046:
13043:
13040:
13028:
13022:
13013:
13007:
13004:
13001:
12998:
12995:
12992:
12989:
12980:
12974:
12971:
12968:
12965:
12962:
12959:
12956:
12947:
12940:
12936:
12933:
12929:
12925:
12922:
12919:
12916:
12913:
12910:
12901:
12895:
12886:
12880:
12877:
12874:
12871:
12868:
12865:
12862:
12858:
12854:
12851:
12849:
12841:
12831:
12825:
12816:
12809:
12805:
12802:
12798:
12791:
12781:
12775:
12766:
12759:
12755:
12752:
12748:
12727:
12726:
12698:
12693:
12686:
12683:
12677:
12674:
12668:
12662:
12650:
12644:
12635:
12629:
12624:
12617:
12614:
12608:
12605:
12599:
12593:
12587:
12584:
12569:
12563:
12554:
12545:
12539:
12532:
12531:
12530:
12528:
12524:
12520:
12516:
12515:
12510:
12502:
12501:
12495:
12493:
12492:
12464:
12460:
12456:
12441:
12435:
12426:
12417:
12414:
12401:
12400:
12399:
12396:
12394:
12390:
12386:
12377:
12370:
12368:
12365:
12345:
12341:
12338:
12326:
12320:
12311:
12302:
12299:
12295:
12291:
12288:
12285:
12282:
12276:
12266:
12260:
12251:
12244:
12240:
12237:
12233:
12217:
12216:
12213:
12188:
12182:
12179:
12176:
12173:
12163:
12160:
12157:
12154:
12150:
12144:
12136:
12133:
12117:
12114:
12111:
12107:
12094:
12088:
12079:
12070:
12067:
12061:
12055:
12052:
12042:
12039:
12035:
12029:
12021:
12018:
12002:
11999:
11996:
11992:
11988:
11985:
11983:
11972:
11966:
11963:
11960:
11957:
11947:
11944:
11941:
11938:
11924:
11918:
11909:
11903:
11895:
11887:
11884:
11868:
11865:
11862:
11858:
11854:
11851:
11845:
11839:
11836:
11826:
11823:
11809:
11803:
11794:
11788:
11780:
11772:
11769:
11753:
11750:
11747:
11743:
11739:
11737:
11726:
11723:
11716:
11711:
11706:
11696:
11690:
11681:
11674:
11670:
11666:
11659:
11655:
11641:
11638:
11635:
11631:
11627:
11625:
11617:
11607:
11601:
11592:
11585:
11581:
11578:
11574:
11562:
11561:
11560:
11558:
11554:
11536:
11526:
11520:
11511:
11505:
11500:
11497:
11494:
11491:
11486:
11476:
11470:
11461:
11454:
11445:
11444:
11443:
11440:
11436:
11429:
11421:
11414:
11394:
11391:
11388:
11383:
11380:
11366:
11360:
11351:
11338:
11337:
11336:
11333:
11329:
11308:
11305:
11302:
11288:
11276:
11267:
11261:
11258:
11249:
11239:
11238:
11237:
11229:
11227:
11206:
11203:
11196:
11185:
11181:
11177:
11166:
11162:
11158:
11152:
11133:
11130:
11126:
11120:
11117:
11114:
11111:
11107:
11098:
11095:
11092:
11089:
11082:
11078:
11075:
11072:
11067:
11064:
11060:
11054:
11051:
11047:
11041:
11038:
11034:
11028:
11025:
11021:
11017:
11014:
11010:
11004:
11001:
10997:
10991:
10988:
10984:
10978:
10975:
10971:
10967:
10962:
10959:
10955:
10949:
10946:
10942:
10936:
10933:
10929:
10924:
10920:
10917:
10913:
10907:
10904:
10900:
10894:
10891:
10887:
10883:
10878:
10875:
10871:
10865:
10862:
10858:
10854:
10849:
10846:
10842:
10836:
10833:
10829:
10824:
10820:
10817:
10815:
10809:
10803:
10799:
10793:
10789:
10783:
10779:
10773:
10769:
10764:
10760:
10757:
10748:
10745:
10742:
10739:
10735:
10731:
10728:
10725:
10720:
10717:
10713:
10707:
10704:
10700:
10694:
10691:
10687:
10683:
10680:
10675:
10672:
10668:
10662:
10659:
10655:
10646:
10643:
10640:
10633:
10629:
10626:
10624:
10618:
10612:
10608:
10602:
10598:
10592:
10588:
10583:
10579:
10576:
10567:
10564:
10560:
10556:
10553:
10551:
10545:
10539:
10535:
10529:
10525:
10520:
10516:
10513:
10504:
10501:
10497:
10493:
10490:
10488:
10482:
10477:
10473:
10469:
10465:
10462:
10450:
10447:
10440:
10415:
10409:
10406:
10402:
10396:
10393:
10389:
10385:
10380:
10377:
10373:
10367:
10364:
10360:
10356:
10351:
10348:
10344:
10338:
10335:
10331:
10326:
10322:
10319:
10317:
10311:
10305:
10301:
10295:
10291:
10285:
10281:
10275:
10271:
10266:
10262:
10259:
10250:
10247:
10244:
10240:
10236:
10233:
10230:
10228:
10222:
10216:
10212:
10206:
10202:
10196:
10192:
10187:
10183:
10180:
10171:
10168:
10164:
10160:
10157:
10155:
10149:
10143:
10139:
10133:
10129:
10124:
10120:
10117:
10110:
10107:
10105:
10099:
10094:
10090:
10086:
10082:
10079:
10068:
10067:
10066:
10058:
10043:
10035:
10028:
10025:
10020:
10012:
10005:
10000:
9992:
9960:
9957:
9949:
9935:
9934:
9927:
9926:
9912:
9904:
9903:
9896:
9882:
9879:
9876:
9873:
9870:
9867:
9864:
9855:
9830:
9823:
9821:
9818:
9793:
9787:
9771:
9765:
9756:
9743:
9740:
9737:
9720:
9714:
9705:
9692:
9676:
9670:
9661:
9635:
9629:
9620:
9595:
9594:
9591:
9589:
9588:cross product
9585:
9563:
9556:
9551:
9548:
9544:
9538:
9534:
9528:
9524:
9520:
9515:
9511:
9505:
9501:
9495:
9491:
9484:
9481:
9478:
9474:
9470:
9467:
9465:
9458:
9454:
9448:
9444:
9438:
9434:
9428:
9424:
9415:
9411:
9406:
9403:
9399:
9395:
9390:
9386:
9379:
9376:
9373:
9369:
9365:
9361:
9355:
9351:
9345:
9341:
9337:
9335:
9328:
9324:
9318:
9314:
9308:
9304:
9298:
9294:
9276:
9275:
9274:
9271:
9262:
9253:
9243:
9232:
9219:
9210:
9198:
9193:
9177:
9169:
9165:
9158:
9155:
9152:
9148:
9144:
9141:
9138:
9133:
9130:
9126:
9122:
9117:
9113:
9107:
9103:
9087:
9064:
9060:
9054:
9050:
9046:
9043:
9041:
9036:
9031:
9028:
9024:
9020:
9017:
9012:
9008:
9001:
8998:
8995:
8991:
8987:
8984:
8972:
8968:
8962:
8958:
8954:
8949:
8945:
8939:
8935:
8928:
8920:
8916:
8910:
8906:
8902:
8897:
8893:
8887:
8883:
8876:
8874:
8864:
8860:
8856:
8851:
8847:
8840:
8836:
8830:
8826:
8822:
8817:
8813:
8808:
8796:
8795:
8794:
8786:
8773:
8767:
8764:
8761:
8755:
8752:
8744:
8740:
8728:
8723:
8719:
8713:
8709:
8688:
8682:
8679:
8676:
8653:
8649:
8643:
8639:
8633:
8629:
8624:
8615:
8611:
8607:
8603:
8597:
8593:
8587:
8583:
8577:
8573:
8568:
8544:
8536:
8532:
8505:
8502:
8499:
8473:
8467:
8464:
8458:
8455:
8452:
8446:
8440:
8437:
8431:
8425:
8422:
8419:
8413:
8404:
8398:
8389:
8383:
8380:
8377:
8364:
8363:
8362:
8345:
8342:
8339:
8316:
8311:
8307:
8280:
8276:
8270:
8266:
8260:
8256:
8252:
8247:
8237:
8229:
8225:
8222:
8216:
8213:
8207:
8202:
8193:
8185:
8172:
8171:
8170:
8145:
8142:
8128:
8125:
8102:
8096:
8093:
8090:
8070:
8059:
8056:
8022:
8008:
8005:
7971:
7963:
7960:
7957:
7938:
7925:
7906:
7902:
7896:
7892:
7879:
7869:
7855:
7852:
7846:
7843:
7837:
7832:
7828:
7804:
7792:
7786:
7783:
7780:
7774:
7769:
7759:
7748:
7747:
7746:
7729:
7723:
7720:
7717:
7711:
7708:
7700:
7696:
7690:
7686:
7672:
7671:
7670:
7668:
7664:
7645:
7637:
7633:
7627:
7623:
7614:
7610:
7602:
7601:
7600:
7584:
7581:
7578:
7548:
7536:
7530:
7527:
7521:
7516:
7512:
7504:
7503:
7502:
7483:
7479:
7461:
7441:
7437:
7433:
7427:
7424:
7421:
7415:
7412:
7409:
7403:
7400:
7394:
7390:
7386:
7380:
7377:
7374:
7368:
7363:
7359:
7332:
7329:
7323:
7320:
7314:
7310:
7306:
7300:
7297:
7294:
7288:
7284:
7280:
7274:
7271:
7265:
7260:
7256:
7232:
7229:
7226:
7223:
7220:
7217:
7214:
7211:
7208:
7205:
7202:
7199:
7196:
7193:
7190:
7187:
7184:
7178:
7175:
7166:
7154:
7138:
7134:
7113:
7107:
7081:
7077:
7071:
7067:
7063:
7060:
7054:
7051:
7048:
7045:
7042:
7035:
7026:
7020:
7016:
7007:
6983:
6974:
6968:
6964:
6956:
6952:
6931:
6923:
6906:
6895:
6890:
6886:
6876:
6872:
6868:
6863:
6859:
6855:
6849:
6827:
6816:
6811:
6807:
6789:
6778:
6774:
6769:
6764:
6760:
6755:
6750:
6742:
6738:
6734:
6731:
6726:
6722:
6713:
6704:
6698:
6694:
6689:
6685:
6678:
6658:
6649:
6643:
6639:
6634:
6630:
6619:
6610:
6604:
6600:
6594:
6589:
6584:
6580:
6570:
6547:
6541:
6532:
6506:
6492:
6481:
6449:
6443:
6434:
6408:
6405:
6388:
6377:
6368:
6362:
6353:
6330:
6319:
6310:
6304:
6295:
6266:
6260:
6257:
6252:
6236:
6225:
6220:
6206:
6200:
6191:
6173:
6159:
6145:
6134:
6102:
6096:
6087:
6067:
6064:
6062:
6044:
6017:
6008:
6002:
5990:
5984:
5975:
5965:
5962:
5959:
5947:
5941:
5932:
5926:
5917:
5911:
5902:
5876:
5873:
5862:Cross-product
5845:
5841:
5835:
5832:
5828:
5822:
5818:
5814:
5809:
5805:
5800:
5796:
5793:
5788:
5785:
5780:
5775:
5772:
5764:
5758:
5751:
5750:
5749:
5732:
5726:
5706:
5700:
5680:
5674:
5646:
5640:
5606:
5575:
5569:
5555:
5549:
5543:
5520:
5511:
5505:
5493:
5481:
5475:
5469:
5460:
5454:
5450:
5441:
5434:
5425:
5419:
5410:
5404:
5401:
5394:
5393:
5392:
5375:
5355:
5341:
5338:
5318:
5310:
5294:
5274:
5265:
5241:
5232:
5208:
5199:
5193:
5189:
5180:
5173:
5164:
5158:
5149:
5143:
5140:
5114:
5108:
5099:
5093:
5090:
5070:
5058:
5052:
5043:
5031:
5019:
5013:
5004:
4998:
4995:
4966:
4961:
4958:
4954:
4943:
4937:
4928:
4921:
4918:
4909:
4903:
4894:
4888:
4885:
4878:
4877:
4876:
4862:
4839:
4811:
4806:
4790:
4779:
4776:
4767:
4761:
4752:
4746:
4743:
4727:
4721:
4712:
4685:
4665:
4659:
4650:
4635:
4612:
4603:
4597:
4581:
4562:
4556:
4547:
4527:
4524:
4519:
4516:
4506:
4484:
4467:
4454:
4445:
4439:
4430:
4415:
4390:
4380:
4367:
4351:
4348:
4345:
4318:
4315:
4312:
4303:
4301:
4300:cross-product
4283:
4256:
4253:
4250:
4228:
4212:
4210:
4190:
4185:
4177:
4173:
4169:
4162:
4158:
4154:
4151:
4146:
4142:
4132:
4128:
4124:
4121:
4116:
4112:
4104:
4100:
4093:
4088:
4083:
4077:
4074:
4069:
4062:
4057:
4051:
4044:
4040:
4036:
4031:
4025:
4020:
4013:
4010:
4005:
3999:
3992:
3988:
3984:
3979:
3973:
3968:
3961:
3956:
3950:
3943:
3939:
3935:
3933:
3923:
3919:
3912:
3908:
3904:
3899:
3896:
3892:
3885:
3881:
3874:
3870:
3866:
3864:
3854:
3844:
3837:
3832:
3822:
3812:
3808:
3801:
3797:
3793:
3785:
3775:
3765:
3761:
3754:
3746:
3736:
3726:
3722:
3715:
3713:
3702:
3696:
3687:
3671:
3651:
3622:
3593:
3568:
3558:
3532:
3522:
3496:
3486:
3462:
3457:
3447:
3438:
3434:
3430:
3425:
3415:
3406:
3402:
3398:
3393:
3383:
3374:
3370:
3366:
3357:
3343:Pauli vectors
3322:
3317:
3311:
3304:
3298:
3293:
3291:
3284:
3281:
3277:
3271:
3266:
3260:
3253:
3247:
3242:
3240:
3233:
3230:
3226:
3218:
3213:
3207:
3204:
3197:
3191:
3183:
3179:
3174:
3172:
3165:
3162:
3158:
3152:
3147:
3141:
3134:
3128:
3120:
3116:
3111:
3109:
3102:
3099:
3095:
3087:
3082:
3076:
3073:
3066:
3060:
3052:
3048:
3043:
3041:
3034:
3031:
3027:
3021:
3016:
3010:
3003:
2997:
2989:
2985:
2980:
2978:
2971:
2968:
2964:
2952:
2951:
2950:
2948:
2945:
2933:
2929:
2926:Each of the (
2899:
2896:
2894:
2888:
2882:
2878:
2874:
2869:
2865:
2860:
2852:
2849:
2847:
2841:
2835:
2831:
2827:
2822:
2818:
2813:
2805:
2802:
2800:
2794:
2788:
2784:
2780:
2775:
2771:
2766:
2758:
2755:
2752:
2750:
2744:
2738:
2734:
2730:
2725:
2721:
2716:
2704:
2683:
2679:
2675:
2672:
2669:
2667:
2661:
2655:
2651:
2647:
2642:
2638:
2633:
2623:
2619:
2615:
2612:
2609:
2607:
2601:
2595:
2591:
2587:
2582:
2578:
2573:
2563:
2559:
2555:
2552:
2549:
2547:
2541:
2535:
2531:
2527:
2522:
2518:
2513:
2505:
2502:
2500:
2494:
2488:
2484:
2480:
2475:
2471:
2466:
2454:
2453:
2449:
2446:
2445:
2442:
2439:
2422:
2384:
2380:
2376:
2371:
2367:
2357:
2354:
2348:
2343:
2340:
2336:
2326:
2313:
2297:
2267:
2262:
2247:
2242:
2232:
2227:
2207:
2202:
2198:
2192:
2188:
2184:
2179:
2175:
2169:
2165:
2139:
2135:
2131:
2126:
2122:
2095:
2092:
2086:
2083:
2079:
2075:
2072:
2064:
2060:
2056:
2051:
2047:
2036:
2035:
2034:
2032:
2022:
2009:
2003:
1987:
1981:
1965:
1959:
1956:
1951:
1932:
1930:
1926:
1921:
1914:
1895:
1890:
1886:
1879:
1876:
1873:
1869:
1865:
1862:
1859:
1851:
1847:
1843:
1838:
1834:
1823:
1822:
1821:
1819:
1804:
1777:
1748:
1745:
1742:
1685:
1669:
1668:Hilbert space
1665:
1657:
1647:
1645:
1615:
1612:
1609:
1607:
1600:
1596:
1592:
1589:
1582:
1579:
1576:
1573:
1571:
1564:
1560:
1545:
1544:
1543:
1541:
1537:
1532:
1530:
1507:
1504:
1501:
1496:
1490:
1485:
1478:
1473:
1467:
1462:
1457:
1453:
1447:
1443:
1437:
1433:
1428:
1425:
1422:
1417:
1412:
1408:
1404:
1399:
1394:
1390:
1386:
1381:
1376:
1372:
1364:
1363:
1362:
1360:
1359:
1353:
1349:
1343:
1339:
1330:
1319:
1313:
1293:
1288:
1280:
1277:
1273:
1269:
1262:
1259:
1255:
1250:
1247:
1242:
1239:
1235:
1225:
1222:
1218:
1213:
1210:
1205:
1202:
1198:
1190:
1187:
1183:
1176:
1171:
1166:
1162:
1154:
1153:
1152:
1133:
1126:
1110:
1106:
1102:
1099:
1092:
1076:
1072:
1068:
1061:
1045:
1041:
1033:
1032:
1015:
1011:
1007:
1000:
986:
979:
963:
959:
955:
952:
945:
929:
925:
917:
916:
899:
895:
891:
888:
881:
865:
861:
857:
850:
836:
829:
813:
809:
801:
800:
783:
779:
771:
755:
751:
743:
727:
723:
715:
712:
711:
707:
697:
673:
670:) to that of
669:
668:is isomorphic
661:
654:
647:
643:generated by
642:
626:
621:
606:
602:
594:
587:
580:
575:
571:
567:
566:exponentiates
548:
523:
516:
509:
504:
500:
497:to make them
491:
478:
473:
459:
444:
443:Hilbert space
440:
436:
432:
428:
426:
422:
411:
408:
404:
396:
387:
382:
380:
376:
372:
368:
364:
359:
342:
337:
331:
328:
323:
316:
311:
305:
300:
298:
291:
287:
283:
278:
274:
266:
261:
255:
250:
243:
240:
235:
229:
224:
222:
215:
211:
207:
202:
198:
190:
185:
179:
174:
167:
162:
156:
151:
149:
142:
138:
134:
129:
125:
112:
104:
96:
92:
88:
84:
80:
76:
73:
66:
62:
58:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
19:
20658:
20590:Substitution
20476:graph theory
20083:
19973:Quaternionic
19963:Persymmetric
19697:
19668:
19639:
19627:
19571:
19567:
19560:Fairlie, D B
19550:
19541:
19508:
19501:
19492:
19487:
19465:
19452:
19425:
19412:
19399:
19387:. Retrieved
19359:
19355:
19342:
19199:
18927:
18923:
18919:
18915:
18911:
18907:
18899:
18890:
18887:
18881:
18725:, where the
18664:
18646:
18642:
18637:
18631:
18627:
18618:
18613:
18577:Bloch sphere
18522:
18505:
18402:
18398:
18289:
18150:
18142:
18082:
18035:
17930:
17908:
17898:
17881:
17872:. By taking
17859:
17858:
17845:
17836:
17835:
17822:
17807:
17786:
17751:
17739:
17707:
17699:
17591:
17588:
17441:
17377:
17371:
17251:
16934:
16927:
16920:
16916:
16912:
16881:double cover
16792:
16784:
16693:
16686:is trivial.
16681:
16516:
16495:
16492:
16371:
16303:
16295:
16178:
16016:
16007:
15994:
15991:
15871:
15448:
15446:conditions.
15431:
15424:
15417:
15410:
15401:mixed states
15397:Bloch sphere
15390:
15266:
15259:
15249:
15246:
14717:
14513:
14511:
14502:
14483:
14303:
13879:
13858:
13854:
13764:
13524:
13517:
13232:
12723:
12721:
12522:
12518:
12512:
12498:
12496:
12488:
12482:
12397:
12382:
12371:
12219:
12211:
11551:
11438:
11434:
11430:
11419:
11412:
11409:
11331:
11327:
11323:
11235:
11183:
11179:
11175:
11164:
11160:
11156:
11153:
10451:
10445:
10438:
10435:
10064:
9932:
9931:
9924:
9923:
9910:
9901:
9900:
9897:
9842:
9835:
9824:
9597:
9590:results in
9581:
9266:
9257:
9248:
9234:
9223:
9214:
9205:
9195:
9089:
9085:
8792:
8488:
8295:
7939:
7819:
7744:
7667:mostly minus
7666:
7660:
7563:
7467:
7155:
6571:
6174:
6073:
6065:
6061:Killing form
5865:
5535:
5308:
4981:
4691:
4473:
4304:
4213:
3672:
3346:
2947:eigenvectors
2925:
2447:Commutators
2440:
2327:
2243:
2237:denotes the
2222:
2110:
2028:
1933:
1916:
1910:
1815:
1655:
1648:
1634:
1536:determinants
1533:
1522:
1357:
1354:
1347:
1341:
1337:
1311:
1308:
1150:
706:Cayley table
659:
652:
645:
592:
585:
578:
521:
514:
507:
503:Lie algebras
492:
429:
410:vector space
394:
383:
360:
113:symmetries.
64:
54:
29:
20565:Hamiltonian
20489:Biadjacency
20425:Correlation
20341:Householder
20291:Commutation
20028:Vandermonde
20023:Tridiagonal
19958:Permutation
19948:Nonnegative
19933:Matrix unit
19813:Bisymmetric
19564:Zachos, C K
19458:Gibbs, J.W.
19356:Found. Phys
18843:dot product
18089:four-tensor
17905:Pauli group
17823:For a spin
16944:quaternions
16903:Quaternions
16368:by the set
16329:Lie algebra
16321:Lie algebra
14492:and column
12393:quaternions
9584:dot product
9197:Contracting
9086:so that,
4688:Determinant
2932:eigenvalues
2033:relations:
1820:relations:
1818:commutation
1646:+1 and −1.
1644:eigenvalues
672:quaternions
435:observables
61:mathematics
20699:Lie groups
20693:Categories
20465:Transition
20460:Stochastic
20430:Covariance
20412:statistics
20391:Symplectic
20386:Similarity
20215:Unimodular
20210:Orthogonal
20195:Involutory
20190:Invertible
20185:Projection
20181:Idempotent
20123:Convergent
20018:Triangular
19968:Polynomial
19913:Hessenberg
19883:Equivalent
19878:Elementary
19858:Copositive
19848:Conference
19808:Bidiagonal
19616:References
19495:: 380–440.
19405:spinor map
18906:, being a
18638:in physics
18517:are 2 × 2
18285:where the
18080:matrices.
17814:orthogonal
17758:acting on
17718:observable
16732:isomorphic
16304:The group
15551:idempotent
14473:See also:
13865:See also:
12398:Note that
4405:that maps
2944:normalized
1911:where the
1358:involutory
1350:= 1, 2, 3,
601:isomorphic
433:represent
83:involutory
47:, for the
20646:Wronskian
20570:Irregular
20560:Gell-Mann
20509:Laplacian
20504:Incidence
20484:Adjacency
20455:Precision
20420:Centering
20326:Generator
20296:Confusion
20281:Circulant
20261:Augmented
20220:Unipotent
20200:Nilpotent
20176:Congruent
20153:Stieltjes
20128:Defective
20118:Companion
20089:Redheffer
20008:Symmetric
20003:Sylvester
19978:Signature
19908:Hermitian
19888:Frobenius
19798:Arrowhead
19778:Alternant
19724:855534544
19689:643977885
19658:837947786
19581:1402.3541
19168:
19148:
19139:^
19130:⋅
19124:^
19115:−
19087:
19067:
19058:^
19049:×
19043:^
19034:−
19020:
19011:^
18988:
18979:^
18953:
18944:^
18804:→
18786:⊗
18755:×
18737:⋅
18701:⊗
18510:, single-
18474:ν
18470:γ
18461:μ
18457:γ
18431:ν
18428:μ
18424:Σ
18360:σ
18342:σ
18312:α
18259:α
18253:≡
18241:Σ
18231:−
18197:Σ
18189:ℓ
18179:ϵ
18175:≡
18170:ℓ
18163:Σ
18105:Σ
18083:However,
18050:Σ
18002:σ
17974:σ
17949:Σ
17754:) of the
17677:θ
17672:
17660:σ
17644:θ
17639:
17622:θ
17565:σ
17548:σ
17531:σ
17517:→
17514:σ
17508:⋅
17502:→
17464:→
17345:σ
17337:↦
17318:σ
17310:↦
17291:σ
17283:↦
17268:↦
17229:σ
17221:−
17209:σ
17199:σ
17195:−
17192:↦
17174:σ
17166:−
17154:σ
17144:σ
17140:−
17137:↦
17119:σ
17111:−
17099:σ
17089:σ
17085:−
17082:↦
17067:↦
16780:rotations
16646:σ
16618:σ
16590:σ
16573:
16465:σ
16446:σ
16427:σ
16415:
16310:Lie group
16255:→
16252:σ
16245:⋅
16233:→
16230:σ
16150:σ
16140:σ
16117:σ
16107:σ
16050:⊗
15949:θ
15938:
15929:ϕ
15902:θ
15891:
15839:θ
15828:
15802:θ
15791:
15774:θ
15763:
15755:ϕ
15725:θ
15714:
15697:θ
15686:
15678:ϕ
15671:−
15650:θ
15639:
15607:→
15604:σ
15598:⋅
15592:→
15526:θ
15523:
15515:ϕ
15512:
15506:θ
15503:
15495:ϕ
15492:
15486:θ
15483:
15463:→
15369:γ
15366:β
15362:δ
15355:δ
15352:α
15348:δ
15330:δ
15327:γ
15323:σ
15311:β
15308:α
15304:σ
15283:∑
15205:γ
15202:δ
15186:δ
15183:γ
15179:σ
15167:β
15164:α
15160:σ
15150:∑
15141:γ
15138:γ
15127:β
15124:α
15120:δ
15111:β
15108:α
15060:σ
15045:σ
15035:∑
14997:∴
14973:σ
14855:δ
14833:σ
14822:σ
14813:
14776:σ
14755:∑
14694:δ
14691:γ
14687:δ
14680:β
14677:α
14673:δ
14669:−
14664:γ
14661:β
14657:δ
14650:δ
14647:α
14643:δ
14625:δ
14622:γ
14618:σ
14606:β
14603:α
14599:σ
14578:∑
14574:≡
14569:δ
14566:γ
14559:→
14556:σ
14549:⋅
14544:β
14541:α
14534:→
14531:σ
14452:σ
14437:→
14434:σ
14428:×
14422:^
14408:⋅
14402:^
14379:π
14351:σ
14334:π
14329:−
14272:
14266:−
14251:→
14248:σ
14242:⋅
14236:^
14221:^
14200:
14188:→
14185:σ
14179:×
14173:^
14152:
14143:→
14140:σ
14121:→
14118:σ
14112:⋅
14106:^
14079:−
14065:→
14062:σ
14043:→
14040:σ
14034:⋅
14028:^
13968:→
13965:σ
13950:−
13914:^
13837:^
13808:^
13779:^
13740:→
13737:σ
13731:⋅
13720:
13711:
13699:^
13690:×
13684:^
13675:−
13669:
13660:
13651:^
13636:
13627:
13618:^
13598:
13578:
13564:→
13561:σ
13555:⋅
13549:^
13493:
13484:
13475:^
13466:×
13460:^
13451:−
13445:
13436:
13427:^
13412:
13403:
13394:^
13374:
13356:^
13342:, then,
13338:. Given
13313:
13304:
13295:^
13286:⋅
13280:^
13271:−
13265:
13256:
13244:
13202:→
13199:σ
13193:⋅
13187:^
13149:
13135:→
13132:σ
13126:⋅
13120:^
13095:
13073:→
13070:σ
13064:⋅
13053:
13044:
13032:^
13023:×
13017:^
13008:−
13002:
12993:
12984:^
12969:
12960:
12951:^
12923:
12914:
12905:^
12896:⋅
12890:^
12881:−
12875:
12866:
12835:→
12832:σ
12826:⋅
12820:^
12785:→
12782:σ
12776:⋅
12770:^
12684:−
12675:−
12654:→
12651:σ
12645:⋅
12639:^
12615:−
12573:→
12570:σ
12564:⋅
12558:^
12445:→
12442:σ
12436:⋅
12430:^
12385:analogous
12383:which is
12342:
12330:→
12327:σ
12321:⋅
12315:^
12292:
12270:→
12267:σ
12261:⋅
12255:^
12134:−
12123:∞
12108:∑
12098:→
12095:σ
12089:⋅
12083:^
12019:−
12008:∞
11993:∑
11928:→
11925:σ
11919:⋅
11913:^
11885:−
11874:∞
11859:∑
11813:→
11810:σ
11804:⋅
11798:^
11770:−
11759:∞
11744:∑
11700:→
11697:σ
11691:⋅
11685:^
11647:∞
11632:∑
11611:→
11608:σ
11602:⋅
11596:^
11530:→
11527:σ
11521:⋅
11515:^
11480:→
11477:σ
11471:⋅
11465:^
11370:→
11367:σ
11361:⋅
11355:^
11292:^
11271:^
11253:→
11207:…
11204:α
11197:∑
11134:μ
11127:δ
11121:γ
11118:β
11115:α
11108:ε
11099:μ
11096:γ
11093:β
11090:α
11083:∑
11068:μ
11061:δ
11055:γ
11048:δ
11042:β
11035:δ
11029:α
11022:δ
11015:−
11005:γ
10998:δ
10992:α
10985:δ
10979:μ
10976:β
10972:δ
10963:μ
10956:δ
10950:β
10943:δ
10937:γ
10934:α
10930:δ
10908:γ
10905:β
10901:δ
10895:μ
10892:α
10888:δ
10879:μ
10876:β
10872:δ
10866:γ
10863:α
10859:δ
10855:−
10850:μ
10847:γ
10843:δ
10837:β
10834:α
10830:δ
10804:μ
10800:σ
10794:γ
10790:σ
10784:β
10780:σ
10774:α
10770:σ
10761:
10749:γ
10746:β
10743:α
10736:ε
10721:γ
10714:δ
10708:β
10701:δ
10695:α
10688:δ
10681:−
10676:γ
10669:δ
10663:β
10660:α
10656:δ
10647:γ
10644:β
10641:α
10634:∑
10613:γ
10609:σ
10603:β
10599:σ
10593:α
10589:σ
10580:
10568:β
10565:α
10561:δ
10540:β
10536:σ
10530:α
10526:σ
10517:
10505:α
10498:δ
10478:α
10474:σ
10466:
10410:ℓ
10403:δ
10390:δ
10374:δ
10368:ℓ
10361:δ
10357:−
10349:ℓ
10345:δ
10332:δ
10302:σ
10296:ℓ
10292:σ
10282:σ
10272:σ
10263:
10251:ℓ
10241:ε
10217:ℓ
10213:σ
10203:σ
10193:σ
10184:
10165:δ
10140:σ
10130:σ
10121:
10091:σ
10083:
10039:→
10036:σ
10016:→
10013:σ
10006:×
9996:→
9993:σ
9964:ℏ
9950:×
9880:∧
9868:⋅
9797:→
9794:σ
9788:⋅
9775:→
9766:×
9760:→
9724:→
9715:⋅
9709:→
9680:→
9677:σ
9671:⋅
9665:→
9639:→
9636:σ
9630:⋅
9624:→
9545:δ
9516:ℓ
9512:σ
9485:ℓ
9475:ε
9455:σ
9435:σ
9400:δ
9391:ℓ
9387:σ
9380:ℓ
9370:ε
9325:σ
9315:σ
9273:) yields
9203:-vectors
9170:ℓ
9166:σ
9159:ℓ
9149:ε
9127:δ
9114:σ
9104:σ
9061:σ
9051:σ
9025:δ
9013:ℓ
9009:σ
9002:ℓ
8992:ε
8969:σ
8959:σ
8946:σ
8936:σ
8917:σ
8907:σ
8903:−
8894:σ
8884:σ
8861:σ
8848:σ
8827:σ
8814:σ
8756:η
8745:μ
8741:σ
8724:μ
8714:μ
8710:∑
8680:×
8644:μ
8640:σ
8634:μ
8616:μ
8612:∑
8598:μ
8594:σ
8588:μ
8578:μ
8574:∑
8537:μ
8533:σ
8459:
8453:−
8441:
8426:
8343:×
8312:μ
8308:σ
8271:†
8261:μ
8257:σ
8248:ν
8241:¯
8238:σ
8226:
8203:ν
8194:μ
8180:Λ
8129:∈
8071:≅
7907:μ
7903:σ
7897:μ
7880:ν
7873:¯
7870:σ
7856:
7833:ν
7796:→
7793:σ
7787:−
7770:μ
7763:¯
7760:σ
7712:η
7701:μ
7697:σ
7691:μ
7638:μ
7634:σ
7628:μ
7620:↦
7615:μ
7540:→
7537:σ
7517:μ
7513:σ
7484:μ
7480:σ
7434:ϑ
7428:
7416:φ
7410:−
7404:
7387:ϑ
7381:
7375:−
7364:−
7360:ψ
7333:φ
7324:
7307:ϑ
7301:
7281:ϑ
7275:
7257:ψ
7233:ϑ
7230:
7221:φ
7218:
7212:ϑ
7209:
7200:φ
7197:
7191:ϑ
7188:
7170:→
7135:σ
7111:→
7108:ϵ
7068:ϵ
7064:−
7055:−
7043:ϵ
7030:→
7011:→
6978:→
6965:−
6962:→
6910:→
6869:−
6831:→
6793:→
6765:−
6761:ψ
6708:→
6653:→
6614:→
6581:ψ
6551:→
6548:σ
6542:⋅
6536:→
6496:→
6482:±
6453:→
6450:σ
6444:⋅
6438:→
6392:→
6372:→
6369:σ
6363:⋅
6357:→
6334:→
6320:−
6314:→
6311:σ
6305:⋅
6299:→
6240:→
6226:−
6210:→
6207:σ
6201:⋅
6195:→
6149:→
6135:±
6106:→
6103:σ
6097:⋅
6091:→
6012:→
6009:σ
6003:⋅
5994:→
5985:×
5979:→
5951:→
5948:σ
5942:⋅
5936:→
5921:→
5918:σ
5912:⋅
5906:→
5833:−
5819:σ
5806:σ
5797:
5681:≅
5556:∈
5515:→
5512:σ
5506:⋅
5497:→
5464:→
5461:σ
5455:⋅
5445:→
5429:→
5426:σ
5420:⋅
5414:→
5405:∗
5391:given by
5362:→
5269:→
5236:→
5203:→
5200:σ
5194:⋅
5184:→
5168:→
5165:σ
5159:⋅
5153:→
5144:∗
5118:→
5115:σ
5109:⋅
5103:→
5094:∗
5083:and that
5062:→
5059:σ
5053:⋅
5047:→
5023:→
5020:σ
5014:⋅
5008:→
4999:∗
4959:−
4947:→
4944:σ
4938:⋅
4932:→
4913:→
4910:σ
4904:⋅
4898:→
4889:∗
4794:→
4780:−
4771:→
4762:⋅
4756:→
4747:−
4731:→
4728:σ
4722:⋅
4716:→
4669:→
4666:σ
4660:⋅
4654:→
4645:↦
4639:→
4607:→
4585:→
4582:σ
4566:→
4563:σ
4557:⋅
4551:→
4528:
4488:→
4449:→
4446:σ
4440:⋅
4434:→
4425:↦
4419:→
4391:∗
4368:⊗
4349:×
4316:×
4254:×
4170:−
4122:−
4075:−
4011:−
3920:σ
3900:ℓ
3893:δ
3886:ℓ
3882:σ
3855:ℓ
3848:^
3838:⋅
3826:^
3813:ℓ
3809:σ
3786:ℓ
3779:^
3766:ℓ
3762:σ
3755:⋅
3740:^
3706:→
3703:σ
3697:⋅
3691:→
3655:^
3626:^
3597:^
3562:^
3526:^
3490:^
3451:^
3435:σ
3419:^
3403:σ
3387:^
3371:σ
3361:→
3358:σ
3285:−
3278:ψ
3227:ψ
3205:−
3166:−
3159:ψ
3096:ψ
3074:−
3035:−
3028:ψ
2965:ψ
2928:Hermitian
2879:σ
2866:σ
2832:σ
2819:σ
2785:σ
2772:σ
2735:σ
2722:σ
2680:σ
2652:σ
2639:σ
2620:σ
2592:σ
2579:σ
2560:σ
2532:σ
2519:σ
2485:σ
2472:σ
2381:σ
2368:σ
2337:σ
2199:σ
2189:σ
2176:σ
2166:σ
2136:σ
2123:σ
2080:δ
2061:σ
2048:σ
1988:≅
1966:≅
1960:×
1931:is used.
1887:σ
1870:ε
1848:σ
1835:σ
1666:) of the
1597:σ
1593:
1577:−
1561:σ
1454:σ
1444:σ
1434:σ
1426:−
1409:σ
1391:σ
1373:σ
1274:δ
1270:−
1256:δ
1236:δ
1219:δ
1211:−
1199:δ
1184:δ
1163:σ
1107:σ
1100:−
1073:σ
1042:σ
1012:σ
960:σ
953:−
926:σ
896:σ
889:−
862:σ
810:σ
780:σ
752:σ
724:σ
386:Hermitian
329:−
288:σ
275:σ
241:−
212:σ
199:σ
139:σ
126:σ
79:Hermitian
20704:Matrices
20474:Used in
20410:Used in
20371:Rotation
20346:Jacobian
20306:Distance
20286:Cofactor
20271:Carleman
20251:Adjugate
20235:Weighing
20168:inverses
20164:products
20133:Definite
20064:Identity
20054:Exchange
20047:Constant
20013:Toeplitz
19898:Hadamard
19868:Diagonal
19638:(2002).
19606:18776942
19479:(1840).
19460:(1884).
19444:43641333
19424:(2000).
19403:See the
19384:14670523
18891:n, m, k
18888:a, b, c,
18621:for the
18529:See also
18296:matrices
18091:. Hence
17804:2-sphere
16537:so that
16160:⟩
16127:⟩
13823:, so is
5451:′
5242:′
5190:′
4982:we find
4507:below)
2280:denoted
1316:is the "
564:, which
405:for the
75:matrices
20575:Overlap
20540:Density
20499:Edmonds
20376:Seifert
20336:Hessian
20301:Coxeter
20225:Unitary
20143:Hurwitz
20074:Of ones
20059:Hilbert
19993:Skyline
19938:Metzler
19928:Logical
19923:Integer
19833:Boolean
19765:classes
19586:Bibcode
19574:: 084.
19364:Bibcode
18645:⟼ exp(−
18605:Remarks
17856:
17842:
17828:⁄
17792:⁄
17778:spinors
17767:⁄
17731:⁄
17427:Physics
17374:versors
16533:
16521:
16366:spanned
16314:unitary
16308:is the
16074:
16030:
16001:be the
15393:complex
14876:where "
14724:complex
14496:of the
9929:, then
9921:
9907:
5309:special
4855:matrix
2229:is the
1923:is the
1776:complex
1774:of all
1527:is the
1327:is the
1320:", and
603:to the
574:algebra
439:complex
111:isospin
93:letter
87:unitary
72:complex
20494:Degree
20435:Design
20366:Random
20356:Payoff
20351:Moment
20276:Cartan
20266:Bézout
20205:Normal
20079:Pascal
20069:Lehmer
19998:Sparse
19918:Hollow
19903:Hankel
19838:Cauchy
19763:Matrix
19722:
19712:
19687:
19677:
19656:
19646:
19604:
19520:
19442:
19432:
19382:
19313:
19162:
19081:
18630:⟼ exp(
18287:Dirac
18270:
18237:
18228:
18159:
18116:
18099:
18061:
18044:
17921:tensor
17919:-fold
17864:, the
17774:states
17772:. The
17354:
16895:, see
16774:, the
16278:
16027:space
15374:
15242:Q.E.D.
15225:where
15210:
15072:
15003:
15000:
14794:where
14287:
14257:
14227:
14194:
14071:
14056:
13974:
13959:
13869:, and
13852:, and
13705:
13319:
13038:
12353:
12350:
12230:
12227:
9806:
9803:
9608:
9605:
9567:
9287:
9284:
9181:
9175:
9100:
9097:
8686:
8674:
8542:
8529:
8509:
8497:
8349:
8337:
8304:
8157:
8123:
8043:
8020:
7992:
7969:
7948:
7665:(with
7643:
7489:
7476:
6929:
6671:
6666:
6624:
6557:
6527:
6479:
6459:
6429:
6287:
6264:
6183:
6132:
6112:
6082:
5536:where
5488:
5221:where
4207:using
3641:, and
3547:, and
3475:where
2111:where
1927:, and
1540:traces
1523:where
572:. The
63:, the
20555:Gamma
20519:Tutte
20381:Shear
20094:Shift
20084:Pauli
20033:Walsh
19943:Moore
19823:Block
19602:S2CID
19576:arXiv
19568:SIGMA
19484:(PDF)
19389:5 May
19380:S2CID
19352:(PDF)
19335:Notes
18904:SU(2)
18896:2 × 2
18657:SU(2)
18512:qubit
17870:SU(2)
17726:spin
17724:of a
17421:SO(3)
17417:SU(2)
17413:SU(2)
17405:SU(2)
16893:SO(3)
16889:SU(2)
16885:SO(3)
16877:SU(2)
16873:SO(3)
16869:SU(2)
16776:group
16772:SO(3)
16690:SO(3)
16511:su(2)
16325:2 × 2
16317:2 × 2
16306:SU(2)
16300:SU(2)
15441:trace
14882:trace
14715:Proof
13859:a + b
12730:SU(2)
12717:SU(2)
12521:and −
12505:2 × 2
12491:SU(2)
11437:+ 1,
11236:For
2239:2 × 2
1779:2 × 2
1702:2 × 2
570:SU(2)
418:2 × 2
414:2 × 2
403:basis
365:. In
95:sigma
91:Greek
69:2 × 2
20361:Pick
20331:Gram
20099:Zero
19803:Band
19720:OCLC
19710:ISBN
19685:OCLC
19675:ISBN
19654:OCLC
19644:ISBN
19518:ISBN
19514:xxii
19440:OCLC
19430:ISBN
19391:2023
18928:half
18912:half
17888:and
17722:spin
16871:and
16831:and
16570:span
16412:span
16014:and
15992:Let
15549:the
15232:and
13334:the
12736:in
11174:{0,
11168:and
9586:and
9212:and
8329:For
7351:and
6124:are
2949:are
2938:and
2248:for
2220:and
1642:has
1538:and
1534:The
1314:= −1
407:real
375:spin
85:and
59:and
20450:Hat
20183:or
20166:or
19702:doi
19594:doi
19372:doi
19165:tan
19145:tan
19084:tan
19064:tan
19017:tan
18985:tan
18950:tan
18902:of
18845:on
18506:In
18412:as
17931:In
17868:of
17708:In
17669:sin
17636:cos
17442:In
17419:to
16891:to
16883:of
16778:of
16730:is
16312:of
15935:sin
15888:cos
15819:sin
15788:cos
15760:sin
15711:cos
15683:sin
15630:cos
15520:cos
15509:sin
15500:sin
15489:cos
15480:sin
15257:so
14730:as
14269:cos
14197:sin
14149:cos
13862:.)
13717:sin
13708:sin
13666:cos
13657:sin
13633:cos
13624:sin
13595:sin
13575:exp
13490:sin
13481:sin
13442:cos
13433:sin
13409:cos
13400:sin
13371:sin
13310:sin
13301:sin
13262:cos
13253:cos
13241:cos
13146:sin
13092:cos
13050:sin
13041:sin
12999:cos
12990:sin
12966:cos
12957:sin
12920:sin
12911:sin
12872:cos
12863:cos
12725:(2)
12514:(2)
12500:(2)
12409:det
12387:to
12339:sin
12289:cos
11422:= 0
11415:= 1
9836:If
8734:det
8621:det
8565:det
8408:det
8393:det
8372:det
7680:det
7425:cos
7401:exp
7378:sin
7321:exp
7298:sin
7272:cos
7227:cos
7215:sin
7206:sin
7194:cos
7185:sin
6063:).
5622:by
5035:det
4990:det
4700:det
4341:Mat
2402:of
1919:jkl
1700:of
1557:det
1335:if
696:).
607:of
599:is
412:of
103:tau
55:In
20695::
19718:.
19708:.
19683:.
19652:.
19626:.
19600:.
19592:.
19584:.
19572:10
19570:.
19562:;
19558:;
19532:^
19516:.
19486:.
19464:.
19438:.
19420:;
19378:.
19370:.
19360:23
19358:.
19354:.
18647:iσ
18640:,
18632:iσ
18628:iσ
18625:,
18525:.
18404:μν
18144:μν
18132:μν
17840:=
17820:.
17784:.
17740:iσ
17407:,
17380:⊂
16946:,
16935:iσ
16933:,
16928:iσ
16926:,
16921:iσ
16919:,
16899:.
16785:iσ
16519:=
16496:iσ
16372:iσ
16183:,
15997:jk
15984:.
15430:,
15423:,
15416:,
15269:αβ
15265:=
15262:αβ
15055:tr
15024:tr
14968:tr
14921:tr
14878:tr
14810:tr
14505:αβ
14503:σ
14470:.
13929::
13857:=
12529:,
12494:.
12395:.
11559:,
11330:,
11182:,
11178:,
11163:,
11159:,
10758:tr
10577:tr
10514:tr
10463:tr
10444:=
10260:tr
10181:tr
10118:tr
10080:tr
9905:=
9233:=
8456:tr
8438:tr
8423:tr
8223:tr
7853:tr
7460:.
7153:.
6409:0.
5889:)
5794:tr
5668:SU
5470:=:
4919::=
4833:SU
4525:tr
4211:.
3670:.
3612:,
3511:,
2940:−1
2936:+1
2934::
2233:.
2225:jk
1803:.
1590:tr
1531:.
1361::
1340:=
1333:+1
1324:jk
713:×
660:iσ
658:,
653:iσ
651:,
646:iσ
591:,
584:,
522:iσ
520:,
515:iσ
513:,
508:iσ
81:,
20580:S
20038:Z
19755:e
19748:t
19741:v
19726:.
19704::
19691:.
19660:.
19630:.
19608:.
19596::
19588::
19578::
19493:5
19446:.
19407:.
19374::
19366::
19316:.
19309:)
19301:1
19296:0
19291:0
19286:0
19279:0
19274:0
19269:1
19264:0
19257:0
19252:1
19247:0
19242:0
19235:0
19230:0
19225:0
19220:1
19212:(
19194:.
19182:)
19179:2
19175:/
19171:b
19159:2
19155:/
19151:a
19136:n
19121:m
19112:1
19109:(
19105:/
19101:)
19098:2
19094:/
19090:b
19078:2
19074:/
19070:a
19055:n
19040:m
19031:2
19027:/
19023:b
19008:m
19002:+
18999:2
18995:/
18991:a
18976:n
18970:(
18967:=
18964:2
18960:/
18956:c
18941:k
18924:c
18922:,
18920:b
18918:,
18916:a
18865:.
18860:3
18855:R
18829:)
18825:C
18821:(
18816:2
18810:M
18801:)
18796:3
18791:R
18783:)
18779:C
18775:(
18770:2
18764:M
18758:(
18750:3
18745:R
18740::
18711:3
18706:R
18698:)
18694:C
18690:(
18685:2
18679:M
18659:.
18653:i
18649:)
18643:σ
18634:)
18486:.
18481:]
18466:,
18451:[
18444:2
18441:i
18436:=
18401:Σ
18384:.
18379:)
18373:0
18366:k
18348:k
18334:0
18328:(
18323:=
18318:k
18292:k
18290:α
18273:,
18265:k
18248:k
18245:0
18234:i
18208:.
18203:j
18186:k
18183:j
18167:k
18141:Σ
18130:Σ
18111:k
18077:k
18075:σ
18056:k
18021:.
18016:)
18008:k
17994:0
17987:0
17980:k
17965:(
17960:=
17955:k
17917:n
17911:n
17909:G
17882:j
17860:σ
17853:2
17850:/
17846:ħ
17837:J
17830:2
17826:1
17810:,
17808:S
17799:π
17794:2
17790:1
17769:2
17765:1
17750:(
17742:j
17733:2
17729:1
17685:.
17680:2
17664:x
17655:i
17652:+
17647:2
17631:1
17627:=
17618:Q
17604:θ
17600:x
17594:θ
17592:Q
17574:.
17569:z
17560:z
17557:+
17552:y
17543:y
17540:+
17535:x
17526:x
17523:=
17499:x
17493:=
17490:P
17461:x
17448:P
17409:U
17389:H
17378:U
17357:.
17349:1
17340:i
17333:k
17328:,
17322:2
17313:i
17306:j
17301:,
17295:3
17286:i
17279:i
17274:,
17271:I
17264:1
17238:.
17233:3
17224:i
17218:=
17213:2
17203:1
17188:k
17183:,
17178:2
17169:i
17163:=
17158:1
17148:3
17133:j
17128:,
17123:1
17114:i
17108:=
17103:3
17093:2
17078:i
17073:,
17070:I
17063:1
17041:H
17020:.
17016:}
17010:k
17005:,
17001:j
16996:,
16992:i
16987:,
16983:1
16977:{
16955:H
16940:}
16938:3
16931:2
16924:1
16917:I
16915:{
16855:)
16852:3
16849:(
16844:o
16841:s
16819:)
16816:2
16813:(
16808:u
16805:s
16787:j
16758:)
16755:3
16752:(
16747:o
16744:s
16718:)
16715:2
16712:(
16707:u
16704:s
16667:.
16663:}
16657:2
16650:3
16641:i
16634:,
16629:2
16622:2
16613:i
16606:,
16601:2
16594:1
16585:i
16577:{
16567:=
16564:)
16561:2
16558:(
16553:u
16550:s
16535:,
16530:2
16527:/
16524:1
16517:λ
16498:j
16478:.
16475:}
16469:3
16460:i
16456:,
16450:2
16441:i
16437:,
16431:1
16422:i
16418:{
16409:=
16406:)
16403:2
16400:(
16395:u
16392:s
16377:}
16374:k
16370:{
16350:2
16344:u
16341:s
16281:.
16274:)
16270:1
16267:+
16262:k
16240:j
16222:(
16215:2
16212:1
16207:=
16202:k
16199:j
16195:P
16164:.
16154:j
16144:k
16135:|
16131:=
16121:k
16111:j
16102:|
16096:k
16093:j
16089:P
16076:,
16060:2
16055:C
16045:2
16040:C
16019:k
16017:σ
16010:j
16008:σ
15995:P
15966:)
15959:)
15954:2
15942:(
15926:i
15923:+
15919:e
15912:)
15907:2
15895:(
15882:(
15856:)
15849:)
15844:2
15832:(
15823:2
15812:)
15807:2
15795:(
15784:)
15779:2
15767:(
15751:i
15748:+
15744:e
15735:)
15730:2
15718:(
15707:)
15702:2
15690:(
15674:i
15667:e
15660:)
15655:2
15643:(
15634:2
15623:(
15618:=
15614:)
15589:a
15583:+
15579:1
15574:(
15567:2
15564:1
15537:,
15532:)
15474:(
15469:=
15460:a
15444:1
15437:}
15435:3
15432:σ
15428:2
15425:σ
15421:1
15418:σ
15414:0
15411:σ
15409:{
15377:.
15343:2
15340:=
15335:k
15316:k
15298:3
15293:0
15290:=
15287:k
15272:.
15267:δ
15260:σ
15255:,
15253:0
15250:σ
15238:M
15234:δ
15230:γ
15213:,
15198:M
15191:k
15172:k
15154:k
15146:+
15134:M
15116:=
15104:M
15099:2
15075:,
15069:M
15064:k
15049:k
15039:k
15031:+
15028:M
15020:I
15017:=
15010:M
15006:2
14986:.
14983:M
14977:k
14961:2
14958:1
14952:=
14943:k
14939:a
14929:,
14925:M
14914:2
14911:1
14903:=
14896:c
14862:k
14859:j
14850:2
14847:=
14843:)
14837:k
14826:j
14817:(
14800:a
14796:c
14780:k
14769:k
14765:a
14759:k
14751:+
14748:I
14744:c
14741:=
14738:M
14728:M
14720:I
14699:.
14638:2
14635:=
14630:k
14611:k
14593:3
14588:1
14585:=
14582:k
14508:.
14498:k
14494:β
14490:α
14486:k
14456:z
14448:=
14444:)
14419:y
14412:(
14399:x
14393:=
14387:)
14382:2
14374:(
14366:y
14362:R
14355:x
14343:)
14337:2
14325:(
14317:y
14313:R
14290:.
14284:)
14281:)
14278:a
14275:(
14263:1
14260:(
14233:n
14218:n
14212:+
14209:)
14206:a
14203:(
14170:n
14164:+
14161:)
14158:a
14155:(
14134:=
14128:)
14103:n
14096:(
14090:2
14087:a
14082:i
14075:e
14050:)
14025:n
14018:(
14012:2
14009:a
14004:i
14000:e
13996:=
13993:)
13990:a
13987:(
13982:n
13978:R
13956:)
13953:a
13947:(
13942:n
13938:R
13911:n
13888:a
13855:c
13834:k
13805:m
13776:n
13751:.
13747:)
13727:)
13723:b
13714:a
13696:m
13681:n
13672:a
13663:b
13648:m
13642:+
13639:b
13630:a
13615:n
13608:(
13601:c
13591:c
13586:i
13582:(
13572:=
13546:k
13540:c
13537:i
13533:e
13504:.
13500:)
13496:b
13487:a
13472:m
13457:n
13448:a
13439:b
13424:m
13418:+
13415:b
13406:a
13391:n
13384:(
13377:c
13367:1
13362:=
13353:k
13340:c
13322:,
13316:b
13307:a
13292:m
13277:n
13268:b
13259:a
13250:=
13247:c
13215:,
13209:)
13184:k
13177:(
13173:c
13170:i
13166:e
13162:=
13152:c
13142:)
13117:k
13110:(
13106:i
13103:+
13099:c
13089:I
13086:=
13060:)
13056:b
13047:a
13029:m
13014:n
13005:a
12996:b
12981:m
12975:+
12972:b
12963:a
12948:n
12941:(
12937:i
12934:+
12930:)
12926:b
12917:a
12902:m
12887:n
12878:b
12869:a
12859:(
12855:I
12852:=
12842:)
12817:m
12810:(
12806:b
12803:i
12799:e
12792:)
12767:n
12760:(
12756:a
12753:i
12749:e
12734:c
12699:.
12694:2
12690:)
12687:a
12681:(
12678:f
12672:)
12669:a
12666:(
12663:f
12636:n
12630:+
12625:2
12621:)
12618:a
12612:(
12609:f
12606:+
12603:)
12600:a
12597:(
12594:f
12588:I
12585:=
12582:)
12579:)
12555:n
12549:(
12546:a
12543:(
12540:f
12523:a
12519:a
12485:1
12479:,
12465:2
12461:a
12457:=
12454:]
12451:)
12427:n
12421:(
12418:a
12415:i
12412:[
12376:)
12374:2
12372:(
12346:a
12336:)
12312:n
12306:(
12303:i
12300:+
12296:a
12286:I
12283:=
12277:)
12252:n
12245:(
12241:a
12238:i
12234:e
12208:.
12189:!
12186:)
12183:1
12180:+
12177:q
12174:2
12171:(
12164:1
12161:+
12158:q
12155:2
12151:a
12145:q
12141:)
12137:1
12131:(
12118:0
12115:=
12112:q
12104:)
12080:n
12074:(
12071:i
12068:+
12062:!
12059:)
12056:p
12053:2
12050:(
12043:p
12040:2
12036:a
12030:p
12026:)
12022:1
12016:(
12003:0
12000:=
11997:p
11989:I
11986:=
11973:!
11970:)
11967:1
11964:+
11961:q
11958:2
11955:(
11948:1
11945:+
11942:q
11939:2
11935:)
11910:n
11904:a
11901:(
11896:q
11892:)
11888:1
11882:(
11869:0
11866:=
11863:q
11855:i
11852:+
11846:!
11843:)
11840:p
11837:2
11834:(
11827:p
11824:2
11820:)
11795:n
11789:a
11786:(
11781:p
11777:)
11773:1
11767:(
11754:0
11751:=
11748:p
11740:=
11727:!
11724:k
11717:k
11712:]
11707:)
11682:n
11675:(
11671:a
11667:[
11660:k
11656:i
11642:0
11639:=
11636:k
11628:=
11618:)
11593:n
11586:(
11582:a
11579:i
11575:e
11537:.
11512:n
11506:=
11501:1
11498:+
11495:q
11492:2
11487:)
11462:n
11455:(
11439:q
11435:q
11433:2
11426:I
11420:p
11413:p
11395:,
11392:I
11389:=
11384:p
11381:2
11377:)
11352:n
11346:(
11332:p
11328:p
11326:2
11309:,
11306:1
11303:=
11299:|
11289:n
11282:|
11277:,
11268:n
11262:a
11259:=
11250:a
11210:)
11201:(
11186:}
11184:z
11180:y
11176:x
11170:μ
11165:γ
11161:β
11157:α
11131:0
11112:0
11102:)
11087:(
11079:i
11076:2
11073:+
11065:0
11052:0
11039:0
11026:0
11018:8
11011:)
11002:0
10989:0
10968:+
10960:0
10947:0
10925:(
10921:4
10918:+
10914:)
10884:+
10825:(
10821:2
10818:=
10810:)
10765:(
10740:0
10732:i
10729:2
10726:+
10718:0
10705:0
10692:0
10684:4
10673:0
10650:)
10638:(
10630:2
10627:=
10619:)
10584:(
10557:2
10554:=
10546:)
10521:(
10502:0
10494:2
10491:=
10483:)
10470:(
10446:I
10442:0
10439:σ
10416:)
10407:k
10397:m
10394:j
10386:+
10381:m
10378:k
10365:j
10352:m
10339:k
10336:j
10327:(
10323:2
10320:=
10312:)
10306:m
10286:k
10276:j
10267:(
10248:k
10245:j
10237:i
10234:2
10231:=
10223:)
10207:k
10197:j
10188:(
10172:k
10169:j
10161:2
10158:=
10150:)
10144:k
10134:j
10125:(
10111:0
10108:=
10100:)
10095:j
10087:(
10044:2
10029:i
10026:=
10021:2
10001:2
9968:J
9961:i
9958:=
9954:J
9946:J
9933:J
9925:σ
9918:2
9915:/
9911:ħ
9902:J
9883:b
9877:a
9874:+
9871:b
9865:a
9853:z
9851:σ
9849:y
9847:σ
9845:x
9843:σ
9838:i
9829:)
9827:1
9825:(
9783:)
9772:b
9757:a
9749:(
9744:i
9741:+
9738:I
9732:)
9721:b
9706:a
9698:(
9693:=
9688:)
9662:b
9654:(
9647:)
9621:a
9613:(
9564:.
9557:I
9552:k
9549:j
9539:k
9535:b
9529:j
9525:a
9521:+
9506:k
9502:b
9496:j
9492:a
9482:k
9479:j
9471:i
9468:=
9459:k
9449:k
9445:b
9439:j
9429:j
9425:a
9416:)
9412:I
9407:k
9404:j
9396:+
9377:k
9374:j
9366:i
9362:(
9356:k
9352:b
9346:j
9342:a
9338:=
9329:k
9319:j
9309:k
9305:b
9299:j
9295:a
9269:q
9267:b
9260:p
9258:a
9251:q
9249:σ
9244:)
9241:p
9239:a
9237:q
9235:σ
9230:q
9228:σ
9226:p
9224:a
9217:q
9215:b
9208:p
9206:a
9201:3
9178:.
9156:k
9153:j
9145:i
9142:+
9139:I
9134:k
9131:j
9123:=
9118:k
9108:j
9065:k
9055:j
9047:2
9044:=
9037:I
9032:k
9029:j
9021:2
9018:+
8999:k
8996:j
8988:i
8985:2
8978:)
8973:j
8963:k
8955:+
8950:k
8940:j
8932:(
8929:+
8926:)
8921:j
8911:k
8898:k
8888:j
8880:(
8877:=
8870:}
8865:k
8857:,
8852:j
8844:{
8841:+
8837:]
8831:k
8823:,
8818:j
8809:[
8774:.
8771:)
8768:x
8765:,
8762:x
8759:(
8753:=
8750:)
8737:(
8729:2
8720:x
8689:,
8683:2
8677:2
8654:.
8650:)
8630:x
8625:(
8608:=
8604:)
8584:x
8569:(
8545:,
8506:B
8503:,
8500:A
8474:.
8471:)
8468:B
8465:A
8462:(
8450:)
8447:B
8444:(
8435:)
8432:A
8429:(
8420:+
8417:)
8414:B
8411:(
8405:+
8402:)
8399:A
8396:(
8390:=
8387:)
8384:B
8381:+
8378:A
8375:(
8346:2
8340:2
8317:.
8281:.
8277:)
8267:S
8253:S
8230:(
8217:2
8214:1
8208:=
8190:)
8186:S
8183:(
8154:)
8150:C
8146:,
8143:2
8140:(
8136:L
8133:S
8126:S
8103:.
8100:)
8097:3
8094:,
8091:1
8088:(
8084:n
8081:i
8078:p
8075:S
8068:)
8064:C
8060:,
8057:2
8054:(
8050:L
8047:S
8023:,
8017:)
8013:C
8009:,
8006:2
8003:(
7999:L
7996:S
7972:;
7964:3
7961:,
7958:1
7953:R
7926:.
7921:)
7914:)
7893:x
7887:(
7861:(
7847:2
7844:1
7838:=
7829:x
7805:.
7802:)
7784:,
7781:I
7778:(
7775:=
7730:.
7727:)
7724:x
7721:,
7718:x
7715:(
7709:=
7706:)
7687:x
7683:(
7646:,
7624:x
7611:x
7585:3
7582:,
7579:1
7574:R
7549:.
7546:)
7531:,
7528:I
7525:(
7522:=
7448:)
7445:)
7442:2
7438:/
7431:(
7422:,
7419:)
7413:i
7407:(
7398:)
7395:2
7391:/
7384:(
7372:(
7369:=
7339:)
7336:)
7330:i
7327:(
7318:)
7315:2
7311:/
7304:(
7295:,
7292:)
7289:2
7285:/
7278:(
7269:(
7266:=
7261:+
7236:)
7224:,
7203:,
7182:(
7179:a
7176:=
7167:a
7139:z
7114:0
7088:)
7085:)
7082:2
7078:/
7072:2
7061:1
7058:(
7052:,
7049:0
7046:,
7040:(
7036:|
7027:a
7021:|
7017:=
7008:a
6984:|
6975:a
6969:|
6957:3
6953:a
6932:.
6924:]
6917:|
6907:a
6900:|
6896:+
6891:3
6887:a
6877:1
6873:a
6864:2
6860:a
6856:i
6850:[
6842:)
6838:|
6828:a
6821:|
6817:+
6812:3
6808:a
6804:(
6800:|
6790:a
6783:|
6779:2
6775:1
6770:=
6756:;
6751:]
6743:2
6739:a
6735:i
6732:+
6727:1
6723:a
6714:|
6705:a
6699:|
6695:+
6690:3
6686:a
6679:[
6663:)
6659:|
6650:a
6644:|
6640:+
6635:3
6631:a
6627:(
6620:|
6611:a
6605:|
6601:2
6595:1
6590:=
6585:+
6533:a
6507:.
6503:|
6493:a
6486:|
6435:a
6406:=
6403:)
6399:|
6389:a
6382:|
6378:+
6354:a
6348:(
6345:)
6341:|
6331:a
6324:|
6296:a
6290:(
6267:,
6261:0
6258:=
6253:2
6248:|
6237:a
6230:|
6221:2
6217:)
6192:a
6186:(
6160:.
6156:|
6146:a
6139:|
6088:a
6045:3
6040:R
6018:.
6000:)
5991:b
5976:a
5970:(
5966:i
5963:2
5960:=
5957:]
5933:b
5927:,
5903:a
5897:[
5877:i
5874:2
5846:.
5842:)
5836:1
5829:U
5823:j
5815:U
5810:i
5801:(
5789:2
5786:1
5781:=
5776:j
5773:i
5769:)
5765:U
5762:(
5759:R
5736:)
5733:U
5730:(
5727:R
5707:.
5704:)
5701:3
5698:(
5694:n
5691:i
5688:p
5685:S
5678:)
5675:2
5672:(
5647:,
5644:)
5641:2
5638:(
5634:U
5631:S
5610:)
5607:3
5604:(
5600:O
5597:S
5576:.
5573:)
5570:3
5567:(
5563:O
5560:S
5553:)
5550:U
5547:(
5544:R
5521:,
5503:)
5494:a
5485:)
5482:U
5479:(
5476:R
5473:(
5442:a
5435:=
5411:a
5402:U
5379:)
5376:3
5373:(
5369:O
5366:S
5359:)
5356:2
5353:(
5349:U
5346:S
5342::
5339:R
5319:U
5295:U
5275:,
5266:a
5233:a
5209:,
5181:a
5174:=
5150:a
5141:U
5100:a
5091:U
5071:,
5068:)
5044:a
5038:(
5032:=
5029:)
5005:a
4996:U
4993:(
4967:,
4962:1
4955:U
4929:a
4922:U
4895:a
4886:U
4863:U
4843:)
4840:2
4837:(
4812:.
4807:2
4802:|
4791:a
4784:|
4777:=
4768:a
4753:a
4744:=
4739:)
4713:a
4705:(
4651:a
4636:a
4613:.
4604:a
4598:=
4593:)
4574:)
4548:a
4540:(
4533:(
4520:2
4517:1
4485:a
4455:.
4431:a
4416:a
4387:)
4381:3
4376:R
4371:(
4365:)
4361:C
4357:(
4352:2
4346:2
4319:2
4313:2
4284:3
4279:R
4257:2
4251:2
4229:3
4224:R
4191:,
4186:)
4178:3
4174:a
4163:2
4159:a
4155:i
4152:+
4147:1
4143:a
4133:2
4129:a
4125:i
4117:1
4113:a
4105:3
4101:a
4094:(
4089:=
4084:)
4078:1
4070:0
4063:0
4058:1
4052:(
4045:3
4041:a
4037:+
4032:)
4026:0
4021:i
4014:i
4006:0
4000:(
3993:2
3989:a
3985:+
3980:)
3974:0
3969:1
3962:1
3957:0
3951:(
3944:1
3940:a
3936:=
3924:k
3913:k
3909:a
3905:=
3897:k
3875:k
3871:a
3867:=
3845:x
3833:k
3823:x
3802:k
3798:a
3794:=
3791:)
3776:x
3758:(
3752:)
3747:k
3737:x
3727:k
3723:a
3719:(
3716:=
3688:a
3652:z
3623:y
3594:x
3569:3
3559:x
3533:2
3523:x
3497:1
3487:x
3463:,
3458:3
3448:x
3439:3
3431:+
3426:2
3416:x
3407:2
3399:+
3394:1
3384:x
3375:1
3367:=
3323:.
3318:]
3312:1
3305:0
3299:[
3294:=
3282:z
3272:,
3267:]
3261:0
3254:1
3248:[
3243:=
3234:+
3231:z
3219:,
3214:]
3208:i
3198:1
3192:[
3184:2
3180:1
3175:=
3163:y
3153:,
3148:]
3142:i
3135:1
3129:[
3121:2
3117:1
3112:=
3103:+
3100:y
3088:,
3083:]
3077:1
3067:1
3061:[
3053:2
3049:1
3044:=
3032:x
3022:,
3017:]
3011:1
3004:1
2998:[
2990:2
2986:1
2981:=
2972:+
2969:x
2900:0
2897:=
2889:}
2883:1
2875:,
2870:3
2861:{
2853:0
2850:=
2842:}
2836:3
2828:,
2823:2
2814:{
2806:0
2803:=
2795:}
2789:2
2781:,
2776:1
2767:{
2759:I
2756:2
2753:=
2745:}
2739:1
2731:,
2726:1
2717:{
2684:2
2676:i
2673:2
2670:=
2662:]
2656:1
2648:,
2643:3
2634:[
2624:1
2616:i
2613:2
2610:=
2602:]
2596:3
2588:,
2583:2
2574:[
2564:3
2556:i
2553:2
2550:=
2542:]
2536:2
2528:,
2523:1
2514:[
2506:0
2503:=
2495:]
2489:1
2481:,
2476:1
2467:[
2426:)
2423:3
2420:(
2415:o
2412:s
2390:]
2385:k
2377:,
2372:j
2364:[
2358:4
2355:1
2349:=
2344:k
2341:j
2314:.
2311:)
2307:R
2303:(
2298:3
2293:l
2290:C
2268:,
2263:3
2258:R
2235:I
2223:δ
2208:,
2203:j
2193:k
2185:+
2180:k
2170:j
2145:}
2140:k
2132:,
2127:j
2119:{
2096:,
2093:I
2087:k
2084:j
2076:2
2073:=
2070:}
2065:k
2057:,
2052:j
2044:{
2010:.
2007:)
2004:3
2001:(
1996:o
1993:s
1985:)
1982:2
1979:(
1974:u
1971:s
1963:)
1957:,
1952:3
1947:R
1942:(
1917:ε
1896:,
1891:l
1880:l
1877:k
1874:j
1866:i
1863:2
1860:=
1857:]
1852:k
1844:,
1839:j
1831:[
1790:C
1762:)
1758:C
1754:(
1749:2
1746:,
1743:2
1737:M
1713:R
1686:2
1680:H
1659:0
1656:σ
1651:I
1639:j
1637:σ
1616:,
1613:0
1610:=
1601:j
1583:,
1580:1
1574:=
1565:j
1525:I
1508:,
1505:I
1502:=
1497:)
1491:1
1486:0
1479:0
1474:1
1468:(
1463:=
1458:3
1448:2
1438:1
1429:i
1423:=
1418:2
1413:3
1405:=
1400:2
1395:2
1387:=
1382:2
1377:1
1348:j
1342:k
1338:j
1322:δ
1312:i
1294:,
1289:)
1281:3
1278:j
1263:2
1260:j
1251:i
1248:+
1243:1
1240:j
1226:2
1223:j
1214:i
1206:1
1203:j
1191:3
1188:j
1177:(
1172:=
1167:j
1134:I
1111:x
1103:i
1077:y
1069:i
1046:z
1016:x
1008:i
987:I
964:z
956:i
930:y
900:y
892:i
866:z
858:i
837:I
814:x
784:z
756:y
728:x
683:H
674:(
663:3
656:2
649:1
627:,
622:3
617:R
596:3
593:σ
589:2
586:σ
582:1
579:σ
552:)
549:2
546:(
541:u
538:s
525:3
518:2
511:1
495:i
479:.
474:3
469:R
454:k
449:k
447:σ
398:0
395:σ
390:I
343:.
338:)
332:1
324:0
317:0
312:1
306:(
301:=
292:z
284:=
279:3
267:,
262:)
256:0
251:i
244:i
236:0
230:(
225:=
216:y
208:=
203:2
191:,
186:)
180:0
175:1
168:1
163:0
157:(
152:=
143:x
135:=
130:1
107:τ
105:(
99:σ
97:(
51:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
