5022:
4556:
5017:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}
4057:
10587:
9293:
6625:
12254:
8751:
3821:
12719:
10307:
8969:
9540:
6382:
12019:
11022:
8068:
4052:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}
8348:
8953:
8483:
9819:
7199:
6146:
12473:
4485:
6359:
10582:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}}
9288:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}
6620:{\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}
9310:
12249:{\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}
11336:
10821:
10289:
12425:
11456:
2825:
10829:
7888:
8746:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}
8134:
8759:
6833:
9564:
6994:
7204:
A further property of a
Hermitian operator is that eigenfunctions corresponding to different eigenvalues are orthogonal. In matrix form, operators allow real eigenvalues to be found, corresponding to measurements. Orthogonality allows a suitable basis set of vectors to represent the state of the
5991:
12714:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}
5699:
11628:
5704:
It shows that measurement of A and B does not cause any shift of state, i.e., initial and final states are same (no disturbance due to measurement). Suppose we measure A to get value a. We then measure B to get the value b. We measure A again. We still get the same value a. Clearly the state
4263:
8462:
6161:
9535:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}
11107:
10659:
10113:
12265:
11342:
2668:
7828:
2453:
2297:
11017:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
8063:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}
6983:
8343:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}
9898:
8948:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}
2920:
9814:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!}
7194:{\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}
6708:
2044:
6141:{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}
885:
827:
4203:
3439:
1617:
5862:
4480:{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}
11084:
5519:
5346:
11475:
7631:
11831:
7449:
5871:
is an eigenfunction the above relation holds. Notable pairs are position-and-momentum and energy-and-time uncertainty relations, and the angular momenta (spin, orbital and total) about any two orthogonal axes (such as
8365:
7378:
1869:
10640:
10052:
3177:
11930:
11756:
6354:{\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}
3320:
1008:
966:
8488:
518:
717:
655:
5216:
3038:
9977:
7279:
273:
1221:
11676:
1175:
8118:
11331:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}
10816:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}
10284:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!}
214:
12420:{\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}
5954:
1104:
1070:
11987:
11451:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}
7868:
1695:
549:
12478:
11480:
11347:
11112:
10834:
10664:
10312:
10118:
9569:
9315:
8974:
8764:
8370:
8139:
7893:
7737:
6387:
5524:
4561:
3826:
2607:. The probability of each eigenvalue is related to the projection of the physical state on the subspace related to that eigenvalue. See below for mathematical details about Hermitian operators.
1270:
7683:
6697:
4546:
769:
2820:{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }
4088:
2128:
1306:
3624:
411:
7732:
12461:
3253:
3100:
2966:
5779:
110:
10092:
1487:
7525:
924:
479:
3368:
5438:
1357:
3474:
3207:
2143:
1513:
11867:
7486:
5983:
5507:
5478:
5105:
5076:
3810:
3769:
3740:
3687:
3577:
3532:
6894:
2530:
1400:
4107:
Due to linearity, vectors can be defined in any number of dimensions, as each component of the vector acts on the function separately. One mathematical example is the
593:
154:
1892:
2491:
4249:
6902:
2308:
7636:
If an operator has no inverse, it is a singular operator. In a finite-dimensional space, an operator is non-singular if and only if its determinant is nonzero:
1932:
1912:
1757:
1718:
1420:
1380:
1132:
1036:
9828:
6828:{\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}
2836:
13070:
1940:
5694:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}
3261:
833:
775:
11623:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}}
4124:
5794:
11040:
5231:
2974:
7533:
11771:
8457:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!}
7389:
1521:
12434:
is an eigenfunction, then each component of the momentum operator will have an eigenvalue corresponding to that component of momentum. Acting
7305:
3381:
2637:, and the operators can be represented as matrices. Any other symmetry, mapping a physical state into another, should keep this restriction.
2552:
1765:
13018:
10593:
7696:
The operators used in quantum mechanics are collected in the table below (see for example). The bold-face vectors with circumflexes are not
10002:
3120:
11879:
12763:
Molecular
Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to Quantum Chemistry (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977,
11705:
972:
930:
12862:
485:
661:
599:
5113:
9918:
7215:
226:
1181:
11634:
6865:
An operator can be written in matrix form to map one basis vector to another. Since the operators are linear, the matrix is a
1138:
12976:
8077:
5912:
7205:
quantum system. The eigenvalues of the operator are also evaluated in the same way as for the square matrix, by solving the
166:
5922:
2603:, since they are values which may come up as the result of the experiment. Mathematically this means the operators must be
1076:
1042:
11945:
7834:
2535:
The mathematical properties of physical operators are a topic of great importance in itself. For further information, see
1628:
524:
13096:
1231:
7642:
1423:
6651:
12821:
12768:
4493:
730:
2611:
12997:
3771:, and the observable does not have a single definite value in that case. Instead, measurements of the observable
13065:
12855:
5709:) of the system is not destroyed and so we are able to measure A and B simultaneously with infinite precision.
4065:
2055:
1282:
7823:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}}
5915:(equivalently the average or mean value) is the average measurement of an observable, for particle in region
3585:
339:
59:
In classical mechanics, the movement of a particle (or system of particles) is completely determined by the
13126:
3636:
1733:
13028:
12437:
2615:
2540:
3223:
3070:
2936:
5718:
2614:
formulation of QM, the wavefunction varies with space and time, or equivalently momentum and time (see
65:
10060:
1432:
1426:. Again, as a simple example, we will derive the generator of the space translations on 1D functions.
13023:
12848:
10300:
7491:
7206:
898:
555:
453:
306:
changes, the corresponding momenta conjugate to those coordinates will be conserved (this is part of
3345:
2292:{\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}
13121:
13044:
11695:
The procedure for extracting information from a wave function is as follows. Consider the momentum
11467:
5377:
1330:
3444:
3182:
12934:
12731:
12430:
The process of finding eigenvalues is the same. Since this is a vector and operator equation, if
2592:, i.e., any quantity which can be measured in a physical experiment, should be associated with a
1492:
891:
157:
11843:
7462:
5959:
5483:
5454:
5081:
5052:
3786:
3745:
3716:
3663:
3553:
3508:
12892:
6872:
4111:, which is itself a vector (useful in momentum-related quantum operators, in the table below).
2634:
2496:
1385:
446:
24:
2133:
To be convinced of the validity of this formal expression, we may expand the exponential in a
562:
118:
13060:
12736:
6866:
6636:
2619:
1877:
723:
113:
28:
6978:{\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}
2461:
12789:
10104:
5785:
4227:
3494:
3371:
2448:{\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }
1732:
The whole group may be recovered, under normal circumstances, from the generators, via the
307:
60:
11699:
of a particle as an example. The momentum operator in position basis in one dimension is:
302:
is changed, which in turn means the dynamics of the particle are still the same even when
35:
another space of states. The simplest example of the utility of operators is the study of
8:
9893:{\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!}
326:
44:
40:
36:
12793:
3639:
of the operator, corresponding to the measured value of the observable, i.e. observable
2915:{\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}
6642:
3777:
will yield each eigenvalue with a certain probability (related to the decomposition of
3114:
2630:
2582:
1917:
1897:
1742:
1703:
1405:
1365:
1117:
1021:
315:
32:
12971:
12966:
12817:
12764:
9557:
7879:
7725:
6853:
2652:
2039:{\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}
217:
48:
13075:
12897:
12797:
9303:
8354:
2626:
2604:
2563:
1014:
12832:
5513:
is then said to be the simultaneous eigenfunction of A and B. To illustrate this:
880:{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p} }
822:{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r} }
13091:
12992:
12939:
12780:
Ballentine, L. E. (1970), "The
Statistical Interpretation of Quantum Mechanics",
9989:
7296:
4198:{\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}
3535:
3210:
2596:
1724:
operator. Thus, it is said that the generator of translations is the derivative.
1273:
7299:, as an operator it corresponds to the identity operator. For a discrete basis:
5857:{\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \rangle \right|}
1720:
is the generator of the translation group, which in this case happens to be the
13002:
12902:
11079:{\displaystyle \mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!}
11027:
10651:
8474:
5784:
they cannot be prepared simultaneously to arbitrary precision, and there is an
5341:{\displaystyle \left\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}
2574:
2567:
12801:
7626:{\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}
13115:
11826:{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}
7444:{\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }
3490:
2633:
of the physical state should stay fixed, so the evolution operator should be
2570:
1321:
7700:, they are 3-vector operators; all three spatial components taken together.
5451:
can be measured simultaneously with infinite precision, i.e., uncertainties
1612:{\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}
11936:
4108:
2646:
2593:
2578:
2134:
5221:
The commutator is itself a (composite) operator. Acting the commutator on
1759:
may be obtained by repeated application of the infinitesimal translation:
7697:
4091:
3477:
1277:
7373:{\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}
12918:
12840:
6846:
5036:
3434:{\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}
3110:
2600:
2589:
2559:
2536:
1864:{\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}
1110:
10635:{\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla }
51:, where they form an intrinsic part of the formulation of the theory.
12816:
Quantum
Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006,
11992:
In
Cartesian coordinates (using the standard Cartesian basis vectors
10047:{\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!}
3172:{\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}
2969:
1934:
is large, each of the factors may be considered to be infinitesimal:
318:). Operators in classical mechanics are related to these symmetries.
12812:
12810:
11925:{\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}
421:
are physical operators, which map physical states among themselves.
11031:
4095:
3378:. In this case, the inner product of two eigenstates is defined as
3256:
2656:
43:
useful in this context). Because of this, they are useful tools in
11751:{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
3315:{\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }
1003:{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v} }
961:{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}
12807:
3117:. In this case, the inner product of two eigenstates is given by
513:{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a} }
3544:(such as position, momentum, energy, angular momentum etc.). If
712:{\displaystyle \mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})}
650:{\displaystyle \mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})}
5211:{\displaystyle \left={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
3033:{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }
310:, and the invariance of motion with respect to the coordinate
9972:{\displaystyle {\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!}
1736:. In the case of the translations the idea works like this.
7688:
and hence the determinant is zero for a singular operator.
7274:{\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}
4217:
are basis vectors corresponding to each component operator
1422:
will depend on the transformation at hand, and is called a
268:{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}
6869:(aka transition matrix) between bases. Each basis element
16:
Function acting on the space of physical states in physics
11690:
1216:{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}
424:
12759:
12757:
12755:
12753:
11671:{\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }
1170:{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)}
11091:
is the vector whose components are the Pauli matrices.
8113:{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!}
5903:
4224:. Each component will yield a corresponding eigenvalue
10976:
10916:
10859:
7018:
3695:) will be observed if a measurement of the observable
209:{\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}
12750:
12476:
12440:
12268:
12022:
11948:
11882:
11846:
11774:
11708:
11637:
11478:
11345:
11110:
11043:
10832:
10662:
10596:
10310:
10116:
10063:
10005:
9921:
9831:
9567:
9313:
8972:
8762:
8486:
8368:
8137:
8080:
7891:
7837:
7735:
7645:
7536:
7494:
7465:
7392:
7308:
7218:
6997:
6905:
6875:
6838:
Important properties of
Hermitian operators include:
6711:
6654:
6385:
6164:
5994:
5962:
5949:{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }
5925:
5797:
5721:
5522:
5486:
5457:
5380:
5234:
5116:
5084:
5055:
4559:
4496:
4266:
4230:
4127:
4068:
3824:
3789:
3748:
3719:
3666:
3588:
3556:
3511:
3484:
3447:
3384:
3348:
3264:
3226:
3185:
3123:
3073:
2977:
2939:
2839:
2671:
2499:
2464:
2311:
2146:
2058:
1943:
1920:
1900:
1880:
1768:
1745:
1706:
1631:
1524:
1495:
1435:
1408:
1388:
1368:
1333:
1285:
1234:
1184:
1141:
1120:
1099:{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} }
1079:
1065:{\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }
1045:
1024:
975:
933:
901:
836:
778:
733:
664:
602:
565:
527:
488:
456:
342:
229:
169:
121:
68:
11982:{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}
11935:
For three dimensions the momentum operator uses the
7863:{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!}
1690:{\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}
544:{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} }
11873:is the value of the particle's momentum, found by:
2566:(probabilities are normalized to one) in a special
2049:But this limit may be rewritten as an exponential:
1265:{\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}
54:
12713:
12455:
12419:
12248:
11981:
11924:
11861:
11825:
11750:
11670:
11622:
11450:
11330:
11078:
11016:
10815:
10634:
10581:
10283:
10086:
10046:
9971:
9892:
9813:
9534:
9287:
8947:
8745:
8456:
8342:
8112:
8062:
7862:
7822:
7678:{\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}
7677:
7625:
7519:
7480:
7443:
7372:
7273:
7193:
6977:
6888:
6827:
6691:
6619:
6353:
6140:
5977:
5948:
5856:
5773:
5693:
5501:
5472:
5432:
5340:
5210:
5099:
5070:
5016:
4540:
4479:
4243:
4197:
4082:
4051:
3804:
3763:
3734:
3681:
3618:
3571:
3526:
3468:
3433:
3362:
3314:
3247:
3201:
3171:
3094:
3032:
2960:
2914:
2819:
2524:
2485:
2447:
2291:
2122:
2038:
1926:
1906:
1886:
1863:
1751:
1712:
1689:
1611:
1507:
1481:
1414:
1394:
1374:
1351:
1300:
1264:
1215:
1169:
1126:
1098:
1064:
1030:
1002:
960:
918:
879:
821:
763:
711:
649:
587:
543:
512:
473:
405:
267:
208:
148:
104:
12710:
12447:
12416:
11955:
11662:
11644:
11390:
11375:
11356:
11075:
11050:
10603:
10280:
10213:
10198:
10083:
10043:
9968:
9889:
9871:
9856:
9810:
9531:
9373:
9358:
9284:
8944:
8822:
8807:
8453:
8398:
8379:
8109:
8087:
7859:
7844:
6616:
4671:
4617:
4588:
4570:
4273:
4134:
2546:
857:
799:
746:
13113:
7646:
7219:
6896:can be connected to another, by the expression:
6860:
6692:{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}
5027:
2925:Two cases of eigenstates (and eigenvalues) are:
1970:
1795:
6376:, i.e. squaring an operator or doing it twice:
4541:{\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}
2555:(QM) is built upon the concept of an operator.
3815:In bra–ket notation the above can be written;
3505:be the wavefunction for a quantum system, and
3342:(φ) is the probability of measuring the state
764:{\displaystyle R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )}
12856:
12773:
2553:mathematical formulation of quantum mechanics
7422:
7419:
7352:
7349:
6852:eigenvectors can be chosen to be a complete
6845:eigenvectors with different eigenvalues are
5846:
5828:
5371:respectively, and if the operators commute:
3402:
3396:
3385:
3357:
3309:
3273:
3255:forming a continuous basis, any state is an
3242:
3150:
3137:
3124:
3089:
3027:
2986:
2968:forming a discrete basis, so any state is a
2955:
1324:, the operator action should be of the form
12833:Operators - The Feynman Lectures on Physics
3689:, then a definite quantity (the eigenvalue
3102:, and the corresponding set of eigenvalues
325:is invariant under the action of a certain
286:is independent of a generalized coordinate
12863:
12849:
12779:
6702:Following from this, in bra–ket notation:
3783:relative to the orthonormal eigenbasis of
3067:is the probability of measuring the state
12709:
12415:
11074:
10279:
10082:
10042:
9967:
9888:
9809:
9530:
9283:
8943:
8452:
8108:
7858:
7454:
6615:
4083:{\displaystyle \left|\psi \right\rangle }
3294:
2890:
2847:
2795:
2748:
2722:
2679:
12870:
7691:
6151:This can be generalized to any function
3660:is an eigenfunction of a given operator
2562:in quantum mechanics are represented as
2302:The right-hand side may be rewritten as
2123:{\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}
1301:{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}
11440:
11070:
3619:{\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}
1402:is a parameter with a small value, and
1289:
1244:
406:{\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}
47:. Operators are even more important in
13114:
11691:Examples of applying quantum operators
6630:
2458:which is just the Taylor expansion of
1739:The translation for a finite value of
1727:
425:Table of classical mechanics operators
12844:
5355:is an eigenfunction with eigenvalues
3550:is an eigenfunction of the operator
1515:is infinitesimal, then we may write
12456:{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }
5904:Expectation values of operators on
4251:. Acting this on the wave function
4118:-dimensional space can be written:
3330:) is a complex function such that |
2581:is given by the application of the
2493:, which was our original value for
13:
12677:
12673:
12601:
12597:
12525:
12521:
12406:
12402:
12356:
12352:
12306:
12302:
12229:
12225:
12217:
12197:
12193:
12185:
12165:
12161:
12153:
12103:
12067:
12031:
11973:
11898:
11894:
11808:
11804:
11739:
11735:
11423:
10629:
10561:
10557:
10540:
10536:
10473:
10469:
10452:
10448:
10385:
10381:
10364:
10360:
10033:
10029:
9502:
9448:
9416:
9243:
9239:
9141:
9137:
9039:
9035:
8930:
8886:
8865:
8723:
8713:
8639:
8629:
8555:
8545:
8434:
8311:
8307:
8245:
8241:
8179:
8175:
8105:
8047:
8043:
7992:
7988:
7937:
7933:
7434:
6550:
6281:
6081:
5804:
5798:
5487:
5458:
3485:Linear operators in wave mechanics
3248:{\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
3095:{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
2961:{\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
2814:
1980:
1805:
247:
239:
199:
186:
14:
13138:
12668:
12592:
12516:
12397:
12347:
12297:
12137:
11970:
11889:
11799:
11730:
11412:
10626:
10523:
10435:
10347:
10024:
9499:
9445:
9413:
9234:
9132:
9030:
8883:
8862:
8431:
8302:
8236:
8170:
8102:
8038:
7983:
7928:
5774:{\displaystyle \left\psi \neq 0,}
5712:If the operators do not commute:
2618:for details), so observables are
1622:This formula may be rewritten as
105:{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}
12444:
12211:
12179:
12147:
12097:
12061:
12025:
11952:
11659:
11641:
11416:
11387:
11372:
11353:
11047:
10613:
10600:
10210:
10195:
10087:{\displaystyle {\hat {E}}=E\,\!}
9946:
9868:
9853:
9512:
9458:
9426:
9370:
9355:
8819:
8804:
8444:
8411:
8395:
8376:
8084:
7854:
7841:
6561:
6540:
6505:
6292:
6267:
6218:
6092:
6071:
6043:
5107:, the commutator is defined by,
4968:
4936:
4908:
4868:
4830:
4789:
4721:
4668:
4657:
4629:
4614:
4601:
4585:
4567:
4449:
4381:
4313:
4270:
4166:
4131:
4024:
4000:
3981:
3922:
3898:
3870:
3742:, then it has no eigenvalue for
2902:
2871:
2807:
2788:
2767:
2734:
2703:
2599:. The operators must yield real
1482:{\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}
1197:
1186:
1151:
1143:
1092:
1081:
1058:
1047:
996:
985:
977:
951:
943:
935:
909:
873:
854:
838:
815:
796:
780:
743:
683:
666:
621:
604:
537:
529:
506:
498:
490:
464:
55:Operators in classical mechanics
12368:
12318:
11869:, then the momentum eigenvalue
7520:{\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}
3047:are complex numbers such that |
2640:
919:{\displaystyle G(\mathbf {v} )}
474:{\displaystyle X(\mathbf {a} )}
13066:Hanbury Brown and Twiss effect
12826:
12640:
12564:
12488:
12376:
12326:
12276:
12116:
12080:
12044:
11853:
11781:
11715:
11610:
11582:
11564:
11536:
11518:
11490:
11312:
11290:
11264:
11241:
11219:
11193:
11170:
11148:
11122:
10770:
10722:
10674:
10498:
10410:
10322:
10257:
10161:
10146:
10127:
10070:
10012:
9928:
9838:
9768:
9737:
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9658:
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12013:) this can be written;
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