1357:
846:
1352:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{aligned}}}
6456:
5956:
1984:
6451:{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta _{b}^{a}+\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{a}\wedge \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _{\mu }^{\gamma }\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\sum _{c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _{\delta }^{\gamma }\wedge \theta _{\mu }^{\delta }\end{array}}\right\}\,\,\,(2)}
2870:
1655:
2307:
2510:
3641:
1979:{\displaystyle \mathrm {d} {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}.}
1442:
2048:
831:
2865:{\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{1}&=\cos \theta \,\mathrm {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^{i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3}&=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{aligned}}}
380:
3369:
3334:
3108:
2491:
5816:
2302:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}
645:
3636:{\displaystyle \mathrm {I\!I} =-\mathrm {d} \mathbf {N} \cdot \mathrm {d} \mathbf {P} =\omega _{1}^{3}\odot \omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\end{pmatrix}}.}
3126:
2911:
2326:
5142:
is situated inside
Euclidean space. In the case of the Frenet–Serret frame, the structural equations are precisely the Frenet–Serret formulas, and these serve to classify curves completely up to Euclidean motions. The general case is analogous: the structural equations for an adapted
5624:
383:
A curve on a surface. The FrenetâSerret frame: tangent in red, the (Frenet) normal in cyan and binormal in purple. The
Darboux frame: the tangent in red, the surface normal in blue, and tangent normal in green. Projections along the surface normal and tangent normal shows plane curves whose
5490:
4295:
388:
Note that a
Darboux frame for a curve does not yield a natural moving frame on the surface, since it still depends on an initial choice of tangent vector. To obtain a moving frame on the surface, we first compare the Darboux frame of Îł with its Frenet–Serret frame. Let
826:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
3329:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\wedge \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3}&=\omega _{1}^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2}^{1}\wedge \omega _{1}^{3}\end{aligned}}}
5134:) is tangent to a curve, and all three vectors are mutually orthonormal. Similarly, the Darboux frame on a surface is an orthonormal frame whose first two vectors are tangent to the surface. Adapted frames are useful because the invariant forms (Ï,Ï
3103:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\wedge \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{3}\end{aligned}}}
5352:
539:
2486:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {P} &=\mathbf {T} \mathrm {d} s=\omega ^{1}\mathbf {e} _{1}+\omega ^{2}\mathbf {e} _{2}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\sum _{j}\omega _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}
4850:
5811:{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}\\\\0=\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{array}}\right\}\,\,\,(1)}
5009:
6518:. The case of the Euclidean group can be found, in equivalent but slightly more advanced terms, in Sternberg (1967), Chapter VI. Note that we have abused notation slightly (following Hermann and also Cartan) by regarding
1482:), an invention of Darboux, allows for a conceptual simplification of the problem of moving frames on curves and surfaces by treating the coordinates of the point on the curve and the frame vectors in a uniform manner. A
4627:), since the coordinate differentials can each be expressed in terms of them. Under the action of the Euclidean group, these forms transform as follows. Let Ï be the Euclidean transformation consisting of a translation
4064:
5363:
4929:
613:
340:
4732:
4115:
4555:
5889:
4457:
4069:
Geometrically, the affine group moves the origin in the usual way, and it acts via a rotation on the orthogonal basis vectors since these are "attached" to the particular choice of origin. This is an
266:
5602:
4120:
3131:
2916:
2515:
2331:
851:
444:
200:
3920:
5138:) pullback along Ï, and the structural equations are preserved under this pullback. Consequently, the resulting system of forms yields structural information about how
5257:
4738:
4935:
455:
5513:
while the others are normal, the structure equations naturally split into their tangential and normal contributions. Let the lowercase Latin indices
5485:{\displaystyle \mathrm {d} \theta ^{i}=-\theta _{j}^{i}\wedge \theta ^{j},\quad \mathrm {d} \theta _{j}^{i}=-\theta _{k}^{i}\wedge \theta _{j}^{k}.}
3718:. This is called a Darboux frame on the surface. The frame is canonically defined (by an ordering on the eigenvalues, for instance) away from the
3946:
4868:
550:
277:
4290:{\displaystyle {\begin{aligned}P(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=v\\e_{i}(v;f_{1},\dots ,f_{n})&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{aligned}}}
4650:
6954:
4487:
5831:
4400:
211:
6477:
which expresses the covariant derivatives of the second fundamental form in terms of the normal connection. The third is the
5543:
1519:
is a trihedron whose components depend on one or more parameters. For example, a trihedron moves along a curve if the point
6740:
6787:
6875:
6812:
6696:
6677:
6658:
623:
Since the tangent vectors are the same in both cases, there is a unique angle α such that a rotation in the plane of
6959:
4641:
17:
6637:
6631:(in French). Vol. III. Paris: Gauthier-Villars – via University of Michigan Historical Math Collection.
6626:
6615:
6604:
395:
151:
6762:
6642:(in French). Vol. IV. Paris: Gauthier-Villars – via University of Michigan Historical Math Collection.
6620:(in French). Vol. II. Paris: Gauthier-Villars – via University of Michigan Historical Math Collection.
4391:
32:
6718:
6609:(in French). Vol. I. Paris: Gauthier-Villars – via University of Michigan Historical Math Collection.
6573:
La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repÚre mobile
6949:
6557:
Though treated by
Sternberg (1964), this explicit description is from Spivak (1999) chapters III.1 and IV.7.C.
5612:
118:
in a unique way, as soon as an orientation has been chosen for the normal at any particular fixed point. If
6539:. This subtle distinction does not matter, since ultimately only the differentials of these maps are used.
6842:
5926:
4082:
3340:
6782:
4070:
3874:
3734:
defined on a surface. With slight modifications, the notion of a moving frame can be generalized to a
837:
365:
44:
5357:
Since the exterior derivative is equivariant under pullbacks, the following structural equations hold
3930:
2042:
is the unit normal, this new trihedron is related to the
Darboux trihedron by a rotation of the form
6905:
6880:
6802:
6514:
Treatment based on
Hermann's Appendix II to Cartan (1983), although he takes this approach for the
1417:
This section specializes the case of the
Darboux frame on a curve to the case when the curve is a
6852:
6733:
5914:
3352:
5347:{\displaystyle \theta ^{i}=\phi ^{*}\omega ^{i},\quad \theta _{j}^{i}=\phi ^{*}\omega _{j}^{i}.}
1425:). In that case, since the principal curves are canonically associated to a surface at all non-
6857:
6847:
6495:
5940:
2898:
4640:). Then the following are readily checked by the invariance of the exterior derivative under
6754:
4576:
28:
4616:
4474:
3806:
3673:
1418:
84:
8:
6895:
6867:
6822:
4383:
56:
6593:
4845:{\displaystyle \phi ^{*}(\omega _{j}^{i})=(A^{-1})_{p}^{i}\,\omega _{q}^{p}\,A_{j}^{q}.}
6827:
6777:
6726:
6708:
6490:
1374:
5143:
system of frames classifies arbitrary embedded submanifolds up to a
Euclidean motion.
371:
attached to each point of the curve: a natural moving frame along the embedded curve.
6692:
6673:
6654:
5822:
4353:
3833:
368:
4856:
2881:
6890:
6792:
5182:
5118:
Several examples of adapted frames have already been considered. The first vector
5004:{\displaystyle \mathrm {d} \omega _{j}^{i}=-\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}
4345:
4341:
3647:
6885:
6797:
6748:
5936:
5032:
3853:
3743:
3665:
534:{\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}
52:
6918:
6913:
6832:
6589:
6466:
1646:
defines a tetrahedron adapted to the surface into which the curve is embedded.
3751:
6943:
5243:). Hence it is possible to define the pullbacks of the invariant forms from
4568:
4059:{\displaystyle \phi (v;f_{1},\dots ,f_{n}):=(\phi (v);Af_{1},\dots ,Af_{n}).}
374:
105:
6515:
3735:
3731:
1569:. In the case of the Darboux frame along an embedded curve, the quadruple
1430:
40:
4924:{\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{i}=-\omega _{j}^{i}\wedge \omega ^{j}}
4579:. In particular it is determined uniquely by its upper-triangular part (Ï
4352:). (In fact this principal bundle is just the tautological bundle of the
3770:
is a higher-dimensional analog of the trihedron. It is defined to be an (
6923:
6548:
This treatment is from
Sternberg (1964), Chapter VI, Theorem 3.1, p. 251.
5964:
5632:
3747:
102:
384:
curvatures are the geodesic curvature and normal curvature respectively.
3669:
5201:).) This principal bundle embeds into the bundle of Euclidean frames
2031:
remains the same point on the curve as for the
Darboux trihedron, and
608:{\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}
335:{\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}
6772:
6750:
5529:(i.e., the tangential indices) and the Greek indices ÎŒ, Îł range from
1441:
83:, and then specializes when the curves move in the direction of the
6928:
4463:
1547:) depends on a pair of parameters, then this traces out a surface.
47:
as applied to surface geometry. A Darboux frame exists at any non-
4727:{\displaystyle \phi ^{*}(\omega ^{i})=(A^{-1})_{j}^{i}\omega ^{j}}
3343:
for the surface, expressed in the language of differential forms.
2320:. Taking a differential and applying the Darboux equation yields
5014:
3719:
1426:
48:
6689:
A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4)
6670:
A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)
4550:{\displaystyle \mathrm {d} e_{i}=\sum _{j}\omega _{i}^{j}e_{j}.}
379:
5950:
The second structural equations also split into the following
6473:
in terms of the second fundamental form. The second is the
71:
be an oriented surface in three-dimensional Euclidean space
5961:
5884:{\displaystyle \theta _{b}^{\mu }=s_{ab}^{\mu }\theta ^{a}}
5629:
5537:(i.e., the normal indices). The first observation is that
4452:{\displaystyle \mathrm {d} P=\sum _{i}\omega ^{i}e_{i},\,}
4304:
is of special significance. The inverse image of a point
3750:. This generalization is among the many contributions of
1649:
In terms of this trihedron, the structural equations read
375:
Geodesic curvature, normal curvature, and relative torsion
261:{\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}
5597:{\displaystyle \theta ^{\mu }=0,\quad \mu =p+1,\dots ,n}
2027:
is given for the embedded curve. Since, by definition,
6649:
Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces".
4312:) consists of all orthonormal bases with basepoint at
3868:) be an element of the Euclidean group decomposing as
3595:
3519:
3481:
2256:
2129:
2057:
1930:
1720:
1669:
1311:
1143:
1094:
910:
864:
786:
696:
654:
5959:
5834:
5627:
5546:
5366:
5260:
4938:
4871:
4741:
4653:
4490:
4403:
4118:
3949:
3877:
3372:
3129:
2914:
2513:
2329:
2051:
1658:
849:
648:
553:
458:
398:
280:
214:
154:
62:
6579:
5015:
Adapted frames and the Gauss–Codazzi equations
43:constructed on a surface. It is the analog of the
6707:
6450:
5883:
5810:
5618:The first set of structural equations now becomes
5596:
5484:
5346:
5003:
4923:
4844:
4726:
4549:
4451:
4289:
4058:
3914:
3635:
3328:
3102:
2864:
2485:
2301:
1978:
1490:in Euclidean space, and three orthonormal vectors
1351:
825:
607:
533:
438:
334:
260:
194:
3377:
6941:
3852:) be the ensemble of all Euclidean frames. The
5495:Furthermore, because some of the frame vectors
79:first considers frames moving along a curve in
6598:(in French). Vol. IâIV. Gauthier-Villars.
1565:is the oriented unit normal to the surface at
6734:
5607:since these forms generate the submanifold Ï(
3730:The Darboux frame is an example of a natural
1412:
6648:
3774: + 1)-tuple of vectors drawn from
3757:
522:
500:
439:{\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}
195:{\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}
6639:Leçons sur la théorie génerale des surfaces
6628:Leçons sur la théorie génerale des surfaces
6617:Leçons sur la théorie génerale des surfaces
6606:Leçons sur la théorie génerale des surfaces
6595:Leçons sur la théorie génerale des surfaces
4571:of Euclidean space, the matrix of 1-forms Ï
6741:
6727:
1994:Suppose that any other adapted trihedron
1445:A Darboux trihedron consisting of a point
6705:
6438:
6437:
6436:
5798:
5797:
5796:
5189:(the structure group for the bundle is O(
4823:
4807:
4448:
4097:Define the following system of functions
2849:
2764:
2671:
2582:
2544:
1903:
1879:
1848:
1822:
1791:
1770:
1429:points, the Darboux frame is a canonical
1284:
1260:
1234:
1208:
1182:
1161:
1056:
1039:
1003:
984:
956:
930:
101:of an oriented surface, one may attach a
75:. The construction of Darboux frames on
55:. It is named after French mathematician
4092:
2884:, applied to each double differential dd
1440:
836:Taking a differential, and applying the
378:
6635:
6624:
6613:
6602:
6588:
3676:of the surface. A diagonalizing frame
1535:) traces out the curve. Similarly, if
135:, parametrized by arc length, then the
14:
6942:
6686:
6667:
6570:
5035:into a Euclidean space. The space of
2875:
1478:The introduction of the trihedron (or
6722:
4071:effective and transitive group action
3940:is a translation. Then, on a frame,
6527:as elements of the Euclidean space
5146:In detail, the projection Ï :
3359:. This is the symmetric 2-form on
3346:
24:
6788:Radius of curvature (applications)
6286:
6136:
6048:
5968:
5921:)). Hence, equations (1) are the
5719:
5636:
5421:
5368:
5122:of the Frenet–Serret frame (
4940:
4873:
4492:
4405:
3402:
3389:
3378:
3374:
3263:
3199:
3135:
2974:
2920:
2851:
2766:
2684:
2673:
2584:
2546:
2419:
2357:
2335:
1989:
1905:
1881:
1850:
1824:
1793:
1772:
1729:
1660:
1286:
1262:
1236:
1210:
1184:
1163:
1069:
1058:
1041:
1016:
1005:
986:
958:
932:
855:
63:Darboux frame of an embedded curve
25:
6971:
6955:Differential geometry of surfaces
6876:Curvature of Riemannian manifolds
6710:Lectures on differential geometry
4601: + 1)/2 one-forms (Ï, Ï
4462:for some system of scalar valued
3915:{\displaystyle \phi (x)=Ax+x_{0}}
3650:, there is some choice of frame (
6584:. Math Sci Press, Massachusetts.
5821:Of these, the latter implies by
3754:to the method of moving frames.
3725:
3407:
3394:
2469:
2425:
2404:
2379:
2352:
2340:
2287:
2278:
2269:
2260:
2103:
2087:
2071:
2061:
1961:
1952:
1943:
1934:
1700:
1691:
1682:
1673:
1436:
1333:
1324:
1315:
1116:
1107:
1098:
886:
877:
868:
808:
799:
790:
676:
667:
658:
589:
572:
555:
505:
481:
460:
400:
316:
299:
282:
233:
216:
156:
6580:Cartan, Ă; Hermann, R. (1983).
6475:Codazzi–Mainardi equation
5566:
5419:
5297:
5054:) is the collection of tuples (
4392:vector-valued differential form
4252:
3704:, and two principal directions
2556:
1558:always lies on the surface and
51:point of a surface embedded in
6551:
6542:
6508:
6445:
6439:
5805:
5799:
4793:
4776:
4770:
4752:
4700:
4683:
4677:
4664:
4229:
4191:
4164:
4126:
4050:
4009:
4003:
3997:
3991:
3953:
3887:
3881:
3697:consists of the normal vector
2846:
2802:
2761:
2717:
1523:depends on a single parameter
1449:and three orthonormal vectors
599:
593:
582:
576:
565:
559:
519:
513:
495:
489:
470:
464:
430:
424:
410:
404:
326:
320:
309:
303:
292:
286:
252:
249:
243:
237:
226:
220:
186:
180:
166:
160:
13:
1:
6582:Geometry of Riemannian spaces
6564:
5927:Gauss–Codazzi equations
5613:Frobenius integration theorem
5087:form an orthonormal basis of
4344:whose structure group is the
3836:of the vector space based at
3341:Gauss–Codazzi equations
90:
6531:instead of the vector space
838:Frenet–Serret formulas
7:
6484:
4466:Ï. Similarly, there is an
4083:principal homogeneous space
3864:) as follows. Let Ï â Euc(
10:
6976:
6706:Sternberg, Shlomo (1964).
6461:The first equation is the
4567:are orthonormal under the
2899:Cartan structure equations
1550:A trihedron is said to be
1413:Darboux frame on a surface
6904:
6866:
6811:
6761:
4394:) decomposes uniquely as
3931:orthogonal transformation
3758:Frames on Euclidean space
3746:, or indeed any embedded
45:Frenet–Serret frame
6906:Curvature of connections
6881:Riemann curvature tensor
6803:Total absolute curvature
6687:Spivak, Michael (1999).
6668:Spivak, Michael (1999).
6501:
6496:Maurer–Cartan form
5915:second fundamental forms
4859:, one has the following
4300:The projection operator
6960:Curvature (mathematics)
6853:Second fundamental form
6843:GaussâCodazzi equations
6636:—— (1896).
6625:—— (1894).
6614:—— (1915).
6603:—— (1887).
5611:) (in the sense of the
3766:on the Euclidean space
3353:second fundamental form
2897:, yields the following
6858:Third fundamental form
6848:First fundamental form
6813:Differential geometry
6783:FrenetâSerret formulas
6763:Differential geometry
6452:
6394:
6331:
6244:
6181:
6094:
6010:
5941:Levi-Civita connection
5885:
5812:
5759:
5676:
5598:
5486:
5348:
5005:
4925:
4846:
4728:
4551:
4453:
4291:
4060:
3916:
3637:
3330:
3104:
2866:
2487:
2303:
1980:
1475:
1353:
827:
617:Frenet binormal vector
609:
535:
440:
385:
336:
262:
196:
6950:Differential geometry
6755:differential geometry
6691:. Publish or Perish.
6672:. Publish or Perish.
6651:Differential Geometry
6571:Cartan, Ălie (1937).
6453:
6368:
6311:
6218:
6161:
6068:
5990:
5886:
5813:
5739:
5656:
5599:
5487:
5349:
5181:) the structure of a
5027:be an embedding of a
5006:
4926:
4847:
4729:
4631:and rotation matrix (
4552:
4454:
4292:
4061:
3917:
3638:
3331:
3105:
2867:
2488:
2304:
1981:
1444:
1354:
828:
610:
536:
441:
382:
337:
263:
197:
29:differential geometry
6823:Principal curvatures
6465:which expresses the
5957:
5929:). In particular, Ξ
5832:
5625:
5544:
5364:
5258:
4936:
4869:
4855:Furthermore, by the
4739:
4651:
4617:absolute parallelism
4488:
4401:
4116:
3947:
3875:
3674:principal curvatures
3370:
3127:
2912:
2511:
2327:
2049:
1656:
1552:adapted to a surface
1486:consists of a point
847:
646:
551:
543:Frenet normal vector
456:
396:
278:
212:
152:
85:principal curvatures
6896:Sectional curvature
6868:Riemannian geometry
6749:Various notions of
6575:. Gauthier-Villars.
6427:
6409:
6364:
6346:
6304:
6277:
6259:
6214:
6196:
6154:
6127:
6109:
6061:
6043:
6025:
5986:
5870:
5849:
5774:
5691:
5478:
5460:
5439:
5402:
5340:
5312:
5197: −
4997:
4979:
4958:
4907:
4861:structure equations
4838:
4822:
4806:
4769:
4713:
4533:
4384:exterior derivative
4093:Structure equations
3459:
3428:
3339:The latter are the
3321:
3303:
3281:
3257:
3239:
3217:
3193:
3175:
3153:
3095:
3064:
3022:
2968:
2876:Structure equations
2791:
2709:
2653:
2634:
2609:
2500:) are functions of
2466:
2316:) is a function of
1511:based at the point
366:positively oriented
57:Jean Gaston Darboux
6828:Gaussian curvature
6778:Torsion of a curve
6491:Darboux derivative
6448:
6430:
6413:
6395:
6350:
6332:
6290:
6263:
6245:
6200:
6182:
6140:
6113:
6095:
6047:
6029:
6011:
5972:
5881:
5853:
5835:
5808:
5790:
5760:
5677:
5594:
5482:
5464:
5446:
5425:
5388:
5344:
5326:
5298:
5043:, denoted here by
5001:
4983:
4965:
4944:
4921:
4893:
4842:
4824:
4808:
4792:
4755:
4724:
4699:
4593:). The system of
4547:
4519:
4518:
4449:
4424:
4316:. In particular,
4287:
4285:
4056:
3912:
3633:
3624:
3584:
3508:
3445:
3414:
3326:
3324:
3307:
3289:
3267:
3243:
3225:
3203:
3179:
3161:
3139:
3100:
3098:
3081:
3050:
3008:
2954:
2862:
2860:
2777:
2695:
2639:
2620:
2595:
2483:
2481:
2452:
2451:
2299:
2293:
2245:
2115:
1976:
1967:
1919:
1706:
1476:
1421:of the surface (a
1375:geodesic curvature
1349:
1347:
1339:
1300:
1122:
1083:
892:
823:
814:
775:
682:
631:produces the pair
615: (the
605:
541: (the
531:
446: (the
436:
386:
342: (the
332:
268: (the
258:
202: (the
192:
6937:
6936:
5107:are tangent to Ï(
4509:
4415:
4354:homogeneous space
3834:orthonormal basis
2442:
1423:line of curvature
1391:of the curve, and
526:
369:orthonormal basis
16:(Redirected from
6967:
6891:Scalar curvature
6793:Affine curvature
6743:
6736:
6729:
6720:
6719:
6715:
6714:. Prentice-Hall.
6713:
6702:
6683:
6664:
6643:
6632:
6621:
6610:
6599:
6585:
6576:
6558:
6555:
6549:
6546:
6540:
6512:
6457:
6455:
6454:
6449:
6435:
6431:
6426:
6421:
6408:
6403:
6393:
6388:
6363:
6358:
6345:
6340:
6330:
6325:
6303:
6298:
6289:
6281:
6276:
6271:
6258:
6253:
6243:
6238:
6213:
6208:
6195:
6190:
6180:
6175:
6153:
6148:
6139:
6131:
6126:
6121:
6108:
6103:
6093:
6088:
6060:
6055:
6042:
6037:
6024:
6019:
6009:
6004:
5985:
5980:
5971:
5890:
5888:
5887:
5882:
5880:
5879:
5869:
5864:
5848:
5843:
5817:
5815:
5814:
5809:
5795:
5791:
5787:
5786:
5773:
5768:
5758:
5753:
5732:
5731:
5722:
5708:
5704:
5703:
5690:
5685:
5675:
5670:
5649:
5648:
5639:
5603:
5601:
5600:
5595:
5556:
5555:
5525:range from 1 to
5491:
5489:
5488:
5483:
5477:
5472:
5459:
5454:
5438:
5433:
5424:
5415:
5414:
5401:
5396:
5381:
5380:
5371:
5353:
5351:
5350:
5345:
5339:
5334:
5325:
5324:
5311:
5306:
5293:
5292:
5283:
5282:
5270:
5269:
5183:principal bundle
5010:
5008:
5007:
5002:
4996:
4991:
4978:
4973:
4957:
4952:
4943:
4930:
4928:
4927:
4922:
4920:
4919:
4906:
4901:
4886:
4885:
4876:
4851:
4849:
4848:
4843:
4837:
4832:
4821:
4816:
4805:
4800:
4791:
4790:
4768:
4763:
4751:
4750:
4733:
4731:
4730:
4725:
4723:
4722:
4712:
4707:
4698:
4697:
4676:
4675:
4663:
4662:
4589: <
4556:
4554:
4553:
4548:
4543:
4542:
4532:
4527:
4517:
4505:
4504:
4495:
4458:
4456:
4455:
4450:
4444:
4443:
4434:
4433:
4423:
4408:
4346:orthogonal group
4342:principal bundle
4296:
4294:
4293:
4288:
4286:
4248:
4247:
4228:
4227:
4209:
4208:
4190:
4189:
4163:
4162:
4144:
4143:
4065:
4063:
4062:
4057:
4049:
4048:
4027:
4026:
3990:
3989:
3971:
3970:
3921:
3919:
3918:
3913:
3911:
3910:
3722:of the surface.
3648:spectral theorem
3642:
3640:
3639:
3634:
3629:
3628:
3621:
3620:
3607:
3606:
3589:
3588:
3581:
3580:
3566:
3565:
3549:
3548:
3534:
3533:
3513:
3512:
3505:
3504:
3493:
3492:
3472:
3471:
3458:
3453:
3441:
3440:
3427:
3422:
3410:
3405:
3397:
3392:
3381:
3347:Principal curves
3335:
3333:
3332:
3327:
3325:
3320:
3315:
3302:
3297:
3280:
3275:
3266:
3256:
3251:
3238:
3233:
3216:
3211:
3202:
3192:
3187:
3174:
3169:
3152:
3147:
3138:
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3107:
3106:
3101:
3099:
3094:
3089:
3077:
3076:
3063:
3058:
3046:
3045:
3021:
3016:
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3003:
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2986:
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2932:
2923:
2871:
2869:
2868:
2863:
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2836:
2835:
2814:
2813:
2790:
2785:
2769:
2751:
2750:
2729:
2728:
2708:
2703:
2687:
2676:
2670:
2669:
2652:
2647:
2633:
2628:
2608:
2603:
2587:
2566:
2565:
2549:
2527:
2526:
2492:
2490:
2489:
2484:
2482:
2478:
2477:
2472:
2465:
2460:
2450:
2434:
2433:
2428:
2422:
2413:
2412:
2407:
2401:
2400:
2388:
2387:
2382:
2376:
2375:
2360:
2355:
2343:
2338:
2308:
2306:
2305:
2300:
2298:
2297:
2290:
2281:
2272:
2263:
2250:
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2119:
2112:
2111:
2106:
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2095:
2090:
2080:
2079:
2074:
2064:
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