33:
3843:
3747:
3455:
1355:
701:, first defined by Stephen G. Simpson is an extension of the Church–Kleene ordinal. This is the smallest limit of admissible ordinals, yet this ordinal is not admissible. Alternatively, this is the smallest α such that
3186:
2304:
2684:
2413:
1091:
745:
3627:
3573:
2091:
1962:
1021:
980:
3295:
3018:
2872:
252:
699:
1515:
1272:
401:
289:
144:
1914:
660:
490:
1647:
1541:
1298:
3657:
2802:
1124:
835:
562:
341:
778:
3061:
2915:
2714:
1850:
1823:
459:
428:
3507:
2737:
2463:
2440:
2551:
2251:
2179:
1728:
1701:
3770:
3684:
3476:
3379:
3358:
3338:
3248:
3084:
2971:
2948:
2825:
2770:
2627:
2594:
2329:
2222:
2006:
1796:
1768:
1748:
1670:
1621:
1483:
1463:
1441:
1419:
1240:
1216:
1193:
1173:
1149:
1045:
937:
917:
897:
873:
808:
602:
361:
309:
212:
192:
3527:
3315:
3038:
2892:
2571:
2493:
2359:
1601:
1561:
1375:
3775:
3215:
3113:
2522:
2152:
2123:
2035:
2199:
1982:
1874:
1581:
1395:
622:
582:
530:
510:
3689:
3385:
434:, which is the set of all countable ordinals, analogously to how the Church-Kleene ordinal is the set of all recursive ordinals. Some old sources use
1303:
3118:
4262:
4402:
4378:
4003:
2256:
1916:. These are some of the largest named nonrecursive ordinals appearing in a model-theoretic context, for instance greater than
4209:
4191:
2632:
17:
2364:
1050:
704:
3582:
3532:
2043:
1919:
2125:-stable ordinal is much larger than the smallest recursively weakly compact ordinal: it has been shown that the smallest
989:
942:
848:
property, are kinds of nonrecursive ordinals. Rathjen has called these ordinals the "recursively large counterparts" of
3253:
2976:
2830:
217:
667:
4231:
76:
54:
47:
4255:
852:, however the use of "recursively large" here is not to be confused with the notion of an ordinal being recursive.
1488:
1245:
1195:
th recursively inaccessible. Like "hyper-inaccessible cardinal", different authors conflict on this terminology.
4303:
1703:-reflecting, or equivalently, 2-admissible. These ordinals have strong recursive Mahloness properties, if α is
369:
257:
112:
1879:
627:
467:
584:-computable relations. The Friedman-Jensen-Sacks theorem states that for every countable admissible ordinal
983:
4342:
4248:
1626:
1520:
1277:
4435:
4143:
3632:
2775:
1097:
813:
535:
431:
314:
986:
stating that each set is contained in a model of Kripke–Platek set theory. Under the condition that
4465:
167:
41:
751:
4271:
3908:
3576:
3043:
2897:
2689:
1853:
1828:
1801:
1094:
748:
437:
406:
94:
3485:
2719:
2445:
2418:
4119:
4114:
2527:
2227:
58:
4204:, Perspectives in Logic, vol. 2, Cambridge University Press, pp. 246, 267, 292–293,
2157:
1706:
1679:
4460:
4359:
3838:{\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {ZFC^{-}}}+{\text{'}}\omega _{1}{\text{ exists'}}}
3755:
3669:
3461:
3364:
3343:
3323:
3233:
3069:
2956:
2920:
2810:
2742:
2599:
2579:
2314:
2207:
1991:
1781:
1753:
1733:
1655:
1606:
1468:
1448:
1426:
1404:
1225:
1201:
1178:
1158:
1134:
1030:
922:
902:
882:
858:
793:
587:
346:
294:
197:
177:
3512:
3300:
3023:
2877:
2556:
2468:
2334:
1586:
1546:
1360:
4332:
4322:
3953:(1976), pp.174--176. Perspectives in Logic, Cambridge University Press, ISBN 3-540-07451-1.
4106:
3191:
3089:
2498:
2128:
2099:
2011:
162:. Since the successor of a recursive ordinal is recursive, the Church–Kleene ordinal is a
8:
4080:
4016:
1024:
3742:{\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KP}}+{\text{'}}\omega _{1}{\text{ exists'}}}
3450:{\displaystyle X=\left\{\beta <\alpha \mid L_{\beta }\preceq _{1}L_{\alpha }\right\}}
512:-computable if it is computable from a Turing machine with an oracle state that queries
4407:
4168:
4160:
3660:
2184:
1967:
1859:
1566:
1380:
607:
567:
515:
495:
171:
4312:
4227:
4205:
4187:
3989:
3921:
1155:
if it is recursively inaccessible and a limit of recursively inaccessibles, or where
159:
4172:
4133:
3873:
3063:. The smallest Mahlo-stable ordinal is larger than the smallest inaccessibly-stable.
4152:
4128:
4102:
4092:
3984:
3969:
3917:
98:
97:
greater than all the recursive ordinals, and therefore can not be expressed using
4282:
4291:
4179:
2038:
1398:
1350:{\displaystyle \left\{f(\gamma )\mid \gamma \in \beta \right\}\subseteq \beta }
845:
4454:
4076:
163:
147:
3937:(1978), pp.419--420. Perspectives in Mathematical Logic, ISBN 3-540-07904-1.
3893:
4240:
4042:
3906:
Sacks, Gerald E. (1976), "Countable admissible ordinals and hyperdegrees",
151:
4097:
4219:
3181:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }\preceq _{1}L_{\beta +1}}
4164:
2917:. The smallest inaccessibly-stable ordinal is larger than the smallest
155:
4224:
Inductive
Definitions and Reflecting Properties of Admissible Ordinals
3894:
Inductive
Definitions and Reflecting Properties of Admissible Ordinals
4156:
4046:
4063:
4017:
Some comments on the paper by
Artigue, Isambert, Perrin, and Zalc
109:
The smallest non-recursive ordinal is the Church Kleene ordinal,
4083:(1937), "Formal definitions in the theory of ordinal numbers.",
4050:
879:
if it is admissible and a limit of admissibles. Alternatively,
4184:
The Theory of
Recursive Functions and Effective Computability
4032:(1976), Cambridge University Press, Perspectives in Logic.
4141:
Kleene, S. C. (1938), "On
Notation for Ordinal Numbers",
3217:-stable ordinal is larger than the smallest Mahlo-stable.
2299:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha +\beta }}
104:
3749:. This ordinal has been characterized by Toshiyasu Arai.
2679:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha ^{++}}}
2495:-stable ordinal is again much larger than the smallest
2408:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha ^{+}}}
1086:{\displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}
740:{\displaystyle L_{\alpha }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}
3778:
3758:
3692:
3672:
3635:
3622:{\displaystyle L_{\beta }\models {\mathsf {ZFC^{-}}}}
3585:
3568:{\displaystyle L_{\beta }\cap {\mathsf {P}}(\omega )}
3535:
3515:
3488:
3464:
3388:
3367:
3346:
3326:
3303:
3256:
3236:
3194:
3121:
3092:
3072:
3046:
3026:
2979:
2959:
2923:
2900:
2880:
2833:
2813:
2778:
2745:
2722:
2692:
2635:
2602:
2582:
2559:
2530:
2501:
2471:
2448:
2421:
2367:
2337:
2317:
2259:
2230:
2210:
2187:
2160:
2131:
2102:
2046:
2014:
1994:
1970:
1922:
1882:
1862:
1831:
1804:
1784:
1756:
1736:
1709:
1682:
1658:
1629:
1609:
1589:
1569:
1549:
1523:
1491:
1471:
1451:
1429:
1407:
1383:
1363:
1306:
1280:
1248:
1228:
1204:
1181:
1161:
1137:
1100:
1053:
1033:
992:
945:
925:
905:
885:
861:
816:
796:
754:
707:
670:
630:
610:
590:
570:
538:
518:
498:
470:
440:
409:
372:
349:
317:
297:
260:
220:
200:
180:
115:
4002:
M. Rathjen, "The Realm of
Ordinal Analysis" (2006).
2086:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\alpha +1}}
1984:.. There are various weakenings of stable ordinals:
1957:{\displaystyle \min\{\alpha :L_{\alpha }\models T\}}
3482:The ordinal of ramified analysis, often written as
3837:
3764:
3741:
3678:
3651:
3621:
3567:
3521:
3501:
3470:
3449:
3373:
3352:
3332:
3309:
3289:
3242:
3209:
3180:
3107:
3078:
3055:
3032:
3012:
2965:
2942:
2909:
2886:
2866:
2819:
2796:
2764:
2731:
2708:
2678:
2621:
2588:
2565:
2545:
2516:
2487:
2457:
2434:
2407:
2353:
2323:
2298:
2245:
2216:
2193:
2173:
2146:
2117:
2085:
2029:
2000:
1976:
1956:
1908:
1868:
1844:
1817:
1790:
1762:
1742:
1722:
1695:
1664:
1641:
1615:
1595:
1575:
1555:
1535:
1509:
1477:
1457:
1435:
1413:
1389:
1369:
1349:
1292:
1266:
1234:
1210:
1187:
1167:
1143:
1118:
1085:
1039:
1016:{\displaystyle L_{\alpha }\vDash {\textrm {V=HC}}}
1015:
975:{\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KPi}}}
974:
931:
911:
891:
867:
829:
802:
772:
739:
693:
654:
616:
596:
576:
556:
524:
504:
484:
453:
422:
395:
355:
335:
303:
283:
246:
206:
186:
138:
3290:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}
3013:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}
2894:is the smallest recursively inaccessible ordinal
2867:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L_{\beta }}
247:{\displaystyle L_{\alpha }\models {\mathsf {KP}}}
4452:
3888:
3886:
3884:
3882:
1923:
1773:
694:{\displaystyle \omega _{\omega }^{\mathsf {CK}}}
3221:
4403:the theories of iterated inductive definitions
810:th admissible ordinal is sometimes denoted by
166:. It is also the smallest ordinal that is not
4256:
4053:page), Państwowe Wydawn. Accessed 2022-12-01.
3879:
4270:
4217:
4075:
2772:-stable ordinal is larger than the smallest
1951:
1926:
1510:{\displaystyle f:\alpha \rightarrow \alpha }
1267:{\displaystyle f:\alpha \rightarrow \alpha }
4064:A Sneak Preview of Proof Theory of Ordinals
3963:
3961:
3959:
3945:
3943:
3226:Even larger nonrecursive ordinals include:
844:ordinals, where "x" typically represents a
4263:
4249:
3040:is the smallest recursively Mahlo ordinal
396:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}
284:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}
139:{\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}
4132:
4096:
3988:
2716:are the two smallest admissible ordinals
478:
89:In mathematics, particularly set theory,
77:Learn how and when to remove this message
3956:
3940:
1964:for any computably axiomatizable theory
1909:{\displaystyle L_{\alpha }\preceq _{1}L}
532:. The relativized Church–Kleene ordinal
40:This article includes a list of general
4199:
4066:(1997, p.17). Accessed 2021 October 28.
3967:
3896:(1973, p.15). Accessed 2021 October 28.
3317:is the smallest nonprojectible ordinal.
785:
655:{\displaystyle \alpha =\omega _{1}^{x}}
485:{\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }
14:
4453:
4178:
4140:
4115:"The constructive second number class"
4112:
3805:
3801:
3797:
3794:
3711:
3708:
3644:
3641:
3638:
3612:
3608:
3604:
3601:
3551:
1069:
967:
964:
961:
723:
685:
682:
564:is the supremum of the order types of
387:
384:
275:
272:
239:
236:
130:
127:
105:The Church–Kleene ordinal and variants
4244:
4202:Subsystems of Second-Order Arithmetic
4186:, First MIT press paperback edition,
3905:
3868:
3866:
3864:
3862:
461:to denote the Church-Kleene ordinal.
26:
2442:is the smallest admissible ordinal
24:
4019:(1976), ICM. Accessed 19 May 2023.
3859:
2827:is called inaccessibly-stable iff
2780:
2162:
1833:
1711:
1684:
1642:{\displaystyle \delta <\gamma }
1102:
756:
319:
46:it lacks sufficient corresponding
25:
4477:
4379:Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal
3382:-stable ordinals, or; if the set
1536:{\displaystyle \beta <\alpha }
1293:{\displaystyle \beta <\alpha }
3977:Annals of Pure and Applied Logic
3876:(2017). Accessed September 2021.
2204:In general, a countable ordinal
1465:if it is admissible and for any
1222:if it is admissible and for any
1047:is recursively inaccessible iff
899:is recursively inaccessible iff
31:
4134:10.1090/S0002-9904-1938-06720-1
4056:
4035:
3935:Recursion-Theoretic Hierarchies
3652:{\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}
2797:{\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}
1517:there is an admissible ordinal
1119:{\displaystyle \Delta _{2}^{1}}
830:{\displaystyle \tau _{\alpha }}
557:{\displaystyle \omega _{1}^{x}}
336:{\displaystyle \Delta _{1}^{1}}
4030:Admissible Sets and Structures
4022:
4009:
3996:
3951:Admissible Sets and Structures
3927:
3899:
3562:
3556:
3204:
3195:
3102:
3093:
2937:
2925:
2759:
2747:
2616:
2604:
2540:
2531:
2511:
2502:
2482:
2473:
2348:
2339:
2240:
2231:
2141:
2132:
2112:
2103:
2024:
2015:
1501:
1321:
1315:
1258:
1080:
1074:
939:th admissible ordinal, or iff
734:
728:
13:
1:
4410: < ω
4200:Simpson, Stephen G. (2009) ,
4151:(4), Vol. 3, No. 4: 150–155,
3852:
1774:Weakenings of stable ordinals
1153:recursively hyperinaccessible
4401:Proof-theoretic ordinals of
3990:10.1016/0168-0072(94)90074-4
3970:"Proof theory of reflection"
3922:10.1016/0001-8708(76)90187-0
3222:Larger nonrecursive ordinals
773:{\displaystyle \Pi _{1}^{1}}
7:
3056:{\displaystyle >\alpha }
2973:is called Mahlo-stable iff
2910:{\displaystyle >\alpha }
2709:{\displaystyle \beta ^{++}}
2181:-reflecting for all finite
1845:{\displaystyle \Sigma _{1}}
1818:{\displaystyle L_{\alpha }}
454:{\displaystyle \omega _{1}}
423:{\displaystyle \omega _{1}}
99:recursive ordinal notations
10:
4482:
4424: ≥ ω
3577:second-order comprehension
3502:{\displaystyle \beta _{0}}
2732:{\displaystyle >\beta }
2458:{\displaystyle >\beta }
2435:{\displaystyle \beta ^{+}}
1674:recursively weakly compact
4436:First uncountable ordinal
4278:
4226:, pp. 312–313, 333,
4144:Journal of Symbolic Logic
3968:Rathjen, Michael (1994),
3848:The least stable ordinal.
2553:-stable for any constant
2546:{\displaystyle (+\beta )}
2246:{\displaystyle (+\beta )}
432:first uncountable ordinal
4304:Feferman–Schütte ordinal
4272:Large countable ordinals
4041:W. Marek, K. Rasmussen,
2524:-stable or the smallest
2174:{\displaystyle \Pi _{n}}
1723:{\displaystyle \Pi _{3}}
1696:{\displaystyle \Pi _{3}}
984:Kripke–Platek set theory
877:recursively inaccessible
214:is called admissible if
95:large countable ordinals
4343:Bachmann–Howard ordinal
4113:Church, Alonzo (1938),
4085:Fundamenta Mathematicae
3909:Advances in Mathematics
3765:{\displaystyle \alpha }
3679:{\displaystyle \alpha }
3509:. This is the smallest
3471:{\displaystyle \alpha }
3374:{\displaystyle \alpha }
3353:{\displaystyle \alpha }
3333:{\displaystyle \alpha }
3243:{\displaystyle \alpha }
3079:{\displaystyle \alpha }
2966:{\displaystyle \alpha }
2943:{\displaystyle (^{++})}
2820:{\displaystyle \alpha }
2765:{\displaystyle (^{++})}
2622:{\displaystyle (^{++})}
2589:{\displaystyle \alpha }
2324:{\displaystyle \alpha }
2217:{\displaystyle \alpha }
2001:{\displaystyle \alpha }
1854:elementary-substructure
1791:{\displaystyle \alpha }
1763:{\displaystyle \alpha }
1743:{\displaystyle \alpha }
1665:{\displaystyle \alpha }
1616:{\displaystyle \delta }
1478:{\displaystyle \alpha }
1458:{\displaystyle \gamma }
1436:{\displaystyle \gamma }
1414:{\displaystyle \alpha }
1274:there is an admissible
1235:{\displaystyle \alpha }
1211:{\displaystyle \alpha }
1188:{\displaystyle \alpha }
1168:{\displaystyle \alpha }
1144:{\displaystyle \alpha }
1040:{\displaystyle \alpha }
932:{\displaystyle \alpha }
912:{\displaystyle \alpha }
892:{\displaystyle \alpha }
868:{\displaystyle \alpha }
803:{\displaystyle \alpha }
597:{\displaystyle \alpha }
356:{\displaystyle \omega }
304:{\displaystyle \omega }
207:{\displaystyle \alpha }
187:{\displaystyle \omega }
61:more precise citations.
4283:First infinite ordinal
4120:Bull. Amer. Math. Soc.
3892:W. Richter, P. Aczel,
3839:
3766:
3743:
3680:
3653:
3623:
3569:
3523:
3522:{\displaystyle \beta }
3503:
3472:
3451:
3375:
3354:
3334:
3311:
3310:{\displaystyle \beta }
3291:
3244:
3211:
3188:. The smallest doubly
3182:
3109:
3080:
3057:
3034:
3033:{\displaystyle \beta }
3014:
2967:
2944:
2911:
2888:
2887:{\displaystyle \beta }
2868:
2821:
2798:
2766:
2733:
2710:
2680:
2623:
2590:
2567:
2566:{\displaystyle \beta }
2547:
2518:
2489:
2488:{\displaystyle (^{+})}
2459:
2436:
2409:
2355:
2354:{\displaystyle (^{+})}
2325:
2300:
2247:
2218:
2195:
2175:
2148:
2119:
2087:
2031:
2002:
1978:
1958:
1910:
1870:
1846:
1819:
1792:
1764:
1744:
1724:
1697:
1666:
1643:
1617:
1597:
1596:{\displaystyle \beta }
1577:
1557:
1556:{\displaystyle \beta }
1537:
1511:
1479:
1459:
1437:
1415:
1391:
1371:
1370:{\displaystyle \beta }
1351:
1294:
1268:
1236:
1212:
1189:
1169:
1145:
1120:
1087:
1041:
1025:hereditarily countable
1017:
976:
933:
913:
893:
869:
831:
804:
774:
741:
695:
656:
618:
598:
578:
558:
526:
506:
486:
455:
424:
397:
357:
337:
305:
291:-recursive subsets of
285:
248:
208:
188:
140:
91:non-recursive ordinals
4098:10.4064/fm-28-1-11-21
3840:
3767:
3744:
3681:
3654:
3624:
3570:
3524:
3504:
3473:
3452:
3376:
3355:
3340:is nonprojectible if
3335:
3312:
3292:
3245:
3212:
3183:
3110:
3081:
3058:
3035:
3015:
2968:
2945:
2912:
2889:
2869:
2822:
2799:
2767:
2734:
2711:
2681:
2624:
2591:
2568:
2548:
2519:
2490:
2460:
2437:
2410:
2356:
2326:
2301:
2248:
2219:
2196:
2176:
2149:
2120:
2088:
2032:
2003:
1979:
1959:
1911:
1871:
1847:
1820:
1793:
1765:
1745:
1725:
1698:
1667:
1644:
1618:
1598:
1578:
1558:
1538:
1512:
1480:
1460:
1438:
1416:
1392:
1372:
1352:
1295:
1269:
1237:
1213:
1190:
1170:
1146:
1121:
1088:
1042:
1018:
977:
934:
914:
894:
870:
832:
805:
775:
742:
696:
657:
619:
604:, there exists a set
599:
579:
559:
527:
507:
487:
456:
425:
398:
358:
338:
306:
286:
249:
209:
189:
141:
18:Nonrecursive ordinals
4422:Nonrecursive ordinal
4333:large Veblen ordinal
4323:small Veblen ordinal
3776:
3756:
3690:
3670:
3633:
3583:
3533:
3513:
3486:
3462:
3386:
3365:
3344:
3324:
3301:
3254:
3234:
3210:{\displaystyle (+1)}
3192:
3119:
3108:{\displaystyle (+1)}
3090:
3070:
3066:A countable ordinal
3044:
3024:
2977:
2957:
2953:A countable ordinal
2921:
2898:
2878:
2831:
2811:
2807:A countable ordinal
2776:
2743:
2720:
2690:
2633:
2600:
2580:
2576:A countable ordinal
2557:
2528:
2517:{\displaystyle (+1)}
2499:
2469:
2446:
2419:
2365:
2335:
2315:
2311:A countable ordinal
2257:
2228:
2208:
2185:
2158:
2147:{\displaystyle (+1)}
2129:
2118:{\displaystyle (+1)}
2100:
2044:
2030:{\displaystyle (+1)}
2012:
1992:
1988:A countable ordinal
1968:
1920:
1880:
1860:
1829:
1802:
1782:
1754:
1734:
1707:
1680:
1656:
1627:
1607:
1587:
1567:
1547:
1521:
1489:
1485:-recursive function
1469:
1449:
1427:
1405:
1381:
1361:
1304:
1278:
1246:
1242:-recursive function
1226:
1202:
1179:
1159:
1135:
1098:
1051:
1031:
990:
943:
923:
903:
883:
859:
814:
794:
786:Recursively ordinals
752:
705:
668:
628:
608:
588:
568:
536:
516:
496:
468:
438:
407:
370:
347:
315:
295:
258:
218:
198:
178:
113:
4408:Computable ordinals
2793:
2154:-stable ordinal is
1399:Mahloness hierarchy
1115:
769:
690:
651:
553:
403:is in reference to
392:
332:
280:
170:, and the smallest
135:
4360:Buchholz's ordinal
3835:
3762:
3752:The least ordinal
3739:
3676:
3666:The least ordinal
3661:axiom of power set
3649:
3619:
3565:
3519:
3499:
3468:
3447:
3371:
3350:
3330:
3307:
3287:
3240:
3230:The least ordinal
3207:
3178:
3105:
3076:
3053:
3030:
3010:
2963:
2940:
2907:
2884:
2864:
2817:
2794:
2779:
2762:
2729:
2706:
2676:
2619:
2586:
2563:
2543:
2514:
2485:
2455:
2432:
2405:
2351:
2321:
2296:
2243:
2214:
2191:
2171:
2144:
2115:
2083:
2027:
1998:
1974:
1954:
1906:
1866:
1842:
1815:
1788:
1760:
1740:
1720:
1693:
1662:
1639:
1613:
1593:
1573:
1553:
1533:
1507:
1475:
1455:
1433:
1411:
1387:
1367:
1347:
1290:
1264:
1232:
1208:
1185:
1165:
1141:
1116:
1101:
1083:
1037:
1013:
982:, an extension of
972:
929:
909:
889:
865:
827:
800:
770:
755:
737:
691:
671:
652:
637:
614:
594:
574:
554:
539:
522:
502:
482:
451:
420:
393:
373:
353:
333:
318:
301:
281:
261:
244:
204:
184:
172:admissible ordinal
160:recursive ordinals
158:is the set of all
136:
116:
4448:
4447:
4313:Ackermann ordinal
4211:978-0-521-88439-6
4193:978-0-262-68052-3
3874:A Zoo of Ordinals
3833:
3818:
3737:
3722:
3086:is called doubly
2194:{\displaystyle n}
1977:{\displaystyle T}
1869:{\displaystyle L}
1730:-reflecting then
1576:{\displaystyle f}
1397:). Mirroring the
1390:{\displaystyle f}
1220:recursively Mahlo
1010:
617:{\displaystyle x}
577:{\displaystyle x}
525:{\displaystyle x}
505:{\displaystyle x}
168:hyperarithmetical
87:
86:
79:
16:(Redirected from
4473:
4432:
4431:
4418:
4417:
4265:
4258:
4251:
4242:
4241:
4236:
4218:Richter, Wayne;
4214:
4196:
4175:
4137:
4136:
4109:
4100:
4067:
4060:
4054:
4039:
4033:
4026:
4020:
4013:
4007:
4006:7 December 2023.
4000:
3994:
3993:
3992:
3974:
3965:
3954:
3947:
3938:
3931:
3925:
3924:
3903:
3897:
3890:
3877:
3870:
3844:
3842:
3841:
3836:
3834:
3831:
3829:
3828:
3819:
3816:
3811:
3810:
3809:
3808:
3788:
3787:
3771:
3769:
3768:
3763:
3748:
3746:
3745:
3740:
3738:
3735:
3733:
3732:
3723:
3720:
3715:
3714:
3702:
3701:
3685:
3683:
3682:
3677:
3658:
3656:
3655:
3650:
3648:
3647:
3628:
3626:
3625:
3620:
3618:
3617:
3616:
3615:
3595:
3594:
3574:
3572:
3571:
3566:
3555:
3554:
3545:
3544:
3528:
3526:
3525:
3520:
3508:
3506:
3505:
3500:
3498:
3497:
3477:
3475:
3474:
3469:
3457:is unbounded in
3456:
3454:
3453:
3448:
3446:
3442:
3441:
3440:
3431:
3430:
3421:
3420:
3380:
3378:
3377:
3372:
3359:
3357:
3356:
3351:
3339:
3337:
3336:
3331:
3316:
3314:
3313:
3308:
3296:
3294:
3293:
3288:
3286:
3285:
3276:
3275:
3266:
3265:
3249:
3247:
3246:
3241:
3216:
3214:
3213:
3208:
3187:
3185:
3184:
3179:
3177:
3176:
3161:
3160:
3151:
3150:
3141:
3140:
3131:
3130:
3114:
3112:
3111:
3106:
3085:
3083:
3082:
3077:
3062:
3060:
3059:
3054:
3039:
3037:
3036:
3031:
3019:
3017:
3016:
3011:
3009:
3008:
2999:
2998:
2989:
2988:
2972:
2970:
2969:
2964:
2949:
2947:
2946:
2941:
2936:
2935:
2916:
2914:
2913:
2908:
2893:
2891:
2890:
2885:
2873:
2871:
2870:
2865:
2863:
2862:
2853:
2852:
2843:
2842:
2826:
2824:
2823:
2818:
2803:
2801:
2800:
2795:
2792:
2787:
2771:
2769:
2768:
2763:
2758:
2757:
2738:
2736:
2735:
2730:
2715:
2713:
2712:
2707:
2705:
2704:
2685:
2683:
2682:
2677:
2675:
2674:
2673:
2672:
2655:
2654:
2645:
2644:
2628:
2626:
2625:
2620:
2615:
2614:
2595:
2593:
2592:
2587:
2572:
2570:
2569:
2564:
2552:
2550:
2549:
2544:
2523:
2521:
2520:
2515:
2494:
2492:
2491:
2486:
2481:
2480:
2464:
2462:
2461:
2456:
2441:
2439:
2438:
2433:
2431:
2430:
2414:
2412:
2411:
2406:
2404:
2403:
2402:
2401:
2387:
2386:
2377:
2376:
2360:
2358:
2357:
2352:
2347:
2346:
2330:
2328:
2327:
2322:
2305:
2303:
2302:
2297:
2295:
2294:
2279:
2278:
2269:
2268:
2252:
2250:
2249:
2244:
2223:
2221:
2220:
2215:
2200:
2198:
2197:
2192:
2180:
2178:
2177:
2172:
2170:
2169:
2153:
2151:
2150:
2145:
2124:
2122:
2121:
2116:
2092:
2090:
2089:
2084:
2082:
2081:
2066:
2065:
2056:
2055:
2036:
2034:
2033:
2028:
2007:
2005:
2004:
1999:
1983:
1981:
1980:
1975:
1963:
1961:
1960:
1955:
1944:
1943:
1915:
1913:
1912:
1907:
1902:
1901:
1892:
1891:
1875:
1873:
1872:
1867:
1851:
1849:
1848:
1843:
1841:
1840:
1824:
1822:
1821:
1816:
1814:
1813:
1797:
1795:
1794:
1789:
1769:
1767:
1766:
1761:
1749:
1747:
1746:
1741:
1729:
1727:
1726:
1721:
1719:
1718:
1702:
1700:
1699:
1694:
1692:
1691:
1671:
1669:
1668:
1663:
1648:
1646:
1645:
1640:
1622:
1620:
1619:
1614:
1602:
1600:
1599:
1594:
1582:
1580:
1579:
1574:
1563:is closed under
1562:
1560:
1559:
1554:
1542:
1540:
1539:
1534:
1516:
1514:
1513:
1508:
1484:
1482:
1481:
1476:
1464:
1462:
1461:
1456:
1442:
1440:
1439:
1434:
1420:
1418:
1417:
1412:
1396:
1394:
1393:
1388:
1377:is closed under
1376:
1374:
1373:
1368:
1356:
1354:
1353:
1348:
1340:
1336:
1299:
1297:
1296:
1291:
1273:
1271:
1270:
1265:
1241:
1239:
1238:
1233:
1217:
1215:
1214:
1209:
1194:
1192:
1191:
1186:
1174:
1172:
1171:
1166:
1150:
1148:
1147:
1142:
1125:
1123:
1122:
1117:
1114:
1109:
1092:
1090:
1089:
1084:
1073:
1072:
1063:
1062:
1046:
1044:
1043:
1038:
1022:
1020:
1019:
1014:
1012:
1011:
1008:
1002:
1001:
981:
979:
978:
973:
971:
970:
955:
954:
938:
936:
935:
930:
918:
916:
915:
910:
898:
896:
895:
890:
874:
872:
871:
866:
836:
834:
833:
828:
826:
825:
809:
807:
806:
801:
779:
777:
776:
771:
768:
763:
746:
744:
743:
738:
727:
726:
717:
716:
700:
698:
697:
692:
689:
688:
679:
661:
659:
658:
653:
650:
645:
623:
621:
620:
615:
603:
601:
600:
595:
583:
581:
580:
575:
563:
561:
560:
555:
552:
547:
531:
529:
528:
523:
511:
509:
508:
503:
491:
489:
488:
483:
481:
460:
458:
457:
452:
450:
449:
429:
427:
426:
421:
419:
418:
402:
400:
399:
394:
391:
390:
381:
362:
360:
359:
354:
342:
340:
339:
334:
331:
326:
311:are exactly the
310:
308:
307:
302:
290:
288:
287:
282:
279:
278:
269:
253:
251:
250:
245:
243:
242:
230:
229:
213:
211:
210:
205:
193:
191:
190:
185:
145:
143:
142:
137:
134:
133:
124:
82:
75:
71:
68:
62:
57:this article by
48:inline citations
35:
34:
27:
21:
4481:
4480:
4476:
4475:
4474:
4472:
4471:
4470:
4466:Ordinal numbers
4451:
4450:
4449:
4444:
4430:
4427:
4426:
4425:
4416:
4413:
4412:
4411:
4397:
4395:
4374:
4368:
4355:
4309:
4300:
4292:Epsilon numbers
4274:
4269:
4239:
4234:
4212:
4194:
4180:Rogers, Hartley
4157:10.2307/2267778
4071:
4070:
4061:
4057:
4040:
4036:
4027:
4023:
4014:
4010:
4001:
3997:
3972:
3966:
3957:
3948:
3941:
3932:
3928:
3904:
3900:
3891:
3880:
3871:
3860:
3855:
3830:
3824:
3820:
3815:
3804:
3800:
3793:
3792:
3783:
3779:
3777:
3774:
3773:
3757:
3754:
3753:
3734:
3728:
3724:
3719:
3707:
3706:
3697:
3693:
3691:
3688:
3687:
3671:
3668:
3667:
3637:
3636:
3634:
3631:
3630:
3611:
3607:
3600:
3599:
3590:
3586:
3584:
3581:
3580:
3550:
3549:
3540:
3536:
3534:
3531:
3530:
3514:
3511:
3510:
3493:
3489:
3487:
3484:
3483:
3463:
3460:
3459:
3436:
3432:
3426:
3422:
3416:
3412:
3399:
3395:
3387:
3384:
3383:
3366:
3363:
3362:
3345:
3342:
3341:
3325:
3322:
3321:
3302:
3299:
3298:
3281:
3277:
3271:
3267:
3261:
3257:
3255:
3252:
3251:
3235:
3232:
3231:
3224:
3193:
3190:
3189:
3166:
3162:
3156:
3152:
3146:
3142:
3136:
3132:
3126:
3122:
3120:
3117:
3116:
3091:
3088:
3087:
3071:
3068:
3067:
3045:
3042:
3041:
3025:
3022:
3021:
3004:
3000:
2994:
2990:
2984:
2980:
2978:
2975:
2974:
2958:
2955:
2954:
2928:
2924:
2922:
2919:
2918:
2899:
2896:
2895:
2879:
2876:
2875:
2858:
2854:
2848:
2844:
2838:
2834:
2832:
2829:
2828:
2812:
2809:
2808:
2788:
2783:
2777:
2774:
2773:
2750:
2746:
2744:
2741:
2740:
2739:. The smallest
2721:
2718:
2717:
2697:
2693:
2691:
2688:
2687:
2665:
2661:
2660:
2656:
2650:
2646:
2640:
2636:
2634:
2631:
2630:
2607:
2603:
2601:
2598:
2597:
2581:
2578:
2577:
2558:
2555:
2554:
2529:
2526:
2525:
2500:
2497:
2496:
2476:
2472:
2470:
2467:
2466:
2465:. The smallest
2447:
2444:
2443:
2426:
2422:
2420:
2417:
2416:
2397:
2393:
2392:
2388:
2382:
2378:
2372:
2368:
2366:
2363:
2362:
2342:
2338:
2336:
2333:
2332:
2316:
2313:
2312:
2284:
2280:
2274:
2270:
2264:
2260:
2258:
2255:
2254:
2229:
2226:
2225:
2209:
2206:
2205:
2186:
2183:
2182:
2165:
2161:
2159:
2156:
2155:
2130:
2127:
2126:
2101:
2098:
2097:
2071:
2067:
2061:
2057:
2051:
2047:
2045:
2042:
2041:
2013:
2010:
2009:
1993:
1990:
1989:
1969:
1966:
1965:
1939:
1935:
1921:
1918:
1917:
1897:
1893:
1887:
1883:
1881:
1878:
1877:
1861:
1858:
1857:
1836:
1832:
1830:
1827:
1826:
1809:
1805:
1803:
1800:
1799:
1783:
1780:
1779:
1776:
1755:
1752:
1751:
1750:is recursively
1735:
1732:
1731:
1714:
1710:
1708:
1705:
1704:
1687:
1683:
1681:
1678:
1677:
1657:
1654:
1653:
1628:
1625:
1624:
1623:-Mahlo for all
1608:
1605:
1604:
1603:is recursively
1588:
1585:
1584:
1568:
1565:
1564:
1548:
1545:
1544:
1522:
1519:
1518:
1490:
1487:
1486:
1470:
1467:
1466:
1450:
1447:
1446:
1445:for an ordinal
1428:
1425:
1424:
1406:
1403:
1402:
1382:
1379:
1378:
1362:
1359:
1358:
1311:
1307:
1305:
1302:
1301:
1279:
1276:
1275:
1247:
1244:
1243:
1227:
1224:
1223:
1203:
1200:
1199:
1180:
1177:
1176:
1160:
1157:
1156:
1136:
1133:
1132:
1110:
1105:
1099:
1096:
1095:
1068:
1067:
1058:
1054:
1052:
1049:
1048:
1032:
1029:
1028:
1023:("every set is
1007:
1006:
997:
993:
991:
988:
987:
960:
959:
950:
946:
944:
941:
940:
924:
921:
920:
904:
901:
900:
884:
881:
880:
860:
857:
856:
821:
817:
815:
812:
811:
795:
792:
791:
788:
764:
759:
753:
750:
749:
722:
721:
712:
708:
706:
703:
702:
681:
680:
675:
669:
666:
665:
646:
641:
629:
626:
625:
609:
606:
605:
589:
586:
585:
569:
566:
565:
548:
543:
537:
534:
533:
517:
514:
513:
497:
494:
493:
477:
469:
466:
465:
445:
441:
439:
436:
435:
414:
410:
408:
405:
404:
383:
382:
377:
371:
368:
367:
348:
345:
344:
327:
322:
316:
313:
312:
296:
293:
292:
271:
270:
265:
259:
256:
255:
235:
234:
225:
221:
219:
216:
215:
199:
196:
195:
179:
176:
175:
126:
125:
120:
114:
111:
110:
107:
83:
72:
66:
63:
53:Please help to
52:
36:
32:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4479:
4469:
4468:
4463:
4446:
4445:
4443:
4442:
4433:
4428:
4419:
4414:
4405:
4399:
4391:
4389:
4376:
4370:
4366:
4357:
4353:
4340:
4330:
4320:
4310:
4307:
4301:
4298:
4289:
4279:
4276:
4275:
4268:
4267:
4260:
4253:
4245:
4238:
4237:
4232:
4215:
4210:
4197:
4192:
4176:
4138:
4127:(4): 224–232,
4110:
4077:Church, Alonzo
4072:
4069:
4068:
4055:
4045:in libraries (
4034:
4021:
4008:
3995:
3983:(2): 181–224,
3955:
3939:
3933:P. G. Hinman,
3926:
3916:(2): 213–262,
3898:
3878:
3857:
3856:
3854:
3851:
3850:
3849:
3846:
3827:
3823:
3814:
3807:
3803:
3799:
3796:
3791:
3786:
3782:
3761:
3750:
3731:
3727:
3718:
3713:
3710:
3705:
3700:
3696:
3675:
3664:
3646:
3643:
3640:
3614:
3610:
3606:
3603:
3598:
3593:
3589:
3575:is a model of
3564:
3561:
3558:
3553:
3548:
3543:
3539:
3518:
3496:
3492:
3480:
3467:
3445:
3439:
3435:
3429:
3425:
3419:
3415:
3411:
3408:
3405:
3402:
3398:
3394:
3391:
3370:
3360:is a limit of
3349:
3329:
3318:
3306:
3284:
3280:
3274:
3270:
3264:
3260:
3239:
3223:
3220:
3219:
3218:
3206:
3203:
3200:
3197:
3175:
3172:
3169:
3165:
3159:
3155:
3149:
3145:
3139:
3135:
3129:
3125:
3104:
3101:
3098:
3095:
3075:
3064:
3052:
3049:
3029:
3007:
3003:
2997:
2993:
2987:
2983:
2962:
2951:
2939:
2934:
2931:
2927:
2906:
2903:
2883:
2861:
2857:
2851:
2847:
2841:
2837:
2816:
2805:
2791:
2786:
2782:
2761:
2756:
2753:
2749:
2728:
2725:
2703:
2700:
2696:
2671:
2668:
2664:
2659:
2653:
2649:
2643:
2639:
2618:
2613:
2610:
2606:
2585:
2574:
2562:
2542:
2539:
2536:
2533:
2513:
2510:
2507:
2504:
2484:
2479:
2475:
2454:
2451:
2429:
2425:
2400:
2396:
2391:
2385:
2381:
2375:
2371:
2350:
2345:
2341:
2320:
2309:
2308:
2307:
2293:
2290:
2287:
2283:
2277:
2273:
2267:
2263:
2242:
2239:
2236:
2233:
2213:
2202:
2190:
2168:
2164:
2143:
2140:
2137:
2134:
2114:
2111:
2108:
2105:
2080:
2077:
2074:
2070:
2064:
2060:
2054:
2050:
2026:
2023:
2020:
2017:
1997:
1973:
1953:
1950:
1947:
1942:
1938:
1934:
1931:
1928:
1925:
1905:
1900:
1896:
1890:
1886:
1865:
1839:
1835:
1812:
1808:
1787:
1775:
1772:
1759:
1739:
1717:
1713:
1690:
1686:
1661:
1638:
1635:
1632:
1612:
1592:
1572:
1552:
1532:
1529:
1526:
1506:
1503:
1500:
1497:
1494:
1474:
1454:
1432:
1410:
1386:
1366:
1346:
1343:
1339:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1314:
1310:
1289:
1286:
1283:
1263:
1260:
1257:
1254:
1251:
1231:
1207:
1184:
1164:
1140:
1126:-comprehension
1113:
1108:
1104:
1093:is a model of
1082:
1079:
1076:
1071:
1066:
1061:
1057:
1036:
1005:
1000:
996:
969:
966:
963:
958:
953:
949:
928:
908:
888:
864:
846:large cardinal
824:
820:
799:
787:
784:
780:-comprehension
767:
762:
758:
747:is a model of
736:
733:
730:
725:
720:
715:
711:
687:
684:
678:
674:
649:
644:
640:
636:
633:
613:
593:
573:
551:
546:
542:
521:
501:
480:
476:
473:
448:
444:
417:
413:
389:
386:
380:
376:
352:
330:
325:
321:
300:
277:
274:
268:
264:
241:
238:
233:
228:
224:
203:
183:
146:, named after
132:
129:
123:
119:
106:
103:
85:
84:
67:September 2021
39:
37:
30:
9:
6:
4:
3:
2:
4478:
4467:
4464:
4462:
4459:
4458:
4456:
4441:
4437:
4434:
4423:
4420:
4409:
4406:
4404:
4400:
4394:
4388:
4384:
4380:
4377:
4373:
4365:
4361:
4358:
4352:
4348:
4344:
4341:
4338:
4334:
4331:
4328:
4324:
4321:
4318:
4314:
4311:
4305:
4302:
4297:
4293:
4290:
4288:
4284:
4281:
4280:
4277:
4273:
4266:
4261:
4259:
4254:
4252:
4247:
4246:
4243:
4235:
4233:0-7204-2276-0
4229:
4225:
4221:
4216:
4213:
4207:
4203:
4198:
4195:
4189:
4185:
4181:
4177:
4174:
4170:
4166:
4162:
4158:
4154:
4150:
4146:
4145:
4139:
4135:
4130:
4126:
4122:
4121:
4116:
4111:
4108:
4104:
4099:
4094:
4090:
4086:
4082:
4081:Kleene, S. C.
4078:
4074:
4073:
4065:
4059:
4052:
4048:
4044:
4043:Spectrum of L
4038:
4031:
4025:
4018:
4012:
4005:
3999:
3991:
3986:
3982:
3978:
3971:
3964:
3962:
3960:
3952:
3946:
3944:
3936:
3930:
3923:
3919:
3915:
3911:
3910:
3902:
3895:
3889:
3887:
3885:
3883:
3875:
3869:
3867:
3865:
3863:
3858:
3847:
3832: exists'
3825:
3821:
3812:
3789:
3784:
3780:
3759:
3751:
3736: exists'
3729:
3725:
3716:
3703:
3698:
3694:
3673:
3665:
3662:
3596:
3591:
3587:
3578:
3559:
3546:
3541:
3537:
3516:
3494:
3490:
3481:
3478:
3465:
3443:
3437:
3433:
3427:
3423:
3417:
3413:
3409:
3406:
3403:
3400:
3396:
3392:
3389:
3381:
3368:
3347:
3327:
3319:
3304:
3282:
3278:
3272:
3268:
3262:
3258:
3237:
3229:
3228:
3227:
3201:
3198:
3173:
3170:
3167:
3163:
3157:
3153:
3147:
3143:
3137:
3133:
3127:
3123:
3099:
3096:
3073:
3065:
3050:
3047:
3027:
3005:
3001:
2995:
2991:
2985:
2981:
2960:
2952:
2932:
2929:
2904:
2901:
2881:
2859:
2855:
2849:
2845:
2839:
2835:
2814:
2806:
2789:
2784:
2754:
2751:
2726:
2723:
2701:
2698:
2694:
2669:
2666:
2662:
2657:
2651:
2647:
2641:
2637:
2611:
2608:
2583:
2575:
2560:
2537:
2534:
2508:
2505:
2477:
2452:
2449:
2427:
2423:
2398:
2394:
2389:
2383:
2379:
2373:
2369:
2343:
2318:
2310:
2291:
2288:
2285:
2281:
2275:
2271:
2265:
2261:
2237:
2234:
2211:
2203:
2188:
2166:
2138:
2135:
2109:
2106:
2096:The smallest
2095:
2094:
2078:
2075:
2072:
2068:
2062:
2058:
2052:
2048:
2040:
2021:
2018:
1995:
1987:
1986:
1985:
1971:
1948:
1945:
1940:
1936:
1932:
1929:
1903:
1898:
1894:
1888:
1884:
1863:
1855:
1837:
1810:
1806:
1798:is stable if
1785:
1771:
1757:
1737:
1715:
1688:
1675:
1659:
1650:
1636:
1633:
1630:
1610:
1590:
1570:
1550:
1530:
1527:
1524:
1504:
1498:
1495:
1492:
1472:
1452:
1444:
1430:
1408:
1400:
1384:
1364:
1344:
1341:
1337:
1333:
1330:
1327:
1324:
1318:
1312:
1308:
1287:
1284:
1281:
1261:
1255:
1252:
1249:
1229:
1221:
1205:
1196:
1182:
1162:
1154:
1138:
1129:
1127:
1111:
1106:
1077:
1064:
1059:
1055:
1034:
1026:
1003:
998:
994:
985:
956:
951:
947:
926:
906:
886:
878:
862:
853:
851:
847:
843:
840:Recursively "
838:
822:
818:
797:
783:
781:
765:
760:
731:
718:
713:
709:
676:
672:
663:
647:
642:
638:
634:
631:
611:
591:
571:
549:
544:
540:
519:
499:
474:
471:
462:
446:
442:
433:
415:
411:
378:
374:
366:The notation
364:
350:
328:
323:
298:
266:
262:
231:
226:
222:
201:
181:
173:
169:
165:
164:limit ordinal
161:
157:
153:
149:
148:Alonzo Church
121:
117:
102:
100:
96:
92:
81:
78:
70:
60:
56:
50:
49:
43:
38:
29:
28:
19:
4461:Proof theory
4439:
4421:
4392:
4386:
4382:
4371:
4363:
4350:
4346:
4336:
4326:
4316:
4295:
4286:
4223:
4220:Aczel, Peter
4201:
4183:
4148:
4142:
4124:
4118:
4088:
4084:
4058:
4037:
4029:
4028:J. Barwise,
4024:
4011:
3998:
3980:
3976:
3950:
3949:J. Barwise,
3934:
3929:
3913:
3907:
3901:
3659:without the
3458:
3361:
3225:
3115:-stable iff
2804:-reflecting.
2629:-stable iff
2361:-stable iff
2253:-stable iff
1777:
1673:
1651:
1423:recursively
1422:
1219:
1197:
1152:
1130:
876:
854:
849:
841:
839:
789:
664:
463:
365:
194:(an ordinal
152:S. C. Kleene
108:
90:
88:
73:
64:
45:
3872:D. Madore,
3629:, which is
3320:An ordinal
1778:An ordinal
1652:An ordinal
1198:An ordinal
1131:An ordinal
855:An ordinal
492:, a set is
343:subsets of
59:introducing
4455:Categories
4107:63.0029.02
4049:catalog) (
4015:W. Marek,
3853:References
3772:such that
3686:such that
3529:such that
3250:such that
2596:is called
2331:is called
2224:is called
2008:is called
1876:, denoted
1672:is called
1543:such that
1357:(that is,
1300:such that
1218:is called
1151:is called
875:is called
624:such that
464:For a set
156:order type
42:references
4182:(1987) ,
4091:: 11–21,
4062:T. Arai,
3822:ω
3806:−
3790:⊨
3785:α
3760:α
3726:ω
3704:⊨
3699:α
3674:α
3613:−
3597:⊨
3592:β
3560:ω
3547:∩
3542:β
3517:β
3491:β
3466:α
3438:α
3424:⪯
3418:β
3410:∣
3407:α
3401:β
3369:α
3348:α
3328:α
3305:β
3283:β
3269:⪯
3263:α
3238:α
3168:β
3154:⪯
3148:β
3134:⪯
3128:α
3074:α
3051:α
3028:β
3006:β
2992:⪯
2986:α
2961:α
2905:α
2882:β
2860:β
2846:⪯
2840:α
2815:α
2781:Σ
2727:β
2695:β
2663:α
2648:⪯
2642:α
2584:α
2561:β
2538:β
2453:β
2424:β
2395:α
2380:⪯
2374:α
2319:α
2292:β
2286:α
2272:⪯
2266:α
2238:β
2212:α
2163:Π
2073:α
2059:⪯
2053:α
1996:α
1946:⊨
1941:α
1930:α
1895:⪯
1889:α
1834:Σ
1811:α
1786:α
1758:α
1738:α
1712:Π
1685:Π
1676:if it is
1660:α
1637:γ
1631:δ
1611:δ
1591:β
1551:β
1531:α
1525:β
1505:α
1502:→
1499:α
1473:α
1453:γ
1431:γ
1409:α
1365:β
1345:β
1342:⊆
1334:β
1331:∈
1328:γ
1325:∣
1319:γ
1288:α
1282:β
1262:α
1259:→
1256:α
1230:α
1206:α
1183:α
1163:α
1139:α
1103:Δ
1078:ω
1065:∩
1060:α
1035:α
1004:⊨
999:α
957:⊨
952:α
927:α
907:α
887:α
863:α
823:α
819:τ
798:α
757:Π
732:ω
719:∩
714:α
677:ω
673:ω
639:ω
632:α
592:α
541:ω
475:⊆
443:ω
412:ω
375:ω
351:ω
320:Δ
299:ω
263:ω
232:⊨
227:α
202:α
182:ω
118:ω
4222:(1974),
4173:34314018
4047:WorldCat
4004:Archived
3020:, where
2950:-stable.
2874:, where
2686:, where
2415:, where
2037:-stable
1770:-Mahlo.
4306: Γ
4165:2267778
1175:is the
919:is the
254:.) The
55:improve
4438:
4381:
4362:
4345:
4335:
4325:
4315:
4294:
4285:
4230:
4208:
4190:
4171:
4163:
4105:
3297:where
1583:, and
1443:-Mahlo
430:, the
174:after
154:; its
44:, but
4169:S2CID
4161:JSTOR
4051:EuDML
3973:(PDF)
3579:, or
1825:is a
4228:ISBN
4206:ISBN
4188:ISBN
3404:<
3048:>
2902:>
2724:>
2450:>
1634:<
1528:<
1285:<
1027:"),
1009:V=HC
790:The
150:and
93:are
4354:Ω+1
4339:(Ω)
4329:(Ω)
4319:(Ω)
4153:doi
4129:doi
4103:JFM
4093:doi
3985:doi
3918:doi
2039:iff
1924:min
1856:of
1421:is
4457::
4396:+1
4369:(Ω
4167:,
4159:,
4147:,
4125:44
4123:,
4117:,
4101:,
4089:28
4087:,
4079:;
3981:68
3979:,
3975:,
3958:^
3942:^
3914:19
3912:,
3881:^
3861:^
2093:.
1649:.
1401:,
1128:.
842:x"
837:.
782:.
662:.
363:.
101:.
4440:Ω
4429:1
4415:1
4398:)
4393:ω
4390:Ω
4387:ε
4385:(
4383:ψ
4375:)
4372:ω
4367:0
4364:ψ
4356:)
4351:ε
4349:(
4347:ψ
4337:θ
4327:θ
4317:θ
4308:0
4299:0
4296:ε
4287:ω
4264:e
4257:t
4250:v
4155::
4149:3
4131::
4095::
3987::
3920::
3845:.
3826:1
3817:'
3813:+
3802:C
3798:F
3795:Z
3781:L
3730:1
3721:'
3717:+
3712:P
3709:K
3695:L
3663:.
3645:C
3642:F
3639:Z
3609:C
3605:F
3602:Z
3588:L
3563:)
3557:(
3552:P
3538:L
3495:0
3479:.
3444:}
3434:L
3428:1
3414:L
3397:{
3393:=
3390:X
3279:L
3273:1
3259:L
3205:)
3202:1
3199:+
3196:(
3174:1
3171:+
3164:L
3158:1
3144:L
3138:1
3124:L
3103:)
3100:1
3097:+
3094:(
3002:L
2996:1
2982:L
2938:)
2933:+
2930:+
2926:(
2856:L
2850:1
2836:L
2790:1
2785:1
2760:)
2755:+
2752:+
2748:(
2702:+
2699:+
2670:+
2667:+
2658:L
2652:1
2638:L
2617:)
2612:+
2609:+
2605:(
2573:.
2541:)
2535:+
2532:(
2512:)
2509:1
2506:+
2503:(
2483:)
2478:+
2474:(
2428:+
2399:+
2390:L
2384:1
2370:L
2349:)
2344:+
2340:(
2306:.
2289:+
2282:L
2276:1
2262:L
2241:)
2235:+
2232:(
2201:.
2189:n
2167:n
2142:)
2139:1
2136:+
2133:(
2113:)
2110:1
2107:+
2104:(
2079:1
2076:+
2069:L
2063:1
2049:L
2025:)
2022:1
2019:+
2016:(
1972:T
1952:}
1949:T
1937:L
1933::
1927:{
1904:L
1899:1
1885:L
1864:L
1852:-
1838:1
1807:L
1716:3
1689:3
1571:f
1496::
1493:f
1385:f
1338:}
1322:)
1316:(
1313:f
1309:{
1253::
1250:f
1112:1
1107:2
1081:)
1075:(
1070:P
1056:L
995:L
968:i
965:P
962:K
948:L
850:x
766:1
761:1
735:)
729:(
724:P
710:L
686:K
683:C
648:x
643:1
635:=
612:x
572:x
550:x
545:1
520:x
500:x
479:N
472:x
447:1
416:1
388:K
385:C
379:1
329:1
324:1
276:K
273:C
267:1
240:P
237:K
223:L
131:K
128:C
122:1
80:)
74:(
69:)
65:(
51:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
