1344:
1062:
1193:
722:
1678:
1951:
1541:
582:
1205:
187:
2004:
Richardson, L.F. (1910). "The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam".
1789:
1735:
929:
308:
1108:
766:
833:
456:
981:
1587:
956:
1376:
1980:
1436:
1403:
976:
341:
243:
210:
79:
370:
1113:
877:
857:
789:
398:
593:
2097:
2006:
1595:
1808:
1456:
464:
1339:{\displaystyle \min _{\omega \in (0,\omega _{\text{max}})}\rho (I-\omega A)=\rho (I-\omega _{\text{opt}}A)=1-{\frac {2}{\kappa (A)+1}}\,,}
2218:
90:
2243:
2238:
2090:
2264:
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2061:
1740:
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2035:
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792:
730:
798:
2269:
2141:
403:
27:
2192:
249:
2106:
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1554:
934:
39:
1352:
1959:
2151:
1408:
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961:
313:
215:
195:
51:
2146:
1188:{\displaystyle \omega _{\text{opt}}:=2/(\lambda _{\text{min}}(A)+\lambda _{\text{max}}(A))}
31:
346:
8:
2125:
1196:
2043:
2023:
862:
842:
774:
383:
2057:
1385:
If there are both positive and negative eigenvalues, the method will diverge for any
717:{\displaystyle \|e^{(k+1)}\|=\|(I-\omega A)e^{(k)}\|\leq \|I-\omega A\|\|e^{(k)}\|,}
2161:
2015:
1447:
1379:
23:
2202:
1544:
45:
We seek the solution to a set of linear equations, expressed in matrix terms as
2120:
2258:
2166:
35:
2075:
2019:
1673:{\displaystyle {\tilde {A}}^{T}{\tilde {A}}x={\tilde {A}}^{T}{\tilde {b}}.}
1439:
1946:{\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}-t\nabla F(x^{(k)})=x^{(k)}-t(Ax^{(k)}-b)}
1536:{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\|{\tilde {A}}x-{\tilde {b}}\|_{2}^{2}}
836:
727:
for any vector norm and the corresponding induced matrix norm. Thus, if
577:{\displaystyle e^{(k+1)}=e^{(k)}-\omega Ae^{(k)}=(I-\omega A)e^{(k)}.}
2182:
2027:
958:. If, e.g., all eigenvalues are positive, this can be guaranteed if
1548:
212:
is a scalar parameter that has to be chosen such that the sequence
182:{\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}+\omega \left(b-Ax^{(k)}\right),}
2233:
2223:
16:
Iterative method used to solve a linear system of equations
1956:
which is equivalent to the
Richardson iteration by making
1962:
1811:
1743:
1689:
1598:
1557:
1459:
1411:
1391:
1355:
1208:
1116:
1070:
984:
964:
937:
885:
865:
845:
801:
777:
733:
596:
467:
406:
386:
349:
316:
258:
218:
198:
93:
54:
1547:, a sufficient condition for optimality is that the
1199:. This optimal choice yields a spectral radius of
1974:
1945:
1783:
1729:
1672:
1581:
1535:
1445:
1430:
1397:
1370:
1338:
1187:
1102:
1056:
970:
950:
923:
871:
851:
827:
783:
760:
716:
576:
450:
392:
364:
335:
302:
248:It is easy to see that the method has the correct
237:
204:
181:
73:
2007:Philosophical Transactions of the Royal Society A
2256:
1210:
1784:{\displaystyle b={\tilde {A}}^{T}{\tilde {b}}}
1730:{\displaystyle A={\tilde {A}}^{T}{\tilde {A}}}
2091:
400:, and introducing the notation for the error
34:in his work dated 1910. It is similar to the
2105:
1519:
1485:
1438:has nonzero components in the corresponding
924:{\displaystyle |1-\omega \lambda _{j}|<1}
749:
734:
708:
689:
686:
671:
665:
628:
622:
597:
2098:
2084:
2003:
1332:
1007:
70:
303:{\displaystyle x^{(k+1)}\approx x^{(k)}}
2229:Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
2034:
1103:{\displaystyle |1-\omega \lambda _{j}|}
30:. Richardson iteration was proposed by
2257:
2079:
1799:, so it has no negative eigenvalues.
1064:. The optimal choice, minimizing all
458:, we get the equality for the errors
1589:) which gives rise to the equation
761:{\displaystyle \|I-\omega A\|<1}
13:
1859:
1558:
828:{\displaystyle (\lambda _{j})_{j}}
14:
2281:
1453:Consider minimizing the function
451:{\displaystyle e^{(k)}=x^{(k)}-x}
343:has to approximate a solution of
252:, because if it converges, then
380:Subtracting the exact solution
1940:
1929:
1923:
1912:
1901:
1895:
1884:
1879:
1873:
1865:
1848:
1842:
1829:
1817:
1802:A step of gradient descent is
1775:
1757:
1721:
1703:
1661:
1643:
1624:
1606:
1570:
1564:
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1463:
1423:
1417:
1365:
1359:
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1314:
1293:
1271:
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1247:
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1220:
1182:
1179:
1173:
1157:
1151:
1138:
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1072:
1051:
1045:
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887:
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802:
703:
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560:
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322:
295:
289:
276:
264:
230:
224:
166:
160:
130:
124:
111:
99:
1:
2036:Lebedev, Vyacheslav Ivanovich
1997:
1797:positive semi-definite matrix
1582:{\displaystyle \nabla F(x)=0}
20:Modified Richardson iteration
2040:"Chebyshev iteration method"
951:{\displaystyle \lambda _{j}}
84:The Richardson iteration is
7:
2049:Encyclopedia of Mathematics
1985:
1195:, which gives the simplest
793:symmetric positive definite
10:
2286:
2142:System of linear equations
1371:{\displaystyle \kappa (A)}
28:system of linear equations
2211:
2193:Cache-oblivious algorithm
2175:
2134:
2113:
1975:{\displaystyle t=\omega }
1791:. Because of the form of
859:. The error converges to
2265:Numerical linear algebra
2244:General purpose software
2107:Numerical linear algebra
1992:Richardson extrapolation
768:, the method converges.
1431:{\displaystyle e^{(0)}}
1398:{\displaystyle \omega }
971:{\displaystyle \omega }
336:{\displaystyle x^{(k)}}
238:{\displaystyle x^{(k)}}
205:{\displaystyle \omega }
74:{\displaystyle Ax=b.\,}
2020:10.1098/rsta.1911.0009
1976:
1947:
1785:
1731:
1674:
1583:
1537:
1432:
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1058:
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952:
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578:
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394:
366:
337:
304:
239:
206:
183:
75:
2239:Specialized libraries
2152:Matrix multiplication
2147:Matrix decompositions
1977:
1948:
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1538:
1433:
1405:if the initial error
1400:
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1059:
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1409:
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1353:
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982:
978:is chosen such that
962:
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931:for all eigenvalues
883:
863:
843:
799:
775:
731:
594:
465:
404:
384:
365:{\displaystyle Ax=b}
347:
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256:
216:
196:
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32:Lewis Fry Richardson
2126:Numerical stability
1532:
1197:Chebyshev iteration
40:Gauss–Seidel method
2044:Michiel Hazewinkel
1972:
1943:
1781:
1727:
1670:
1579:
1543:. Since this is a
1533:
1518:
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2270:Iterative methods
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852:{\displaystyle A}
784:{\displaystyle A}
393:{\displaystyle x}
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2162:Matrix splitting
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1788:
1787:
1782:
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1768:
1767:
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1726:
1725:
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1713:
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1707:
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1679:
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1671:
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1657:
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1653:
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1628:
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1617:
1616:
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1602:
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1586:
1585:
1580:
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1540:
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1531:
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1516:
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1498:
1490:
1484:
1476:
1448:gradient descent
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1435:
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1427:
1426:
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1401:
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1380:condition number
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1237:
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1191:
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1171:
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856:
855:
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787:
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764:
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397:
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368:
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340:
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332:
331:
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307:
306:
301:
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298:
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279:
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242:
241:
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234:
233:
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208:
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186:
185:
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170:
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133:
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77:
72:
24:iterative method
2285:
2284:
2280:
2279:
2278:
2276:
2275:
2274:
2255:
2254:
2253:
2248:
2207:
2203:Multiprocessing
2171:
2167:Sparse problems
2130:
2109:
2104:
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2064:
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1552:
1545:convex function
1527:
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1458:
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1451:
1446:Equivalence to
1416:
1412:
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