5549:
4367:
5544:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} ^{(1)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(2)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.5000\\-0.8636\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(3)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8494\\-0.6413\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(4)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8077\\-0.6678\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(5)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8127\\-0.6646\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(6)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8121\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(7)}&={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1193\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7443\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
7214:
1494:
6844:
4184:
6661:
1158:
472:
7209:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} ^{(1)}&={\begin{bmatrix}0&-1.500\\0&1.071\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.1\\2.3\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2.050\\0.393\\\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(2)}&={\begin{bmatrix}0&-1.500\\0&1.071\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2.050\\0.393\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4.911\\-1.651\end{bmatrix}}.\\\mathbf {x} ^{(3)}&=\cdots .\end{aligned}}}
3910:
6390:
125:
1489:{\displaystyle \mathbf {A} =\underbrace {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}} _{\textstyle \mathbf {L} }+\underbrace {\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}} _{\textstyle \mathbf {U} }.}
1669:
4179:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} &=-{\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-0.1875\\0.000&-0.1194\end{bmatrix}},\\\mathbf {c} &={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.6875\\-0.7439\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
6656:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} &=-{\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&3\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.000&-1.500\\0.000&1.071\\\end{bmatrix}},\\\mathbf {c} &={\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.500\\-2.071\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
467:{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}
7875:
8713:
1509:
8337:
9876:
7580:
8348:
3750:
6233:
2172:
3903:
6383:
3303:
5787:
7962:
1664:{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {A} \mathbf {x} &=\mathbf {b} \\(\mathbf {L} +\mathbf {U} )\mathbf {x} &=\mathbf {b} \\\mathbf {L} \mathbf {x} +\mathbf {U} \mathbf {x} &=\mathbf {b} \\\mathbf {L} \mathbf {x} &=\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} \end{alignedat}}}
9612:
6049:
3565:
5631:
1823:
3637:
6123:
1922:
3779:
7870:{\displaystyle {\begin{array}{rrrrl}10x_{1}&-x_{2}&+2x_{3}&&=6,\\-x_{1}&+11x_{2}&-x_{3}&+3x_{4}&=25,\\2x_{1}&-x_{2}&+10x_{3}&-x_{4}&=-11,\\&3x_{2}&-x_{3}&+8x_{4}&=15.\end{array}}}
5885:
3401:
6262:
3200:
7315:
5687:
4372:
972:
2835:
8708:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=3/5=0.6,\\x_{2}&=(3/5)/11+25/11=3/55+25/11=2.3272,\\x_{3}&=-(3/5)/5+(2.3272)/10-11/10=-3/25+0.23272-1.1=-0.9873,\\x_{4}&=-3(2.3272)/8+(-0.9873)/8+15/8=0.8789.\end{aligned}}}
5960:
3476:
6837:
4360:
6849:
8332:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{2}/10-x_{3}/5+3/5,\\x_{2}&=x_{1}/11+x_{3}/11-3x_{4}/11+25/11,\\x_{3}&=-x_{1}/5+x_{2}/10+x_{4}/10-11/10,\\x_{4}&=-3x_{2}/8+x_{3}/8+15/8.\end{aligned}}}
6395:
3915:
9871:{\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j<i}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j>i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad {\begin{array}{l}i=1,2,\ldots ,n\\k=0,1,2,\ldots \end{array}}}
2880:
5556:
2427:-th iteration. This means that, unlike the Jacobi method, only one storage vector is required as elements can be overwritten as they are computed, which can be advantageous for very large problems.
2679:
2627:
1725:
1084:
5968:
5680:
3484:
3195:
8353:
7967:
114:
2720:
8717:
Using the approximations obtained, the iterative procedure is repeated until the desired accuracy has been reached. The following are the approximated solutions after four iterations.
5794:
3310:
2230:
665:
7243:
2358:
2317:
1893:
894:
833:
7545:
7445:
6767:
4290:
2915:
2755:
2393:
750:
597:
7930:
7372:
2973:
Since elements can be overwritten as they are computed in this algorithm, only one storage vector is needed, and vector indexing is omitted. The algorithm goes as follows:
7238:
6729:
6707:
6685:
6257:
6118:
6096:
6074:
4252:
4230:
4208:
3774:
3612:
3590:
2937:
2589:
2556:
2528:
2503:
1852:
1719:
1695:
1046:
1020:
994:
855:
792:
619:
562:
540:
518:
496:
715:
2473:
10177:"Über ein Verfahren, die Gleichungen, auf welche die Methode der kleinsten Quadrate führt, sowie lineäre Gleichungen überhaupt, durch successive Annäherung aufzulösen"
5890:
3406:
10162:
2963:
10404:
8831:
8803:
8775:
8747:
7957:
7572:
7499:
7472:
7399:
3745:{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\end{bmatrix}}.}
2425:
2257:
1131:
6228:{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}2&0\\5&7\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&3\\0&0\\\end{bmatrix}}.}
2760:
881:
2167:{\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\dots ,n.}
7343:
6775:
4298:
3632:
1913:
1151:
1104:
770:
10179:[On a process for solving by successive approximation the equations to which the method of least squares leads as well as linear equations generally].
3898:{\displaystyle \mathbf {L} ^{-1}={\begin{bmatrix}16&0\\7&-11\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.0625&0.0000\\0.0398&-0.0909\\\end{bmatrix}}.}
6378:{\displaystyle \mathbf {L} ^{-1}={\begin{bmatrix}2&0\\5&7\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}0.500&0.000\\-0.357&0.143\\\end{bmatrix}}.}
3298:{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}16&3\\7&-11\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}11\\13\end{bmatrix}}.}
5782:{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}2&3\\5&7\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}.}
10451:
10419:
10572:
57:. Though it can be applied to any matrix with non-zero elements on the diagonals, convergence is only guaranteed if the matrix is either
10597:
2259:. The procedure is generally continued until the changes made by an iteration are below some tolerance, such as a sufficiently small
10623:
2840:
10592:
10444:
10089:
6044:{\displaystyle \mathbf {T} =-\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {U} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {c} =\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {b} .}
3560:{\displaystyle \mathbf {T} =-\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {U} \quad {\text{and}}\quad \mathbf {c} =\mathbf {L} ^{-1}\mathbf {b} .}
10324:
10143:
2632:
2594:
1051:
5650:
3165:
84:
10618:
10551:
10437:
10582:
2688:
10509:
2435:
5626:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \approx {\begin{bmatrix}0.8122\\-0.6650\end{bmatrix}}.}
2179:
1023:
2430:
However, unlike the Jacobi method, the computations for each element are generally much harder to implement in
1818:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}\left(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)}\right).}
624:
10386:
2260:
10541:
2322:
2281:
1857:
797:
10381:
10234:
Bagnara, Roberto (March 1995). "A Unified Proof for the
Convergence of Jacobi and Gauss-Seidel Methods".
10181:
Abhandlungen der
Mathematisch-Physikalischen Klasse der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften
10424:
7504:
7404:
6737:
4260:
2885:
2725:
2363:
720:
567:
10495:
7882:
2559:
2446:
1514:
58:
40:
7348:
10546:
10084:
54:
10176:
10460:
10376:
10248:
5880:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)})}
3396:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {L} ^{-1}(\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)})}
2531:
70:
66:
20:
10094:
7221:
6712:
6690:
6668:
6240:
6101:
6079:
6057:
4235:
4213:
4191:
3757:
3595:
3573:
2920:
2572:
2539:
2511:
2486:
2442:. Furthermore, the values at each iteration are dependent on the order of the original equations.
2176:
Notice that the formula uses two summations per iteration which can be expressed as one summation
1835:
1702:
1678:
1029:
1003:
977:
838:
775:
602:
545:
523:
501:
479:
7585:
670:
10409:
7310:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}-38\\29\end{bmatrix}}}
10398:
10243:
2452:
7240:
is neither diagonally dominant nor positive definite. Then, convergence to the exact solution
10505:
967:{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {b} -\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(k)},}
2942:
2830:{\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {N} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {b} }
10500:
10295:
10114:
8809:
8781:
8753:
8725:
7935:
7550:
7477:
7450:
7377:
2398:
2271:
The element-wise formula for the Gauss–Seidel method is related to that of the (iterative)
2235:
1916:
1109:
50:
8:
10479:
10312:
860:
10336:
2566:
The Gauss–Seidel method sometimes converges even if these conditions are not satisfied.
10261:
10102:(a "row-oriented" method, whereas Gauss-Seidel is "column-oriented." See, for example,
7328:
7218:
If we test for convergence we'll find that the algorithm diverges. In fact, the matrix
3617:
2431:
1898:
1136:
1089:
755:
10352:
10320:
10139:
997:
10515:
10253:
10109:
6769:: we can only guess. The better the guess, the quicker will perform the algorithm.
4292:: we can only guess. The better the guess, the quicker the algorithm will perform.
62:
36:
8906:
The following numerical procedure simply iterates to produce the solution vector.
2483:
The convergence properties of the Gauss–Seidel method are dependent on the matrix
10556:
10302:(in German), vol. 9, Göttingen: Köninglichen Gesellschaft der Wissenschaften
10099:
2682:
5955:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {c} }
3471:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {x} ^{(k)}+\mathbf {c} }
10474:
10393:
8345:
as the initial approximation, then the first approximate solution is given by
10612:
10520:
10308:
2439:
2272:
1674:
The Gauss–Seidel method now solves the left hand side of this expression for
47:
10429:
10356:
9604:
6832:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}={\begin{bmatrix}1.1\\2.3\end{bmatrix}}.}
4355:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}={\begin{bmatrix}1.0\\1.0\end{bmatrix}}.}
9803:
7374:. At any step in a Gauss-Seidel iteration, solve the first equation for
10265:
69:. It was only mentioned in a private letter from Gauss to his student
10536:
10341:
10257:
10103:
10414:
44:
73:
in 1823. A publication was not delivered before 1874 by Seidel.
10587:
10577:
2569:
Golub and Van Loan give a theorem for an algorithm that splits
542:
is unknown, we can use the Gauss–Seidel method to approximate
5639:
is strictly diagonally dominant (but not positive definite).
1722:
on the right hand side. Analytically, this may be written as
10333:
10360:
16:
Iterative method used to solve a linear system of equations
2875:{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }
2360:
that have already been computed, and only the elements of
5642:
9605:
Program to solve arbitrary no. of equations using Matlab
7574:. Then, repeat iterations until (hopefully) converged.
2505:. Namely, the procedure is known to converge if either:
1832:
However, by taking advantage of the triangular form of
7320:
7283:
7140:
7108:
7079:
7040:
6982:
6950:
6921:
6882:
6805:
6622:
6593:
6554:
6496:
6457:
6418:
6338:
6290:
6191:
6140:
5755:
5704:
5596:
5553:
As expected, the algorithm converges to the solution:
5510:
5478:
5446:
5404:
5343:
5311:
5279:
5237:
5176:
5144:
5112:
5070:
5009:
4977:
4945:
4903:
4842:
4810:
4778:
4736:
4675:
4643:
4611:
4569:
4508:
4476:
4447:
4405:
4328:
4145:
4116:
4077:
4016:
3977:
3938:
3858:
3807:
3708:
3654:
3271:
3217:
2674:{\displaystyle r=\rho (\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {N} )}
2622:{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {M} -\mathbf {N} }
1474:
1347:
1328:
1177:
1079:{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} +\mathbf {U} }
405:
332:
142:
87:
10138:(2nd ed.). Pearson Education, Inc. p. 109.
9615:
8812:
8784:
8756:
8728:
8351:
7965:
7938:
7885:
7583:
7553:
7507:
7480:
7453:
7407:
7380:
7351:
7331:
7317:
is not guaranteed and, in this case, will not occur.
7246:
7224:
6847:
6778:
6740:
6715:
6693:
6671:
6393:
6265:
6243:
6126:
6104:
6082:
6060:
5971:
5893:
5797:
5690:
5675:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
5653:
5559:
4370:
4301:
4263:
4238:
4216:
4194:
3913:
3782:
3760:
3640:
3620:
3598:
3576:
3487:
3409:
3313:
3203:
3190:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
3168:
2945:
2923:
2888:
2843:
2763:
2728:
2691:
2635:
2597:
2575:
2542:
2514:
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2455:
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1901:
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1112:
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758:
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673:
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570:
548:
526:
504:
482:
128:
8901:
3157:
2232:
that uses the most recently calculated iteration of
1503:
The system of linear equations may be rewritten as:
3145:-loop) check if convergence is reached
9870:
8825:
8797:
8769:
8741:
8707:
8331:
7951:
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6831:
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3559:
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534:
512:
490:
466:
109:{\textstyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }
108:
10610:
10351:This article incorporates text from the article
10445:
10405:Gauss Siedel Iteration from www.geocities.com
10307:
10278:
10221:
10209:
10197:
6076:into the sum of a lower triangular component
3592:into the sum of a lower triangular component
2715:{\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {N} }
10459:
10452:
10438:
10319:(3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins,
6709:and we can use them to obtain the vectors
4232:and we can use them to obtain the vectors
2225:{\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}
1895:can be computed sequentially for each row
1086:. More specifically, the decomposition of
10401:From Holistic Numerical Methods Institute
10247:
891:The solution is obtained iteratively via
6098:and a strict upper triangular component
3614:and a strict upper triangular component
1827:
660:{\displaystyle \mathbf {x} _{i}^{(0)}=0}
10583:Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
10233:
7577:To make it clear, consider an example:
886:
10611:
10174:
5643:Another example for the matrix version
10433:
10334:
10294:
10158:
10133:
7447:; then solve the second equation for
10394:Gauss–Seidel from www.math-linux.com
9609:The following code uses the formula
8894:The exact solution of the system is
2353:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}
2312:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}
2278:In Gauss-Seidel, the computation of
1888:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}
828:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}
7321:An example for the equation version
2395:that have not been computed in the
13:
10335:Black, Noel & Moore, Shirley.
7540:{\displaystyle x_{3},\dots ,x_{n}}
7440:{\displaystyle x_{2},\dots ,x_{n}}
6762:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}
4285:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}
2910:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}
2750:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}
2434:, since they can have a very long
2388:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}
1499:Why the matrix-based formula works
772:-th approximation or iteration of
745:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}
592:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}}
14:
10635:
10369:
8902:An example using Python and NumPy
7925:{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
3158:An example for the matrix version
2438:, and are thus most feasible for
33:method of successive displacement
10095:Iterative method: Linear systems
9001:"System of equations:"
7367:{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
7354:
7271:
7257:
7248:
7226:
7173:
7012:
6854:
6781:
6743:
6734:First of all, we have to choose
6717:
6695:
6673:
6538:
6399:
6268:
6245:
6179:
6128:
6106:
6084:
6062:
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6020:
6011:
5999:
5985:
5973:
5948:
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5922:
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5827:
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5743:
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5668:
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5561:
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5042:
4875:
4708:
4541:
4377:
4304:
4266:
4257:First of all, we have to choose
4240:
4218:
4196:
4061:
3919:
3785:
3762:
3696:
3642:
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3501:
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3360:
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3183:
3175:
3170:
2925:
2891:
2868:
2854:
2845:
2823:
2803:
2797:
2771:
2765:
2731:
2708:
2694:
2664:
2650:
2615:
2607:
2599:
2577:
2544:
2516:
2491:
2369:
2328:
2287:
2275:, with an important difference:
1863:
1840:
1791:
1785:
1777:
1758:
1731:
1707:
1683:
1653:
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1640:
1628:
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1584:
1575:
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1547:
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905:
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393:
320:
130:
102:
94:
89:
9801:
7345:equations and a starting point
6177:
6171:
6009:
6003:
5741:
5735:
5647:Another linear system shown as
3694:
3688:
3525:
3519:
3257:
3251:
2133:
1698:, using the previous value for
391:
318:
10624:Relaxation (iterative methods)
10272:
10227:
10215:
10203:
10191:
10168:
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10127:
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7178:
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7017:
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6859:
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5913:
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2645:
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2402:
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2374:
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2333:
2304:
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2120:
2114:
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2044:
1948:
1936:
1880:
1868:
1802:
1796:
1748:
1736:
1559:
1543:
956:
950:
922:
910:
820:
808:
737:
731:
646:
640:
599:denotes our initial guess for
584:
578:
76:
1:
10288:
7501:just found and the remaining
2266:
7233:{\displaystyle \mathbf {A} }
6724:{\displaystyle \mathbf {x} }
6702:{\displaystyle \mathbf {c} }
6680:{\displaystyle \mathbf {T} }
6252:{\displaystyle \mathbf {L} }
6113:{\displaystyle \mathbf {U} }
6091:{\displaystyle \mathbf {L} }
6069:{\displaystyle \mathbf {A} }
5791:We want to use the equation
4295:We choose a starting point:
4247:{\displaystyle \mathbf {x} }
4225:{\displaystyle \mathbf {c} }
4203:{\displaystyle \mathbf {T} }
3769:{\displaystyle \mathbf {L} }
3607:{\displaystyle \mathbf {L} }
3585:{\displaystyle \mathbf {A} }
3307:We want to use the equation
2968:
2932:{\displaystyle \mathbf {M} }
2584:{\displaystyle \mathbf {A} }
2551:{\displaystyle \mathbf {A} }
2523:{\displaystyle \mathbf {A} }
2498:{\displaystyle \mathbf {A} }
2445:Gauss-Seidel is the same as
1847:{\displaystyle \mathbf {L} }
1714:{\displaystyle \mathbf {x} }
1690:{\displaystyle \mathbf {x} }
1041:{\displaystyle \mathbf {U} }
1015:{\displaystyle \mathbf {L} }
989:{\displaystyle \mathbf {A} }
850:{\displaystyle \mathbf {x} }
787:{\displaystyle \mathbf {x} }
614:{\displaystyle \mathbf {x} }
557:{\displaystyle \mathbf {x} }
535:{\displaystyle \mathbf {x} }
513:{\displaystyle \mathbf {b} }
491:{\displaystyle \mathbf {A} }
59:strictly diagonally dominant
7:
10382:Encyclopedia of Mathematics
10090:Gaussian belief propagation
10078:
8974:# initialize the RHS vector
3152:
2558:is strictly or irreducibly
710:{\displaystyle i=1,2,...,n}
10:
10640:
10496:System of linear equations
3011:until convergence
2447:successive over-relaxation
41:system of linear equations
10565:
10547:Cache-oblivious algorithm
10529:
10488:
10467:
10279:Golub & Van Loan 1996
10222:Golub & Van Loan 1996
10210:Golub & Van Loan 1996
10198:Golub & Van Loan 1996
10085:Conjugate gradient method
3162:A linear system shown as
2468:{\displaystyle \omega =1}
1024:strictly upper triangular
120:linear equations, where:
55:Philipp Ludwig von Seidel
10619:Numerical linear algebra
10598:General purpose software
10461:Numerical linear algebra
10120:
9879:
9548:
8908:
3002:Choose an initial guess
2882:for any starting vector
2591:into two parts. Suppose
43:. It is named after the
21:numerical linear algebra
10410:The Gauss-Seidel Method
10175:Seidel, Ludwig (1874).
10134:Sauer, Timothy (2006).
8932:# initialize the matrix
6841:We can then calculate:
4364:We can then calculate:
9872:
8827:
8799:
8771:
8743:
8709:
8333:
7953:
7926:
7871:
7568:
7541:
7495:
7468:
7441:
7395:
7368:
7339:
7311:
7234:
7210:
6833:
6763:
6725:
6703:
6681:
6657:
6379:
6253:
6229:
6114:
6092:
6070:
6045:
5956:
5881:
5783:
5676:
5627:
5545:
4356:
4286:
4248:
4226:
4204:
4180:
3899:
3770:
3746:
3628:
3608:
3586:
3561:
3472:
3397:
3299:
3191:
2959:
2958:{\displaystyle r<1}
2933:
2911:
2876:
2831:
2751:
2716:
2675:
2623:
2585:
2552:
2524:
2499:
2469:
2421:
2389:
2354:
2313:
2253:
2226:
2168:
2090:
2020:
1909:
1889:
1848:
1819:
1715:
1691:
1665:
1490:
1147:
1127:
1100:
1080:
1042:
1016:
990:
968:
877:
851:
829:
788:
766:
746:
711:
661:
615:
593:
558:
536:
514:
492:
468:
116:be a square system of
110:
10593:Specialized libraries
10506:Matrix multiplication
10501:Matrix decompositions
10337:"Gauss-Seidel Method"
10296:Gauss, Carl Friedrich
9873:
9546:Produces the output:
8828:
8826:{\displaystyle x_{4}}
8800:
8798:{\displaystyle x_{3}}
8772:
8770:{\displaystyle x_{2}}
8744:
8742:{\displaystyle x_{1}}
8710:
8334:
7954:
7952:{\displaystyle x_{4}}
7927:
7872:
7569:
7567:{\displaystyle x_{n}}
7542:
7496:
7494:{\displaystyle x_{1}}
7469:
7467:{\displaystyle x_{2}}
7442:
7396:
7394:{\displaystyle x_{1}}
7369:
7340:
7312:
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7211:
6834:
6764:
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6704:
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6071:
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5882:
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5677:
5628:
5546:
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4249:
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4205:
4181:
3900:
3771:
3747:
3629:
3609:
3587:
3562:
3473:
3398:
3300:
3192:
2960:
2934:
2912:
2877:
2832:
2752:
2717:
2676:
2624:
2586:
2553:
2525:
2500:
2470:
2422:
2420:{\displaystyle (k+1)}
2390:
2355:
2319:uses the elements of
2314:
2254:
2252:{\displaystyle x_{j}}
2227:
2169:
2064:
1994:
1910:
1890:
1849:
1828:Element-based formula
1820:
1716:
1692:
1666:
1491:
1148:
1128:
1126:{\displaystyle L_{*}}
1101:
1081:
1043:
1017:
996:is decomposed into a
991:
969:
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