7356:
2215:
5111:
5868:
3344:
2025:
4744:
5642:
3081:
2210:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} \\&=(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }})^{\top }\mathbf {A} (\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }})\\&={\boldsymbol {\xi }}^{\top }\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}\end{aligned}}}
5106:{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert _{2}^{2}&=(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }})^{\top }(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }})\\&=\mathrm {Tr} -\mathrm {Tr} +\mathrm {Tr} \\&=\mathrm {Tr} -\mathrm {Tr} \end{aligned}}}
1468:
5863:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} _{\star }\mathbf {Y} \\&=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {R} \mathbf {V} _{i}\mathbf {R} \mathbf {Y} \\&\equiv \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}Q_{i}\\&\equiv {\boldsymbol {\lambda }}^{\top }\mathbf {Q} \end{aligned}}}
6855:
6685:
3339:{\displaystyle {\frac {p_{1}}{c_{1}}}{\boldsymbol {\xi }}_{1}^{\top }{\boldsymbol {\xi }}_{1}+\cdots +{\frac {p_{k}}{c_{k}}}{\boldsymbol {\xi }}_{k}^{\top }{\boldsymbol {\xi }}_{k}={\boldsymbol {\xi }}^{\top }\left{\boldsymbol {\xi }}\equiv {\boldsymbol {\xi }}^{\top }{\boldsymbol {\Delta }}{\boldsymbol {\xi }}}
2620:
3919:
6293:
1274:
222:
1836:
1743:
3416:
5525:
6734:
6422:
5361:
6944:
4521:
3978:
3654:
3473:
1196:
2776:
2321:
1673:
817:
3807:
1463:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{1}^{2}\mathbf {U} _{1}\mathbf {U} _{1}^{\top }+\cdots +\sigma _{k}^{2}\mathbf {U} _{k}\mathbf {U} _{k}^{\top }\equiv \sigma _{1}^{2}\mathbf {V} _{1}+\cdots +\sigma _{k}^{2}\mathbf {V} _{k}}
6014:
4395:
4219:
132:
1593:
4737:
7066:
7076:
MINQUE estimators can be obtained without the invariance criteria, in which case the estimator is only unbiased and minimizes the norm. Such estimators have slightly different constraints on the minimization problem.
5423:
6729:
1750:
4290:
6330:
7295:
585:
436:
365:
1680:
1268:
3351:
5428:
1975:
1879:
921:
3579:
1539:
661:
308:
267:
4088:
717:
3692:
2018:
1936:
7174:
7126:
6019:
5647:
4749:
2326:
2030:
1146:
3048:
2910:
771:
7017:
125:
6007:
6850:{\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\lambda }}^{\top }\mathbf {Q} =\mathbf {p} ^{\top }(\mathbf {S} ^{-})^{\top }\mathbf {Q} =\mathbf {p} ^{\top }\mathbf {S} ^{-}\mathbf {Q} }
858:
508:
5892:
5613:
4443:
2314:
3070:
7345:
6680:{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\mathrm {Tr} &\cdots &\mathrm {Tr} \\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {Tr} &\cdots &\mathrm {Tr} \end{bmatrix}}}
6393:
7218:
2943:
5960:
4032:
3755:
1057:
5281:
3510:
981:
4120:
2283:. Below, the expectation of the estimator can be decomposed for each component since the components are uncorrelated with each other. Furthermore, the cyclic property of the
6860:
4448:
5249:
5154:
6415:
5635:
5584:
5551:
5274:
5198:
5176:
3601:
2798:
2261:
1901:
1615:
1220:
952:
3800:
3930:
3606:
3425:
2963:
2281:
1153:
2631:
7080:
The model can be extended to estimate covariance components. In such a model, the random effects of a component are assumed to have a common covariance structure
2615:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} &=\mathbb {E} \\&=\sum _{i=1}^{k}\mathbb {E} \\&=\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\mathrm {Tr} \end{aligned}}}
460:
385:
1633:
779:
3914:{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-m}}(\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})^{\top }(\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\beta }}})}
6288:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Tr} &=p_{j}\\\mathrm {Tr} \left&=p_{j}\\\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathrm {Tr} &=p_{j}\end{aligned}}}
217:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} _{1}{\boldsymbol {\xi }}_{1}+\cdots +\mathbf {U} _{k}{\boldsymbol {\xi }}_{k}}
4295:
4125:
1544:
4530:
7022:
5369:
1831:{\displaystyle (\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0})^{\top }\mathbf {A} (\mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0})}
7586:
6692:
4224:
1738:{\displaystyle \mathbf {Y} -\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}_{0}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\gamma }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}}
6300:
7223:
3411:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{\top }(\mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}){\boldsymbol {\xi }}}
513:
390:
313:
7397:
5520:{\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {X} (\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {V} ^{-1}\mathbf {X} )^{-}\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {V} ^{-1}}
1227:
1941:
1845:
863:
3515:
1475:
63:
590:
276:
66:
error variance in multiple linear regression. MINQUE estimators also provide an alternative to maximum likelihood estimators or
229:
4037:
666:
3662:
1988:
1906:
7131:
7083:
1062:
2968:
2803:
732:
6949:
93:
1086:
1007:
5965:
3483:
Given the constraints and optimization strategy derived from the optimal properties above, the MINQUE estimator
1675:, which represents a translation of the original fixed effect. The new, equivalent model is now the following.
822:
465:
47:
5875:
5596:
4415:
2290:
7390:
3053:
67:
51:
7300:
7128:. A MINQUE estimator for a mixture of variance and covariance components was also proposed. In this model,
6335:
439:
7179:
2926:
5897:
5356:{\displaystyle \mathbf {A} _{\star }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {R} \mathbf {V} _{i}\mathbf {R} }
4445:
is the square root of the sum of squares of all elements in the matrix. When evaluating this norm below,
3991:
3699:
990:
7581:
6939:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}=\mathbf {p} ^{\top }{\boldsymbol {\sigma }}}
4516:{\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{1}+\cdots +\mathbf {V} _{k}=\mathbf {U} \mathbf {U} ^{\top }}
3486:
957:
7576:
4093:
954:
that shares a common variance can be modeled as an individual variance component with an appropriate
7383:
5203:
5118:
3980:. Thus, the standard estimator for error variance in the Gauss-Markov model is a MINQUE estimator.
3772:
774:
55:
6398:
5618:
5556:
5534:
5257:
5181:
5159:
3973:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
3649:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
3584:
3468:{\displaystyle \lVert \mathbf {U} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {U} -{\boldsymbol {\Delta }}\rVert }
2781:
2226:
1884:
1598:
1203:
935:
3778:
1191:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {U} {\boldsymbol {\xi }}}
4524:
2771:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\mathrm {Tr} =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
2284:
17:
2948:
2266:
2220:
1842:
argued that since the underlying models are equivalent, this estimator should be equal to
8:
5587:
1668:{\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}={\boldsymbol {\beta }}-{\boldsymbol {\beta }}_{0}}
812:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\epsilon }}}
7553:
7536:
Rao, C.R. (1972). "Estimation of variance and covariance components in linear models".
7451:
445:
370:
78:
of the response variable and are used to estimate a linear function of the variances.
4408:
proposed a MINQUE estimator for the variance components model based on minimizing the
7493:
5528:
59:
43:
7480:
Rao, C.R. (1971). "Estimation of variance and covariance components MINQUE theory".
7355:
2020:, as argued in the section above. Then, the MINQUE estimator has the following form
7549:
7545:
7497:
7489:
7447:
7443:
5962:. That is, the vector represents the solution to the following system of equations
3073:
7371:
4390:{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}
4214:{\displaystyle {\frac {n}{n-2}}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}-{\frac {s^{2}}{n-2}}}
7367:
462:-th random-effect component. The random effects are assumed to have zero mean (
75:
7502:
7434:
Rao, C.R. (1970). "Estimation of heteroscedastic variances in linear models".
3983:
722:
This is a general model that captures commonly used linear regression models.
7570:
1588:{\displaystyle {\hat {\theta }}=\mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
270:
4732:{\displaystyle \mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} \left=\mathrm {Tr} }
7061:{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\sigma }}}=\mathbf {S} ^{-}\mathbf {Q} }
5178:, the MINQUE with the Euclidean norm is obtained by identifying the matrix
3348:
The difference between the proposed estimator and the natural estimator is
5418:{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {I} -\mathbf {P} )}
4409:
3924:
3419:
87:
71:
1617:
such that the estimator has some desirable properties, described below.
7557:
7455:
7363:
31:
6724:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {S} ^{-}\mathbf {p} }
4405:
2920:
2625:
1839:
587:). Furthermore, any two random effect vectors are also uncorrelated (
39:
5593:
Therefore, the MINQUE estimator is the following, where the vectors
1620:
4285:{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}
6325:{\displaystyle \mathbf {S} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {p} }
1625:
7290:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} _{c_{i}}}
580:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{i}^{2}\mathbf {I} _{c_{i}}}
431:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{i}\in \mathbb {R} ^{c_{i}}}
360:{\displaystyle \mathbf {U} _{i}\in \mathbb {R} ^{n\times c_{i}}}
1263:{\displaystyle \mathbb {E} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}}
1200:
Note that this model makes no distributional assumptions about
987:
A compact representation for the model is the following, where
3766:
3923:
This estimator is unbiased and can be shown to minimize the
1970:{\displaystyle \mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
1874:{\displaystyle \mathbf {Y} ^{\top }\mathbf {A} \mathbf {Y} }
916:{\displaystyle \mathbb {V} =\sigma _{1}^{2}\mathbf {I} _{n}}
3984:
Random
Variables with Common Mean and Heteroscedastic Error
3574:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
1534:{\displaystyle \theta =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\sigma _{i}^{2}}
42:. MINQUE is a theory alongside other estimation methods in
7019:. Therefore, the estimator for the variance components is
656:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbf {0} \,\forall i\neq j}
303:{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{m}}
1747:
Under this equivalent model, the MINQUE estimator is now
1595:. MINQUE estimators are derived by identifying a matrix
262:{\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times m}}
62:
models. The method was originally conceived to estimate
4083:{\displaystyle \sigma _{1}^{2},\cdots ,\sigma _{n}^{2}}
712:{\displaystyle \sigma _{1}^{2},\cdots ,\sigma _{k}^{2}}
6439:
7303:
7226:
7182:
7134:
7086:
7025:
6952:
6863:
6737:
6695:
6425:
6401:
6338:
6303:
6017:
5968:
5900:
5878:
5645:
5621:
5599:
5559:
5537:
5431:
5372:
5284:
5260:
5251:, subject to the MINQUE constraints discussed above.
5206:
5184:
5162:
5121:
4747:
4533:
4451:
4418:
4298:
4227:
4128:
4096:
4040:
3994:
3933:
3810:
3781:
3702:
3687:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
3665:
3609:
3587:
3518:
3489:
3428:
3418:. This difference can be minimized by minimizing the
3354:
3084:
3056:
2971:
2951:
2929:
2806:
2784:
2634:
2324:
2293:
2269:
2229:
2028:
2013:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
1991:
1944:
1931:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {0} }
1909:
1887:
1848:
1753:
1683:
1636:
1601:
1547:
1478:
1277:
1230:
1206:
1156:
1065:
993:
960:
938:
866:
825:
782:
735:
669:
593:
516:
468:
448:
393:
373:
316:
279:
232:
135:
96:
7169:{\displaystyle \mathbb {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}}
7121:{\displaystyle \mathbb {V} ={\boldsymbol {\Sigma }}}
4400:
2287:
is used to evaluate the expectation with respect to
36:
minimum norm quadratic unbiased estimation (MINQUE)
7339:
7289:
7212:
7168:
7120:
7060:
7011:
6938:
6849:
6723:
6679:
6409:
6387:
6324:
6287:
6001:
5954:
5886:
5862:
5629:
5607:
5578:
5545:
5519:
5417:
5355:
5268:
5243:
5192:
5170:
5148:
5105:
4731:
4515:
4437:
4389:
4284:
4213:
4114:
4082:
4026:
3972:
3913:
3794:
3749:
3686:
3648:
3595:
3573:
3504:
3467:
3410:
3338:
3064:
3042:
2957:
2937:
2904:
2792:
2770:
2614:
2308:
2275:
2255:
2209:
2012:
1969:
1930:
1895:
1873:
1830:
1737:
1667:
1609:
1587:
1533:
1462:
1262:
1214:
1190:
1141:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{\top }=\left}
1140:
1051:
975:
946:
915:
852:
811:
765:
711:
655:
579:
502:
454:
430:
379:
359:
302:
261:
216:
119:
3043:{\displaystyle \mathbb {E} =c_{i}\sigma _{i}^{2}}
2905:{\displaystyle \mathrm {Tr} =\mathrm {Tr} =p_{i}}
1977:in the expansion of the quadratic form are zero.
766:{\displaystyle \mathbf {U} _{1}=\mathbf {I} _{n}}
7568:
7012:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=^{\top }}
1621:Optimal Estimator Properties to Constrain MINQUE
719:represent the variance components of the model.
310:represents the unknown fixed-effect parameters,
120:{\displaystyle \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}
7538:Journal of the American Statistical Association
7436:Journal of the American Statistical Association
1626:Invariance to translation of the fixed effects
7391:
7334:
7310:
7207:
7189:
6002:{\displaystyle \forall j\in \{1,\cdots ,k\}}
5996:
5978:
5276:that satisfies this optimization problem is
4786:
4752:
4523:. Furthermore, using the cyclic property of
4426:
4419:
3967:
3934:
3643:
3610:
3462:
3429:
2778:, which can be accomplished by constraining
4034:with a common mean and different variances
2624:To ensure that this estimator is unbiased,
729:If we consider a one-component model where
7398:
7384:
3767:Standard Estimator for Homoscedastic Error
1938:, which ensures that all terms other than
7501:
7228:
7136:
7088:
6983:
6979:
6364:
6360:
3761:
2973:
2945:were observed, a "natural" estimator for
2441:
2360:
2330:
2231:
1279:
1232:
1222:other than the first and second moments.
868:
853:{\displaystyle \mathbb {E} =\mathbf {0} }
827:
640:
595:
518:
503:{\displaystyle \mathbb {E} =\mathbf {0} }
470:
411:
334:
290:
243:
107:
6297:This can be written as a matrix product
5887:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}
5608:{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}
4438:{\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{2}}
2309:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{i}}
58:, MINQUE is specifically concerned with
7237:
7145:
7097:
7029:
6954:
6932:
6755:
6697:
6310:
5880:
5841:
5601:
3899:
3861:
3404:
3357:
3332:
3316:
3307:
3205:
3190:
3173:
3128:
3111:
3065:{\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}}
2999:
2982:
2931:
2501:
2450:
2402:
2369:
2296:
2199:
2166:
2147:
2134:
2106:
2093:
1881:. This can be achieved by constraining
1815:
1772:
1731:
1718:
1699:
1655:
1646:
1638:
1256:
1184:
1171:
1115:
1091:
1068:
876:
835:
805:
797:
619:
604:
527:
479:
396:
281:
204:
171:
150:
14:
7569:
7340:{\displaystyle i\in \{s+1,\cdots ,k\}}
2263:must equal the parameter of interest,
1980:
1630:Consider a new fixed-effect parameter
773:, then the model is equivalent to the
70:estimators for variance components in
6388:{\displaystyle \mathbf {p} =^{\top }}
127:with the following linear structure.
7587:Statistical deviation and dispersion
7531:
7529:
7527:
7525:
7523:
7521:
7519:
7517:
7515:
7513:
7475:
7473:
7471:
7469:
7467:
7465:
7429:
7427:
7425:
7423:
7421:
7419:
7350:
7213:{\displaystyle i\in \{1,\cdots ,s\}}
5894:is obtained by using the constraint
2938:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}
7535:
7479:
7433:
5955:{\displaystyle \mathrm {Tr} =p_{i}}
4027:{\displaystyle Y_{1},\cdots ,Y_{n}}
3750:{\displaystyle \mathrm {Tr} =p_{i}}
2223:, the expectation of the estimator
24:
7004:
6926:
6825:
6805:
6780:
6760:
6731:. This implies that the MINQUE is
6625:
6622:
6570:
6567:
6501:
6498:
6446:
6443:
6380:
6220:
6217:
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6082:
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6023:
5969:
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5902:
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5676:
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5123:
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5076:
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5039:
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5005:
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4961:
4958:
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4900:
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4706:
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4623:
4611:
4582:
4579:
4552:
4538:
4535:
4508:
3944:
3875:
3802:is estimated using the following.
3707:
3704:
3620:
3439:
3377:
3362:
3321:
3230:
3227:
3224:
3221:
3210:
3183:
3121:
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2859:
2830:
2811:
2808:
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2672:
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2561:
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2460:
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2374:
2183:
2171:
2115:
2059:
1952:
1856:
1787:
1570:
1472:The goal in MINQUE is to estimate
1389:
1336:
1125:
1101:
1073:
1052:{\displaystyle \mathbf {U} =\left}
641:
25:
7598:
7510:
7462:
7416:
4401:Estimator for Variance Components
2219:To ensure that this estimator is
387:-th random-effect component, and
27:Theory in the field of statistics
7354:
7270:
7162:
7114:
7054:
7043:
6921:
6843:
6832:
6820:
6811:
6790:
6775:
6766:
6717:
6706:
6656:
6650:
6639:
6633:
6601:
6595:
6584:
6578:
6532:
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6515:
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6471:
6460:
6454:
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6305:
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5752:
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3715:
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3667:
3639:
3631:
3626:
3615:
3589:
3581:is derived by choosing a matrix
3505:{\displaystyle {\hat {\theta }}}
3458:
3450:
3445:
3434:
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3388:
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1998:
1993:
1963:
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1889:
1867:
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1851:
1809:
1801:
1793:
1766:
1758:
1726:
1713:
1693:
1685:
1603:
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1576:
1565:
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1414:
1379:
1367:
1326:
1314:
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1251:
1240:
1208:
1179:
1166:
1158:
1031:
1012:
995:
976:{\displaystyle \mathbf {U} _{i}}
963:
940:
932:Each set of random variables in
903:
846:
792:
784:
753:
738:
636:
560:
496:
319:
234:
192:
159:
145:
137:
98:
4115:{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}
2915:
56:best linear unbiased estimation
7550:10.1080/01621459.1972.10481212
7448:10.1080/01621459.1970.10481070
7247:
7232:
7155:
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7107:
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7000:
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6801:
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6347:
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6057:
6030:
5936:
5909:
5656:
5637:are defined based on the sum.
5567:
5560:
5481:
5445:
5412:
5396:
5238:
5215:
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5012:
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872:
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831:
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599:
537:
522:
489:
474:
13:
1:
7410:
7071:
5244:{\displaystyle \mathrm {Tr} }
5149:{\displaystyle \mathrm {Tr} }
3656:, subject to the constraints
2965:would be the following since
81:
68:restricted maximum likelihood
52:maximum likelihood estimation
7494:10.1016/0047-259x(71)90001-7
7370:. You can help Knowledge by
6410:{\displaystyle \mathbf {S} }
5630:{\displaystyle \mathbf {Q} }
5579:{\displaystyle (\cdot )^{-}}
5546:{\displaystyle \mathbf {X} }
5269:{\displaystyle \mathbf {A} }
5193:{\displaystyle \mathbf {A} }
5171:{\displaystyle \mathbf {A} }
4372:
4233:
4168:
3596:{\displaystyle \mathbf {A} }
3478:
2793:{\displaystyle \mathbf {A} }
2256:{\displaystyle \mathbb {E} }
1896:{\displaystyle \mathbf {A} }
1610:{\displaystyle \mathbf {A} }
1215:{\displaystyle \mathbf {Y} }
947:{\displaystyle \mathbf {Y} }
7:
5254:Rao showed that the matrix
4090:, the MINQUE estimator for
3795:{\displaystyle \sigma ^{2}}
367:is a design matrix for the
54:. Similar to the theory of
10:
7603:
7349:
1985:Suppose that we constrain
5531:into the column space of
663:). The unknown variances
86:We are concerned with a
74:. MINQUE estimators are
2958:{\displaystyle \theta }
2276:{\displaystyle \theta }
1541:using a quadratic form
510:) and be uncorrelated (
273:for the fixed effects,
7366:-related article is a
7341:
7291:
7214:
7170:
7122:
7062:
7013:
6940:
6890:
6851:
6725:
6681:
6411:
6389:
6326:
6289:
6205:
6114:
6003:
5956:
5888:
5864:
5808:
5728:
5631:
5609:
5580:
5547:
5521:
5419:
5357:
5320:
5270:
5245:
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5172:
5150:
5107:
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4655:
4517:
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4391:
4350:
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4271:
4215:
4116:
4084:
4028:
3974:
3915:
3796:
3762:Examples of Estimators
3751:
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3650:
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218:
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90:for the random vector
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7123:
7063:
7014:
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4412:. The Euclidean norm
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4029:
3988:For random variables
3975:
3916:
3797:
3775:, the error variance
3752:
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927:Heteroscedastic Model
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2912:for all components.
2804:
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1063:
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514:
466:
446:
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314:
277:
230:
133:
94:
72:mixed effects models
7267:
6998:
6978:
6915:
5588:generalized inverse
5156:does not depend on
4799:
4111:
4079:
4055:
3570:
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