39:
7315:
2208:
6876:
8618:
8865:
3394:
2989:
5883:
2028:
7310:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} &=\operatorname {Cov} +\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}\\\operatorname {E} &=\operatorname {Cov} +\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}\\&=\operatorname {Cov} +\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} +\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}
7870:
374:
each of whose value is unknown, either because the value has not yet occurred or because there is imperfect knowledge of its value. The individual variables in a random vector are grouped together because they are all part of a single mathematical system — often they represent different properties
8287:
8947:, an objective often is to choose a portfolio of risky assets such that the distribution of the random portfolio return has desirable properties. For example, one might want to choose the portfolio return having the lowest variance for a given expected value. Here the random vector is the vector
3638:
8135:
8660:
4774:
4669:
9542:
8276:
6394:
3177:
2780:
2339:
5588:
5200:
2203:{\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {y} }}\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}
3788:
3541:
6217:
1642:
1074:
6865:
2546:
8613:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left&=E\left\\&=E\left\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}
7484:
4546:
4299:
8860:{\displaystyle \operatorname {E} \left=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}
3557:
7959:
4681:
4576:
4040:
6042:
7944:
7470:
1160:
958:
483:
9394:
9108:(not denoting a random vector in this context) of observations on the independent variables. Then the following regression equation is postulated as a description of the process that generated the data:
7407:
4078:
1263:
5459:
3389:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {Cov} =\operatorname {E} )(\mathbf {Y} -\operatorname {E} )^{T}]=\operatorname {E} -\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
2984:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {Var} =\operatorname {E} )(\mathbf {X} -\operatorname {E} )^{T}]=\operatorname {E} -\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
889:
8146:
6265:
5581:
1329:
5878:{\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})}
2242:
8292:
7489:
6881:
1981:
6744:
5379:
4928:
4855:
3943:
3870:
5975:
9283:
5283:
5243:
1934:
6697:
8902:
6431:
5101:
4225:
2020:
540:
6571:
1473:
6611:
3734:
3487:
4987:
3726:
3684:
6473:
9584:
6050:
2429:
1532:
969:
9669:
1780:
1727:
1502:
663:
9315:
9191:
1872:
1824:
1751:
1698:
588:
9610:
9382:
9147:
9060:
9030:
9004:
8967:
8924:
8652:
6505:
6453:
6257:
5918:
5503:
5481:
5423:
5401:
5327:
5305:
5094:
5072:
5046:
5024:
4428:
4386:
4364:
4342:
3467:
3441:
3120:
3078:
3056:
3034:
2395:
2361:
2233:
1894:
1524:
1449:
1351:
1285:
1210:
9344:
9224:
6657:
6531:
4474:
4191:
4153:
4127:
3166:
2680:
2635:
2609:
1423:
1377:
6479:
of a matrix — that is, to the sum of the elements on its main diagonal (from upper left to lower right). Since the quadratic form is a scalar, so is its expectation.
6752:
560:
2769:
821:
794:
767:
740:
705:
2440:
6631:
5938:
4448:
4406:
3140:
3098:
1848:
1800:
1674:
1397:
612:
7865:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} &=\operatorname {E} \left\\&=\operatorname {E} \left\\&=\operatorname {E} \left.\end{aligned}}}
330:
4485:
4236:
3633:{\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}
8130:{\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}
4769:{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
4664:{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
3955:
5980:
5895:
9101:; the observations on each independent variable are also stacked into column vectors, and these latter column vectors are combined into a
8926:. Again, since both quadratic forms are scalars and hence their product is a scalar, the expectation of their product is also a scalar.
9537:{\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}
7881:
7419:
1096:
894:
419:
7326:
4049:
1218:
8271:{\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}
6389:{\displaystyle \operatorname {E} =\operatorname {E} ^{T}A\operatorname {E} +\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}
5428:
832:
323:
9855:
9773:
9739:
9705:
5508:
2334:{\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}
1293:
631:
9879:
712:
1939:
6702:
5332:
4860:
4787:
3875:
3802:
9676:
9160:
is an unknown random vector reflecting random influences on the dependent variable. By some chosen technique such as
5943:
9826:
9798:
5195:{\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}
4999:
316:
304:
263:
9232:
5248:
5208:
1899:
9874:
6665:
379:. For example, while a given person has a specific age, height and weight, the representation of these features of
8873:
6402:
4196:
1986:
1827:
194:
130:
503:
3783:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}
3536:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
670:
242:
103:
6536:
1454:
6576:
6212:{\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left=\operatorname {E} \left}
3548:
1637:{\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {A} ^{-1}(y-b))}{|\det \mathbf {A} |}}}
7413:
4940:
3689:
3647:
1069:{\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})}
6458:
6234:
9554:
2400:
98:
9645:
1756:
1703:
1478:
639:
9291:
9167:
214:
1853:
1805:
1732:
1679:
1171:
569:
677:
273:
268:
157:
142:
9593:
9365:
9114:
9043:
9013:
8987:
8950:
8907:
8635:
6488:
6436:
6240:
5901:
5486:
5464:
5406:
5384:
5310:
5288:
5077:
5055:
5029:
5007:
4411:
4369:
4347:
4325:
3450:
3424:
3103:
3061:
3039:
3017:
2378:
2344:
2216:
1877:
1507:
1432:
1334:
1268:
1193:
3010:
344:
252:
123:
9320:
9200:
6860:{\displaystyle \operatorname {Cov} =\operatorname {E} -\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
9161:
6636:
6510:
6476:
4453:
4170:
4132:
4106:
4095:
3145:
2659:
2614:
2588:
1402:
1356:
371:
147:
9385:
8977:
of portfolio weights — the fractions of the portfolio placed in the respective assets. Since
2683:
2541:{\displaystyle \operatorname {E} =(\operatorname {E} ,...,\operatorname {E} )^{\mathrm {T} }}
1213:
708:
545:
390:
Random vectors are often used as the underlying implementation of various types of aggregate
288:
247:
152:
118:
8628:
One can take the expectation of the product of two different quadratic forms in a zero-mean
2688:
383:
from within a group would be a random vector. Normally each element of a random vector is a
9639:
7950:
4167:
random variables. The correlation matrix is the expected value, element by element, of the
2637:
1175:
799:
772:
745:
718:
683:
367:
278:
172:
65:
2656:
random variables. The covariance matrix is the expected value, element by element, of the
8:
615:
237:
179:
167:
162:
3413:
where again the matrix expectation is taken element-by-element in the matrix. Here the (
6616:
5923:
4433:
4391:
3125:
3083:
2236:
1833:
1785:
1659:
1382:
597:
407:
351:
224:
113:
53:
30:
9851:
9822:
9794:
9769:
9735:
9701:
9071:
8973:(a random scalar) is the inner product of the vector of random returns with a vector
2577:
498:
283:
189:
88:
8940:
3478:
376:
108:
38:
7476:
8629:
673:, the joint distribution, or the multivariate distribution of the random vector.
494:
403:
391:
184:
135:
4541:{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} }
4294:{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} }
2372:
199:
9346:, which are viewed as random vectors since a randomly different selection of
9097:. The observations on the dependent variable are stacked into a column vector
8623:
9868:
9102:
666:
591:
414:
395:
72:
4675:
Similarly for the cross-correlation matrix and the cross-covariance matrix:
4227:, where the superscript T refers to the transpose of the indicated vector:
4035:{\displaystyle \operatorname {E} =\operatorname {E} \operatorname {E} ^{T}}
2771:, where the superscript T refers to the transpose of the indicated vector:
2431:
whose elements are the expected values of the respective random variables.
563:
299:
209:
93:
9621:
1179:
619:
399:
384:
219:
60:
48:
6037:{\displaystyle \mathbf {\omega } =(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{T}}
2645:
490:
355:
77:
23:
9766:
Probability and Random
Processes for Electrical and Computer Engineers
5381:
denotes their joint cumulative distribution function. Independence of
1174:
as can non-random vectors: addition, subtraction, multiplication by a
8969:
of random returns on the individual assets, and the portfolio return
486:
9350:
cases to observe would have resulted in different values for them.
4046:
They are uncorrelated if and only if their cross-covariance matrix
1653:
More generally we can study invertible mappings of random vectors.
669:
as the underlying sigma-algebra. This measure is also known as the
204:
8944:
7939:{\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}
7465:{\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}
1155:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}
953:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}
478:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{n})^{\mathsf {T}}}
9193:
is chosen as an estimate of β, and the estimate of the vector
9032:) and the variance of the portfolio return can be shown to be
4570:
The correlation matrix is related to the covariance matrix by
7402:{\displaystyle \operatorname {Cov} =\operatorname {tr} (AV).}
4073:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}
1258:{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
9848:
Probability, Statistics, and Random
Processes for Engineers
8624:
Expectation of the product of two different quadratic forms
6662:
Then based on the formula for the covariance, if we denote
2034:
636:
Every random vector gives rise to a probability measure on
5454:{\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }
884:{\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto }
9846:
Stark, Henry; Woods, John W. (2012). "Random
Vectors".
8281:
and by plugging this into the original formula we get:
5576:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}}
1324:{\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +b}
9791:
Probability, Random
Variables and Stochastic Processes
1458:
9648:
9596:
9557:
9397:
9368:
9323:
9294:
9288:
Then the statistician must analyze the properties of
9235:
9203:
9170:
9117:
9046:
9016:
8990:
8953:
8910:
8876:
8663:
8638:
8290:
8149:
7962:
7884:
7487:
7422:
7329:
6879:
6755:
6705:
6668:
6639:
6619:
6579:
6539:
6513:
6491:
6461:
6439:
6405:
6268:
6243:
6053:
5983:
5946:
5926:
5904:
5591:
5511:
5489:
5467:
5431:
5409:
5387:
5335:
5313:
5291:
5251:
5211:
5104:
5080:
5058:
5032:
5010:
4943:
4863:
4790:
4684:
4579:
4488:
4456:
4436:
4414:
4394:
4372:
4350:
4328:
4239:
4199:
4173:
4135:
4109:
4052:
3958:
3878:
3805:
3737:
3692:
3650:
3560:
3490:
3453:
3427:
3180:
3148:
3128:
3106:
3086:
3064:
3042:
3020:
2783:
2691:
2662:
2617:
2591:
2443:
2403:
2381:
2347:
2245:
2219:
2031:
1989:
1942:
1902:
1880:
1856:
1836:
1808:
1788:
1759:
1735:
1706:
1682:
1662:
1535:
1510:
1481:
1457:
1435:
1405:
1385:
1359:
1337:
1296:
1271:
1221:
1196:
1170:
Random vectors can be subjected to the same kinds of
1099:
972:
897:
835:
802:
775:
748:
721:
686:
642:
600:
572:
548:
506:
422:
9152:
where β is a postulated fixed but unknown vector of
4083:
1976:{\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}
9663:
9604:
9578:
9536:
9376:
9338:
9309:
9277:
9218:
9185:
9141:
9054:
9024:
8998:
8961:
8918:
8896:
8859:
8646:
8612:
8270:
8129:
7938:
7864:
7464:
7401:
7309:
6859:
6739:{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }
6738:
6691:
6651:
6625:
6605:
6565:
6525:
6499:
6467:
6447:
6425:
6388:
6251:
6228:
6211:
6036:
5969:
5932:
5912:
5877:
5575:
5497:
5475:
5453:
5417:
5395:
5374:{\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}
5373:
5321:
5299:
5277:
5237:
5194:
5088:
5066:
5040:
5018:
4981:
4923:{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}
4922:
4850:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}
4849:
4768:
4663:
4540:
4468:
4442:
4422:
4400:
4380:
4358:
4336:
4293:
4219:
4185:
4147:
4121:
4072:
4034:
3938:{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}
3937:
3865:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}
3864:
3782:
3720:
3678:
3632:
3535:
3461:
3435:
3388:
3160:
3134:
3114:
3092:
3072:
3050:
3028:
2983:
2763:
2674:
2629:
2603:
2565:
2540:
2423:
2389:
2355:
2333:
2227:
2202:
2014:
1975:
1928:
1888:
1866:
1842:
1818:
1794:
1774:
1745:
1721:
1692:
1668:
1636:
1518:
1496:
1467:
1443:
1417:
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1371:
1345:
1323:
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1257:
1204:
1154:
1068:
952:
883:
815:
788:
761:
734:
699:
657:
606:
582:
554:
534:
477:
16:Random variable with multiple component dimensions
5442:
5441:
5440:
9866:
9006:, the expected value of the portfolio return is
5970:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }
5285:denote the cumulative distribution functions of
2095:
1618:
7414:cyclically permute matrices when taking a trace
1165:
9850:(Fourth ed.). Pearson. pp. 295–339.
9278:{\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}
5278:{\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}
5238:{\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}
1929:{\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}
413:Formally, a multivariate random variable is a
6692:{\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }
324:
9698:Stochastic Processes Theory for Applications
8897:{\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
7412:This is true based on the fact that one can
6426:{\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}
4220:{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}
2318:
2261:
2015:{\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}
1676:be a one-to-one mapping from an open subset
625:
9845:
9812:
9810:
9725:
9723:
9721:
9719:
9717:
5889:
680:of each of the component random variables
535:{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
331:
317:
9533:
8140:trivially. Using the permutation we get:
5963:
5949:
4159:) element is the correlation between the
3620:
1762:
1709:
1245:
1230:
1185:
853:
645:
9816:
9788:
9759:
9757:
9755:
9753:
9751:
9729:
9695:
3417:) element is the covariance between the
343:For broader coverage of this topic, see
9807:
9782:
9714:
9689:
7416:without changing the end result (e.g.:
6566:{\displaystyle \operatorname {E} =\mu }
1802:have continuous partial derivatives in
1468:{\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }
9867:
9819:Stochastic Control for Economic Models
9763:
9040:, where C is the covariance matrix of
6606:{\displaystyle \operatorname {Cov} =V}
6044:to a complex number. It is defined by
3686:is simply the transpose of the matrix
1648:
1146:
944:
469:
9748:
9732:A Foundation in Digital Communication
9353:
9078:observations on a dependent variable
6223:
2585:or variance-covariance matrix) of an
1874:. Assume that the real random vector
632:Multivariate probability distribution
9620: × 1 vector of constants (
9065:
4982:{\displaystyle \operatorname {E} =0}
4784:Two random vectors of the same size
4479:
4230:
3721:{\displaystyle \operatorname {Cov} }
3679:{\displaystyle \operatorname {Cov} }
3171:
2774:
2434:
963:
713:conditional probability distribution
594:(the collection of all events), and
8934:
6468:{\displaystyle \operatorname {tr} }
3794:
1896:has a probability density function
1475:has a probability density function
823:is known to be a particular value.
769:is the probability distribution of
618:(a function returning each event's
13:
9839:
9579:{\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}
9384:through time can be modelled as a
8664:
8517:
7796:
7685:
7544:
7086:
7064:
6981:
6955:
6940:
6884:
6833:
6816:
6784:
6540:
6331:
6304:
6269:
6233:One can take the expectation of a
6130:
6080:
5505:are called independent if for all
4944:
4742:
4725:
4706:
4686:
4637:
4620:
4601:
4581:
4509:
4490:
4282:
4260:
4241:
4054:
4008:
3991:
3959:
3759:
3739:
3574:
3517:
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3362:
3345:
3313:
3280:
3249:
3229:
3182:
2957:
2940:
2908:
2875:
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2824:
2785:
2734:
2703:
2532:
2504:
2467:
2444:
2424:{\displaystyle \operatorname {E} }
2404:
2326:
2111:
2101:
1959:
1859:
1811:
1738:
1685:
1504:, then the probability density of
999:
575:
549:
518:
510:
14:
9891:
9551:-periods-back vector observation
5000:Independence (probability theory)
4084:Correlation and cross-correlation
2366:
9675: × 1 random vector of
9664:{\displaystyle \mathbf {e} _{t}}
9651:
9598:
9560:
9520:
9499:
9462:
9431:
9400:
9370:
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9018:
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8955:
8912:
8888:
8883:
8848:
8843:
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8776:
8761:
8756:
8720:
8706:
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8680:
8640:
6843:
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6800:
6794:
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6766:
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6493:
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6369:
6341:
6314:
6294:
6280:
6245:
6114:
6060:
5906:
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5364:
5361:
5358:
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5345:
5342:
5315:
5293:
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5258:
5228:
5218:
5185:
5175:
5159:
5149:
5133:
5130:
5127:
5117:
5114:
5111:
5082:
5060:
5034:
5012:
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4955:
4865:
4792:
4779:
4752:
4735:
4716:
4711:
4696:
4691:
4647:
4630:
4611:
4606:
4591:
4586:
4525:
4519:
4500:
4495:
4416:
4374:
4352:
4330:
4276:
4270:
4251:
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4201:
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4064:
4059:
4018:
4001:
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3969:
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3807:
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3764:
3749:
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3661:
3611:
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3579:
3563:
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3522:
3502:
3497:
3455:
3429:
3372:
3355:
3329:
3323:
3290:
3273:
3259:
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3219:
3211:
3192:
3187:
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3044:
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2727:
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2414:
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2279:
2265:
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2178:
2170:
2160:
2136:
2115:
2105:
2082:
2072:
2053:
2043:
2005:
1991:
1950:
1919:
1909:
1882:
1775:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1722:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1622:
1580:
1569:
1542:
1512:
1497:{\displaystyle f_{\mathbf {X} }}
1488:
1460:
1437:
1339:
1311:
1306:
1298:
1273:
1198:
1101:
989:
979:
899:
842:
828:cumulative distribution function
658:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
424:
37:
9793:(Third ed.). McGraw-Hill.
9310:{\displaystyle {\hat {\beta }}}
9186:{\displaystyle {\hat {\beta }}}
8929:
6229:Expectation of a quadratic form
4993:
4565:
3604:
2566:Covariance and cross-covariance
1190:Similarly, a new random vector
9768:. Cambridge University Press.
9734:. Cambridge University Press.
9700:. Cambridge University Press.
9330:
9301:
9266:
9242:
9210:
9177:
8854:
8831:
8822:
8799:
8787:
8744:
8724:
8701:
8698:
8675:
8600:
8591:
8556:
8543:
8540:
8528:
8471:
8458:
8455:
8443:
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8251:
8238:
8235:
8223:
8198:
8186:
8174:
8161:
8119:
8107:
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8020:
8003:
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7976:
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7576:
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7498:
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7450:
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7177:
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7006:
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6830:
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6810:
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6586:
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6546:
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6275:
6200:
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6118:
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5992:
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3673:
3657:
3402:
3377:
3368:
3359:
3351:
3339:
3319:
3307:
3298:
3294:
3286:
3269:
3266:
3263:
3255:
3238:
3235:
3223:
3207:
2997:
2972:
2963:
2954:
2946:
2934:
2914:
2902:
2893:
2889:
2881:
2864:
2861:
2858:
2850:
2833:
2830:
2818:
2810:
2752:
2748:
2740:
2723:
2720:
2717:
2709:
2692:
2570:
2554:
2527:
2523:
2510:
2486:
2473:
2464:
2458:
2450:
2418:
2410:
2309:
2301:
2283:
2275:
2197:
2174:
2164:
2156:
2086:
2078:
2057:
2049:
2009:
2001:
1964:
1946:
1923:
1915:
1867:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1819:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1746:{\displaystyle {\mathcal {R}}}
1693:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1627:
1614:
1608:
1605:
1593:
1575:
1554:
1548:
1240:
1212:can be defined by applying an
1141:
1108:
1082:
1063:
1005:
993:
985:
939:
906:
878:
866:
863:
671:joint probability distribution
583:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
529:
507:
464:
431:
104:Collectively exhaustive events
1:
9789:Papoulis, Athanasius (1991).
9682:
7320:which leaves us to show that
3472:
9696:Gallager, Robert G. (2013).
9605:{\displaystyle \mathbf {X} }
9377:{\displaystyle \mathbf {X} }
9142:{\displaystyle y=X\beta +e,}
9055:{\displaystyle \mathbf {r} }
9025:{\displaystyle \mathbf {r} }
8999:{\displaystyle \mathbf {r} }
8962:{\displaystyle \mathbf {r} }
8919:{\displaystyle \mathbf {X} }
8904:is the covariance matrix of
8647:{\displaystyle \mathbf {X} }
6500:{\displaystyle \mathbf {z} }
6448:{\displaystyle \mathbf {X} }
6433:is the covariance matrix of
6252:{\displaystyle \mathbf {X} }
5913:{\displaystyle \mathbf {X} }
5498:{\displaystyle \mathbf {Y} }
5476:{\displaystyle \mathbf {X} }
5418:{\displaystyle \mathbf {Y} }
5396:{\displaystyle \mathbf {X} }
5322:{\displaystyle \mathbf {Y} }
5300:{\displaystyle \mathbf {X} }
5089:{\displaystyle \mathbf {y} }
5067:{\displaystyle \mathbf {x} }
5041:{\displaystyle \mathbf {Y} }
5019:{\displaystyle \mathbf {X} }
4423:{\displaystyle \mathbf {Y} }
4381:{\displaystyle \mathbf {X} }
4359:{\displaystyle \mathbf {Y} }
4337:{\displaystyle \mathbf {X} }
3644:The cross-covariance matrix
3549:positive semidefinite matrix
3462:{\displaystyle \mathbf {Y} }
3436:{\displaystyle \mathbf {X} }
3115:{\displaystyle \mathbf {Y} }
3073:{\displaystyle \mathbf {X} }
3051:{\displaystyle \mathbf {Y} }
3029:{\displaystyle \mathbf {X} }
2390:{\displaystyle \mathbf {X} }
2356:{\displaystyle \mathbf {Y} }
2228:{\displaystyle \mathbf {1} }
1889:{\displaystyle \mathbf {X} }
1519:{\displaystyle \mathbf {Y} }
1451:is an invertible matrix and
1444:{\displaystyle \mathbf {A} }
1346:{\displaystyle \mathbf {A} }
1280:{\displaystyle \mathbf {X} }
1205:{\displaystyle \mathbf {Y} }
1166:Operations on random vectors
360:multivariate random variable
7:
9880:Algebra of random variables
9156:response coefficients, and
4322:between two random vectors
3547:The covariance matrix is a
3477:The covariance matrix is a
3014:between two random vectors
2375:or mean of a random vector
10:
9896:
9339:{\displaystyle {\hat {e}}}
9219:{\displaystyle {\hat {e}}}
5461:. Written component-wise,
4997:
2022:is of probability density
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342:
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3161:{\displaystyle n\times p}
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2604:{\displaystyle n\times 1}
1983:. Then the random vector
1418:{\displaystyle n\times 1}
1372:{\displaystyle n\times n}
9817:Kendrick, David (1981).
9764:Gubner, John A. (2006).
9086:observations on each of
9074:theory, we have data on
4320:cross-correlation matrix
626:Probability distribution
274:Law of total probability
269:Conditional independence
158:Exponential distribution
143:Probability distribution
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9730:Lapidoth, Amos (2009).
6659:non-stochastic matrix.
5977:that maps every vector
5896:characteristic function
5890:Characteristic function
3011:cross-covariance matrix
1850:be zero at no point of
555:{\displaystyle \Omega }
493:) whose components are
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9358:The evolution of a
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3799:Two random vectors
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