27:
687:
680:
673:
2188:
728:
The t-channel represents the process in which the particle 1 emits the intermediate particle and becomes the final particle 3, while the particle 2 absorbs the intermediate particle and becomes 4. The u-channel is the t-channel with the role of the particles 3,4 interchanged.
2400:
2835:
1355:
1516:
1945:
1805:
1665:
1052:
945:
838:
2533:
1244:
2616:
539:
420:
301:
1960:
2659:
2203:
146:
3310:
3172:
3037:
1429:
2940:
2890:
3357:
3219:
3081:
3260:
3122:
2990:
2672:
1290:
1108:
1081:
178:
623:
599:
732:
When evaluating a
Feynman amplitude one often finds scalar products of the external four momenta. One can use the Mandelstam variables to simplify these:
1435:
1811:
1671:
1531:
657:
or different possible scattering events where the interaction involves the exchange of an intermediate particle whose squared four-momentum equals
951:
844:
737:
70:
fashion. They are used for scattering processes of two particles to two particles. The
Mandelstam variables were first introduced by physicist
2413:
1124:
3444:
2556:
2183:{\displaystyle (s+t+u)/c^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}}
426:
307:
188:
716:
For example, the s-channel corresponds to the particles 1,2 joining into an intermediate particle that eventually splits into 3,4:
2621:
3548:
3425:
2550:
2395:{\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0}
3529:
3506:
719:
84:
3266:
3128:
2996:
3558:
1368:
3563:
2895:
2845:
3316:
3178:
2830:{\displaystyle s/c^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\approx 2p_{1}\cdot p_{2}}
1350:{\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)}
3521:
3043:
3227:
3089:
2957:
3486:
3445:"Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity"
3474:
726:
may be discovered provided their lifetimes are long enough that they are directly detectable.
3498:
3458:
1086:
1059:
151:
3384:
8:
3553:
51:
3462:
3491:
3440:
3409:
3389:
2195:
Then note that the last four terms add up to zero using conservation of four-momentum,
608:
584:
71:
3525:
3502:
3421:
3379:
723:
3466:
3374:
1511:{\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,(2)}
78:
67:
38:, they interact in some fashion, and then two particles with different momentum (p
3449:
654:
3482:
1940:{\displaystyle u/c^{2}=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}}
1800:{\displaystyle t/c^{2}=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}}
1660:{\displaystyle s/c^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}}
602:
3542:
3470:
626:
562:
1047:{\displaystyle p_{1}\cdot p_{4}={\frac {m_{1}^{2}+m_{4}^{2}-u/c^{2}}{2}}}
940:{\displaystyle p_{1}\cdot p_{3}={\frac {m_{1}^{2}+m_{3}^{2}-t/c^{2}}{2}}}
833:{\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}={\frac {s/c^{2}-m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2}}}
3493:
Quarks & Leptons: An
Introductory Course in Modern Particle Physics
2549:
In the relativistic limit, the momentum (speed) is large, so using the
20:
3417:
2528:{\displaystyle (s+t+u)/c^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}
1239:{\displaystyle (s+t+u)/c^{4}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}
1283:
The square of a particle's four momentum is the square of its mass,
63:
2611:{\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +{m_{0}}^{2}}
1952:
Then adding the three while inserting squared masses leads to,
534:{\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}c^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}c^{2}}
415:{\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}c^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}c^{2}}
296:{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}c^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}c^{2}}
59:
653:(both spacelike channels). These channels represent different
26:
686:
679:
672:
2654:{\displaystyle E^{2}\approx \mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }
601:
is also known as the square of the center-of-mass energy (
2553:, the energy becomes essentially the momentum norm (e.g.
1083:
is the mass of the particle with corresponding momentum
66:, and angles of particles in a scattering process in a
3319:
3269:
3230:
3181:
3131:
3092:
3046:
2999:
2960:
2898:
2848:
2675:
2624:
2559:
2416:
2206:
1963:
1814:
1674:
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1371:
1293:
1127:
1089:
1062:
954:
847:
740:
611:
587:
429:
310:
191:
154:
87:
30:
In this diagram, two particles come in with momenta p
3490:
3351:
3304:
3254:
3213:
3166:
3116:
3075:
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2984:
2934:
2884:
2829:
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2527:
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1939:
1799:
1659:
1510:
1423:
1349:
1238:
1102:
1075:
1046:
939:
832:
617:
593:
533:
414:
295:
172:
140:
3540:
579:are the four-momenta of the outgoing particles.
19:For other articles using the same surname, see
3481:
141:{\displaystyle \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)}
3439:
3305:{\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{4}\approx }
3167:{\displaystyle -2p_{1}\cdot p_{3}\approx }
3408:
3032:{\displaystyle 2p_{1}\cdot p_{2}\approx }
2661:). The rest mass can also be neglected.
1498:
1497:
1277:To prove this, we need to use two facts:
58:are numerical quantities that encode the
25:
3515:
1424:{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}
3541:
16:Variables used in scattering processes
2551:relativistic energy-momentum equation
2544:
3414:Introduction to Elementary Particles
3518:Introduction to High Energy Physics
2935:{\displaystyle p_{2}^{2}=m_{2}^{2}}
2885:{\displaystyle p_{1}^{2}=m_{1}^{2}}
718:the s-channel is the only way that
632:
13:
3352:{\displaystyle -2p_{3}\cdot p_{2}}
3214:{\displaystyle -2p_{2}\cdot p_{4}}
1361:And conservation of four-momentum,
98:
95:
92:
89:
14:
3575:
3076:{\displaystyle 2p_{3}\cdot p_{4}}
667:
2647:
2639:
2582:
2574:
685:
678:
671:
3255:{\displaystyle u/c^{2}\approx }
3117:{\displaystyle t/c^{2}\approx }
2985:{\displaystyle s/c^{2}\approx }
1496:
1495:
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1338:
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1128:
565:of the incoming particles and
512:
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317:
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135:
102:
1:
3549:Kinematics (particle physics)
3395:
703:
698:
693:
7:
3516:Perkins, Donald H. (2000).
3368:
3224:
3086:
3040:
2993:
2954:
641:are also used in the terms
148:, the Mandelstam variables
10:
3580:
3522:Cambridge University Press
18:
3471:10.1103/PhysRev.112.1344
1258:is the mass of particle
3353:
3306:
3256:
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3077:
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595:
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297:
174:
142:
47:
3499:John Wiley & Sons
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3257:
3216:
3169:
3119:
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2937:
2887:
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1076:{\displaystyle m_{i}}
1049:
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835:
625:as the square of the
620:
596:
536:
417:
298:
175:
173:{\displaystyle s,t,u}
143:
29:
3559:Quantum field theory
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738:
645:(timelike channel),
609:
585:
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308:
189:
180:are then defined by
152:
85:
56:Mandelstam variables
3463:1958PhRv..112.1344M
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52:theoretical physics
3564:Eponyms in physics
3390:Compton scattering
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2736:
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2545:Relativistic limit
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72:Stanley Mandelstam
48:
3427:978-3-527-40601-2
3385:Møller scattering
3380:Bhabha scattering
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3361:
2541:
2540:
1042:
935:
828:
710:
709:
618:{\displaystyle t}
594:{\displaystyle s}
68:Lorentz-invariant
3571:
3535:
3520:(4th ed.).
3512:
3496:
3478:
3473:. Archived from
3432:
3431:
3416:(2nd ed.).
3410:Griffiths, David
3406:
3375:Feynman diagrams
3358:
3356:
3355:
3350:
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2721:
2709:
2708:
2693:
2692:
2683:
2664:So for example,
2660:
2658:
2657:
2652:
2650:
2642:
2634:
2633:
2617:
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2600:
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1999:
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