5266:
4758:
850:
39737:
2812:
8007:
5261:{\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}
12119:
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7818:
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17574:
28686:
12733:
9167:
1278:
of the straight line between the two points. In many situations, the
Euclidean distance is appropriate for capturing the actual distances in a given space. In contrast, consider taxi drivers in a grid street plan who should measure distance not in terms of the length of the straight line to their
24652:
30268:
27891:
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11963:
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5484:
18198:
12964:
12588:
4477:
7794:
13613:
115:. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.
9041:
5980:
24519:
8002:{\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}
30010:
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6214:
31306:
16965:
19574:
10034:
35099:
33370:, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524,
17162:
8436:
1884:
10658:
32940:
19239:
2123:") between two points is never shorter than the length of the line segment between them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of any vector is bounded by its 1-norm:
12391:
17820:
4209:
30562:
33117:(a concept he introduced), then these two constructions are, respectively, canonically TVS-isomorphic with the spaces of Bochner and Pettis integral functions mentioned earlier; in short, they are indistinguishable.
32870:
17892:
14923:
6868:
26481:
24467:
are first proved for continuous and compactly supported functions (sometimes for step functions), then extended by density to all functions. For example, it is proved this way that translations are continuous on
18738:
18644:
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18074:
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4747:
The space of sequences has a natural vector space structure by applying addition and scalar multiplication coordinate by coordinate. Explicitly, the vector sum and the scalar action for infinite
2589:
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12114:{\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}
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13890:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}
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6944:
6924:
6577:
6510:
6393:
5662:
5639:
5557:
5288:
4594:
4510:
4359:
3767:
3711:
3467:
2611:
2524:
2504:
2371:
2291:
2271:
2218:
2198:
2022:
1947:
1666:
1646:
1623:
1603:
1426:
1374:
1301:
1237:
1217:
1023:
928:
908:
804:
16488:
7218:
9162:{\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}
6769:
37630:
26622:: it admits a complete translation-invariant metric with respect to which the vector space operations are continuous. It is the prototypical example of an
26381:
18565:
37971:
36034:
20452:
19477:
9986:
34986:
29600:
29211:
24647:{\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}
39626:
39251:
38305:
37708:
36775:
30263:{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}
17999:
32875:
10542:
38950:
37725:
36792:
19118:
16301:
27886:{\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}
12299:
6246:
25469:
17897:
9357:{\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}
4364:
910:-norms (every vector from the origin to the unit circle has a length of one, the length being calculated with length-formula of the corresponding
28997:
22737:
17767:
3254:
3115:
39462:
38427:
29459:
23172:
27068:
The situation of having no linear functionals is highly undesirable for the purposes of doing analysis. In the case of the
Lebesgue measure on
19669:
37959:
32805:
17829:
14852:
39289:
39246:
16693:
8558:{\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}
25879:
32737:
4512:
by a positive constant does not change the "norm". Despite these defects as a mathematical norm, the non-zero counting "norm" has uses in
2529:
25088:
10668:
26048:
39452:
38360:
31980:
25793:
14475:
13618:
31317:
16429:
15555:
with pointwise multiplication and conjugation. For many measure spaces, including all sigma-finite ones, it is in fact a commutative
32436:
15006:
39579:
39434:
38332:
37033:
36892:
36592:
30748:{\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}
22918:
32669:
13388:
6480:
space is obtained—as seen below—by considering vectors, not only with finitely or countably-infinitely many components, but with "
39410:
37966:
37798:
35665:
33669:
32271:
32176:
31927:
26627:
16222:
15510:, but sometimes these terms are reserved for functions that are square-integrable in some other sense, such as in the sense of a
7067:
1961:
20999:
20611:
15155:
In general, this process cannot be reversed: there is no consistent way to define a "canonical" representative of each coset of
10144:
38679:
29871:
26266:
14935:
14312:
37548:
33822:
18889:{\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
2126:
38621:
37379:
36311:
36282:
36248:
36078:
36048:
36016:
35863:
33456:
33350:
31847:
24657:
19674:
19047:
12873:{\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}
7464:{\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}
28338:
24821:
23824:{\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }
38437:
36919:
36240:
29929:
28409:
27171:
whenever possible, as this has quite a few linear functionals: enough to distinguish points from one another. However, the
19413:
13072:{\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}
38520:
34254:
32607:
32382:
31572:{\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}
28744:
22353:
22257:
37987:
37540:
36724:
36375:
35655:{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}
34779:
34630:
27765:
27596:
22452:
on any finite set. In both cases the embedding is continuous, in that the identity operator is a bounded linear map from
18899:
13296:
12403:
7173:
505:
39302:
37326:
36650:
31853:
20387:
20252:
16806:
13084:
9468:
6755:{\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}
37720:
36787:
35196:
28693:
26768:
vector does not possess a fundamental system of convex neighborhoods. Specifically, this is true if the measure space
22842:
20691:
18203:
14118:
8918:
39391:
39282:
38161:
37944:
36706:
36178:
36138:
36097:
33534:
33383:
33187:
32799:
32199:
27593:
14204:
14066:
12738:
176:
39109:
33720:
18976:
9827:
4276:—whose quotation marks warn that this function is not a proper norm—is the number of non-zero entries of the vector
3625:
topological vector space. Beyond this qualitative statement, a quantitative way to measure the lack of convexity of
39661:
38756:
38079:
37922:
37677:
37667:
35104:
34887:
33916:
31120:
28945:
11666:
10269:
34712:
31759:
31611:
31370:
28300:
is complete. However, as mentioned above, scalar multiplication is continuous with respect to this metric only if
24879:
17712:
14769:
12252:
12124:
11087:
10846:
10411:
9760:
8278:
937:
39306:
38609:
38545:
38096:
37477:
37386:
37150:
33286:
32311:
25239:
21901:
19244:
18372:
17664:
17214:
13711:
12246:
38390:
34406:
31662:
25686:
17318:
38883:
38801:
38604:
38283:
38062:
36686:
36666:
31013:
25576:
21979:
18683:
13488:
12535:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}
2298:
557:
37006:
24471:
24319:
24267:
22213:
22210:
need not decay at all but no blow-up is allowed. The precise technical result is the following. Suppose that
13973:
8695:
5479:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}
3367:
39457:
38980:
38642:
38420:
38375:
38365:
37715:
37662:
37556:
37462:
36782:
36716:
36620:
36503:
36337:
34454:
24425:
18301:
18193:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}
15883:
10930:
6009:
2614:
32140:
28189:
27065:
does contain non-trivial convex open sets, it fails to have enough of them to give a base for the topology.
25276:
24129:
23422:
23305:
21187:
15071:
8855:
39771:
39740:
39513:
39447:
39275:
38477:
38467:
38395:
38322:
38198:
37867:
37581:
37561:
37525:
37449:
37169:
36885:
27585:
27265:
26905:
21765:
13166:
13130:
12959:{\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}
9678:
38472:
33008:
28240:
23839:
20701:
14816:
8217:
6341:
39477:
38815:
38805:
38405:
37791:
37703:
37482:
37444:
37396:
36770:
36640:
36332:
34951:
34175:
34073:
34041:
33759:
33181:
33050:
31174:
30941:
29172:
27487:
27449:
23579:
23054:
20302:
19599:
16642:
15627:
14441:
14244:
14174:
10782:
5562:
408:
370:
332:
36165:, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press,
34313:
34009:
31720:
28303:
26154:
24212:
23834:
23666:
22448:
Neither condition holds for the real line with the
Lebesgue measure while both conditions holds for the
20897:
19908:
19876:
18535:
17969:
17586:
17019:
16594:
16546:
11523:
9954:
9569:
7789:{\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}
7135:
6582:
2062:
39722:
39676:
39600:
39482:
39174:
38976:
38638:
38452:
38345:
38340:
38235:
38208:
38173:
38025:
37918:
37608:
37576:
37566:
37487:
37454:
37085:
36994:
36734:
36676:
36533:
35795:
32659:
32305:
30972:
28519:
27407:
27071:
26523:
26486:
24733:
21729:
21645:
21556:
21113:
20524:
20161:
15498:
15461:
The additional inner product structure allows for a richer theory, with applications to, for instance,
7558:
7519:
3560:
2821:
630:
252:
34377:
29354:
28862:
28128:
27602:
27525:
27227:
27011:
25340:
23272:
23091:
21681:
20345:
17618:
16020:
14681:
14016:
13608:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}
8175:
6949:
5495:
4712:
3504:
2860:
2623:
1978:
1283:, which takes into account that streets are either orthogonal or parallel to each other. The class of
1034:
864:
39717:
39533:
39032:
38932:
38626:
38599:
38582:
38400:
38245:
37914:
37625:
37530:
37306:
37234:
36739:
36671:
36299:
36239:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
35427:
33966:
33881:
33175:
32972:
32663:
32563:
31311:
27439:
21915:
21905:
20695:
15713:
13677:
9004:
6763:
6219:
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37615:
36691:
36327:
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34105:
33796:
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29731:
26276:
25649:
22612:
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20571:
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17177:
16974:
16774:
15158:
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12171:
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11054:
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39569:
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38432:
38350:
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38215:
38169:
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37909:
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37075:
36765:
36744:
36681:
35977:
35297:
33145:
32731:
29311:
29110:
28093:
27443:
23951:
23377:
22062:
22020:
19312:
16096:
15941:
15844:
15772:
14929:
14639:
14501:
13904:
11743:
9172:
8252:
7474:
7279:
5975:{\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}
3628:
3592:
1739:
553:
473:
112:
37011:
32537:
31803:
28058:
27712:
27130:
26343:
25979:
25378:
24177:
More precisely, one can use bounded continuous functions that vanish outside one of the open sets
23617:
23553:
22104:
21193:
20856:
20193:
20079:
16196:
15212:
14543:
8390:
8368:
8046:
6873:
6523:
3716:
3076:
2652:
1949:-norms and maximum norm as defined above indeed satisfy the properties of a "length function" (or
753:
39776:
39666:
39442:
39071:
38834:
38415:
38355:
37467:
37225:
37185:
36878:
36546:
36368:
30530:
27172:
26589:
25413:
25061:
24941:
24789:
22186:
21863:
21592:
21520:
21410:
21162:
21077:
20972:
20932:
20816:
20781:
20750:
20125:
15618:
15562:
15524:
11789:
11555:
11435:
11251:
11185:
10814:
9824:-norms are stated only for non-negative real-valued functions. Consider for example the identity
9409:
2428:
1679:
1242:
216:
of a solution's vector of parameter values (i.e. the sum of its absolute values), or its squared
17:
39183:
35150:
26981:
25754:
21942:
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7670:
7308:
5783:
5621:
is then defined as the set of all infinite sequences of real (or complex) numbers such that the
4672:
4636:
4603:
3807:
3772:
809:
39781:
39761:
39697:
39641:
39605:
38457:
38370:
38151:
38067:
37903:
37897:
37784:
37750:
37650:
37472:
37194:
37040:
36696:
36625:
36518:
36498:
34339:
34219:
33090:
32511:
29205:
27373:
27346:
27041:
26954:
26633:
26490:
25035:
24264:
is the
Lebesgue measure. The space of continuous and compactly supported functions is dense in
19374:
16379:
15659:
15254:
10039:
9624:
8817:
7076:
7018:
6485:
6425:
6398:
6314:
5813:
5667:
5597:
4248:
4218:
4054:
4024:
3997:
3956:
3472:
2223:
676:
446:
133:
38697:
36043:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 343. Berlin, Heidelberg: Springer.
35378:
33229:
32949:
32055:
31829:
28802:
28499:
28038:
26846:
26660:
26022:
25185:
17286:
17254:
4307:
3660:
2402:
1903:
1329:
55:
39404:
39241:
39236:
38711:
38659:
38616:
38540:
38493:
38230:
37892:
37859:
37832:
37311:
37264:
37259:
37254:
37096:
36979:
36937:
36523:
36415:
33292:
32245:
32120:
30910:
30791:
30758:
30490:
29770:
29544:
29431:
28971:
27563:
26895:
26843:, §1.47). As a particular consequence, there are no nonzero continuous linear functionals on
26794:
26212:
26016:
24076:
23502:
22183:
but must decay sufficiently fast toward infinity. On the other hand, continuous functions in
21830:
21385:
20850:
20069:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}
19635:
19341:
14471:
10065:
9902:
7514:
7302:
6762:
where convergence on the right means that only countably many summands are nonzero (see also
6043:
6015:
5840:
5773:{\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}
3222:
defines a subadditive function at the cost of losing absolute homogeneity. It does define an
2889:
2460:
2376:
1960:
the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar (
566:
39400:
38530:
30846:
30458:{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}
29405:
28374:
28246:
28163:
27317:
27184:
26128:
24180:
23347:
18653:
16155:
15182:
14582:
9928:
6311:
if the right-hand side is finite, or the left-hand side is infinite. Thus, we will consider
4242:-normed space is studied in functional analysis, probability theory, and harmonic analysis.
3842:
1303:-norms generalizes these two examples and has an abundance of applications in many parts of
595:
39680:
39179:
38385:
38380:
38091:
37975:
37881:
37620:
37586:
37494:
37204:
37159:
37001:
36924:
36701:
36587:
36472:
36292:
36188:
33614:
33393:
32280:
32093:
31584:
31091:
30872:
29701:
28469:
28276:
27643:
27414:
27103:
26562:
26496:
26312:
26269:
neighborhood of the origin; in other words, this space is locally bounded, just like every
26241:
25212:
25158:
23416:
23245:
22567:
22561:
22536:
22509:
22482:
22455:
22139:
21836:
21446:
19796:
19769:
19733:
17171:
16069:
15817:
15686:
15593:
15472:
15339:
15312:
15281:
15121:
14612:
14384:
14278:
11040:
10924:
10662:
8120:
8082:
7658:{\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}
6456:
5489:
4664:
4513:
4489:
4300:
3533:
3070:
2035:
1712:
1382:
726:
649:
285:
258:
219:
190:
183:
151:
39267:
35456:
34620:{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}
31203:
30820:
30470:
28028:{\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}
27688:
27668:
27353:
24765:
24367:
24247:
23026:
21476:
15748:
7106:
5492:
on the right is not always convergent, so for example, the sequence made up of only ones,
1967:
the length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (
8:
39646:
39584:
39298:
39022:
38823:
38780:
38594:
38317:
38047:
37854:
37603:
37593:
37439:
37403:
37229:
36958:
36915:
36857:
36645:
36528:
36467:
36436:
35329:
34861:
31714:
30273:
29801:
28918:
27638:
24783:
24396:
24044:{\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}
23001:
22727:{\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}
21619:
17208:
16780:
15556:
14307:
13202:
11857:
11828:
11640:
11594:
11044:
10776:
10243:
10091:
8667:
8323:
8169:
5985:
2025:
1968:
1578:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
1190:{\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}
643:
108:
31:
38968:
37281:
35355:
34838:
34689:
32359:
29577:
28924:
28822:
23643:
18523:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}
16536:{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}
15452:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}
11883:
11018:
10121:
9546:
9521:
8793:
7269:{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}
4279:
3946:{\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }
3229:
3062:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
2783:{\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}
703:
39786:
39671:
39538:
39256:
39167:
38790:
38760:
38577:
38535:
38142:
38052:
37997:
37844:
37755:
37515:
37500:
37199:
37080:
37058:
36827:
36729:
36635:
36582:
36508:
36441:
36361:
36219:
35485:
34759:
34372:
33602:
33297:
33265:
33096:
32225:
32205:
32181:
31907:
31364:
31069:
30949:
30301:
29807:
29524:
29289:
29152:
29090:
28951:
28900:
28548:
the definition of the fundamental system of neighborhoods could be modified as follows
27898:
27747:
26771:
26751:
26731:
26711:
25556:
25449:
25446:
can be defined as above: it is the quotient vector space of those measurable functions
25041:
25017:
24997:
24977:
24921:
24109:
24056:
23931:
23911:
23891:
23871:
23715:
23695:
23526:
23475:
23341:
23152:
23132:
22594:
22423:
22327:
22166:
21812:
21496:
21390:
20232:
19823:
19579:
19292:
19112:
18352:
18281:
18261:
16856:
16135:
16049:
16000:
15980:
15921:
15797:
14481:
14417:
14046:
13949:
13898:
13272:
13248:
13228:
12565:
12545:
12397:
and it is the subject of this article. We begin by defining the quotient vector space.
12242:
11943:
11769:
11620:
11503:
11415:
11395:
11371:
11347:
11294:
11231:
11225:
11134:
10998:
10522:
10502:
10482:
10462:
10387:
10363:
10343:
9807:
9740:
9604:
9448:
9389:
9369:
9211:
9205:
8984:
8964:
8757:
8639:
8619:
8599:
8416:
8348:
8328:
8147:
8014:
7799:
7045:
6998:
6978:
6929:
6909:
6562:
6495:
6378:
6209:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}
5647:
5624:
5542:
5273:
4579:
4525:
4517:
4495:
4485:
4344:
3752:
3696:
3452:
2596:
2509:
2489:
2356:
2276:
2256:
2203:
2183:
2120:
2007:
1950:
1932:
1706:
1651:
1631:
1608:
1588:
1411:
1359:
1286:
1222:
1202:
1008:
913:
893:
789:
750:
or any
Hilbert space, one sees that every Hilbert space is isometrically isomorphic to
322:
145:
39068:
39029:
36344:
39651:
38937:
38410:
38191:
38134:
38114:
37672:
37408:
37369:
37364:
37271:
37189:
36974:
36947:
36615:
36307:
36278:
36254:
36244:
36234:
36223:
36174:
36134:
36093:
36074:
36054:
36044:
36012:
33530:
33452:
33397:
33379:
33346:
33338:
31753:
31301:{\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}
30945:
23496:
16960:{\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }
15466:
12582:
11851:
8659:
4533:
4529:
639:
318:
26788:
contains an infinite family of disjoint measurable sets of finite positive measure.
25085:
since it is possible to construct an infinite-dimensional closed vector subspace of
19569:{\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
18532:
An atomic decomposition can be explicitly given by first defining for every integer
10459:
when addition and scalar multiplication are defined pointwise. That the sum of two
10029:{\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }
8172:, where functions which agree almost everywhere are identified. More generally, let
39656:
39574:
39543:
39523:
39508:
39503:
39498:
38567:
38562:
38550:
38462:
38447:
38310:
38250:
38225:
38156:
38146:
38009:
37689:
37598:
37374:
37359:
37349:
37334:
37301:
37296:
37286:
37164:
37139:
36954:
36817:
36756:
36577:
36477:
36432:
36420:
36211:
36166:
36066:
36030:
35094:{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}
33594:
33371:
33169:
33154: – N-th root of the arithmetic mean of the given numbers raised to the power n
32263:
26899:
25203:
22449:
22441:
21860:
for more details. If we assume the axiom of choice, this space is much bigger than
17157:{\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}
15766:
15587:
15511:
8040:
4740:
4537:
1879:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}
1669:
1312:
1280:
187:
129:
80:
39335:
37954:
39518:
39472:
39420:
39415:
39386:
38587:
38572:
38498:
38300:
38293:
38260:
38220:
38186:
38178:
38106:
38074:
37939:
37871:
37765:
37745:
37520:
37418:
37413:
37391:
37249:
37214:
37134:
37028:
36288:
36184:
36126:
35190:
33610:
33389:
32943:
32274:
32267:
27581:
22835:
The constant appearing in the above inequality is optimal, in the sense that the
20966:
20119:
15115:
10653:{\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}
9804:
if and only if its absolute value does. Because of this, many formulas involving
7063:
39345:
33160:
33005:
is not complete so a completion is constructed which, after being quotiented by
32935:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}
28741:, with the topology of local convergence in measure, is isomorphic to the space
39707:
39559:
39360:
39157:
39105:
38765:
38631:
38278:
38268:
37887:
37839:
37655:
37510:
37505:
37316:
37291:
37244:
37174:
37154:
37114:
37104:
36901:
36630:
36446:
36038:
34169:
32602:
27706:
24364:
this space is the linear span of indicator functions of bounded intervals when
22345:
21909:
21897:
19234:{\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}
15742:
15462:
15240:
8775:
8410:
8165:
4752:
4571:
3622:
1061:
326:
244:
72:
51:
33375:
33151:
12386:{\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}
39755:
39712:
39636:
39365:
39350:
39340:
39162:
38775:
38729:
38664:
38515:
38510:
38503:
38124:
38057:
38030:
37849:
37822:
37760:
37423:
37344:
37339:
37239:
37209:
37179:
37129:
37124:
37119:
37109:
37023:
36942:
36842:
36837:
36822:
36812:
36513:
36427:
36402:
36195:
36170:
36058:
36026:
33334:
33127:
33114:
31709:
But they are the natural framework for several results in harmonic analysis (
30967:
29726:
23520:
22836:
21470:
is onto, as composition of two onto isometries, and this proves reflexivity.
17823:
15918:
is the space of all sequences indexed by the integers, and when defining the
15306:
15149:
8211:
8032:
7168:
4704:
4596:-norm can be extended to vectors that have an infinite number of components (
4079:
3109:
635:
88:
36258:
33401:
20813:. With this (isometric) isomorphism in mind, it is usual to say simply that
39702:
39355:
39325:
38674:
38669:
38129:
38119:
37992:
37982:
37827:
37807:
37354:
37276:
37016:
36599:
36398:
36266:
36230:
36158:
33522:
33133:
30897:
26270:
23493:
21514:
20810:
17815:{\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}
14435:
10456:
7070:
6450:
4273:
4204:{\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}
3362:
3358:
2029:
1029:
858:
104:
64:
37053:
33431:
Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.
25679:
does not satisfy the triangle inequality in this case, and defines only a
22611:
has finite measure, one can make the following explicit calculation using
20694:
of Hölder's inequality. It is also possible to show (for example with the
3108:
however, the resulting function does not define a norm, because it is not
39631:
39621:
39528:
39330:
38963:
38879:
38785:
38770:
38750:
38724:
38689:
38240:
38203:
37876:
37219:
36274:
33139:
31823:
27163:
25207:
20806:
15549:
6520:
In complete analogy to the preceding definition one can define the space
1324:
1304:
1026:
854:
38:
32865:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}
27599:. Moreover, this topology is isometric to global convergence in measure
17887:{\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}
16152:
is the cardinality of an arbitrary
Hilbertian basis for this particular
14918:{\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
4540:, is a valid distance, since homogeneity is not required for distances.
1765:
It turns out that this limit is equivalent to the following definition:
39564:
39396:
38719:
38700: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
38684:
38525:
38273:
38035:
37063:
36852:
36543:
36215:
33606:
33303:
32277:
that are (each in their own way) a natural generalization of the usual
25680:
22101:
can be more spread out. Consider the
Lebesgue measure on the half line
20076:
where the integration is with respect to the usual
Lebesgue measure on
15552:
14926:
4521:
3501:
around the origin in this metric is "concave", the topology defined on
2028:. Moreover, it turns out that this space is complete, thus making it a
1889:
37776:
33505:
33503:
33501:
33499:
33497:
33495:
33470:
33468:
17709:
of non-negative real numbers and a sequence of non-negative functions
8754:
is measurable and has measure zero. Similarly, a measurable function
8144:
space may be defined as a space of measurable functions for which the
6863:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}
849:
38795:
38040:
38004:
37045:
36989:
36984:
36847:
36832:
27224:
The vector space of (equivalence classes of) measurable functions on
26476:{\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}
25273:
is the probability measure that results from dividing it by its mass
22440:
does not contain sets of non-zero but arbitrarily small measure (the
22059:
contains functions that are more locally singular, while elements of
18639:{\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}
6557:
4476:
1605:
is a rational number with an even numerator in its reduced form, and
36199:
33598:
32791:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}
32658:
is then endowed with a locally convex topology that turns it into a
30467:
Under the convention that two functions are equal if they are equal
20514:{\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }
38945:
38871:
38831:
38734:
38557:
37070:
36487:
36456:
33492:
33465:
27484:
This is because scalar multiplication is continuous if and only if
25148:{\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}
23544:
22344:
does not contain sets of finite but arbitrarily large measure (any
21857:
20687:
16968:
12205:
11937:
11189:
11048:
7301:
This inner product can expressed in terms of the norm by using the
6489:
6061:
4748:
4597:
251:, encourage sparse solutions (where the many parameters are zero).
29689:{\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}
29277:{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}
26424:
26387:
4543:
175:
metrics, and measures of central tendency can be characterized as
38866:
37949:
36870:
33480:
33343:
Statistical
Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations
27589:
26623:
26619:
18647:
18064:{\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}
15938:-norm on such a space, one sums over all the integers. The space
9035:
4093:
4089:
3223:
2815:
2119:
The grid distance or rectilinear distance (sometimes called the "
1308:
32033:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}
13667:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}
33309:
31356:{\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}
16478:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}
2486:
For the opposite direction, the following relation between the
1628:
The
Euclidean norm from above falls into this class and is the
186:, "L1 penalty" and "L2 penalty" refer to penalizing either the
141:
32501:{\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}
23419:, the vector space of integrable simple functions is dense in
16362:{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}
15061:{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}
12775:
when vector addition and scalar multiplication are defined by
1625:
is drawn from the set of real numbers, or one of its subsets.
700:
are both Hilbert spaces. In fact, by choosing a Hilbert basis
36040:
Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations
27764:
function admits for the convergence in measure the following
15111:
13383:
12457:
6304:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}
4480:
An animated gif of p-norms 0.1 through 2 with a step of 0.05.
2613:
of the underlying vector space and follows directly from the
248:
27:
Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
36353:
32723:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}
25544:{\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}
21074:
be the corresponding linear isometry. Consider the map from
17959:{\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}
13442:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}
4536:. Despite not being a norm, the associated metric, known as
4467:{\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}
4092:
of sequences has a complete metric topology provided by the
39297:
35785:{\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}
33710:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}
33627:
33625:
33623:
31970:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}
29078:{\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}
28493:
is in general not locally bounded, and not locally convex.
22826:{\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}
20122:(the Banach space of all continuous linear functionals) of
16291:{\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}
9350:
7995:
3350:{\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}
3215:{\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}
137:
35974:
The desired inequality follows by integrating both sides.
33333:
29512:{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}
23235:{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}
21900:
proved that there are relatively consistent extensions of
21067:{\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}
20679:{\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}
16066:-norm as defined above. As any Hilbert space, every space
11151:-th power integrable functions together with the function
10233:{\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}
7015:
is countably infinite, this is exactly the sequence space
2811:
32798:
In general, neither of these space are complete so their
31608:-spaces, the weighted spaces have nothing special, since
28335:. To see this, consider the Lebesgue measurable function
24106:
of open sets that have finite measure, then the space of
14996:{\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
14373:{\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
12966:
This particular quotient vector space will be denoted by
34494:
Explicitly, the vector space operations are defined by:
33863:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}
33620:
33566:
Villani, Alfonso (1985), "Another note on the inclusion
32262:
in a number of ways. One way is to define the spaces of
27214:
26019:; the verification is similar to the familiar case when
15118:, the same normed space and so they may both be called "
14063:
that was chosen to represent the coset, meaning that if
36200:"Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen"
35967:{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}
33165:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
33163: – Type of continuity of a complex-valued function
33156:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
19723:{\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}
19104:{\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
35618:
35583:
35544:
35516:
35432:
34942:
33644:
33642:
33640:
33368:
Functional analysis and control theory: Linear systems
31328:
28647:
28364:{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
26125:
form a local base at the origin for this topology, as
25244:
25121:
24869:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}
20313:
20272:
20257:
19604:
18079:
18044:
16826:
16811:
16764:{\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}
16516:
16493:
16464:
16449:
16434:
13760:
13574:
13011:
12919:
12833:
12648:
12489:
12302:
11984:
11047:, and non-negativity are the defining properties of a
10545:
10011:
9073:
8468:
3900:
2832:
525:
510:
39186:
39112:
39074:
39035:
38983:
38886:
38837:
36549:
35980:
35866:
35798:
35668:
35508:
35488:
35459:
35430:
35381:
35358:
35332:
35300:
35199:
35153:
35107:
34989:
34954:
34890:
34864:
34841:
34782:
34762:
34715:
34692:
34633:
34500:
34457:
34409:
34380:
34342:
34316:
34257:
34222:
34178:
34141:
34108:
34076:
34044:
34012:
33969:
33919:
33884:
33825:
33799:
33762:
33723:
33672:
33268:
33232:
33190:
33184: – Function which is integratable on its domain
33099:
33053:
33011:
32975:
32952:
32942:(this is analogous to how the space of scalar-valued
32878:
32808:
32740:
32672:
32610:
32566:
32540:
32514:
32439:
32385:
32362:
32314:
32283:
32248:
32228:
32208:
32184:
32143:
32096:
32058:
31983:
31930:
31910:
31856:
31832:
31806:
31762:
31723:
31665:
31614:
31587:
31424:
31373:
31320:
31226:
31206:
31177:
31123:
31094:
31072:
31016:
30975:
30913:
30875:
30849:
30823:
30794:
30761:
30565:
30533:
30493:
30473:
30324:
30304:
30276:
30013:
29998:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}
29932:
29874:
29830:
29810:
29773:
29734:
29704:
29603:
29580:
29547:
29527:
29462:
29434:
29408:
29357:
29314:
29292:
29214:
29175:
29155:
29113:
29093:
29000:
28974:
28954:
28927:
28903:
28865:
28825:
28805:
28747:
28696:
28554:
28522:
28502:
28472:
28459:{\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }
28412:
28377:
28341:
28306:
28279:
28249:
28192:
28166:
28131:
28096:
28061:
28041:
27921:
27901:
27773:
27750:
27715:
27691:
27671:
27646:
27605:
27566:
27528:
27490:
27452:
27417:
27376:
27356:
27320:
27268:
27230:
27187:
27133:
27106:
27074:
27044:
27014:
26984:
26957:
26908:
26902:
on the natural numbers (producing the sequence space
26849:
26797:
26774:
26754:
26734:
26714:
26663:
26636:
26592:
26565:
26526:
26499:
26384:
26346:
26315:
26279:
26244:
26215:
26157:
26131:
26051:
26025:
25982:
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36073:, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag,
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32426:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}
28792:{\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}
28055:
is bounded continuous concave and non-decreasing on
26151:
ranges over the positive reals. These balls satisfy
23523:, i.e., the smallest 𝜎–algebra of subsets of
22413:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}
22317:{\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}
2584:{\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}
34828:{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
34679:{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
33637:
32802:are constructed, which are respectively denoted by
31924:such that the Hilbert transform remains bounded on
24126:–integrable continuous functions is dense in
19820:-norm (given below) and can be used to express the
14813:happens to be a norm (which happens if and only if
10735:{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}
8109:
3953:shows that the infinite-dimensional sequence space
39627:Spectral theory of ordinary differential equations
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23511:
23484:
23462:
23407:
23366:
23332:
23294:
23261:
23234:
23161:
23141:
23118:
23078:
23035:
23016:
22990:
22907:
22825:
22726:
22603:
22583:
22552:
22525:
22498:
22471:
22432:
22412:
22336:
22316:
22243:
22202:
22175:
22155:
22128:
22093:
22051:
22009:
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21931:
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21848:
21821:
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21754:
21716:
21670:
21634:
21608:
21581:
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21505:
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21462:
21435:
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21151:
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21066:
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20739:
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20513:
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20291:
20241:
20221:
20182:
20150:
20103:
20068:
19945:
19897:
19865:
19832:
19812:
19785:
19758:
19722:
19657:
19624:
19588:
19568:
19466:
19402:
19363:
19330:
19301:
19281:
19233:
19103:
19036:
18966:{\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}
18965:
18888:
18727:
18672:
18638:
18555:
18522:
18409:
18361:
18341:
18290:
18270:
18250:
18192:
18063:
17989:
17958:
17886:
17814:
17752:
17701:
17649:
17607:
17568:
17348:
17307:
17275:
17243:
17211:, can be generalized: If the measurable function
17199:
17156:
17056:
17008:
16959:
16865:
16845:
16795:
16763:
16682:
16631:
16583:
16535:
16477:
16418:
16361:
16290:
16211:
16174:
16144:
16124:
16085:
16058:
16038:
16009:
15989:
15969:
15930:
15910:
15872:
15833:
15806:
15786:
15757:
15733:
15702:
15675:
15648:
15609:
15578:
15540:
15488:
15451:
15355:
15336:spaces. In the complex case, the inner product on
15328:
15297:
15270:
15231:
15201:
15171:
15137:
15102:
15060:
14995:
14917:
14841:
14805:
14758:
14723:
14670:
14628:
14601:
14571:
14532:
14490:
14462:
14426:
14400:
14372:
14294:
14263:
14233:
14193:
14163:
14107:
14055:
14035:
14005:
13958:
13935:
13889:
13702:
13666:
13607:
13523:
13477:
13441:
13374:
13342:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
13341:
13281:
13257:
13237:
13217:
13191:
13155:
13119:
13071:
12958:
12872:
12767:
12727:
12574:
12554:
12534:
12449:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
12448:
12385:
12288:
12233:
12189:
12160:
12113:
11952:
11928:
11895:
11872:
11843:
11817:
11778:
11758:
11729:
11655:
11629:
11609:
11583:
11544:
11512:
11492:
11463:
11424:
11404:
11380:
11356:
11336:
11303:
11279:
11240:
11216:
11176:
11143:
11123:
11076:
11030:
11007:
10987:
10915:
10882:
10835:
10803:
10767:
10734:
10652:
10531:
10511:
10491:
10471:
10447:
10396:
10372:
10352:
10332:
10258:
10232:
10133:
10110:
10080:
10054:
10028:
9975:
9943:
9917:
9891:
9816:
9796:
9749:
9729:
9667:
9613:
9593:
9558:
9533:
9510:
9457:
9437:
9398:
9378:
9356:
9220:
9196:
9161:
9026:
8993:
8973:
8953:
8907:
8842:
8805:
8766:
8746:
8682:
8648:
8628:
8608:
8588:
8557:
8425:
8401:
8379:
8357:
8337:
8314:
8267:
8241:
8202:
8156:
8136:
8098:
8071:
8023:
8001:
7808:
7788:
7688:
7657:
7549:
7505:
7463:
7327:
7293:
7268:
7200:{\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}
7199:
7159:
7124:
7092:
7054:
7034:
7007:
6987:
6967:
6938:
6918:
6898:
6862:
6754:
6603:
6571:
6548:
6504:
6472:
6441:
6414:
6387:
6365:
6330:
6303:
6235:
6208:
6052:
6030:
6000:
5974:
5858:
5829:
5802:
5772:
5683:
5656:
5633:
5613:
5586:
5551:
5531:
5478:
5282:
5260:
4731:
4691:
4655:
4622:
4588:
4504:
4466:
4353:
4332:
4291:
4264:
4234:
4203:
4070:
4040:
4013:
3972:
3945:
3857:
3831:
3796:
3761:
3741:
3705:
3685:
3649:
3613:
3581:
3549:
3522:
3493:
3461:
3439:
3404:
3349:
3241:
3214:
3100:
3061:
2907:
2878:
2845:
2782:
2676:
2641:
2605:
2583:
2518:
2498:
2475:
2449:
2417:
2391:
2365:
2345:
2285:
2265:
2245:
2212:
2192:
2170:
2098:
2051:
2016:
1996:
1941:
1921:
1878:
1757:
1728:
1695:
1660:
1640:
1617:
1597:
1577:
1420:
1398:
1368:
1347:
1295:
1270:
1231:
1211:
1189:
1052:
1017:
997:
922:
902:
882:
838:
828:
798:
778:
742:
715:
692:
665:
614:
584:
545:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}
544:
494:
462:
435:
397:
359:
301:
274:
235:
206:
167:
36157:
34301:
33559:
31897:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}
28844:
27865:
27789:
27311:
26626:that, for most reasonable measure spaces, is not
22998:the case of equality being achieved exactly when
20442:{\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}
20292:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
16846:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
13120:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}
9511:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
8981:that are bounded almost everywhere (by some real
255:uses a penalty term that is a combination of the
39753:
35287:{\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}
33826:
33724:
33673:
33047:is isometrically isomorphic to the Banach space
30609:
30352:
29630:
28734:{\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}
28414:
28208:
25869:{\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}
22908:{\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}
18582:
18251:{\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17097:
16881:
16325:
14609:Depending on the author, the subscript notation
14164:{\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}
12585:. The set of all cosets, typically denoted by
10890:is closed under scalar multiplication is due to
9087:
8954:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
8433:-th power has a finite integral, or in symbols:
7925:
7841:
7749:
6270:
6090:
1791:
36147:
36106:
35101:can be deduced from the fact that the function
33217:{\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}
14234:{\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}
14108:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}
12768:{\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}
11228:because there might exist measurable functions
76:
39139:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
33749:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}
33359:
29764:so this notation is also used to denote them.
19670:complementary cumulative distribution function
19037:{\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}
18200:and where moreover, the sequence of functions
15521:If we use complex-valued functions, the space
9892:{\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}
54:defined using a natural generalization of the
39283:
39247:Mathematical formulation of quantum mechanics
37792:
36886:
36369:
36161:; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984),
36133:, Pearson Education, Inc., pp. 253–257,
36006:
35140:{\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
34927:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}
33956:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
33529:(2nd ed.), New Delhi: Tata McGraw-Hill,
31164:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}
28002:
27958:
27852:
27805:
26553:
22991:{\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}
22560:in the second. (This is a consequence of the
13674:defines a map, which will also be denoted by
11730:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}
10333:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}
5488:Here, a complication arises, namely that the
312:
37631:Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
36107:Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958),
36007:Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003),
35072:
35065:
35048:
35041:
35003:
34990:
34749:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
34426:
34410:
34149:
34142:
34116:
34109:
33892:
33885:
33449:Inequalities: A Journey into Linear Analysis
33025:
33018:
32983:
32976:
31793:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}
31652:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}
31432:
31425:
31411:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}
30583:
30566:
30430:
30423:
30399:
30377:
30332:
30325:
30251:
30229:
30185:
30154:
30131:
30100:
30021:
30014:
29907:
29900:
29882:
29875:
29611:
29604:
29247:
29240:
29069:
29026:
27847:
27810:
26464:
26457:
26445:
26438:
26287:
26280:
26112:
26065:
25952:
25939:
25660:
25653:
25587:
25580:
24911:{\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}
22929:
22922:
22811:
22804:
22751:
22744:
22707:
22693:
22664:
22655:
22643:
22624:
21908:+ "Every subset of the real numbers has the
20604:is well defined and continuous follows from
19967:
19960:
19854:
19847:
19225:
19166:
19031:
18998:
18957:
18930:
18633:
18585:
18502:
18488:
18431:
18424:
18319:
18305:
18172:
18165:
18097:
18090:
18017:
18003:
17753:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}
17188:
17181:
17108:
17101:
17078:
17071:
16892:
16885:
16749:
16742:
16732:
16725:
16707:
16697:
16347:
16340:
16312:
16305:
15382:
15370:
15097:
15091:
15055:
15049:
14979:
14972:
14901:
14894:
14836:
14830:
14806:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
14747:
14740:
14356:
14349:
14152:
14145:
14133:
14122:
13994:
13977:
13881:
13827:
13688:
13681:
13655:
13638:
13593:
13586:
13555:
13538:
13509:
13492:
13463:
13456:
13436:
13408:
13363:
13356:
13225:almost everywhere; if this is the case then
12719:
12665:
12529:
12501:
12377:
12362:
12355:
12313:
12289:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
12222:
12215:
12161:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
12095:
12080:
12073:
12031:
12025:
11996:
11917:
11910:
11800:
11793:
11718:
11694:
11677:
11670:
11566:
11559:
11446:
11439:
11325:
11318:
11262:
11255:
11205:
11198:
11165:
11158:
11124:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
11065:
11058:
10976:
10969:
10944:
10934:
10904:
10897:
10883:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
10756:
10749:
10723:
10716:
10704:
10697:
10685:
10672:
10628:
10621:
10604:
10597:
10559:
10546:
10448:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
10321:
10297:
10280:
10273:
10210:
10184:
10167:
10148:
9869:
9855:
9838:
9831:
9797:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
9718:
9701:
9689:
9682:
9582:
9573:
9420:
9413:
9242:
9235:
9153:
9090:
9052:
9045:
9015:
9008:
8902:
8859:
8741:
8699:
8447:
8440:
8315:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
7911:
7844:
7829:
7822:
7780:
7725:
7581:
7568:
7399:
7342:
7261:
7245:
7231:
7222:
7191:
7177:
7148:
7139:
6780:
6773:
6292:
6285:
6257:
6250:
6243:of all bounded sequences. It turns out that
6078:
6071:
5304:
5297:
3980:defined below, is no longer locally convex.
2929:
2922:
2765:
2758:
2716:
2709:
2697:
2690:
2566:
2559:
2540:
2533:
2334:
2327:
2309:
2302:
2234:
2227:
2156:
2149:
2137:
2130:
2108:
2090:
2066:
1779:
1772:
1585:The absolute value bars can be dropped when
1442:
1435:
1259:
1246:
1078:
1071:
998:{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
247:). Techniques which use an L1 penalty, like
36087:
34310:For example, if a non-empty measurable set
32349:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}
25266:{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }
24422:Several properties of general functions in
19793:also appears in the definition of the weak
19282:{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
18410:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17702:{\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17244:{\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }
14434:-th power integrable functions and it is a
10811:(the triangle inequality does not hold for
8079:is just a special case of the more general
39290:
39276:
37799:
37785:
37726:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
36893:
36879:
36793:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
36376:
36362:
36298:
34444:{\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}
33451:. Cambridge University Press. p. 54.
32126:
31702:{\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}
30370:
27895:The topology can be defined by any metric
26489:, which are in turn used to establish the
25744:{\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}
23833:It follows that there exists a continuous
23614:It can be proved that for every Borel set
17349:{\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}
16184:
15515:
14043:is independent of the particular function
13585:
13564:
12930:
12909:
12844:
12823:
12500:
12479:
11995:
11974:
10022:
10001:
9757:) and so a measurable function belongs to
9386:is a measurable function that is equal to
8518:
6906:becomes a Banach space. In the case where
4303:by omitting the quotation marks. Defining
1668:-norm is the norm that corresponds to the
1199:The Euclidean distance between two points
39122:
38922:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
38912:
35133:
34914:
34818:
34739:
34669:
33989:
33943:
33549:
33148: – Theorem on operator interpolation
32042:
32015:
31999:
31955:
31872:
31637:
31532:
31458:
31396:
31264:
31181:
31146:
31059:{\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}
30719:
29919:{\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}
28779:
28763:
28712:
28525:
28357:
28349:
28007:
27077:
25639:{\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}
25525:
24619:
24548:
24490:
24444:
24338:
24286:
24224:
24073:can be covered by an increasing sequence
24037:
24022:
22010:{\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}
20502:
20062:
20053:
19993:
19685:
19515:
19511:
19273:
18835:
18779:
18728:{\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}
18595:
18546:
18516:
18487:
18466:
18401:
18242:
18186:
18132:
18057:
17980:
17952:
17941:
17925:
17806:
17741:
17693:
17379:
17237:
17142:
17125:
16936:
16909:
16741:
16193:As in the discrete case, if there exists
16026:
15901:
15814:with the counting measure, the resulting
15794:More generally, if one considers any set
15777:
15724:
15431:
15039:
14884:
14796:
13524:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}
13329:
12992:
12436:
12345:
12279:
12151:
12063:
11114:
10873:
10438:
10208:
10187:
10165:
10151:
9787:
9580:
9576:
9501:
9101:
8395:
8373:
8305:
7855:
7736:
7643:
7187:
7180:
7146:
7142:
6955:
6679:
4211:which is discussed by Stefan Rolewicz in
3723:
3566:
3510:
3376:
3226:, though, which is homogeneous of degree
2866:
2629:
2593:This inequality depends on the dimension
2346:{\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}
1984:
1040:
870:
806:as above), i.e., a Hilbert space of type
388:
350:
39580:Group algebra of a locally compact group
36125:
36065:
33552:Handbook of Analysis and its Foundations
33365:
33178: – Statistical optimality criterion
31904:Muckenhoupt's theorem describes weights
31710:
30901:
30521:
24509:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}
24357:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}
24305:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}
22244:{\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}
14474:, a result that is sometimes called the
14006:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}
8747:{\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}
5691:grows larger. For example, the sequence
4663:the space of sequences whose series are
4560:
4475:
3405:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}
2810:
2171:{\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}
848:
592:the Fourier transform does not map into
84:
39098:
39012:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
37806:
36148:Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965),
34479:{\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}
33565:
33446:
33142: – Concept within complex analysis
25323:
24716:{\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}
24460:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}
23051:Throughout this section we assume that
21896:except in some trivial cases. However,
18342:{\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}
17578:
15911:{\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}
13265:are identified in the quotient space.
10988:{\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}
8961:is the set of all measurable functions
6492:instead of a sum is used to define the
3769:-unit ball contains the convex hull of
2799:
638:are central to many applications, from
14:
39754:
39252:Ordinary Differential Equations (ODEs)
38366:Banach–Steinhaus (Uniform boundedness)
33413:
33315: – Measure in functional analysis
33289: – Periodicity computation method
33172: – Square root of the mean square
32202:), it is possible to define spaces of
32168:{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}
31846:the Lebesgue measure; the (nonlinear)
28232:{\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}
27314:). By definition, it contains all the
26978:are exactly those that are bounded on
26898:is the zero space. In the case of the
25314:{\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}
25038:, it is crucial that the vector space
24170:{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}
23463:{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}
23333:{\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}
21805:can be identified with bounded signed
20747:can be expressed this way: i.e., that
18298:). These inequalities guarantee that
17661:, meaning that there exist a sequence
16971:is taken over the closed unit ball of
15103:{\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}
14478:). When the underlying measure space
8908:{\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}
8852:, if the (necessarily) measurable set
7066:Banach space which can be seen as the
3557:is the usual vector space topology of
1709:(or uniform norm) is the limit of the
723:i.e., a maximal orthonormal subset of
39271:
37780:
36874:
36357:
36265:
36229:
36194:
36131:Classical and Modern Fourier Analysis
36116:
34135:is guaranteed to be a norm (although
33648:
33631:
33521:
30955:
27405:), this mode of convergence is named
27344:and is equipped with the topology of
27303:{\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}
27208:
26951:), the bounded linear functionals on
26944:{\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}
26840:
26791:The only nonempty convex open set in
26708:every open convex set containing the
25787:
25034:). In this theorem, which is due to
21798:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}
13192:{\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}
13156:{\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}
12542:consists of all measurable functions
12393:This normed quotient space is called
11637:is finite then this follows from the
10660:although it is also a consequence of
9730:{\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}
7167:-norm is even induced by a canonical
4021:norm and another function called the
1975:Abstractly speaking, this means that
1957:only the zero vector has zero length,
92:
37739:Applications & related
36806:Applications & related
36241:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
33262:spaces over a locally compact group
33040:{\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}
32534:may be identified with the function
32270:functions, and then endow them with
29800:-norm is not a true norm, since the
23861:{\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}
20740:{\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}
16777:, is in some sense optimal since if
16093:is linearly isometric to a suitable
15148:The above definitions generalize to
14842:{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}
8242:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}
7042:defined above. For uncountable sets
6366:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}
79:, III.3), although according to the
36725:Marcinkiewicz interpolation theorem
36011:(Second ed.), Academic Press,
34976:{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}
34200:{\displaystyle 0<p\leq \infty ,}
34095:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
34063:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
33778:{\displaystyle X\neq \varnothing .}
33082:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}
32662:, the most common of which are the
31193:{\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }
30942:Marcinkiewicz interpolation theorem
30487:almost everywhere, then the spaces
29197:{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}
27766:fundamental system of neighborhoods
27597:metrizable topological vector space
27515:{\displaystyle \mu (S)<\infty .}
27477:{\displaystyle \mu (S)<\infty .}
27220:, the space of measurable functions
27008:namely those given by sequences in
24725:
24312:Similarly, the space of integrable
23607:{\displaystyle \mu (V)<\infty .}
23079:{\displaystyle 1\leq p<\infty .}
21443:into its bidual. Moreover, the map
20335:{\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}
19625:{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}
16873:is a measurable function such that
16683:{\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}
15649:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
14463:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
14264:{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}
14194:{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}
12245:(defined shortly) on the canonical
10804:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
6946:elements, this construction yields
6515:
5587:{\displaystyle 1\leq p<\infty .}
4051:The mathematical definition of the
436:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}
398:{\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}
360:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}
24:
39080:
39041:
39003:
38847:
36900:
36651:Symmetric decreasing rearrangement
36555:
35123:
34967:
34894:
34798:
34719:
34649:
34329:{\displaystyle N\neq \varnothing }
34283:
34191:
34089:
34057:
34031:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
34025:
33923:
33854:
33701:
33510:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33487:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33475:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33306: – Space of bounded sequences
33067:
32953:
32898:
32892:
32828:
32822:
32760:
32754:
32692:
32686:
32630:
32624:
32541:
32433:are finite sums of simple tensors
32405:
32399:
32334:
32328:
32249:
32153:
32147:
32017:
31957:
31745:{\displaystyle 1<p<\infty ,}
31736:
31713:); they appear for example in the
31686:
31639:
31534:
31460:
31398:
31342:
31332:
31292:
31266:
31183:
31148:
31038:
30985:
30944:, which has broad applications to
30817:this expression defines a norm if
30634:
30598:
29746:
29188:
28875:
28496:For the infinite Lebesgue measure
28453:
28328:{\displaystyle \mu (S)<\infty }
28322:
28071:
28009:
27725:
27615:
27538:
27506:
27468:
27288:
27240:
27020:
26539:
26202:{\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}
25535:
25353:
25070:
24894:
24830:
24802:
24749:
24523:
24237:{\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}
24152:
24024:
23685:{\displaystyle \varepsilon >0,}
23627:
23598:
23506:
23445:
23289:
23104:
23070:
23046:
22235:
22195:
22117:
22001:
21924:
21774:
21738:
21654:
21565:
20922:{\displaystyle 1<p<\infty ,}
20913:
20504:
20177:
20092:
20055:
20004:
19946:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
19898:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
19892:
19322:
18556:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
18021:
17990:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
17608:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
17602:
17340:
17144:
17057:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
16954:
16938:
16632:{\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}
16584:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
16498:
16410:
16335:
16316:
16237:
16206:
15643:
15571:
15533:
15504:quadratically integrable functions
15433:
15221:
15164:
15083:
15019:
14864:
14822:
14776:
14457:
14256:
14226:
14210:
14186:
14127:
14072:
14028:
13988:
13855:
13838:
13813:
13780:
13649:
13630:
13549:
13503:
13431:
13400:
13309:
13289:-norm on the quotient vector space
13184:
13148:
13112:
13096:
13061:
13028:
12948:
12901:
12865:
12815:
12793:
12760:
12750:
12693:
12676:
12628:
12595:
12524:
12474:
12416:
12325:
12305:
12259:
12181:
12131:
12099:
12043:
11969:
11753:
11545:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
11539:
11484:
11094:
10853:
10798:
10539:-th power integrable follows from
10418:
10062:). The non-negativity requirement
10049:
10023:
9990:
9976:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
9970:
9767:
9659:
9594:{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}
9481:
9246:
9056:
9019:
8931:
8925:
8580:
8549:
8520:
8285:
8262:
8233:
8188:
7833:
7777:
7708:
7680:
7645:
7532:
7160:{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}
6741:
6604:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
6598:
6357:
6280:
6261:
6228:
6082:
6047:
5578:
4721:
4492:. For example, scaling the vector
3940:
3922:
2099:{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}
1783:
1749:
1688:
554:Riesz–Thorin interpolation theorem
103:spaces form an important class of
25:
39798:
38744:Subsets / set operations
38521:Differentiation in Fréchet spaces
36320:
35853:{\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}
35193:, which by definition means that
34323:
33806:
33769:
33130: – Type of topological space
31848:Hardy–Littlewood maximal operator
31003:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}
29804:fails to hold. Nevertheless, for
28541:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
27093:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
26545:{\displaystyle 1<p<\infty }
26485:This result may be used to prove
24755:{\displaystyle 0<p<\infty }
23958:
23806:
21755:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21671:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21582:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21152:{\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}
20559:{\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}
20183:{\displaystyle 1<p<\infty }
19461:
18417:being pairwise disjoint implies
17315:are measure spaces) then for all
16132:where the cardinality of the set
15110:); in other words, they will be,
12735:forms a vector space with origin
12121:This set is a vector subspace of
11786:is any measurable function, then
11344:is a norm if and only if no such
7986:
7960:
7550:{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}
4550:-norm in infinite dimensions and
3582:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
3112:. On the other hand, the formula
2846:{\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}
1279:destination, but in terms of the
934:The Euclidean length of a vector
624:
177:solutions to variational problems
39736:
39735:
39662:Topological quantum field theory
37668:Lebesgue differentiation theorem
37549:Carathéodory's extension theorem
34460:
34415:
34396:{\displaystyle \mathbf {1} _{N}}
34383:
31945:
31808:
31777:
29395:{\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}
28890:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
28153:{\displaystyle \varphi (t)>0}
27630:{\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}
27553:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
27370:is a probability measure (i.e.,
27255:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
27031:{\displaystyle \ell ^{\infty }.}
25553:As before, we may introduce the
25368:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
24209:This applies in particular when
24001:
23312:
23295:{\displaystyle A_{j}\in \Sigma }
23215:
23119:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
22659:
22628:
22591:spaces.) Indeed, if the domain
21717:{\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}
20805:is onto and isometric, it is an
20686:is a linear mapping which is an
20377:{\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}
19518:
19053:
18838:
17650:{\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}
16039:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
15246:
14724:{\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}
14036:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}}
13199:), which happens if and only if
11960:). So denote this common set by
8203:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
7284:
7257:
7249:
7226:
6968:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5532:{\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}
4732:{\displaystyle \ell ^{\infty },}
4630:This contains as special cases:
4245:Another function was called the
3523:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2879:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2642:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
1997:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1053:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
883:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
426:
87:) they were first introduced by
39049:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
36088:DiBenedetto, Emmanuele (2002),
35446:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
34756:into a vector space because if
34488:
33999:{\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}
33907:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
33556:See Sections 14.77 and 27.44–47
33543:
33515:
33416:Elements of Functional Analysis
33287:Least-squares spectral analysis
32998:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
32594:{\displaystyle x\mapsto ef(x).}
32304:topology. Another way involves
31285:
28921:with real or complex values on
27873:
27665:The description is easier when
27312:Kalton, Peck & Roberts 1984
26238:which in particular shows that
24611:
24565:
23766:
23760:
21932:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
21553:is isometrically isomorphic to
21190:(or adjoint) of the inverse of
20342:). This isomorphism associates
20190:has a natural isomorphism with
19289:is decreasing and converges to
18973:denotes the measure of the set
18798:
15734:{\displaystyle S=\mathbb {N} )}
13703:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
12098:
10479:-th power integrable functions
10088:can be removed by substituting
9027:{\displaystyle \|f\|_{\infty }}
6236:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
4048:"norm" (with quotation marks).
3928:
2425:(In fact this remains true for
556:, and is made precise with the
118:
32:Sequence space § ℓp spaces
39209:
39190:
39006:
39000:
38916:
38908:
38850:
38844:
38438:Lomonosov's invariant subspace
38361:Banach–Schauder (open mapping)
35958:
35948:
35939:
35925:
35916:
35912:
35883:
35868:
35846:
35838:
35830:
35822:
35814:
35800:
35776:
35766:
35757:
35743:
35734:
35730:
35702:
35697:
35689:
35681:
35673:
35669:
35639:
35630:
35604:
35595:
35564:
35556:
35536:
35528:
35407:
35399:
35391:
35383:
35281:
35275:
35269:
35257:
35251:
35245:
35233:
35227:
35215:
35203:
35163:
35157:
35129:
35126:
35114:
34918:
34905:
34822:
34809:
34743:
34730:
34673:
34660:
34610:
34604:
34588:
34582:
34579:
34570:
34560:
34554:
34545:
34539:
34526:
34520:
34517:
34505:
34352:
34346:
34273:
34265:
34232:
34226:
34210:
34161:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
34128:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
33993:
33980:
33947:
33934:
33872:
33844:
33836:
33812:{\displaystyle X=\varnothing }
33787:
33742:
33734:
33691:
33683:
33660:
33440:
33423:
33418:(2nd ed.), Cambridge: CUP
33407:
33327:
33249:
33243:
33136: – Type of function space
33076:
33064:
32907:
32889:
32837:
32819:
32769:
32751:
32701:
32683:
32639:
32621:
32585:
32579:
32570:
32544:
32414:
32396:
32343:
32325:
32162:
32144:
32075:
32069:
32024:
31994:
31964:
31941:
31888:
31867:
31787:
31773:
31693:
31676:
31646:
31625:
31547:
31541:
31522:
31517:
31511:
31504:
31500:
31494:
31467:
31446:
31405:
31384:
31279:
31273:
31261:
31255:
31236:
31230:
31155:
31134:
31066:be a measurable function. The
31041:
31029:
31026:
30994:
30976:
30709:
30700:
30649:
30642:
30628:
30622:
30578:
30570:
30403:
30389:
30381:
30374:
30254:
30241:
30233:
30226:
30200:
30191:
30175:
30171:
30165:
30158:
30121:
30117:
30111:
30104:
30089:
30083:
30067:
30062:
30056:
30049:
29989:
29977:
29955:
29943:
29862:{\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}
29853:
29841:
29757:{\displaystyle L^{p,\infty },}
29680:
29674:
29479:
29473:
29386:
29374:
29337:
29325:
29231:
29225:
29136:
29124:
29059:
29055:
29049:
29042:
29017:
29011:
28884:
28866:
28845:Generalizations and extensions
28783:
28758:
28728:
28707:
28639:
28631:
28615:
28611:
28605:
28598:
28447:
28432:
28421:
28387:
28381:
28353:
28316:
28310:
28223:
28211:
28202:
28196:
28141:
28135:
28106:
28100:
28074:
28062:
28022:
28016:
27996:
27992:
27986:
27977:
27971:
27964:
27937:
27925:
27837:
27833:
27827:
27820:
27728:
27716:
27624:
27606:
27547:
27529:
27500:
27494:
27462:
27456:
27386:
27380:
27297:
27279:
27249:
27231:
27162:it is common to work with the
26925:
26919:
26878:
26875:
26863:
26860:
26826:
26823:
26811:
26808:
26728:function is unbounded for the
26692:
26689:
26677:
26674:
26417:
26409:
26401:
26393:
26299:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
26103:
26097:
26015:The resulting metric space is
25999:
25993:
25933:
25921:
25905:
25893:
25863:
25857:
25841:
25835:
25819:
25807:
25703:
25690:
25672:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
25616:
25609:
25515:
25506:
25489:
25483:
25433:
25427:
25362:
25344:
25296:
25283:
24961:
24955:
24905:
24899:
24863:
24857:
24841:
24835:
24805:
24793:
24707:
24695:
24686:
24680:
24677:
24661:
24635:
24602:
24592:
24568:
24500:
24485:
24454:
24439:
24348:
24333:
24296:
24281:
24161:
24143:
24093:
24080:
24018:
23995:
23812:
23800:
23791:
23785:
23776:
23770:
23592:
23586:
23454:
23436:
23113:
23095:
22957:
22950:
22902:
22890:
22877:
22874:
22862:
22773:
22766:
22688:
22676:
22407:
22395:
22379:
22367:
22311:
22299:
22283:
22271:
22120:
22108:
22088:
22076:
22046:
22034:
21883:
21877:
21786:
21779:
21749:
21743:
21702:
21695:
21665:
21659:
21576:
21570:
21540:
21534:
21430:
21424:
21360:
21353:
21305:
21294:
21287:
21262:
21257:
21251:
21134:
21127:
21097:
21091:
21055:
21048:
21035:
21032:
21026:
20952:
20946:
20876:
20870:
20836:
20830:
20728:
20721:
20667:
20660:
20647:
20644:
20638:
20597:{\displaystyle \kappa _{p}(g)}
20591:
20585:
20550:
20544:
20487:
20481:
20478:
20472:
20459:
20430:
20423:
20407:
20401:
20371:
20365:
20213:
20207:
20145:
20139:
20113:
20095:
20083:
20050:
20040:
20032:
20028:
19940:
19928:
19866:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
19746:
19738:
19717:
19707:
19699:
19695:
19689:
19561:
19523:
19455:
19417:
19319:
19262:
19248:
19209:
19203:
19160:
19122:
19096:
19058:
19022:
19016:
18992:
18980:
18960:
18948:
18942:
18927:
18918:
18906:
18881:
18843:
18709:
18690:
18617:
18605:
18390:
18376:
18231:
18207:
17730:
17716:
17682:
17668:
17644:
17638:
17555:
17543:
17528:
17523:
17511:
17496:
17492:
17480:
17473:
17468:
17452:
17440:
17425:
17420:
17408:
17393:
17389:
17376:
17369:
17364:
17302:
17290:
17270:
17258:
17233:
17200:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
17051:
17039:
17009:{\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}
17000:
16988:
16932:
16921:
16677:
16665:
16626:
16614:
16578:
16566:
16413:
16401:
16332:
16282:
16270:
16254:
16242:
16116:
16110:
15961:
15955:
15905:
15897:
15864:
15858:
15728:
15446:
15440:
15422:
15416:
15407:
15401:
15172:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
15046:
15043:
15030:
14966:
14954:
14888:
14875:
14800:
14787:
14759:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
14715:
14703:
14665:
14653:
14563:
14557:
14527:
14515:
14343:
14331:
14102:
14090:
13930:
13918:
13878:
13866:
13803:
13791:
13742:
13730:
13635:
13375:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
13333:
13320:
13051:
13039:
12996:
12983:
12940:
12931:
12906:
12890:
12857:
12845:
12820:
12804:
12798:
12782:
12716:
12704:
12618:
12606:
12440:
12427:
12349:
12336:
12283:
12270:
12234:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
12190:{\displaystyle p\leq \infty .}
12155:
12142:
12067:
12054:
11929:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11707:
11698:
11493:{\displaystyle p\leq \infty .}
11337:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11217:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11177:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11118:
11105:
11077:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10965:
10957:
10916:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10877:
10864:
10768:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10442:
10429:
10404:-th power integrable functions
10310:
10301:
10198:
10189:
10161:
10153:
10104:
10096:
9791:
9778:
9713:
9705:
9675:are always the same (that is,
9662:
9650:
9647:
9637:
9629:
9505:
9492:
9338:
9332:
9303:
9297:
9283:
9275:
9185:
9179:
9135:
9131:
9125:
9118:
8948:
8936:
8892:
8888:
8882:
8875:
8830:
8822:
8738:
8732:
8723:
8717:
8508:
8499:
8309:
8296:
8197:
8179:
8066:
8060:
7943:
7935:
7887:
7872:
7767:
7759:
7719:
7713:
7634:
7628:
7619:
7613:
7541:
7523:
7500:
7488:
6893:
6887:
6831:
6815:
6725:
6709:
6659:
6645:
6634:
6628:
6543:
6537:
6277:
6203:
6193:
6172:
6164:
6149:
6135:
6120:
6112:
6097:
6093:
5951:
5938:
5523:
5499:
5441:
5419:
5405:
5389:
5369:
5353:
5339:
5323:
5248:
5166:
5059:
4931:
4915:
4845:
4839:
4769:
4451:
4435:
4415:
4399:
4385:
4369:
4191:
4176:
4163:
4148:
4118:
4115:
4102:
3937:
3919:
3888:
3882:
3713:such that the scalar multiple
3680:
3674:
3440:{\displaystyle \ell _{n}^{p}.}
3399:
3371:
3337:
3308:
3280:
3268:
3202:
3186:
3166:
3150:
3136:
3120:
3030:
3014:
2994:
2978:
2964:
2948:
1867:
1852:
1838:
1823:
1815:
1800:
1746:
1543:
1527:
1507:
1491:
1477:
1461:
992:
947:
773:
767:
430:
422:
392:
384:
354:
346:
309:norm of the parameter vector.
30:For the sequence space ℓ, see
13:
1:
39458:Uniform boundedness principle
36621:Convergence almost everywhere
36383:
36000:
35987:{\displaystyle \blacksquare }
35319:{\displaystyle 0\leq t\leq 1}
33554:, London: Academic Press Inc.
33435:Topology and its Applications
33429:Rafael Dahmen, Gábor Lukács:
30907:A major result that uses the
29343:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
29142:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
28118:{\displaystyle \varphi (0)=0}
24762:is any positive real number,
23970:{\displaystyle S\setminus U,}
23408:{\displaystyle j=1,\dots ,n.}
22094:{\displaystyle L^{q}(S,\mu )}
22052:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
21971:
19596:(in particular, the division
19331:{\displaystyle n\to \infty .}
16125:{\displaystyle \ell ^{2}(I),}
15970:{\displaystyle \ell ^{p}(n),}
15873:{\displaystyle \ell ^{p}(S).}
15787:{\displaystyle \mathbb {N} .}
15683:spaces are a special case of
14932:to the normed quotient space
14671:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
14533:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
13936:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
11854:. Since the right hand side (
11759:{\displaystyle p\leq \infty }
10240:Note in particular that when
9204:then this is the same as the
9197:{\displaystyle \mu (S)\neq 0}
8915:has measure zero. The space
8268:{\displaystyle p\neq \infty }
8113:spaces and Lebesgue integrals
7506:{\displaystyle L^{2}(X,\mu )}
7294:{\displaystyle \mathbf {x} .}
6449:together with this norm is a
3983:
3650:{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
3614:{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
1758:{\displaystyle p\to \infty .}
1318:
552:This is a consequence of the
495:{\displaystyle 1\leq p\leq 2}
148:, can be defined in terms of
123:
38323:Singular value decomposition
33437:Nr. 270, 2020. Example 2.14
33341:; Wainwright, M. J. (2015).
32553:{\displaystyle \Omega \to E}
32379:Element of the vector space
31977:and the maximal operator on
31815:{\displaystyle \mathbf {T} }
28273:Under this metric the space
28083:{\displaystyle [0,\infty ),}
27737:{\displaystyle (S,\Sigma ),}
27586:local convergence in measure
27155:{\displaystyle 0<p<1,}
26748:-quasi-norm; therefore, the
26372:{\displaystyle u,v\in L^{p}}
26338:reverse Minkowski inequality
26008:{\displaystyle L^{p}(\mu ).}
25403:{\displaystyle 0<p<1,}
23633:{\displaystyle A\in \Sigma }
23569:{\displaystyle V\subseteq S}
22129:{\displaystyle (0,\infty ).}
21384:This map coincides with the
21213:{\displaystyle \kappa _{p}:}
20885:{\displaystyle L^{p}(\mu ).}
20222:{\displaystyle L^{q}(\mu ),}
20104:{\displaystyle (0,\infty ).}
19766:that was used to define the
16212:{\displaystyle q<\infty }
15426:
15232:{\displaystyle L^{\infty },}
14572:{\displaystyle L^{p}(\mu ),}
13485:denote this unique value by
9147: for almost every
8402:{\displaystyle \mathbb {R} }
8380:{\displaystyle \mathbb {C} }
8072:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
7638:
7456:
6899:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
6549:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
6216:and the corresponding space
3742:{\displaystyle C\,B_{n}^{p}}
3101:{\displaystyle 0<p<1;}
2677:{\displaystyle 0<r<p:}
779:{\displaystyle \ell ^{2}(E)}
67:. They are sometimes called
7:
39088:{\displaystyle L^{\infty }}
38856:{\displaystyle ba(\Sigma )}
38725:Radially convex/Star-shaped
37721:Prékopa–Leindler inequality
36788:Prékopa–Leindler inequality
36641:Locally integrable function
36563:{\displaystyle L^{\infty }}
36333:Encyclopedia of Mathematics
36306:, Oxford University Press,
33182:Locally integrable function
33120:
32306:topological tensor products
32052:One may also define spaces
30788:-norm. Further in the case
30552:{\displaystyle 0<r<p}
30298:and taking the supremum in
29541:for this inequality is the
29306:is said to be in the space
26611:{\displaystyle 0<p<1}
25439:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
25078:{\displaystyle L^{\infty }}
24967:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
24918:is a vector subspace, then
24811:{\displaystyle (S,\Sigma )}
24393:of bounded rectangles when
22203:{\displaystyle L^{\infty }}
21902:Zermelo–Fraenkel set theory
21889:{\displaystyle L^{1}(\mu )}
21609:{\displaystyle \kappa _{1}}
21546:{\displaystyle L^{1}(\mu )}
21436:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
21179:{\displaystyle \kappa _{q}}
21103:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
20989:{\displaystyle \kappa _{p}}
20958:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
20842:{\displaystyle L^{q}(\mu )}
20798:{\displaystyle \kappa _{p}}
20767:{\displaystyle \kappa _{p}}
20151:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
15579:{\displaystyle L^{\infty }}
15541:{\displaystyle L^{\infty }}
15499:square-integrable functions
11818:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11584:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11464:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11280:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
10836:{\displaystyle 0<p<1}
10266:is finite then the formula
9438:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
7559:square-integrable functions
6482:arbitrarily many components
4085:Theory of Linear Operations
2620:In general, for vectors in
2450:{\displaystyle 0<p<1}
2032:. This Banach space is the
1696:{\displaystyle L^{\infty }}
1271:{\displaystyle \|x-y\|_{2}}
321:for the real line (or, for
128:In statistics, measures of
77:Dunford & Schwartz 1958
10:
39803:
39601:Invariant subspace problem
39215:{\displaystyle W(X,L^{p})}
37663:Lebesgue's density theorem
36534:Square-integrable function
36273:(3rd ed.), New York:
36150:Real and abstract analysis
36121:, New York: Academic Press
36109:Linear operators, volume I
35182:{\displaystyle F(t)=t^{p}}
33447:Garling, D. J. H. (2007).
32660:topological tensor product
32088:on a manifold, called the
28849:
28819:–integrable density
27408:convergence in probability
27001:{\displaystyle \ell ^{1},}
25779:{\displaystyle a,b\geq 0,}
25155:(that is even a subset of
25014:was chosen independent of
23128:integrable simple function
21962:{\displaystyle \ell ^{1}.}
13478:{\displaystyle \|f\|_{p};}
13349:the value of the seminorm
11084:is a seminorm and the set
8596:recall that two functions
8589:{\displaystyle p=\infty ,}
7689:{\displaystyle p=\infty .}
7328:{\displaystyle \ell ^{2},}
5803:{\displaystyle \ell ^{1},}
4692:{\displaystyle \ell ^{2},}
4656:{\displaystyle \ell ^{1},}
4623:{\displaystyle \ell ^{p}.}
4600:), which yields the space
4569:
3832:{\displaystyle B_{n}^{1}.}
3797:{\displaystyle B_{n}^{p},}
845:-norm in finite dimensions
829:{\displaystyle \ell ^{2}.}
631:Square-integrable function
628:
558:Hausdorff–Young inequality
313:Hausdorff–Young inequality
253:Elastic net regularization
29:
39731:
39690:
39614:
39593:
39552:
39491:
39433:
39379:
39321:
39314:
39229:
38814:
38761:Algebraic interior (core)
38743:
38652:
38486:
38376:Cauchy–Schwarz inequality
38331:
38259:
38105:
38019:Function space Topologies
38018:
37932:
37815:
37738:
37716:Minkowski–Steiner formula
37686:
37646:
37639:
37539:
37531:Projection-valued measure
37432:
37325:
37094:
36967:
36908:
36805:
36783:Minkowski–Steiner formula
36753:
36715:
36659:
36608:
36542:
36486:
36455:
36391:
36271:Real and complex analysis
36071:Topological vector spaces
34364:{\displaystyle \mu (N)=0}
34244:{\displaystyle \mu (S)=0}
33527:Real and Complex Analysis
33376:10.1007/978-94-015-7758-8
33366:Rolewicz, Stefan (1987),
33176:Least absolute deviations
32664:projective tensor product
32527:{\displaystyle f\times e}
32508:where each simple tensor
27637:for a suitable choice of
27440:topological abelian group
27398:{\displaystyle \mu (S)=1}
27058:{\displaystyle \ell ^{p}}
26971:{\displaystyle \ell ^{p}}
26650:{\displaystyle \ell ^{p}}
26554:Adams & Fournier 2003
23692:there exist a closed set
22136:A continuous function in
21589:(more precisely, the map
19403:{\displaystyle t_{n+1}=0}
16419:{\displaystyle p,q,r\in }
15676:{\displaystyle \ell ^{p}}
15508:square-summable functions
15271:{\displaystyle \ell ^{p}}
13449:is constant and equal to
11412:is measurable and equals
10055:{\displaystyle p=\infty }
9668:{\displaystyle |f|:S\to }
9601:of a measurable function
9208:of the absolute value of
8843:{\displaystyle |f|\leq C}
7093:{\displaystyle \ell ^{p}}
7035:{\displaystyle \ell ^{p}}
6764:Unconditional convergence
6442:{\displaystyle \ell ^{p}}
6415:{\displaystyle \ell ^{p}}
6331:{\displaystyle \ell ^{p}}
6012:), but is convergent for
5830:{\displaystyle \ell ^{p}}
5684:{\displaystyle \ell ^{p}}
5614:{\displaystyle \ell ^{p}}
4265:{\displaystyle \ell _{0}}
4235:{\displaystyle \ell _{0}}
4071:{\displaystyle \ell _{0}}
4041:{\displaystyle \ell _{0}}
4014:{\displaystyle \ell _{0}}
3973:{\displaystyle \ell ^{p}}
3494:{\displaystyle B_{n}^{p}}
2792:This is a consequence of
2615:Cauchy–Schwarz inequality
2246:{\displaystyle \|x\|_{p}}
2180:This fact generalizes to
693:{\displaystyle \ell ^{2}}
463:{\displaystyle \ell ^{q}}
113:topological vector spaces
39570:Spectrum of a C*-algebra
37699:Isoperimetric inequality
37678:Vitali–Hahn–Saks theorem
37007:Carathéodory's criterion
36766:Isoperimetric inequality
36171:10.1017/CBO9780511662447
35792:The triangle inequality
35417:{\displaystyle |f|,|g|,}
33550:Schechter, Eric (1997),
33320:
33255:{\displaystyle L^{p}(G)}
32962:{\displaystyle \Omega ,}
32732:injective tensor product
32081:{\displaystyle L^{p}(M)}
31839:{\displaystyle \lambda }
31312:Radon–Nikodym derivative
28897:be a measure space, and
28812:{\displaystyle \lambda }
28509:{\displaystyle \lambda }
28239:Such a metric is called
28048:{\displaystyle \varphi }
27444:topological vector space
26887:{\displaystyle L^{p}();}
26701:{\displaystyle L^{p}(),}
26038:{\displaystyle p\geq 1.}
25195:{\displaystyle \lambda }
24938:is a closed subspace of
24516:in the following sense:
21912:") in which the dual of
21762:is subtler. Elements of
19576:is identically equal to
18735:holds) and then letting
17615:then every non-negative
17308:{\displaystyle (N,\nu )}
17276:{\displaystyle (M,\mu )}
16773:This inequality, called
15243:enabling such recovery.
14930:isometrically isomorphic
14849:) then the normed space
12296:by its vector subspace
11617:almost everywhere. When
8106:-space (defined below).
6995:-norm defined above. If
4755:) numbers are given by:
4333:{\displaystyle 0^{0}=0,}
4078:norm was established by
3839:The fact that for fixed
3686:{\displaystyle C_{p}(n)}
2418:{\displaystyle a\geq 0.}
1922:{\displaystyle p\geq 1,}
1348:{\displaystyle p\geq 1,}
39667:Noncommutative geometry
37704:Brunn–Minkowski theorem
37573:Decomposition theorems
36771:Brunn–Minkowski theorem
36304:The theory of functions
34070:), but it is only when
34006:can be extended to all
32969:when seminormed by any
32255:{\displaystyle \Omega }
32119:of the manifold, using
30933:{\displaystyle L^{p,w}}
30810:{\displaystyle p>1,}
30781:{\displaystyle L^{p,w}}
30513:{\displaystyle L^{p,w}}
29793:{\displaystyle L^{p,w}}
29567:{\displaystyle L^{p,w}}
29450:{\displaystyle t>0,}
29402:if there is a constant
28987:{\displaystyle t\geq 0}
27573:{\displaystyle \sigma }
26832:{\displaystyle L^{p}()}
26487:Clarkson's inequalities
26231:{\displaystyle r>0,}
25375:be a measure space. If
24994:is finite-dimensional (
24099:{\displaystyle (V_{n})}
23512:{\displaystyle \Sigma }
23415:By construction of the
23302:has finite measure and
23126:be a measure space. An
22506:in the first case, and
19658:{\displaystyle r_{n}=0}
19364:{\displaystyle t_{n}=0}
17251:is non-negative (where
15880:For example, the space
11940:(it does not depend on
11880:a.e.) does not mention
11186:seminormed vector space
10742:which establishes that
10081:{\displaystyle f\geq 0}
9918:{\displaystyle f\geq 0}
9621:and its absolute value
9406:almost everywhere then
7211:Euclidean inner product
6053:{\displaystyle \infty }
6031:{\displaystyle p>1.}
5859:{\displaystyle p>1,}
2908:{\displaystyle n>1,}
2476:{\displaystyle a\geq 0}
2392:{\displaystyle p\geq 1}
585:{\displaystyle p>2,}
63:for finite-dimensional
39723:Tomita–Takesaki theory
39698:Approximation property
39642:Calculus of variations
39216:
39140:
39089:
39050:
39013:
38923:
38857:
38026:Banach–Mazur compactum
37816:Types of Banach spaces
37751:Descriptive set theory
37651:Disintegration theorem
37086:Universally measurable
36626:Convergence in measure
36564:
35988:
35968:
35854:
35786:
35656:
35496:
35476:
35447:
35418:
35369:
35346:
35320:
35288:
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35141:
35095:
34977:
34928:
34878:
34852:
34829:
34770:
34750:
34709:These operations make
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33750:
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32216:
32192:
32169:
32137:Given a measure space
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31080:
31060:
31004:
30966:As before, consider a
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30837:
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28233:
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28179:{\displaystyle t>0}
28154:
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27679:
27657:
27631:
27574:
27554:
27516:
27478:
27432:
27399:
27364:
27347:convergence in measure
27338:
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27304:
27256:
27201:
27200:{\displaystyle p<1}
27156:
27121:
27100:rather than work with
27094:
27059:
27032:
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26722:
26702:
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26612:
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24968:
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23608:
23570:
23537:
23521:Borel 𝜎–algebra
23513:
23486:
23472:More can be said when
23464:
23409:
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23334:
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18369:while the supports of
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18278:(it is independent of
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15971:
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15003:via the canonical map
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14573:
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14492:
14470:(meaning that it is a
14464:
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11500:On the other hand, if
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8567:To define the set for
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6395:-norm thus defined on
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5644:One can check that as
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5539:will have an infinite
5533:
5480:
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4703:sequences, which is a
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3069:defines an absolutely
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38097:Uniform convergence
37855:Inner product space
37616:Hölder's inequality
37478:of random variables
37440:Measurable function
37327:Particular measures
36916:Absolute continuity
36707:Young's convolution
36646:Measurable function
36529:Pythagorean theorem
36519:Parseval's identity
36468:Integrable function
36349:spaces are complete
36236:Functional Analysis
35345:{\displaystyle x,y}
35085:
35061:
35016:
34877:{\displaystyle f+g}
33878:The definitions of
33634:, pp. 117–119.
33587:Amer. Math. Monthly
33209:
32048:spaces on manifolds
31715:Muckenhoupt theorem
30291:{\displaystyle 1/p}
30041:
29802:triangle inequality
29673:
29428:such that, for all
29260:
29206:Markov's inequality
28919:measurable function
27639:probability measure
27173:Hahn–Banach theorem
26306:not being a norm.
25965:
24784:probability measure
24412:{\displaystyle d=2}
23169:is one of the form
23017:{\displaystyle f=1}
22613:Hölder's inequality
22163:might blow up near
21635:{\displaystyle p=1}
21517:, then the dual of
21386:canonical embedding
21330:
20606:Hölder's inequality
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17209:triangle inequality
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16775:Hölder's inequality
16372:Hölder's inequality
15557:von Neumann algebra
14498:is understood then
14308:normed vector space
13218:{\displaystyle f=g}
12168:for every positive
11873:{\displaystyle f=0}
11844:{\displaystyle f=0}
11690:
11656:{\displaystyle p=1}
11610:{\displaystyle f=0}
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11015:and every function
10927:, which means that
10777:triangle inequality
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10617:
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10293:
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10180:
10111:{\displaystyle |f|}
9851:
9543:For every positive
8683:{\displaystyle f=g}
8275:, consider the set
8170:Lebesgue integrable
7899: for all
7215:, which means that
6484:"; in other words,
6001:{\displaystyle p=1}
5664:increases, the set
4561:The sequence space
4341:the zero "norm" of
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3490:
3433:
2794:Hölder's inequality
2273:does not grow with
2200:-norms in that the
2026:normed vector space
1969:triangle inequality
1953:), which are that:
890:based on different
644:stochastic calculus
109:functional analysis
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39371:Topological vector
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39168:Sobolev inequality
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37756:Probability theory
37081:Transverse measure
37059:Non-measurable set
37041:Locally measurable
36828:Probability theory
36730:Plancherel theorem
36636:Integral transform
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36509:Euclidean distance
36442:Minkowski distance
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35662:which proves that
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29725:coincide with the
29715:
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29644:
29597:and is denoted by
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