50:
125:
1444:
426:
2671:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 228.
1164:
1837:
1193:
2103:
678:
557:
1670:
1944:
273:
1012:
1526:
224:
2355:
1681:
779:
49:
2458:
1439:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}
1970:
858:
993:
2208:
2556:
571:
450:
897:
1565:
2138:
421:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}
1848:
2240:
2484:
2576:
2509:
2260:
1549:
119:
53:
Plot of the logarithmic integral function li(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with
Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
2768:
1159:{\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,}
1464:
153:
1832:{\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}
2275:
2601:
2834:
2720:
1171:
783:
715:
698:
2370:
2098:{\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}
2761:
2729:
2676:
796:
935:
17:
1953:: it is a reasonable approximation only if the series is truncated at a finite number of terms, and only large values of
2166:
2514:
673:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}
552:{\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}
2754:
562:
As such, the integral representation has the advantage of avoiding the singularity in the domain of integration.
707:
1180:
863:
1665:{\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}
900:
246:
2111:
1939:{\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}
94:
2591:
2813:
2777:
904:
264:
2666:
2216:
2463:
2798:
2739:
2694:
2157:
1958:
1556:
921:
86:
8:
2625:
1184:
2839:
2579:
2561:
2494:
2361:
2266:
2245:
1534:
104:
2788:
2725:
2715:
2698:
2682:
2672:
2654:
2622:
2596:
234:
1957:
are employed. This expansion follows directly from the asymptotic expansion for the
2803:
1950:
74:
2735:
2690:
2668:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
2662:
137:
The logarithmic integral has an integral representation defined for all positive
124:
2793:
1552:
2828:
2149:
98:
90:
82:
41:
2658:
2153:
2746:
138:
58:
1521:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}
1002: > 0. This identity provides a series representation of li(
219:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}
2630:
2350:{\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}
2718:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
2702:
145:
78:
2686:
2558:
but the difference changes sign an infinite number of times as
781:â 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151...
774:{\displaystyle {\text{li}}({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}
2620:
2453:{\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}
1842:
This gives the following more accurate asymptotic behaviour:
1175:
787:
702:
30:"Li(x)" redirects here. For the polylogarithm denoted by Li
2711:
853:{\displaystyle -(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )}
696:â 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930...
2712:"Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals"
2242:
denotes the number of primes smaller than or equal to
1042:
988:{\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!}
959:
940:
2564:
2517:
2497:
2466:
2373:
2278:
2248:
2219:
2169:
2114:
1973:
1851:
1684:
1568:
1537:
1467:
1196:
1015:
938:
866:
799:
718:
574:
453:
276:
156:
107:
2570:
2550:
2503:
2478:
2452:
2349:
2254:
2234:
2203:{\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}
2202:
2132:
2097:
1938:
1831:
1664:
1543:
1520:
1438:
1158:
987:
891:
852:
773:
672:
551:
420:
218:
113:
2551:{\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}
984:
2826:
2653:
2143:
296:
431:
85:significance. In particular, according to the
2762:
1964:This implies e.g. that we can bracket li as:
1402:
1376:
2776:
1949:As an asymptotic expansion, this series is
692:) has a single positive zero; it occurs at
2769:
2755:
2645:Abramowitz and Stegun, p. 230, 5.1.20
2602:List of integrals of logarithmic functions
2156:less than a given value. For example, the
2152:, appearing in estimates of the number of
1152:
132:
2148:The logarithmic integral is important in
1340:
983:
843:
910:
123:
48:
2721:NIST Handbook of Mathematical Functions
1449:
892:{\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)}
27:Special function defined by an integral
14:
2827:
1183:. A more rapidly convergent series by
2750:
2709:
2621:
2364:is equivalent to the statement that:
2582:is somewhere between 10 and 1.4Ă10.
101:less than or equal to a given value
97:, which is defined as the number of
24:
1621:
1272:
1169:where Îł â 0.57721 56649 01532 ...
1104:
867:
806:
128:Logarithmic integral function plot
25:
2851:
683:
2835:Special hypergeometric functions
77:. It is relevant in problems of
1137:
903:. It must be understood as the
2724:, Cambridge University Press,
2639:
2614:
2545:
2539:
2530:
2524:
2447:
2420:
2410:
2406:
2400:
2391:
2385:
2375:
2344:
2325:
2315:
2311:
2305:
2296:
2290:
2280:
2229:
2223:
2197:
2191:
2179:
2173:
2083:
2070:
2013:
2007:
1917:
1904:
1864:
1858:
1808:
1795:
1774:
1761:
1700:
1694:
1650:
1637:
1581:
1575:
1480:
1474:
1391:
1379:
1323:
1310:
1295:
1285:
1242:
1228:
1209:
1203:
1081:
1073:
1054:
1048:
1035:
1022:
977:
965:
952:
946:
847:
803:
768:
762:
751:
748:
742:
724:
706:; this number is known as the
664:
658:
646:
640:
587:
581:
543:
537:
525:
519:
466:
460:
303:
289:
283:
169:
163:
13:
1:
2809:Logarithmic integral function
2607:
2144:Number theoretic significance
442:Eulerian logarithmic integral
63:logarithmic integral function
2269:, we get the even stronger:
2133:{\displaystyle \ln x\geq 11}
1454:The asymptotic behavior for
7:
2585:
438:offset logarithmic integral
432:Offset logarithmic integral
10:
2856:
708:RamanujanâSoldner constant
29:
2784:
1181:EulerâMascheroni constant
901:incomplete gamma function
2778:Nonelementary integrals
2580:first time this happens
2235:{\displaystyle \pi (x)}
256:, and the integral for
133:Integral representation
95:prime-counting function
2814:Trigonometric integral
2626:"Logarithmic Integral"
2572:
2552:
2505:
2480:
2479:{\displaystyle a>0}
2454:
2351:
2256:
2236:
2204:
2134:
2099:
1940:
1833:
1666:
1625:
1545:
1522:
1440:
1406:
1276:
1160:
1108:
989:
905:Cauchy principal value
893:
854:
775:
674:
553:
422:
265:Cauchy principal value
220:
144: â 1 by the
129:
115:
54:
2710:Temme, N. M. (2010),
2573:
2553:
2506:
2481:
2455:
2352:
2257:
2237:
2205:
2135:
2100:
1941:
1834:
1667:
1605:
1546:
1523:
1441:
1360:
1256:
1161:
1088:
990:
911:Series representation
894:
855:
776:
675:
554:
423:
221:
127:
116:
52:
2799:Exponential integral
2592:Jørgen Pedersen Gram
2562:
2515:
2495:
2464:
2371:
2276:
2246:
2217:
2167:
2158:prime number theorem
2112:
1971:
1959:exponential integral
1849:
1682:
1566:
1557:asymptotic expansion
1535:
1465:
1450:Asymptotic expansion
1194:
1013:
936:
922:exponential integral
919:) is related to the
864:
797:
716:
572:
451:
274:
263:is interpreted as a
154:
105:
89:, it is a very good
87:prime number theorem
18:Logarithmic integral
2578:increases, and the
998:which is valid for
929:) via the equation
607:
486:
386:
339:
189:
2716:Olver, Frank W. J.
2655:Abramowitz, Milton
2623:Weisstein, Eric W.
2568:
2548:
2501:
2476:
2450:
2362:Riemann hypothesis
2347:
2267:Riemann hypothesis
2252:
2232:
2200:
2130:
2095:
1936:
1829:
1662:
1541:
1518:
1458: â â is
1436:
1156:
1046:
985:
963:
944:
889:
850:
771:
670:
593:
549:
472:
418:
366:
319:
313:
216:
175:
130:
111:
67:integral logarithm
55:
2822:
2821:
2789:Elliptic integral
2731:978-0-521-19225-5
2678:978-0-486-61272-0
2659:Stegun, Irene Ann
2571:{\displaystyle x}
2504:{\displaystyle x}
2333:
2255:{\displaystyle x}
2093:
2059:
2032:
1996:
1927:
1886:
1818:
1784:
1750:
1723:
1660:
1603:
1544:{\displaystyle O}
1509:
1426:
1358:
1254:
1141:
1135:
1045:
962:
943:
907:of the function.
760:
731:
722:
629:
508:
408:
361:
295:
235:natural logarithm
211:
146:definite integral
114:{\displaystyle x}
16:(Redirected from
2847:
2804:Fresnel integral
2771:
2764:
2757:
2748:
2747:
2742:
2706:
2661:, eds. (1983) .
2646:
2643:
2637:
2636:
2635:
2618:
2577:
2575:
2574:
2569:
2557:
2555:
2554:
2549:
2510:
2508:
2507:
2502:
2485:
2483:
2482:
2477:
2459:
2457:
2456:
2451:
2446:
2445:
2435:
2413:
2378:
2356:
2354:
2353:
2348:
2334:
2329:
2318:
2283:
2261:
2259:
2258:
2253:
2241:
2239:
2238:
2233:
2209:
2207:
2206:
2201:
2139:
2137:
2136:
2131:
2104:
2102:
2101:
2096:
2094:
2092:
2091:
2090:
2065:
2060:
2058:
2044:
2033:
2028:
2017:
1997:
1995:
1981:
1945:
1943:
1942:
1937:
1932:
1928:
1926:
1925:
1924:
1899:
1887:
1885:
1871:
1838:
1836:
1835:
1830:
1819:
1817:
1816:
1815:
1790:
1785:
1783:
1782:
1781:
1756:
1751:
1749:
1735:
1724:
1722:
1712:
1703:
1686:
1671:
1669:
1668:
1663:
1661:
1659:
1658:
1657:
1635:
1627:
1624:
1619:
1604:
1602:
1588:
1550:
1548:
1547:
1542:
1527:
1525:
1524:
1519:
1514:
1510:
1508:
1494:
1445:
1443:
1442:
1437:
1432:
1428:
1427:
1425:
1408:
1405:
1398:
1374:
1359:
1357:
1356:
1355:
1332:
1331:
1330:
1309:
1308:
1283:
1275:
1270:
1255:
1250:
1245:
1231:
1178:
1165:
1163:
1162:
1157:
1142:
1139:
1136:
1134:
1120:
1119:
1110:
1107:
1102:
1084:
1076:
1047:
1043:
1034:
1033:
994:
992:
991:
986:
964:
960:
945:
941:
915:The function li(
898:
896:
895:
890:
888:
884:
859:
857:
856:
851:
836:
832:
790:
780:
778:
777:
772:
761:
758:
741:
740:
732:
729:
723:
720:
705:
688:The function li(
679:
677:
676:
671:
630:
628:
617:
609:
606:
601:
558:
556:
555:
550:
509:
507:
496:
488:
485:
480:
427:
425:
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