6369:
6152:
6390:
6358:
6427:
6400:
6380:
5868:
And even if the polynomial function is not an open map, then this theorem may nevertheless still be applied (possibly multiple times) to restrictions of the function to appropriately chosen subsets of the domain (based on consideration of the map's local
3979:
4339:
5682:
5857:
4781:
3755:
4285:
5809:
2946:
3607:
2059:
1946:
660:
2349:
454:
5625:
3333:
1804:
1367:
2802:
2314:
2111:
769:
4080:
3486:
2489:
3457:
2170:
409:
285:
2851:
2228:
859:
1512:
1289:
805:
2573:
5419:
4125:
3780:
3701:
2534:
1862:
1566:
4904:
4831:
4702:
4608:
4547:
2269:
904:
3649:
2988:
2644:
5726:
1897:
5058:
4994:
4863:
4734:
4486:
4422:
4209:
3875:
3171:
3032:
2710:
2010:
1978:
1836:
1645:
1474:
1442:
1321:
1251:
1219:
1123:
1071:
493:
80:
5759:
5539:
4177:
4151:
3267:
2910:
2602:
2881:
527:
4359:
4002:
3807:
3676:
3561:
5279:
5224:
5169:
5114:
4933:
4637:
4454:
2199:
1029:
717:
582:
1000:
5336:
5024:
4956:
3431:
3234:
1692:
970:
373:
330:
229:
127:
5779:
5579:
5559:
5506:
5380:
5360:
5309:
5246:
5191:
5136:
5081:
4661:
4567:
4506:
4249:
4229:
4046:
4026:
3919:
3895:
3831:
3526:
3506:
3401:
3381:
3357:
3287:
3211:
3191:
3139:
3115:
3087:
3063:
2822:
2754:
2730:
2684:
2664:
2509:
2439:
2419:
2399:
2376:
2138:
1752:
1732:
1712:
1669:
1610:
1586:
1532:
1407:
1387:
1175:
1151:
1091:
947:
924:
688:
602:
550:
350:
307:
253:
202:
182:
158:
100:
1291:
is also a local homeomorphism. The restriction of a local homeomorphism to any open subset of the domain will again be a local homomorphism; explicitly, if
4008:
of two copies of the reals identifies every negative real of the first copy with the corresponding negative real of the second copy. The two copies of
6430:
3837:(and thus a discrete, and even compact, subspace), this example generalizes to such polynomials whenever the mapping induced by it is an open map.
3927:
4290:
5643:
6451:
5930:
6025:
5988:
5950:
5285:
As pointed out above, the
Hausdorff property is not local in this sense and need not be preserved by local homeomorphisms.
17:
5814:
5394:
The idea of a local homeomorphism can be formulated in geometric settings different from that of topological spaces. For
4743:
3710:
6064:
4254:
6418:
6413:
5906:
5784:
2915:
3566:
3508:'s fibers are discrete (see this footnote for an example). One corollary is that every continuous open surjection
5942:
2015:
1902:
610:
6456:
6408:
2319:
1734:
is essential for the inclusion map to be a local homeomorphism because the inclusion map of a non-open subset of
732:
Every homeomorphism is a local homeomorphism. But a local homeomorphism is a homeomorphism if and only if it is
414:
5584:
4370:
3834:
3292:
1763:
1326:
6310:
2766:
2278:
2075:
3651:
is a continuous open surjection with discrete fibers so this result guarantees that the maximal open subset
739:
4051:
3529:
3462:
2460:
3436:
6318:
4378:
2733:
2352:
2143:
382:
258:
5407:
2827:
2204:
818:
6461:
5339:
4005:
3922:
1479:
1256:
774:
605:
2542:
6117:
4085:
3760:
3704:
3681:
2760:
2517:
1841:
1545:
6466:
6403:
6389:
5937:
5460:
5395:
5084:
4868:
4786:
4666:
4572:
4511:
2991:
2379:
2233:
864:
3612:
2951:
2607:
6338:
6259:
6136:
6124:
6097:
6057:
5976:
5687:
5465:
5139:
3042:
1867:
43:
6333:
5031:
4967:
4836:
4707:
4459:
4395:
4182:
3848:
3144:
3005:
2689:
1983:
1951:
1809:
1618:
1447:
1415:
1294:
1224:
1192:
1096:
1044:
466:
53:
6180:
6107:
5731:
5511:
5249:
5194:
4156:
4130:
3239:
2886:
2578:
1648:
2856:
506:
6328:
6280:
6254:
6102:
5455:
5449:
5403:
5399:
5001:
4344:
3987:
3982:
3785:
3654:
3539:
2454:
2069:
1186:
5255:
5200:
5145:
5090:
4909:
4613:
4430:
2175:
1005:
693:
558:
8:
6175:
5383:
5312:
4961:
4425:
3336:
3094:
2114:
1589:
979:
553:
130:
6379:
5318:
5006:
4938:
3413:
3216:
1674:
952:
355:
312:
211:
109:
6373:
6343:
6323:
6244:
6234:
6112:
6092:
6017:
5980:
5764:
5761:
for this map is the empty set; that is, there does not exist any non-empty open subset
5628:
5564:
5544:
5491:
5365:
5345:
5294:
5231:
5176:
5121:
5066:
4646:
4552:
4491:
4234:
4214:
4031:
4011:
3904:
3880:
3816:
3511:
3491:
3386:
3366:
3342:
3272:
3196:
3176:
3124:
3100:
3072:
3048:
2807:
2739:
2715:
2669:
2649:
2494:
2424:
2404:
2384:
2361:
2123:
1737:
1717:
1697:
1654:
1595:
1571:
1517:
1392:
1372:
1160:
1136:
1093:
is a local homeomorphism. In certain situations the converse is true. For example: if
1076:
932:
909:
673:
587:
535:
335:
292:
238:
187:
167:
143:
85:
4569:
will continue to be a local homeomorphism when it is considered as the surjective map
6368:
6361:
6227:
6185:
6050:
6031:
6021:
5994:
5984:
5956:
5946:
5902:
4640:
667:
530:
496:
47:
6393:
5411:
2061:
Thus restrictions of local homeomorphisms to open subsets are local homeomorphisms.
6141:
6087:
5926:
3536:
fibers is "almost everywhere" a local homeomorphism (in the topological sense that
2450:
50:
that, intuitively, preserves local (though not necessarily global) structure. If
6200:
6195:
6007:
3898:
3039:
1154:
1130:
1039:
6383:
736:. A local homeomorphism need not be a homeomorphism. For example, the function
6290:
6222:
5431:
4997:
3533:
3360:
3118:
1948:
Since the composition of two local homeomorphisms is a local homeomorphism, if
1035:
927:
6445:
6300:
6210:
6190:
6013:
5968:
5898:
5890:
5437:
2512:
2272:
2117:
1613:
663:
5998:
5960:
6285:
6205:
6151:
5440: – Mapping which preserves all topological properties of a given space
3404:
3090:
205:
134:
6035:
6295:
5452: – Theorem in topology about homeomorphic subsets of Euclidean space
5443:
3066:
31:
6239:
6170:
6129:
5382:
in a natural way. All of this is explained in detail in the article on
4028:
are not identified and they do not have any disjoint neighborhoods, so
2537:
1126:
375:
but the converse is not always true. For example, the two dimensional
6264:
4386:
3974:{\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}
1189:
of two local homeomorphisms is a local homeomorphism; explicitly, if
973:
808:
733:
4334:{\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }
6249:
6217:
6166:
6073:
5362:
gives rise to a uniquely defined local homeomorphism with codomain
5289:
4382:
4374:
3035:
232:
35:
1757:
yields a local homeomorphism (since it will not be an open map).
5677:{\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2883:
is an invertible linear map (invertible square matrix) for every
4381:. In particular, every local homeomorphism is a continuous and
812:
376:
5060:
transfers "local" topological properties in both directions:
4179:
Similarly, it is possible to construct a local homeomorphisms
2990:). An analogous condition can be formulated for maps between
5415:
3563:
is a dense open subset of its domain). For example, the map
815:) is a local homeomorphism but not a homeomorphism. The map
2912:(The converse is false, as shown by the local homeomorphism
6042:
3488:
a conclusion that may be false without the assumption that
5945:. Berlin New York: Springer Science & Business Media.
4048:
is not
Hausdorff. One readily checks that the natural map
5389:
2763:
one can show that a continuously differentiable function
379:, being a manifold, is locally homeomorphic to the plane
5311:
stand in a natural one-to-one correspondence with the
4740:
be a local homeomorphism (as is the case with the map
4424:
is a local homeomorphism depends on its codomain. The
3835:
every fiber of every non-constant polynomial is finite
3213:-valued local homeomorphism on a dense open subset of
5817:
5787:
5767:
5734:
5690:
5646:
5587:
5567:
5547:
5514:
5494:
5368:
5348:
5321:
5297:
5258:
5234:
5203:
5179:
5148:
5124:
5093:
5069:
5034:
5009:
4970:
4941:
4912:
4871:
4839:
4789:
4746:
4710:
4669:
4649:
4616:
4575:
4555:
4514:
4494:
4462:
4433:
4398:
4347:
4293:
4257:
4237:
4217:
4185:
4159:
4133:
4088:
4054:
4034:
4014:
3990:
3930:
3907:
3883:
3851:
3819:
3788:
3763:
3713:
3684:
3657:
3615:
3569:
3542:
3514:
3494:
3465:
3439:
3416:
3389:
3369:
3345:
3295:
3275:
3242:
3219:
3199:
3179:
3147:
3127:
3103:
3075:
3051:
3008:
2954:
2918:
2889:
2859:
2830:
2810:
2769:
2742:
2718:
2692:
2672:
2652:
2610:
2581:
2545:
2520:
2497:
2463:
2427:
2407:
2387:
2364:
2351:
will be a local homeomorphism if and only if it is a
2322:
2281:
2236:
2207:
2178:
2146:
2126:
2078:
2018:
1986:
1954:
1905:
1870:
1844:
1812:
1766:
1740:
1720:
1700:
1677:
1657:
1621:
1598:
1574:
1548:
1520:
1482:
1450:
1418:
1395:
1375:
1329:
1297:
1259:
1227:
1195:
1163:
1139:
1099:
1079:
1047:
1008:
982:
955:
935:
912:
867:
821:
777:
742:
722:
696:
676:
613:
590:
561:
538:
509:
469:
417:
385:
358:
338:
315:
295:
261:
241:
214:
190:
170:
146:
112:
88:
56:
5852:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R} }
5470:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
4369:
A map is a local homeomorphism if and only if it is
4389:local homeomorphism is therefore a homeomorphism.
1864:is equal to its composition with the inclusion map
5851:
5803:
5773:
5753:
5720:
5676:
5619:
5573:
5553:
5533:
5500:
5374:
5354:
5342:. Furthermore, every continuous map with codomain
5330:
5303:
5273:
5240:
5218:
5185:
5163:
5130:
5108:
5075:
5052:
5018:
4988:
4950:
4927:
4898:
4857:
4825:
4776:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}
4775:
4728:
4696:
4655:
4631:
4602:
4561:
4541:
4500:
4480:
4448:
4416:
4353:
4333:
4279:
4243:
4223:
4203:
4171:
4145:
4119:
4074:
4040:
4020:
3996:
3973:
3913:
3889:
3869:
3825:
3801:
3774:
3750:{\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}
3749:
3695:
3670:
3643:
3601:
3555:
3520:
3500:
3480:
3451:
3425:
3395:
3375:
3351:
3327:
3281:
3261:
3228:
3205:
3185:
3165:
3133:
3109:
3081:
3057:
3026:
2982:
2940:
2904:
2875:
2845:
2816:
2796:
2748:
2724:
2704:
2678:
2658:
2638:
2596:
2567:
2528:
2503:
2483:
2433:
2413:
2393:
2370:
2343:
2308:
2263:
2222:
2193:
2164:
2132:
2105:
2053:
2004:
1972:
1940:
1891:
1856:
1830:
1798:
1746:
1726:
1706:
1686:
1663:
1639:
1604:
1580:
1560:
1526:
1506:
1468:
1436:
1401:
1381:
1361:
1315:
1283:
1245:
1213:
1169:
1145:
1117:
1085:
1065:
1023:
994:
964:
941:
918:
898:
853:
799:
763:
711:
682:
654:
596:
576:
544:
521:
487:
448:
403:
367:
344:
324:
301:
279:
247:
223:
196:
176:
152:
121:
94:
74:
4280:{\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }
1651:. But it is a local homeomorphism if and only if
1181:Local homeomorphisms and composition of functions
6443:
3782:This example also shows that it is possible for
3757:which confirms that this set is indeed dense in
27:Mathematical function revertible near each point
5804:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
5446: – In mathematics, invertible homomorphism
5434: – Isomorphism of differentiable manifolds
133:. Typical examples of local homeomorphisms are
4488:is necessarily an open subset of its codomain
2941:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
2536:) is a local homeomorphism precisely when the
1323:is a local homeomorphism then its restriction
1253:are local homeomorphisms then the composition
1034:Generalizing the previous two examples, every
129:Local homeomorphisms are used in the study of
6058:
5824:
5594:
4549:will also be a local homeomorphism (that is,
3602:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}
3302:
2853:) is a local homeomorphism if the derivative
2025:
1912:
1773:
1336:
1038:is a local homeomorphism; in particular, the
949:), is a local homeomorphism for all non-zero
620:
4111:
4105:
3741:
3735:
3236:To clarify this statement's conclusion, let
2054:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}
1941:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}
655:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}
2344:{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
807:(so that geometrically, this map wraps the
6426:
6399:
6065:
6051:
5541:is equal to the union of all open subsets
5508:is continuous and open imply that the set
4663:). However, in general it is possible for
972:but it is a homeomorphism only when it is
728:Local homeomorphisms versus homeomorphisms
449:{\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}
5845:
5797:
5789:
5670:
5662:
5654:
5620:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
4763:
4754:
4314:
4306:
4273:
4265:
4068:
3951:
3943:
3765:
3728:
3686:
3577:
3328:{\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}
2934:
2926:
2833:
2784:
2522:
2477:
2331:
2296:
2210:
2149:
2093:
1799:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
1362:{\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}
744:
433:
388:
264:
5925:
5640:Consider the continuous open surjection
6005:
5967:
5889:
4865:is a local homomorphism if and only if
3269:be the (unique) largest open subset of
2797:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
2309:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
2106:{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}
289:If there is a local homeomorphism from
14:
6444:
5390:Generalizations and analogous concepts
3841:Local homeomorphisms and Hausdorffness
6046:
4082:is a local homeomorphism. The fiber
906:which wraps the circle around itself
764:{\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}
3707:for instance), it can be shown that
3335:is a local homeomorphism. If every
3141:(which is a necessary condition for
458:
411:but there is no local homeomorphism
5468: – generalization of manifolds
4341:with the same equivalence relation
4075:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
3921:is not. Consider for instance the
3481:{\displaystyle O\neq \varnothing ;}
2484:{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }
2012:are local homomorphisms then so is
24:
5338:this correspondence is in fact an
4251:is not: pick the natural map from
3703:with additional effort (using the
3593:
3452:{\displaystyle X\neq \varnothing }
3173:to be a local homeomorphism) then
2551:
2275:. Consequently, a continuous map
723:Examples and sufficient conditions
25:
6478:
3845:There exist local homeomorphisms
3732:
3532:second-countable spaces that has
3472:
3446:
2165:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
1568:is any subspace (where as usual,
404:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}
280:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
6425:
6398:
6388:
6378:
6367:
6357:
6356:
6150:
4704:to be a local homeomorphism but
2846:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2666:is not a local homeomorphism at
2445:Local homeomorphisms in analysis
2223:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1409:is also a local homeomorphism.
1129:local homeomorphism between two
854:{\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}
2998:Local homeomorphisms and fibers
1534:is also a local homeomorphism.
1514:are local homeomorphisms, then
1507:{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
1284:{\displaystyle g\circ f:X\to Z}
800:{\displaystyle t\mapsto e^{it}}
6452:Theory of continuous functions
5932:General Topology: Chapters 1–4
5883:
5862:
5841:
5706:
5694:
5666:
5634:
5611:
5482:
5288:The local homeomorphisms with
5268:
5262:
5213:
5207:
5158:
5152:
5103:
5097:
5044:
4980:
4922:
4916:
4893:
4887:
4881:
4849:
4817:
4805:
4799:
4793:
4758:
4720:
4691:
4685:
4679:
4626:
4620:
4597:
4591:
4585:
4536:
4530:
4524:
4472:
4443:
4437:
4408:
4195:
4114:
4102:
4064:
3861:
3625:
3619:
3596:
3584:
3581:
3319:
3157:
3018:
2964:
2958:
2930:
2779:
2756:sheets come together there).
2620:
2614:
2568:{\displaystyle f^{\prime }(z)}
2562:
2556:
2473:
2291:
2258:
2252:
2246:
2188:
2182:
2088:
1996:
1964:
1880:
1822:
1790:
1631:
1498:
1460:
1428:
1353:
1307:
1275:
1237:
1205:
1109:
1057:
877:
871:
838:
781:
748:
706:
700:
649:
643:
637:
571:
565:
479:
428:
66:
13:
1:
5919:
4906:is a local homeomorphism and
4364:
4120:{\displaystyle f^{-1}(\{y\})}
3775:{\displaystyle \mathbb {R} .}
3696:{\displaystyle \mathbb {R} ;}
2401:such that the restriction of
2358:(meaning that every point in
6072:
5876:
2529:{\displaystyle \mathbb {C} }
1857:{\displaystyle U\subseteq X}
1561:{\displaystyle U\subseteq X}
7:
5425:
4899:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4826:{\displaystyle f(x)=(x,0),}
4697:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4603:{\displaystyle f:X\to f(X)}
4542:{\displaystyle f:X\to f(X)}
2264:{\displaystyle f:U\to f(U)}
899:{\displaystyle f(z)=z^{n},}
352:is locally homeomorphic to
255:is locally homeomorphic to
204:has a neighborhood that is
10:
6483:
6319:Banach fixed-point theorem
6006:Willard, Stephen (2004) .
5811:for which the restriction
5581:such that the restriction
4392:Whether or not a function
3644:{\displaystyle f(x)=x^{2}}
3609:defined by the polynomial
2983:{\displaystyle f(x)=x^{3}}
2639:{\displaystyle f(x)=z^{n}}
82:is a local homeomorphism,
6352:
6309:
6273:
6159:
6148:
6080:
5721:{\displaystyle f(x,y)=x.}
5420:Ă©tale geometric morphisms
5340:equivalence of categories
4964:of a local homeomorphism
4456:of a local homeomorphism
2511:is an open subset of the
1892:{\displaystyle i:U\to X;}
1444:is continuous while both
5943:Éléments de mathématique
5475:
5408:formally Ă©tale morphisms
5396:differentiable manifolds
5053:{\displaystyle f:X\to Y}
4989:{\displaystyle f:X\to Y}
4858:{\displaystyle f:X\to Y}
4729:{\displaystyle f:X\to Y}
4481:{\displaystyle f:X\to Y}
4417:{\displaystyle f:X\to Y}
4204:{\displaystyle f:X\to Y}
3870:{\displaystyle f:X\to Y}
3705:inverse function theorem
3166:{\displaystyle f:X\to Y}
3027:{\displaystyle f:X\to Y}
2992:differentiable manifolds
2761:inverse function theorem
2705:{\displaystyle n\geq 2.}
2005:{\displaystyle i:U\to X}
1973:{\displaystyle f:X\to Y}
1831:{\displaystyle f:X\to Y}
1640:{\displaystyle i:U\to X}
1469:{\displaystyle g:Y\to Z}
1437:{\displaystyle f:X\to Y}
1316:{\displaystyle f:X\to Y}
1246:{\displaystyle g:Y\to Z}
1214:{\displaystyle f:X\to Y}
1118:{\displaystyle p:X\to Y}
1066:{\displaystyle p:C\to Y}
488:{\displaystyle f:X\to Y}
75:{\displaystyle f:X\to Y}
5754:{\displaystyle O=O_{f}}
5534:{\displaystyle O=O_{f}}
5461:Locally Hausdorff space
4172:{\displaystyle y<0.}
4146:{\displaystyle y\geq 0}
3262:{\displaystyle O=O_{f}}
3038:surjection between two
2905:{\displaystyle x\in U.}
2646:on an open disk around
2597:{\displaystyle z\in U.}
6457:Functions and mappings
6374:Mathematics portal
6274:Metrics and properties
6260:Second-countable space
5977:Upper Saddle River, NJ
5853:
5805:
5775:
5755:
5722:
5678:
5621:
5575:
5555:
5535:
5502:
5466:Non-Hausdorff manifold
5376:
5356:
5332:
5305:
5275:
5242:
5220:
5187:
5165:
5140:locally path-connected
5132:
5110:
5077:
5054:
5028:A local homeomorphism
5020:
4990:
4952:
4929:
4900:
4859:
4827:
4777:
4730:
4698:
4657:
4633:
4610:onto its image, where
4604:
4563:
4543:
4502:
4482:
4450:
4418:
4355:
4335:
4281:
4245:
4225:
4205:
4173:
4147:
4121:
4076:
4042:
4022:
3998:
3975:
3915:
3891:
3871:
3827:
3803:
3776:
3751:
3697:
3672:
3645:
3603:
3557:
3522:
3502:
3482:
3453:
3427:
3397:
3377:
3353:
3329:
3283:
3263:
3230:
3207:
3187:
3167:
3135:
3111:
3083:
3059:
3028:
2984:
2942:
2906:
2877:
2876:{\displaystyle D_{x}f}
2847:
2818:
2798:
2750:
2726:
2706:
2680:
2660:
2640:
2598:
2569:
2530:
2505:
2485:
2435:
2415:
2395:
2372:
2345:
2310:
2265:
2224:
2195:
2166:
2134:
2107:
2055:
2006:
1974:
1942:
1893:
1858:
1832:
1800:
1748:
1728:
1708:
1688:
1665:
1641:
1606:
1582:
1562:
1528:
1508:
1470:
1438:
1403:
1383:
1363:
1317:
1285:
1247:
1215:
1171:
1147:
1119:
1087:
1067:
1025:
996:
966:
943:
920:
900:
855:
801:
765:
713:
684:
666:(where the respective
656:
598:
578:
546:
523:
522:{\displaystyle x\in X}
489:
450:
405:
369:
346:
326:
303:
281:
249:
225:
198:
178:
154:
123:
96:
76:
5854:
5806:
5776:
5756:
5723:
5679:
5622:
5576:
5556:
5536:
5503:
5488:The assumptions that
5400:local diffeomorphisms
5377:
5357:
5333:
5306:
5276:
5243:
5221:
5188:
5166:
5133:
5111:
5078:
5055:
5021:
4991:
4953:
4935:is an open subset of
4930:
4901:
4860:
4828:
4778:
4731:
4699:
4658:
4634:
4605:
4564:
4544:
4503:
4483:
4451:
4419:
4356:
4354:{\displaystyle \sim }
4336:
4282:
4246:
4226:
4206:
4174:
4148:
4122:
4077:
4043:
4023:
3999:
3997:{\displaystyle \sim }
3976:
3916:
3892:
3872:
3828:
3804:
3802:{\displaystyle O_{f}}
3777:
3752:
3698:
3673:
3671:{\displaystyle O_{f}}
3646:
3604:
3558:
3556:{\displaystyle O_{f}}
3530:completely metrizable
3523:
3503:
3483:
3454:
3428:
3398:
3378:
3354:
3330:
3284:
3264:
3231:
3208:
3188:
3168:
3136:
3112:
3084:
3060:
3029:
2985:
2943:
2907:
2878:
2848:
2824:is an open subset of
2819:
2799:
2751:
2727:
2707:
2681:
2661:
2641:
2599:
2570:
2531:
2506:
2486:
2436:
2416:
2396:
2373:
2346:
2311:
2266:
2225:
2196:
2167:
2135:
2108:
2056:
2007:
1975:
1943:
1894:
1859:
1833:
1801:
1749:
1729:
1709:
1689:
1666:
1649:topological embedding
1642:
1607:
1588:is equipped with the
1583:
1563:
1529:
1509:
1471:
1439:
1404:
1384:
1364:
1318:
1286:
1248:
1216:
1172:
1148:
1120:
1088:
1068:
1026:
997:
967:
944:
921:
901:
856:
802:
766:
714:
685:
657:
599:
579:
547:
524:
490:
451:
406:
370:
347:
327:
304:
282:
250:
226:
208:to an open subset of
199:
179:
155:
124:
97:
77:
6329:Invariance of domain
6281:Euler characteristic
6255:Bundle (mathematics)
5859:is an injective map.
5815:
5785:
5765:
5732:
5688:
5644:
5585:
5565:
5545:
5512:
5492:
5456:Local diffeomorphism
5450:Invariance of domain
5366:
5346:
5319:
5295:
5274:{\displaystyle f(X)}
5256:
5232:
5219:{\displaystyle f(X)}
5201:
5177:
5164:{\displaystyle f(X)}
5146:
5122:
5109:{\displaystyle f(X)}
5091:
5067:
5032:
5007:
4968:
4939:
4928:{\displaystyle f(X)}
4910:
4869:
4837:
4833:for example). A map
4787:
4744:
4708:
4667:
4647:
4632:{\displaystyle f(X)}
4614:
4573:
4553:
4512:
4492:
4460:
4449:{\displaystyle f(X)}
4431:
4396:
4345:
4291:
4255:
4235:
4215:
4183:
4157:
4131:
4127:has two elements if
4086:
4052:
4032:
4012:
3988:
3983:equivalence relation
3928:
3905:
3881:
3849:
3833:'s domain. Because
3817:
3786:
3761:
3711:
3682:
3655:
3613:
3567:
3540:
3512:
3492:
3463:
3437:
3414:
3387:
3367:
3343:
3293:
3273:
3240:
3217:
3197:
3177:
3145:
3125:
3101:
3073:
3049:
3006:
2952:
2916:
2887:
2857:
2828:
2808:
2767:
2740:
2716:
2690:
2670:
2650:
2608:
2579:
2575:is non-zero for all
2543:
2518:
2495:
2461:
2425:
2405:
2385:
2362:
2320:
2316:from an open subset
2279:
2234:
2205:
2194:{\displaystyle f(U)}
2176:
2144:
2124:
2120:from an open subset
2076:
2070:Invariance of domain
2065:Invariance of domain
2016:
1984:
1952:
1903:
1868:
1842:
1810:
1764:
1738:
1718:
1698:
1675:
1655:
1619:
1596:
1572:
1546:
1518:
1480:
1448:
1416:
1393:
1373:
1327:
1295:
1257:
1225:
1193:
1177:is a covering map.
1161:
1137:
1097:
1077:
1045:
1024:{\displaystyle n=-1}
1006:
980:
976:(that is, only when
953:
933:
926:times (that is, has
910:
865:
819:
775:
740:
712:{\displaystyle f(U)}
694:
674:
611:
588:
577:{\displaystyle f(U)}
559:
536:
507:
467:
415:
383:
356:
336:
313:
293:
259:
239:
212:
188:
168:
162:locally homeomorphic
144:
140:A topological space
110:
86:
54:
34:, more specifically
18:Locally homeomorphic
6339:Tychonoff's theorem
6334:Poincaré conjecture
6088:General (point-set)
5975:(Second ed.).
5869:minimums/maximums).
4153:and one element if
3383:then this open set
2072:guarantees that if
995:{\displaystyle n=1}
668:subspace topologies
501:local homeomorphism
40:local homeomorphism
6324:De Rham cohomology
6245:Polyhedral complex
6235:Simplicial complex
6018:Dover Publications
5981:Prentice Hall, Inc
5938:Topologie Générale
5849:
5801:
5771:
5751:
5718:
5674:
5617:
5571:
5551:
5531:
5498:
5372:
5352:
5331:{\displaystyle Y;}
5328:
5301:
5271:
5238:
5216:
5183:
5161:
5128:
5106:
5073:
5050:
5019:{\displaystyle X.}
5016:
4986:
4951:{\displaystyle Y.}
4948:
4925:
4896:
4855:
4823:
4773:
4726:
4694:
4653:
4629:
4600:
4559:
4539:
4498:
4478:
4446:
4414:
4351:
4331:
4277:
4241:
4221:
4201:
4169:
4143:
4117:
4072:
4038:
4018:
3994:
3971:
3911:
3887:
3867:
3823:
3799:
3772:
3747:
3693:
3668:
3641:
3599:
3553:
3518:
3498:
3478:
3449:
3433:In particular, if
3426:{\displaystyle X.}
3423:
3393:
3373:
3349:
3325:
3279:
3259:
3229:{\displaystyle X.}
3226:
3203:
3183:
3163:
3131:
3107:
3079:
3055:
3024:
2980:
2938:
2902:
2873:
2843:
2814:
2794:
2746:
2722:
2702:
2676:
2656:
2636:
2594:
2565:
2526:
2501:
2481:
2431:
2411:
2391:
2368:
2341:
2306:
2261:
2220:
2191:
2162:
2130:
2103:
2051:
2002:
1970:
1938:
1889:
1854:
1828:
1796:
1744:
1724:
1704:
1687:{\displaystyle X.}
1684:
1661:
1637:
1602:
1578:
1558:
1524:
1504:
1466:
1434:
1399:
1379:
1359:
1313:
1281:
1243:
1211:
1167:
1143:
1115:
1083:
1063:
1021:
992:
965:{\displaystyle n,}
962:
939:
916:
896:
851:
797:
761:
709:
680:
652:
594:
574:
542:
519:
497:topological spaces
485:
446:
401:
368:{\displaystyle Y,}
365:
342:
325:{\displaystyle Y,}
322:
299:
277:
245:
224:{\displaystyle Y.}
221:
194:
184:if every point of
174:
150:
122:{\displaystyle Y.}
119:
92:
72:
48:topological spaces
6439:
6438:
6228:fundamental group
6027:978-0-486-43479-7
5990:978-0-13-181629-9
5969:Munkres, James R.
5952:978-3-540-64241-1
5927:Bourbaki, Nicolas
5891:Munkres, James R.
5774:{\displaystyle U}
5574:{\displaystyle X}
5554:{\displaystyle U}
5501:{\displaystyle f}
5375:{\displaystyle Y}
5355:{\displaystyle Y}
5304:{\displaystyle Y}
5241:{\displaystyle X}
5186:{\displaystyle X}
5131:{\displaystyle X}
5085:locally connected
5076:{\displaystyle X}
4998:discrete subspace
4656:{\displaystyle Y}
4641:subspace topology
4562:{\displaystyle f}
4501:{\displaystyle Y}
4379:locally injective
4244:{\displaystyle Y}
4231:is Hausdorff and
4224:{\displaystyle X}
4041:{\displaystyle X}
4021:{\displaystyle 0}
3914:{\displaystyle X}
3890:{\displaystyle Y}
3826:{\displaystyle f}
3521:{\displaystyle f}
3501:{\displaystyle f}
3403:is necessarily a
3396:{\displaystyle O}
3376:{\displaystyle X}
3361:discrete subspace
3352:{\displaystyle f}
3282:{\displaystyle X}
3206:{\displaystyle Y}
3186:{\displaystyle f}
3134:{\displaystyle X}
3119:discrete subspace
3110:{\displaystyle f}
3082:{\displaystyle Y}
3058:{\displaystyle X}
2817:{\displaystyle U}
2749:{\displaystyle n}
2725:{\displaystyle 0}
2679:{\displaystyle 0}
2659:{\displaystyle 0}
2504:{\displaystyle U}
2434:{\displaystyle N}
2414:{\displaystyle f}
2394:{\displaystyle N}
2371:{\displaystyle U}
2133:{\displaystyle U}
1747:{\displaystyle X}
1727:{\displaystyle X}
1707:{\displaystyle U}
1664:{\displaystyle U}
1605:{\displaystyle X}
1590:subspace topology
1581:{\displaystyle U}
1527:{\displaystyle f}
1402:{\displaystyle X}
1382:{\displaystyle U}
1170:{\displaystyle p}
1146:{\displaystyle Y}
1086:{\displaystyle Y}
942:{\displaystyle n}
919:{\displaystyle n}
683:{\displaystyle U}
597:{\displaystyle Y}
545:{\displaystyle U}
531:open neighborhood
459:Formal definition
345:{\displaystyle X}
302:{\displaystyle X}
248:{\displaystyle n}
197:{\displaystyle X}
177:{\displaystyle Y}
153:{\displaystyle X}
102:is said to be an
95:{\displaystyle X}
16:(Redirected from
6474:
6462:General topology
6429:
6428:
6402:
6401:
6392:
6382:
6372:
6371:
6360:
6359:
6154:
6067:
6060:
6053:
6044:
6043:
6039:
6009:General Topology
6002:
5964:
5913:
5912:
5897:(2nd ed.).
5887:
5870:
5866:
5860:
5858:
5856:
5855:
5850:
5848:
5834:
5833:
5828:
5827:
5810:
5808:
5807:
5802:
5800:
5792:
5780:
5778:
5777:
5772:
5760:
5758:
5757:
5752:
5750:
5749:
5727:
5725:
5724:
5719:
5683:
5681:
5680:
5675:
5673:
5665:
5657:
5638:
5632:
5626:
5624:
5623:
5618:
5604:
5603:
5598:
5597:
5580:
5578:
5577:
5572:
5560:
5558:
5557:
5552:
5540:
5538:
5537:
5532:
5530:
5529:
5507:
5505:
5504:
5499:
5486:
5471:
5398:, we obtain the
5381:
5379:
5378:
5373:
5361:
5359:
5358:
5353:
5337:
5335:
5334:
5329:
5310:
5308:
5307:
5302:
5280:
5278:
5277:
5272:
5247:
5245:
5244:
5239:
5225:
5223:
5222:
5217:
5192:
5190:
5189:
5184:
5170:
5168:
5167:
5162:
5137:
5135:
5134:
5129:
5115:
5113:
5112:
5107:
5082:
5080:
5079:
5074:
5059:
5057:
5056:
5051:
5025:
5023:
5022:
5017:
4995:
4993:
4992:
4987:
4957:
4955:
4954:
4949:
4934:
4932:
4931:
4926:
4905:
4903:
4902:
4897:
4864:
4862:
4861:
4856:
4832:
4830:
4829:
4824:
4782:
4780:
4779:
4774:
4772:
4771:
4766:
4757:
4735:
4733:
4732:
4727:
4703:
4701:
4700:
4695:
4662:
4660:
4659:
4654:
4638:
4636:
4635:
4630:
4609:
4607:
4606:
4601:
4568:
4566:
4565:
4560:
4548:
4546:
4545:
4540:
4507:
4505:
4504:
4499:
4487:
4485:
4484:
4479:
4455:
4453:
4452:
4447:
4423:
4421:
4420:
4415:
4360:
4358:
4357:
4352:
4340:
4338:
4337:
4332:
4327:
4322:
4318:
4317:
4309:
4286:
4284:
4283:
4278:
4276:
4268:
4250:
4248:
4247:
4242:
4230:
4228:
4227:
4222:
4210:
4208:
4207:
4202:
4178:
4176:
4175:
4170:
4152:
4150:
4149:
4144:
4126:
4124:
4123:
4118:
4101:
4100:
4081:
4079:
4078:
4073:
4071:
4047:
4045:
4044:
4039:
4027:
4025:
4024:
4019:
4003:
4001:
4000:
3995:
3980:
3978:
3977:
3972:
3964:
3959:
3955:
3954:
3946:
3920:
3918:
3917:
3912:
3896:
3894:
3893:
3888:
3876:
3874:
3873:
3868:
3832:
3830:
3829:
3824:
3813:dense subset of
3808:
3806:
3805:
3800:
3798:
3797:
3781:
3779:
3778:
3773:
3768:
3756:
3754:
3753:
3748:
3731:
3723:
3722:
3702:
3700:
3699:
3694:
3689:
3677:
3675:
3674:
3669:
3667:
3666:
3650:
3648:
3647:
3642:
3640:
3639:
3608:
3606:
3605:
3600:
3580:
3562:
3560:
3559:
3554:
3552:
3551:
3527:
3525:
3524:
3519:
3507:
3505:
3504:
3499:
3487:
3485:
3484:
3479:
3458:
3456:
3455:
3450:
3432:
3430:
3429:
3424:
3402:
3400:
3399:
3394:
3382:
3380:
3379:
3374:
3358:
3356:
3355:
3350:
3334:
3332:
3331:
3326:
3312:
3311:
3306:
3305:
3288:
3286:
3285:
3280:
3268:
3266:
3265:
3260:
3258:
3257:
3235:
3233:
3232:
3227:
3212:
3210:
3209:
3204:
3192:
3190:
3189:
3184:
3172:
3170:
3169:
3164:
3140:
3138:
3137:
3132:
3116:
3114:
3113:
3108:
3088:
3086:
3085:
3080:
3064:
3062:
3061:
3056:
3043:second-countable
3034:is a continuous
3033:
3031:
3030:
3025:
2989:
2987:
2986:
2981:
2979:
2978:
2947:
2945:
2944:
2939:
2937:
2929:
2911:
2909:
2908:
2903:
2882:
2880:
2879:
2874:
2869:
2868:
2852:
2850:
2849:
2844:
2842:
2841:
2836:
2823:
2821:
2820:
2815:
2803:
2801:
2800:
2795:
2793:
2792:
2787:
2755:
2753:
2752:
2747:
2736:" (intuitively,
2731:
2729:
2728:
2723:
2711:
2709:
2708:
2703:
2685:
2683:
2682:
2677:
2665:
2663:
2662:
2657:
2645:
2643:
2642:
2637:
2635:
2634:
2603:
2601:
2600:
2595:
2574:
2572:
2571:
2566:
2555:
2554:
2535:
2533:
2532:
2527:
2525:
2510:
2508:
2507:
2502:
2490:
2488:
2487:
2482:
2480:
2451:complex analysis
2441:is injective).
2440:
2438:
2437:
2432:
2420:
2418:
2417:
2412:
2400:
2398:
2397:
2392:
2377:
2375:
2374:
2369:
2350:
2348:
2347:
2342:
2340:
2339:
2334:
2315:
2313:
2312:
2307:
2305:
2304:
2299:
2270:
2268:
2267:
2262:
2229:
2227:
2226:
2221:
2219:
2218:
2213:
2200:
2198:
2197:
2192:
2171:
2169:
2168:
2163:
2158:
2157:
2152:
2139:
2137:
2136:
2131:
2112:
2110:
2109:
2104:
2102:
2101:
2096:
2060:
2058:
2057:
2052:
2035:
2034:
2029:
2028:
2011:
2009:
2008:
2003:
1979:
1977:
1976:
1971:
1947:
1945:
1944:
1939:
1922:
1921:
1916:
1915:
1898:
1896:
1895:
1890:
1863:
1861:
1860:
1855:
1837:
1835:
1834:
1829:
1805:
1803:
1802:
1797:
1783:
1782:
1777:
1776:
1760:The restriction
1753:
1751:
1750:
1745:
1733:
1731:
1730:
1725:
1713:
1711:
1710:
1705:
1693:
1691:
1690:
1685:
1670:
1668:
1667:
1662:
1646:
1644:
1643:
1638:
1611:
1609:
1608:
1603:
1587:
1585:
1584:
1579:
1567:
1565:
1564:
1559:
1533:
1531:
1530:
1525:
1513:
1511:
1510:
1505:
1475:
1473:
1472:
1467:
1443:
1441:
1440:
1435:
1408:
1406:
1405:
1400:
1388:
1386:
1385:
1380:
1368:
1366:
1365:
1360:
1346:
1345:
1340:
1339:
1322:
1320:
1319:
1314:
1290:
1288:
1287:
1282:
1252:
1250:
1249:
1244:
1220:
1218:
1217:
1212:
1176:
1174:
1173:
1168:
1152:
1150:
1149:
1144:
1131:Hausdorff spaces
1124:
1122:
1121:
1116:
1092:
1090:
1089:
1084:
1072:
1070:
1069:
1064:
1030:
1028:
1027:
1022:
1001:
999:
998:
993:
971:
969:
968:
963:
948:
946:
945:
940:
925:
923:
922:
917:
905:
903:
902:
897:
892:
891:
860:
858:
857:
852:
850:
849:
837:
836:
806:
804:
803:
798:
796:
795:
770:
768:
767:
762:
760:
759:
747:
718:
716:
715:
710:
689:
687:
686:
681:
661:
659:
658:
653:
630:
629:
624:
623:
603:
601:
600:
595:
583:
581:
580:
575:
551:
549:
548:
543:
528:
526:
525:
520:
494:
492:
491:
486:
455:
453:
452:
447:
442:
441:
436:
427:
426:
410:
408:
407:
402:
397:
396:
391:
374:
372:
371:
366:
351:
349:
348:
343:
331:
329:
328:
323:
308:
306:
305:
300:
286:
284:
283:
278:
273:
272:
267:
254:
252:
251:
246:
230:
228:
227:
222:
203:
201:
200:
195:
183:
181:
180:
175:
159:
157:
156:
151:
128:
126:
125:
120:
101:
99:
98:
93:
81:
79:
78:
73:
21:
6482:
6481:
6477:
6476:
6475:
6473:
6472:
6471:
6442:
6441:
6440:
6435:
6366:
6348:
6344:Urysohn's lemma
6305:
6269:
6155:
6146:
6118:low-dimensional
6076:
6071:
6028:
5991:
5953:
5922:
5917:
5916:
5909:
5888:
5884:
5879:
5874:
5873:
5867:
5863:
5844:
5829:
5823:
5822:
5821:
5816:
5813:
5812:
5796:
5788:
5786:
5783:
5782:
5766:
5763:
5762:
5745:
5741:
5733:
5730:
5729:
5689:
5686:
5685:
5669:
5661:
5653:
5645:
5642:
5641:
5639:
5635:
5599:
5593:
5592:
5591:
5586:
5583:
5582:
5566:
5563:
5562:
5546:
5543:
5542:
5525:
5521:
5513:
5510:
5509:
5493:
5490:
5489:
5487:
5483:
5478:
5469:
5428:
5412:Ă©tale morphisms
5392:
5367:
5364:
5363:
5347:
5344:
5343:
5320:
5317:
5316:
5296:
5293:
5292:
5257:
5254:
5253:
5252:if and only if
5250:first-countable
5233:
5230:
5229:
5202:
5199:
5198:
5197:if and only if
5195:locally compact
5178:
5175:
5174:
5147:
5144:
5143:
5142:if and only if
5123:
5120:
5119:
5092:
5089:
5088:
5087:if and only if
5068:
5065:
5064:
5033:
5030:
5029:
5008:
5005:
5004:
4969:
4966:
4965:
4940:
4937:
4936:
4911:
4908:
4907:
4870:
4867:
4866:
4838:
4835:
4834:
4788:
4785:
4784:
4767:
4762:
4761:
4753:
4745:
4742:
4741:
4709:
4706:
4705:
4668:
4665:
4664:
4648:
4645:
4644:
4643:inherited from
4615:
4612:
4611:
4574:
4571:
4570:
4554:
4551:
4550:
4513:
4510:
4509:
4493:
4490:
4489:
4461:
4458:
4457:
4432:
4429:
4428:
4397:
4394:
4393:
4367:
4346:
4343:
4342:
4323:
4313:
4305:
4304:
4300:
4292:
4289:
4288:
4272:
4264:
4256:
4253:
4252:
4236:
4233:
4232:
4216:
4213:
4212:
4184:
4181:
4180:
4158:
4155:
4154:
4132:
4129:
4128:
4093:
4089:
4087:
4084:
4083:
4067:
4053:
4050:
4049:
4033:
4030:
4029:
4013:
4010:
4009:
3989:
3986:
3985:
3960:
3950:
3942:
3941:
3937:
3929:
3926:
3925:
3906:
3903:
3902:
3899:Hausdorff space
3882:
3879:
3878:
3850:
3847:
3846:
3818:
3815:
3814:
3793:
3789:
3787:
3784:
3783:
3764:
3762:
3759:
3758:
3727:
3718:
3714:
3712:
3709:
3708:
3685:
3683:
3680:
3679:
3662:
3658:
3656:
3653:
3652:
3635:
3631:
3614:
3611:
3610:
3576:
3568:
3565:
3564:
3547:
3543:
3541:
3538:
3537:
3513:
3510:
3509:
3493:
3490:
3489:
3464:
3461:
3460:
3438:
3435:
3434:
3415:
3412:
3411:
3388:
3385:
3384:
3368:
3365:
3364:
3344:
3341:
3340:
3307:
3301:
3300:
3299:
3294:
3291:
3290:
3274:
3271:
3270:
3253:
3249:
3241:
3238:
3237:
3218:
3215:
3214:
3198:
3195:
3194:
3178:
3175:
3174:
3146:
3143:
3142:
3126:
3123:
3122:
3102:
3099:
3098:
3074:
3071:
3070:
3050:
3047:
3046:
3007:
3004:
3003:
2974:
2970:
2953:
2950:
2949:
2933:
2925:
2917:
2914:
2913:
2888:
2885:
2884:
2864:
2860:
2858:
2855:
2854:
2837:
2832:
2831:
2829:
2826:
2825:
2809:
2806:
2805:
2788:
2783:
2782:
2768:
2765:
2764:
2741:
2738:
2737:
2732:is a point of "
2717:
2714:
2713:
2691:
2688:
2687:
2671:
2668:
2667:
2651:
2648:
2647:
2630:
2626:
2609:
2606:
2605:
2580:
2577:
2576:
2550:
2546:
2544:
2541:
2540:
2521:
2519:
2516:
2515:
2496:
2493:
2492:
2476:
2462:
2459:
2458:
2453:that a complex
2449:It is shown in
2426:
2423:
2422:
2406:
2403:
2402:
2386:
2383:
2382:
2363:
2360:
2359:
2335:
2330:
2329:
2321:
2318:
2317:
2300:
2295:
2294:
2280:
2277:
2276:
2235:
2232:
2231:
2214:
2209:
2208:
2206:
2203:
2202:
2177:
2174:
2173:
2153:
2148:
2147:
2145:
2142:
2141:
2125:
2122:
2121:
2097:
2092:
2091:
2077:
2074:
2073:
2030:
2024:
2023:
2022:
2017:
2014:
2013:
1985:
1982:
1981:
1953:
1950:
1949:
1917:
1911:
1910:
1909:
1904:
1901:
1900:
1869:
1866:
1865:
1843:
1840:
1839:
1811:
1808:
1807:
1778:
1772:
1771:
1770:
1765:
1762:
1761:
1739:
1736:
1735:
1719:
1716:
1715:
1699:
1696:
1695:
1676:
1673:
1672:
1656:
1653:
1652:
1620:
1617:
1616:
1597:
1594:
1593:
1573:
1570:
1569:
1547:
1544:
1543:
1519:
1516:
1515:
1481:
1478:
1477:
1449:
1446:
1445:
1417:
1414:
1413:
1394:
1391:
1390:
1389:open subset of
1374:
1371:
1370:
1341:
1335:
1334:
1333:
1328:
1325:
1324:
1296:
1293:
1292:
1258:
1255:
1254:
1226:
1223:
1222:
1194:
1191:
1190:
1162:
1159:
1158:
1155:locally compact
1138:
1135:
1134:
1098:
1095:
1094:
1078:
1075:
1074:
1046:
1043:
1042:
1040:universal cover
1007:
1004:
1003:
981:
978:
977:
954:
951:
950:
934:
931:
930:
911:
908:
907:
887:
883:
866:
863:
862:
845:
841:
832:
828:
820:
817:
816:
788:
784:
776:
773:
772:
755:
751:
743:
741:
738:
737:
725:
695:
692:
691:
675:
672:
671:
625:
619:
618:
617:
612:
609:
608:
589:
586:
585:
560:
557:
556:
537:
534:
533:
508:
505:
504:
503:if every point
468:
465:
464:
461:
437:
432:
431:
422:
418:
416:
413:
412:
392:
387:
386:
384:
381:
380:
357:
354:
353:
337:
334:
333:
314:
311:
310:
294:
291:
290:
268:
263:
262:
260:
257:
256:
240:
237:
236:
231:For example, a
213:
210:
209:
189:
186:
185:
169:
166:
165:
145:
142:
141:
111:
108:
107:
87:
84:
83:
55:
52:
51:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
6480:
6470:
6469:
6467:Homeomorphisms
6464:
6459:
6454:
6437:
6436:
6434:
6433:
6423:
6422:
6421:
6416:
6411:
6396:
6386:
6376:
6364:
6353:
6350:
6349:
6347:
6346:
6341:
6336:
6331:
6326:
6321:
6315:
6313:
6307:
6306:
6304:
6303:
6298:
6293:
6291:Winding number
6288:
6283:
6277:
6275:
6271:
6270:
6268:
6267:
6262:
6257:
6252:
6247:
6242:
6237:
6232:
6231:
6230:
6225:
6223:homotopy group
6215:
6214:
6213:
6208:
6203:
6198:
6193:
6183:
6178:
6173:
6163:
6161:
6157:
6156:
6149:
6147:
6145:
6144:
6139:
6134:
6133:
6132:
6122:
6121:
6120:
6110:
6105:
6100:
6095:
6090:
6084:
6082:
6078:
6077:
6070:
6069:
6062:
6055:
6047:
6041:
6040:
6026:
6003:
5989:
5965:
5951:
5921:
5918:
5915:
5914:
5907:
5881:
5880:
5878:
5875:
5872:
5871:
5861:
5847:
5843:
5840:
5837:
5832:
5826:
5820:
5799:
5795:
5791:
5770:
5748:
5744:
5740:
5737:
5717:
5714:
5711:
5708:
5705:
5702:
5699:
5696:
5693:
5672:
5668:
5664:
5660:
5656:
5652:
5649:
5633:
5616:
5613:
5610:
5607:
5602:
5596:
5590:
5570:
5550:
5528:
5524:
5520:
5517:
5497:
5480:
5479:
5477:
5474:
5473:
5472:
5463:
5458:
5453:
5447:
5441:
5435:
5432:Diffeomorphism
5427:
5424:
5406:, we have the
5391:
5388:
5371:
5351:
5327:
5324:
5300:
5283:
5282:
5270:
5267:
5264:
5261:
5237:
5227:
5215:
5212:
5209:
5206:
5182:
5172:
5160:
5157:
5154:
5151:
5127:
5117:
5105:
5102:
5099:
5096:
5072:
5049:
5046:
5043:
5040:
5037:
5015:
5012:
4985:
4982:
4979:
4976:
4973:
4947:
4944:
4924:
4921:
4918:
4915:
4895:
4892:
4889:
4886:
4883:
4880:
4877:
4874:
4854:
4851:
4848:
4845:
4842:
4822:
4819:
4816:
4813:
4810:
4807:
4804:
4801:
4798:
4795:
4792:
4770:
4765:
4760:
4756:
4752:
4749:
4739:
4725:
4722:
4719:
4716:
4713:
4693:
4690:
4687:
4684:
4681:
4678:
4675:
4672:
4652:
4628:
4625:
4622:
4619:
4599:
4596:
4593:
4590:
4587:
4584:
4581:
4578:
4558:
4538:
4535:
4532:
4529:
4526:
4523:
4520:
4517:
4497:
4477:
4474:
4471:
4468:
4465:
4445:
4442:
4439:
4436:
4413:
4410:
4407:
4404:
4401:
4366:
4363:
4350:
4330:
4326:
4321:
4316:
4312:
4308:
4303:
4299:
4296:
4275:
4271:
4267:
4263:
4260:
4240:
4220:
4200:
4197:
4194:
4191:
4188:
4168:
4165:
4162:
4142:
4139:
4136:
4116:
4113:
4110:
4107:
4104:
4099:
4096:
4092:
4070:
4066:
4063:
4060:
4057:
4037:
4017:
4006:disjoint union
3993:
3970:
3967:
3963:
3958:
3953:
3949:
3945:
3940:
3936:
3933:
3923:quotient space
3910:
3886:
3866:
3863:
3860:
3857:
3854:
3822:
3812:
3796:
3792:
3771:
3767:
3746:
3743:
3740:
3737:
3734:
3730:
3726:
3721:
3717:
3692:
3688:
3665:
3661:
3638:
3634:
3630:
3627:
3624:
3621:
3618:
3598:
3595:
3592:
3589:
3586:
3583:
3579:
3575:
3572:
3550:
3546:
3517:
3497:
3477:
3474:
3471:
3468:
3448:
3445:
3442:
3422:
3419:
3407:
3392:
3372:
3348:
3324:
3321:
3318:
3315:
3310:
3304:
3298:
3278:
3256:
3252:
3248:
3245:
3225:
3222:
3202:
3182:
3162:
3159:
3156:
3153:
3150:
3130:
3106:
3078:
3054:
3023:
3020:
3017:
3014:
3011:
2977:
2973:
2969:
2966:
2963:
2960:
2957:
2936:
2932:
2928:
2924:
2921:
2901:
2898:
2895:
2892:
2872:
2867:
2863:
2840:
2835:
2813:
2791:
2786:
2781:
2778:
2775:
2772:
2745:
2721:
2701:
2698:
2695:
2675:
2655:
2633:
2629:
2625:
2622:
2619:
2616:
2613:
2593:
2590:
2587:
2584:
2564:
2561:
2558:
2553:
2549:
2524:
2500:
2479:
2475:
2472:
2469:
2466:
2430:
2410:
2390:
2367:
2338:
2333:
2328:
2325:
2303:
2298:
2293:
2290:
2287:
2284:
2260:
2257:
2254:
2251:
2248:
2245:
2242:
2239:
2217:
2212:
2190:
2187:
2184:
2181:
2161:
2156:
2151:
2129:
2100:
2095:
2090:
2087:
2084:
2081:
2050:
2047:
2044:
2041:
2038:
2033:
2027:
2021:
2001:
1998:
1995:
1992:
1989:
1969:
1966:
1963:
1960:
1957:
1937:
1934:
1931:
1928:
1925:
1920:
1914:
1908:
1888:
1885:
1882:
1879:
1876:
1873:
1853:
1850:
1847:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1806:of a function
1795:
1792:
1789:
1786:
1781:
1775:
1769:
1756:
1743:
1723:
1714:being open in
1703:
1683:
1680:
1660:
1636:
1633:
1630:
1627:
1624:
1601:
1577:
1557:
1554:
1551:
1538:Inclusion maps
1523:
1503:
1500:
1497:
1494:
1491:
1488:
1485:
1465:
1462:
1459:
1456:
1453:
1433:
1430:
1427:
1424:
1421:
1398:
1378:
1358:
1355:
1352:
1349:
1344:
1338:
1332:
1312:
1309:
1306:
1303:
1300:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1242:
1239:
1236:
1233:
1230:
1210:
1207:
1204:
1201:
1198:
1166:
1142:
1114:
1111:
1108:
1105:
1102:
1082:
1062:
1059:
1056:
1053:
1050:
1020:
1017:
1014:
1011:
991:
988:
985:
961:
958:
938:
928:winding number
915:
895:
890:
886:
882:
879:
876:
873:
870:
848:
844:
840:
835:
831:
827:
824:
794:
791:
787:
783:
780:
758:
754:
750:
746:
724:
721:
708:
705:
702:
699:
679:
651:
648:
645:
642:
639:
636:
633:
628:
622:
616:
593:
573:
570:
567:
564:
541:
518:
515:
512:
502:
484:
481:
478:
475:
472:
460:
457:
445:
440:
435:
430:
425:
421:
400:
395:
390:
364:
361:
341:
321:
318:
298:
276:
271:
266:
244:
220:
217:
193:
173:
149:
118:
115:
91:
71:
68:
65:
62:
59:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
6479:
6468:
6465:
6463:
6460:
6458:
6455:
6453:
6450:
6449:
6447:
6432:
6424:
6420:
6417:
6415:
6412:
6410:
6407:
6406:
6405:
6397:
6395:
6391:
6387:
6385:
6381:
6377:
6375:
6370:
6365:
6363:
6355:
6354:
6351:
6345:
6342:
6340:
6337:
6335:
6332:
6330:
6327:
6325:
6322:
6320:
6317:
6316:
6314:
6312:
6308:
6302:
6301:Orientability
6299:
6297:
6294:
6292:
6289:
6287:
6284:
6282:
6279:
6278:
6276:
6272:
6266:
6263:
6261:
6258:
6256:
6253:
6251:
6248:
6246:
6243:
6241:
6238:
6236:
6233:
6229:
6226:
6224:
6221:
6220:
6219:
6216:
6212:
6209:
6207:
6204:
6202:
6199:
6197:
6194:
6192:
6189:
6188:
6187:
6184:
6182:
6179:
6177:
6174:
6172:
6168:
6165:
6164:
6162:
6158:
6153:
6143:
6140:
6138:
6137:Set-theoretic
6135:
6131:
6128:
6127:
6126:
6123:
6119:
6116:
6115:
6114:
6111:
6109:
6106:
6104:
6101:
6099:
6098:Combinatorial
6096:
6094:
6091:
6089:
6086:
6085:
6083:
6079:
6075:
6068:
6063:
6061:
6056:
6054:
6049:
6048:
6045:
6037:
6033:
6029:
6023:
6019:
6015:
6014:Mineola, N.Y.
6011:
6010:
6004:
6000:
5996:
5992:
5986:
5982:
5978:
5974:
5970:
5966:
5962:
5958:
5954:
5948:
5944:
5940:
5939:
5934:
5933:
5928:
5924:
5923:
5910:
5908:0-13-181629-2
5904:
5900:
5899:Prentice Hall
5896:
5892:
5886:
5882:
5865:
5838:
5835:
5830:
5818:
5793:
5768:
5746:
5742:
5738:
5735:
5715:
5712:
5709:
5703:
5700:
5697:
5691:
5658:
5650:
5647:
5637:
5630:
5629:injective map
5614:
5608:
5605:
5600:
5588:
5568:
5548:
5526:
5522:
5518:
5515:
5495:
5485:
5481:
5467:
5464:
5462:
5459:
5457:
5454:
5451:
5448:
5445:
5442:
5439:
5438:Homeomorphism
5436:
5433:
5430:
5429:
5423:
5421:
5418:, we get the
5417:
5413:
5409:
5405:
5401:
5397:
5387:
5385:
5369:
5349:
5341:
5325:
5322:
5314:
5298:
5291:
5286:
5265:
5259:
5251:
5235:
5228:
5210:
5204:
5196:
5180:
5173:
5155:
5149:
5141:
5125:
5118:
5100:
5094:
5086:
5070:
5063:
5062:
5061:
5047:
5041:
5038:
5035:
5026:
5013:
5010:
5003:
4999:
4983:
4977:
4974:
4971:
4963:
4958:
4945:
4942:
4919:
4913:
4890:
4884:
4878:
4875:
4872:
4852:
4846:
4843:
4840:
4820:
4814:
4811:
4808:
4802:
4796:
4790:
4768:
4750:
4747:
4737:
4723:
4717:
4714:
4711:
4688:
4682:
4676:
4673:
4670:
4650:
4642:
4623:
4617:
4594:
4588:
4582:
4579:
4576:
4556:
4533:
4527:
4521:
4518:
4515:
4495:
4475:
4469:
4466:
4463:
4440:
4434:
4427:
4411:
4405:
4402:
4399:
4390:
4388:
4384:
4380:
4376:
4372:
4362:
4348:
4328:
4324:
4319:
4310:
4301:
4297:
4294:
4269:
4261:
4258:
4238:
4218:
4198:
4192:
4189:
4186:
4166:
4163:
4160:
4140:
4137:
4134:
4108:
4097:
4094:
4090:
4061:
4058:
4055:
4035:
4015:
4007:
3991:
3984:
3968:
3965:
3961:
3956:
3947:
3938:
3934:
3931:
3924:
3908:
3900:
3884:
3864:
3858:
3855:
3852:
3843:
3842:
3838:
3836:
3820:
3810:
3794:
3790:
3769:
3744:
3738:
3724:
3719:
3715:
3706:
3690:
3663:
3659:
3636:
3632:
3628:
3622:
3616:
3590:
3587:
3573:
3570:
3548:
3544:
3535:
3531:
3515:
3495:
3475:
3469:
3466:
3443:
3440:
3420:
3417:
3409:
3405:
3390:
3370:
3362:
3346:
3338:
3322:
3316:
3313:
3308:
3296:
3276:
3254:
3250:
3246:
3243:
3223:
3220:
3200:
3180:
3160:
3154:
3151:
3148:
3128:
3120:
3104:
3096:
3092:
3076:
3068:
3052:
3045:spaces where
3044:
3041:
3037:
3021:
3015:
3012:
3009:
3000:
2999:
2995:
2993:
2975:
2971:
2967:
2961:
2955:
2922:
2919:
2899:
2896:
2893:
2890:
2870:
2865:
2861:
2838:
2811:
2789:
2776:
2773:
2770:
2762:
2757:
2743:
2735:
2719:
2712:In that case
2699:
2696:
2693:
2673:
2653:
2631:
2627:
2623:
2617:
2611:
2604:The function
2591:
2588:
2585:
2582:
2559:
2547:
2539:
2514:
2513:complex plane
2498:
2470:
2467:
2464:
2456:
2452:
2447:
2446:
2442:
2428:
2408:
2388:
2381:
2365:
2357:
2356:injective map
2355:
2336:
2326:
2323:
2301:
2288:
2285:
2282:
2274:
2273:homeomorphism
2255:
2249:
2243:
2240:
2237:
2215:
2185:
2179:
2159:
2154:
2127:
2119:
2118:injective map
2116:
2098:
2085:
2082:
2079:
2071:
2067:
2066:
2062:
2048:
2045:
2042:
2039:
2036:
2031:
2019:
1999:
1993:
1990:
1987:
1967:
1961:
1958:
1955:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1918:
1906:
1886:
1883:
1877:
1874:
1871:
1851:
1848:
1845:
1825:
1819:
1816:
1813:
1793:
1787:
1784:
1779:
1767:
1758:
1754:
1741:
1721:
1701:
1681:
1678:
1658:
1650:
1634:
1628:
1625:
1622:
1615:
1614:inclusion map
1599:
1591:
1575:
1555:
1552:
1549:
1540:
1539:
1535:
1521:
1501:
1495:
1492:
1489:
1486:
1483:
1463:
1457:
1454:
1451:
1431:
1425:
1422:
1419:
1410:
1396:
1376:
1356:
1350:
1347:
1342:
1330:
1310:
1304:
1301:
1298:
1278:
1272:
1269:
1266:
1263:
1260:
1240:
1234:
1231:
1228:
1208:
1202:
1199:
1196:
1188:
1183:
1182:
1178:
1164:
1156:
1140:
1132:
1128:
1112:
1106:
1103:
1100:
1080:
1060:
1054:
1051:
1048:
1041:
1037:
1032:
1018:
1015:
1012:
1009:
989:
986:
983:
975:
959:
956:
936:
929:
913:
893:
888:
884:
880:
874:
868:
846:
842:
833:
829:
825:
822:
814:
810:
792:
789:
785:
778:
756:
752:
735:
730:
729:
720:
703:
697:
677:
669:
665:
664:homeomorphism
646:
640:
634:
631:
626:
614:
607:
591:
568:
562:
555:
539:
532:
516:
513:
510:
500:
498:
482:
476:
473:
470:
456:
443:
438:
423:
419:
398:
393:
378:
362:
359:
339:
319:
316:
296:
287:
274:
269:
242:
235:of dimension
234:
218:
215:
207:
191:
171:
163:
147:
138:
136:
135:covering maps
132:
116:
113:
105:
89:
69:
63:
60:
57:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
6431:Publications
6296:Chern number
6286:Betti number
6169: /
6160:Key concepts
6108:Differential
6008:
5972:
5936:
5931:
5894:
5885:
5864:
5636:
5484:
5393:
5287:
5284:
5027:
4959:
4391:
4368:
3844:
3840:
3839:
3678:is dense in
3091:normal space
3001:
2997:
2996:
2758:
2734:ramification
2448:
2444:
2443:
2380:neighborhood
2353:
2068:
2064:
2063:
1899:explicitly,
1838:to a subset
1759:
1647:is always a
1541:
1537:
1536:
1411:
1184:
1180:
1179:
1036:covering map
1033:
731:
727:
726:
670:are used on
499:is called a
495:between two
462:
288:
206:homeomorphic
161:
139:
103:
39:
29:
6394:Wikiversity
6311:Key results
5684:defined by
5444:Isomorphism
5315:of sets on
4783:defined by
3093:. If every
3067:Baire space
2201:is open in
1694:The subset
1671:is open in
1612:) then the
1592:induced by
1187:composition
1073:of a space
861:defined by
811:around the
771:defined by
606:restriction
584:is open in
463:A function
104:Ă©tale space
32:mathematics
6446:Categories
6240:CW complex
6181:Continuity
6171:Closed set
6130:cohomology
5920:References
5414:; and for
4371:continuous
4365:Properties
4361:as above.
3981:where the
3289:such that
2759:Using the
2538:derivative
2115:continuous
6419:geometric
6414:algebraic
6265:Cobordism
6201:Hausdorff
6196:connected
6113:Geometric
6103:Continuum
6093:Algebraic
5929:(1989) .
5877:Citations
5842:→
5794:×
5667:→
5659:×
5612:→
5045:→
4981:→
4882:→
4850:→
4759:→
4721:→
4680:→
4586:→
4525:→
4473:→
4409:→
4387:bijective
4349:∼
4329:∼
4311:⊔
4270:⊔
4196:→
4138:≥
4095:−
4065:→
3992:∼
3966:∼
3948:⊔
3862:→
3733:∖
3594:∞
3582:→
3473:∅
3470:≠
3447:∅
3444:≠
3320:→
3158:→
3040:Hausdorff
3019:→
2931:→
2894:∈
2780:→
2697:≥
2586:∈
2552:′
2474:→
2457:function
2327:⊆
2292:→
2247:→
2089:→
2043:∘
1997:→
1965:→
1930:∘
1881:→
1849:⊆
1823:→
1791:→
1632:→
1553:⊆
1499:→
1487:∘
1461:→
1429:→
1354:→
1308:→
1276:→
1264:∘
1238:→
1206:→
1110:→
1058:→
1016:−
974:bijective
839:→
809:real line
782:↦
749:→
734:bijective
638:→
514:∈
480:→
429:→
67:→
6384:Wikibook
6362:Category
6250:Manifold
6218:Homotopy
6176:Interior
6167:Open set
6125:Homology
6074:Topology
5999:42683260
5973:Topology
5971:(2000).
5961:18588129
5895:Topology
5893:(2000).
5728:The set
5426:See also
5410:and the
5290:codomain
4639:has the
4383:open map
3809:to be a
3534:discrete
3528:between
3002:Suppose
2455:analytic
1153:is also
604:and the
233:manifold
46:between
44:function
36:topology
6409:general
6211:uniform
6191:compact
6142:Digital
5941:].
5416:toposes
5404:schemes
5384:sheaves
5313:sheaves
5000:of its
4004:on the
2804:(where
2491:(where
2354:locally
1369:to any
1157:, then
1133:and if
690:and on
529:has an
131:sheaves
6404:Topics
6206:metric
6081:Fields
6036:115240
6034:
6024:
5997:
5987:
5959:
5949:
5905:
5627:is an
5402:; for
5002:domain
4960:Every
4377:, and
4211:where
3877:where
3811:proper
3408:subset
2378:has a
1127:proper
813:circle
552:whose
377:sphere
6186:Space
5935:[
5476:Notes
4996:is a
4962:fiber
4426:image
3897:is a
3459:then
3406:dense
3359:is a
3337:fiber
3193:is a
3117:is a
3095:fiber
3089:is a
3065:is a
2948:with
2686:when
2271:is a
2172:then
2113:is a
1755:never
1125:is a
662:is a
554:image
332:then
106:over
42:is a
6032:OCLC
6022:ISBN
5995:OCLC
5985:ISBN
5957:OCLC
5947:ISBN
5903:ISBN
4508:and
4385:. A
4375:open
4164:<
3901:but
3069:and
3036:open
2230:and
1980:and
1476:and
1221:and
1185:The
1031:).
38:, a
5781:of
5561:of
5281:is.
5248:is
5226:is;
5193:is
5171:is;
5138:is
5116:is;
5083:is
4738:not
4736:to
4287:to
3410:of
3363:of
3339:of
3121:of
3097:of
2994:.
2421:to
2140:of
1542:If
1412:If
1002:or
719:).
309:to
164:to
160:is
30:In
6448::
6030:.
6020:.
6016::
6012:.
5993:.
5983:.
5979::
5955:.
5901:.
5422:.
5386:.
4373:,
4167:0.
2700:2.
137:.
6066:e
6059:t
6052:v
6038:.
6001:.
5963:.
5911:.
5846:R
5839:U
5836::
5831:U
5825:|
5819:f
5798:R
5790:R
5769:U
5747:f
5743:O
5739:=
5736:O
5716:.
5713:x
5710:=
5707:)
5704:y
5701:,
5698:x
5695:(
5692:f
5671:R
5663:R
5655:R
5651::
5648:f
5631:.
5615:Y
5609:U
5606::
5601:U
5595:|
5589:f
5569:X
5549:U
5527:f
5523:O
5519:=
5516:O
5496:f
5370:Y
5350:Y
5326:;
5323:Y
5299:Y
5269:)
5266:X
5263:(
5260:f
5236:X
5214:)
5211:X
5208:(
5205:f
5181:X
5159:)
5156:X
5153:(
5150:f
5126:X
5104:)
5101:X
5098:(
5095:f
5071:X
5048:Y
5042:X
5039::
5036:f
5014:.
5011:X
4984:Y
4978:X
4975::
4972:f
4946:.
4943:Y
4923:)
4920:X
4917:(
4914:f
4894:)
4891:X
4888:(
4885:f
4879:X
4876::
4873:f
4853:Y
4847:X
4844::
4841:f
4821:,
4818:)
4815:0
4812:,
4809:x
4806:(
4803:=
4800:)
4797:x
4794:(
4791:f
4769:2
4764:R
4755:R
4751::
4748:f
4724:Y
4718:X
4715::
4712:f
4692:)
4689:X
4686:(
4683:f
4677:X
4674::
4671:f
4651:Y
4627:)
4624:X
4621:(
4618:f
4598:)
4595:X
4592:(
4589:f
4583:X
4580::
4577:f
4557:f
4537:)
4534:X
4531:(
4528:f
4522:X
4519::
4516:f
4496:Y
4476:Y
4470:X
4467::
4464:f
4444:)
4441:X
4438:(
4435:f
4412:Y
4406:X
4403::
4400:f
4325:/
4320:)
4315:R
4307:R
4302:(
4298:=
4295:Y
4274:R
4266:R
4262:=
4259:X
4239:Y
4219:X
4199:Y
4193:X
4190::
4187:f
4161:y
4141:0
4135:y
4115:)
4112:}
4109:y
4106:{
4103:(
4098:1
4091:f
4069:R
4062:X
4059::
4056:f
4036:X
4016:0
3969:,
3962:/
3957:)
3952:R
3944:R
3939:(
3935:=
3932:X
3909:X
3885:Y
3865:Y
3859:X
3856::
3853:f
3821:f
3795:f
3791:O
3770:.
3766:R
3745:,
3742:}
3739:0
3736:{
3729:R
3725:=
3720:f
3716:O
3691:;
3687:R
3664:f
3660:O
3637:2
3633:x
3629:=
3626:)
3623:x
3620:(
3617:f
3597:)
3591:,
3588:0
3585:[
3578:R
3574::
3571:f
3549:f
3545:O
3516:f
3496:f
3476:;
3467:O
3441:X
3421:.
3418:X
3391:O
3371:X
3347:f
3323:Y
3317:O
3314::
3309:O
3303:|
3297:f
3277:X
3255:f
3251:O
3247:=
3244:O
3224:.
3221:X
3201:Y
3181:f
3161:Y
3155:X
3152::
3149:f
3129:X
3105:f
3077:Y
3053:X
3022:Y
3016:X
3013::
3010:f
2976:3
2972:x
2968:=
2965:)
2962:x
2959:(
2956:f
2935:R
2927:R
2923::
2920:f
2900:.
2897:U
2891:x
2871:f
2866:x
2862:D
2839:n
2834:R
2812:U
2790:n
2785:R
2777:U
2774::
2771:f
2744:n
2720:0
2694:n
2674:0
2654:0
2632:n
2628:z
2624:=
2621:)
2618:x
2615:(
2612:f
2592:.
2589:U
2583:z
2563:)
2560:z
2557:(
2548:f
2523:C
2499:U
2478:C
2471:U
2468::
2465:f
2429:N
2409:f
2389:N
2366:U
2337:n
2332:R
2324:U
2302:n
2297:R
2289:U
2286::
2283:f
2259:)
2256:U
2253:(
2250:f
2244:U
2241::
2238:f
2216:n
2211:R
2189:)
2186:U
2183:(
2180:f
2160:,
2155:n
2150:R
2128:U
2099:n
2094:R
2086:U
2083::
2080:f
2049:.
2046:i
2040:f
2037:=
2032:U
2026:|
2020:f
2000:X
1994:U
1991::
1988:i
1968:Y
1962:X
1959::
1956:f
1936:.
1933:i
1927:f
1924:=
1919:U
1913:|
1907:f
1887:;
1884:X
1878:U
1875::
1872:i
1852:X
1846:U
1826:Y
1820:X
1817::
1814:f
1794:Y
1788:U
1785::
1780:U
1774:|
1768:f
1742:X
1722:X
1702:U
1682:.
1679:X
1659:U
1635:X
1629:U
1626::
1623:i
1600:X
1576:U
1556:X
1550:U
1522:f
1502:Z
1496:X
1493::
1490:f
1484:g
1464:Z
1458:Y
1455::
1452:g
1432:Y
1426:X
1423::
1420:f
1397:X
1377:U
1357:Y
1351:U
1348::
1343:U
1337:|
1331:f
1311:Y
1305:X
1302::
1299:f
1279:Z
1273:X
1270::
1267:f
1261:g
1241:Z
1235:Y
1232::
1229:g
1209:Y
1203:X
1200::
1197:f
1165:p
1141:Y
1113:Y
1107:X
1104::
1101:p
1081:Y
1061:Y
1055:C
1052::
1049:p
1019:1
1013:=
1010:n
990:1
987:=
984:n
960:,
957:n
937:n
914:n
894:,
889:n
885:z
881:=
878:)
875:z
872:(
869:f
847:1
843:S
834:1
830:S
826::
823:f
793:t
790:i
786:e
779:t
757:1
753:S
745:R
707:)
704:U
701:(
698:f
678:U
650:)
647:U
644:(
641:f
635:U
632::
627:U
621:|
615:f
592:Y
572:)
569:U
566:(
563:f
540:U
517:X
511:x
483:Y
477:X
474::
471:f
444:.
439:2
434:R
424:2
420:S
399:,
394:2
389:R
363:,
360:Y
340:X
320:,
317:Y
297:X
275:.
270:n
265:R
243:n
219:.
216:Y
192:X
172:Y
148:X
117:.
114:Y
90:X
70:Y
64:X
61::
58:f
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.