2959:
2726:
2954:{\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.}
6198:
5997:
3481:
5755:
5861:
2591:
6025:
2527:
3166:
4816:
3259:
2046:
2713:
3858:
4893:
5579:
2281:
5443:
5309:
4963:
5228:
2466:
586:
4661:
162:
Every complex vector space can be equipped with a compatible complex structure in a canonical way; however, there is in general no canonical complex structure. Complex structures have applications in
3003:
2381:
1035:
3929:
876:
5872:
5125:
3376:
1560:
5044:
2088:
1944:
4515:
4258:
767:
1449:
3041:
4320:
4126:
1615:
4028:
1126:
3774:
299:
976:
934:
799:
641:
1905:
4410:
3651:
912:
250:
109:
4666:
3175:
1725:
1264:
admits a complex structure only if it is even-dimensional. It is not hard to see that every even-dimensional vector space admits a complex structure. One can define
379:
3885:
3610:
2140:
1867:
1795:
1648:
1476:
1373:
1176:
694:
326:
1341:
3692:
3538:
1308:
612:
1242:
446:
3576:
2108:
1835:
1815:
1768:
1748:
1690:
1670:
1580:
1397:
1282:
1262:
1219:
1199:
1146:
1095:
1075:
1055:
996:
954:
717:
667:
490:
470:
423:
403:
346:
215:
153:
129:
72:
48:
3787:
6193:{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.}
5661:
5774:
2532:
2471:
3048:
178:. The term "complex structure" often refers to this structure on manifolds; when it refers instead to a structure on vector spaces, it may be called a
2468:
form a basis for the real space. There are two natural ways to order this basis, corresponding abstractly to whether one writes the tensor product as
1952:
2598:
499:
5635:
also admit decompositions. The exterior algebra is perhaps the most important application of this decomposition. In general, if a vector space
4843:
5490:
812:
2200:
5397:
5239:
4912:
5168:
2390:
2181:-dimensional space – using the same vector addition and real scalar multiplication – while multiplication by the complex number
4605:
4451:
2964:
2317:
1001:
6347:
5992:{\displaystyle \Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).}
3894:
5075:
4281:
1481:
4063:
2961:
This ordering has the advantage that it respects direct sums of complex vector spaces, meaning here that the basis for
2193:
linear transform of the space, thought of as a real vector space. Concretely, this is because scalar multiplication by
6385:
6370:
6355:
3971:
3720:
255:
6401:
4990:
2054:
1910:
5387:
and takes the complexification of the underlying real space, one obtains a space isomorphic to the direct sum of
3358:
The inclusion corresponds to forgetting the complex structure (and keeping only the real), while the subgroup GL(
6324:
5332:
3694:
though the meaning of the Lie bracket vanishing is less immediate geometrically than the meaning of commuting.
223:
4201:
24:
1695:
3476:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.}
1840:
722:
1402:
3707:
3008:
1179:
1588:
6319:
6293:
6204:
4195:
4165:
1100:
959:
917:
782:
6309:
6297:
171:
617:
4546:
1884:
1311:
773:
3615:
2051:
has square equal to the negative of the identity matrix. A complex structure may be formed in
881:
4383:
4179:
2143:
218:
163:
81:
354:
5054:
4834:
3863:
3583:
2113:
1773:
1626:
1454:
1346:
1154:
672:
493:
348:
304:
156:
4521:
is nondegenerate, so is the associated bilinear form. The associated form is preserved by
1317:
8:
6329:
4903:
4898:
This is a complex vector space whose complex dimension is equal to the real dimension of
4556:
3656:
3502:
1376:
1287:
802:
591:
4527:
if and only if the symplectic form is. Moreover, if the symplectic form is preserved by
1224:
428:
5750:{\displaystyle \Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).}
3546:
2093:
1820:
1800:
1753:
1733:
1675:
1655:
1565:
1382:
1267:
1247:
1204:
1184:
1131:
1080:
1060:
1040:
981:
939:
702:
652:
475:
455:
408:
388:
331:
200:
138:
114:
57:
33:
5856:{\displaystyle \Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}}
6381:
6366:
6351:
5624:
2586:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.}
382:
195:
75:
28:
2522:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
6314:
6282:
6228:
5628:
4830:
3161:{\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}}
175:
167:
6388:. (complex structures and almost complex manifolds are discussed in section 5.2).
6261:
4518:
1728:
719:
then one can define a complex structure on the underlying real space by defining
2189:
linear transform of the space, thought of as a complex vector space, but also a
6334:
5620:
4811:{\displaystyle h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).}
4599:
4595:
3254:{\displaystyle J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.}
2720:
2041:{\displaystyle J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1}
1650:
777:
449:
132:
6395:
4175:
4137:
3945:
2708:{\displaystyle \left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},}
2292:
4051:
3777:
3272:
matrix is exactly the same as the data of the complex vector space, as the
2383:
for the complex space, this set, together with these vectors multiplied by
51:
2161:
The fundamental example of a linear complex structure is the structure on
6358:. (complex structures are discussed in Volume II, Chapter IX, section 1).
3853:{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}}
3492:
3483:
The corresponding statement about Lie algebras is that the subalgebra gl(
3277:
806:
20:
699:
Going in the other direction, if one starts with a complex vector space
5462:
5139:
5062:
3706:
is any real vector space there is a canonical complex structure on the
3580:
Note that the defining equations for these statements are the same, as
772:
More formally, a linear complex structure on a real vector space is an
4888:{\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}
3261:
This ordering is more natural if one thinks of the complex space as a
5473:
3281:
5574:{\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}}
3276:
matrix allows one to define complex multiplication. At the level of
2276:{\displaystyle i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)}
3891:. This corresponds to the complex structure on the tensor product
3366:) can be characterized (given in equations) as the matrices that
3301:
5612:*) consists of those complex linear functionals which vanish on
1057:, as this generates the algebra, and the operator representing
6002:
All exterior powers are taken over the complex numbers. So if
5438:{\displaystyle W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.}
5304:{\displaystyle V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.}
4958:{\displaystyle {\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}}
3540:
in other words, as the kernel of the map of bracketing with
3300:) (Lie algebras – matrices, not necessarily invertible) and
5327:, so these vector spaces can be considered the same, while
5223:{\displaystyle {\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).}
2461:{\displaystyle \left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},}
581:{\displaystyle (x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})}
4656:{\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }
1623:
linear transformation of the corresponding complex space
4533:, then the associated form is symmetric. If in addition
669:
the structure of a complex vector space which we denote
5604:*) as those complex linear functionals which vanish on
2998:{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}}
2376:{\displaystyle \left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}}
2283:– and distributes across vector addition. As a complex
1030:{\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)}
170:
where they play an essential role in the definition of
5383:
Abstractly, if one starts with a complex vector space
5314:
There is a natural complex linear isomorphism between
4608:
4386:
4204:
3933:
3802:
3200:
2886:
2751:
1967:
6028:
5875:
5777:
5664:
5493:
5448:
5400:
5242:
5171:
5078:
4993:
4915:
4846:
4669:
4454:
4284:
4066:
3974:
3924:{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.}
3897:
3866:
3790:
3723:
3659:
3618:
3586:
3549:
3505:
3379:
3178:
3051:
3011:
2967:
2729:
2601:
2535:
2474:
2393:
2320:
2203:
2197:
commutes with scalar multiplication by real numbers
2116:
2096:
2057:
1955:
1913:
1887:
1843:
1823:
1803:
1776:
1756:
1736:
1698:
1678:
1658:
1629:
1591:
1568:
1484:
1457:
1405:
1385:
1349:
1320:
1290:
1270:
1250:
1227:
1207:
1187:
1157:
1134:
1103:
1083:
1063:
1043:
1004:
984:
962:
942:
920:
884:
815:
785:
725:
705:
675:
655:
620:
594:
502:
478:
458:
431:
411:
391:
357:
334:
307:
258:
226:
203:
141:
117:
84:
60:
36:
6373:. (complex structures are discussed in section 3.1).
6203:
The dimensions add up correctly as a consequence of
871:{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} /(x^{2}+1),}
4334:. If this condition is satisfied, then we say that
6192:
5991:
5855:
5749:
5573:
5437:
5303:
5222:
5120:{\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}}
5119:
5038:
4957:
4887:
4810:
4655:
4509:
4404:
4314:
4252:
4120:
4022:
3923:
3879:
3852:
3768:
3686:
3645:
3604:
3570:
3532:
3475:
3253:
3160:
3035:
2997:
2953:
2707:
2585:
2521:
2460:
2375:
2275:
2134:
2102:
2082:
2040:
1938:
1899:
1861:
1829:
1809:
1789:
1762:
1742:
1719:
1684:
1664:
1642:
1609:
1574:
1555:{\displaystyle (v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})}
1554:
1470:
1443:
1391:
1367:
1335:
1302:
1276:
1256:
1236:
1213:
1193:
1170:
1140:
1120:
1089:
1069:
1049:
1029:
990:
970:
948:
928:
906:
870:
793:
761:
711:
688:
661:
635:
606:
580:
496:. Complex scalar multiplication can be defined by
484:
464:
440:
417:
397:
373:
340:
320:
293:
244:
209:
147:
123:
103:
66:
42:
6181:
6168:
6159:
6146:
6091:
6073:
5150:, respectively. Complex conjugation interchanges
4602:(by convention antilinear in the first argument)
2149:
1946:over the real field is 4-dimensional. Any matrix
6393:
5457:be a real vector space with a complex structure
4820:
4266:an interesting compatibility condition between
2723:form (subscripts added to indicate dimension):
448:. This is reminiscent of multiplication by the
3045:On the other hand, if one orders the basis as
649:. One can check that this does, in fact, give
4431:, one may define an associated bilinear form
6235:which vanish on homogeneous elements unless
5295:
5256:
5039:{\displaystyle J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.}
4577:is preserved (but not necessarily tamed) by
2083:{\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}
1939:{\displaystyle \mathbb {M} (2,\mathbb {R} )}
185:
5903:
5480:. The complexification of the dual space (
3284:, this corresponds to the inclusion of gl(
3268:The data of the real vector space and the
809:. This algebra is realized concretely as
472:. A complex structure allows one to endow
6129:
6104:
6061:
6054:
6035:
5972:
5942:
5928:
5892:
5842:
5795:
5788:
5513:
5484:*) therefore has a natural decomposition
5407:
5085:
4878:
4871:
4853:
4649:
4510:{\displaystyle g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).}
4044:. An equivalent characterization is that
3909:
3899:
3440:
3398:
3014:
2985:
2970:
2570:
2562:
2552:
2538:
2515:
2508:
2492:
2477:
2299:on the diagonal. The corresponding real 2
2073:
2059:
1929:
1915:
1562:is a basis for the underlying real space
1037:). Concretely, this is just an action of
1006:
964:
922:
825:
817:
787:
5592:*. Under the natural identification of (
4253:{\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}
1451:is a basis for the complex vector space
425:twice is the same as multiplication by
135:in a canonical fashion so as to regard
131:allows one to define multiplication by
6394:
3491:) of complex matrices are those whose
1244:. That is, a finite-dimensional space
2165:coming from the complex structure on
1876:
762:{\displaystyle Jw=iw~~\forall w\in W}
6348:Foundations of Differential Geometry
3265:of real spaces, as discussed below.
1444:{\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})}
3934:Compatibility with other structures
3036:{\displaystyle \mathbb {C} ^{m+n}.}
13:
6251:. It is also possible to regard Λ
6172:
6150:
6114:
6077:
6045:
5963:
5933:
5920:
5917:
5914:
5877:
5827:
5779:
5768:therefore induces a decomposition
5729:
5707:
5666:
5468:* has a natural complex structure
5449:Extension to related vector spaces
5175:
5065:which satisfy λ = −1, namely λ = ±
4315:{\displaystyle \omega (u,Ju)>0}
3423:
3420:
3384:
3381:
747:
405:. That is, the effect of applying
14:
6413:
6300:for applications of these ideas.
4121:{\displaystyle B(Ju,v)=-B(u,Jv).}
1610:{\displaystyle A:V\rightarrow V}
6350:, John Wiley & Sons, 1969.
6097:
5158:. The projection maps onto the
4419:and a linear complex structure
4023:{\displaystyle B(Ju,Jv)=B(u,v)}
3262:
1121:{\displaystyle {\text{End}}(V)}
6361:Budinich, P. and Trautman, A.
6325:Complex conjugate vector space
5983:
5959:
5953:
5929:
5741:
5725:
5719:
5703:
5655:can be decomposed as follows:
5562:
5548:
5536:
5522:
5508:
5494:
5214:
5199:
5024:
5018:
5009:
4997:
4949:
4802:
4790:
4778:
4763:
4754:
4739:
4720:
4708:
4692:
4680:
4645:
4545:, then the associated form is
4501:
4486:
4477:
4465:
4399:
4387:
4303:
4288:
4247:
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4005:
3996:
3978:
3769:{\displaystyle J(v,w)=(-w,v).}
3760:
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3660:
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575:
569:
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545:
527:
518:
503:
294:{\displaystyle J^{2}=-Id_{V}.}
236:
1:
6340:
6227:* is the space of (complex)
4821:Relation to complexifications
3697:
1585:A real linear transformation
956:, together with an action of
6380:, Dover Publications, 1982.
6346:Kobayashi S. and Nomizu K.,
6277:which are complex linear in
5651:then the exterior powers of
5427:
4929:
4825:Given any real vector space
971:{\displaystyle \mathbb {C} }
929:{\displaystyle \mathbb {C} }
794:{\displaystyle \mathbb {C} }
7:
6303:
2595:If one orders the basis as
2291:matrix, this is simply the
1871:
914:. Then a representation of
10:
6418:
4972:is a complex structure on
636:{\displaystyle {\vec {v}}}
74:that squares to the minus
6365:, Springer-Verlag, 1988.
6320:Complex differential form
6294:complex differential form
5600:)* one can characterize (
5162:eigenspaces are given by
4196:symplectic transformation
4166:orthogonal transformation
1900:{\displaystyle 2\times 2}
1770:is a complex subspace of
1221:must have real dimension
186:Definition and properties
6363:The Spinorial Chessboard
5472:* given by the dual (or
4415:Given a symplectic form
4405:{\textstyle (\omega ,J)}
4260:). For symplectic forms
3646:{\displaystyle AJ-JA=0,}
3005:is the same as that for
907:{\displaystyle i^{2}=-1}
492:with the structure of a
245:{\displaystyle J:V\to V}
180:linear complex structure
172:almost complex manifolds
6402:Structures on manifolds
6310:Almost complex manifold
6298:almost complex manifold
6260:* as the space of real
5639:admits a decomposition
5376:has complex dimension 2
5368:have complex dimension
5331:may be regarded as the
4573:If the symplectic form
4322:holds for all non-zero
3887:is the identity map on
3172:is block-antidiagonal:
2169:. That is, the complex
2090:: with identity matrix
936:is a real vector space
104:{\displaystyle -Id_{V}}
6378:Curvature and Homology
6205:Vandermonde's identity
6194:
6011:has complex dimension
5993:
5857:
5751:
5575:
5439:
5356:has complex dimension
5305:
5224:
5121:
5061:is guaranteed to have
5040:
4959:
4889:
4812:
4657:
4511:
4406:
4316:
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4122:
4024:
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3854:
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3572:
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3477:
3255:
3168:, then the matrix for
3162:
3037:
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2709:
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2523:
2462:
2377:
2277:
2146:form complex numbers.
2136:
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1863:
1837:, i.e. if and only if
1831:
1811:
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1721:
1720:{\displaystyle AJ=JA.}
1692:, i.e. if and only if
1686:
1666:
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1556:
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930:
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795:
774:algebra representation
763:
713:
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342:
322:
295:
246:
211:
149:
125:
111:. Such a structure on
105:
68:
44:
6195:
5994:
5858:
5752:
5576:
5440:
5306:
5225:
5122:
5069:. Thus we may write
5041:
4960:
4902:. It has a canonical
4890:
4813:
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4512:
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3880:{\displaystyle I_{V}}
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3771:
3689:
3653:which is the same as
3648:
3607:
3605:{\displaystyle AJ=JA}
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2144:matrix multiplication
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1667:
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1471:{\displaystyle V_{J}}
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1171:{\displaystyle V_{J}}
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1032:
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973:
951:
931:
909:
878:which corresponds to
873:
796:
764:
714:
691:
689:{\displaystyle V_{J}}
664:
638:
609:
588:for all real numbers
583:
487:
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400:
376:
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323:
321:{\displaystyle J^{2}}
296:
247:
219:linear transformation
212:
164:representation theory
150:
126:
106:
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45:
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5760:A complex structure
5662:
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5055:algebraically closed
4991:
4913:
4844:
4835:extension of scalars
4667:
4606:
4549:. Thus in this case
4452:
4384:
4348:(synonymously: that
4282:
4202:
4064:
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2715:then the matrix for
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201:
157:complex vector space
139:
115:
82:
58:
34:
6330:Hermitian structure
5391:and its conjugate:
4904:complex conjugation
4557:inner product space
4380:; or that the pair
3687:{\displaystyle =0,}
3533:{\displaystyle =0;}
2173:-dimensional space
2154:-dimensional space
1377:extend by linearity
1303:{\displaystyle e,f}
803:associative algebra
801:, thought of as an
607:{\displaystyle x,y}
16:Mathematics concept
6190:
5989:
5853:
5825:
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4885:
4829:we may define its
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3499:vanishes, meaning
3473:
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2519:
2458:
2373:
2307:matrix is denoted
2273:
2132:
2100:
2080:
2038:
1995:
1936:
1897:
1881:The collection of
1877:Elementary example
1859:
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121:
101:
64:
40:
6229:multilinear forms
6179:
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6015:(real dimension 2
5925:
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5681:
5629:exterior algebras
5430:
5333:complex conjugate
5197:
4952:
4932:
4547:positive definite
3954:then we say that
3571:{\displaystyle .}
2103:{\displaystyle I}
2009:
2006:
1830:{\displaystyle U}
1810:{\displaystyle J}
1763:{\displaystyle V}
1743:{\displaystyle U}
1727:Likewise, a real
1685:{\displaystyle J}
1665:{\displaystyle A}
1575:{\displaystyle V}
1392:{\displaystyle V}
1277:{\displaystyle J}
1257:{\displaystyle V}
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1141:{\displaystyle J}
1107:
1090:{\displaystyle i}
1070:{\displaystyle i}
1050:{\displaystyle i}
1016:
991:{\displaystyle V}
949:{\displaystyle V}
746:
743:
712:{\displaystyle W}
662:{\displaystyle V}
630:
572:
548:
530:
485:{\displaystyle V}
465:{\displaystyle i}
418:{\displaystyle J}
398:{\displaystyle V}
341:{\displaystyle J}
210:{\displaystyle V}
196:real vector space
192:complex structure
176:complex manifolds
174:, by contrast to
148:{\displaystyle V}
124:{\displaystyle V}
67:{\displaystyle V}
43:{\displaystyle V}
29:real vector space
25:complex structure
6409:
6315:Complex manifold
6283:conjugate-linear
6262:multilinear maps
6199:
6197:
6196:
6191:
6186:
6185:
6184:
6171:
6164:
6163:
6162:
6149:
6139:
6138:
6128:
6127:
6109:
6108:
6107:
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6095:
6094:
6085:
6076:
6066:
6065:
6064:
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6052:
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6038:
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5940:
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5037:
4980:by linearity to
4976:, we may extend
4964:
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4831:complexification
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4576:
4569:
4559:with respect to
4554:
4544:
4538:
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4516:
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4513:
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4424:
4418:
4411:
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4408:
4403:
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4374:with respect to
4369:
4363:
4358:with respect to
4353:
4347:
4339:
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