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27:
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16598:
16370:
14717:
5639:
9018:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\&{}=f(g({\bar {p}}))\\&{}=f(y)~.\end{aligned}}}
14476:
The strategy behind the use of
Legendre transforms in thermodynamics is to shift from a function that depends on a variable to a new (conjugate) function that depends on a new variable, the conjugate of the original one. The new variable is the partial derivative of the original function with respect
12182:
16192:
6343:
17052:
15052:{\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i\ for\ all\ i\ values}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ for\ all\ i\ values}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j\ for\ all\ j\neq i}}}
1135:
16858:{\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}
10791:
6825:
This definition of
Legendre transformation is the one originally introduced by Legendre in his work in 1787, and still applied by physicists nowadays. Indeed, this definition can be mathematically rigorous if we treat all the variables and functions defined above, e.g.
12718:
23646:
5323:
15301:
5486:
1806:
16073:
15834:
The
Helmholtz free energy is often the most useful thermodynamic potential when temperature and volume are controlled from the surroundings, while the Gibbs energy is often the most useful when temperature and pressure are controlled from the surroundings.
5813:
20187:
23498:
23138:
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11982:
6717:
14477:
to the original variable. The new function is the difference between the original function and the product of the old and new variables. Typically, this transformation is useful because it shifts the dependence of, e.g., the energy from an
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22539:
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21821:
19098:
20048:
16930:
15062:(Subscripts are not necessary by the definition of partial derivatives but left here for clarifying variables.) Stipulating some common reference state, by using the (non-standard) Legendre transform of the internal energy
6120:
10935:
10315:
19637:
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308:
on a real variable. Specifically, if a real-valued multivariable function is convex on one of its independent real variables, then the
Legendre transform with respect to this variable is applicable to the function.
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19740:
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22714:
16365:{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}
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5068:
15956:
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11418:
6347:
and in thermodynamics, people perform this transformation on variables according to the type of thermodynamic system they want. E.g. starting from the cardinal function of state, the internal energy
4435:
23334:
7469:
3747:
15360:
20098:
21613:
14710:
7003:
their differentials (which are treated as cotangent vector field in the context of differentiable manifold). And this definition is equivalent to the modern mathematicians' definition as long as
22304:
15196:
13722:
13677:
11053:
10639:
23374:
23055:
23035:
15851:, in which the plates can move relative to one another. Such a capacitor would allow transfer of the electric energy which is stored in the capacitor into external mechanical work, done by the
9256:
8518:
7329:
5634:{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=-x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=p_{n}.}
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5168:
1587:
867:
17117:
is no longer a constant. They reflect the two different pathways of storing energy into the capacitor, resulting in, for instance, the same "pull" between a capacitor's plates.
15692:
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10363:
18421:
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17446:
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21893:
20730:
20495:
19448:
18907:
15880:, the distance which separates them. To find the force, compute the potential energy, and then apply the definition of force as the gradient of the potential energy function.
15830:
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6940:
4096:
3144:
3024:
1550:
14564:
14302:
9401:
8440:
7967:
7723:
7562:
7093:
The
Legendre transform of a convex function, of which double derivative values are all positive, is also a convex function of which double derivative values are all positive.
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2774:
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14326:
12767:
9767:
9552:
2547:
2164:
19:
This article is about an involution transform commonly used in classical mechanics and thermodynamics. For the integral transform using
Legendre polynomials as kernels, see
17388:
16591:
15949:
3786:
23847:
Mémoire sur l'intégration de quelques équations aux différences partielles. In
Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique
10158:
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21342:
20347:. In this more general setting, a few properties are lost: for example, the Legendre transform is no longer its own inverse (unless there are extra assumptions, like
18448:
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390:
can be specified, up to an additive constant, by the condition that the functions' first derivatives are inverse functions of each other. This can be expressed in
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18853:
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18577:
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18178:
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17812:
17074:
16925:
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16558:
16511:
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16468:
3460:
3440:
3044:
1383:
1219:
1199:
312:
In physical problems, the
Legendre transform is used to convert functions of one quantity (such as position, pressure, or temperature) into functions of the
23710:
16907:
so is convex on it. The force now becomes the negative gradient of this
Legendre transform, resulting in the same force obtained from the original function
12177:{\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}
89:
17797:
A simple theory explains the shape of the supply curve based solely on the cost function. Let us suppose the market price for a one unit of our product is
14147:
22619:
13047:
6338:{\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n})}
6729:
4325:
3465:
19970:
13799:
17450:
12345:
10836:
397:
11455:
9989:
7752:
6013:
2596:, can be specified, up to an additive constant, by the condition that the functions' first derivatives are inverse functions of each other, i.e.,
24084:
21618:
13931:
11340:
23266:
19686:
21347:
20050:. We thus conclude that the Legendre transform characterizes the epigraph in the sense that the tangent plane to the epigraph at any point
17949:
16077:
where the dependence on the area of the plates, the dielectric constant of the insulation material between the plates, and the separation
14636:
5927:
5818:
22254:
17047:{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}
13681:
13636:
22981:
19854:
2877:
23160:
19745:
6945:
18912:
4492:
17142:
16181:
on the plates remain constant and the voltage varies when the plates move with respect to each other, and the force is the negative
14569:
13550:
13330:
4193:
In some cases (e.g. thermodynamic potentials, below), a non-standard requirement is used, amounting to an alternative definition of
1130:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :f^{*}(x^{*})<\infty \right\}~}
15381:
9025:
Note that this derivation does not require the condition to have all positive values in double derivative of the original function
4727:
4562:
755:
6390:
21037:
16097:. (For a parallel plate capacitor, this is proportional to the area of the plates and inversely proportional to the separation.)
12828:
5013:
20:
19663:. This can be seen as consequence of the following two observations. On the one hand, the hyperplane tangent to the epigraph of
13510:
in the differential of the transform, i.e., we build another function with its differential expressed in terms of the new basis
6829:
10786:{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}
20993:
4393:
391:
23897:
17880:
7746:
17137:
of a random variable. An important application of the rate function is in the calculation of tail probabilities of sums of
15306:
12713:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}
313:
23641:{\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}
10083:
22039:
21922:
is strictly convex and bounded below by a positive definite quadratic form minus a constant, then the
Legendre transform
21565:
19967:. But the definition of Legendre transform via the maximization matches precisely that of the support function, that is,
5318:{\displaystyle \mathrm {d} (f-x_{1}p_{1})=-x_{1}\mathrm {d} p_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}.}
15296:{\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}
15118:
9183:
8445:
7383:
7256:
23925:
23801:
18318:
15375:
14478:
4673:
4207:
20552:
15770:
15558:
9557:
7334:
1801:{\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}
23983:
23951:
21517:
18041:
20053:
16377:
16068:{\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}
4445:
3654:
625:
20909:
20597:
18376:
5808:{\displaystyle \mathrm {d} \varphi =-x_{1}\mathrm {d} p_{1}-x_{2}\mathrm {d} p_{2}-\cdots -x_{n}\mathrm {d} p_{n}}
3344:
20344:
18259:
17589:
15697:
The enthalpy is suitable for description of processes in which the pressure is controlled from the surroundings.
1630:
902:
7026:
21262:
17178:
16513:
are the Legendre conjugate to each other. To find the force, first compute the non-standard Legendre transform
15490:
4829:
1595:
20182:{\displaystyle \{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.}
15730:
565:
24157:
23935:
2400:
1949:
24048:
19317:
7842:
2783:
761:
The generalization of the Legendre transformation to affine spaces and non-convex functions is known as the
24147:
24115:
23861:
23821:
23493:{\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}
23133:{\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,}
22098:
20343:
When the function is not differentiable, the Legendre transform can still be extended, and is known as the
20336:. If both maps happen to be inverses of each other, we say we have a Legendre transform. The notion of the
19815:
4274:
In analytical mechanics and thermodynamics, Legendre transformation is usually defined as follows: suppose
2777:
806:
698:
22210:
21925:
17659:
17297:
6593:{\displaystyle \mathrm {d} H=\mathrm {d} (U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p}
4998:{\displaystyle \mathrm {d} f=p_{1}\mathrm {d} x_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}}
3149:
520:
21994:
19908:
18457:
14481:
to its conjugate intensive variable, which can often be controlled more easily in a physical experiment.
14429:
13290:{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.}
5649:
5127:
1558:
838:
15637:
11637:, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that the domain of the Legendre transform of
10970:
10320:
2664:
2599:
206:
17423:
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9261:
7567:
24091:
22429:{\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)}
15700:
It is likewise possible to shift the dependence of the energy from the extensive variable of entropy,
9408:
9311:
8523:
8352:
6916:
3105:
1526:
24142:
22936:{\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}
21864:
20701:
20466:
18858:
15884:
15716:
14525:
14280:
9362:
8401:
7928:
7523:
7126:
with all positive double derivative values and with a bijective (invertible) derivative. For a fixed
2752:
24066:
18752:{\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}
15727:, are obtained by performing Legendre transforms of the internal energy and enthalpy, respectively,
14460:; the inner product used to define the Legendre transform is inherited from the pertinent canonical
14307:
12723:
12020:
9744:
9529:
24152:
20673:
18114:
17325:
16447:, which is a reservoir for electric charges at a constant potential difference. Then the amount of
10592:
8303:
6712:{\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} (U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V}
294:
16563:
15921:
10118:
9926:
9090:
8122:{\displaystyle {\frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}=g(p),}
3821:
3289:
2854:(by convexity, see the first figure in this Knowledge page). Therefore, the Legendre transform of
781:
19287:
17126:
14461:
10796:
10534:{\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}
9699:
4628:
4049:
3901:
3078:
2982:
2830:
2158:
2090:. For historical reasons (rooted in analytic mechanics), the conjugate variable is often denoted
1453:
1323:
333:
22609:.) Thus, the only monomial whose degree is invariant under Legendre transform is the quadratic.
22534:{\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}
20524:
18762:
18125:
of the graph. (For a function of one variable, the tangents are well-defined at all but at most
17397:
13392:
11923:
11807:
9487:
7679:
7474:
7149:
3950:
3605:
3191:
1939:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}
23971:
22154:
21969:
19656:
19002:
17391:
13425:
12209:(strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly
11178:
8309:
8265:{\displaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,}
2511:
832:
765:(also called the Legendre–Fenchel transformation), which can be used to construct a function's
21826:
21431:
21192:
19226:{\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}
17697:
17656:, we may take the infimum of the right-hand side, which leads one to consider the supremum of
12482:
12479:
As an example of a convex continuous function that is not everywhere differentiable, consider
11168:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}
10598:
4135:
3753:
23993:
Zia, R. K. P.; Redish, E. F.; McKay, S. R. (2009). "Making sense of the Legendre transform".
22965:
22033:
20406:
20337:
19848:
19660:
17241:
16444:
15855:
acting on the plates. One may think of the electric charge as analogous to the "charge" of a
14465:
13787:
9125:
7178:
4885:, then we can perform the Legendre transformation on each one or several variables: we have
1224:
337:
321:
290:
114:
21314:
18204:
15378:. The non-standard Legendre transform here is obtained by negating the standard version, so
14379:
14335:
14092:
14005:
12772:
11018:
10940:
10564:
10088:
6350:
5471:{\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})-x_{1}p_{1},}
500:
24012:
23816:
22544:
21130:
20518:
18515:
17270:
17151:
14513:
14245:
13885:
13791:
13138:
12292:
11859:
10366:
9920:
9895:
9694:
8275:
5100:
5073:
4101:
4017:
2572:
2426:
2113:
2042:
1992:
1158:
346:
325:
19258:
18079:
17639:
14060:
9061:
7100:
3260:
3049:
1420:
1388:
177:
33:
8:
24137:
23811:
20277:
19549:{\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}
19001:
The graph of the original function can be reconstructed from this family of lines as the
18118:
17717:
13783:
11956:
11897:
9885:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}
7917:
is the composition of differentiable functions, hence it is differentiable. Applying the
6451:
3873:
2353:
317:
24016:
20809:
18789:
18582:
18428:
11784:
7634:
4297:
4171:
3992:
3791:
2957:
2486:
152:
24121:
24028:
24002:
23940:
23796:
21898:
21235:
21165:
20882:
20835:
20762:
20442:
20386:
19950:
19666:
19238:
19105:
18838:
18818:
18562:
18542:
18451:
18239:
18184:
18163:
18142:
17754:
17103:
happen to stand opposite to each other (their signs are opposite), only because of the
17079:
16516:
15552:
15083:
14493:
14127:
14040:
11764:
11703:
11640:
10544:
10375:
9969:
9163:
9028:
7728:
7659:
7614:
7503:
7236:
7216:
7129:
7006:
4809:
4789:
4277:
3240:
2857:
2732:
2552:
2466:
2406:
2379:
2359:
2329:
2318:{\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}
2140:
2093:
2073:
2019:
1502:
1296:
1269:
1164:
1140:
882:
480:
373:
297:
94:
20789:
19284:
and recognizing the right side of the preceding equation as the Legendre transform of
16106:
between the plates due to the electric field created by the charge separation is then
23979:
23947:
23921:
23893:
23260:
22550:
then its image under the Legendre transformation is a homogeneous function of degree
20460:
15860:
24032:
23845:
17946:
of goods that the producer is willing to supply, which is indeed the supply itself:
12990:{\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}
2455:
points, or as a set of tangent lines specified by their slope and intercept values.
24020:
23806:
23045:
22190:
21497:
21477:
21457:
20973:
20862:
20742:
20500:
20362:
20287:
19944:
17059:
16910:
16890:
16870:
16543:
16496:
16476:
16453:
15709:
14424:
12240:
3445:
3425:
3029:
2067:
1496:
1368:
1204:
1184:
766:
762:
316:(momentum, volume, and entropy, respectively). In this way, it is commonly used in
6810:{\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} (U-TS+pV)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p}
4378:{\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x.}
62:
23909:
21816:{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})}
20380:
20348:
20232:
19093:{\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}
17803:. For a company selling this good, the best strategy is to adjust the production
16177:
15902:
14485:
1447:
870:
305:
20043:{\displaystyle f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)}
2403:
relationship between points and lines. The functional relationship specified by
23336:
19642:
18812:
17749:
16186:
15484:
15468:
14275:
13766:
13008:
10930:{\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}
10310:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}
2458:
1522:
777:
329:
19632:{\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}
24131:
23913:
20436:
18126:
15918:
on each conductive plate is (with using the definition of the capacitance as
11634:
6108:{\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}
4437:
as the independent variable, so that the above expression can be written as
22814:{\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}
20196:
15713:
14464:. In this abstract setting, the Legendre transformation corresponds to the
7918:
2349:
343:
For sufficiently smooth functions on the real line, the Legendre transform
19651:. The multidimensional transform can be interpreted as an encoding of the
18117:, the Legendre transformation can be interpreted as a mapping between the
7520:. (This can be visually shown in the 1st figure of this page above.) Thus
26:
21718:{\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}
20736:
19652:
18160:
17235:
17108:
16166:{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}
16084:
15888:
5924:
In analytical mechanics, people perform this transformation on variables
2326:
1986:
301:
278:
23850:(in French). Vol. 1787. Paris: Imprimerie royale. pp. 309–351.
23791:
20206:
18130:
17864:{\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}
17775:
13474:). Since the new independent variable of the transform with respect to
7922:
4390:
performing Legendre transformation on this function means that we take
1590:
24122:
Legendre and Legendre-Fenchel transforms in a step-by-step explanation
24024:
23776:{\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}
22318:
The Legendre transformation has the following scaling properties: For
21418:{\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }
19735:{\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R} }
13132:
10372:
To find the Legendre transformation of the Legendre transformation of
19376:
15848:
14233:{\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}
22709:{\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b}
16175:
If the capacitor is not connected to any electric circuit, then the
6003:{\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}
5912:{\displaystyle \varphi =f-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}-\cdots -x_{n}p_{n}.}
19428:
19382:
16182:
15071:
13123:{\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}
24007:
19898:{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )}
17133:
is defined as the Legendre transformation of the logarithm of the
9481:
3595:{\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}
2944:{\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}
19805:{\displaystyle (\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}}
18425:
Being the derivative of a strictly convex function, the function
18122:
15844:
14497:
6996:{\displaystyle \mathrm {d} f,\mathrm {d} x_{i},\mathrm {d} p_{i}}
23865:
18076:, we see that it is the Legendre transform of the cost function
13875:{\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}
9689:
in dashed blue. Note that the Legendre transform appears convex.
17579:{\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp}
17104:
15868:
14504:
12441:{\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}
4547:{\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u,}
23892:, Corrected 2nd printing. Springer-Verlag, 2008. pp. 147-148.
15454:{\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}
13382:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p}
18137:
16443:
is maintained constant as the plate moves by connection to a
15864:
15852:
11452:, are inverse functions to each other. Clearly, furthermore,
4774:{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}=x.}
4613:{\displaystyle \mathrm {d} \left(xp-f\right)=x\mathrm {d} p,}
470:{\displaystyle Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,}
21120:{\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})_{v}\in E_{x}^{*}}
17809:
so that its profit is maximized. We can maximize the profit
11551:{\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}
10369:
of a function and its Legendre transform can be different.
10115:
is negative everywhere, so the maximal value is achieved at
10075:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}
7832:{\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.}
6822:
and each of these three expressions has a physical meaning.
6448:
we can perform Legendre transformation on either or both of
6436:{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V,}
5070:
Then if we want to perform Legendre transformation on, e.g.
2749:
as a convex function on the real line is differentiable and
2459:
Understanding the Legendre transform in terms of derivatives
517:
represents an argument or input to the associated function,
21353:
16700:
16623:
16433:
15198:
is defined first, then it shall be maximized or bounded by
14955:
14836:
14729:
12170:
5170:
as independent variables, and with Leibniz's rule we have
5063:{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}
18038:
If we consider the maximal profit as a function of price,
6906:{\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}
18909:
or, written implicitly, by the solutions of the equation
18236:. For this line to be tangent to the graph of a function
15856:
293:
in 1787 when studying the minimal surface problem, is an
23862:"Legendre Transform | Nick Alger // Maps, art, etc"
22945:
13989:{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}
11413:{\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}
4430:{\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}
23329:{\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}
20354:
8299:
is convex with its double derivatives are all positive.
7097:
Let us show this with a doubly differentiable function
4269:
22213:
22193:
22157:
22101:
21997:
21972:
21928:
21901:
21867:
21829:
21621:
21568:
21520:
21500:
21480:
21460:
21434:
21350:
21317:
21265:
21238:
21195:
21168:
21133:
21040:
20976:
20912:
20885:
20865:
20838:
20812:
20792:
20765:
20745:
20704:
20676:
20600:
20555:
20527:
20503:
20469:
20409:
20365:
19320:
19195:
19149:
19064:
18861:
18607:
18460:
17082:
17062:
16913:
16893:
16873:
16566:
16546:
16519:
16499:
16479:
16456:
16380:
15924:
15561:
15493:
15384:
15355:{\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}
15309:
15208:
15121:
15086:
14173:
13825:
10561:
is intentionally used as the argument of the function
6913:
as differentiable functions defined on an open set of
3448:
3428:
3081:
3032:
2833:
1371:
1299:
1272:
1227:
1207:
1187:
1143:
710:
648:
65:
23960:
Fenchel, W. (1949). "On conjugate convex functions",
23713:
23532:
23377:
23269:
23163:
23058:
22984:
22833:
22721:
22622:
22441:
22333:
22257:
22042:
21731:
21428:
To describe the Legendre transformation locally, let
20996:
20445:
20389:
20101:
20056:
19973:
19953:
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19669:
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19241:
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18565:
18545:
18518:
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18262:
18242:
18207:
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17700:
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4020:
3995:
3953:
3904:
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3756:
3657:
3608:
3468:
3347:
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3243:
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3152:
3108:
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2960:
2880:
2860:
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2755:
2735:
2667:
2602:
2575:
2555:
2514:
2489:
2469:
2429:
2409:
2399:
The Legendre transformation is an application of the
2382:
2362:
2332:
2167:
2143:
2116:
2096:
2076:
2045:
2022:
1995:
1952:
1814:
1681:
1633:
1598:
1561:
1529:
1505:
1456:
1423:
1391:
1326:
1167:
953:
905:
885:
841:
809:
784:
701:
628:
568:
523:
503:
483:
400:
376:
349:
209:
180:
155:
117:
97:
36:
21608:{\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}
18029:{\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}
15704:, to the (often more convenient) intensive variable
15634:
and the fact that it must be an exact differential,
14705:{\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}
13794:, and conversely. A typical Lagrangian has the form
13311:, so that one may perform the Legendre transform on
3237:
and the function's first derivative with respect to
22299:{\displaystyle (\mathbf {F} L)^{-1}=\mathbf {F} H.}
21861:. If, as in the classical case, the restriction of
17788:, i.e. the cost for the producer to make/mine/etc.
15191:{\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}
13717:{\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}
13672:{\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}}
13133:
Behavior of differentials under Legendre transforms
24049:"Legendre transformation and information geometry"
23939:
23775:
23640:
23492:
23328:
23241:
23132:
23030:{\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}
23029:
22935:
22813:
22708:
22533:
22428:
22298:
22243:
22199:
22179:
22143:
22087:
22024:
21983:
21958:
21914:
21887:
21853:
21815:
21717:
21607:
21554:
21506:
21486:
21466:
21446:
21417:
21336:
21303:
21251:
21224:
21181:
21154:
21119:
21026:
20982:
20958:
20898:
20871:
20851:
20824:
20798:
20778:
20751:
20724:
20690:
20662:
20586:
20541:
20509:
20489:
20451:
20427:
20395:
20371:
20181:
20087:
20042:
19959:
19935:
19897:
19839:
19804:
19734:
19675:
19631:
19548:
19377:Legendre transformation in more than one dimension
19366:
19306:
19276:
19247:
19225:
19114:
19092:
18991:
18901:
18847:
18827:
18801:
18778:
18751:
18594:
18571:
18551:
18531:
18504:
18442:
18415:
18365:
18307:
18248:
18228:
18193:
18172:
18151:
18097:
18068:
18028:
17922:
17863:
17732:
17706:
17686:
17648:
17628:
17578:
17440:
17412:
17382:
17314:
17286:
17259:
17226:
17167:
17095:
17068:
17046:
16919:
16899:
16879:
16857:
16585:
16552:
16532:
16505:
16485:
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15051:
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14625:
14558:
14452:
14403:
14359:
14320:
14296:
14266:
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14116:
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14049:
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13716:
13671:
13626:
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13122:
12989:
12873:
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12516:
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11945:
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11712:
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11550:
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11167:
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10929:
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10785:
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10583:
10553:
10533:
10384:
10357:
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10152:
10107:
10074:
9978:
9958:
9911:
9884:
9769:. From the definition, the Legendre transform is
9761:
9733:
9681:
9636:
9546:
9518:
9459:
9395:
9349:
9297:
9251:{\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}
9250:
9172:
9152:
9114:
9079:
9037:
9017:
8574:
8513:{\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}
8512:
8434:
8390:
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7717:
7668:
7648:
7623:
7603:
7556:
7512:
7492:
7464:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0}
7463:
7372:
7324:{\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}
7323:
7245:
7225:
7205:
7167:
7138:
7118:
7077:
7015:
6995:
6934:
6905:
6809:
6711:
6592:
6466:
6435:
6374:
6337:
6107:
6002:
5911:
5807:
5692:. If we do it to all the variables, then we have
5684:
5633:
5470:
5317:
5162:
5116:
5089:
5062:
4997:
4877:
4818:
4798:
4773:
4711:
4662:
4612:
4546:
4476:
4429:
4377:
4309:
4286:
4259:
4183:
4160:
4124:
4090:
4038:
4004:
3981:
3939:
3890:
3862:
3805:
3780:
3741:
3643:
3594:
3454:
3434:
3414:
3333:
3278:
3249:
3229:
3180:
3138:
3094:
3067:
3038:
3018:
2971:
2943:
2866:
2846:
2819:
2768:
2741:
2718:
2653:
2588:
2561:
2541:
2500:
2475:
2447:
2415:
2388:
2368:
2338:
2317:
2149:
2129:
2102:
2082:
2058:
2028:
2008:
1977:
1938:
1800:
1667:
1619:
1581:
1544:
1511:
1487:
1438:
1406:
1377:
1357:
1312:
1285:
1258:
1213:
1193:
1173:
1149:
1129:
939:
891:
861:
823:
792:
746:
687:
614:
554:
509:
489:
469:
382:
362:
265:
195:
166:
141:
103:
83:
51:
23242:{\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}
20587:{\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }
15874:Compute the force on the plates as a function of
15627:{\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}
5646:We can also do this transformation for variables
4712:{\displaystyle \mathrm {d} f^{*}=x\mathrm {d} p,}
24129:
23567:
23554:
23416:
23391:
23188:
21555:{\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}
19381:For a differentiable real-valued function on an
15362:is obtained. This approach is justified because
13017:, which is negative; hence the stationary point
12662:
12617:
12608:
12561:
12350:
11720:equal to zero) is in the domain if and only if
10425:
9806:
9637:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}
2191:
1845:
1729:
1144:
984:
18992:{\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}
18069:{\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}
14376:. The Legendre transform gives the Hamiltonian
12820:
11681:(found by setting that the first derivative of
7023:is differentiable and convex for the variables
2157:is defined on the whole line and is everywhere
23992:
23908:
20088:{\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))}
17636:. Since the left-hand side is independent of
16428:as the charge is fixed in this configuration.
16421:{\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}
14626:{\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}
13627:{\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}
22612:
22187:, we may view the Legendre transformation of
20959:{\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }
20663:{\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}
10743:
10676:
9554:is plotted in red and its Legendre transform
4477:{\displaystyle \mathrm {d} f=p\mathrm {d} x,}
3742:{\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}
688:{\displaystyle f'(f^{*\prime }(x^{*}))=x^{*}}
23233:
23191:
20173:
20102:
17748:Legendre transformation arises naturally in
15678:
15665:
15533:
15520:
15165:
15148:
14612:
14599:
14209:
14184:
13947:
13935:
13851:
13836:
13108:
13083:
12975:
12960:
12954:
12942:
12921:
12909:
12862:
12847:
12373:
12367:
7747:following derivative (Inverse function rule)
3415:{\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}
2423:can be represented equally well as a set of
1972:
1953:
1882:
1863:
1766:
1747:
24067:"Legendre-Fenchel transforms in a nutshell"
23970:
23942:Mathematical Methods of Classical Mechanics
23934:
22823:
20231:, there is a natural identification of the
19812:. On the other hand, any closed convex set
18308:{\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)}
18133:at all but at most countably many points.)
18108:
17629:{\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}
13177:be a function of two independent variables
12874:{\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}
11728:. Otherwise the maximum is taken either at
2483:on the real line with the first derivative
1668:{\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }
940:{\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }
23313:
23303:
21304:{\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}
18579:of the tangent as a function of its slope
15544:{\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}
14367:is a convex function of the tangent space
9919:remains to be determined. To evaluate the
7078:{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}
2325:can be interpreted as the negative of the
1417:The transform is always well-defined when
24082:
24064:
24006:
23884:
23882:
23463:
23457:
23255:is symmetric with respect to a given set
22018:
21881:
21595:
21542:
21411:
20952:
20718:
20684:
20580:
20572:
20535:
20521:by analogy with the classical case where
20483:
20296:and as such, we can construct a map from
20135:
20134:
20115:
19827:
19786:
19728:
17434:
17308:
17227:{\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}
15610:
15587:
15574:
15080:To get the (standard) Legendre transform
14688:
14665:
14652:
13617:
13604:
13588:
13575:
13277:
13264:
13251:
13221:
12660:
10443:
9817:
9755:
9540:
6922:
4878:{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
1715:
1661:
1620:{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}
1607:
1575:
1532:
1080:
933:
855:
817:
786:
23843:
21474:is trivial. Picking a trivialization of
21027:{\displaystyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}
19847:can be characterized via the set of its
18454:. The second equation can be solved for
16867:This transformation is possible because
13928:is a positive definite real matrix, and
12289:The definition of the Legendre transform
9480:
7380:by the maximizing or bounding condition
2954:Then, suppose that the first derivative
615:{\displaystyle (\phi )^{-1}(\phi (x))=x}
25:
24046:
23650:
20312:is a real differentiable function over
20270:is a real differentiable function over
19367:{\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}
17923:{\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}
15847:, consider a parallel conductive plate
13777:
12298:One may check involutivity: of course,
1978:{\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }
1555:The generalization to convex functions
174:. Thus, the Legendre transformation of
21:Legendre transform (integral transform)
24130:
23920:. Vol. 2. John Wiley & Sons.
23879:
23352:
22144:{\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}
13757:, where only the independent variable
13327:(for information, there is a relation
10595:property of the Legendre transform as
7910:{\displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}
7233:. Then the Legendre transformation of
2820:{\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}
22946:Behavior under linear transformations
22313:
22308:
22244:{\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}
21959:{\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}
19840:{\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}
17120:
15838:
15366:is a linear function with respect to
12895:is a real, positive definite matrix.
6942:or on a differentiable manifold, and
3442:. By differentiating with respect to
2979:is invertible and let the inverse be
2463:For a differentiable convex function
824:{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
747:{\displaystyle f^{*\prime }(f'(x))=x}
23839:
23837:
22025:{\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }
21615:. In terms of these charts, we have
20355:Legendre transformation on manifolds
18539:from the first, and solving for the
18505:{\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}
17768:of some product given a fixed price
17687:{\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}
17315:{\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }
13137:The Legendre transform is linked to
4270:Formal definition in physics context
3181:{\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}
1519:in order for the supremum to exist.
555:{\displaystyle (\phi )^{-1}(\cdot )}
22088:{\displaystyle H(p)=p\cdot v-L(v),}
19936:{\displaystyle h_{C}(\mathbf {n} )}
19395:the Legendre conjugate of the pair
18129:points, since a convex function is
17871:by differentiating with respect to
16431:However, instead, suppose that the
14453:{\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}
12317:is always bounded as a function of
11310:; there is one stationary point at
5685:{\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}
5163:{\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}
2827:, then the supremum is achieved at
1582:{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
862:{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
497:is an operator of differentiation,
13:
24040:
23314:
23304:
21966:is a diffeomorphism. Suppose that
21756:
21748:
21162:. Here we use the fact that since
20497:be a smooth function. We think of
20340:is commonly used in this setting.
19752:
19044:
19015:
18786:denotes the Legendre transform of
18704:
18665:
18479:
18121:of the function and the family of
17701:
17694:, i.e., the Legendre transform of
17672:
17593:
17558:
17267:the moment generating function of
16720:
16705:
16636:
16628:
15687:{\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}
15424:
15416:
15334:
15326:
15284:
15276:
15249:
15241:
15220:
15212:
15077:may be obtained as the following.
14968:
14960:
14853:
14845:
14742:
14734:
14445:
14313:
14289:
13702:
13694:
13660:
13652:
13345:
13337:
13242:
13234:
13212:
13204:
11008:{\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}
10996:
10358:{\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}
10346:
10160:. Thus, the Legendre transform is
9673:
8302:The Legendre transformation is an
7839:Thus, the Legendre transformation
6979:
6961:
6950:
6800:
6786:
6745:
6734:
6702:
6688:
6626:
6615:
6583:
6569:
6498:
6487:
6423:
6409:
6395:
5791:
5757:
5729:
5705:
5599:
5591:
5548:
5540:
5501:
5493:
5298:
5264:
5236:
5183:
5041:
5033:
4981:
4947:
4919:
4898:
4752:
4735:
4699:
4678:
4600:
4567:
4534:
4520:
4497:
4464:
4450:
4417:
4407:
4365:
4354:
4344:
4330:
2719:{\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}
2654:{\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}
1790:
1116:
266:{\displaystyle f^{*}(p)=px'-f(x')}
14:
24169:
24109:
23834:
23261:orthogonal linear transformations
22543:It follows that if a function is
21454:be a coordinate chart over which
18815:of tangent lines of the graph of
18366:{\displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b}
17743:
17441:{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
17175:are i.i.d. random variables, let
14471:
14411:as a function of the coordinates
11742:because the second derivative of
9682:{\displaystyle I^{*}=(0,\infty )}
9305:, the following identities hold.
9298:{\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}
9180:to define the Legendre transform
8349:By using the above identities as
7604:{\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}
4260:{\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}
562:is an inverse function such that
328:formalism (or vice versa) and in
23472:
22286:
22262:
22215:
22151:. Using the natural isomorphism
22112:
21974:
21930:
21888:{\textstyle L:E\to \mathbb {R} }
21623:
21267:
21042:
20998:
20725:{\textstyle V:M\to \mathbb {R} }
20490:{\textstyle L:E\to \mathbb {R} }
20166:
20145:
20137:
20106:
20075:
20061:
20024:
19988:
19926:
19888:
19867:
19859:
19762:
19708:
19694:
18902:{\textstyle y=px-f^{\star }(p),}
17940:represents the optimal quantity
17024:
17011:
16978:
16943:
16935:
16845:
16735:
16688:
16651:
16411:
16394:
16348:
16334:
16321:
16279:
16251:
16238:
16205:
16197:
16150:
16122:
16114:
16049:
16009:
15973:
15863:, with the resulting mechanical
15825:{\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}
14089:Hence the Legendre transform of
13782:A Legendre transform is used in
9460:{\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}
9350:{\displaystyle f'({\bar {x}})=p}
8575:{\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}
8391:{\displaystyle f'({\bar {x}})=p}
7745:is also differentiable with the
7373:{\displaystyle f'({\bar {x}})=p}
6935:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4489:and according to Leibniz's rule
3139:{\displaystyle x\mapsto px-f(x)}
2729:To see this, first note that if
1545:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
336:, as well as in the solution of
24116:Legendre transform with figures
23918:Methods of Mathematical Physics
23890:Lectures on Symplectic Geometry
23844:Legendre, Adrien-Marie (1789).
23802:Young's inequality for products
20345:Legendre-Fenchel transformation
19504:
19122:from these two equations gives
14633:which has a total differential
14559:{\displaystyle i=1,2,3,\ldots }
14491:is an explicit function of the
14297:{\displaystyle T{\mathcal {M}}}
13772:
12295:, that requires upper bounds.)
12288:
10518:
9858:
9396:{\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}
9055:
8435:{\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}
7962:{\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}
7557:{\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}
5587:
5580:
5536:
2769:{\displaystyle {\overline {x}}}
1906:
24083:Touchette, Hugo (2006-11-21).
24065:Touchette, Hugo (2005-07-27).
23978:. Princeton University Press.
23854:
23767:
23761:
23745:
23739:
23518:be proper convex functions on
23459:
23454:
23448:
23439:
23427:
23410:
23404:
23297:
23291:
23282:
23273:
23203:
23197:
23182:
23176:
23173:
23164:
22995:
22985:
22890:
22884:
22871:
22868:
22862:
22843:
22837:
22796:
22790:
22774:
22768:
22755:
22752:
22740:
22731:
22725:
22697:
22691:
22675:
22669:
22656:
22647:
22641:
22632:
22626:
22494:
22488:
22475:
22472:
22460:
22451:
22445:
22386:
22380:
22367:
22364:
22358:
22343:
22337:
22270:
22258:
22235:
22138:
22132:
22120:
22108:
22079:
22073:
22052:
22046:
22014:
21943:
21877:
21810:
21772:
21712:
21674:
21668:
21630:
21404:
21389:
21344:to the directional derivative
21280:
21274:
21219:
21206:
21149:
21143:
21090:
21072:
21064:
21055:
21049:
21011:
20948:
20918:
20714:
20691:{\textstyle m\in \mathbb {R} }
20657:
20651:
20616:
20604:
20479:
20419:
20170:
20162:
20082:
20079:
20071:
20057:
20037:
20020:
20015:
20009:
19992:
19984:
19930:
19922:
19892:
19884:
19778:
19766:
19758:
19749:
19715:
19712:
19704:
19690:
19543:
19537:
19498:
19492:
19461:
19455:
19355:
19349:
19330:
19324:
19271:
19265:
19212:
19206:
19166:
19160:
19075:
19069:
19039:
19021:
18965:
18959:
18937:
18919:
18893:
18887:
18746:
18740:
18721:
18715:
18682:
18676:
18630:
18617:
18496:
18490:
18450:is strictly monotone and thus
18407:
18394:
18338:
18325:
18297:
18284:
18092:
18086:
18063:
18057:
18020:
18014:
18002:
17990:
17984:
17978:
17962:
17956:
17911:
17898:
17858:
17852:
17752:in the process of finding the
17681:
17675:
17623:
17617:
17602:
17596:
17573:
17570:
17567:
17561:
17546:
17537:
17519:
17512:
17484:
17457:
17371:
17364:
17355:
17332:
17254:
17248:
17015:
17007:
16947:
16939:
16849:
16841:
16692:
16684:
16415:
16407:
16398:
16384:
16353:
16344:
16325:
16317:
16283:
16275:
16242:
16234:
16209:
16201:
16126:
16118:
16053:
16045:
16013:
15999:
15977:
15963:
15885:electrostatic potential energy
15681:
15650:
15264:
14398:
14386:
14354:
14342:
14321:{\displaystyle {\mathcal {M}}}
14261:
14249:
14224:
14218:
14166:
14154:
14111:
14099:
14086:plays the role of a constant.
14073:
14067:
14024:
14012:
13901:
13889:
13866:
13860:
13818:
13806:
13525:We thus consider the function
13453:
13441:
13402:
13366:
13356:
13067:
13061:
12936:
12930:
12841:
12835:
12804:
12789:
12762:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}
12750:
12737:
12699:
12680:
12654:
12635:
12602:
12598:
12590:
12570:
12554:
12541:
12510:
12502:
12495:
12489:
12423:
12420:
12407:
12378:
12291:requires the existence of the
12009:
11996:
11881:
11869:
11510:
11493:
11478:
11472:
11367:
11354:
11142:
11133:
11120:
11111:
11075:
11069:
10999:
10987:
10895:
10889:
10833:because the second derivative
10776:
10763:
10738:
10729:
10716:
10707:
10512:
10509:
10500:
10487:
10478:
10449:
10418:
10412:
10349:
10337:
10304:
10295:
10282:
10273:
10255:
10242:
10225:
10212:
10190:
10177:
10147:
10134:
10037:
10008:
9852:
9823:
9799:
9786:
9762:{\displaystyle I=\mathbb {R} }
9712:
9706:
9676:
9664:
9631:
9622:
9609:
9600:
9584:
9571:
9547:{\displaystyle I=\mathbb {R} }
9500:
9494:
9454:
9448:
9439:
9433:
9426:
9412:
9390:
9384:
9372:
9338:
9332:
9323:
9283:
9271:
9245:
9239:
9230:
9218:
9203:
9197:
9147:
9141:
9106:
9074:
9068:
9002:
8996:
8978:
8975:
8969:
8960:
8954:
8936:
8933:
8930:
8924:
8915:
8909:
8900:
8894:
8885:
8876:
8867:
8858:
8846:
8840:
8831:
8813:
8807:
8798:
8779:
8767:
8761:
8752:
8726:
8720:
8711:
8704:
8690:
8685:
8675:
8669:
8660:
8641:
8612:
8606:
8569:
8563:
8554:
8548:
8541:
8527:
8507:
8501:
8492:
8480:
8465:
8459:
8429:
8423:
8411:
8379:
8373:
8364:
8247:
8244:
8238:
8232:
8201:
8195:
8162:
8149:
8113:
8107:
8087:
8081:
8061:
8058:
8052:
8046:
8021:
8015:
7995:
7982:
7956:
7950:
7938:
7904:
7901:
7895:
7889:
7880:
7874:
7862:
7856:
7817:
7814:
7808:
7802:
7771:
7765:
7706:
7703:
7697:
7691:
7589:
7577:
7551:
7545:
7533:
7484:
7452:
7446:
7426:
7423:
7417:
7402:
7361:
7355:
7346:
7318:
7312:
7303:
7291:
7276:
7270:
7200:
7194:
7175:maximize or make the function
7159:
7113:
7107:
6773:
6749:
6645:
6630:
6517:
6502:
6369:
6357:
6332:
6253:
6191:
6127:
6102:
6020:
5439:
5394:
5385:
5340:
5216:
5187:
4510:
4501:
4242:
4236:
4220:
4214:
4155:
4149:
4119:
4113:
4085:
4079:
4070:
4064:
4030:
4024:
3930:
3916:
3848:
3836:
3771:
3757:
3736:
3730:
3718:
3706:
3700:
3694:
3685:
3679:
3672:
3658:
3632:
3629:
3623:
3617:
3586:
3580:
3566:
3563:
3557:
3551:
3537:
3531:
3511:
3505:
3496:
3490:
3483:
3469:
3409:
3406:
3400:
3394:
3385:
3379:
3364:
3358:
3322:
3319:
3313:
3307:
3273:
3267:
3218:
3215:
3209:
3203:
3175:
3169:
3133:
3127:
3112:
3062:
3056:
3004:
2992:
2938:
2925:
2897:
2891:
2814:
2808:
2790:
2704:
2692:
2682:
2668:
2639:
2631:
2617:
2614:
2527:
2515:
2442:
2430:
2310:
2304:
2292:
2280:
2269:
2259:
2253:
2230:
2227:
2221:
2206:
2184:
2178:
1900:
1897:
1891:
1860:
1838:
1825:
1784:
1781:
1775:
1744:
1657:
1571:
1482:
1476:
1433:
1427:
1401:
1395:
1365:as a bounded value throughout
1352:
1346:
1253:
1247:
1110:
1097:
1030:
1027:
1021:
999:
977:
964:
929:
851:
735:
732:
726:
715:
669:
666:
653:
637:
603:
600:
594:
588:
576:
569:
549:
543:
531:
524:
458:
452:
413:
407:
260:
249:
226:
220:
190:
184:
136:
130:
78:
66:
46:
40:
1:
24085:"Elements of convex analysis"
24047:Nielsen, Frank (2010-09-01).
23827:
23345:is symmetric with respect to
17383:{\displaystyle E=M(\xi )^{n}}
16586:{\textstyle C={\frac {Q}{V}}}
15944:{\textstyle C={\frac {Q}{V}}}
15887:stored in a capacitor of the
14274:are local coordinates on the
14144:is the Hamiltonian function,
13742:is the Legendre transform of
11324:, which is always a maximum.
9049:
7087:
3075:is the unique critical point
772:
21991:is a diffeomorphism and let
19005:of this family by demanding
18416:{\displaystyle p=f'(x_{0}).}
18136:The equation of a line with
17794:units of the given product.
16887:is now a linear function of
15719:. The Helmholtz free energy
15551:, so its differential is an
15471:as it is obtained by adding
15202:. To do this, the condition
12821:Example 6: several variables
12474:
12186:
11571:
11217:
10153:{\displaystyle x=\ln(x^{*})}
9959:{\displaystyle x^{*}x-e^{x}}
9923:, compute the derivative of
9476:
9115:{\displaystyle x={\bar {x}}}
3863:{\displaystyle h'=(f')^{-1}}
3334:{\displaystyle p-f'(g(p))=0}
3158:
3095:{\textstyle {\overline {x}}}
3087:
2933:
2914:
2847:{\textstyle {\overline {x}}}
2839:
2761:
2549:, the Legendre transform of
793:{\displaystyle \mathbb {R} }
7:
23995:American Journal of Physics
23936:Arnol'd, Vladimir Igorevich
23785:
21311:is the covector that sends
20542:{\textstyle M=\mathbb {R} }
19307:{\displaystyle f^{\star },}
18835:parameterized by the slope
17056:The two conjugate energies
16083:are abstracted away as the
14242:In a more general setting,
11804:; for a part of the domain
10826:{\displaystyle x^{*}=e^{x}}
10793:thus the maximum occurs at
9734:{\displaystyle f(x)=e^{x},}
9471:
4663:{\displaystyle f^{*}=xp-f,}
4091:{\displaystyle xf'(x)-f(x)}
3940:{\displaystyle h'=(f^{*})'}
3019:{\displaystyle g=(f')^{-1}}
1488:{\displaystyle x^{*}x-f(x)}
1450:. This definition requires
1358:{\displaystyle x^{*}x-f(x)}
392:Euler's derivative notation
304:-valued functions that are
59:is defined on the interval
16:Mathematical transformation
10:
24174:
23946:(2nd ed.). Springer.
22968:. For any convex function
22613:Behavior under translation
22180:{\textstyle E\cong E^{**}}
21984:{\textstyle \mathbf {F} L}
19407:is defined to be the pair
18779:{\displaystyle f^{\star }}
17774:on the market knowing the
17413:{\displaystyle \xi \geq 0}
17135:moment generating function
15303:needs to be satisfied, so
13411:{\displaystyle {\bar {x}}}
13323:the variable conjugate to
11953:it becomes the maximum at
11946:{\displaystyle x^{*}>6}
11830:{\displaystyle x^{*}<4}
10365:This illustrates that the
9519:{\displaystyle f(x)=e^{x}}
7718:{\displaystyle f'(g(p))=p}
7656:that is the derivative of
7493:{\displaystyle {\bar {x}}}
7168:{\displaystyle {\bar {x}}}
4014:In practical terms, given
3982:{\displaystyle f^{*}=h+c.}
3813:are inverses to each other
3644:{\displaystyle f'(g(p))=p}
3230:{\displaystyle f'(g(p))=p}
18:
23822:Fenchel's duality theorem
23659:and its convex conjugate
23251:A closed convex function
21854:{\textstyle i=1,\dots ,r}
21447:{\textstyle U\subseteq M}
21225:{\textstyle T_{v}(E_{x})}
20859:, and the restriction of
20670:for some positive number
15370:(so a convex function on
13765:. This is widely used in
13459:{\displaystyle px-f(x,y)}
13299:Assume that the function
11856:can take with respect to
11422:The first derivatives of
11293:has the first derivative
11207:{\displaystyle f=f^{**},}
8338:{\displaystyle f^{**}=f~}
2542:{\displaystyle (f')^{-1}}
2137:. If the convex function
23671:Fenchel–Young inequality
22824:Behavior under inversion
20428:{\textstyle \pi :E\to M}
18512:allowing elimination of
18115:strictly convex function
18109:Geometric interpretation
17707:{\displaystyle \Lambda }
16473:instead of the voltage;
15843:As another example from
15761:{\displaystyle A=U-TS~,}
14037:is a convex function of
13769:, as illustrated below.
13185:, with the differential
12517:{\displaystyle f(x)=|x|}
11979:. Thus, it follows that
11670:The stationary point at
11175:thereby confirming that
10624:{\displaystyle f^{**}=f}
9058:, for a convex function
7925:with the found equality
6115:to get the Hamiltonian:
4161:{\displaystyle f^{*}(p)}
4132:amounts to the graph of
3781:{\displaystyle (f^{*})'}
1259:{\textstyle x^{*}x-f(x)}
334:thermodynamic potentials
23972:Rockafellar, R. Tyrrell
21337:{\textstyle w\in E_{x}}
21232:can be identified with
20968:Legendre transformation
17260:{\displaystyle M(\xi )}
17139:i.i.d. random variables
17127:large deviations theory
15374:) by the definition of
15111:with respect to volume
15107:of the internal energy
15066:with respect to volume
13788:Hamiltonian formulation
13761:has been supplanted by
11259:fixed, the function of
9986:and set equal to zero:
9153:{\displaystyle px-f(x)}
7206:{\displaystyle px-f(x)}
4046:the parametric plot of
1414:is a linear function).
340:of several variables.
289:), first introduced by
283:Legendre transformation
142:{\displaystyle px-f(x)}
23777:
23642:
23494:
23330:
23243:
23134:
23031:
22937:
22815:
22710:
22545:homogeneous of degree
22535:
22430:
22300:
22245:
22201:
22181:
22145:
22089:
22036:" function defined by
22026:
21985:
21960:
21916:
21889:
21855:
21817:
21719:
21609:
21556:
21508:
21488:
21468:
21448:
21419:
21338:
21305:
21253:
21226:
21183:
21156:
21155:{\textstyle x=\pi (v)}
21121:
21028:
20990:is the smooth morphism
20984:
20960:
20900:
20873:
20853:
20826:
20800:
20780:
20753:
20726:
20692:
20664:
20588:
20543:
20511:
20491:
20453:
20429:
20397:
20373:
20286:, is a section of the
20209:, then for each point
20183:
20095:is given explicitly by
20089:
20044:
19961:
19937:
19899:
19849:supporting hyperplanes
19841:
19806:
19736:
19677:
19661:supporting hyperplanes
19633:
19605:
19550:
19368:
19308:
19278:
19249:
19227:
19116:
19094:
18993:
18903:
18855:is therefore given by
18849:
18829:
18803:
18780:
18753:
18596:
18573:
18553:
18533:
18506:
18444:
18417:
18367:
18309:
18250:
18230:
18229:{\displaystyle y=px+b}
18195:
18174:
18153:
18099:
18070:
18030:
17924:
17865:
17734:
17708:
17688:
17650:
17630:
17580:
17442:
17414:
17384:
17316:
17288:
17261:
17228:
17169:
17097:
17070:
17048:
16921:
16901:
16881:
16859:
16587:
16554:
16534:
16507:
16487:
16464:
16422:
16366:
16167:
16069:
15945:
15826:
15762:
15688:
15628:
15545:
15487:) to a state function
15455:
15356:
15297:
15192:
15101:
15053:
14706:
14627:
14560:
14454:
14405:
14404:{\displaystyle H(p,q)}
14361:
14360:{\displaystyle L(v,q)}
14322:
14298:
14268:
14234:
14138:
14118:
14117:{\displaystyle L(v,q)}
14080:
14051:
14031:
14030:{\displaystyle L(v,q)}
13990:
13908:
13876:
13792:Lagrangian formulation
13718:
13673:
13628:
13460:
13412:
13383:
13291:
13124:
12991:
12875:
12811:
12810:{\displaystyle I^{*}=}
12763:
12714:
12518:
12442:
12178:
11973:
11947:
11914:
11888:
11831:
11798:
11775:
11714:
11651:
11552:
11414:
11303:and second derivative
11208:
11169:
11039:
11038:{\displaystyle f^{**}}
11009:
10961:
10960:{\displaystyle f^{**}}
10931:
10827:
10787:
10625:
10585:
10584:{\displaystyle f^{**}}
10555:
10535:
10386:
10359:
10311:
10154:
10109:
10108:{\displaystyle -e^{x}}
10076:
9980:
9960:
9913:
9886:
9763:
9735:
9690:
9683:
9638:
9548:
9520:
9461:
9397:
9351:
9299:
9252:
9174:
9154:
9116:
9081:
9039:
9019:
8576:
8514:
8436:
8392:
8339:
8293:
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23353:Infimal convolution
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20459:and its associated
20324:defines a map from
20278:exterior derivative
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17141:, in particular in
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111:, the difference
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24143:Duality theories
24105:
24103:
24102:
24096:
24090:. Archived from
24089:
24079:
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24076:
24071:
24061:
24059:
24058:
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24036:
24010:
23989:
23957:
23945:
23931:
23910:Courant, Richard
23901:
23886:
23877:
23876:
23874:
23873:
23864:. Archived from
23858:
23852:
23851:
23841:
23812:Moreau's theorem
23807:Convex conjugate
23782:
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